2020年陕西省高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年陕西省高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，函数的定义域为集合B，则A. B. C. D.2.已知i为虚数单位，复数，则其共轭复数的虚部为A. 2B.C. 2iD.3.已知向量，且，则的值为A. B. C. D.4.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A. B. C. D.5.甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测：甲说：获奖者在乙丙丁三人中；乙说：我不会获奖，丙获奖；丙说：甲和丁中的一人获奖；丁说：乙猜测的是对的．成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符．已知俩人获奖，则获奖的是A. 甲和丁B. 甲和丙C. 乙和丙D. 乙和丁6.设函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则A. B. 2 C. 4 D. 67.已知m，n，l是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是A. 若，，，，，则B. 若，，，，则C. 若，，，，，则D. 若，，，则8.已知函数的最小正周期为，则该函数图象A. 关于点对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于直线对称9.已知抛物线C：上一点到焦点F的距离，则A. 2B. 4C. 1D. 510.已知曲线在点处的切线方程为，则A. ，B. ，C. ，D. ，11.已知，则A. B. 3 C. D.12.已知双曲线的离心率为，点在双曲线上，则该双曲线的方程为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y满足，则的取值范围是______．14.某中学从甲乙丙3人中选1人参加全市中学男子1500米比赛，现将他们最近集训中的10次成绩单位：秒的平均数与方差制成如表的表格：甲乙丙平均数250240240方差151520根据表中数据，该中学应选参加比赛．15.如图，在中，D是边BC上一点，，，则______ ．16.如图，圆锥型容器内盛有水，水深3dm，水面直径放入一个铁球后，水恰好把铁球淹没，则该铁球的体积为______dm三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在等差数列中，已知，，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ求．18.如图，四边形ABCD是直角梯形，，，且有，，．证明：平面ABCD；若四棱锥的体积为，求四棱锥的表面积．19.将某产品投入甲、乙、丙、丁四个商场进行销售，五天后，统计了购买该产品的所有顾客的年龄情况以及甲商场这五天的销售情况如下所示：甲商场五天的销售情况销售第x天12345第x天的销量y1113121514试计算购买该产品的顾客的平均年龄；根据甲商场这五天的销售情况，求x与y的回归直线方程．参考公式：回归直线方程中，，．20.已知函数．求函数的单调区间；函数，求的解的个数．21.已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，椭圆的一个焦点为．求椭圆的方程；若M，N为椭圆上的两个动点，直线OM，ON的斜率分别为，，当时，的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由．22.平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为，曲线C的参数方程是为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；设直线l与曲线C交于A，B两点，求．23.已知函数．若，求不等式的解集．对任意的，有，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的定义域，交集的运算，属于基础题．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：，，．故选：B．2.答案：A解析：解：，，则共轭复数的虚部为2．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：【分析】本题考查向量垂直的充要条件、向量数量积的坐标运算、根据向量的坐标求长度的方法．根据便可得出，从而求出x值，进而求出的坐标，从而求出的值．【解答】解：，，，，，．故选D．4.答案：B解析：【分析】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，基本事件，考查了运算求解能力，属于基础题．先求得基本事件的总数为6，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解．解：由题意，甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个小组共有3种情形：甲、乙，丙、丁，甲、丙，乙、丁，甲、丁，乙、丙，所以分别参加两项活动有6种情况；因为乙、丙两人恰好在一起的情形只有1种：甲、丁，乙、丙，所以乙、丙两人参加同一项活动有2种情况；所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为，故选：B．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查合情推理能力，主要抓住共同点及矛盾点去探索结果．本题属中档题．本题主要抓住乙、丁的预测是一样的这一特点，则乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．先假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，可推出矛盾，故乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，再分析可得出获奖的是乙和丁．【解答】解：由题意，可知：乙、丁的预测是一样的，乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，根据乙、丁的预测，丙获奖，甲、丁中必有一人获奖；这与丙的预测不成立相矛盾．故乙、丁的预测不成立，乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，甲、丙的预测成立，丁必获奖．乙、丁的预测不成立，甲的预测成立，丙不获奖，乙获奖．从而获奖的是乙和丁．故选D．6.答案：A解析：解：是定义在R上的周期为2的奇函数，，，当时，，即，得，当时，，，故选：A．根据函数奇偶性和周期性的性质进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性和周期性的性质进行转化是解决本题的关键．解析：解：由m，n，l是三条不同的直线，，是两个不同的平面，知：在A中，若，，，，，则与相交或平行，故A错误；在B中，若，，，，则与相交或平行，故B错误；在C中，若，，，，，则与相交或平行，故C错误；在D中，若，，，则由面面平行的判定定理得，故D正确．故选：D．在A中，与相交或平行；在B中，与相交或平行；在C中，与相交或平行；在D中，由面面平行的判定定理得．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．8.答案：A解析：解：，的最小正周期为，，，，可得函数关于点对称，故A正确，B错误，，可得C错误，D错误．故选：A．由两角和的余弦函数公式可得，利用周期公式可求的值，进而根据余弦函数的图象和性质即可求解．本题主要考查了两角和的余弦函数公式，周期公式，余弦函数的图象和性质，考查了函数思想，属于基础题．9.答案：A解析：解：由抛物线的定义可知，，，，即，点在抛物线上，，由解得，或舍负，故选：A．由抛物线的定义可知，，与已知条件结合，得；把点M的坐标代入抛物线方程可得，结合即可解出p的值．本题考查抛物线的定义，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．10.答案：D解析：【分析】本题考查导数的应用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，属于基础题．求得函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程，可得，可得a，进而得到切点，代入切线方程可得b的值．【解答】解：的导数为，由在点处的切线方程为，可得，解得，故切点为，可得，即．故选D．11.答案：D解析：解：，，即，则，则，故选：D．根据同角三角函数关系求出的值，利用弦化切结合1的代换进行求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合同角三角函数关系以及1的代换，结合弦化切是解决本题的关键．12.答案：C解析：【分析】利用双曲线的离心率，以及双曲线经过的点，求解双曲线的几何量，然后得到双曲线的方程．本题考查双曲线方程的综合应用，双曲线的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．【解答】解：由题意双曲线的离心率为得，，，，，，双曲线C的方程为：．故选：C．13.答案：解析：解：不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是过和区域内的点的直线的斜率，所以最大值是过与连接的直线斜率为，最小值是过与连接的直线斜率为，所以的取值范围是首先画出平面区域，根据的几何意义求范围．本题考查了简单线性规划的问题解答，关键是正确画出平面区域以及明确目标函数的几何意义．14.答案：甲解析：解：根据题意，由图中的表格：甲的平均数高于乙和丙的平均数，而甲乙的方差小于丙的方差，则三人中甲的平均数最高且方差最小，故应该选甲参加比赛；故答案为：甲根据题意，分析可得三人中甲的平均数最高且方差最小，由平均数、方差的统计意义分析可得答案．本题考查平均数、方差的统计意义，属于基础题．15.答案：解析：解：不妨设，则．在中，由余弦定理可得：，解得．取BD的中点E，连接AE，则，．在中，由正弦定理可得：，解得．故答案为：．不妨设，则在中，由余弦定理可得：解得可得cos B，在中，由正弦定理即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、等腰三角形的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：解析：解：如图，设铁球的半径为r，则放入铁球后水深为3r，上底面半径为，此时铁球与水的体积和为．原来水的体积为，铁球的体积为，则，解得．铁球的体积．故答案为：．由题意画出截面图，设铁球的半径为r，利用体积相等求解r，则球的体积可求．本题考查圆锥与球的体积，是基础的计算题．17.答案：解：因为是等差数列，，，所以解得，则，分，，，，构成首项为，公差为9的等差数列．则分解析：Ⅰ依题意，，两式相减得，将代入一式可得，则通项公式可求．Ⅱ因为数列是等差数列，所以数列也是等差数列，且首项，公差，则其前n项和可求．本题考查了等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，等差数列的定义等，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．18.答案：解：证明：在中，，，，，，即，又，，平面ABCD．由得面ABCD，，，，，，平面PAD，，，由题意得，，中，由余弦定理得．，，，，，四棱锥的表面积．解析：推导出，，由此能证明平面ABCD．由面ABCD，四棱锥的体积为，求出，由，，得平面PAD，，，由此能求出四棱锥的表面积．本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：购买该产品的顾客的平均年龄为；，．，．与y的回归直线方程为．解析：由每一个小矩形中点的横坐标乘以频率得答案；由已知表格中的数据求得与的值，则线性回归方程可求．本题考查频率分布直方图，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：由，得，故，令，解得：，令，解得：，故函数在递减，在递增；令得，若，则，递减，而，故有1个零点，若，得时，，时，，在递增，在递减，，令，则，当时，，当时，，在递减，在递增，而，故时，，有2个零点，当时，，有1个零点，综上，时，有1个解，当时，有2个解．解析：求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间尽快；令，求出函数的导数，得到函数的最大值，通过讨论a的范围，判断函数的零点个数即的解的个数．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．21.答案：解：由题意可知，，，因此，解得，，故椭圆的方程为．设，，当直线MN的斜率存在时，设方程为，由，消y可得，，则有，即，，，所以．点O到直线MN的距离，所以．又因为，所以，化简可得，满足，代入，当直线MN的斜率不存在时，由于，考虑到OM，ON关于x轴对称，不妨设，，则点M，N的坐标分别为，，此时，综上，的面积为定值．解析：依题意，，，由此可求得，，进而得到椭圆的方程；分情况讨论，当直线MN的斜率存在时，设方程为，与椭圆方程联立，可得弦长，点O到直线MN的距离d，进而表示出面积，再根据题设条件得出结果；当直线MN的斜率不存在时，可直接求出点M，N的坐标，进而求得面积；综合即可得出结论．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中的定值问题，考查直观想象，逻辑推理以及化简求解能力，属于中档题．22.答案：解：根据，直线l的极坐标方程转换为直角坐标方程为：．曲线C的参数方程是为参数，消去参数m，转换为直角坐标方程为．直线l转换为参数方程为为参数，代入直角坐标方程为．得到：，所以：，．所以．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：当时，，因为，所以或所以，所以不等式的解集为：；因为所以，因为任意的，有，所以，即，即，，，在同一坐标系中的图象如下：所以，所以实数m的取值范围为：解析：当时，，分段解不等式．可得，任意的，有，即，令，，利用，在同一坐标系中的图象求解．本题考查了绝对值不等式的解法、性质．属于中档题．。
【附28套精选模拟试卷】陕西省榆林市2020届高考模拟第二次测试数学(文)试题及答案
陕西省榆林市2020届高考模拟第二次测试数学（文）试题及答案数学试题（文科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集为R,集合{}{}2|160|26A x x B x x =->=-<≤，则A B =IA ．()2,4-B ．(]4,6C ．()4,6-D ．()4,2--2.设复数2z i =-+（i 是虚数单位），为共轭复数z ，则()1z z +⋅等于A 5．25．52103.已知向量()()()2,1,3,2,4,a b x c x =-=-=r r r 满足()68a b c -⋅=r r r ，则x 等于 A ．4 B ．5 C ．6 D ．74.设函数(),01ln ,1x e x f x x e x e⎧≤<=⎨+≤≤⎩，在区间[]0,e 上随机取一个实数x ，则()f x 的值不小于常数e 的概率为A ．1eB ．11e -C ．1e e +D ．11e+ 5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了多少？”根据此规律，求后3天一共走了多少里A ．156里B ．84里C ．66里D ．42里6. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为A ．3115-B ．75-C ．3117-D ．2117- 7. 点P 在双曲线()222210,0x y a b -=>>的右支上，其左、右焦点分别为12,F F ，直线1PF 与以坐标原点O 为圆心，a 为半径的圆相切于点A,线段1PF 的垂直平分线恰好过点2F ，则112OF APF F S S ∆∆=A ．17B ．29C ．16D ．188.若1cos 86πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则3cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 A ．1718 B ． 1718- C ．1819 D ．1819- 9. 如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．64183+．64163+C ．96 D ．923-10. 已知函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为4π，且其图象向右平移7π个单位后得到函数()sin g x x ω=，则ϕ= A ．14π- B ．7π- C ．14π D ．7π 11.已知四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 的表面上，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥底面ABCD ，PAD ∆为正三角形，24AB AD ==,则球O 的表面积为A ．563π B ．643π C ．24π D ．803π 12.已知函数()21f x x a =-++，（1x e e ≤≤，e 是自然对数的底数）与()3ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是A ．30,4e ⎡⎤-⎣⎦B ．310,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．3312,4e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)34,e ⎡-+∞⎣第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
2020年陕西省汉中市高考数学二模试卷(文科)
2020年陕西省汉中市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合{4A =，5，7，9}，{3B =，4，7，8，9}，全集U A B =U ，则集合()U A B I ð中的元素共有( ) A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．（5分）在复平面内，复数21(1)ii +-对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）若0a b <<，则下列不等式中不成立的是( ) A ．||||a b >B ．22a b >C ．11a b> D ．11a b a>- 4．（5分）总体编号为01，02，⋯，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是( ) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481． A ．08B ．07C ．02D ．015．（5分）已知函数()cos 221f x x x =++，则下列判断错误的是( ) A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的值域为[1-，3] C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点(,0)4π-对称6．（5分）已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）设2,10()[(6)],10x x f x f f x x -⎧=⎨+<⎩…，则f （5）的值为( )A ．10B ．11C ．12D ．138．（5分）在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =u u u r u u u r，则(CD CB =u u u r u u u r g)A ．18-B ．63-C ．18D ．639．（5分）图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是()A ．12B ．13C ．41π- D ．42π-10．（5分）函数||()2sin 2x f x x =g的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．11．（5分）已知直线220(0,0)ax by a b -+=>>平分圆22:2410C x y x y ++-+=的圆周长，则12a b+的最小值为( ) A ．42B ．322+C ．4 D ．612．（5分）对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式24[]36[]450x x -+<成立的x 的范围是( ) A ．315(,)22B ．[2，8]C ．[2，8)D ．[2，7]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若双曲线2221(0)3x y a a -=>的离心率为2，则a = ．14．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A = ．15．（5分）三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，22PA =，底面ABC ∆中4BAC π∠=，边2BC =，则三棱锥P ABC -外接球的体积等于16．（5分）已知函数2()f x ax xlnx =-在1[,)e+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．设等差数列{}n a 满足39a =-，105a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最小的n 的值．18．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，且//CE AB ． （Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若1PA AB ==，3AD =，2CD =，45CDA ∠=︒，求四棱锥P ABCD -的体积．19．眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的．某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图．（1）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数； （2）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到如表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？是否做操是否近视不做操做操近视4432不近视618附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++2()P k k…0.100.050.0250.0100.005k 2.706 3.841 5.024 6.6357.879 20．如图，椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的长轴长为4，点A，B，C为椭圆上的三个点，A为椭圆的右端点，BC过中心O，且||2||BC AB=，3ABCS∆=．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P，Q是椭圆上位于直线AC同侧的两个动点（异于A，)C，且满足PBC QBA∠=∠，试讨论直线BP与直线BQ斜率之间的关系，并求证直线PQ的斜率为定值．21．已知函数3211()(,)32af x x x bx a a b R+=-++∈，且其导函数()f x'的图象过原点．（1）若存在0x<，使得()9f x'=-，求a的最大值；（2）当0a>时，求函数()f x的极值．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]。
2020年陕西西安高三二模数学试卷(文科)
，为检验该公司的产品质量，
用分层抽样的方法抽取一个容量为 的样本，若样本中 种型号的轿车比 种型号的轿车少 辆，则
（ ）．
A.
