新人教版八年级数学第十四章整式乘法与因式分解复习
第14章整式的乘法与因式分解复习
一、知识网络结构图
二、典型例题
幂的运算法则及其逆运用
例1 计算2x 3·(－3x )２＝ ． 例2 计算[a 4(a 4－4a )－(－3a 5)2÷(a 2)3]÷(－2a 2)2 整式的混合运算
例3 计算[(a －2b )(2a －b )－(2a ＋b )2＋(a ＋b )(a －b )－(3a )2]÷(－2a )．
整式的乘法
整式的乘除与因式公解
幂的运算法则
同底数幂的乘法法则：a m ·a n ＝a m ＋
n (m ，n 都是正整数) 幂的乘方法则：(a m )n ＝a mn (m ，n 是正整数) 积的乘方法则：(ab )n ＝a n b n (n 是正整数)
单项式乘以单项式法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分
别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则 连同它的指数作为积的一个因式
单项式乘以多项式法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式
的每一项，再把所得的积相加
多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项
去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
同底数幂的除法法则：a m ÷a n ＝a m －
n (a ≠0，m ，n 都是正整数且m ＞n ) 零指数幂的意义：a 0＝1(a ≠0)
单项式除以单项式法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商
的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同 它的指数作为商的一个因式
多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把
所得的商相加
乘法公式 平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2
完全平方公式：(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2
整式的除法
因式分解
概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这
个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式
方法
公式法
平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )
完全平方公式
a 2＋2a
b ＋b 2＝(a ＋b )2 a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2
因式分解
例4 分解因式．
(1)m 3－m ； (2)(x ＋2)(x ＋3)＋x 2－4． 转化思想
例5 分解因式a 2
－2ab ＋b 2
－c
2
整体思想
例6 (1)已知x ＋y ＝7，xy ＝12，求(x －y )2； (2)已知a ＋b ＝8，a －b ＝2，求ab 的值． 开放型题
例7 （2009·吉林中考）在三个整式2222,2,x xy y xy x ++中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解.
规律探究题
例8 如图15－5所示，摆第1个“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个需要 枚棋子，摆第3个需 枚棋子，按这种方式摆下去，摆第n 个这样的 “小屋子”需要 枚棋子．
例9 (1)计算．
①(a －1)(a ＋1)； ②(a －1)(a 2＋a ＋1)； ③(a －1)(a 3＋a 2＋a ＋1)； ④(a －1)(a 4＋a 3＋a 2＋a ＋1)． (2)根据(1)中的计算，你发现了什么规律?用字母表示出来． (3)根据(2)中的结论，直接写出下题的结果．
①(a －1)(a 9＋a 8＋a 7＋a 6＋a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a ＋1)＝ ； ②若(a －1)·M ＝a 15－1，则M ＝ ；
③(a －b )(a 5＋a 4b ＋a 3b 2＋a 2b 3＋ab 4＋b 5)＝ ； ④(2x －1)(16x 4＋8x 3＋4x 2＋2x ＋1)＝ ；
三、训练题 一、选择题
1．计算(a 3)2的结果是 ( )
A ．a 5
B ．a 6
C ．a 8
D ．a 9
2．下列运算正确的是 ( )
A ．a 2·a 3＝a 4
B ．(－a )4＝a 4
C ．a 2＋a 3＝a 5
D ．(a 2)3＝a 5 3．已知x －3y ＝－3，则5－x ＋3y 的值是 ( ) A ．0 B ．2 C ．5 D ．8 4．若m ＋n ＝3，则2m 2＋4mn ＋2n 2－6的值为 ( ) A ．12 B ．6 C ．3 D ．0
5．如图15－4所示，在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形(a ＞b )，把余下的部分拼成一个矩形，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证 ( )
A ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2
B ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2
C ．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )
D ．(a ＋2b )(a －b )＝a 2＋ab －2b 2
6．下列各式中，与(a －b )2一定相等的是 ( ) A ．a 2＋2ab ＋b 2 B ．a 2－b 2 C ．a 2＋b 2 D ．a 2－2ab ＋b 0 7．已知x ＋y ＝－5，xy ＝6，则x 2＋y 2的值为 ( ) A ．1 B ．13 C ．17 D ．25 8．下列从左到右的变形是因式分解的是 ( ) A ．ma ＋mb －c ＝m (a ＋b )－c B ．(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3
C ．a 2－4ab ＋4b 2－1＝a (a －4b )＋(2b ＋1)(2b －1)
D ．4x 2－25y 2＝(2x ＋5y )(2x －5y )
9．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 ( ) A ．－a 2＋b 2 B ．－a 2－b 2 C ．a 2＋b 2 D ．a 3－b 3 10．如果(x －2)(x －3)＝x 2＋px ＋q ，那么p ，q 的值是 ( ) A ．p ＝－5，q ＝6 B ．p ＝1，q ＝－6 C ．p ＝1，q ＝6 D ．p ＝5，q ＝－6 二、填空题
11．已知10m ＝2，10n ＝3，则103m ＋2n ＝ ．
12．当x ＝3，y ＝1时，代数式(x ＋y )(x －y )＋y 2的值是 ． 13．若a －b ＝1，ab ＝－2，则(a ＋1)(b －1)＝ ． 14．分解因式：2m 3－8m ＝ ．
15．已知y ＝31x －1，那么3
1
x 2－2xy ＋3y 2－2的值为 ．
16．计算：5752×12－4252×12＝．
17．若(9n)2＝38，那么n＝．
18．如果x2＋2kx＋81是一个完全平方式，那么k的值为．19．多项式9x2＋1加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方式，．那么加上的单项式是．(填一个你认为正确的即可)
20．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是_________________
三、解答题
21．化简．
(1)－(m－2n)＋5(m＋4n)－2(－4m－2n)；
(2)3(2x＋1)(2x－1)－4(3x＋2)(3x－2)；
(3)20002－1999×2001．
22．分解因式．
(1)m2n(m－n)2－4mn(n－m)；
(2)(x＋y)2＋64－16(x＋y)．
23．已知a ，b 是有理数，试说明a 2＋b 2－2a －4b ＋8的值是正数．
24．先化简，再求值：(a ＋b )(a －b )＋(4ab 3－8a 2b 2)÷4ab ，其中a ＝2，b ＝1．
25．给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2
122
x x -．请选择你最喜欢
的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
26．如图15－6所示，有一个形如四边形的点阵，第l 层每边有两个点，第2层每边有三个点，第3层每边有四个点，以此类推．
(1)填写下表；
层数 1 2 3 4 5 6 各层对应的点数
所有层的总点数
(2)写出第n 层对应的点数； (3)写出n 层的四边形点阵的总点数；
(4)如果某一层共有96个点，你知道是第几层吗?
