北师大版八年级数学下册单元测试题全套(含答案)
北师大版八年级数学下册单元测试题全套（含答案）第一章检测卷时间：120分钟 满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )A ．4，5，6B ．2，3，4C ．1，1， 2D ．1，2，22．若三角形三个内角的比为1∶2∶3，则它的最长边与最短边的比为( )A ．3∶1B ．2∶1C ．3∶2D ．4∶13．如图，∶ABC ＝∶ADC ＝90°，E 是AC 的中点，若BE ＝3，则DE 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．无法求出第3题图 第4题图 4．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB ，CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∶ABC ＝150°，BC 的长是8m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是( ) A.833m B ．4m C ．43m D ．8m 5．如图，OP 平分∶MON ，P A ∶ON 于点A ，Q 是射线OM 上的一个动点，若P A ＝3，则PQ 的最小值为( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．23第5题图 第6题图 6．如图，在∶ABC 中，∶ACB ＝90°，∶A ＝30°，AB 的垂直平分线分别交AB 和AC 于点D ，E ，AE ＝2，则CE 的长为( )A ．1 B. 2 C. 3 D.57．如图，在∶ABC 中，∶ACB ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，AM ＝AC ，BN ＝BC ，则MN 的长为( )A ．2B ．2.6C ．3D ．4第7题图第8题图8．如图，AB∶CD，BP和CP分别平分∶ABC和∶DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是()A．8 B．6 C．4 D．29．设a，b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是() A．1.5 B．2 C．2.5 D．310．如图，∶ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AD＝CD＝7，若点P到AC的距离为5，则点P在四边形ABCD 边上的个数为()A．0 B．2 C．3 D．4二、填空题(每小题3分，共24分)11．在Rt∶ABC中，∶C＝90°，斜边上的中线CD＝3，则斜边AB的长是________．12．已知，在Rt∶ABC中，∶ACB＝90°，CD∶AB于点D，且AD＝3，AC＝6，则AB＝________．13．如图，∶D＝∶C＝90°，请你再添加一个条件，使∶ABD∶∶ABC，你添加的条件是____________．第13题图第14题图14．如图，在∶ABC中，∶C＝90°，AD平分∶CAB，BC＝6cm，BD＝4cm，那么点D到直线AB的距离是________cm.15．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∶MAD＝45°，∶MBC＝30°，则警示牌的高CD为________米.(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)第15题图第16题图16．在底面直径长为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图的圈数缠绕，则丝带的最短长度为________cm(结果保留π)．17．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC边上的高AD＝6cm，腰AB上的高CE＝8cm，则∶ABC 的周长等于________cm.第17题图第18题图18．如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∶1＝120°，P是直线l上一点，当∶APB为直角三角形时，AP＝____________．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，在Rt∶ABC中，∶ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将∶ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得到四边形ABCE.求证：EC∶AB.20．(8分)证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，∶AOC＝∶BOC，点P在OC上，________________________________________．求证：________．请你补全已知和求证，并写出证明过程．21．(10分)如图，∶A＝∶B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∶1＝∶2.(1)Rt∶ADE与Rt∶BEC全等吗？并说明理由；(2)∶CDE是不是直角三角形？并说明理由．22．(10分)如图，在∶ABC中，∶C＝90°，AD是∶BAC的平分线，DE∶AB于点E，点F在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.23．(10分)如图，一根长63的木棒(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，与地面的倾斜角(∶ABO)为60°.当木棒A端沿墙下滑到点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′.(1)求OB的长；(2)当AA′＝1时，求BB′的长．24．(10分)如图，在Rt∶ABC中，AB＝CB，ED∶CB，垂足为D，且∶CED＝60°，∶EAB＝30°，AE＝2，求CB的长．25．(12分)如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我国边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我国领海靠近，便立即通知正在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经测量AC＝10海里，AB＝6海里，BC＝8海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我国领海？参考答案1．C 2.B 3.A 4.B 5.C 6.A 7.D 8.C 9.D10．A 【解析】如图，过点D 作DE ∶AC ，BF ∶AC ，垂足分别为E ，F .在Rt∶ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝10，BF ＝6×810＝4.8＜5；在∶ACD 中，∶AD ＝CD ，∶AE ＝CE ＝5，DE ＝72－52＝26＜5，则点P 在四边形ABCD 边上的个数为0．故选A.11．6 12.12 13.AC ＝AD (答案不唯一) 14．2 15.2.916．3π2＋1 【解析】如图，∶无弹性的丝带从A 至C ，绕了1.5圈，∶展开后AB ＝1.5×2π＝3π(cm)，BC ＝3cm ，由勾股定理，得AC ＝AB 2＋BC 2＝9π2＋9＝3π2＋1(cm)．17．125 【解析】由AB ·CE ＝BC ·AD ，得8AB ＝6BC .设BC ＝8x cm ，则AB ＝6x cm ，BD ＝4x cm.在Rt∶ADB中，AB 2＝AD 2＋BD 2，∶(6x )2＝62＋(4x )2，解得x ＝355.∶∶ABC 的周长为2AB ＋BC ＝12x ＋8x ＝125(cm)． 18．3或33或37 【解析】当∶APB ＝90°时，分两种情况讨论．情况一：如图1，∶AO ＝BO ，∶PO ＝BO .∶∶1＝120°，∴∠PBA ＝∶OPB ＝12×(180°－120°)＝30°，∶AP ＝ 12AB ＝3；情况二：如图2．∶AO ＝BO ，∶APB ＝90°，∶PO ＝BO .∶∶1＝120°，∶∶BOP ＝60°，∶∶BOP 为等边三角形，∶∶OBP ＝60°，∶∶A ＝30°，BP ＝12AB ＝3，∶由勾股定理，得AP ＝AB 2－BP 2＝33；当∶BAP ＝90°时，如图3，∶∶1＝120°，∴∠AOP ＝60°，∶∶APO ＝30°.∶AO ＝3，∶OP ＝2AO ＝6，由勾股定理得AP ＝OP 2－AO 2＝33；当∶ABP ＝90°时，如图4，∶∶1＝120°，∶∶BOP ＝60°.∶OA ＝OB ＝3，∶OP ＝2OB ＝6，由勾股定理得PB ＝OP 2－AO 2＝33，∶P A ＝PB 2＋AB 2＝37.综上所述，当∶APB 为直角三角形时，AP 为3或33或37.19．