三角函数图像与性质练习题及答案
三角函数的图像与性质练习题一 选择题1.把函数=sin y x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向左平移4π个单位,这时对应于这个图像的解析式是（ ）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =-C ．sin(2)4y x π=-D ．sin(2)4y x π=+2.函数cos(4)3y x π=+图象的两条相邻对称轴间的距离为（ ）A ．π8B ．π4C ．π2D ．π3.函数21cos ()cos xf x x-=（ ）A ．在ππ(,)22-上递增B ．在π(,0]2-上递增，在π(0,)2上递减C ．在ππ(,)22-上递减D ．在π(,0]2-上递减，在π(0,)2上递增4.下列四个函数中,最小正周期为π,且图象关于直线12x π=对称的是（ ）:A ．sin()23xy π=+B ．sin()23x y π=-C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=-5.函数231sin 232y x x =+的最小正周期等于（ ）A ．πB ．2πC ．4πD ．4π6.“φ=π”是“曲线y=sin(2x +φ)过坐标原点的”（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是xyOπ2π1-1 （ ）A ．2sin(2)4y x π=-B ．2sin(2)4y x π=+C ．32sin()8y x π=+D ．72sin()216x y π=+%8.（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能．．是 （ ），第6题图（ ）A ．41sin(2)55y x =+B ．31sin(2)25y x =+C ．441sin()555y x =-D ．441sin()555y x =+9.(2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )10.函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为 ( ) A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54]。
11.已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为( ) A ．－1 B ．3 C ．－1或3 D ．－3二 填空题12.函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为________________．13．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______．14．定义一种运算,令,且,则函数的最大值是______15．（北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）把函数x y 2sin =的图象沿 x 轴向左平移6π个单位,纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数)(x f y =图象,对于函数)(x f y =有以下四个判断: ①该函数的解析式为)6sin(2x 2y π+=; ②该函数图象关于点)0,3(π对称; ③该函数在]6,0[π上是增函数;④函数a x f y +=)(在]2,0[π上的最小值为3,则32=a .其中,正确判断的序号是________________________.16.设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________． 三 解答题17. 已知函数2()3cos cos f x x x x a =++．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值与最小值的和为32，求a 的值．18. 已知函数()()0,,sin 2162cos 62cos 2>∈-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωωπωπωR x x x x x f 的最小正周期为π. (I)求ω的值;(II)求函数()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,4ππ上的最大值和最小值.19. 已知函数,2cos 26sin 6sin )(2x x x x f ωπωπω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 其中 R x ∈,0>ω. （1）求函数)(x f 的值域；-（2）若函数)(x f 的图象与直线1-=y 的两个相邻交点间的距离为2π，求函数)(x f 的单调增区间.20. 已知函数()()21cos 22sin sin cos 3+-=x x x x x f .(I)求⎪⎭⎫⎝⎛3πf 的值; (II)求函数()x f 的最小正周期及单调递减区间. 21. 已知向量()()3cos ,0,0,sin a x b x ==,记函数()()23sin 2f x a b x =++.求:(I)函数()f x 的最小值及取得小值时x 的集合; (II)函数()f x 的单调递增区间.22. 函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><部分图象如图所示.(Ⅰ)求函数()f x 的解析式,并写出其单调递增区间;/(Ⅱ)设函数()()2cos 2g x f x x =+,求函数()g x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值.!答案&1. A 【解析】把函数=sin y x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,得到=sin 2y x 的图象,再把图像向左平移4π个单位,得到=sin 2()sin(2)cos 242y x x x ππ+=+=,所以选A.32π6πo2x2-y4 C5. A【解析】11cos 2=sin 222x y x ++1=sin 22sin(2)23x x x π+=+,所以函数的周期222T πππω===,选A. 6. Aϕπ=时,sin(2)sin 2y x x π=+=-,过原点,便是函数过原点的时候ϕ可以取其他值,故选A 答案.7. 【答案】B解：由图象可知52882T πππ=-=，所以函数的周期T π=，又2T ππω==，所以2ω=。
所以2sin(2)y x ϕ=+，又()2sin(2)288y f ππϕ==⨯+=，所以sin()14πϕ+=，即2,42k k Z ππϕπ+=+∈，所以24k πϕπ=+，所以2sin(2)4y x π=+，选B.8. D 9. B 10. C由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3.12. {x |－3≤x <－π2或0<x <π2} 13. 【答案】1[,1]2-，[,]62ππ14.54 15. ②④16. 2、解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4， f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值， 故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.17.（Ⅰ）1cos 2()22x f x x a +=++ 1sin(2)62x a π=+++.……………………………………………3分所以T =π．……………………………………………………………4分由3222262k x k πππ+π≤+≤+π，得263k x k ππ+π≤≤+π． 故函数()f x 的单调递减区间是2[,]63k k ππ+π+π（k ∈Z ）．…………………7分 （Ⅱ）因为63x ππ-≤≤，所以52666x πππ-≤+≤．所以1sin(2)126x π-≤+≤．…………………………………………………………10分`因为函数()f x 在[,]63ππ-上的最大值与最小值的和1113(1)()2222a a +++-++=， 所以0a =．…………………………………………………………………………13分 18. (I)()x x x x x x f ωπωπωπωπω2cos 6sin2sin 6cos2cos 6sin2sin 6cos2cos +⋅+⋅-⋅+⋅=x x ωω2cos 2sin += ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42sin 2πωx因为()x f 是最小正周期为π, 所以πωπ=22, 因此1=ω (II)由(I)可知,()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42sin 2πx x f , 因为34ππ≤≤-x ,所以1211424πππ≤+≤-x 于是当242ππ=+x ,即8π=x 时,()x f 取得最大值2; 当442ππ-=+x ,即4π-=x 时,()x f 取得最小值1-:19. （1）)cos 1(21cos 23sin 21cos 23sin )(x x x x x x f ωωωωω+-⋅-⋅+⋅+⋅= =1)6sin(21cos sin 3--=--πωωωx x x所以函数)(x f 的值域为[]1,3- （2）由2221πωπ=⋅ 得2=ω 所以1)62sin(2)(--=πx x f 由πππππk x k 226222+≤-≤+-得ππππk x k +≤≤+-36所以函数)(x f 的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 3,6)(Z k ∈.20. (I)=⎪⎭⎫ ⎝⎛3πf 213cos 232sin3sin 3cos 3+⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππππ212122323213+⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=210+=21= (II)0cos ≠x ,得()Z ∈+≠k k x 2ππ故()x f 的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z R k k x x ,2ππ. 因为()()21cos 22sin sin cos 3+-=x x x x x f ()21sin cos 3sin +-=x x x$21sin 2sin 232+-=x x 2122cos 12sin 23+--=x x x x 2cos 212sin 23+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx , 所以()x f 的最小正周期为ππ==22T . 因为函数x y sin =的单调递减区间为()Z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++k k k 232,22ππππ, 由()Z ∈+≠+≤+≤+k k x k x k 2,2326222πππππππ, 得()Z ∈+≠+≤≤+k k x k x k 2,326ππππππ, 所以()x f 的单调递减区间为()Z ∈⎥⎦⎤⎝⎛++⎪⎭⎫⎢⎣⎡++k k k k k 32,2,2,6ππππππππ 21. (Ⅰ)x x f 2sin 3)()(2++=b a212cos 2cos 222x x x x =++=++ =2)6π2sin(2++x , 当且仅当23ππ26π2+=+k x ,即32ππ+=k x )(Z ∈k 时,()0f x =min ,（此时x 的集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x π,32π| (Ⅱ)由)(2ππ26π22ππ2Z ∈+≤+≤k k x k －,所以)(6ππ3ππZ ∈+≤≤k k x k －, 所以函数()f x 的单调递增区间为)](6ππ,3ππ[Z ∈+k k k -22. (Ⅰ)由图可得2A =,22362T πππ=-=,所以T =π,所以2ω=当6x π=时,()2f x =,可得 2sin(2)26ϕπ⋅+=, 因为||2ϕπ<,所以6ϕπ=.所以函数()f x 的解析式为()2sin(2)6f x x π=+.函数()f x 的单调递增区间为[,]()36k k k πππ-π+∈Z(Ⅱ)因为()()2cos 22sin(2)2cos 26g x f x x x x π=+=++2sin 2cos 2cos 2sin 2cos 266x x x ππ=++3sin 23cos 2x x =+23sin(2)3x π=+因为[,]64x ππ∈-,所以50236x ππ≤+≤.当232x ππ+=,即12x π=时,函数()g x 有最大值为23;当203x π+=,即6x π=-时,函数()g x 有最小值0。
三角函数的图象和性质练习题及答案