B.
C.
D.
5.
年某省新高考将实行“
”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政
治、地理、化学、生物四选三，共有 种选课模式．某同学已选了物理，记事件 ：“他选择政治和地
的距离之和的最小值为 的距离和的最小值是
， ，
10. B 解析: 由题意知，
所以 取最小值 ．
故选 ．
的图象向左平移 （
）个单位得到函数
的图象，
，当
时，
11. D
解析:
曲线
在点
处切线方程为
，
∴
，
，
∴
，
解得
，
．
故选 ．
12. D 解析: 设双曲线的左焦点为 ，由双曲线的对称性可知四边形
为平行四边形，
∴
，
则原点到直线 的距离
，
由弦长公式可得
将
代入椭圆方程
由判别式
由直线和圆相交的条件可得
，
，得
，解得
，即
，也即
综上可得 的取值范围是
设
，
，
则
，
由弦长公式，得
． ，
， ，
，
．
由
，
∵
，
∴
，
则当
时， 取得最小值 ，
此时直线 的方程为
．
22.（ 1 ）直线 的极坐标方程为
曲线 的直角坐标方程为
（2）
．
解析:
（1） 由直线 的参数方程为
陕西省铜川市高考数学二模试卷(文科)和答案
2020年陕西省铜川市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝A，则a 的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2} 2．（5分）已知复数z满足zi＝2+i，i是虚数单位，则|z|＝（）A．B．C．2D．3．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S6：S3＝1：2，则S9：S3＝（）A．1：2B．2：3C．3：4D．1：3 4．（5分）已知m∈R，“函数y＝2x+m﹣1有零点”是“函数y＝log m x 在（0，+∞）上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且＝2.347x﹣6.423；②y与x负相关且＝﹣3.476x+5.648；③y与x正相关且＝5.437x+8.493；④y与x正相关且＝﹣4.326x﹣4.578．其中一定不正确的结论的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④6．（5分）已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若l⊥m，l⊥n，且m，n⊂α，则l⊥αB．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥βC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥n，n⊥α，则m⊥α7．（5分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，则直线y＝k（x﹣2）与圆x2+y2＝1有两个不同公共点的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知其中，，x∈R．则f（x）的单调递减区间是（）A．B．C．D．9．（5分）函数y＝（0＜a＜1）的图象的大致形状是（）A．B．C．D．10．（5分）抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2﹣＝1的一条渐近线的距离是，则双曲线的虚轴长是（）A．B．2C．3D．611．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝1，PA＝，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．5πB．C．20πD．4π12．（5分）已知函数（a＞0且a≠1），若函数f（x）的图象上有且仅有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，3）C．（0，1）∪（3，+∞）D．（0，1）∪（1，3）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）如图所示，在梯形ABCD中，∠A＝，，BC＝2，，点E为AB的中点，则＝．14．（5分）曲线上一动点P（x0，f（x0））处的切线斜率的最小值为．15．（5分）已知两圆x2+y2＝10和（x﹣1）2+（y﹣a）2＝20相交于A、B两个不同的点，且直线AB与直线3x﹣y+1＝0垂直，则实数a＝．16．（5分）从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．（12分）在△ABC中，（Ⅰ）求AB的值；（Ⅱ）求的值．18．（12分）今年5月，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估，将各连锁店的评估分数按[60，70]，[70，80]，[80，90]，[90，100]分成4组，其频率分布直方图如图所示，集团公司还依据评估得分，将这些连锁店划分为A、B、C、D四个等级，等级评定标准如表所示：评估得分[60，70][70，80][80，90][90，100]评定等级D C B A （Ⅰ）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；（Ⅱ）从评估分数不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家A等级的概率．19．（12分）如图，△ABC为边长为2的正三角形，AE∥CD，且AE⊥平面ABC，2AE＝CD＝2．（1）求证：平面BDE⊥平面BCD；（2）求三棱锥D﹣BCE的高．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l平行于OM，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在y轴上的截距m的取值范围．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），其中．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+4＝0．（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C2与C1交于两点，记点A，B相应的参数分别为t1，t2，当t1+t2＝0时，求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．函数f（x）＝+2．（Ⅰ）求f（x）的值域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）﹣m＜0有解，求证：3m+＞7．2020年陕西省铜川市高考数学二模试卷（文科）答案与解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．【分析】由A ∩B ＝A ，得A ⊆B ，由集合A ＝{x|1＜x ＜2}，B ＝{x|x＜a}，即可得出结论．【解答】解：∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ．∵集合A ＝{x|1＜x ＜2}，B ＝{x|x ＜a}，∴a ≥2故选：D ．2．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算．【解答】解：由zi ＝2+i ，得，∴|z|＝， 故选：D ．3．【分析】本题考查的知识点是性质，即若{a n }等比数列，则S m ，S 2m﹣m ，S 3m ﹣2m ，…也成等比数列，则由S 6：S 3＝1：2，则S 6﹣S 3：S 3＝﹣1：2，则S 9﹣S 6：S 6﹣S 3＝﹣1：2，由此不难求出S 9：S 3的值．【解答】解：∵{a n }为等比数列则S3，S6﹣S3，S9﹣S6也成等比数列由S6：S3＝1：2令S3＝x则S6＝x则S3：S6﹣S3＝S6﹣S3：S9﹣S6＝﹣1：2则S9﹣S6＝x则S9＝则S9：S3＝：x＝3：4故选：C．4．【分析】根据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数y＝f（x）＝2x+m﹣1有零点，则f（0）＝1+m ﹣1＝m＜1，当m≤0时，函数y＝log m x在（0，+∞）上为减函数不成立，即充分性不成立，若y＝log m x在（0，+∞）上为减函数，则0＜m＜1，此时函数y ＝2x+m﹣1有零点成立，即必要性成立，故“函数y＝2x+m﹣1有零点”是“函数y＝log m x在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件，故选：B．5．【分析】由题意，可根据回归方程的一次项系数的正负与正相关或负相关的对应对四个结论作出判断，得出一定不正确的结论来，从而选出正确选项．【解答】解：①y与x负相关且＝2.347x﹣6.423；此结论误，由线性回归方程知，此两变量的关系是正相关；②y与x负相关且；此结论正确，线性回归方程符合负相关的特征；③y与x正相关且；此结论正确，线性回归方程符合正相关的特征；④y与x正相关且．此结论不正确，线性回归方程符合负相关的特征．综上判断知，①④是一定不正确的故选：D．6．【分析】根据线面垂直的判定定理判断A是否正确；借助图象，根据三点是否在平面的同侧来判断B是否正确；根据直线在平面内的情况，来判断C是否正确；根据平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，来判断D是否正确．【解答】解：A、若m∥n时，l与α不一定垂直，故A错误；B、若三点不在平面β的同侧，则α与β相交，故B错误；C、m⊥α，m⊥n，有可能n⊂α，故C错误；D、根据平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于平面，故D正确．故选：D．7．【分析】求出圆心到直线的距离，根据直线与圆有两个不同的公共点列不等式求出k的取值范围，再计算所求的概率．【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心为（0，0），圆心到直线y＝k（x﹣2）的距离为；要使直线y＝k（x﹣2）与圆x2+y2＝1有两个不同公共点，则＜1，解得﹣≤k≤；∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y＝k（x﹣2）与圆x2+y2＝1有公共点的概率为P＝＝．故选：D．8．【分析】先利用平面向量数量积表示出函数f（x），再结合余弦的二倍角公式和辅助角公式对f（x）进行化简，最后根据余弦函数的单调性求解即可．【解答】解：＝2cosx•cosx﹣sin2x＝，令，则，故选：C．9．【分析】分x＞0与x＜0两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状．【解答】解：当x＞0时，|x|＝x，此时y＝a x（0＜a＜1）；当x＜0时，|x|＝﹣x，此时y＝﹣a x（0＜a＜1），则函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是：，故选：D．10．【分析】先确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标，再由题中条件求出双曲线的渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点在x轴上，且p＝2，∴抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0），由题得：双曲线双曲线x2﹣＝1的渐近线方程为bx±y＝0，∴抛物线的焦点到渐近线的距离d＝＝，解得b＝，∴则双曲线的虚轴长是2b＝2，故选：B．11．【分析】根据题意，证出BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P﹣ABC 的外接球直径．利用勾股定理结合题中数据算出PB＝，得外接球半径R＝，从而得到所求外接球的表面积【解答】解：PA⊥平面ABC，AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径；∵Rt△PBA中，AB＝，PA＝∴PB＝，可得外接球半径R＝PB＝∴外接球的表面积S＝4πR2＝5π故选：A．12．【分析】由题意，0＜a＜1时，显然成立；a＞1时，f（x）＝log a x 关于y轴的对称函数为f（x）＝log a（﹣x），则log a3＞1，即可得到结论．【解答】解：由题意，0＜a＜1时，显然成立；a＞1时，f（x）＝log a x关于y轴的对称函数为f（x）＝log a（﹣x），则log a3＞1，∴1＜a＜3，综上所述，a的取值范围是（0，1）∪（1，3），故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．【分析】以B为原点，BC为x轴，AB为y轴建系，求出相关点的坐标，求出向量即可求解数量积．【解答】解：以B为原点，BC为x轴，AB为y轴建系，C（2，0），，B（0，0），，∴，，所以．故答案为：﹣2．14．【分析】斜率即为切点处的导数，所以问题转化为求导数的最小值问题．【解答】解：，∵x＞0∴．（当且仅当时取等号）．故答案为：15．【分析】由题意，两圆相减可得2x+2ay﹣a2+9＝0，利用直线AB 与直线3x﹣y+1＝0垂直，可得﹣×3＝﹣1，即可求出a的值．【解答】解：由题意，两圆相减可得2x+2ay﹣a2+9＝0，∵直线AB与直线3x﹣y+1＝0垂直，∴﹣×3＝﹣1，∴a＝3，故答案为3．16．【分析】设开始的浓度为1，操作1次后的浓度为a1＝1﹣，操作n次后的浓度为a n，则a n+1＝a n（1﹣），利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设开始的浓度为1，操作1次后的浓度为a1＝1﹣，操作n次后的浓度为a n，则a n+1＝a n（1﹣），∴数列{a n}构成a1＝1﹣为首项，q＝1﹣为公比的等比数列，∴a n＝（1﹣）n，即第n次操作后溶液的浓度为（1﹣）n；当a＝2时，可得a n＝（1﹣）n＝，由a n＝（）n＜，解得n＞4．∴至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%．故答案为：4．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简可得AB的值．（Ⅱ）利用余弦定理求解cosA，在求解sinA，和与差公式打开即可求的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，根据正弦定理，于是AB＝（Ⅱ）在△ABC中，根据余弦定理，得cosA＝＝．于是sinA＝＝从而sin2A＝2sinAcosA＝，则cos2A＝cos2A﹣sin2A＝，故得＝sin2Acos﹣cos2Asin＝．18．【分析】（Ⅰ）根据最高小矩形下底边的中点值为得出众数是多少，根据直方图中各小矩形的面积及底边中点值求出数据的平均数；（Ⅱ）求出A、B等级的频数是多少，利用古典概型求出至少选一家A等级的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵最高小矩形下底边的中点值为75，∴估计评估得分的众数为75；∵直方图中从左至右第一、三、四个小矩形的面积分别为0.28、0.16、0.08，∴第二个小矩形的面积为1﹣0.28﹣0.16﹣0.08＝0.48；∴＝65×0.28+75×0.48+85×0.16+95×0.08＝18.2+36+13.6+7.6＝75.4，即估计该商业集团各连锁店评估得分的平均数为75.4；（Ⅱ）∵A等级的频数为25×0.08＝2，B等级的频数为25×0.16＝4，∴从6家连锁店中任选2家，共有＝15种选法，其中选1家A等级和1家B等级的选法有2×4＝8种，选2家A等级的选法有1种；∴P＝＝，即至少选一家A等级的概率是．19．【分析】（1）取BD边的中点F，BC的中点为G，连接AG，FG，EF，证明AG∥EF，由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，即可证明平面BDE⊥平面BCD；（2）利用等体积方法，即可求三棱锥D﹣BCE的高．【解答】（1）证明：取BD边的中点F，BC的中点为G，连接AG，FG，EF，由题意可知，FG是△BCD的中位线所以FG∥AE且FG＝AE，即四边形AEFG为平行四边形，所以AG∥EF由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，又EF⊂面BDE，故平面BDE⊥平面BCD；（2）解：过B做BK⊥AC，垂足为K，因为AE⊥平面ABC，所以BK⊥平面ACDE，且所以V四棱锥B﹣ACDE＝×V三棱锥E﹣ABC＝所以V三棱锥D﹣BCE＝V四棱锥B﹣ACDE﹣V三棱锥E﹣ABC＝因为AB＝AC＝2，AE＝1，所以，又BC＝2所以设所求的高为h，则由等体积法得＝所以．