【证明】∶CD 是AB 边上的中线，且∶ACB ＝90°，∶CD ＝AD ，∶∶CAD ＝∶ACD .又∶∶ACE 是由∶ACD 沿AC 边所在的直线折叠而成的，∶∶ECA ＝∶ACD ，∶∶ECA ＝∶CAD ，∶EC ∶AB .20. 【解】PD ∶OA ，PE ∶OB ，垂足分别为D ，E .PD ＝PE .证明如下：∶PD ∶OA ，PE ∶OB ，∶∶PDO ＝∶PEO ＝90°.在∶PDO 和∶PEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∶PDO ＝∶PEO ，∶AOC ＝∶BOC ，OP ＝OP ，∶∶PDO ∶∶PEO (AAS)，∶PD ＝PE .21.【解】(1)全等．理由如下：∶∶1＝∶2，∶DE ＝CE .∶∶A ＝∶B ＝90°，AE ＝BC ，∶Rt∶ADE ∶Rt∶BEC (HL)．（2）∶CDE 是直角三角形．理由如下：∶Rt∶ADE ∶Rt∶BEC ，∶∶AED ＝∶BCE .∶∶BCE ＋∶BEC ＝90°，∶∶BEC ＋∶AED ＝90°，∶∶DEC ＝90°，∶∶CDE 是直角三角形．22.【证明】(1)∶AD 是∶BAC 的平分线，DE ∶AB ，DC ∶AC ，∶DE ＝DC .在Rt∶DCF 和Rt∶DEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧DF ＝BD ，DC ＝DE ， ∶Rt∶DCF ∶Rt∶DEB (HL)，∶CF ＝EB .（2）在Rt∶ADC 与Rt∶ADE 中，∶⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝DE ，AD ＝AD ，∶Rt∶ADC ∶Rt∶ADE (HL)，∶AC ＝AE ， ∶AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .23.【解】(1)∶OA ∶OB ，∶ABO ＝60°，∶∶BAO ＝30°，∶BO ＝12AB ＝12×63＝3 3. （2）在Rt∶ABO 中，AO ＝AB 2－BO 2＝9，∶A ′O ＝AO －AA ′＝9－1＝8.又由题意可知A ′B ′＝AB ＝6 3.在Rt∶A ′OB ′中，B ′O ＝A ′B ′2－A ′O 2＝211，∶BB ′＝B ′O －BO ＝211－3 3.24. 【解】如图，过E 点作EF ∶AB ，垂足为F .∶∶EAB ＝30°，AE ＝2，∶EF ＝1，∶BD ＝1.又∶∶CED ＝60°，ED ∶BC ，∶∶ECD ＝30°.而AB ＝CB ，AB ∶BC ，∶∶EAC ＝∶ECA ＝45°－30°＝15°，∶CE ＝AE ＝2.在Rt∶CDE 中，∶ECD ＝30°，∶ED ＝1，CD ＝22－12＝3，∶CB ＝CD ＋BD ＝1＋ 3.25.【解】∶AB ＝6海里，BC ＝8海里， ∶AB 2＋BC 2＝100＝BC 2，∶∶ABC 为直角三角形，且∶ABC ＝90°.又∶S ∶ABC ＝12AC ·BD ＝12AB ·BC ， ∶12×10×BD ＝12×6×8，∶BD ＝4.8海里． 在Rt∶BCD 中，CD 2＝BC 2－BD 2＝82－4.82，∶CD ＝6.4海里，∶可疑船只从被发现到进入我国领海的时间为6.4÷12.8＝0.5(时)，∶可疑船只最早10时58分进入我国领海．第二章检测卷时间：120分钟 满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．“x 的3倍与y 的和不小于2”用不等式可表示为( )A ．3x ＋y ＞2B ．3(x ＋y )＞2C ．3x ＋y ≥2D ．3(x ＋y )≥22．已知a >b >0，下列结论错误的是( )A ．a ＋m >b ＋mB ．ac 2>bc 2(c ≠0)C ．－2a >－2b D.a 2>b 23．一元一次不等式2(x ＋1)≥4的解集在数轴上表示为( )A.B. C. D.4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＜2x ＋4，x －1≥2的解集是( ) A ．x ＞4 B ．x ≤3 C ．3≤x ＜4 D ．无解5．与不等式x －33＜－1有相同解集的是( ) A ．3x －3＜4x －5 B ．2(x －3)＜3(4x ＋1)－1C ．3(x －3)＜2(x －6)＋3D ．3x －9＜4x －46．在平面直角坐标系内，点P (2x －6，x －5)在第四象限，则x 的取值范围是( )A ．3＜x ＜5B ．－3＜x ＜5C ．－5＜x ＜3D ．－5＜x ＜－37．若关于x 的方程3m (x ＋1)＋1＝m (3－x )－5x 的解是负数，则m 的取值范围是( )A ．m ＞－54B ．m ＜－54C ．m ＞54D ．m ＜548．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜a ，x ＋92＋1≥x ＋13－1有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜－36 B ．a ≤－36 C ．a ＞－36 D ．a ≥－369．如图，直线y ＝kx ＋b 经过点A (－1，－2)和点B (－2，0)，直线y ＝2x 过点A ，则不等式2x ＜kx ＋b ＜0的解集为( )A ．x ＜－2B ．－2＜x ＜－1C ．－2＜x ＜0D ．－1＜x ＜010．有一家人参加登山活动，他们要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人带3瓶，则剩余3瓶；若每人带4瓶，则有一人带了矿泉水，但不足3瓶，则这家参加登山的人数为( )A ．5B ．6C ．7D ．5或6二、填空题(每小题3分，共24分)11．不等式－3x ＋1＜－2的解集为________．12．已知一次函数y 1＝2x －6，y 2＝－5x ＋1，则当x ________时，y 1＞y 2.13．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞0，x ＞2x －5的正整数解为________． 14．若代数式3m －12的值在－1和2之间，则m 的取值范围是__________． 15．某人10：10离家赶11：00的火车，已知他家离车站10千米，他离家后先以3千米/时的速度走了5分钟，然后乘公共汽车去车站，公共汽车每小时至少走________千米才能不误当次火车(进站时间忽略不计)．16．一次函数y 1＝kx ＋b 与y 2＝x ＋a 的图象如图，当x ________时，kx ＋b >x ＋a .17．如果关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >m －1，x >m ＋2的解集是x >－1，那么m ＝________. 18．对于任意实数m ，n ，定义一种运算：m ※n ＝mn －m －n ＋3，等式的右边是通常的加减法和乘法运算，如3※5＝3×5－3－5＋3＝10.请根据上述定义解决问题：若a ＜2※x ＜7，且解集中有两个整数解，则a 的取值范围是__________．三、解答题(共66分)19．(6分)解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上．(1)x ＋12≥3(x －1)－4；(2)2x －13－5x ＋12≥1.20．(8分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1＜2∶，2x ＋3≥x －1∶.请结合题意解答下列问题． (1)解不等式∶，得________；(2)解不等式∶，得________；(3)把不等式的解集在数轴上表示出来；(4) 不等式组的解集为__________．21.(8分)关于x 的两个不等式3x ＋a 2＜1∶与1－3x ＞0∶. (1)若两个不等式的解集相同，求a 的值；(2)若不等式∶的解都是∶的解，求a 的取值范围．22．(9分)在下列平面直角坐标系中画出函数y 1＝－x ＋3，y 2＝3x －4的图象．观察图象，回答下列问题：(1)当x 取何值时，y 1＝y 2? (2)当x 取何值时，y 1＞y 2? (3)当x 取何值时，y 1＜y 2?23．(10分)已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝m ∶，2x ＋3y ＝2m ＋4∶的解满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤0，x ＋5y >0，求满足条件的m 的整数值．24．(10分)今年冬天受寒潮影响，淘宝上的电热取暖器销售火爆．某电商销售每台成本价分别为200元、170元的A、B两种型号的电热取暖器，下表是近两天的销售情况：(1)求A、B(2)若该电商准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电热取暖器共30台，问：A种型号的电热取暖器最多能采购多少台？25．(15分)去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾．“旱灾无情人有情”，某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．(1)求饮用水和蔬菜分别有多少件；(2)现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；(3)在(2)的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？参考答案1．C 2.C 3.A 4.C 5.C 6.A 7.A 8.C 9.B10．D 【解析】设这家参加登山的有x 人．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋3≤4（x －1）＋2，3x ＋3>4（x －1），解得5≤x ＜7，所以x ＝5或x ＝6，故这家参加登山的有5人或6人．故选D ． 11．x ＞1 12.＞1 13.1，2，3，4 14.－13＜m ＜5315．13 16.<3 17.－318．4≤a ＜5 解析：根据题意，得2※x ＝2x －2－x ＋3＝x ＋1.∶a ＜x ＋1＜7，∶a － 1＜x ＜6.∶解集中有两个整数解，∶3≤a －1＜4，∶a 的取值范围为4≤a ＜5. 19．【解】(1)去分母，得x ＋1≥6(x －1)－8. 去括号，得x ＋1≥6x －6－8. 移项，得x －6x ≥－6－8－1. 合并同类项，得－5x ≥－15. 系数化为1，得x ≤3. 在数轴上表示如下．（2）去分母，得2(2x －1)－3(5x ＋1)≥6. 去括号，得4x －2－15x －3≥6. 移项，得4x －15x ≥6＋2＋3. 合并同类项，得－11x ≥11. 系数化为1，得x ≤－1.在数轴上表示如下．20．【解】(1)x ＜3. (2)x ≥－4.(3)在数轴上表示如下．(4)－4≤x ＜3(8分)21．【解】(1)由∶得x ＜2－a 3.由∶得x ＜13.(2分)∶两个不等式的解集相同，∶2－a 3＝13，解得a ＝1.(2)∶不等式∶的解都是∶的解，∶2－a 3≤13，解得a ≥1.22. 【解】先作出y 1＝－x ＋3与y 2＝3x －4的函数图象，令y 1＝y 2，得x ＝74.故两直线交点的横坐标为74，如图．观察图象可知，(1)当x ＝74时，y 1＝y 2(此时两图象交于一点)．(2)当x <74时，y 1>y 2(y 1的图象在y 2的图象的上方)．(3)当x >74时，y 1<y 2(y 1的图象在y 2的图象的下方)．23. 【解】∶＋∶，得3x ＋y ＝3m ＋4∶. ∶－∶，得x ＋5y ＝m ＋4∶.将③，④代入不等式组，得⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4≤0，m ＋4>0，解得－4<m ≤－43.故满足条件的m 的整数值为－3，－2.24.【解】(1)设A 、B 两种型号的电热取暖器的销售单价分别为x 元、y 元，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝1800，4x ＋10y ＝3100，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝250，y ＝210.答：A 、B 两种型号的电热取暖器的销售单价分别为250元和210元．(2)设采购A 种型号的电热取暖器a 台，则采购B 种型号的电热取暖器(30－a )台． 由题意，得200a ＋170(30－a )≤5400， 解得a ≤10.答：最多能采购A 种型号的电热取暖器10台． 25.【解】(1)设饮用水有x 件，则蔬菜有(x －80)件． 根据题意，得x ＋(x －80)＝320，解得x ＝200. ∶x －80＝120.答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件．(2)设租用甲种货车m 辆，则租用乙种货车(8－m )辆．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40m ＋20（8－m ）≥200，10m ＋20（8－m ）≥120，解得2≤m ≤4.∶m 为正整数，∶m ＝2或3或4.故安排甲、乙两种货车时有3种方案，设计方案分别为： ∶甲车2辆，乙车6辆； ∶甲车3辆，乙车5辆； ∶甲车4辆，乙车4辆． (3)3种方案的运费分别为： ∶2×400＋6×360＝2960(元)； ∶3×400＋5×360＝3000(元)； ③4×400＋4×360＝3040(元)．∶方案∶运费最少，最少运费是2960元．答：运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元．第三章检测卷时间：120分钟 满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文，能用其中一部分平移得到的是( )2．如图，五星红旗上的每一个五角星()A．是轴对称图形，但不是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形3．如图，在平面直角坐标系中，将点M(2，1)向下平移2个单位长度得到点N，则点N的坐标为()A．(2，－1) B．(2，3) C．(0，1) D．(4，1)4．已知点A(a，1)与点A′(5，b)关于坐标原点对称，则实数a，b的值是()A．a＝5，b＝1 B．a＝－5，b＝1C．a＝5，b＝－1 D．a＝－5，b＝－15．如图，把∶ABC绕点C顺时针旋转35°得到∶A′B′C，A′B′交AC于点D.若∶A′DC＝90°，则∶A的度数为()A．45° B．55° C．65° D．75°6．如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是()A．点M B．点N C．点P D．点Q7．在如图的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有()A．4个B．3个C．2个D．1个8．如图，在Rt∶ABC中，∶C＝90°，∶ABC＝30°，AB＝8，将∶ABC沿CB方向向右平移得到∶DEF.若四边形ABED的面积为8，则平移距离为()A．2 B．4 C．8 D．169．如图，Rt∶ABC向右翻滚，下列说法正确的有()(1)∶→∶是旋转；(2)∶→∶是平移；(3)∶→∶是平移；(4)∶→∶是旋转．A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，在等边三角形ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将∶BCD绕点B逆时针旋转60°得到∶BAE，连接ED.若BC＝5，BD＝4，则下列结论错误的是()A．AE∶BC B．∶ADE＝∶BDCC．∶BDE是等边三角形D．∶ADE的周长是9二、填空题(每小题3分，共24分)11．将点A(2，1)向左平移3个单位长度得到的点B的坐标是________．12．如图，将∶ABC绕着点C顺时针方向旋转50°后得到∶A′B′C.若∶A＝40°，∶B′＝110°，则∶BCA′的度数是________．第12题图第13题图13．如图，将∶ABC沿直线AB向右平移后到∶BDE的位置，若∶CAB＝50°，∶ABC＝100°，则∶CBE的度数为________．14．如图，香港特别行政区区徽由五个相同的花瓣组成，它是以一个花瓣为“基本图案”通过连续四次旋转组成的，在这四次旋转中，旋转角度最小是________度．第14题图第15题图15．如图，在∶ABC中，AB＝AC，BC＝12cm，点D在AC上，DC＝4cm，将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，点E，F分别落在AB，BC上，则∶EBF的周长为________cm.16．如图，A，B两点的坐标分别为(－2，0)，(0，1)，将线段AB平移到线段A1B1的位置．若A1(b，1)，B1(－1，a)，则b－a＝________．第16题图第18题图17．在等腰三角形ABC中，∶C＝90°，BC＝2cm，如果以AC的中点O为旋转中心，将∶ABC旋转180°，点B落在B′处，那么BB′的长度为________．18．如图，在Rt∶ABC中，AC＝5，BC＝12，则其内部五个小直角三角形的周长之和为________．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，经过平移，∶ABC的顶点移到了点D，作出平移后的∶DEF.20．(7分)如图，∶ABO与∶CDO关于O点中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE.求证：FD＝BE.21.(9分)如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．∶ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将∶ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到∶AB′C′.