1y三角函数图像与性质练习题(一)一．选择题 〔每题５分，共100分〕1.将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，平移后的图象如下图，那么平移后的图象所对应函数的解析式是( ) A.sin()6y x π=+B.sin()6y x π=-C.sin(2)3y x π=+D.sin(2)3y x π=- 2. 为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点( )A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍〔纵坐标不变〕B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍〔纵坐标不变〕C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变〕 D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变〕3. 函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，那么ω的最小值等于( )A.23B.32C.2D.3 4.函数y ＝sin(2x +3π)的图象可由函数y =sin2x 的图象经过平移而得到，这一平移过程可以是( ) A.向左平移6πB.向右平移6πC.向左平移12π D.向右平移12π 5. 要得到函数y =sin (2x -)6π的图像，只需将函数y =cos 2x 的图像( )A.向右平移6π个单位 B.向右平移3π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向左平移3π个单位 6. 为了得到函数y =sin (2x-4π)+1的图象，只需将函数y =sin 2x 的图象〔〕平移得到A.按向量a=(-8π,1)B. 按向量a=(8π,1)C.按向量a=(-4π,1)D. 按向量a=(4π,1) 7.假设函数()sin ()f x x ωϕ=+的图象如图，那么ωϕ和的取值是( )A.1ω=，3πϕ= B.1ω=，3πϕ=-C.12ω=，6πϕ= D.12ω=，6πϕ=- 8. 函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是( )9. 函数sin(2)cos(2)63y x x ππ=+++的最小正周期和最大值分别为( ) A.,1π B.,2π C.2,1π D. 2,2π 10. 函数()sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，那么该函数的图象( )A.关于点(,0)3π对称 B.关于直线4x π=对称 C.关于点(,0)4π对称 D.关于直线3x π=对称11.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的局部图象如图，那么( ) A.4,2πϕπω==B.6,3πϕπω==C.4,4πϕπω== D.45,4πϕπω==12. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象( ) yx11-2π- 3π- O6ππyx11- 2π- 3π- O 6ππ yx1 1-2π-3πO 6π-πy xπ2π- 6π-1O 1-3π Ａ．Ｂ． Ｃ． Ｄ．A.向右平移π6个单位 B.向右平移π3个单位 C.向左平移π3个单位 D.向左平移π6个单位 13. 设函数()x f ()φω+=x sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<>20,0πφω.假设将()x f 的图象沿x 轴向右平移61个单位长度，得到的图象经过坐标原点;假设将()x f 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的21倍〔纵坐标不变〕, 得到的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛1,61. 那么( ) A.6,πφπω== B.3,2πφπω== C.8,43πφπω== D. 适合条件的φω,不存在 14. 设函数)()0(1)6sin()(x f x x f '>-+=的导数ωπω的最大值为3,那么f (x )的图象的一条对称轴的方程是( ) A.9π=x B.6π=x C.3π=x D.2π=x三角函数图像与性质练习题答案三角函数的图象和性质练习题(二)一、选择题1.函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，那么ϕ的值是〔 〕A.0B.4πC.2πD.π2. 将函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)4sin(ϕ+=x y 的图象，那么ϕ等于A ．12π-B ．3π-C ．3πD ．12π 3.假设,24παπ<<那么〔 〕 (45<a<90)A .αααtan cos sin >>B .αααsin tan cos >>C .αααcos tan sin >>D .αααcos sin tan >>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C B A B B C A A A 11 12 13 14 CAAA4.函数23cos()56y x π=-的最小正周期是〔 〕A .52πB .25π C .π2 D .π5 5.在函数x y sin =、x y sin =、2sin(2)3y x π=+、2cos(2)3y x π=+中， 最小正周期为π的函数的个数为〔〕. A .1个B .2个 C .3个 D .4个6.x x x f 32cos 32sin)(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为 〔 〕 A ．3π B ．π34 C ．π23 D ．π677. 函数)252sin(π+=x y 的一条对称轴方程〔 〕A ．2π-=xB ．4π-=xC ．8π=xD ．=x π458. 使x y ωsin =〔ω＞0〕在区间[0，1]至少出现2次最大值，那么ω的最小值为〔 〕 A ．π25B ．π45C ．πD ．π23二、填空题1.关于x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题： ①对任意α，()f x 都是非奇非偶函数； ②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α，()f x 都不是奇函数.其中一个假命题的序号是，因为当α=时，该命题的结论不成立.2.函数xxy cos 2cos 2-+=的最大值为________.3.假设函数()2sin(2)3f x kx π=+的最小正周期T 满足12T <<,那么自然数k 的值为______. 4.满足23sin =x 的x 的集合为_________________________________. 5.假设)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，那么ϖ=________.三、解答题1.比拟大小〔1〕00150sin ,110sin ；〔2〕00200tan ,220tan 2. (1) 求函数1sin 1log 2-=xy 的定义域. 〔2〕设()sin(cos ),(0)f x x x π=≤≤，求()f x 的最大值与最小值. 3．)33sin(32)(πω+=x x f 〔ω＞0〕〔1〕假设f (x +θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ值; ω= 1/3 ,θ= . 〔2〕f (x )在〔0，3π〕上是增函数，求ω最大值 "三角函数的图象和性质练习题二"参考答案一、选择题 1.C [解析]：当2πϕ=时，sin(2)cos 22y x x π=+=，而cos 2y x =是偶函数2.C [解析]：函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)12(4sin π+=x y 的图象，故3πϕ=3.D [解析]：tan 1,cos sin 1,ααα><<αααcos sin tan >>4.D [解析]：2525T ππ== 5.C [解析]：由x y sin =的图象知，它是非周期函数6.C [解析]： ∵x x x f 32cos 32sin)(+==)432sin(2π+x∴图象的对称轴为πππk x +=+2432，即)(2383Z k k x ∈+=ππ故相邻的两条对称轴间距离为π237.A [解析]：当2π-=x 时 )252sin(π+=x y 取得最小值－１，应选A8.A [解析]：要使x y ωsin =〔ω＞0〕在区间[0，1]至少出现2次最大值 只需要最小正周期⋅45ωπ2≤1,故πω25≥ 二、填空题1、①0[解析]：此时()cos f x x =为偶函数2、3[解析]：2cos 4cos 2412cos 2cos 2cos x x y x x x++-===----3、2,3或[解析]：,12,,2,32T k k N k kkππππ=<<<<∈⇒=而或4、|2,2,33x x k k k Z ππππ⎧⎫=++∈⎨⎬⎩⎭或 5、34[解析]：[0,],0,0,3333x x x ππωππω∈≤≤≤≤< 三、解答题1.解：〔1〕0sin110sin 70,sin150sin 30,sin 70sin 30,sin110sin150==>∴>而 〔2〕0tan 220tan 40,tan 200tan 20,tan 40tan 20,tan 220tan 200==>∴>而 2.解：〔1〕221111log 10,log 1,2,0sin sin sin sin 2x x x x -≥≥≥<≤ 22,6k x k πππ<≤+或522,6k x k k Z ππππ+≤<+∈5(2,2][2,2),()66k k k k k Z ππππππ++∈为所求.〔2〕0,1cos 1x x π≤≤-≤≤当时，而[11]-，是()sin f t t =的递增区间 当cos 1x =-时，min ()sin(1)sin1f x =-=-； 当cos 1x =时，max ()sin1f x =. 4.解：（1） 因为f (x +θ)=)333sin(32πθω++x又f (x +θ)是周期为2π的偶函数， 故∈+==k k 6,31ππθω Z（2） 因为f (x )在〔0，3π〕上是增函数，故ω最大值为61三角函数的图象专项练习一．选择题1．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数y=cos2x 的图象 ( )A ．向右平移6π个单位长度B. 向右平移3π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向左平移3π个单位长度2．以下函数中振幅为2，周期为π，初相为6π的函数为 ()A ．y=2sin(2x+3π) B. y=2sin(2x+6π) C ．y=2sin(21x+3π) D. y=2sin(21x+6π) 3．三角方程2sin(2π-x)=1的解集为 ( ) A ．{x│x=2kπ+3π,k∈Z}B .{x│x=2kπ+35π,k∈Z}.C ．{x│x=2kπ±3π,k∈Z}D .{x│x=kπ+(-1)K ,k∈Z}.4．假设函数f(x)=sin(ωx+ϕ)的图象〔局部〕如下图，那么ω,ϕ的取值是 ( )A ．3,1πϕω==B.3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D.6,21πϕω-==5．函数y=tan(2x+φ)的图象过点(0,12π)，那么φ的值可以是 ( ) A. -6π B. 6π C.12π- D.12π6．设函数y=2sin(2x+Φ)的图象为C ，那么以下判断不正确的选项是〔 〕A ．过点(,2)3π的C 唯一 B.过点(,0)6π-的C 不唯一C ．C 在长度为2π的闭区间上至多有2个最高点D ．C 在长度为π的闭区间上一定有一个最高点，一个最低点 7．方程)4cos(lg π-=x x 的解的个数为〔 〕A ．0B ．无数个C ．不超过3D ．大于38．假设函数y=f(x)的图像上每点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原2倍，然后再将整个图像沿x 轴向左平移2π个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数1sin 2y x =的图像，那么y=f(x)是 ( )A ．1sin(2)122y x π=++B.1sin(2)122y x π=-+ C ．1sin(2)124y x π=-+ D.11sin()1224y x π=++9．()sin()2f x x π=+，()cos()2g x x π=-，那么f(x)的图像 ( )A ．与g(x)的图像一样 B.与g(x)的图像关于y 轴对称C ．向左平移2π个单位，得g(x)的图像 D.向右平移2π个单位，得g(x)的图像 10．函数f(x)=sin(2x+2π)图像中一条对称轴方程不可能为( )A.x=4πB. x=2πC. x=πD. x=23π11．函数y=2与y=2sinx ，x ∈3[,]22ππ-所围成的图形的面积为 ( ) A ．πB.2πC.3πD.4π12．设y=f(t)是某港口水的深度y 〔米〕关于时间t 〔时〕的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asina(ωt+ϕ)的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A.]24,0[,6sin312∈+=t t y πB.]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC.]24,0[,12sin 312∈+=t t y πD.]24,0[),212sin(312t t y ππ++=二．填空题 13．函数y=5sin(3x −2π)的频率是______________。
三角函数图像和性质练习题(附答案)
三角函数的图像与性质【1】一、选择题1.已知函数f(x)=2sin ϖx(ϖ>0)在区间[3π-,4π]上的最小值是－2，则ϖ的最小值等于（ ）A.32 B.23C.2D.3 2.若函数cos()3y x πω=+(0)ω>的图象相邻两条对称轴间距离为2π，则ω等于． A ．12B ．12C ．2D ．43.将函数sin()()6yx x R π=+∈的图象上所有的点向左平行移动4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为A ．5sin(2)()12y x x R π=+∈ B ．5sin()()212x y x R π=+∈ C ．sin()()212x y x R π=-∈ D ．5sin()()224x y x R π=+∈4.函数2)62cos(-+=πx y 的图像F 按向量a 平移到F /，F /的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a 可以等于A.)2,6(-π B.)2,6(π C.)2,6(--π D.)2,6(π-5.将函数sin y x =的图象向左平移(02)ϕϕπ≤≤个单位后，得到函数sin()6yx π=-的图象，则ϕ等于（ ）A .6πB .76πC .116πD .56π6.函数x x y 2cos 32sin -=)66(ππ≤≤-x 的值域为A.[]2,2- B. []0,2- C. []2,0 D. ]0,3[-7.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是 （ ）A ．B ．C.D.8.函数f(θ ) =sin θ－1cos θ－2的最大值和最小值分别是()(A) 最大值 43 和最小值0(B)最大值不存在和最小值 34(C) 最大值 －43 和最小值0(D) 最大值不存在和最小值－349.ααcos sin +=t且αα33cos sin +＜0，则t 的取值范围是（ ）A. [)0,2-B. []2,2-C. ()(]2,10,1 -D. ()()+∞-,30,310.把函数)(x f y =的图象沿着直线0=+y x 的方向向右下方平移22个单位，得到函数x y 3sin =的图象，则（）A 、2)23sin(--=x yB 、2)63sin(--=x yC 、2)23sin(++=x yD 、2)63sin(++=x y二、填空题11.设函数).0)(3cos()(πϕϕ<<+=x x f 若)()(x f x f '+是奇函数，则ϕ=. 12.方程2cos()14x π-=在区间(0,)π内的解是．13.函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间14.已知x R ∈，则函数sin cos ()max sin ,cos ,2x x f x x x +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的最大值与最小值的和等于。