(5)有没有一层点数为100?。
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点题库(带答案)
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点题库单选题1、要使多项式(x+p)(x−q)不含x的一次项，则p与q的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．乘积为−1答案：A分析：计算乘积得到多项式，因为不含x的一次项，所以一次项的系数等于0，由此得到p-q=0，所以p与q 相等.解：(x+p)(x−q)=x2+(p−q)x−pq∵乘积的多项式不含x的一次项∴p-q=0∴p=q故选择A.小提示：此题考查整式乘法的运用，注意不含的项即是该项的系数等于0.2、下列分解因式正确的是（）A．a3−a=a(a2−1)B．x3+4x2y+4xy2=x(x+2y)2C．−x2+4xy−4y2=−(x+2y)2D．16x2+16x+4=(4x+2)2答案：B分析：根据分解因式的方法进行分解，同时分解到不能再分解为止；A、a3−a=a(a2−1)=a(a+1)(a−1)，故该选项错误；B、x3+4x2y+4xy2=x(x2+4xy+4y2)=x(x+2y)2，故该选项正确；C、−x2+4xy−4y2=−(x2−4xy+4y2)=−(x−2y)2，故该选项错误；D、16x2+16x+4=4(4x2+4x+1)=4(2x+1)2，故该选项错误；故选：B．小提示：本题考查了因式分解，解决问题的关键是掌握因式分解的几种方法，注意因式分解要分解到不能再分解为止；3、若x 2+ax ＝（x +12）2+b ，则a ，b 的值为（ ） A ．a ＝1，b ＝14B ．a ＝1，b ＝﹣14 C ．a ＝2，b ＝12D ．a ＝0，b ＝﹣12答案：B分析：根据完全平方公式把等式右边部分展开，再比较各项系数，即可求解．解：∵x 2+ax ＝（x +12）2+b =x 2+x +14+b ， ∴a =1，14+b =0， ∴a ＝1，b ＝﹣14，故选B ．小提示：本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．4、下列因式分解正确的是（ ）A ．a 4b ﹣6a 3b ＋9a 2b ＝a 2b （a 2﹣6a ＋9）B ．x 2﹣x ＋14＝（x ﹣12）2C ．x 2﹣2x ＋4＝（x ﹣2）2D ．x 2﹣4＝（x ＋4）（x ﹣4）答案：B分析：直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可．解：A 、a 4b ﹣6a 3b ＋9a 2b ＝a 2b （a 2﹣6a ＋9）＝a 2b （a ﹣3）2，故此选项错误；B 、x 2﹣x ＋14＝（x ﹣12）2，故此选项正确；C 、x 2﹣2x ＋4，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项错误；D 、x 2﹣4＝（x ＋2）（x ﹣2），故此选项错误；故选：B ．小提示：本题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法进行解题．5、如下列试题，嘉淇的得分是（）姓名：嘉淇得分：将下列各式分解因式（每题20分，共计100分）①2xy−4xyz=2xy(1−2z)；②−3x−6x2=−3x(1−2x)；③a2+2a+1=a(a+2)；④m2−4n2= (m−2n)2；⑤−2x2+2y2=−2(x+y)(x−y)A．40分B．60分C．80分D．100分答案：A分析：根据提公因式法及公式法分解即可．①2xy−4xyz=2xy(1−2z)，故该项正确；②−3x−6x2=−3x(1+2x)，故该项错误；③a2+2a+1=(a+1)2，故该项错误；④m2−4n2=(m+2n)(m−2n)，故该项错误；⑤−2x2+2y2=−2(x+y)(x−y)，故该项正确；正确的有：①与⑤共2道题，得40分，故选：A．小提示：此题考查分解因式，将多项式写成整式乘积的形式，叫做将多项式分解因式，分解因式的方法：提公因式法、公式法，根据每道题的特点选择恰当的分解方法是解题的关键．6、在下列各式中，一定能用平方差公式因式分解的是（）．A．−a2−9B．a2−9C．a2−4b D．a2+9答案：B分析：直接利用平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)，进而分解因式判断即可．A、−a2−9，无法分解因式，故此选项不合题意；B、a2−9=(a+3)(a−3)，能用平方差公式分解，故此选项符合题意；C、a2−4b，无法分解因式，故此选项不合题意；D、a2+9，无法分解因式，故此选项不合题意．故选B．小提示：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．7、若2a+3b−3=0，则4a×23b的值为（）A．23B．24C．25D．26答案：A分析：先利用已知条件2a+3b−3=0，得2a+3b=3，再利用同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方将原式变形得出答案．解：∵2a+3b−3=0，∴2a+3b=3，∵4a×23b=（22）a×23b=22×a×23b=22a+3b，∴原式=4a×23b=（22）a×23b=22×a×23b=22a+3b=23，故选：A．小提示：本题主要考查了同底数幂的乘法运算和幂的乘方，正确将原式变形是解题关键．8、下列因式分解正确的是（）A．a2+b2＝(a+b)2B．a2+2ab+b2＝(a−b)2C．a2−a=a(a+1)D．a2−b2=(a+b)(a−b)答案：D分析：根据因式分解的方法，逐项分解即可．A. a2+b2，不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；B. a2+2ab+b2＝(a+b)2故该选项不正确，不符合题意；C. a2−a=a(a−1)，故该选项不正确，不符合题意；D. a2−b2=(a+b)(a−b)，故该选项正确，符合题意．故选D．小提示：本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．9、计算(x+1)(x+2)的结果为( )A．x2+2B．x2+3x+2C．x2+3x+3D．x2+2x+2答案：B解：原式=x2+2x+x+2=x2+3x+2.故选B.10、已知2n=a，3n=b，12n=c，那么a、b、c之间满足的等量关系是（）A．