(1)在正方形网格中，画出∶AB′C′；(2)画出∶AB′C′向左平移4格后的∶A′B″C″；(3)计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．22．(10分)如图，在Rt∶ABC中，∶ACB＝90°，点D，E分别在AB，AC上，CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF.(1)补充完成图形；(2)若EF∶CD，求证：∶BDC＝90°.23．(10分)如图，在Rt∶ABC中，∶ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，将∶ABC沿AB边所在的直线向右平移3个单位长度，记平移后的对应三角形为∶DEF.求：(1)DB的长；(2)此时梯形CAEF的面积．24．(12分)如图，4×4网格图都是由16个相同小正方形组成的，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影．(1)在图∶中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形；(2)在图∶中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形．25．(12分)两块等腰直角三角形纸片AOB 和COD 按图∶放置，直角顶点重合在点O 处，AB ＝25.保持纸片AOB 不动，将纸片COD 绕点O 逆时针旋转α(0°＜α＜90°)角度，如图∶． (1)在图∶中，求证：AC ＝BD ，且AC ∶BD ；(2)当BD 与CD 在同一直线上(如图∶)时，若AC ＝7，求CD 的长．参考答案1．D 2.A 3.A 4.D 5.B 6.B 7.A 8.A 9.C10．B 【解析】由旋转的性质，得BE ＝BD ，∶EBD ＝60°，∶∶BDE 是等边三角形，故C 正确；∶∶ABC 是等边三角形，∶∶C ＝∶BAC ＝60°.由旋转的性质，得∶EAB ＝∶C ＝60°，∶∶EAC ＋∶C ＝180°，∶AE ∶BC ，故A 正确；∶∶BDE 是等边三角形，∶∶EDB ＝60°.若∶ADE ＝∶BDC ，则∶ADE ＝12(180°－∶EDB )＝60°＝∶C ，∶ED ∶BC ，这与AE ∶BC 矛盾，故B 错误；易知AD ＋AE ＝AD ＋DC ＝BC ＝5，ED ＝BD ＝4，∶∶ADE 的周长为9，故D 正确．故选B.11．(－1，1) 12.80° 13.30° 14.72 15.13 16.－5 17．25cm 18.3019．【解】如图，∶DEF 即为所求．20.【证明】∶∶ABO 与∶CDO 关于O 点中心对称， ∶OB ＝OD ，OA ＝OC .∶AF ＝CE ，∶OF ＝OE .在∶DOF 和∶BOE 中，OD ＝OB ，∶DOF ＝∶BOE ，OF ＝OE ，∶∶DOF ∶∶BOE (SAS)，∶FD ＝BE .21. 【解】(1)如图，∶AB ′C ′即为所求．(2)如图，∶A ′B ″C ″即为所求．(3)∶AB ＝42＋32＝5，∶线段AB 在变换到AB ′的过程中扫过区域的面积为半径长为5的圆的面积的14， 即14×π×52＝254π. 22．(1)【解】补全图形，如图．(2)【证明】由旋转的性质，得∶DCF ＝90°，DC ＝FC ，∶∶DCE ＋∶ECF ＝90°.∶∶ACB ＝90°，∶∶DCE ＋∶BCD ＝90°，∶∶ECF ＝∶BCD .∶EF ∶DC ，∶∶EFC ＋∶DCF ＝180°，∶∶EFC ＝90°.在∶BDC 和∶EFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝FC ，∶BCD ＝∶ECF ，BC ＝EC ，∶∶BDC ∶∶EFC (SAS)，∶∶BDC ＝∶EFC ＝90°.23. 【解】(1)∶将∶ABC 沿AB 边所在直线向右平移3个单位到∶DEF ，∶AD ＝BE ＝CF ＝3.∶AB ＝5，∶DB ＝AB －AD ＝2.(2)过点C 作CG ∶AB 于点G .在∶ACB 中，∶∶ACB ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，∶由勾股定理，得BC ＝AB 2－AC 2＝4.由三角形的面积公式，得12AC ·BC ＝12CG ·AB ， ∶3×4＝5×CG ，解得CG ＝125. ∶梯形CAEF 的面积为12(CF ＋AE )×CG ＝12×(3＋5＋3)×125＝665. 24．【解】(1)如图．(2)如图．25. (1)【证明】如图，延长BD 交OA 于点G ，交AC 于点E .∶∶AOB 和∶COD 是等腰直角三角形，∶OA ＝OB ，OC ＝OD ，∶AOB ＝∶COD ＝90°，∶∶AOC ＋∶AOD ＝∶DOB ＋∶DOA ，∶∶AOC ＝∶DOB .在∶AOC 和∶BOD 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ，∶AOC ＝∶BOD ，OC ＝OD ，∶∶AOC ∶∶BOD ，∶AC ＝BD ，∶CAO ＝∶DBO .又∶∶DBO ＋∶OGB ＝90°，∶OGB ＝∶AGE ，∶∶CAO ＋∶AGE ＝90°，∶∶AEG ＝90°，∶AC ∶BD .(2)【解】由(1)可知，AC ＝BD ，AC ∶BD .∶BD ，CD 在同一直线上，∶∶ABC 是直角三角形．由勾股定理，得BC ＝AB 2－AC 2＝252－72＝24.∶CD ＝BC －BD ＝BC －AC ＝17.第四章检测卷 时间：120分钟 满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的为()A．x(a－b)＝ax－bx B．x2－1＋y2＝(x－1)(x＋1)＋y2C．x2－1＝(x＋1)(x－1) D．ax＋bx＋c＝x(a＋b)＋c2．下列四个多项式能因式分解的是()A．a－1 B．a2＋1 C．x2－4y D．x2－6x＋93．若多项式x2＋mx－28可因式分解为(x－4)(x＋7)，则m的值为()A．－3 B．11 C．－11 D．34．若a＋b＝3，a－b＝7，则b2－a2的值为()A．－21 B．21 C．－10 D．105．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是()A．a2－1 B．a2＋a C．a2＋a－2 D．(a＋2)2－2(a＋2)＋16．把代数式3x3－12x2＋12x因式分解，结果正确的是()A．3x(x2－4x＋4) B．3x(x－4)2C．3x(x＋2)(x－2) D．3x(x－2)27．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)，再沿虚线剪开，如图∶，然后拼成一个梯形，如图∶，根据这两个图形的面积关系下列式子成立的是()A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2D．a2－b2＝(a－b)28．已知x，y满足2x＋x2＋x2y2＋2＝－2xy，则x＋y的值为()A．－1 B．0 C．2 D．19．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2－4，乙与丙相乘为x2＋15x－34，则甲与丙相加的结果与下列式子相同的是()A．2x＋19 B．2x－19 C．2x＋15 D．2x－1510．已知a＝2018x＋2017，b＝2018x＋2018，c＝2018x＋2019，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值为()A．0 B．3 C．2 D．1二、填空题(每小题3分，共24分)11．分解因式：(1)a2－9＝__________；(2)a2b＋2ab＋b＝__________．12．分解因式：4＋12(x－y)＋9(x－y)2＝________________.13．比较大小：a2＋b2________2ab－1(选填“＞”“≥”“＜”“≤”或“＝”)．14．甲、乙、丙三家汽车销售公司的同款汽车的售价都是20.15万元，为了盘活资金，甲、乙分别让利7%，13%，丙的让利是甲、乙两家公司让利之和，则丙共让利________万元．15．若m －n ＝－2，则m 2＋n 22－mn 的值是________． 16．若多项式25x 2＋kxy ＋4y 2可以分解为完全平方式，则k 的值为________．17．若|x －2|＋y 2－4y ＋4＝0，则x y ＝________．18．观察下列各式：22－1＝1×3；32－1＝2×4；42－1＝3×5；……将你猜想到的规律用只含一个字母n 的式子表示出来____________________．三、解答题(共66分)19．(8分)利用因式分解计算：(1)3.62－5.62；(2)40×3.52＋80×3.5×1.5＋40×1.52.20.(8分)利用因式分解化简求值．(1)已知a ＋2b ＝0，求a 3＋2ab (a ＋b )＋4b 3的值；(2)已知m ＋n ＝3，mn ＝23，求m 3n －m 2n 2＋mn 3的值．21．