20．【分析】（1）由椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设l的方程为y＝x+m，再与椭圆方程联立，将∠AOB为钝角，转化为＜0，且m≠0，利用韦达定理，即可求出直线l 在y轴上的截距m的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上．∴，解得a＝2，b＝，c＝，∴椭圆C的方程为＝1．（2）由直线l平行于OM，得直线l的斜率k＝k OM＝，又l在y轴上的截距为m，∴l的方程为y＝．由，得x2+2mx+2m2﹣4＝0．又直线l与椭圆交于A、B两个不同点，△＝（2m）2﹣4（2m2﹣4）＞0，于是﹣2＜m＜2．∠AOB为钝角等价于＜0，且m≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝x1x2+y1y2＝＝，由韦达定理x1+x2＝﹣2m，x1x2＝2m2﹣4，代入上式，化简整理得m2＜2，即，故所求范围是（﹣）∪（0，）．21．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域为（0，+∞），，通过解，判断导函数的符号，求解函数f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）．（Ⅱ）不等式等价于，由（Ⅰ）f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（x）max＝f（1）＝2，推出f （x）≤2，令，利用导函数的单调性以及最值推出，证明结论即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），则，解得，所以f（x）＝lnx﹣x2+x+2．此时，，由f'（x）＞0得0＜x＜1，f'（x）＜0得x＞1，所以函数f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）．（Ⅱ）证明：不等式等价于，由（Ⅰ）f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（x）max＝f（1）＝2，所以f（x）≤2①，令，所以g'（x）＝e x﹣x﹣1，（g'（x））′＝e x﹣1，所以，当x＞0时，（g'（x））′＞0，所以g'（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g'（x）＞g'（0）＝0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）＞g（0）＝0，即，因为x＞0，所以，所以，x＞0时，．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．【分析】（1）直接把参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程．（2）利用直线和曲线的位置关系，建立等量关系式，利用中点坐标和垂径定理求出结果．【解答】解：（1）线C1的参数方程为（t为参数），所以：C1的普通方程：y＝（x﹣2）tanα+1，其中；曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+4＝0．所以：C2的直角坐标方程：（x﹣3）2+y2＝5．（2）由题知直线恒过定点P（2，1），又t1+t2＝0，由参数方程的几何意义知P是线段AB的中点，曲线C 2是以C2（3，0）为圆心，半径的圆，且．由垂径定理知：．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【分析】（I）由f（x）＝+2＝|x﹣1|+2|x﹣2|，分类讨论取绝对值，然后根据分段函数的性质可求值域（II）若关于x的不等式f（x）﹣m＜0有解，故只需m＞f（x）的最小值，可求m的范围，然后结合基本不等式即可证【解答】解：∵f（x）＝+2＝|x﹣1|+2|x﹣2|（I）当x≥2时，f（x）＝3x﹣5≥1；当1＜x＜2时，f（x）＝3﹣x，1＜f（x）＜2，当x≤1时，f（x）＝5﹣3x≥2综上可得，函数的值域为[1，+∞）（II）证明：若关于x的不等式f（x）﹣m＜0有解，∴f（x）＜m有解，故只需m＞f（x）的最小值，即m＞1∴3m+＝3（m﹣1）++3≥。
2020年陕西高三二模数学试卷(文科)
2020年陕西高三二模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.已知复数（其中为虚数单位），则（ ）．A. B. C. D.3.近几年，在国家大力支持和引导下，中国遥感卫星在社会生产和生活各领域的应用范围不断扩大，中国人民用遥感卫星系统研制工作取得了显著成绩，逐步形成了气象．海洋、陆地资源和科学试验等遥感卫星系统．如图是年中国卫星导航与位置服务产业总体产值规模（万亿）及增速（）的统计图，则下列结论中错误的是（ ）．年年年年年年年年年年年年中国卫星导航与位置服务产业产值规模（亿元）增速A.年中国卫星导航与位置服务产业总体产值规模达到亿元，较年增长B.若年中国卫星导航与位置服务产业总体产值规模保持年的增速，总体产值规模将达亿元C.年中国卫星导航与位置服务产业总体产值规模逐年增加，但不与时间成正相关D.年中国卫星导航与位置服务产业总体产值规模的增速中有些与时间成负相关4.曲线在点处的切线的斜率等于（ ）．A.D.5.“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：“”和“”，其中“”在二进制中记作“”，“”在二进制中记作“”．例如二进制数化为十进制的计算如下：，若从两类符号中任取个符号进行排列，则得到的二进制数所对应的十进制数大于的概率为（ ）．A.B.C.D.6.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则命题：的一个充分条件是（ ）．A.：，，B.：，，C.：，，D.：，，7.若，，则（ ）．A.B.C.D.或8.设函数，对，的最大值为将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，函数的图象的一条对称轴是，则的最小值为（ ）．A.B.．9.已知函数是定义在上的偶函数，且对，（）都有．记，，，则（ ）．A.B.C.D.10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，则的取值范围是（ ）．A.B.C.D.11.定义：表示的解集中整数解的个数．若，，，则实数的取值范围是（ ）．A.B.C.D.12.已知抛物线（），从点（）发出，平行于轴的光线与交于点，经反射后过的焦点，交抛物线于点，若反射光线的倾斜角为，，则的重心坐标为（ ）．A.B.C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知实数，满足约束条年，则的最小值是 ．14.已知，，若，则．15.在中，内角，，对应的边分别为，，，且，，边上的高为，则的最大值为 ．16.如图所示的平面多边形中，四边形是边长为的正方形，外侧的个三角形均为正三角形，若沿正方形的条边将三角形折起，使顶点，，，，重合记为点，得到四棱锥，则此四棱锥的外接球的表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.已知数列的前项和为，且，．判断数列是否是等比数列，并求出数列的通项公式．设，求数列的前项和．18.为增强学生法治观念，营造”学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了”宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛．现从全校学生中随机抽取人，统计他们的竞赛成绩，并得到如表所示的频数分布表．分数段人数（1）（2）（3）求频数分布表中的的值，并估计这名学生竞赛成绩的中位数(精确到)．将成绩在内定义为“合格”，成绩在内定义为“不合格”，请将列联表补充完整．合格不合格合计高一新生非高一新生合计试问：是否有的把握认为 “法律知识的掌握合格情况”与 “是否是高一新生”有关？说明你的理由．在（）的前提下，在该人中，按“合格与否”进行分层抽样，随机抽取人，再从这人中随机抽取人，求恰好人都合格的概率．附，，．（1）（2）19.如图，在四棱锥中，是等边三角形，点是上的一点，平面平面，，，，，．若点是的中点，求证：平面平面．若，求．（1）（2）20.已知函数．若函数在上是减函数，求实数的取值范围．当时，求证：对任意，函数的图象均在轴上方．21.已知点为坐标原点，椭圆过点，其上顶点为，右顶点和右焦点分别为，，且．【答案】解析:因为集合，所以．故选．解析:∵，∴．故选．（1）（2）求椭圆的标准方程．直线交椭圆于，两点(异于点)，，试判定直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程．若射线与直线和曲线分别交于，两点，求的值．（1）（2）23.设函数的最小值为．求的值．若，求证：．A 1.B 2.C 3.B4.解析:由已知得，令，则，解得，所以，所以曲线在点处的切线斜率．故选．解析:根据题意，不同符号可分为三类：第一类：由两个“”组成，其二进制为；第二类：由两个“”组成，其二进制为；第三类：由一个“”和一个“”组成，其二进制为，，所以从两类符号中任取个符号排列，则组成不同的十进制数为，，，，则得到的二进制数所对应的十进制数大于的概率．故选．解析:若的充分条件是，则需要满足．．，，，故，所以满足，故正确；．由命题可得，，故错误；．由命题可得，的位置关系是平行或相交或异面，，故错误；．由命题可得，的位置关系是平行或相交或异面，，故错误．故选．解析:因为，所以，D 5.A 6.C 7.因为，所以，又因为，所以，所以，所以．故选．解析:因为对，的最大值为，所以，函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，因为所得函数图象的一条对称轴是，所以，即，解得，又因为，所以的最小值为，故选．解析:当时，，由题意可得，即；当时，，可得，即，令函数，C 8.D 9.则函数在上单调递减，且函数是偶函数，又，，，且函数在上单调递减，∴．故选．解析:设，，，则由余弦定理得，又，则，解得，所以，因为，所以，，，所以，所以的取值范围是．故选．解析:根据题意，可转化为满足的整数解的个数．当时，数形结合可得的解集中整数解的个数有无数个；当时，，由，解得或，在内有个整数解，B 10.B 11.即，所以不符合题意；当时，作出函数和的大致图象，如图所示，若，即的整数解只有一个，只需满足即，解得，所以当时，实数的取值范围是．故选．解析:如图所示，过点作，垂足为点，因为，反射光线的倾斜角为，所以，，C 12.可得：，，即点，，将点代入中，得，解得或（舍去），所以抛物线的方程为，直线的方程为，设点，，联立，消去得，显然，故，又因为，所以，设的重心坐标为，所以，，所以的重心坐标为，故选．13.解析:作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由，可得，作出直线，平移直线，由图形可知，当直线经过点时，直线在轴上截距最小，此时取得最小值．由，解得，可得，所以，所以的最小值为．故答案为：．14.解析:由已知得，则，解得，所以，故．15.解析:因为，所以由正弦定理得，所以，所以，因为，所以当时，（1）取得最大值为．解析:由题意将个三角形折起得到如图所示的四棱锥，连接，，设，根据题意可得，平面，设点为四棱锥的外接球的球心，为外接球的半径，则点在上，且，如图所示，因为四边形是边长为的正方形，所以，，，所以点，重合，即四棱锥的外接球的半径，所以四棱锥的外接球的表面积．故答案为：．解析:数列不是等比数列，由可知，当时，，两式相减得，即，16.（1）不是，．（2）．17.（2）（1）（2）（3）所以，由得，当时，，，所以数列是从第项起，以为公比的等比数列，所以．由（）知，所以．解析:，设成绩的中位数为，则，解得．补全列联表如下所示：合格不合格合计高一新生非高一新生合计．所以有的把握认为“法律知识的掌握合格情况”与“是否是高一新生”有关．分层抽样的比例为，故抽取的人中成绩合格的有 （人），分别记为，，，成绩不合格的有（人），分别记为，，从人中随机抽取人的基本事件有，，，，，，，，，，共种，（1），．（2）有的把握认为“法律知识的掌握合格情况”与“是否是高一新生”有关，证明见解析．（3）．18.（1）（2）人都合格的基本事件有，，，共种，所以恰好人都合格的概率．解析:如图，取的中点，连接：因为，点是的中点，所以，因为，，，所以，所以，因为是等边三角形，点是的中点，所以，因为平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面．因为，，，，所以，则，解得，，点为的中点，（1）证明见解析．（2）．19.（1）（2）因为是等边三角形，所以的高，因为，所以．解析:根据题意，得，因为函数在上是减函数，所以在上恒成立，即恒成立，故只需，令函数，则，当时，，所以函数在上单调递增，所以，所以，解得，所以实数的取值范围是．当时，函数，则，令函数，则，因为，所以函数在上单调递增，又因为，，所以存在，四边形（1）．（2）证明见解析．20.（1）（2）使，可得，所以对任意，，即，函数在上单调递减；对任意，，即，函数在上单调递增，所以，要证函数的图象均在轴上方，只需证，即当时，恒成立，即在上恒成立，因为当时，函数是减函数，所以，则，解得，所以当时，对任意，函数的图象均在轴上方．解析:因为椭圆过点，所以①，又因为，所以，因为，所以②，把②代入①中，解得，，∴椭圆的标准方程为．当直线与轴垂直时，设的方程为，点，，，因为，（1）．（2）过定点，．21.（1）所以，此时直线过椭圆的右顶点，与已知直线交椭圆于，两点矛盾；当直线与轴不垂直时，设的方程为，点，，联立得，则，由韦达定理得，，所以，又因为，所以，，所以存在，使成立，此时直线的方程为，即，所以直线过定点．解析:由得，将（为参数）消去参数，得直线的普通方程为，由得，将，代入上式，得，（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为．（2）．22.（2）（1）（2）所以曲线的直角坐标方程为．由（）可知直线的普通方程为，化为极坐标方程得，当时，设，两点的极坐标分别为，，则，，所以．解析:由可得，则．∵，∴．由（）可知，∴，（当且仅当时等号成立），∴，故．（1）．（2）证明见解析．23.。
陕西省2020届高三数学(文)下学期第二次质量检测试题(解析版)
2020年高三第二次教学质量检测文科数学一､选择题1.定义，若，则（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题中的新定义,找出属于不属于的元素.即可确定出 .【详解】解:集合 .故选C【点睛】此题考查了补集及其运算,属于新定义题型,弄清题中“差集”的新定义是解本题的关键.2.已知是虚数单位，复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以复数的虚部为，故选B.3.函数的一个零点所在的区间是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出根据零点存在性定理得解.【详解】由题得，，所以所以函数的一个零点所在的区间是 .故选B【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.4.空气质量指数(简称：AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI大小分为六级：为优，为良，为轻度污染，为中度污染，为重度污染，为严重污染.下面记录了北京市天的空气质量指数，根据图表，下列结论错误的是( )A. 在北京这天的空气质量中，按平均数来考查，最后天的空气质量优于最前面天的空气质量B. 在北京这天的空气质量中，有天达到污染程度C. 在北京这天的空气质量中，月日空气质量最差D. 在北京这天的空气质量中，达到空气质量优的天数有天【答案】D【解析】【分析】由频率分布折线图逐一对四个选项分析即可得出.【详解】因为，，，，所以在北京这天的空气质量中，按平均数来考察，最后天的空气质量优于最前面天的空气质量，即选项A正确；AQI不低于的数据有个：，，，所以在北京这天的空气质量中，有天达到污染程度，即选项B正确；因为月日的AQI为，为重度污染，该天的空气质量最差，即选项C正确；AQI在的数据有个：，，，，，，即达到空气质量优的天数有天，所以选项D 错.故选：D.【点睛】本题考查频率分布折线图的应用，属于基础题.5.已知向量，满足，，且，则向量与的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平方运算可求得，利用求得结果.【详解】由题意可知：，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.6.已知数列的前项和为，，，则（）A. 39B. 45C. 50D. .55【答案】C【解析】【分析】对已知等式变形得数列数列是等差数列，从而求得，得出结论．