c=ab B．c=ab3C．c=a3b D．c=a2b答案：D分析：直接利用积的乘方、幂的乘方运算法则将原式变形得出答案．A选项：ab=2n⋅3n=6n≠12n，即c≠ab，A错误；B选项：ab3=2n⋅(3n)3=2n⋅33n=2n⋅27n=54n≠12n，即c≠ab3，B错误；C选项：a3b=(2n)3⋅3n=8n⋅3n=24n≠12n，即c≠a3b，C错误；D选项：a2b=(2n)2⋅3n=4n⋅3n=12n=c，D正确．故选：D．小提示：本题主要考查了积的乘方运算，幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．填空题11、计算：(√5-2)2018(√5+2)2019的结果是_____.答案：√5+2分析：逆用积的乘方运算法则以及平方差公式即可求得答案.(√5-2)2018(√5+2)2019=(√5-2)2018×(√5+2)2018×(√5+2)=[(√5-2)×(√5+2)]2018×(√5+2)=(5-4)2018×(√5+2)=√5+2，故答案为√5+2.小提示：本题考查了积的乘方的逆用，平方差公式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.12、若|a|=2，且(a−2)0=1，则2a的值为_______．答案：1##0.254分析：根据绝对值的意义得出a=±2，根据(a−2)0=1，得出a−2≠0，求出a的值，即可得出答案．解：∵|a|=2，∴a=±2，∵(a−2)0=1，∴a−2≠0，即a≠2，∴a=−2，∴2a=2−2=1．4．所以答案是：14小提示：本题主要考查了绝对值的意义，零指数幂有意义的条件，根据题意求出a=−2，是解题的关键．13、已知x−y=3，xy=10，则(x+y)2=______．答案：49分析：根据（x+y）2=（x-y）2+4xy即可代入求解．解：（x+y）2=（x-y）2+4xy=9+40=49．所以答案是：49．小提示：本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助．14、分解因式：am+an−bm−bn=_________________答案：(m+n)(a−b)分析：利用分组分解法和提取公因式法进行分解因式即可得．解：原式=(am+an)−(bm+bn)=a(m+n)−b(m+n)=(m+n)(a−b)，所以答案是：(m+n)(a−b)．小提示：本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．15、若x−y−3=0，则代数式x2−y2−6y的值等于______．答案：9分析：先计算x-y的值，再将所求代数式利用平方差公式分解前两项后，将x-y的值代入化简计算，再代入计算即可求解．解：∵x−y−3=0，∴x−y=3，∴x2−y2−6y=(x+y)(x−y)−6y=3(x+y)−6y=3x+3y−6y=3(x−y)=9所以答案是：9．小提示：本题主要考查因式分解的应用，通过平方差公式分解因式后整体代入是解题的关键．解答题16、化简：3（a﹣2）（a+2）﹣（a﹣1）2．答案：2a2+2a-13分析：根据平方差公式和完全平方公式去括号，再计算加减法．解：3（a﹣2）（a+2）﹣（a﹣1）2=3（a2-4）-（a2-2a+1）=3a2-12-a2+2a-1=2a2+2a-13．小提示：此题考查了整式的乘法计算公式，整式的混合运算，正确掌握平方差公式和完全平方公式的计算法则是解题的关键．17、爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若a m=a n(a>0，且a≠1，m、n都是正整数），则m= n，例如：若5m=54，则m=4．小明将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题：(1)如果2×4x×32x=236，求x的值；(2)如果3x+2+3x+1=108，求x的值．答案：(1)x=5(2)x=2分析：（1）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，从而可求解；（2）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，即可求解．（1）因为2×4x×32x=236，所以2×22x×25x=236，即21+7x=236，所以1+7x=36，解得：x=5；（2）因为3x+2+3x+1=108，所以3×3x+1+3x+1=4×27，4×3x+1=4×33，即3x+1=33，所以x+1=3，解得：x=2．小提示：本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．18、阅读：已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2−b2c2=a4−b4，试判断△ABC的形状．答案：（1）③，忽略了a2−b2=0的情况；（2）见解析分析：（1）根据题意可直接进行求解；（2）由因式分解及勾股定理逆定理可直接进行求解．解：（1）由题意可得：从第③步开始错误，错的原因为：忽略了a2−b2=0的情况；故答案为③；忽略了a2−b2=0的情况；（2）正确的写法为：c2(a2−b2)＝(a2+b2)(a2−b2)c2(a2−b2)−(a2+b2)(a2−b2)＝0(a2−b2)[c2−(a2+b2)]＝0当a2−b2=0时，a=b；当a2−b2≠0时，a2+b2=c2；所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．小提示：本题主要考查勾股定理逆定理及因式分解，熟练掌握勾股定理逆定理及因式分解是解题的关键．解析：解：因为a2c2−b2c2=a4−b4，①所以c2(a2−b2)=(a2−b2)(a2+b2)②所以c2=a2+b2③所以△ABC是直角三角形④请据上述解题回答下列问题：（1）上述解题过程，从第______步（该步的序号）开始出现错误，错的原因为______；（2）请你将正确的解答过程写下来．。
第十四章+整式乘法及因式分解复习+课件+2024-2025学年人教版数学八年级上册
例题：下列运算是否正确。A正确；B错误 ×
× ×
计算： x3(-x)5+(-x4)2-(2x2)4 +(-x10)÷(- x)2
解：原式= =
=
解此类题应注意明确法则及各自运算的特点，避免混淆
注意点： （1）指数：加减
数：不同底数 转化
幂乘除 幂的乘方 同底数
例： 若10x=5,10y=4,求102x+3y-1 的值.