高三数学三角函数的图象与性质试题答案及解析
高三数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.将函数f(x)＝sinωx(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则ω的最小值是( )A．6B．C．D．【答案】D【解析】将f(x)＝sinωx的图象向左平移个单位，所得图象关于x＝，说明原图象关于x＝－对称，于是f(－)＝sin(－)＝±1，故(k∈Z)，ω＝3k＋(k∈Z)，由于ω＞0，故当k＝0时取得最小值.选D考点:三角函数的图象与性质2.已知函数的最大值是2，且．（1）求的值；（2）已知锐角的三个内角分别为，，，若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先由辅助角公式将化为一个的三角函数，利用最大值为2求出A，再利用列出关于的方程，解出的值；（2）由（1）可得的解析式，由可求得和，再由同角三角函数基本关系式求出，将2C代入将用C表示出来，利用三角形内角和定理及诱导公式，将化为A，B的函数，再利用两角和与差的三角公式，化为A,B的三角函数，即可求出.试题解析：（1）∵函数的最大值是2，，∴ 2分∵又∵，∴ 4分（2）由（1）可知 6分，∴ 8分∵∴， 10分∴12分考点: 辅助角公式；三角函数图像与性质；诱导公式；两角和与差的三角公式；运算求解能力3.函数的部分图象如图所示，则的值分别是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由图知在时取到最大值，且最小正周期满足，故，，∴，∵，∴，∴，∴，∴.【考点】由三角函数图象确定函数解析式.4.设则A．B．C．D．【答案】C．【解析】故选C．【考点】1.三角函数基本关系式（商关系）；2. 三角函数的单调性．5.设函数.（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期。
（2）设A、B、C为⊿ABC的三个内角，若，，且C为锐角，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用领个角的和的余弦公式、二倍角化简整理得，由可求得函数的最大值，根据求出函数的最小正周期；（2）将代入，再利用倍角公式求得，从而得到角，由，根据，求得，由结合诱导公式、两个角的和的正弦公式求出结论.（1）.∴当，即(k∈Z)时，，（4分）f(x)的最小正周期，故函数f(x)的最大值为，最小正周期为π.（6分）（2）由，即，解得.又C为锐角，∴.（8分）∵，∴.∴.（12分）【考点】三角函数的和差公式、二倍角公式.6.（12分）（2011•广东）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R．（1）求f（0）的值；（2）设α，β∈，f（3）=，f（3β+）=．求sin（α+β）的值．【答案】（1）﹣1（2）【解析】（1）把x=0代入函数解析式求解．（2）根据题意可分别求得sinα和sinβ的值，进而利用同角三角函数基本关系求得cosα和cosβ的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．解：（1）f（0）=2sin（﹣）=﹣1（2）f（3）=2sinα=，f（3β+）=2sinβ=．∴sinα=，sinβ=∵α，β∈，∴cosα==，cosβ==∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数．考查了对三角函数基础公式的熟练记忆．7.已知命题：函数是最小正周期为的周期函数，命题：函数在上单调递减，则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的最小正周期为，故命题为真命题；结合正切函数图象可知，正切函数在区间上是增函数，因此函数在区间上是增函数，故命题为假命题，因此命题、、为假命题，为真命题，故选D.【考点】1.三角函数的基本性质；2.复合命题8.（2013•湖北）将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B9.已知函数,.（1）求函数的最小正周期；（2）若函数有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）实数的取值范围是．【解析】（1）求函数的最小正周期，需对函数化简，把它化为一个角的一个三角函数，利用来求，因此本题的关键是化简，由形式，需对三角函数降次，因此利用二倍角公式将函数化为，由，即可得，即可求出周期；（2）若函数有零点，即，有解，移项得，因此，方程有解，只要在函数的值域范围即可，因此只需求出即可．（1） 4分6分∴周期 7分（2）令，即， 8分则， 9分因为， 11分所以， 12分所以，若有零点，则实数的取值范围是. 13分【考点】三角恒等变化，三角函数的周期，值域．10.已知向量，设函数．(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在[0，]上的最大值和最小值．【答案】(1)π(2)最大值是1，最小值是－【解析】(1)f(x)=a·b=(cosx，－)·(sinx，cos2x)=cosxsinx－cos2x=sin2x－cos2x=sin(2x－)f(x)的最小正周期为T=π，(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤．由正弦函数的性质知，sin(2x－)∈[－，1]当2x－=，即x=时，f(x)取得最大值1．当2x－=－，即x=0时，f(0)=－，因此， f(x)在[0，]上的最大值是1，最小值是－．11.已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x（1）求f(x)的最小正周期及最大值。
【苏教版】一轮优化探究理数练习：第四章 第二节 三角函数的图象与性质(含解析)
一、填空题1、函数y ＝|sin x |的最小正周期为________。
解析：由图象知T ＝π.答案：π2、函数y ＝lg(sin x －cos x )的定义域为________。
解析：由已知得sin x －cos x >0，即sin x >cos x .在[0,2π]内满足sin x >cos x 的x 的集合为(π4，54π)。
又正弦、余弦函数的周期为2π，∴所求定义域为{x |π4＋2k π<x <54π＋2k π，k ∈Z}。
答案：{x |π4＋2k π<x <54π＋2k π，k ∈Z}3、函数y ＝sin x (－π4≤x ≤3π4)的值域是________。
答案：[－22，1]4、函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间[π4，π2]上的最大值是________。
解析：f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12， ∵π4≤x ≤π2，∴π3≤2x －π6≤56π.从而可得f (x )max ＝1＋12＝32. 答案：325、M ，N 是曲线y ＝πsin x 与曲线y ＝πcos x 的两个不同的交点，则|MN |的最小值为________。
解析：当|MN |最小时，点M ，N 必为两曲线的相邻的两个交点，所以可设为M (π4，2π2)，N (5π4，－2π2)，根据两点间距离公式得|MN |＝π2＋(2π)2＝3π. 答案：3π6、定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，则f (5π3)的值为________。
解析：f (5π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32.答案：327、已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离π则f (x )的单调递增区间是________。
三角函数图像及性质习题含答案
三角函数一、三角函数的基本概念和同角三角函数关系(一)知识内容1. 角的概念的推广⑴角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.其中顶点，始边，终边称为角的三要素.角可以是任意大小的.⑵角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角.①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角； ②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角. ⑶在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. ②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角.2.终边相同的角的集合：设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{}360,Z S k k ββα==+⋅︒∈.集合S 的每一个元素都与α的终边相同，当0k =时，对应元素为α.3.弧度制和弧度制与角度制的换算⑴角度制：把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制.<教师备案>一些特殊角的度数与弧度数的对应表：板块一：任意角的概念与弧度制⑵1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.任一已知角α的弧度数的绝对值lrα=，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制.⑶弧度与角度的换算：180πrad=，1801rad57.305718π︒⎛⎫'=≈︒=︒⎪⎝⎭板块二：任意角的三角函数(一）知识内容1.三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(,)x y，它与原点的距离为(0)r r>，那么⑴比值yr叫做α的正弦，记作sinα，即sinyrα=；⑵比值xr叫做α的余弦，记作cosα，即cosxrα=；⑶比值yx叫做α的正切，记作tanα，即tanyxα=；⑷比值xy叫做α的余切，记作cotα，即cotxyα=；⑷比值rx叫做α的正割，记作secα，即secrxα=；⑸比值ry叫做α的余割，记作cscα，即cscryα=.2.三角函数的定义域、值域3.由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： ⑴正弦值yr对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）； ⑵余弦值xr对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）； ⑶正切值yx对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）. 可以用下图表示：说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值.4.同角三角函数的基本关系式：平方关系：22sin cos 1x x +=，22sec tan 1x x -=，22csc cot 1x x -= 商数关系：sin tan cos x x x =，cos cot sin xx x= 倒数关系：111sec ,csc ,tan cos cos cot x x x x x x=== 6.诱导公式：⑴角α与2π()k k α+⋅∈Z 的三角函数间的关系；sin(2π)sin k αα+=,cos(2π)cos k αα+=,tan(2π)=tan k αα+;⑵角α与α-的三角函数间的关系；sin()sin αα-=-,cos()cos αα-=,tan()tan αα-=-;⑶角α与(21)π()k k α++∈Z 的三角函数间的关系；[]sin (21)πsin k αα++=-,[]cos (21)πcos k αα++=-,[]tan (21)πtan k αα++=;⑷角α与πα+的三角函数间的关系.πsin cos 2αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,πcos sin 2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,πtan cot 2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.4.三角函数式的化简与三角恒等式的证明是个难点，需要学生熟悉并灵活运用所学的公式与知识，一般情况下，化简的基本思路是：减少角的种数，减少三角函数的种数，适当配凑和拆分，统一切割化弦等等.二、三角函数的图象与性质（一）知识内容⑴单位圆：半径等于单位长的圆叫做单位圆.设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x 轴交点分别为(1,0)A ，(1,0)A '-，而与y 轴的交点分别为(0,1)B ，(0,1)B '-.由三角函数的定义可知，点P 的坐标为(cos ,sin )αα，即(cos ,sin )P αα.其中cos OM α=，sin ON α=.α)这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T （或T '），则tan AT α=(或AT '). ⑵有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向.