【详解】∵ ，∴ ，∴ ，即，∴数列是等差数列，公差为1，首项为，∴ ，．，，∴ ．故选：C．【点睛】本题考查数列的递推式，考查等差数列的通项公式和数列的前项和定义．解题关键是已知变形得出数列是等差数列．7.已知圆和关于直线对称，若圆的方程是，则圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题首先可以通过圆的方程得出圆的圆心，然后通过圆和关于直线对称得出圆的圆心坐标，最后得出圆的方程．【详解】由圆的方程是，得圆心坐标为，半径为，设点关于的对称点为，则，解得．所以圆的圆心坐标为，则圆的方程是，故选D．【点睛】本题考查的是圆的相关性质，主要考查圆关于直线的对称圆方程，圆与对称圆的圆心关于直线对称，半径相同，由此即可通过计算出对称圆的圆心来推断出对称圆方程．8.已知函数图象如图所示，则该函数可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由图象关于原点对称知函数为奇函数，A、C中函数为偶函数排除，B、D选项中函数为奇函数，再根据函数的单调性确定可能的函数.【详解】由图象可知，该图象关于原点对称，故函数为奇函数.A选项，，且定义域，∴该函数为偶函数，不符合题意，A错误.B选项，，且定义域为，∴该函数为奇函数.易知当时，；当时，；当时，，符合题意，B正确.C选项，，且定义域为，∴该函数为偶函数，不符合题意，C错误.D选项，，且定义域，∴该函数为奇函数.易知当时，；当时，，不符合题意，D错误.故选：B.【点睛】本题考查函数图象的辨析，考查函数的基本性质，涉及三角函数的单调性，属于中档题.9.2019年底，武汉突发新冠肺炎疫情，2020年初开始蔓延.党中央､国务院面对“突发灾难”果断采取措施，举国上下，万众一心支援武汉，全国各地医疗队陆续增援湖北，纷纷投身疫情防控与救治病人之中.为了分担“抗疫英雄”的后顾之忧，某校教师志愿者开展“爱心辅导”活动，为抗疫前线医务工作者子女开展在线辅导.春节期间随机安排甲､乙两位志愿者为一位初中生辅导功课共3次，每位志愿者至少辅导1次，每一次只有1位志愿者辅导，到甲恰好辅导两次的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】用列举法列出所有基本事件，然后计数可得概率．【详解】由题意辅导三次的所有基本事件为：甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲，甲乙乙，乙甲乙，乙乙甲共6个，其中甲恰好辅导两次的有甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲共3个，∴所求概率为．故选：D．【点睛】本题考查古典概型，解题方法是列举法，即用列举法写出所有基本事件，然后分别计数后计算概率．10.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．其中正确的个数为( )个A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由题可先画出正方体,再利用空间中判断线线夹角的一般方法逐个选项判断即可.【详解】还原正方体,以正方形为底面有对①,因为∥ ,且有 ,故①正确.对②,因为∥ ,所以②错误.对③,由图可得显然正确.对④, ,故④错误.故选B【点睛】本题主要考查空间中线面的位置关系与夹角,一般利用平行将线段移至相交位置分析夹角.11.我国古代《周髀算经》中记载，古人通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图，一位渔民在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一来记录捕鱼条数.由图可知，这位渔民共捕鱼（）条.A. 39B. 64C. 11D. 224【答案】B【解析】【分析】根据满五进一来记录捕鱼条数的规律，这相当于五进制数，化为十进制即可．【详解】由题意所记录的数相当于五进制数，∴这位渔民共捕鱼条数为．故选：B．【点睛】本题考查进制数之间的认识与转化，读懂题意是解题关键．12.已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】引入新函数，求导后确定的单调性，由单调性解不等式．【详解】设，则，∵ 且，∴ ，∴ 在上单调递减，不等式可化为，即，∴ ，∴ ．故选：D．【点睛】本题考查用单调性解函数不等式，解题关键是引入新函数，然后利用已知条件确定单调性后求解不等式．二､填空题13.某校高一（1）班有学生36人，高一（2）班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出13人参加军训表演，则高一（2）班被抽出的人数是__________. 【答案】7【解析】根据分层抽样的定义得到故答案为7.14.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m.【答案】【解析】试题分析:由题设可知在中, ,由此可得 ,由正弦定理可得 ,解之得 ,又因为 ,所以 ,应填 .考点：正弦定理及运用．15.已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则 ______.【答案】2【解析】【分析】求出导函数，利用可求得．【详解】由已知，∵曲线在处的切线与直线平行，∴ ，．故答案为：2．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线平行的条件，掌握导数几何意义是解题基础．16.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，则该六边形点阵的第6层共有______个点.如果一个六边形点阵共有169个点，则它共有______层.【答案】 (1). 30个 (2). 8层【解析】【分析】观察图形，归纳出每层点数之间的递推关系，从而得出每层点数所成数列的通项公式．【详解】记第层点数为，则，，，时，，∴数列从第2项开始成等差数列，，即，∴ ，由得（舍去）．即题中六边形点阵有8层．故答案为：30；8．【点睛】本题考查归纳推理，解题关键是寻找规律，本题可以看作是数列模型应用，即以每层点数作为一个数列的项，形成一个数列，然后归纳出数列项的规律，利用数列知识得出结论．三､解答题17.如图，在直三棱柱中，，分别是棱，的中点，点在棱上，且，， .（1）求证：平面；（2）当时，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）连接交于点，由重心性质可得，由相似可得，最后根据线面平行判定定理得结论（2）取上一点使，利用平行进行等体积代换，最后根据锥体体积公式求体积试题解析：解：（1）(法一)连接交于点，连接由分别是棱中点，故点为的重心在中，有，又平面平面（法二）取的中点，连接由是棱的中点，为的中点，为的中位线，即平面又为棱的中点，为的中点由，由，且为直三棱柱，进而得，即平面又平面平面又平面平面(2)取上一点使∵ 且直三棱柱∴ ，∵ 为中点∴ , , 平面∴而 ,点到平面的距离等于∴∴三棱锥的体积为18.已知函数，若的图象上相邻两条对称轴的距离为，图象过点 .（1）求的表达式和的递增区间；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象.若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围.【答案】（1），的递增区间为， .（2）【解析】【分析】（1）由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数，相邻两条对称轴的距离为，可得周期，从而得，再代入坐标得；（2）由三角函数图象变换得，题意转化为的图象与直线在上只有一个公共点，结合函数图象易得结论．【详解】（1），的最小正周期为，∴ .∵ 的图象过点，∴ ，∴ ，即 .令，，，，故的递增区间为， .（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象.∵ ，∴ ，∴ ，故在区间上的值域为 .若函数在区间上有且只有一个零点，即函数的图象和直线只有一个公共点，如图，根据图象可知，或，即 .故实数的取值范围是 .【点睛】本题考查由三角函数的性质求解析式，考查三角函数的单调性，考查函数的零点个数问题，掌握正弦函数的图象与性质是解题关键．函数零点个数问题常常转化为函数图象与直线交点个数，利用数形结合思想求解．19.随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某公司随即抽取人对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的人中的性别以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：男女总计认为共享产品对生活有益认为共享产品对生活无益总计（1）根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系？（2）现按照分层抽样从认为共享产品增多对生活无益的人员中随机抽取人，再从人中随机抽取人赠送超市购物券作为答谢，求恰有人是女性的概率.参与公式：临界值表：【答案】(1) 可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系(2)【解析】试题分析：（1）根据题中数据，利用参考公式计算的观测值，对应查表下结论即可；（2）从认为共享产品增多对生活无益的女性中抽取4人，记为，从认为共享产品增多对生活无益的男性中抽取2人，记为，写出所有的基本事件，即可得到恰有1人是女性的概率.试题解析：（1）依题意，在本次的实验中，的观测值，故可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系；（2）依题意，应该从认为共享产品增多对生活无益的女性中抽取4人，记为，从认为共享产品增多对生活无益的男性中抽取2人，记为，从以上6人中随机抽取2人，所有的情况为：，共15种，其中满足条件的为共8种情况，故所求概率．20.已知点在椭圆：上，且点到的左、右焦点的距离之和为 .（1）求的方程；（2）设为坐标原点，若的弦的中点在线段（不含端点，）上，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义和椭圆上点的坐标，求得椭圆的标准方程.（2）设出的坐标，求得中点的坐标，由的斜率得到，利用点差法求得的斜率，设出直线的方程并代入椭圆方程，写出判别式以及韦达定理，利用平面向量的坐标运算，化简求得的取值范围.【详解】（1）由条件知，，所以，，∴椭圆方程为 .（2）设点、的坐标为，，则中点在线段上，且，∴ ，又，，两式相减得，易知，，所以，即 .设方程为，代入并整理得 .由解得，又由，∴ .由韦达定理得，，故.而，所以的取值范围是 .【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查点差法，考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题.21.函数的图象关于原点对称，函数分别在点､处有极大值和极小值，且， .（1）求函数的解析式；（2）若，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1） .（2）或 .【解析】【分析】（1）由函数图象关于原点对称得，由极值点得方程的两实根是，，从而得，由及得的关系，此关系式连同代入可求得，得函数解析式；（2）求出的最小值，解相应不等式可得的范围．【详解】（1）的图象关于原点对称，即函数为奇函数，∴ 恒成立，即．，，∴ ，∵ ，是的两个极值点，∴方程的两实根是，，则，∵∴ ，又，∴ ， .（2）由（1），，，由得，从而极大值为，极小值为，又，∴当时，的最小值是，故，所以或 .【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数的极值的概念，考查不等式恒成立问题．掌握导数与函数极值（最值）关系是解题基础．不等式恒成立问题常常分离参数后转化为求函数的最值，然后再解相应不等式得出结论．22.在平面直角坐标系中，已知圆的参数方程为（为参数，）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程是 .（1）若直线与圆有公共点，试求实数的取值范围；（2）当时，过点且与直线平行的直线交圆于两点，求的值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析:(1)根据极坐标与普通方程的互化公式求出直线的直角坐标方程,消参得出圆的普通方程, 直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离 ,即可求出范围;(2)将直线的参数方程代入曲线方程,根据t的几何意义求值即可.试题解析:（1）由，得，即，故直线的直角坐标方程为 .由得所以圆的普通方程为 .若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，即，故实数的取值范围为 .（2）因为直线的倾斜角为，且过点，所以直线的参数方程为（为参数），①圆的方程为，②联立①②，得，设两点对应的参数分别为，则，，故 .23.已知函数 .（1）解不等式；（2）已知函数，若对于任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据绝对值定义分类去掉绝对值符号后，分类解不等式即可得；（2）求出和的最小值，题意题意转化为的最小值不小于的最小值，解之可得的范围．【详解】（1）依题意，得，由，得或或 .解得 .即不等式的解集为 .（2）由（1）知，，，则，解得，即实数的取值范围为 .【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查绝对值的性质，根据绝对值的定义去绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法，除去绝对值符号求解外还可利用绝对值三角不等式求含绝对值的函数的最值．。
2020年陕西省高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)
2020年陕西省高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−2≤x≤3}，函数f(x)=ln(1−x)的定义域为集合B，则A∩B=()A. [−2,1]B. [−2,1)C. [1,3]D. (1,3]2.设复数z=1+2i(其中i为虚数单位)，则z.等于()A. 1−2iB. 1+2iC. −2iD. 2i3.已知向量a⃗=(x,3)，b⃗ =(2,−2)，且a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+b⃗ |=()A. 5B. √26C. 2√5D. 104.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A. 12B. 13C. 16D. 1125.甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；乙预测说：我不会获奖，丙获奖；丙预测说：甲和丁中有一人获奖；丁预测说：乙的猜测是对的；成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是()A. 甲和丁B. 乙和丁C. 乙和丙D. 甲和丙6.定义在R的奇函数f(x)，当x<0时，f(x)=−x2+x，则f(2)等于()A. 4B. 6C. −4D. −67.已知m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A. 若m⊂α，n⊂α，l⊂β，m//l，n//l，则α//βB. 若m//α，n//α，m//β，n//β，则α//βC. 若m⊂α，m∩n=A，l⊥m，l⊥n，l⊥β，则α//βD. 若m//n，m⊥α，n⊥β，则α//β8.函数f(x)=√3sin2ωx−cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π，则下列说法不正确的是()A. 函数y=f(x+π12)是奇函数B. 函数f(x)的图象关于直线x=5π6对称C. 在原点左侧，函数f(x)的图象离原点最近的一个对称中心为(−5π12,0)D. 函数f(x)在[−π6,π2]上单调递增9.已知抛物线C：y2=2px(p>0)上一点M(x0,4)到焦点F的距离|MF|=54x0，则p=()A. 2B. 4C. 1D. 510.已知曲线y=ae x+xlnx在点处的切线方程为y=2x+b则()A. a=e,b=−1 B. a=e,b=1C. a=e−1,b=1D.11.已知sinα+3cosα2cosα−sinα=2，则sin2α+sinαcosα+1等于()A. 115B. 25C. 85D. 7512.