(8分)如图，在一块边长为a cm 的正方形纸板上，在正中央剪去一个边长为b cm 的正方形，当a ＝6.25，b ＝3.75时，请利用因式分解计算阴影部分的面积．22．(10分)将下列各式因式分解：(1)a2b－abc；(2)m4－2m2＋1；(3)(2a＋b)2－8ab；(4)(a＋b)2－4(a＋b－1)；(5)(x－3y)2m＋1＋9(3y－x)2m－1.23．(10分)已知A＝a＋10，B＝a2－a＋7，其中a>3，指出A与B哪个大，并说明理由．24．(10分)已知实数a，b满足条件2a2＋3b2＋4a－12b＋14＝0，求(a＋b)2018的值．25．(12分)阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解．例如，将式子x2＋3x＋2分解因式．分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2.解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．请仿照上面的方法，解答下列问题：(1)分解因式：x2＋7x－18＝______________；启发应用：(2)利用因式分解法解方程：x2－6x＋8＝0；(3)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______________.参考答案1．C 2.D 3.D 4.A 5.C 6.D7.A8.B9．A【解析】∶x2－4＝(x＋2)(x－2)，x2＋15x－34＝(x＋17)·(x－2)，∶乙为x－2，∶甲为x＋2，丙为x ＋17，∶甲与丙相加的结果x＋2＋x＋17＝2x＋19.故选A.10．B【解析】∶a＝2018x＋2017，b＝2018x＋2018，c＝2018x＋2019，∶a－b＝－1，b－c＝－1，a－c＝－2，则原式＝12(2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2]＝12×(1＋1＋4)＝3.故选B.11．(1)(a ＋3)(a －3) (2)b (a ＋1)212．(3x －3y ＋2)2 13.＞14．4.03 15.2 16.±20 17.418．(n ＋1)2－1＝n (n ＋2)(n 为正整数)19．【解】(1)原式＝(3.6－5.6)×(3.6＋5.6)＝－2×9.2＝－18.4.(2)原式＝40×(3.52＋2×3.5×1.5＋1.52)＝40×(3.5＋1.5)2＝40×52＝1000.20．【解】(1)原式＝a 3＋2a 2b ＋2ab 2＋4b 3＝a 2(a ＋2b )＋2b 2(a ＋2b )＝(a 2＋2b 2)(a ＋2b ).当a ＋2b ＝0时，原式＝0.(2)原式＝mn (m 2－mn ＋n 2)＝mn [(m 2＋2mn ＋n 2)－3mn ]＝mn [(m ＋n )2－3mn ]．当m ＋n ＝3，mn ＝23时，原式＝23×⎝⎛⎭⎫32－3×23＝423. 21【解】设阴影部分的面积为S .依题意，得S ＝a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )．当a ＝6.25，b ＝3.75时，S ＝(6.25＋3.75)×(6.25－3.75)＝10×2.5＝25(cm 2)．即阴影部分的面积为25cm 2.22．【解】(1)原式＝ab (a －c )．(2)原式＝(m 2－1)2＝[(m ＋1)(m －1)]2＝(m ＋1)2(m －1)2.(3)原式＝4a 2＋4ab ＋b 2－8ab ＝4a 2－4ab ＋b 2＝(2a －b )2.(4)原式＝(a ＋b )2－4(a ＋b )＋4＝(a ＋b －2)2.(5)原式＝(x －3y )2m ＋1－9(x －3y )2m －1＝(x －3y )2m －1[(x －3y )2－9]＝(x －3y )2m －1(x －3y ＋3)(x －3y －3)．23．【解】B >A .理由如下：B －A ＝a 2－a ＋7－a －10＝a 2－2a －3＝(a ＋1)(a －3)．∶a >3，∶a ＋1＞0，a －3＞0，即B －A ＞0，∶B >A .24.【解】由题可知，2a 2＋4a ＋2＋3b 2－12b ＋12＝2(a ＋1)2＋3(b －2)2＝0，则a ＋1＝0，b －2＝0，解得a ＝－1，b ＝2.∶(a ＋b )2018＝(－1＋2)2018＝1.25．【解】(1)(x －2)(x ＋9)(2)∶常数项8＝(－2)×(－4)，一次项系数－6＝(－2)＋(－4)，∶x 2－6x ＋8＝(x －2)(x －4)．∶方程x 2－6x ＋8＝0可变形为(x －2)(x －4)＝0.∶x －2＝0或x －4＝0，∶x ＝2或x ＝4.(3)±7 ±2∶－8＝－1×8，－8＝－8×1，－8＝－2×4，－8＝－4×2，∶p 的所有可能值为－1＋8＝7，－8＋1＝－7，－2＋4＝2，－4＋2＝－2.第五章检测卷时间：120分钟 满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列各式是分式的是( )A ．2x B.x －y 6 C.x 3 D.x 2x2．要使分式3x －2有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．x ≠－2 D ．x ≠23．分式x 2－1x 2＋2x ＋1的值为0，则x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．±1 D ．14．当x ＝6，y ＝－2时，代数式x 2－y 2（x －y ）2的值为( ) A ．2 B.43 C ．1 D.125．分式方程3x ＝4x ＋1的解是( ) A ．x ＝－1 B ．x ＝1 C ．x ＝2 D ．x ＝36．当a ＝2时，计算a 2－2a ＋1a 2÷⎝⎛⎭⎫1a －1的结果是( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－127．下列计算错误的是( )A.0.2a ＋b 0.7a －b ＝2a ＋b 7a －bB.x 3y 2x 2y 3＝x yC.a －b b －a＝－1 D.1c ＋2c ＝3c 8．炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意下面所列方程正确的是( ) A.66x ＝60x －2 B.66x －2＝60xC.66x ＝60x ＋2D.66x ＋2＝60x9．关于x 的方程3x －2x ＋1＝2＋m x ＋1无解，则m 的值为( ) A ．－5 B ．－8 C ．－2 D ．510．一项工程需在规定日期完成，如果甲队单独做，就要超过规定日期1天，如果乙队单独做，要超过规定日期4天．现在先由甲、乙两队一起做3天，剩下的工程由乙队单独做，刚好在规定日期完成，则规定日期为( )A ．6天B ．8天C ．10天D ．7.5天二、填空题(每小题3分，共24分)11．若把分式xy x －y中的x ，y 都扩大5倍，则分式的值____________． 12．化简m －1m ÷m －1m 2的结果是________． 13．若代数式1x －2和32x ＋1的值相等，则x ＝________． 14．已知1a －1b ＝13，则2ab a －b的值等于________． 15．如图，设k ＝甲图中阴影部分面积乙图中阴影部分面积(a ＞b ＞0)，则k ＝________.16．当x ＝2－1时，代数式x 2－2x ＋1x ＋1÷x －1x 2＋x＋x 的值是________． 17．目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现小琼步行12000步与小博步行9000步消耗的能量相同．若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小博多10步，则小博每消耗1千卡能量需要行走________步．18．若关于x 的分式方程x x －3－2＝m x －3有增根，则增根为________，m ＝________． 三、解答题(共66分)19．(8分)计算：(1)x ＋3x 2－9＋1x －3；(2)⎝⎛⎭⎫a ＋1－3a －1·2a －2a ＋2.20．(8分)解分式方程：(1)2x ＝3x ＋2；(2)x ＋1x －1＋4x 2－1＝1.21.(8分)(1)先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫1a ＋2－1a －2÷1a －2，其中a ＝3；(2)先化简⎝⎛⎭⎫1－2x －1·x 2－x x 2－6x ＋9，再在1，2，3中选取一个适当的数代入求值．22．(10分)为了加快城市群的建设与发展，在A ，B 两城市间新建一条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的120km 缩短至114km ，城际铁路的设计平均时速要比现在运行的平均时速快110km ，运行时间仅是现在运行时间的25，求建成后的城际铁路在A ，B 两地间的运行时间．23．(10分)若关于x 的分式方程x x －1＝3a 2x －2－2的解为非负数，求a 的取值范围．24．