具有方向的线段叫做有向线段.规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负. ⑶三角函数线的定义：板块一：任意角的概念与弧度制设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T .我们就分别称有向线段MP ，OM ，AT 为正弦线、余弦线、正切线.(一) 知识内容1.2.函数()()sin 0,0,y A x A x ωϕω=+>>∈R 的图象的作法――五点法①确定函数的最小正周期2πT ω=；②令x ωϕ+＝0、π2、π、3π2、2π，得x ϕω=-、1π()2ϕω-、1(π)ϕω-、13π()2ϕω-、1(2π)ϕω-，于是得到五个关键点(,0)ϕω-、1π((),1)2ϕω-、1((π),0)ϕω-、13π((),1)2ϕω--、1((2π),0)ϕω-；③描点作图，先作出函数在一个周期内的图象，然后根据函数的周期性，把函数在一个周期内的图象向左、右扩展，得到函数()()sin 0,0,y A x A x ωϕω=+>>∈R 的图象．3.()()sin 0,0,y A x A x ωϕω=+>>∈R 的图象函数()()sin 0,0,y A x A x R ωϕω=+>>∈的图象可以用下面的方法得到：先把sin y x =的图象上所有点向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平行移动||ϕ个单位；再把所得各点的横坐标缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的1ω倍（纵坐标不变）；再把所得的各点的纵坐标伸长(1)A >或缩短板块一：三角函数的图象(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变），从而得到sin()y A x ωϕ=+的图象．当函数sin()y A x ωϕ=+表示一个振动量时：A 叫做振幅；T 叫做周期；1T叫做频率；x ωϕ+叫做相位，ϕ叫做初相．上面是一种函数的平移缩放的过程，可以用这种方法来把一种三角函数转换成另外一种三角函数．下面把这个过程分解一下： (1)相位变换要得到函数sin()(0)y x ϕϕ=+≠的图象，可以令x x ϕ=+，也就是原来的x 变成了现在的x ϕ+，相当于x 减小了(0)ϕϕ<，即可以看做是把sin y x =的图象上的各点向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平行移动||ϕ个单位而得到的．这种由sin y x =的图象变换为sin()y x ϕ=+的图象的变换，使相位由x 变为x ϕ+，我们称它为相位变换．它实质上是一种左右平移变换． (2)周期变换要得到函数sin (0,1)y x ωωω=>≠的图象，令x x ω=，即现在的x 缩小到了原来的ω倍，就可以看做是把sin y x =的图象上的各点的横坐标缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的1ω倍（纵坐标不变）得到，由sin y x =的图象变换为sin y x ω=的图象，其周期由2π变为2πω，这种变换叫周期变换．周期变换是一种横向的伸缩． (3)振幅变换要得到sin (0,1)y A x A A =>≠且的图象，令yy A=，即相当于y 变为原来的A 倍，也就是把sin y x =的图象上的各点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的．这种变换叫做振幅变换．振幅变换是一种纵向的伸缩．(一）知识内容<教师备案>1．函数图象平移基本结论小结如下：(0)()()a a y f x y f x a >=−−−−−−→=+左移个单位板块二：三角函数图象变换(0)()()a a y f x y f x a >=−−−−−−→=-右移个单位(0)()()a a y f x y a f x >=−−−−−−→-=上移个单位(0)()()a a y f x y a f x >=−−−−−−→+=下移个单位1()()y f x y f x ωω=−−−−−−−−→=各点横坐标变成原来的倍()()y f x Ay f x =−−−−−−−−→=1各点纵坐标变成原来的倍A()()x y f x y f x =−−−−→-=绕轴翻折这些新的解析式可以由图象上任意一点变换后的对应关系得出，以左移a 个单位的解析式变化为例：设00(,)P x y 为()y f x =左移a 个单位后所得图象上的任意一点，则将Ｐ右移a 个单位得到的00'(,)P x a y +必在()y f x =的图象上，故00()y f x a =+，又00(,)P x y 点任意，故()y f x =的图象左移a 个单位得到的新的函数的解析式为：()y f x a =+．函数变换可以用下图表示：()()y f x y f x =−−−−→=-绕y 轴翻折板块三：三角函数的性质1.三角函数的性质][(22π,[2π,(21)π]()k k k k +∈Z 在2.sin y x =与sin y x =的性质（数学4必修）第一章 三角函数（上） [基础训练A 组]一、选择题1．设α角属于第二象限，且2cos2cosαα-=，则2α角属于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-；③)10tan(-；④917tancos 107sinπππ.其中符号为负的有（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④ 3．02120sin 等于（ ）A ．23±B ．23C ．23-D ．21 4．已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么 tan α的值等于（ ）A .43-B .34- C .43 D .345．若α是第四象限的角，则πα-是（ ）A .第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角6．4tan 3cos 2sin 的值（ ）A .小于0B .大于0C .等于0D .不存在二、填空题1．设θ分别是第二、三、四象限角，则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限．2．设MP 和OM 分别是角1817π的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式： ①0<<OM MP ；②0OM MP <<； ③0<<MP OM ；④OM MP <<0，其中正确的是_____________________________。
三角函数的图像与性质专项训练(解析版)
三角函数的图像与性质专项训练一、单选题1．（23-24高一上·浙江宁波·期末）为了得到πsin 53y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要将函数sin 5y x =的图象（）A ．向左平移π15个单位长度B ．向右平移π15个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度2．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象向左平移π6个单位长度后得到函数π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则ϕ的一个可能值是（）A ．0B ．π12C ．π6D ．π33．（23-24高一下·浙江杭州·期末）为了得到函数()sin2f x x =的图象，可以把()cos2g x x =的图象（）A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度4．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭.若π8f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，且()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的最大值是（）A ．2B ．6C ．10D ．145．（23-24高一上·浙江湖州·期末）我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是sin y A x ω=．已知某音是由3个不同的纯音合成，其函数为()11sin sin 2sin 323f x x x x =++，则（）A ．π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．()f x 的最大值为116C ．()f x 的最小正周期为2π3D ．()f x 在π0,6⎛⎫⎪上是增函数6．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数()*2sin 6f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N 有一条对称轴为23x =，当ω取最小值时，关于x 的方程()f x a =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,1)--B ．[1,1)-6⎣7．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数1()2sin(32f x x x π=ω-ω>∈，R)，若()f x 的图象的任意一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，则ω的取值范围是（）A ．1287(,[]2396B ．1171729(,][,]2241824C ．52811[,][,]93912D ．11171723[,][]182418248．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数()()sin ,0f x x ωω=>，将()f x 图象上所有点向左平移π6个单位长度得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（）A ．(]0,4B ．(]0,2C ．30,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,1【答案】C【详解】因为函数()()sin ,0f x x ωω=>，二、多选题9．（23-24高一上·浙江台州·期末）已知函数()ππsin cos sin cos 44f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则（）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．点π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．函数()f x 在区间π5π,88⎡⎤⎢⎥上单调递减D ．函数()f x 的最大值为110．（23-24高一上·浙江湖州·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O ，筒车上的盛水桶抽象为圆O 上的点P ，已知圆O 的半径为4m ，圆心O 距离水面2m ，且当圆O 上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间，点P 的高度()h t 随时间t （单位秒）变化时满足函数模型()()sin h t A t b ωϕ=++，则下列说法正确的是（）A ．函数()h t 的初相为π6B ．1秒时，函数()h t 的相位为0故选：BC ．11．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数π()tan(2)6f x x =-，则（）A ．()f x 的最小正周期是π2B ．()f x 的定义域是π{|π,Z}3x x k k ≠+∈C ．()f x 的图象关于点π(,0)12对称D ．()f x 在ππ(,)32上单调递增三、填空题12．（23-24高一上·浙江金华·期末）函数()π2π200cos 30063f n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（{}1,2,3,,12n ∈⋅⋅⋅为月份），近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当n =时，游客流量最大．13．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知()3sin 4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若函数()f x 在区间2π,3θ⎛⎫⎪上有且只有三个零点，则θ的范围为．14．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，对x ∀∈R 都有()π3f x f ⎛⎫⎪⎝⎭≤，且在,163⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值集合为四、解答题15．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数22()sin2f x x x x =.(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；(2)将函数()f x 的图象上每个点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标也缩短到原来的12，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x m =-在区间π0,4⎡⎤⎢⎥内有两个零点，求实数m 的取值范围.16．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知函数()cos2f x x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期和对称中心；(2)求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥上的值域.17．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数22()sin 2sin cos 3cos ,R f x x x x x x =++∈．求：(1)函数()f x 的最小值及取得最小值的自变量x 的集合；(2)函数()f x 的单调增区间．18．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知实数0a <，设函数22()cos sin2f x x a x a =+-，且()64f =-．(1)求实数a ，并写出()f x 的单调递减区间；(2)若0x 为函数()f x 的一个零点，求0cos2x ．19．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数()24cos 2f x x x a x =--．(1)若1a =-，求函数()f x 在[]0,2上的值域；(2)若关于x 的方程()4f x a =-恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，求()()131278f x f x x --的最大值，并求出此时实数a 的值．，。