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√52，点(4,1)在双曲线上，则该双曲线的方程为()A. x24−y2=1 B. x220−y25=1 C. x212−y23=1 D. x28−y2=1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x，y满足约束条件{x+y−1≥0x−3y+3≥0x≤3，则z=2x−y的最大值为______．14.某中学从甲乙丙3人中选1人参加全市中学男子1500米比赛，现将他们最近集训中的10次成绩(单位：秒)的平均数与方差制成如表的表格：甲乙丙平均数250240240方差151520根据表中数据，该中学应选______参加比赛．15. △ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD =33，sinB =513，cos∠ADC =35，则AD 为______ ． 16. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为________cm 3三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在等差数列{a n }中，a 5=0.3，a 12=3.1，求a 18+a 19+a 20+a 21+a 22的值．18. 如图，四棱锥P −ABCD 中，AD ⊥平面PAB ，△ABP 为等腰直角三角形，且AB =AP =2，AD =CD =1．(1)求证：CD ⊥AP ；(2)若CD ⊥PD ，求四棱锥P −ABCD 的体积．19. 某地植被面积x(公顷)与当地气温下降的度数y(°C)之间有如下的对应数据：(1)请用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(2)根据(1)中所求线性回归方程，如果植被面积为200公顷，那么下降的气温大约是多少°C ？ 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：b ̂=∑x i ni=1y i −nx·y ∑x i 2n i=1−nx2，a ̂=y −b ̂x ．20. 已知函数f(x)=x 2e x ．(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)若f(x)<a(x +1)在x ∈(−2,+∞)上有解，求a 的取值范围．21. 已知椭圆x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的四个顶点围成的菱形的面积为4√3，椭圆的一个焦点为(1,0)． (1)求椭圆的方程；(2)若M ，N 为椭圆上的两个动点，直线OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1k 2=−34时，△MON 的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2−t (t 为参数)，以原点O 为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=43−cos2θ (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P(−1,2)，直线l 与曲线C 相交于AB 两点，求|PA|+|PB|的值．23. 已知函数f (x )=|x −m |−|x −3m −1|．(1)若m=1，求不等式f(x)<1的解集；(2)对任意的x∈R，有f(x)≤f(2)，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵B={x|x<1}；∴A∩B=[−2,1)．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域，交集的运算．2.答案：B解析：解：∵z=1+2i =1+−2i−i2=1−2i，∴z.=1+2i，故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.答案：B解析：解：根据题意，向量a⃗=(x,3)，b⃗ =(2,−2)，若a⃗⊥b⃗ ，则有a⃗⋅b⃗ =2x+3×(−2)=0，解可得x=3，故向量a⃗=(3,3)，则a⃗+b⃗ =(5,1)；则|a⃗+b⃗ |=√52+12=√26；故选：B．根据题意，由向量垂直与向量的数量积之间的关系可得a⃗⋅b⃗ =2x+3×(−2)=0，解可得x=3，即可得向量a⃗的坐标，由向量的坐标运算公式可得a⃗+b⃗ 的坐标，进而由向量模的计算公式计算可得答案．本题考查向量的坐标运算，关键是求出向量a⃗+b⃗ 的坐标．4.答案：B解析：本题考查古典概型的计算与应用，属基础题．分别找出基本事件总数与事件“乙、丙两人恰好参加同一项活动“包含的基本事件数，直接利用公式即可得到最后结果．解：将甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组，共有3种分法，分别是：(甲乙，丙丁)，(甲丙，乙丁)，(甲丁，乙丙)，事件“乙、丙两人恰好参加同一项活动“包含一个基本事件，所以乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为1．3故选B．5.答案：B解析：本题主要考查合情推理的应用，分析甲乙丙丁说话之间的联系即可求出答案．解：若乙和丁的猜测同时正确，则甲和丙的猜测是错误的，可得乙没有获奖，丙获奖，则甲和丁中有一个获奖，这与“丙的猜测是错误的”相矛盾；因此乙和丁的猜测同时错误，甲和丙的猜测同时正确，故乙和丁获奖．故选B．6.答案：B解析：本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键，属较易题．根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．解：∵定义在R的奇函数f(x)，当x<0时，f(x)=−x2+x，∴f(2)=−f(−2)=−[−(−2)2−2]=6，故选：B．。
2020年陕西省高考数学模拟试卷(文科)(二) (含解析)
2020年陕西省高考数学模拟试卷(文科)(二)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|x2−2x≤0}，则A∩B=()A. [0,1]B. [−1,2]C. [−1,0]D. (−∞,1]∪[2,+∞)2.若复数x=2，其中i为虚数单位，则z−=()1+iA. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i3.5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如下统计图：根据该统计图，下列说法错误的是()A. 2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B. 2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C. 2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D. 2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量4.曲线f(x)=xe x−1在点(1,1)处切线的斜率等于()A. 2eB. eC. 2D. 15.“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：“—”和“——”，其中“—”在二进制中记作“1”，“——”在二进制中记作“0”，例如二进制数1011(2)化为十进制的计算如下：1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20=11(10).若从两类符号中任取2个符号进行排列，则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率为()A. 0B. 12C. 13D. 146. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m ⊥α，n ⊥β，则“m ⊥n ”是“α⊥β”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知cosα=17,α∈(0,π2)，则cos(α−π3)等于( )A. −1114B. 3√314 C. 5√314D. 13148. 将函数f(x)=sin(ωx +π3)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度，得到的图象关于y 轴对称，则ω的最小值为( )A. 7B. 6C. 5D. 49. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f(x)=1x−1，则f(12)等于( )A. −23B. 23C. −2D. 210. 已知双曲线C:x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，M 是双曲线上的一点，且满足F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2a 2=0，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. (1,√3]B. [√3,+∞)C. (1,√2]D. [√2,+∞)11. 已知函数f(x)=|lnx |+x ，若f(x 1)=f(x 2)，其中x 1≠x 2，则( )A. x 1+x 2<2B. x 1+x 2>2C. 1x 1+1x 2>2D. 1x 1+1x 2<212. 已知直线x −y −2=0与x 轴交于点M ，与抛物线y 2=2px(p >0)交于A ，B 两点，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则p =( )A. 12B. 1C. 2D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若实数x,y 满足约束条件{x +2y ≥0x −y ≤0x −2y +2≥0，则z =3x −y 的最小值等于______． 14. 已知a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(−2,1)，则|2a ⃗ −b⃗ |= ______ ． 15. 在△ABC 中，内角A,B,C 所对边分别为a ，b ，c ，若，则△ABC 的面积的最大值是______．16.在四棱锥P−ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形．若直线PC与平面PDB所成的角为30°，则四棱锥P−ABCD的外接球的表面积为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求{a n}的前n项的和S n．18.为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学．高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析，结果如表：(记成绩不低于120分者为“成绩优秀”)(1)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？(2)在上述样本中，学校从成绩为[140,150]的学生中随机抽取2人进行学习交流，求这2人来自同一个班级的概率．参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)临界值表：P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.82819.如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB．(1)求证：平面BCE⊥平面CDE；(2)若AB=1，求四棱锥C−ABED的体积．20.函数f(x)=1．xln x(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若21x>x a对任意x∈(0,1)都成立，求实数a的取值范围．21.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A、B，它的右焦点是F(1,0).椭圆上一动点P(x0,y0)(不是顶点)满足k PA⋅k PB=−12．(1)求椭圆的方程；(2)设过点P且与椭圆相切的直线为m，直线m与椭圆的右准线l交于点Q，试证明∠PFQ为定值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是{x =1+2cosα,y =1+sinα(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ+π4)=√2． (Ⅰ)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)设曲线C 的对称中心为P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求△PAB 的面积．23. 已知函数f(x)=x 2+2|x −1|．(1)求不等式f(x)>|2x|x的解集；(2)若f(x)的最小值为N ，且a +b +c =N ，(a,b ，c ∈R).求证：√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：B={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|0≤x≤1}=[0,1]，故选：A求出集合B，根据交集定义进行求解．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：A解析：解：z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，则共轭复数z−=1+i．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：本题考查统计图表，根据图表，逐项分析即可．解：由图可看出2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多为3829.4万部，故A正确，由图可看出下半年手机市场各月份出货量基本都是在3000∼3650万部之间，而上半年各月份波动较大，故B正确，由当月的同比可以看出只有4月，5月略有增长，其它的是负增长，故可得2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量，故C正确;2018年12月的手机出货量为3044.41−14.7％≈3569.05，8月手机出货量为3087.51−5.3％≈3260.30，故错误．故选D．4.答案：C解析：本题主要考查导数的几何意义，比较基础．求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．解：函数的导数为f′(x)=e x−1+xe x−1=(1+x)e x−1，当x=1时，f′(1)=2，即曲线f(x)=xe x−1在点(1,1)处切线的斜率k=2．故选C．5.答案：D解析：本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题．依题意，列出所有可能的情况，计算相应的二进制数所对应的十进制数，选取得到的二进制数所对应的十进制数大于2的情况，运用概率公式计算即可．解：依题意，记符号“—”为a，记“——”为b，从两类符号中任取2个符号进行排列，排列情况有：ab，ba，aa，bb，共4种情况，①若ab，即10，则10(2)=1×21+0×20=2；②若ba，即01，则01(2)=0×21+1×20=1；③若aa，即11，则11(2)=1×21+1×20=3；④若bb，即00，则00(2)=0×21+0×20=0；故得到的二进制数所对应的十进制数大于2，只有③一种情况，，故得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率为：14故选D．6.答案：C解析：本题考查了空间线面关系及充分必要条件，属于基础题．由空间线面关系及充分必要条件得：因为m⊥α，n⊥β，则“m⊥n”⇔“α⊥β”，即“m⊥n”是“α⊥β”的充要条件，得解．解：因为m ⊥α，n ⊥β， 则“m ⊥n ”⇔“α⊥β”，即“m ⊥n ”是“α⊥β”的充要条件， 故选：C ．7.答案：D解析：本题主要考查两角差的余弦公式的应用．由两角差的余弦公式与同角三角函数关系直接求解．解：因为cosα=17,α∈(0,π2)，所以sinα=√1−cos 2α=√1−172=4√37,所以．故选D ．8.答案：C解析：本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题． 求出平移后函数解析式，可得−ωπ6+π3=kπ+π2，k ∈Z ，求得ω的最小值．解：∵将函数f(x)=sin(ωx +π3)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度， 得到y =sin(ωx −ωπ6+π3)的图象关于y 轴对称， ∴−ωπ6+π3=kπ+π2，k ∈Z ， 则ω的最小值为5， 故选：C ．9.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性的应用，题目基础．由函数f(x)为偶函数可得f(12)=f (−12)，借助已知求解即可．。