知识要点: 一、幂的4个运算性质
二、整式的加、减、乘、除法则
三、乘法公式
四、因式分解
考查知识点：（当m,n是正整数时） 1. 同底数幂的乘法：am · an = am+n 2. 同底数幂的除法：am ÷ an = am-n ； a0=1(a≠0)
3. 幂的乘方: (am )n = amn 4. 积的乘方: (ab)n = anbn
解：102x+3y-1 =
=
当10x=5,10y=4时
原式=
考查知识点：
1、单项式与单项式相乘：把它们的系数、相同字母 分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连 同它的指数作为积的一个因式．
2、单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项 式的每一项，再把所得的积相加。
即：m(a+b+c)= ma+mb+mc
三数和的平方公式： (a+b+c)2=a2+b2 +c2+2ab+2ac+2bc
例. 已知a+b=5 ，ab= -2，
求（1）a2+b2 （2）a-b
a2+b2=(a+b)2-2ab
(a-b)2=(a+b)2-4ab
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)(带答案)
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)单选题1、若(2020×2020×…×2020⏟ 共2020个)×(2020+2020+⋯+2020⏟ 共2020个)=2020n ，则n ＝（ ）A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019 答案：A分析：2020个2020相乘，可以写成20202020，2020个2020相加，可以写成2020×2020=20202，计算即可得到答案．∵2020×2020×⋯×2020=20202020⏟ 2020，2020+2020+⋯+2020⏟ 2020=2020×2020=20202，∴原式左边=20202020×20202=20202022， 即2020n =20202022， ∴n =2022． 故选：A ．小提示：本题考查了乘方的意义，以及同底数幂的乘法运算．注意：求n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．2、如图，阶梯型平面图形的面积可以表示为（ ）A ．ad +bcB ．ad +c (b −d )C ．ab −cdD ．c (b −d )+d (a −c ) 答案：B分析：把阶梯型的图形看成是两个长方形的面积之和或面积之差即可求解．解：S 阶梯型＝bc +（a ﹣c ）d 或S 阶梯型＝ab ﹣（a ﹣c ）（b ﹣d ） 或S 阶梯型＝ad +c （b ﹣d ）， 故选：B ．小提示：本题主要考查列代数式，整式的混合运算，解答的关键是把所求的面积看作是两个长方形的面积之和或面积之差．3、将多项式x ﹣x3因式分解正确的是（ ）A ．x （x2﹣1）B ．x （1﹣x2）C ．x （x+1）（x ﹣1）D ．x （1+x ）（1﹣x ） 答案：D分析：直接提取公因式x ，然后再利用平方差公式分解因式即可得出答案． x ﹣x 3=x （1﹣x 2） =x （1﹣x ）（1+x ）． 故选D ．小提示：本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法是解题关键． 4、已知、为实数，且√a −12+ b 2+4＝4b ，则a 2015•b 2016的值是（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2答案：C分析：已知等式整理后，利用非负数的性质求出与的值，利用同底数幂的乘法及积的乘方运算法则变形后，代入计算即可求出值．已知等式整理得：√a −12+ (b −2)2＝0，∴a =12，b ＝2， 即ab ＝1，则原式＝(ab)2015•b故选：C．小提示：本题考查了实数的非负性，同底数幂的乘法，积的乘方，活用实数的非负性，确定字母的值，逆用同底数幂的乘法，积的乘方，进行巧妙的算式变形，是解题的关键．5、如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，纵向阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算空白部分的面积，其面积是（）A．bc−ab+ac+c2B．ab−bc−ac+c2C．a2+ab+bc−ac D．b2+bc+a2−ab答案：B分析：矩形面积减去阴影部分面积，求出空白部分面积即可．空白部分的面积为(a−c)(b−c)=ab−ac−bc+c2．故选B．小提示：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6、小阳同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入m的值为2，则最后输出的结果y是（）A．2B．3C．4D．8答案：D分析：把m=2代入运算程序中计算，如小于或等于7则把其结果再代入运算程序中计算，如大于7则直接输出结果．解：当m=2时，=22-1=3＜7，当m=3时，m2-1=32-1=8＞7，则y=8．故选：D．小提示：此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，弄清题中的运算程序是解本题的关键．7、2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的计算结果的个位数字是（）A．8B．6C．2D．0答案：D分析：先将2变形为(3−1)，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．解：(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(32−1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(34−1)(34+1)…(316+1)=332−1∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…∴3n的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，∵32÷4=8，故332与34的个位数字相同即为1，∴332−1的个位数字为0，∴2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的个位数字是0．故选：D．小提示：本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键．8、若x2+ax＝（x+1）2+b，则a，b的值为（）2A ．a ＝1，b ＝14B ．a ＝1，b ＝﹣14C ．a ＝2，b ＝12D ．a ＝0，b ＝﹣12 答案：B分析：根据完全平方公式把等式右边部分展开，再比较各项系数，即可求解． 解：∵x 2+ax ＝（x +12）2+b =x 2+x +14+b ，∴a =1，14+b =0，∴a ＝1，b ＝﹣14，故选B ．小提示：本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．