(10分)某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．(1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；(2)为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%.按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．25．(12分)设A ＝a －21＋2a ＋a 2÷⎝⎛⎭⎫a －3a a ＋1. (1)化简A ；(2)当a ＝3时，记此时A 的值为f (3)；当a ＝4时，记此时A 的值为f (4)……解关于x 的不等式：x －22－7－x 4≤f (3)＋f (4)＋…＋f (11)，并将它的解集在数轴上表示出来．参考答案1．D 2.D 3.D 4.D 5.D 6.D 7.A 8.D 9.A10．B 【解析】首先设工作总量为1，未知的规定日期为x 天．则甲队单独做需(x ＋1)天，乙队单独做需(x ＋4)天．由“工作总量＝工作时间×工作效率”，得3⎝⎛⎭⎫1x ＋4＋1x ＋1＋x －3x ＋4＝1，解得x ＝8.故选B.11．扩大5倍 12.m 13.7 14.－615.a ＋b a16.3－22 17.30 18.x ＝3 3 19．【解】(1)原式＝1x －3＋1x －3＝2x －3. (2)原式＝（a ＋1）（a －1）－3a －1·2（a －1）a ＋2＝a 2－4a －1·2（a －1）a ＋2＝（a ＋2）（a －2）a －1·2（a －1）a ＋2＝2a －4.20．【解】(1)方程两边都乘x (x ＋2)，得2(x ＋2)＝3x ，解得x ＝4.检验：当x ＝4时，x (x ＋2)≠0，所以原分式方程的解为x ＝4.(2)方程两边都乘(x ＋1)(x －1)，得(x ＋1)2＋4＝(x ＋1)(x －1)，解得x ＝－3.检验：当x ＝－3时，(x ＋1)(x －1)≠0，所以原分式方程的解是x ＝－3.21.【解】(1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2（a ＋2）（a －2）－a ＋2（a －2）（a ＋2）÷1a －2 ＝a －2－a －2（a ＋2）（a －2）·(a －2) ＝－4a ＋2. 当a ＝3时，原式＝－45. (2)原式＝x －1－2x －1·x （x －1）（x －3）2＝x x －3. ∶x －1≠0，x －3≠0，∶x ≠1且x ≠3，∶x 只能选取2.把x ＝2代入，得原式＝22－3＝－2. 22.【解】设城际铁路现行速度是x km/h.由题意，得120x ×25＝114x ＋110， 解得x ＝80.经检验，x ＝80是原分式方程的根，且符合题意．则120x ×25＝12080×25＝0.6(h)． 答：建成后的城际铁路在A ，B 两地间的运行时间是0.6h.23.【解】方程两边同时乘2x －2，得2x ＝3a －2(2x －2)，整理，得6x ＝3a ＋4，∶x ＝3a ＋46. ∶方程的解为非负数，∶3a ＋46≥0，解得a ≥－43. 又∶x ≠1，∶3a ＋46≠1，∶a ≠23. 故a 的取值范围是a ≥－43且a ≠23. 24.【解】(1)设原计划每天生产零件x 个.依题意，得24000x ＝24000＋300x ＋30， 解得x ＝2400.经检验，x ＝2400是原分式方程的根，且符合题意．∶规定的天数为24000÷2400＝10(天)．答：原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天．(2)设原计划安排的工人人数为y ．依题意，得[5×20×(1＋20%)×2400y＋2400]×(10－2)＝24000， 解得y ＝480.经检验，y ＝480是原分式方程的根，且符合题意答：原计划安排的工人人数为480人．25．【解】(1)化简，得A ＝1a 2＋a . (2)当a ＝3时，f (3)＝132＋3＝112＝13×4； 当a ＝4时，f (4)＝142＋4＝120＝14×5； 当a ＝5时，f (5)＝152＋5＝130＝15×6； ……∶x －22－7－x 4≤f (3)＋f (4)＋…＋f (11)，即x －22－7－x 4≤13×4＋14×5＋…＋111×12， ∶x －22－7－x 4≤13－14＋14－15＋…＋111－112， ∶x －22－7－x 4≤13－112， 解得x ≤4.∶原不等式的解集是x ≤4，在数轴上表示如图．第六章检测卷时间：100分钟满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，则CD等于()A．2 B.3 C．4 D．52．在平行四边形ABCD中，∶B＝60°，那么下列各式中，不能成立的是()A．∶D＝60° B．∶A＝120° C．∶C＋∶D＝180° D．∶C＋∶A＝180°3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论正确的是()A．S▱ABCD＝4S∶AOB B．AC＝BDC．AC∶BD D．▱ABCD是轴对称图形4．不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是()A．AB∶CD，AD＝BC B．AB∶CD，∶A＝∶CC．AD∶BC，AD＝BC D．∶A＝∶C，∶B＝∶D5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3 cm，则AB的长为()A．12 cm B．9 cm C．6 cm D．3 cm6．如图，在平面直角坐标系内，原点O恰好在▱ABCD对角线的交点处，若点A的坐标为(2，3)，则点C 的坐标为()A．(－3，－2) B．(－2，3) C．(－2，－3) D．(2，－3)7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则下列五组条件：①AB＝CD，AD＝BC；②AD∶BC，AD＝BC；③AB∶CD，AD＝BC；④OA＝OC，OB＝OD；⑤AB∶CD，OB＝OD.其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有()A．5组B．4组C．3组D．2组第7题图第8题图8．如图，过▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的▱AEMG 的面积S1与▱HCFM的面积S2的大小关系是()A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．2S1＝S29．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB＝AE，延长AB与DE的延长线交于点F，下列结论中：①△ABC≌△ADE；②△ABE是等边三角形；③AD＝AF；④S△ABE＝S△CDE；⑤S△ABE＝S△CEF.其中正确的是()A．①②③B．①②④C．①②⑤D．①③④第9题图第10题图10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的边长为()A．2 3 B．4 3 C．4 D．8二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，在▱ABCD中，AE＝CG，DH＝BF，连接E，F，G，H，E，则四边形EFGH是__ __．第11题图第12题图12．如图，在▱ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF＝____．13．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝__ __°.14．在▱ABCD中，∶B＝4∶A，则∠C＝__ __．15．如图，在四边形ABCD中，AD∶BC，且AD＞BC，BC＝6 cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以1 cm/s的速度由A向D运动，点Q以2 cm/s的速度由C向B运动，则经过_ _秒后四边形ABQP 为平行四边形．16．一个多边形的所有内角与它的一个外角之和等于2400°，则这个多边形的边数为____，这个外角的度数是____．17．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝45°，且AE＋AF＝22，则平行四边形ABCD的周长是____．第17题图第18题图18．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G.若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA.其中正确结论的序号是__ __．三、解答题(共66分)19．(8分)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别在AD，BC边上，且AE＝CF.求证：(1)△ABE≌△CDF; (2)四边形BFDE是平行四边形．20．(8分)如图，E，F是▱ABCD对角线BD上的两点，给出下列三个条件：①BE＝DF；②∠AEB＝∶DFC；③AF∶EC.请你从中选择一个适当的条件，使四边形AECF是平行四边形，并证明你的结论．。