2020年陕西省汉中市高考数学二模试卷(文科)(有答案解析)
2020年陕西省汉中市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={4,5，7，9}，B ={3,4，7，8，9}，全集U =A ∪B ，则集合∁U (A ∩B)中的元素共有( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 在复平面内，复数1+i(1−i)2对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3. 若a <b <0，则下列不等式中不成立的是( )A. |a|>|b|B. a 2>b 2C. 1a >1bD. 1a−b >1a4. 总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是( )7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481． A. 08 B. 07 C. 02 D. 01 5. 已知函数f(x)=cos2x +√3sin2x +1，则下列判断错误的是( )A. f(x)的最小正周期为πB. f(x)的值域为[−1,3]C. f(x)的图象关于直线x =π6对称 D. f(x)的图象关于点(−π4,0)对称 6. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l ⊥β”是“α⊥β”的( )A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件7. 设f(x)={x −2,(x ≥10)f[f(x +6)],(x <10)，则f(5)的值为( )A. 10B. 11C. 12D. 138. 在直角△ABC 中，∠C =π2，AB =4，AC =2，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −18 B. −6√3 C. 18 D. 6√39. 图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是( )A. 12B. 13C. 4π−1D. 2−4π10. 函数f(x)=2|x|⋅sin2x 的图象大致是( )A. B. C. D.11.已知直线2ax−by+2=0(a>0,b>0)平分圆C：x2+y2+2x−4y+1=0的圆周长，则1a +2b的最小值为()A. 4√2B. 3+2√2C. 4D. 612.对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2−36[x]+45<0成立的x的范围是()A. (32,152) B. [2,8] C. [2,8) D. [2,7]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若双曲线x2a2−y23=1(a>0)的离心率为2，则a=______．14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2−b2=√3bc，sinC=2√3sinB，则A=______．15.三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2√2，底面△ABC中∠BAC=π4，边BC=2，则三棱锥P−ABC外接球的体积等于______16.已知函数f(x)=ax2−xlnx在[1e,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.设等差数列{a n}满足a3=−9，a10=5．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求{a n}的前n项和S n及使得S n最小的n的值．18.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE//AB．(Ⅰ)求证：CE⊥平面PAD；(Ⅱ)若PA=AB=1，AD=3，CD=√2，∠CDA=45°，求四棱锥P−ABCD的体积．19.眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的．某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图．(1)若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；(2)为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到如表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为是否做操是否近视不做操做操近视4432不近视618附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(k2≥k)0.100.050.0250.0100.005 k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87920.如图，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，点A，B，C为椭圆上的三个点，A为椭圆的右端点，BC过中心O，且|BC|=2|AB|，S△ABC=3．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设P，Q是椭圆上位于直线AC同侧的两个动点(异于A，C)，且满足∠PBC=∠QBA，试讨论直线BP与直线BQ斜率之间的关系，并求证直线PQ的斜率为定值．21. 已知函数f(x)=13x 3−a+12x 2+bx +a(a,b ∈R)，且其导函数f′(x)的图象过原点．(1)若存在x <0，使得f′(x)=−9，求a 的最大值； (2)当a >0时，求函数f(x)的极值．22. 已知曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 的参数方程为{x =1+√32t y =12t(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；(2)已知点M(1,0)，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求||MA|−|MB||．23. 已知函数f(x)=|2x −a|+a ．(1)当a =2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)=|2x −1|，当x ∈R 时，f(x)+g(x)≥3，求a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：A∪B={3,4，5，7，8，9}，A∩B={4,7，9}∴∁U(A∩B)={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B)故选：A．根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．本题考查集合的基本运算，较简单．2.答案：B解析：解：1+i(1−i)2=1+i−2i=(1+i)i−2i⋅i=−12+12i对应的点(−12,12)位于第二象限．故选：B．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3.答案：D解析：解：∵a<b<0，∴|a|>|b|，aab <bab，即1b<1a，a2>b2，因此A，B，C正确．对于D：∵0>a−b>a，∴a−ba(a−b)>aa(a−b)，即1a>1a−b，因此D不正确．故选：D．根据不等式的性质，分别判断即可求出．本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：D解析：解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01，.其中第二个和第四个都是02，重复．可知对应的数值为08，02，14，07，01，则第5个个体的编号为01．故选：D．根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．5.答案：D解析：解：f(x)=cos2x+√3sin2x+1=2sin(2x+π6)+1，对于选项A，由于f(x)的最小正周期为2π2=π，故正确；对于选项B，由于sin(2x+π6)∈[−1,1]，可得f(x)=2sin(2x+π6)+1∈[−1,3]，故正确；对于选项C，由于f(π6)=2sin(2×π6+π6)+1=3为f(x)最大值，故正确；对于选项D ，由于f(−π4)=2sin(−2×π4+π6)+1=1−√3≠0，故错误． 故选：D ．利用两角和的正弦公式对已知函数进行化简可得f(x)=2sin(2x +π6)+1，然后结合正弦函数的性质进行判断即可得解．本题主要考查了两角和的正弦公式在三角函数式化简中的应用及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题． 6.答案：B解析：解：由面面垂直的定义知，当l ⊥β”时，“α⊥β”成立， 当α⊥β时，l ⊥β不一定成立，即“l ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件， 故选：B ．根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面垂直的判定定理和性质是解决本题的关键． 7.答案：B解析：【分析】本题主要考查了分段函数、求函数的值．属于基础题．欲求f(5)的值，根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x ≥10内的函数值即可求出其值． 【解答】解：∵f(x)={x −2(x ≥10)f[f(x +6)](x <10)，∴f(5)=f[f(11)]=f(9)=f[f(15)]=f(13)=11． 故选：B ． 8.答案：C解析：解：在直角三角形ABC 中，∠C =90°，AB =4，AC =2， cos ∠CAB =AC AB =12， 若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=32×16−52×4×2×12+4=18． 故选：C ．在直角三角形ABC 中，求得cos ∠CAB 的值，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值． 本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题9.答案：C解析：【分析】本题考查了几何概型的概率计算问题，属于基础题．设圆的半径为1，利用几何概型的概率公式计算所求的概率即可．【解答】解：设圆的半径为1，将图形平均分成四个部分，如下图，则每个图形空白处的面积为2×(14×π−12×1×1)=2×(π4−12)=π2−1，阴影部分的面积为π×12−4×(π2−1)=4−π，利用几何概型的概率公式，计算所求的概率为．故选：C．10.答案：D解析：解：根据题意，f(x)=2|x|⋅sin2x，其定义域为R，有f(−x)=−(2|x|⋅sin2x)=−f(x)，即函数f(x)为奇函数，排除A、B，区间(π2,π)上，sin2x<0，有f(x)<0，排除C；故选：D．根据题意，由排除法分析：先分析函数的奇偶性排除A、B，进而分析可得区间(π2,π)上，f(x)<0，排除C，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性与特殊值的分析，属于基础题．11.答案：B解析：解：由题意，圆的圆心(−1,2)在直线2ax−by+2=0(a>0,b>0)上∴−2a−2b+2=0(a>0,b>0)∴a+b=1∴1a +2b=(a+b)(1a+2b)=3+ba+2ab≥3+2√ba⋅2ab=3+2√2，当且仅当ba=2ab，即a=√2−1，b=2−√2时，1a +2b的最小值为3+2√2．故选：B．利用直线2ax−by+2=0(a>0,b>0)始终平分圆x2+y2+2x−4y+1=0的圆周，可得圆的圆心(−1,2)在直线2ax−by+2=0(a>0,b>0)上，再利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求出1a +2b的最小值．本题考查圆的对称性，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12.答案：C解析：解：由4[x]2−36[x]+45<0，得32<[x]<152，又[x]表示不大于x的最大整数，所以2≤x<8．故选：C．先求出关于[x]的不等式的解集，然后根据新定义得到x的范围即可．本题考查一元二次不等式的解法，考查学生理解新定义的能力，是一道中档题．13.答案：1解析：解：双曲线x2a −y23=1(a>0)的离心率为2，可得：√a2+3a=2，解得a=1．故答案为：1．利用双曲线的离心率列出方程，求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．14.答案：30°解析：【分析】本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．已知sinC=2√3sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cos A的值，即可确定出A的度数．【解答】解：将sinC=2√3sinB利用正弦定理化简得：c=2√3b，代入得a2−b2=√3bc=6b2，即a2=7b2，∴由余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc =22243b2=√32，∵A为三角形的内角，∴A=30°．故答案为30°15.答案：32π3解析：解：因为PA⊥底面ABC，所以外接球的球心是在过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，设外接球的半径为R，底面外接圆的半径为r，则R2=r2+(PA2)2，而底面△ABC中∠BAC=π4，边BC=2，所以2r=BCsin∠BAC=2sinπ4，即r=√2，所以R 2=2+2=4，所以R =2，外接球的体积V =43πR 3=32π3，故答案为：32π3．一天侧棱垂直于底面，则外接球的球心是在过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，再由则R 2=r 2+(PA2)2，先有在三角形中，正弦定理求出外接圆的半径，进而求出R ，求出外接球的体积．考查外接球的半径与棱长的关系及球的体积公式，属于基础题．16.答案：[12,+∞)解析：解：f′(x)=2ax −lnx −1， 若f(x)在[1e ,+∞)递增， 则f′(x)≥0在[1e ,+∞)恒成立， 则a ≥lnx+12x在[1e ,+∞)恒成立， 令g(x)=lnx+12x，x ∈[1e ,+∞)， 则g′(x)=−2lnx 4x ，令g′(x)>0，解得：x <1， 令g′(x)<0，解得：x >1，故g(x)在[1e ,1)递增，在(1,+∞)递增， 故g(x)max =g(1)=12， 故a ≥12，故答案为：[12,+∞)．求出函数的导数，问题转化为a ≥lnx+12x在[1e ,+∞)恒成立，令g(x)=lnx+12x，x ∈[1e ,+∞)，根据函数的单调性求出a 的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．17.答案：解：(1)d =a 10−a 310−3=2，a 1=−13，a n =−13+(n −1)×2=2n −15； (2)S n =n(−13+2n−15)2=n 2−14n ，由于是二次函数，n=7，S n最小．解析：(1)求出首项，公差，再求a n，(2)先求S n，再根据二次函数性质计算最小值．本题考查等差数列性质，属于基础题．18.答案：(1)证明∵PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，∴PA⊥CE．∵AB⊥AD，CE//AB，∴CE⊥AD．