9、如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片1张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )A ．2a+bB ．4a+bC ．a+2bD ．a+3b 答案：A分析：4张边长为a 的正方形卡片的面积为4a 2，4张边长分别为a 、b 的矩形卡片的面积为4ab ，1张边长为b 的正方形卡片面积为b 2，9张卡片拼成一个正方形的总面积=4a 2+4ab+b 2=(2a+b)2，所以该正方形的边长为：2a+b ．设拼成后大正方形的边长为x ， ∴4a 2+4ab+b 2=x 2，∴(2a+b)2=x 2，∴该正方形的边长为：2a+b. 故选A.小提示：本题主要考查了完全平方公式的几何意义，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长． 10、下列计算正确的是（ ）A ．m +m =m 2B ．2(m −n )=2m −nC ．(m +2n)2=m 2+4n 2D ．(m +3)(m −3)=m 2−9 答案：D分析：根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定． 解：A.m +m =2m ，故该选项错误，不符合题意； B.2(m −n )=2m −2n ，故该选项错误，不符合题意； C.(m +2n)2=m 2+4mn +4n 2，故该选项错误，不符合题意； D.(m +3)(m −3)=m 2−9，故该选项正确，符合题意； 故选：D ．小提示：本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键． 填空题11、阅读下面材料：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c ，abc ，a 2+b 2，…含有两个字母a ，b 的对称式的基本对称式是a+b 和ab ，像a 2+b 2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b ，ab 表示，例如：a 2+b 2＝（a+b ）2﹣2ab ．请根据以上材料解决下列问题： （1）式子①a 2b 2②a 2﹣b 2③1a+1b中，属于对称式的是_______（填序号）；（2）已知（x+a ）（x+b ）＝x 2+mx+n ． ①若m =−2,n =12，求对称式ba +ab 的值； ②若n ＝﹣4，直接写出对称式a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值．答案：（1）①③；（2）①b a +ab ＝6；②a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值为172．分析：（1）根据对称式的定义进行判断；（2）①先得到a+b ＝﹣2，ab ＝12，再变形得到b a +ab ＝a 2+b 2ab ＝(a+b)2−2abab，然后利用整体代入的方法计算；②根据分式的性质变形得到a 4+1a 2+b 4+1b 2＝a 2+1a 2+b 2+1b 2，再利用完全平方公式变形得到（a+b ）2﹣2ab+(a+b)2−2aba 2b 2，所以原式=1716m 2+172，然后根据非负数的性质可确定a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值．解：（1）式子①a 2b 2②a 2﹣b 2③1a+1b中，属于对称式的是 ①③．故答案为①③；（2）∵x 2+（a+b ）x+ab ＝x 2+mx+n ∴a+b ＝m ，ab ＝n ． ①a+b ＝﹣2，ab ＝12，b a+ab ＝a 2+b 2ab＝(a+b)2−2abab＝(−2)2−2×1212＝6；②a 4+1a 2+b 4+1b 2＝a 2+1a 2+b 2+1b 2＝（a+b ）2﹣2ab+(a+b)2−2aba 2b 2＝m 2+8+m 2+816＝1716m 2+172， ∵1716m 2≥0， ∴a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值为172．小提示：本题主要考查完全平方公式，关键是根据题目所给的定义及完全平方公式进行求解即可．12、平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(m ，3)．若将点A 先向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点B(1，n)，则m +n =_______． 答案：3分析：先写出点A 向下平移2个单位后的坐标，再写出向左平移1个单位后的坐标．即可求出m 、n ，最后代入m +n 即可．点A 向下平移2个单位后的坐标为(m ，3−2)，即(m ，1)．再向左平移1个单位后的坐标为(m −1，1)．∴{m−1=11=n ，即{m=2n=1．∴m+n=2+1=3．所以答案是：3．小提示：本题考查坐标的平移变换以及代数式求值．根据坐标的平移变换求出m、n的值是解答本题的关键．13、若a+b=1，则a2−b2+2b−2=________．答案：-1分析：将原式变形为(a+b)(a−b)+2b−2，再将a+b=1代入求值即可.解：a2−b2+2b−2=(a+b)(a−b)+2b−2将a+b=1代入，原式=a−b+2b−2=a+b−2=1-2=-1所以答案是：-1.小提示：本题考查了代数式求值，其中解题的关键是利用平方差公式将原式变形为(a+b)(a−b)+2b−2.14、已知a+b=4，a−b=2，则a2−b2的值为__________．答案：8分析：根据平方差公式直接计算即可求解．解：∵a+b=4，a−b=2，∴a2−b2=(a+b)(a−b)=4×2=8所以答案是：8小提示：本题考查了因式分解的应用，掌握平方差公式是解题的关键．15、若a2−b2=−116，a+b=−14，则a−b的值为______．答案：14分析：由平方差公式进行因式分解，再代入计算，即可得到答案．解：∵a2−b2=(a+b)(a−b)=−116，∵a+b=−14，∴a−b=−116÷(−14)=14．故答案是：14．小提示：本题考查了公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．解答题16、分解因式：2x3−2x2y+8y−8x答案：2(x−y)(x−2)(x+2)分析：先分组，然后利用提公因式法和平方差公式因式分解即可．解：2x3−2x2y+8y−8x=2x2(x−y)+8(y−x)=2x2(x−y)−8(x−y)=2(x−y)(x2−4)=2(x−y)(x−2)(x+2)．小提示：此题考查的是因式分解，掌握利用分组分解法、提公因式法和公式法因式分解是解题关键．17、小邢同学在计算(x+a)(x+b)中的“b”看成了“6”，算的结果为x2+3x−18，而且小颖同学在计算(x+a)(x+b)时将“+a”看成了“−a”，算的结果为x2−x−12．(1)求出a、b的值；(2)计算出(x+a)(x+b)的正确结果，答案：(1)a＝-3，b＝-4(2)x2-7x+12分析：（1）根据题意得出（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2-x﹣12，得出6+a＝3，﹣a+b＝-1，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．