三角函数的图像和性质练习题(基础)
三角函数的图像和性质练习题(基础) 三角函数的图像和性质练题1.若cosx=0，则角x等于A。
kπ（k∈Z）解析：cosx=0时，x为cos函数的零点，即x=kπ+π/2（k∈Z），所以选项A正确。
2.使cosx=(1-m)/(2+m)，有意义的m的值为C。
-1＜m＜1解析：由于-1≤cosx≤1，所以1-m≤2+m，解得-1＜m＜1，所以选项C正确。
3.函数y=3cos（2πx－5π/6）的最小正周期是B。
5π/2解析：cos函数的最小正周期为2π，但当系数为2π/b时，函数的最小正周期为b。
所以y=3cos（2πx－5π/6）的系数为2π/(5π/2)=4/5，故最小正周期为5π/2，所以选项B正确。
4.函数y=2sinx+2cosx－3的最大值是B。
1/2解析：将y=2sinx+2cosx－3转化为y=2√2(sin(x+π/4)－3/√2)，所以最大值为2√2－3，即1/2，所以选项B正确。
5.下列函数中，同时满足①在（-π/2，π/2）上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是C。
y=tan(x/2)解析：y=tan(x/2)在（-π/2，π/2）上是增函数，且为奇函数，而y=cos(x)在（-π/2，π/2）上不是增函数，y=sin(x)不是奇函数，y=tan(x)不是以π为最小正周期的函数，所以选项C 正确。
6.函数y=sin(2x+π/6)的图象可看成是把函数y=sin2x的图象向左平移π/12得到。
解析：y=sin(2x+π/6)的系数为2，所以它的周期为π，而y=sin2x的周期为π/2，所以y=sin(2x+π/6)的图象相当于把y=sin2x的图象向左平移π/12，所以选项B正确。
7.函数y=sin(-2x)的单调增区间是C。
[kπ-。
kπ+]。
(k∈Z)解析：y=sin(-2x)相当于y=-sin(2x)，而y=sin(2x)的单调增区间为[kπ。
(k+1)π]，所以y=sin(-2x)的单调增区间为[kπ-。
专题01 三角函数的图象与性质(原卷版)
专题01 三角函数的图象与性质【要点提炼】1.常用的三种函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象递增 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π]⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称 中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴 x ＝k π＋π2 x ＝k π 周期性2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得. (2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换 (1)y ＝sin x ――——————————→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――——————————→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).y ＝sin ωx ―————————————―→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φω|个单位 y ＝sin(ωx ＋φ)————————————―→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).考点一 三角函数的图像与性质考向一 三角函数的定义与同角关系式【典例1】 (1)在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( )A.AB ︵B.CD ︵C.EF ︵D.GH ︵(2)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( ) A.15B.55C.255D.1解析 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，且tan α＜cos α＜sin α，∴yx ＜x ＜y ，解之得－1＜x ＜0，且0＜y ＜1.故点P (x ，y )所在的圆弧是EF ︵.(2)由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2α－1＝23，所以cos α＝306，sin α＝±66，得|tan α|＝55.由题意知|tan α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 1－2，所以|a －b |＝55. 答案 (1)C (2)B探究提高 1.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关.若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的.2.应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定要注意三角函数值的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.【拓展练习1】 (1)(2020·唐山模拟)若cos θ－2sin θ＝1，则tan θ＝( ) A.43B.34C.0或43D.0或34(2)(2020·济南模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝________.解析 (1)由题意可得⎩⎨⎧cos θ－2sin θ＝1，cos 2θ＋sin 2θ＝1，解得⎩⎨⎧sin θ＝0，cos θ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－45，cos θ＝－35，所以tan θ＝0，或tan θ＝43.故选C.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝32cos α－12sin α－sin α＝32cos α－32sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝435，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝－45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋2π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－45.答案 (1)C (2)－45考向二 三角函数的图象及图象变换【典例2】 (1)(多选题)(2020·新高考山东、海南卷)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)＝( )A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3B.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2xC.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x(2)(2019·天津卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x ).若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( )A.－2B.－ 2C. 2D.2解析 (1)由图象知T 2＝2π3－π6＝π2，得T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，由“五点法”，结合图象可得φ＋π3＝π，即φ＝2π3，所以sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，故A 错误；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 知B 正确；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6知C 正确；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x 知D 错误.综上可知，正确的选项为BC. (2)由f (x )是奇函数可得φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π，所以φ＝0. 所以g (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ωx ，且g (x )最小正周期为2π，可得2π12ω＝2π，故ω＝2，所以g (x )＝A sin x ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝22A ＝2，所以A ＝2. 所以f (x )＝2sin 2x ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2.答案 (1)BC (2)C探究提高 1.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.2.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，一般把第一个“零点”作为突破口，可以从图象的升降找准第一个“零点”的位置.【拓展练习2】 (1)(多选题)(2020·济南历城区模拟)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象.若g (x 1)g (x 2)＝9，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x 1－x 2的可能取值为( ) A.－59π12B.－35π6C.25π6D.49π12(2)(2020·长沙质检)函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜2π)的部分图象如图所示，已知g (0)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝3，函数y ＝f (x )的图象可由y ＝g (x )图象向右平移π3个单位长度而得到，则函数f (x )的解析式为( )A.f (x )＝2sin 2xB.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C.f (x )＝－2sin 2xD.f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 解析 (1)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1的图象.由g (x 1)g (x 2)＝9，知g (x 1)＝3，g (x 2)＝3，所以2x ＋π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π12＋k π，k ∈Z .由x 1，x 2∈[－2π，2π]，得x 1，x 2的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－23π12，－11π12，π12，13π12.当x 1＝－23π12，x 2＝13π12时，2x 1－x 2＝－59π12；当x 1＝13π12，x 2＝－23π12时，2x 1－x 2＝49π12.故选AD.(2)由函数g (x )的图象及g (0)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝3，知直线x ＝5π12为函数g (x )的图象的一条对称轴，所以T 4＝5π12－π6＝π4，则T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，所以g (x )＝A sin(2x ＋φ)，由题图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为“五点法”作图中的第三点，则2×π6＋φ＝π，解得φ＝2π3，由g (0)＝3，得A sin 2π3＝3，又A ＞0，所以A ＝2，则g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，所以g (x )的图象向右平移π3个单位长度后得到的图象对应的解析式为f (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋2π3＝2sin 2x ，故选A. 答案 (1)AD (2)A 考向三 三角函数的性质【典例3】 (1)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π(2)(2020·天一大联考)已知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内有最小值，无最大值，则ω＝( ) A.83 B.143 C.8 D.4 (3)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________. 解析 (1)f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π，得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4.