又PA∩AD=A，∴CE⊥平面PAD；(2)解：由(1)可知CE⊥AD，在Rt△CDE中，DE=CD⋅cos45°=1，CE=CD⋅sin45°=1，∴AE=AD−ED=2．又∵AB=CE=1，CE//AB，∴四边形ABCE为矩形．∴S四变形ABCD =S矩形ABCE+S△ECD=AB⋅AE+12CE⋅DE=1×2+12×1×1=52．又PA⊥平面ABCD，PA=1，∴V四棱锥P−ABCD =13S四边形ABCD⋅PA=13×52×1=56．解析：(1)由PA⊥平面ABCD，得PA⊥CE.结合已知可得CE⊥AD.再由线面垂直的判定得到CE⊥平面PAD；(2)由(1)可知CE⊥AD，求解直角三角形得到四边形ABCE为矩形．然后求出四边形ABCD的面积，由棱锥体积公式求解四棱锥P−ABCD的体积．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.答案：解：(1)由图可知，第一组人数为：0.15×0.2×100=3人，第二组人数为：0.35×0.2×100= 7人，第三组的人数为：1.35×0.2×100=27人，因为后三组的频数成等差数列，共有100−(3+7+27)=63(人)而第四组的人数为：1.20×0.2×100=24人，所以后三组频数依次为24，21，18，所以视力在5.0以上的频率为0.18，故全年级视力在5.0以上的人数约为800×0.18=144人；(2)k2=100×(44×18−32×6)250×50×76×24=15019≈7.895>7.879，因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系．解析：(1)由频率分布直方图求出前三组的人数，再求出后三组的总人数，利用后三组的频数成等差数列，即可求得第六组频率，用样本估算总体，即可得到全年级视力在5.0以上的人数；(2)计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．本题主要考查了频率分布直方图，考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．20.答案：解：(Ⅰ)∵|BC|=2|AB|, ∴S△OAB=12S△ABC=32…2分又△OAB是等腰三角形，所以B(1, 32)…3分把B点带入椭圆方程x24+y2b2=1，求得b2=3.…4分∴椭圆方程为x24+y23=1…5分(Ⅱ)由题易得直线BP、BQ斜率均存在，又∠PBC=∠QBA，所以k BP=−k BQ…7分设直线BP：y−32=k(x−1)代入椭圆方程x24+y23=1，化简得(3+4k2)x2−8k(k−32)x+4k2−12k−3=0…9分其一解为1，另一解为x P=4k2−12k−33+4k2…10分可求y p=−12k2−6k3+4k2+32…11分用−k代入得x Q=4k2+12k−33+4k2,y Q=−12k2+6k3+4k2+32…12分∴k PQ=y P−y Qx P−x Q =12为定值．…13分解析：(Ⅰ)先求出B的坐标，代入椭圆方程，求出b，即可求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设直线BP：y−32=k(x−1)代入椭圆方程x24+y23=1，求出P的坐标，用−k代入得x Q=4k2+12k−3 3+4k2,y Q=−12k2+6k3+4k2+32，利用斜率公式，即可求证直线PQ的斜率为定值．本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查斜率的计算，正确求出P，Q的坐标是关键．21.答案：解：f(x)=13x3−a+12x2+bx+a，f′(x)=x2−(a+1)x+b由f′(0)=0得b=0，f′(x)=x(x−a−1)．(1)存在x<0，使得f′(x)=x(x−a−1)=−9，−a−1=−x−9x =(−x)+(−9x)≥2√(−x)．(−9x)=6，∴a≤−7，当且仅当x=−3时，a=−7.所以a的最大值为−7．(2)当a>0时，x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：f(x)的极大值f(0)=a>0，f(x)的极小值f(a+1)=a−16(a+1)3解析：(1)先对函数f(x)进行求导，根据f′(x)=−9建立等量关系，再结合基本不等式求出最大值，注意不等式运用的条件；(2)讨论满足f′(x)=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值即可． 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及基本不等式的应用，属于基础题．22.答案：解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，转换为直角坐标方程为x 2+y 2−4x =0．直线l 的参数方程为{x =1+√32t y =12t (t 为参数).转换为直角坐标方程为y x−1=√33，整理得y =√33(x −1)．(2)把直线l 的参数方程为{x =1+√32t y =12t (t 为参数)代入圆的方程整理为t 2−√3t −3=0．所以t 1+t 2=√3，t 1t 2=−3．||MA|−|MB||=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√15．解析：(1)直接把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)当a =2时，f(x)=|2x −2|+2，∵f(x)≤6，∴|2x −2|+2≤6，|2x −2|≤4，|x −1|≤2，∴−2≤x −1≤2，解得−1≤x ≤3，∴不等式f(x)≤6的解集为{x|−1≤x ≤3};(2)∵g(x)=|2x −1|，∴f(x)+g(x)=|2x −1|+|2x −a|+a ≥3，2|x −12|+2|x −a 2|+a ≥3， |x −12|+|x −a 2|≥3−a 2，当a ≥3时，成立，当a <3时，|x −12|+|x −a 2|≥12|a −1|≥3−a 2>0，当且仅当(x −12)(x −a 2)≤0时等号成立， ∴(a −1)2≥(3−a)2，解得2≤a <3，∴a 的取值范围是[2,+∞)．解析：本题考查含绝对值不等式的解法及绝对值不等式的三角不等式，同时考查不等式恒成立问题，是简单题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．(1)当a =2时，由已知得|2x −2|+2≤6，由此能求出不等式f(x)≤6的解集．(2)由f(x)+g(x)=|2x −1|+|2x −a|+a ≥3，得|x −12|+|x −a 2|≥3−a 2，由此能求出a 的取值范围．。
2020年陕西省高考数学二模试卷(文科)含答案解析
2020年陕西省高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={x|}，函数f（x）=ln（1﹣）的定义域为N，则M∩N为（）A．[，1]B．[，1）C．（0，]D．（0，）2．已知命题p：∃x∈R，log3x≥0，则（）A．￢p：∀x∈R，log3x≤0 B．￢p：∃x∈R，log3x≤0C．￢p：∀x∈R，log3x＜0D．￢p：∃x∈R，log3x＜03．若tanα=，则sin4α﹣cos4α的值为（）A．﹣ B．﹣C．D．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D．5．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．28πB．32πC．36πD．40π6．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（）A．1 B．2 C．4 D．87．如果执行如图所示的框图，输入N=5，则输出的S等于（）A．B．C．D．8．在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到点O的距离不大于1的概率是（）A．B．1﹣C．D．1﹣9．曲线y=e在点（6，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）A．B．3e2C．6e2D．9e210．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（α）=1，α∈（0，），则cos（2）=（）A．B．C．﹣D．11．若f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，∀x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（）A．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）B．f（1）＜f（﹣1）＜f（3）C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）12．若直线l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．1或﹣1 D．0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设a是实数，且是一个纯虚数，则a=_______．14．已知正项数列{a n}满足a n+1（a n+1﹣2a n）=9﹣a，若a1=1，则a10=_______．15．若向量=（3，1），=（7，﹣2），则的单位向量的坐标是_______．16．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，若P是C的左支上一点，A（0，6）是y 轴上一点，则△APF面积的最小值为_______．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知a+c=3，b=3．（I）求cosB的最小值；（Ⅱ）若=3，求A的大小．18．某种产品的质量以其指标值来衡量，其指标值越大表明质量越好，且指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的指标值，得到了下面的试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数8 20 42 22 8B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数 4 12 42 32 10（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其指标值t的关系式为y=，估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述产品平均每件的利润．19．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点．（1）求证：EF⊥平面PAB；（2）设AB=BC=，求三棱锥P﹣AEF的体积．20．设O是坐标原点，椭圆C：x2+3y2=6的左右焦点分别为F1，F2，且P，Q是椭圆C上不同的两点，（I）若直线PQ过椭圆C的右焦点F2，且倾斜角为30°，求证：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；（Ⅱ）若P，Q两点使得直线OP，PQ，QO的斜率均存在．且成等比数列．求直线PQ的斜率．21．已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a≤﹣2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．选做题：请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x|．（1）求不等式f（x）≤﹣6的解集；（2）若存在实数x满足f（x）=log2a，求实数a的取值范围．2020年陕西省高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={x|}，函数f（x）=ln（1﹣）的定义域为N，则M∩N为（）A．[，1]B．[，1）C．（0，]D．（0，）【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合M和集合N，然后再求出集合M∩N．．【解答】解：集合M={x|}=[，3），函数f（x）=ln（1﹣）=[0，1），则M∩N=[，1），故选：B．2．已知命题p：∃x∈R，log3x≥0，则（）A．￢p：∀x∈R，log3x≤0 B．￢p：∃x∈R，log3x≤0C．￢p：∀x∈R，log3x＜0D．￢p：∃x∈R，log3x＜0【考点】复合命题的真假．【分析】利用命题的否定即可判断出．【解答】解：命题p：∃x∈R，log3x≥0，则￢p：∀x∈R，log3x＜0．故选：C．3．若tanα=，则sin4α﹣cos4α的值为（）A．﹣ B．﹣C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由条件利用平方差公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tan，则sin4α﹣cos4α=（sin2α+cos2α）•（sin2α﹣cos2α）=sin2α﹣cos2α===﹣，故选：B．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵S3=a2+10a1，a5=9，∴，解得．∴．故选C．5．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．28πB．32πC．36πD．40π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知几何体是一个圆柱和一个圆台的组合体，求解其体积相加即可．【解答】解：图为三视图复原的几何体是一圆台和一个圆柱的组合体，圆柱的底面半径为2，高为2，体积为：22π•2=8π．圆台的底面半径为4，上底面半径为2，高为3，体积为：=28π，几何体的体积为：36π．故选：C．6．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F（，0）∵A（x0，y0）是C上一点，|AF|=x0，∴x0=x0+，解得x0=1．故选：A．7．如果执行如图所示的框图，输入N=5，则输出的S等于（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知，该程序的功能是计算出输出S=的值．【解答】解：n=5时，k=1，S=0，第一次运行：S=0+=，k=1＜5，第二次运行：k=1+1=2，S==，k=2＜5，第三次运行：k=2+1=3，=，k=3＜5，第四次运行：k=3+1=4，S==，k=4＜5，第五次运行：k=4+1=5，S==，k=5，结束运行，输出S=．故选：D．8．在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到点O的距离不大于1的概率是（）A．B．1﹣C．D．1﹣【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点到O的距离不大于1的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为，因此取到的点到O的距离不大于1的概率P==．故选A．9．曲线y=e在点（6，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）A．B．3e2C．6e2D．9e2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程，分别令x=0，y=0求得与y，x轴的交点，运用三角形的面积公式计算即可得到所求值．【解答】解：y=e的导数为y′=e，可得在点（6，e2）处的切线斜率为e2，即有在点（6，e2）处的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣6），即为y=e2x﹣e2，令x=0，可得y=﹣e2；令y=0，可得x=3．即有切线与坐标轴所围成的三角形的面积为•3•e2=e2．故选：A．10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（α）=1，α∈（0，），则cos（2）=（）A．B．C．﹣D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由图象可得A值和周期，由周期公式可得ω，代入点（，﹣3）可得φ值，可得解析式，再由f（α）=1和同角三角函数基本关系可得．【解答】解：由图象可得A=3，=4（﹣），解得ω=2，故f（x）=3sin（2x+φ），代入点（，﹣3）可得3sin（+φ）=﹣3，故sin（+φ）=﹣1， +φ=2kπ﹣，∴φ=2kπ﹣，k∈Z结合0＜φ＜π可得当k=1时，φ=，故f（x）=3sin（2x+），∵f（α）=3sin（2α+）=1，∴sin（2α+）=，∵α∈（0，），∴2α+∈（，），∴cos（2）=﹣=﹣，故选：C．