（1）根据题意得：（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2−x−12，所以6+a＝3，﹣a+b＝-1，解得：a＝-3，b＝-4；（2）当a＝-3，b＝-4时，（x+a）（x+b）＝（x-3）（x-4）＝x2-7x+12．小提示：本题考查了多项式乘以多项式法则和解方程，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．18、我们知道形如x2+(a+b)x+ab的二次三项式可以分解因式为(x+a)(x+b)，所以x2+6x−7=x2+ [7+(−1)]x+7×(−1)=(x+7)[x+(−1)]=(x+7)(x−1)．但小白在学习中发现，对于x2+6x−7还可以使用以下方法分解因式．x2+6x−7=x2+6x+9−7−9=(x+3)2−16=(x+3)2−42=(x+3+4)(x+3−4)=(x+7)(x−1)．这种在二次三项式x2+6x−7中先加上9，使它与x2+6x的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了．（1）请使用小白发现的方法把x2−8x+7分解因式；（2）填空：x2−10xy+9y2=x2−10xy+________+9y2−________=(x−5y)2−16y2=(x−5y)2−(________)2=[(x−5y)+________][(x−5y)−________]=(x−y)(x−________)；（3）请用两种不同方法分解因式x2+12mx−13m2．答案：（1）(x−1)(x−7)；（2）25y2；25y2；4y；4y；4y；9y；（3）(x+13m)(x−m)分析：（1）在x2−8x+7上加16减去16，仿照小白的解法解答；（2）在原多项式上加25y2再减去25y2，仿照小白的解法解答；（3）将−13m2分解为13m与（-m）的乘积，仿照例题解答；在原多项式上加36m2再减去36m2仿照小白的解法解答．（1）解：x2−8x+7=x2−8x+16+7−16=(x−4)2−9=(x−4)2−32=(x−4+3)(x−4−3)=(x−1)(x−7)；（2）解：x2−10xy+9y2=x2−10xy+25y2+9y2−25y2=(x−5y)2−16y2=(x−5y)2−(4y)2=[(x−5y)+4y][(x−5y)−4y]=（x-y）（x-9y）所以答案是：25y2；25y2；4y；4y；4y；9y；（3）解法1：原式=x2+[13m+(−m)]x+13m⋅(−m)=(x+13m)(x−m)．解法2：原式=x2+12mx+36m2−13m2−36m2=(x+6m)2−49m2=[(x+6m)+7m][(x+6m)−7m]=(x+13m)(x−m)．小提示：此题考查多项式的因式分解，读懂例题及小白的解法，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是解题的关键．。
人教版八年级上册数学课件：第14章整式的乘法与因式分解单元复习
数学
23.请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和 (只需表示，不必化简)； (2)由(1)，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
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(3)如果图中的 a，b(a＞b)满足 a2＋b2＝53，ab＝14，求：
①a＋b 的值；②a2－b2 的值．
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17.若 xm＝3，xn＝5，则 x2m＋n 的值为 45 .
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9.【例 4】已知 a2＋a－4＝0，则代数式 a(a＋1)的值是( A )
A．4
B.8
C.12
D.16
小结：用整体思想解决问题，a2＋a＝4.
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18.已知 a＋b＝m，ab＝－4，化简(a－2)(b－2)的结果是( D )
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数学
解：原式＝x2－4xy＋4y2－(x2－y2)－2y2 ＝x2－4xy＋4y2－x2＋y2－2y2＝－4xy＋3y2. (1)当 x＝1，y＝－3 时， 原式＝－4×1×(－3)＋3×(－3)2＝39. (2)当 4x－3y＝0 时，原式＝－y(4x－3y)＝0. 小结：(1)先化简后直接代入求值；(2)对多项式进行变形后运 用整体思想代入求值.
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解：(1)两个阴影图形的面积和可表示为 a2＋b2，(a＋b)2－2ab. (2)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab (3)①∵a2＋b2＝53，ab＝14， ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝53＋2×14＝81，∴a＋b＝±9. 又∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝9. ②∵(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝53－2×14＝25，∴a－b＝±5. 又∵a＞b＞0，∴a－b＝5， ∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝9×5＝45.
新人教版八年级数学第十四章整式乘法与因式分解复习
学习必备 欢迎下载第14章整式的乘法与因式分解复习一、知识网络结构图同底数幂的乘法法则： a m ·a n ＝a m ＋ n (m ，n 都是正整数 ) 幂的运算法则幂的乘方法则： (am )n＝ amn(m ，n 是正整数 )积的乘方法则： (ab)n ＝ a n b n (n 是正整数 )整式的乘法整 式乘法公式的 乘除 与 因 式 公 整式的除法解单项式乘以单项式法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则 连同它的指数作为积的一个因式单项式乘以多项式法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加平方差公式： (a ＋b)(a － b)＝a 2－b2完全平方公式： (a ＋ b)2＝ a 2＋ 2ab ＋b 2，(a － b)2＝ a 2－ 2ab ＋b 2同底数幂的除法法则： mnm － na ÷ a ＝ a(a ≠0，m ，n 都是正整数且 m ＞n)零指数幂的意义： a 0＝1(a ≠ 0)单项式除以单项式法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式因式分解平方差公式： 方法公式法完全平方公式a 2－b 2＝ (a ＋ b)(a －b)2＋2ab ＋ b 22a ＝ (a ＋b) a 2 －2ab ＋ b 2＝ (a －b)2二、典型例题幂的运算法则及其逆运用例1 计算2 x3 · － x ２ ＝ ．