所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.(2)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内有最小值，∴f (x )在x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝π4处取得最小值.因此π4ω－π6＝2k π＋π，即ω＝8k ＋143，k ∈Z .①又函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3无最大值，且ω＞0，∴T ＝2πω≥π3－π6＝π6，∴0＜ω≤12.②由①②知ω＝143.(3)f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2. 答案 (1)A (2)B (3)π2探究提高 1.讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.2.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间).【拓展练习3】 (1)(多选题)(2020·济南质检)已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(0<φ<π)，若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( ) A.φ＝5π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0是f (x )的图象的一个对称中心 C.f (φ)＝－2D.x ＝－π6是f (x )图象的一条对称轴(2)(多选题)关于函数f (x )＝|cos x |＋cos|2x |，则下列结论正确的是( ) A.f (x )是偶函数 B.π是f (x )的最小正周期C.f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增D.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34π，54π时，f (x )的最大值为2解析 (1)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3的图象，∵其关于y 轴对称，∴φ－π3＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋5π6，k ∈Z .又0<φ<π，∴当k ＝0时，φ＝5π6，故A 正确；f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0是f (x )的图象的一个对称中心，故B 正确；因为f (φ)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝2，故C错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2，则x ＝－π6是f (x )图象的一条对称轴，故D 正确.故选ABD.(2)f (x )＝|cos x |＋cos|2x |＝|cos x |＋cos 2x ＝|cos x |＋2cos 2x －1＝2|cos x |2＋|cos x |－1，由f (－x )＝2|cos(－x )|2＋|cos(－x )|－1＝f (x )，且函数f (x )的定义域为R ，得f (x )为偶函数，故A 正确.由于y ＝|cos x |的最小正周期为π，可得f (x )的最小正周期为π，故B 正确. 令t ＝|cos x |，得函数f (x )可转化为g (t )＝2t 2＋t －1，t ∈[0，1]， 易知t ＝|cos x |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，5π4上单调递减，由t ∈[0，1]，g (t )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋142－98，可得g (t)在[0，1]上单调递增，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，5π4上单调递减，故C 错误.根据f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤34π，π上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，54π上递减，∴f (x )在x ＝π时取到最大值f (π)＝2，则D 正确. 答案 (1)ABD (2)ABD考向四 三角函数性质与图象的综合应用【典例4】 (2020·临沂一预)在①f (x )的图象关于直线x ＝5π6ω对称，②f (x )＝cos ωx －3sin ωx ，③f (x )≤f (0)恒成立这三个条件中任选一个，补充在下面横线处.若问题中的ω存在，求出ω的值；若ω不存在，请说明理由.设函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0≤φ≤π2，_____________________________.是否存在正整数ω，使得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调的？(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解 若选①，则存在满足条件的正整数ω.求解过程如下： 令ωx ＋φ＝k π，k ∈Z ，代入x ＝5π6ω， 解得φ＝k π－5π6，k ∈Z .因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ωx ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，ωπ2＋π6.若函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调，则有ωπ2＋π6≤π，解得0<ω≤53.所以存在正整数ω＝1，使得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调的.若选②，则存在满足条件的正整数ω.求解过程如下： f (x )＝cos ωx －3sin ωx ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＝2cos(ωx ＋φ)，且0≤φ≤π2，所以φ＝π3.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ωx ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，ωπ2＋π3. 若函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调，则有ωπ2＋π3≤π，解得0<ω≤43.所以存在正整数ω＝1，使得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调的.若选③，则存在满足条件的正整数ω.求解过程如下： 因为f (x )≤f (0)恒成立，即f (x )max ＝f (0)＝2cos φ＝2， 所以cos φ＝1.因为0≤φ≤π2，所以φ＝0，所以f (x )＝2cos ωx .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，ωπ2. 若函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调，则有ωπ2≤π，解得0<ω≤2.所以存在正整数ω＝1或ω＝2，使得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调的.探究提高 1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解. 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|.【拓展练习4】 (2020·威海三校一联)已知函数f (x )＝2cos 2ω1x ＋sin ω2x . (1)求f (0)的值；(2)从①ω1＝1，ω2＝2，②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值，并直接写出函数f (x )的一个周期.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 (1)f (0)＝2cos 20＋sin 0＝2. (2)选择条件①.f (x )的一个周期为π.当ω1＝1，ω2＝2时，f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＝(cos 2x ＋1)＋sin 2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x ＋22cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，7π12.所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1，则1－2≤f (x )≤1＋ 2. 当2x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π8时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上取得最小值1－ 2.选择条件②.f (x )的一个周期为2π.当ω1＝1，ω2＝1时，f (x )＝2cos 2x ＋sin x ＝2(1－sin 2x )＋sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋178.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，所以sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.所以当sin x ＝－1，即x ＝－π2时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上取得最小值－1.【专题拓展练习】一、选择题（1～10题为单项选择题，11～15题为多项选择题） 1．函数2()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2πC ．2π D ．π2．把函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，再把所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为（ ） A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin()4y x π=+D ．sin y x =-3．若16x π=，256x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+()0ω>两个相邻的极值点，则ω=（ ） A ．3B ．32C ．34D ．124．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间是（ ） A ．(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．()44k ,k k Z ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦D ．()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦5．函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像最近两对称轴之间的距离为2π，若该函数图像关于点()0m ,成中心对称，当0,2m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时m 的值为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．512π6．已知函数()22sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则（ ） A ．()f x 的最大值为1 B ．()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 在区间()0,π上只有1个零点7．已知函数()()()3cos 0g x x ωϕω=+>在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，且满足04g π⎛⎫=⎪⎝⎭，()3g π=，则ω的取值共有（ ）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个8．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最小正周期为2πC ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k k ππ=+∈ZD ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z9．设函数()sin 2cos 2f x a x b x =+，其中,,0a b R ab ∈≠，若()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则以下结论：①函数()f x 的图象关于11,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称；②函数()f x 的单调递增区间是2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；③函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数；④函数()f x 的图象关于()26k x k Z ππ=+∈对称．其中正确的说法是（ ） A ．①②③B ．②④C ．③④D ．①③④10．斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD （51AB BC -=）中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作圆弧BE ；然后在矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作圆弧EG ；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧BE ，EG ，GI 的长度分别为,,l m n ，对于以下四个命题：①l m n =+；②2m l n =⋅；③2m l n =+；④211m l n=+.其中正确的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④11．已知函数()3sin sin3f x x x =+，则（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是周期函数且最小正周期为2π C ．()f x 的值域是[4,4]- D ．当(0,)x π∈时()0f x >12．设函数cos 2()2sin cos xf x x x=+，则（ ）A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 13．若将函数f (x )=cos(2x +12π)的图象向左平移8π个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．g (x )的最小正周期为π B ．g (x )在区间[0，2π]上单调递减 C ．x =12π是函数g (x )的对称轴D ．g (x )在[﹣6π，6π]上的最小值为﹣1214．下列说法正确的是（ ） A ．函数()23sin 30,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是1 B ．函数()cos sin tan 0,tan 2x f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域为(2 C ．函数()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是(],1-∞-D ．函数()2222sin 42cos tx t x xf x x x π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，则1t =15．如图是函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象，则下列说法正确的是（ ）A ．2ω=B ．π,06⎛⎫-⎪⎝⎭是函数，()f x 的一个对称中心 C ．2π3ϕ= D ．函数()f x 在区间4ππ,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数。
三角函数的图像和性质练习题
周末测试题3.21一、选择题1．集合A ＝{x |x ＝k π＋π2，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝k π－π2，k ∈Z }，则A 与B 的关系是( ) A ．A BB ．B AC ．A ＝BD ．以上都不对 [答案] C[解析] 在坐标系中画出两个集合中的角的终边可知A ＝B .2．如果α是第三象限的角，则下列结论中错误的是( )A ．－α为第二象限角B ．180°－α为第二象限角C ．180°＋α为第一象限角D ．90°＋α为第四象限角[答案] B[解析] －α与α终边关于x 轴对称；180°＋α终边与α终边关于原点对称；∵180°－α终边与－α终边关于原点对称，∴180°－α终边与α终边关于y 轴对称．3．角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝( ) A.55 B.255C ．－55 D ．－255 [答案] B[解析] 由三角函数的定义知，x ＝－1，y ＝2，r ＝x 2＋y 2＝5，∴sin α＝y r ＝255.4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－x 2＋π4的最小正周期是( ) A ．πB ．2πC ．4πD.π2 [答案] C5．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( ) A ．－310B.310 C ．±310 D.34[答案] B[解析] 由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2得，tan θ＝3， ∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝310. 6．已知α＝5π8，则点P (sin α，tan α)所在的象限是( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D[解析] ∵π2<5π8<π，∴sin α>0，tan α<0， ∴点P 在第四象限．7．已知角θ在第四象限，且⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，则θ2是( ) A ．第一象限或第三象限B ．第二象限或第四象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D[解析] ∵θ在第四象限，∴θ2在二或四象限， 又∵⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2， ∴sin θ2≤0，∴θ2在第四象限． 8．函数y ＝sin|x |的图象是( )[答案] B[解析] y ＝sin|x |为偶函数，排除A ；y ＝sin|x |的值有正有负，排除C ；当x ＝π3时，y >0，排除D ，故选B.9．下列函数中，图象关于直线x ＝π3对称的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6[答案] B[解析] ∵x ＝π3时，2x －π6＝π2， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取到最大值1，故选B. 10．设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则sin α的值为( )A.35B ．－35 C.45 D ．－45[答案] B[解析] ∵a <0，∴r ＝(－4a )2＋(3a )2＝－5a ，∴sin α＝3a r ＝－35，故选B.二、填空题11．(2010·苏北四市)设α是第三象限角，tan α＝512，则cos(π－α)＝________. [答案] 1213[解析] ∵α为第三象限角，tan α＝512， ∴cos α＝－1213，∴cos(π－α)＝－cos α＝1213. 12．已知关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝k 在[0，π]上有两解，则实数k 的取值范围是________．[答案] 1≤k < 2[解析] 令y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，(0≤x ≤π)，y 2＝k ，在同一坐标系内作出它们的图象如图，由图象可知，当1≤k <2时，直线y 2＝k 与曲线y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 (0≤x ≤π)有两个公共点，即1≤k <2时，原方程有两解．13．已知函数y ＝a cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值为4，则实数a 的值为________． [答案] 2或－114．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的最大值与最小值的和为________． [答案] 2－ 3[解析] ∵－π6≤x ≤π3， ∴－π6≤2x ＋π6≤5π6， ∴－32≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，∴－3≤y ≤2. 15．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin(－α－3π2)sin(3π2－α)tan 3αcos(π2－α)cos(π2＋α)＝________.[答案] 34[解析] 由已知得sin α＝－35. ∵α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45. ∴原式＝cos α·(－cos α)·(sin αcos α)3sin α·(－sin α)＝sin αcos α＝34. 三、解答题16．若sin α，cos α是关于x 的方程3x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两根，求实数m 的值．[解析] ⎩⎨⎧ Δ＝(6m )2－4×3(2m ＋1)≥0 ①sin α＋cos α＝－2m ②sin α·cos α＝2m ＋13 ③， 由②③得4m 2＝1＋2(2m ＋1)3，∴12m 2－4m －5＝0. ∴m ＝－12或m ＝56，m ＝56不适合①，m ＝－12适合①， ∴m ＝－12. 17．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，函数最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．[解析] ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3. ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12－63b ＝－23＋123， 若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝－5－3a ＋b ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63b ＝19－123， 综上可知，a ＝12－63，b ＝－23＋123，或a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.18．(本题满分12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝－12，求 cos(θ＋π)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ[]cos(3π－θ)－1＋cos(θ－2π)cos(－θ)·cos(π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫θ＋5π2的值． [解析] ∵cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝－12，∴sin θ＝12，原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ·(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ＝8 .19．(本题满分12分)已知cos x ＋sin y ＝12，求sin y －cos 2x 的最值． [解析] ∵cos x ＋sin y ＝12，∴sin y ＝12－cos x ， ∴sin y －cos 2x ＝12－cos x －cos 2x ＝－⎝⎛⎭⎫cos x ＋122＋34， ∵－1≤sin y ≤1，∴－1≤12－cos x ≤1， 解得－12≤cos x ≤1， 所以当cos x ＝－12时，(sin y －cos 2x )max ＝34， 当cos x ＝1时，(sin y －cos 2x )min ＝－32. [点评] 本题由－1≤sin y ≤1求出－12≤cos x ≤1是解题的关键环节，是易漏掉出错的地方．20．(本题满分12分)已知y ＝a －b cos3x (b >0)的最大值为32，最小值为－12. (1)求函数y ＝－4a sin(3bx )的周期、最值，并求取得最值时的x ；(2)判断其奇偶性．[解析] (1)∵y ＝a －b cos3x ，b >0，∴⎩⎨⎧ y max ＝a ＋b ＝32y min ＝a －b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝1， ∴函数y ＝－4a sin(3bx )＝－2sin3x .∴此函数的周期T ＝2π3， 当x ＝2k π3＋π6(k ∈Z )时，函数取得最小值－2；当x ＝2k π3－π6(k ∈Z )时，函数取得最大值2. (2)∵函数解析式f (x )＝－2sin3x ，x ∈R ，∴f (－x )＝－2sin(－3x )＝2sin3x ＝－f (x )，∴y ＝－2sin3x 为奇函数．21．(本题满分14分)函数f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g (a )(a ∈R )．(1)求g (a )；(2)若g (a )＝12，求a 及此时f (x )的最大值． [解析] (1)由f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x＝1－2a －2a cos x －2(1－cos 2x )＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫cos x －a 22－a 22－2a －1.这里－1≤cos x ≤1. ①若－1≤a 2≤1，则当cos x ＝a 2时，f (x )min ＝－a 22－2a －1； ②若a 2>1，则当cos x ＝1时，f (x )min ＝1－4a ； ③若a 2<－1，则当cos x ＝－1时，f (x )min ＝1. 因此g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (a <－2)－a 22－2a －1 (－2≤a ≤2)1－4a (a >2).(2)∵g (a )＝12. ∴①若a >2，则有1－4a ＝12，得a ＝18，矛盾； ②若－2≤a ≤2，则有－a 22－2a －1＝12， 即a 2＋4a ＋3＝0，∴a ＝－1或a ＝－3(舍)．∴g (a )＝12时，a ＝－1. 此时f (x )＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋122＋12，当cos x＝1时，f(x)取得最大值为5.。
(完整版)三角函数的图象与性质练习题及答案