11．若f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，∀x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（）A．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）B．f（1）＜f（﹣1）＜f（3）C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行比较即可．【解答】解：∵∀x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，∴当x≥0时函数f（x）为减函数，∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，∴f（3）＜f（2）＜f（1），即f（3）＜f（﹣2）＜f（1），故选：D12．若直线l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．1或﹣1 D．0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】直线l1∥l2，且l1、l2把⊙C分成的四条弧长相等，⊙C可化为（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2，当m=0，n=1时及当m=﹣1，n=0时，满足条件．【解答】解：∵l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0，∴直线l1∥l2，且l1、l2把⊙C分成的四条弧长相等，画出图形，如图所示．又⊙C可化为（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2，当m=0，n=1时，圆心为（0，1），半径r=1，此时l1、l2与⊙C的四个交点（0，0），（1，1），（0，2），（﹣1，1）把⊙C分成的四条弧长相等；当m=﹣1，n=0时，圆心为（﹣1，0），半径r=1，此时l1、l2与⊙C的四个交点（0，0），（﹣1，1），（﹣2，0），（﹣1，﹣1）也把⊙C分成的四条弧长相等；故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设a是实数，且是一个纯虚数，则a=﹣2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵=是纯虚数，∴，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．14．已知正项数列{a n}满足a n+1（a n+1﹣2a n）=9﹣a，若a1=1，则a10=28．【考点】数列递推式．【分析】由已知数列递推式变形得到a n+1﹣a n=3，即数列{a n}是公差为3的等差数列，求出等差数列的通项公式得答案．【解答】解：由a n+1（a n+1﹣2a n）=9﹣，得，即，∴a n+1﹣a n=±3，又数列是正项数列，∴a n+1﹣a n=3，即数列{a n}是公差为3的等差数列，∵a1=1，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+3（n﹣1）=3n﹣2，则a10=3×10﹣2=28．故答案为：28．15．若向量=（3，1），=（7，﹣2），则的单位向量的坐标是（﹣，）．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】求出向量，从而求出的单位向量的坐标即可．【解答】解：∵向量=（3，1），=（7，﹣2），则=（﹣4，3），由=5，得单位向量的坐标是（﹣，），故答案为：（﹣，）．16．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，若P是C的左支上一点，A（0，6）是y轴上一点，则△APF面积的最小值为6+9．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的焦点，直线AF的方程以及AF的长，设直线y=﹣2x+t与双曲线相切，且切点为左支上一点，联立双曲线方程，消去y，由判别式为0，求得m，再由平行直线的距离公式可得三角形的面积的最小值．【解答】解：双曲线C：x2﹣=1的右焦点为（3，0），由A（0，6），可得直线AF的方程为y=﹣2x+6，|AF|==15，设直线y=﹣2x+t与双曲线相切，且切点为左支上一点，联立，可得16x2﹣4tx+t2+8=0，由判别式为0，即有96t2﹣4×16（t2+8）=0，解得t=﹣4（4舍去），可得P到直线AF的距离为d==，即有△APF的面积的最小值为d•|AF|=××15=6+9．故答案为：6+9．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知a+c=3，b=3．（I）求cosB的最小值；（Ⅱ）若=3，求A的大小．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理．【分析】（I）根据基本不等式求出ac的最大值，利用余弦定理得出cosB的最小值；（II）利用余弦定理列方程解出a，c，cosB，使用正弦定理得出sinA．【解答】解：（I）在△ABC中，由余弦定理得cosB===．∵ac≤（）2=．∴当ac=时，cosB取得最小值．（II）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB．∵=accosB=3．∴9=a2+c2﹣6，∴a2+c2=15．又∵a+c=3，∴ac=6．∴a=2，c=或a=，c=2．∴cosB=，sinB=．由正弦定理得，∴sinA==1或．∴A=或A=．18．某种产品的质量以其指标值来衡量，其指标值越大表明质量越好，且指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的指标值，得到了下面的试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数8 20 42 22 8B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数 4 12 42 32 10（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其指标值t的关系式为y=，估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述产品平均每件的利润．【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．（2）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．【解答】解：（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为=0.3∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为=0.42∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；（2）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，即X的分布列为X ﹣2 2 4P 0.04 0.54 0.42∴X的数学期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68．19．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点．（1）求证：EF⊥平面PAB；（2）设AB=BC=，求三棱锥P﹣AEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取PA 中点G ，连结FG ，DG ，由题意可得四边形DEFG 为平行四边形，得到EF ∥DG 且EF=DG ，再由PD ⊥底面ABCD ，可得平面PAD ⊥平面ABCD ，进一步得到平面PAB ⊥平面PAD ，由PD=AD ，PG=GA ，可得DG ⊥PA ，而DG ⊂平面PAD ，得到DG ⊥平面PAB ，从而得到EF ⊥平面PAB ；（2）连接PE ，BE ，可得，求解直角三角形得到PD=1，然后利用等积法把三棱锥P ﹣AEF 的体积转化为B ﹣AEF 的体积求解．【解答】（1）证明：取PA 中点G ，连结FG ，DG ，由题意可得BF=FP ，则FG ∥AB ，且FG=，由CE=ED ，可得DE ∥AB 且DE=， 则FG=DE ，且FG ∥DE ，∴四边形DEFG 为平行四边形，则EF ∥DG 且EF=DG ，又PD ⊥底面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，又∵AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ABD ，则平面PAB ⊥平面PAD ，由PD=AD ，PG=GA ，可得DG ⊥PA ，而DG ⊂平面PAD ，∴DG ⊥平面PAB ，又EF ∥DG ，得EF ⊥平面PAB ；（2）解：连接PE ，BE ，则，∵AB=BC=，∴BC=1，则PD=1，∴V P ﹣AEF =V B ﹣AEF ====．20．设O 是坐标原点，椭圆C ：x 2+3y 2=6的左右焦点分别为F 1，F 2，且P ，Q 是椭圆C 上不同的两点，（I）若直线PQ过椭圆C的右焦点F2，且倾斜角为30°，求证：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；（Ⅱ）若P，Q两点使得直线OP，PQ，QO的斜率均存在．且成等比数列．求直线PQ的斜率．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）求得椭圆的a，b，c，设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式可得|PQ|，再由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a，由等差数列的中项的性质，可得结论；（Ⅱ）设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由等比数列的中项的性质，结合直线的斜率公式，化简整理，解方程即可得到直线PQ的斜率．【解答】解：（I）证明：x2+3y2=6即为+=1，即有a=，b=，c==2，由直线PQ过椭圆C的右焦点F2（2，0），且倾斜角为30°，可得直线PQ的方程为y=（x﹣2），代入椭圆方程可得，x2﹣2x﹣1=0，即有x1+x2=2，x1x2=﹣1，由弦长公式可得|PQ|=•=•=，由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a=4，可得|F1P|+|QF1|=4﹣==2|PQ|，则有|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；（Ⅱ）设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程x2+3y2=6，消去y得：（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣2）=0，则△=36k2m2﹣12（1+3k2）（m2﹣2）=12（6k2﹣m2+2）＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，∵直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，∴•==k2，即km（x1+x2）+m2=0，即有﹣+m2=0，由于m≠0，故k2=，∴直线PQ的斜率k为±．21．已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a≤﹣2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数f（x）进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增、导函数小于0时原函数单调递减对a分3种情况进行讨论．（2）先根据a的范围对函数f（x）的单调性进行判断，然后根据单调性去绝对值，将问题转化为证明函数g（x）=f（x）+4x的单调性问题．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），．当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；当a≤﹣1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；当﹣1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=．当x∈（0，）时，f′（x）＞0；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）单调增加，在（，+∞）单调减少．（Ⅱ）不妨假设x1≤x2．由于a≤﹣2，故f（x）在（0，+∞）单调递减．所以|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|等价于f（x1）﹣f（x2）≥4x2﹣4x1，即f（x2）+4x2≤f（x1）+4x1．令g（x）=f（x）+4x，则+4=．于是g′（x）≤=≤0．从而g（x）在（0，+∞）单调减少，故g（x1）≥g（x2），即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，故对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．选做题：请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．【分析】（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（II）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．【解答】解：（I）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC．（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴PA2=PB•PD，∴62=PB•（PB+9）∴PB=3，在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，∴PE=4，∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，∴AD2=DB•DE=9×16，∴AD=12[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用即可化为直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=4x，利用根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义即可得出．【解答】解：（I）由ρsin2θ=4cosθ，得（ρsinθ）2=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（II）将直线l的参数方程代入y2=4x，得t2sin2α﹣4tcosα﹣4=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1+t2=，t1t2=﹣，∴|AB|=|t1﹣t2|===，当α=时，|AB|的最小值为4．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x|．（1）求不等式f（x）≤﹣6的解集；（2）若存在实数x满足f（x）=log2a，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最大值，问题转化为≤1，解出即可．【解答】解：（1）x≥0时，f（x）=x+1﹣2x=﹣x+1≤﹣6，解得：x≥7，﹣1＜x＜0时，f（x）=x+1+2x≤﹣6，无解，x≤﹣1时，f（x）=﹣x﹣1+2x≤﹣6，解得：x≤﹣7，故不等式的解集是{x|x≥7或x≤﹣7}；（2）x≥0时，f（x）=﹣x+1≤1，﹣1＜x＜0时，f（x）=3x+1，﹣2＜f（x）＜1，x≤﹣1时，f（x）=x﹣1≤﹣2，故f（x）的最大值是1，若存在实数x满足f（x）=log2a，只需≤1即可，解得：0＜a≤2．2020年9月8日。