( 3 )例 2 计算 [ a 4( a 4－4a) － ( － 3a 5) 2÷ ( a 2) 3] ÷( －2a 2 ) 2整式的混合运算例 3计算 [( a －2b)(2 a － b) －(2a ＋ b) 2＋ ( a ＋b)( a －b) － (3 a) 2 ] ÷ ( －2a) ．因式分解例 4 分解因式．3x ＋x ＋2－ ．(1) m － m ；(2)( 2)(3)＋ x4转化思想 例 5 分解因式 a 2－ 2ab ＋b 2－c 2整体思想例 6 (1) 已知 x ＋ y ＝ 7， xy ＝12，求 ( x －y) 2；(2) 已知 a ＋b ＝ ，a －b ＝ ，求 ab 的值．8 2开放型题例 7 （ 2009·吉林中考）在三个整式 x 2 2xy, y 22xy, x 2 中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分 解 .规律探究题例 8 如图 15－ 5 所示，摆第 1 个“小屋子”需要 5 枚棋子，摆第 2 个需要枚棋子，摆第 3 个需枚棋子，按这种方式摆下去，摆第 n 个这样的 “小屋子”需要枚棋子．例 9 (1) 计算． ①( a － 1)( a ＋1) ；②( a － 1)( a 2＋ a ＋ 1) ；③( a － 1)( a 3＋ a 2 ＋a ＋1) ；④( a － 1)( a 4＋ a 3 ＋a 2＋a ＋1) ．(2) 根据 (1) 中的计算，你发现了什么规律 ?用字母表示出来．(3)根据 (2) 中的结论，直接写出下题的结果．①( a － 1)( a 9＋ a 8 ＋a 7＋a 6＋ a 5＋a 4＋a 3＋a 2 ＋a ＋ 1) ＝；②若 ( a －1) ·M ＝a 15－ ，则 M ＝；1③( a － b a 5＋ a 4 b ＋ a 3b 2 ＋a 2b 3＋ab 4＋b 5 )＝；x － )( x 4＋ x 3＋ x 2＋ x ＋④(2 1)(16 1) ＝；8 4 2三、训练题一、选择题1 ．计算 ( a 3)2 的结果是( )A ． a 5B ． a 6C ．a 8D ． a 92 ．下列运算正确的是( )A ． a 2· a 3 ＝a 4B ．( －a) 4 ＝a 4C ． a 2＋ a 3 ＝a 5－xD ．( a 2) 3＝a 53 ．已知 x － y ＝－ ，则＋ 3y 的值是 ( )3 35A ． 0B ．2C ．5D ．8．若 m ＋n ＝ ，则22 － 的值为4 m ＋ mn ＋ n6( )3 24 2A ． 12B ．6C ．3D ．05．如图 15－4 所示，在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形( a ＞b ) ，把余下的部分拼成一个矩形， 根据两个图形中阴影部分的面积相等， 可以验证 ()A ． ( a ＋b) 2＝a 2＋2ab ＋ b 2B ． ( a －b) 2＝a 2－2ab ＋ b 2C ． a 2－ b 2 ＝( a ＋ b)( a － b)D ． ( a ＋2b)( a － b) ＝a 2＋ ab －2b 26 ．下列各式中，与 ( a － b) 2 一定相等的是 ( )A ． a 2＋ ab ＋b 2B ．a 2－b 22C ． a 2＋ b 2D ．a 2－ ab ＋ b 0．已知 x ＋ y ＝－ ，xy ＝ ，则 x 2＋ y 2 的值为 27( )5 6A ． 1B ．13C ．17D ．25 8 ．下列从左到右的变形是因式分解的是( )A ． ma ＋mb － c ＝ m a ＋ b － c()B ． ( a －b)( a 2＋ab ＋b 2) ＝a 3－b 3C ． a 2－ ab ＋b 2－ ＝ a a － b ＋(2b ＋1)(2 b －1)441 y ( x 4 ) yD ． x 2－ y 2＝(2 x ＋)(2－)4 25 5 59．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 ( )A ．－ a 2＋b 2B ．－ a 2－b 2C ．a 2＋b 2D ．a 3－b 310 ．如果 ( x －2)( x － 3) ＝x 2＋ px ＋q ，那么 p ，q 的值是 ()A ． p ＝－ ，q ＝6B ．p ＝ ，q ＝－651C ． p ＝ ，q ＝6D ．p ＝ ，q ＝－615二、填空题mn3m ＋ 2n ＝．11．已知 10 ＝2，10 ＝3，则 10x －y 12 ．当 x ＝ ，y ＝1时，代数式( x ＋ y)( ) ＋y 2的值是．．若 a － 3b －b ＝ ，ab ＝－ ，则(a ＋1)(1) ＝．13123．14．分解因式： 2m －8m ＝．已知 y＝ 1 x － ，那么 1 x 2－ xy ＋ y 2 － 2 的值为 ．153132316 ．计算： 5752×12－ 4252×12＝．17．若 (9 n ) 2 ＝38，那么 n ＝．k 的值为18．如果 x 2 ＋ kx ＋81是一个完全平方式，那么．219．多项式x 2＋1加上一个单项式后， 使它成为一个整式的完全平方式， ．那9么加上的单项式是．( 填一个你认为正确的即可 )20．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，222我们可以得到两数和的平方公式： （ a+b ） =a +2ab+b ．你根据图乙能得到的数学公式是 _________________三、解答题21．化简． (1)－( m －2n) ＋ 5( m ＋4n) －2( －4m － 2n) ；(2)3(2x ＋1)(2 x － 1) －4(3 x ＋2)(3 x －2) ；(3)20002－1999×2001．22 ．分解因式．22－ mn n －m ； (1)mn m － n() 4 ()(2)( x ＋ y) 2＋64－16( x ＋y) ．23．已知 a，b 是有理数，试说明 a2＋ b2－2a－4b＋8 的值是正数．24．先化简，再求值： ( a＋b)( a－b) ＋ (4 ab3－8a2 b2) ÷4ab，其中 a＝ 2， b＝ 1．25．给出三个多项式：1x2 2 x 1 ，1x24x 1，1x22x ．请选择你最喜欢222的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．26．如图15－ 6所示，有一个形如四边形的点阵，第l 层每边有两个点，第 2 层每边有三个点，第 3 层每边有四个点，以此类推．(1)填写下表；层数123456各层对应的点数所有层的总点数(2)写出第 n 层对应的点数；(3)写出 n 层的四边形点阵的总点数；(4)如果某一层共有 96 个点，你知道是第几层吗 ?(5)有没有一层点数为 100?。
第14章 整式的乘法与因式分解复习与小结(课件)-2022-2023学年人教版数学八年级上册
课堂练习
8.计算： (1)[(-2xy)3(2x2y)2-xy2(-4xy2)2]÷(-16x2y3) ; (2)x(x+1)-(x-3)(x-1) . 解:(2)x(x+1)-(x-3)(x-1) =x2+x-(x2-x-3x+3) =x2+x-(x2-4x+3) =x2+x-x2+4x-3 =5x-3.