三角函数的图象与性质练习题一、选择题1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1B ．－12C.12D ．12．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( ) A.π6B.π4C.π3D.π23．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．6B ．7C ．8D ．94．已知在函数f (x )＝3sin πxR 图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是 `( D )6．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴方程； ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0成中心对称图形． 其中正确的序号为( )A ．①③B ．②④C ．①④D ．④⑤7．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 ( )A ．y＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是 ( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝cos xC ．f (x )＝sin 4xD ．f (x )＝cos 4x9．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( ) A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 10．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为 ( ) A.16B.14C.13D.1211．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数 I =A sin(ωt +φ)(A >0，ω>0,0<φ<2π)的图象如右图所示， 则当t =1001秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度二、填空题(每小题6分，共18分)13．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－23x 的单调递增区间为______________． 14．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________. 15．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)16．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________． 三、解答题(共40分)17．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．18．已知函数f (x )＝2cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期是π2.(1)求ω的值； (2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．19．设函数f (x )＝cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )，其中0<ω<2. (1)若f (x )的周期为π，求当－π6≤x ≤π3时f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，求ω的值．20．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+ b (ω>0，|φ|<2π)的图象的一部分如图所示： (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．21．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．22．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．三角函数的图象与性质练习题及答案一、选择题1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( B ) A ．－1B ．－12C.12D ．12．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( A ) A.π6B.π4C.π3D.π23．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是 ( C ) A ．6B ．7C ．8D ．94．已知在函数f (x )＝3sin πxR 图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为 ( D ) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是 `( D )6．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴方程； ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0成中心对称图形． 其中正确的序号为( C )A ．①③B ．②④C ．①④D ．④⑤7．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 ( A )A ．y ＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是 ( A )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝cos xC ．f (x )＝sin 4xD ．f (x )＝cos 4x9．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( D ) A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 10．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为 ( D ) A.16B.14C.13D.1211．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数 I =A sin(ωt +φ)(A >0，ω>0,0<φ<2π)的图象如右图所示， 则当t =1001秒时，电流强度是( A )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( A )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度二、填空题(每小题6分，共18分)13．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－23x 的单调递增区间为______________．⎣⎡⎦⎤98π＋3k π，21π8＋3k π (k ∈Z ) 14．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________. 31415．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上) ②③16．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________． 2 三、解答题(共40分)17．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间． 解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，又－π<φ<0，则－54<k <－14，∴k ＝－1， 则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π， 可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 18．已知函数f (x )＝2cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期是π2.(1)求ω的值； (2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合． 解 (1)f (x )＝21＋cos 2ωx2＋sin 2ωx ＋1＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2＝2⎝⎛⎭⎫sin 2ωx cos π4＋cos 2ωx sin π4＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋2. 由题设，函数f (x )的最小正周期是π2，可得2π2ω＝π2， 所以ω＝2.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋2. 当4x ＋π4＝π2＋2k π，即x ＝π16＋k π2(k ∈Z )时，sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4取得最大值1，所以函数f (x )的最大值是2＋2， 此时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝π16＋k π2，k ∈Z .19．设函数f (x )＝cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )，其中0<ω<2. (1)若f (x )的周期为π，求当－π6≤x ≤π3时f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，求ω的值．解 f (x )＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋12. (1)因为T ＝π，所以ω＝1. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12， 当－π6≤x ≤π3时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， 所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，32. (2)因为f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，所以2ω⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ω＝32k ＋12 (k ∈Z )， 又0<ω<2，所以－13<k <1，又k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝12.20．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+ b (ω>0，|φ|<2π)的图象的一部分如图所示： (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程． 解 (1)由图象可知，函数的最大值M =3，最小值m =-1， 则A =,1213,22)1(3=-==--b ， 又π)6π32(2=-=πT ，∴2ππ2π2===T ω，∴f (x )=2sin(2x +φ)+1， 将x =6π，y =3代入上式，得1)3π(=+ϕ ∴π22π3πk +=+ϕ，k ∈Z ， 即φ=6π+2k π，k ∈Z ，∴φ=6π， ∴f (x )=2sin )6π2(+x +1. (2)由2x +6π=2π+k π，得x =6π+21k π，k ∈Z ， ∴f (x )=2sin )6π2(+x +1的对称轴方程为 216π+=x k π，k ∈Z. 21．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．解 (1)由题图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT＝2，将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象．于是φ＝2×π12＝π6， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)依题意得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12. 由22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝32. ∵0<x <π，∴－π12<2x －π12<2π－π12. ∴2x －π12＝π3或2x －π12＝2π3，∴x ＝524π或x ＝38π， ∴所求交点坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，6或⎝⎛⎭⎫3π8，6. 22．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值． 解 (1)由图象知A ＝2，T ＝8， ∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.又图象过点(－1,0)，∴2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝0. ∵|φ|<π2，∴φ＝π4. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＋π4＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＝22cos π4x . ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23，∴－3π2≤π4x ≤－π6. ∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；π4x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－2 2.当。