北师大版八年级数学(下册)第一章测试卷(附参考答案)
北师八下数学测试卷第一章1.若一个等腰三角形的两边长分别是2和5,则它的周长是()A.12B.9C.12或9D.9或72.下列说法中不正确的是( )A.平行四边形是中心对称图形B.斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等C.两个锐角分别相等的两直角三角形全等D.一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等3.如图1,在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连接AE,若CE=5,AC=12,则BE的长是()图1A.5B.10C.12D.134.如图2,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到OB的距离为( )图2A.6B.5C.4D.35.在如图3中,AB=AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE、CF交于点D,则下列结论中不正确的是( )图3A.△ABE≌△ACFB.点D在∠BAC的平分线上C.△BDF≌△CDED.点D是BE的中点6.在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF7.如图4所示,在△ABC中,∠A=36°,∠C=72°,∠ABC的平分线交AC于点D,则图中共有等腰三角形( )图4A.0个B.1个C.2个D.3个8.如图5,直线CP是AB的中垂线且交AB于点P,其中AP=2CP.甲、乙两人想在AB上取两点D、E,使得AD=DC=CE=EB,其作法如下：(甲)作∠ACP、∠BCP的角平分线,分别交AB于点D、E,则D、E即为所求;(乙)作AC、BC的中垂线,分别交AB于点D、E,则D、E即为所求.对于甲、乙两人的作法,下列判断正确的是( )图5A.两人都正确B.两人都错误C.甲正确,乙错误D.甲错误,乙正确9.若△ABC三边的比为：：,则△ABC是三角形.10.如图6,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于点D,若CD=1,则BD=.图611.如图7是由四个直角边分别为3和4全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”,那么阴影部分面积为.图712.如图8,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则∠DBC=度.图813.如图9,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,点D在AB边上,且CD=BD,则CD的长为.图914.如图10,△ABC是等腰三角形,且AB=AC,BM,CM分别平分∠ABC,∠ACB,DE经过点M,且DE∥BC,则图中有个等腰三角形.图1015.如图11,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于点O,AC=BD.求证：(1)BC=AD;(2)△OAB是等腰三角形.图1116.如图12,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE,CD交于点O,且AO平分∠BAC,求证：OB=OC.图1217.如图13,DE是△ABC的边AB的垂直平分线,分别交AB、BC于点D、E,AE平分∠BAC,若∠B=30°,求∠C的度数.图1318.如图14,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,且∠ACD=∠B.求证：CD⊥AB.图1419.如图15,直线CF垂直且平分AD于点E,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,BA的延长线交CF 于点F,连接AC.(1)图中有几对全等三角形,请把它们都写出来;(2)证明：△ABC是正三角形.图1520.如图16,△ABC中,AC>AB,D是BA延长线上一点,点E是∠CAD的平分线上一点,EB=EC,过点E作EF⊥AC于点F,EG⊥AD于点G.(1)求证：△EGB≌△EFC;(2)若AB=3,AC=5,求AF的长.图16参考答案1.A2.C3.D4.A5.D6.B7.D8.D9.等腰10.211.112.3013.514.515.证明：(1)∵AC⊥BC,BD⊥AD,∴△ABC与△BAD是直角三角形.在△ABC和△BAD中,∵A ∴△ABC≌△BAD. ∴BC=AD. (2)∵△ABC≌△BAD, ∴∠CAB=∠DBA, ∴OA=OB. ∴△OAB是等腰三角形. 16.证明：∵CD⊥AB,BE⊥AC,AO平分∠BAC,∴OD=OE,∠BDO=∠CEO=90°.∵∠BOD=∠COE, ∴△BOD≌△COE. ∴OB=OC. 17. 解：∵DE是AB的垂直平分线,∴EA=EB, ∴∠ABE=∠1. ∵∠B=30°, ∴∠1=30°.又AE平分∠BAC,∴∠2=∠1=30°,即∠BAC=60°.∵∠C=180°-∠BAC-∠B,∴∠C=90°.18. 证明：∵∠ACB=90°, ∴∠A+∠B=90°.∵∠ACD=∠B,∴∠A+∠ACD=90°,∴∠ADC=90°,∴CD⊥AB.19.(1)解：图中有四对全等三角形,分别为△ABC≌△CDA,△AEF≌△DEC,△DEC≌△AEC,△AEF≌△AEC.(2)证明：∵CF垂直平分AD,∴AC=CD.又∵AB=BC=CD=DA,∴AB=BC=AC.∴△ABC为正三角形.20. (1)证明：∵AE平分∠DAC,EF⊥AC,EG⊥AD,∴∠EFC=∠EGB=90°,EF=EG.∵在Rt△EGB和Rt△EFC中,E ∴Rt△EGB≌Rt△EFC(HL). (2)解：∵△EGB≌△EFC,∴GB=FC,EG=EF. 在Rt△EGA和Rt△EFA中,∴Rt△EGA≌Rt△EFA, ∴AF=AG. ∵AG+AB=AC-AF, ∴AF+AB=AC-AF,∴2AF=AC-AB=5-3=2,∴AF=1.。
第六章 平行四边形 单元测试(含答案) 2024-2025学年北师大版数学八年级下册
第六章学情评估卷时间：60分钟满分：100分一、选择题（共8小题，每题3分，共计24分）1．正八边形中每个内角的度数为（）A．80∘B．100∘C．120∘D．135∘2．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCDB．AB=DC,AD=BCC．AO=CO,BO=DOD．AB//DC，AD=BC3．[2024西安长安区期末]如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，∠ODA=90∘，AC=20cm，BD=12cm，则BC的长为（）（第3题）A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm4．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180∘，则这个多边形的边数是（）A．七B．八C．九D．十5．如图，在▱ABCD中，AD=6，∠ADB=30∘ .按以下步骤作图：①以点C为圆心，CD长为半径作弧，交BD于点F；②分别以点D，F为圆心，CD长为半径作弧，两弧相交于点G.作射线CG交BD于点E.则BE的长为（）（第5题）（第6题）B．四边形EGFHD．EH⊥BD（第7题）C．3如图，在平行四边形（第8题）C．2s或14s3（第9题）10．如图，若直线m//n，A，D在直线m上，B，C，E在直线n上，AB//CD，A D=5，BE=8，△DCE的面积为6，则直线m与n之间的距离为________.（第10题）11．如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F.如果AE=8，那么CF的长为________.（第11题）12．如图，在▱ABCD中，∠BAD=120∘，连接BD，作AE//BD交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且AB=2，则EF的长是______.（第12题）13．[2024陕西师大附中期中]如图，在△ABC中，AB>AC，∠A=30∘，AC= 4，点E为AC的中点，点F为边AB上的一个动点，将三角形沿EF折叠，点A的对应点为点A′，当以点E，F，A′，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段AF的长为______________.（第13题）三、解答题（共5小题，计61分）14．（10分）A和B分别是两个多边形，阅读A和B的对话，完成下列各小题.（1）嘉嘉说：“因为B的边数比A多，所以B的外角和比A的大.”判断嘉嘉的说法是否正确？并说明理由.