知识梳理
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一 项，再把所得的积相加.
知识梳理
6.多项式与多项式相乘的法则: (a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个
多项式的每一项,再把所得的积相加.
推广：(a+b+c)(p+q）=ap+aq+bp+bq+cp+cq
解：2b2+(a+b)(a-b)-(a-b)2 =2b2+a2-b2-a2+2ab-b2 =2ab. 当a=-3，b=1时， 原式=2ab=2×(-3)×1=-6.
课堂练习
8.计算： (1)[(-2xy)3(x2;1)-(x-3)(2x-1) .
D.(a4)2=a6
知识梳理
4.单项式乘法法则：ac5∙bc2=(a∙b)(c5∙c2)=abc5+2=abc7 .
人教版八年级数学上册14.整式的乘除与因式分解--复习课件
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 =(a+b+2a)(a+b-2a) =(3a+b)(b-a)
(2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
5, 求(a
1 )2的值. a
(2)若x y2 2, x2 y2 1, 求xy的值.
(3)如果(m n)2 z m2 2mn n2 ,
则z应为多少?
(4)(x 3y 2z)(x 3y 2z)
(5)19992, (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b)2 a2 2ab b2;
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
探索与创新题 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36
八年级数学上册“第十四章整式的乘法与因式分解”必背知识点
八年级数学上册“第十四章整式的乘法与因式分解”必背知识点一、整式的乘法1. 单项式乘单项式：法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2. 单项式乘多项式：法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3. 多项式乘多项式：法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
二、乘法公式1. 平方差公式：公式：$(a+b)(a-b) = a^2 b^2$应用：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
2. 完全平方公式：公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$(a-b)^2 = a^2 2ab + b^2$应用：两个数的和 （或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的2倍。
三、因式分解1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。
2. 提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
3. 公式法：利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解。
注意：分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
四、十字相乘法十字相乘法主要用于二次项系数为1的二次多项式的因式分解。
方法：通过观察和尝试，将常数项分解为两个因数的乘积，并使得这两个因数与一次项系数的组合满足整式的乘法规则。
五、注意事项在进行整式乘法时，要注意系数的计算、字母的指数运算以及符号的处理。
在进行因式分解时，要注意分解的彻底性，即每一个因式都不能再进一步分解。
熟练掌握乘法公式和因式分解的方法，对于提高解题效率和准确率至关重要。
掌握这些知识点，将有助于学生更好地理解和应用整式的乘法与因式分解，提高代数运算能力和解题能力。
人教版八年级数学上册课件：14章 整式的乘法与因式分解--知识点复习 (共53张PPT)
A.(6a3+3a2)÷
1 2
a=12a2+6a
B.(6a3-4a2+2a)÷2a=3a2-2a
C.(9a7-3a3)÷(﹣
1 3
a3)=﹣27a4+9
C.( 14a2+a)÷(﹣12a)=﹣12 a-2
5.一个多项式与﹣2x2的积为﹣2x5+4x3﹣x2，则这个多项式
为
.
6.计算：⑴
(9x2y-6xy2)÷3xy;
2.已知M＝ a-1，N＝a2- a(a为任意实数)，则M，N的
大小关系为( A ) A. M＜N B. M=N C. M＞N D.不能确定
3.若x2+y2+ =2x+y，则y-x= .
3、am﹣n=am ÷ an(a≠0,m,n都
是正整数，并且m＞n).
10
知识点一：幂的运算性质
巩固练习
1.(易错题)若(1-x)1-3x＝1，则x的取值有（ C ）个.
A.0 B.1 C.2 D.3 4
2.若3x＝4，9y＝7，则3x-2y的值为 7 . 3.已知am＝3，an＝2，则a2m-n的值为 4.5 .
为( B ) A M<N
B M＞N
C M=N D.不能确定
10.计算：(1)(x+1)(x+4)； (2)(y-5)(y-6)； (3)(m-3)(m+4)
(x+p)(x+q)
18
知识点二：整式的运算
知识回顾
单项式的除法法则： 系数、同底数幂分别相除 只在被除式里含有的字母
19Βιβλιοθήκη 知识点二：整式的运算2
重点难点
重点:运用整式的乘法法则和除法法则进行运算;因式分 解. 难点:应用整式的乘法和因式分解决问题.
最新人教版初中八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》精品教案(小结复习课)
解：(1) (x-y)2-8(x2-y2)+16(x+y)2 = (x-y)2-8(x-y)(x+y)+[4(x+y)]2 = (x-y)2-2(x-y)∙4(x+y)+[4(x+y)]2 = [(x-y)-4(x+y)]2 = (-3x-5y)2 = (3x+5y)2 ;
解：(2) (x+2)(x-8)+25 =x2-8x+2x-16+25 =x2-6x+9 =x2-2∙x∙3+32 =(x-3)2 .
本题源自《教材帮》深化Fra bibliotek习 3计算：整数x，y满足方程 2xy+x+y=83，则 x+y 的值为多少？ 解析：利用因式分解将等式变形为左边是两个整式的乘积，右边是一个整 数的形式，再求出x，y的值，进而求出x+y的值.
本题的难点是如何将2xy+x+y=83进行变形并因式分解.
本题源自《教材帮》
深化练习 3
本题源自《教材帮》
深化练习 1
若：4x2+mxy+9y2是完全平方式，则m的值为多少？
解：完全平方公式是形如 a2+2ab+b2，a2-2ab+b2 的式子， 将条件中的式子进行变形. ∵4x2+mxy+9y2=(2x)2+mxy+(3y)2，且原式是完全平方式， ∴±mxy=2∙2x∙3y. ∴m=±12.
因式分解： (1) a4-16a2 ;
解：(1) a4-16a2 = a2(a2-16) = a2(a+4)(a-4) ;
(2) -2a2b2+a3b+ab3 ;