（2）设A的边数为n(n>3).①若n=7，求x的值；②淇淇说：“无论n取何值，x的值始终不变.”请用列方程的方法说明理由. 15．[2024榆林月考]（10分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF 过点O且与AB，CD分别相交于点E，F，连接EC.（1）求证：OE=OF；（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是16，求▱ABCD的周长.16．（13分）如图，在平行四边形ABCD中，G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE=CF,连接EG,GF,FH,HE.（1）求证：四边形EGFH是平行四边形.（2）连接BD交AC于点O，若BD=14，E为AO的中点，求EG的长.中，点P为BC的中点.延长AB，连接AP,DE，BE，若∠BAC写出你的结论，并加以证明ABC中，D，E分别是边逆向思考，可得以下3则命题：，则E是AC的中点；D，E分别是AB，AC小明通过对命题Ⅰ的思考，发现命题Ⅰ是假命题他的思考方法如下：在图②中使用尺规作图作出满足命题Ⅰ条件的点小明尺规作图的方法步骤如下：于点M.②以点D为圆心，BM的长为半径画弧与边AC交于点E和点E′.请你在图②中完成以上作图.（2）小明通过对命题Ⅱ和命题Ⅲ的思考，发现这两个命题都是真命题，请你从这两个命题中选择一个，并借助图①进行证明.【参考答案】第六章 学情评估卷一、选择题（共8小题，每题3分，共计24分）1．D 2．D 3．B 4．A 5．D 6．D 7．B 8．C二、填空题（共5小题，每题3分，共计15分）9．50∘10．411．812．313．2或23三、解答题（共5小题，计61分）14．（1） 解：嘉嘉的说法不正确.理由：多边形的外角和始终为360∘ ，与多边形的边数无关.（2） ① 由题意，得180∘(7+x−2)−180∘×(7−2)=360∘ ，解得x =2，即x 的值为2.② 由题意，得180∘(n +x−2)−180∘(n−2)=360∘ ，整理得180∘x =360∘ ，解得x =2.所以无论n 取何值，x 的值始终不变.15．（1） 证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴OD =OB ，AB //CD ，∴∠FDO =∠EBO .在△DFO 和△BEO 中，{∠FDO =∠EBO ,OD =OB ,∠FOD =∠EOB ,∴△DFO≌△BEO (ASA)，∴OE =OF .（2） 解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AD =BC ，OA =OC .∵EF ⊥AC ，EF 过点O ，∴EF 是AC 的垂直平分线，∴AE =CE .∵△BEC 的周长是16，∴BC +BE +CE =BC +BE +AE =BC +AB =16.=AE，AB交BC边于点M是平行四边形，CM.是平行四边形，选择命题III.证明：如图③，延长ED至点F，使DF=DE，连接BF，∵D是AB边的中点，∴AD=BD.又∵∠ADE=∠BDF，∴△ADE≌△BDF(SAS)，∴AE=BF，∠AED=∠BFD，∴AC//BF.∵EF//BC，∴四边形BCEF是平行四边形，∴BF=CE，∴CE=AE，∴E是AC的中点.（选择其中一个即可）。
北师大版 数学 八年级下册 各单元测试卷及答案
单元测试（一）一、选择题1．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°2．如图，将三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A的度数是（）A．35°B．65°C．55°D．25°3．如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB的周长是（）A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对4．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点A1处，CA1与AB交于点N，且AN=AC，则∠A的度数是（）A．30°B．36°C．50°D．60°5．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（）A．90°B．100°C．110° D．120°6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个7．如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AC上的点，且∠1=∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC=3cm，则AE等于（）A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm8．在直角△ABC中，∠C=30°，斜边AC的长为5cm，则AB的长为（）A．4cm B．3cm C．2.5cm D．2cm9．如果直角三角形中30°角所对的直角边是1cm，那么另一条直角边长是（）A．1cm B．2cm C．cm D．3cm10．10（1分）（2014春•九龙坡区校级期中）等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°11．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM 的周长是（）A．21 B．18 C．13 D．1512．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（）A．59°B．60°C．56°D．22°13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，则AB2+BC2+CA2的值为（）A．2 B．4 C．8 D．1614．如图，在三角形纸片ABC中，AC=6，∠A=30°，∠C=90°，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长为（）A．1 B．C．D．215．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD相等的线段有（）A．AD与BD B．BD与BC C．AD与BC D．AD、BD与BC16．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．1317．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，D为AB的中点，则CD等于（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm二、填空题18．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=．19．如图，△ABC中，∠C=90°，AC﹣BC=2，△ABC的面积为7，则AB=．20．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则AC=．21．如图：△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=3cm，则AD=cm．22．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=BC，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1），则点C的坐标为．23．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=1，则BD=．24．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为．25．若直角三角形两直角边的比为3：4，斜边长为20，则此直角三角形的面积为．三、解答题26．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，且AD⊥BC于D，求证：CD=AB+BD，27．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB，(1) 求∠B的度数；(2) 求证：CE是AB边上的中线，且CE=AB，28．如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，∠C=60°，AB=CD=4cm，求：(1) AD的长；(2) 四边形ABCD的周长．29．已知锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是线段BC的中点，连接DM，EM．(1) 若DE=3，BC=8，求△DME的周长；(2) 若∠A=60°，求证：∠DME=60°；(3) 若BC2=2DE2，求∠A的度数．答案与解析1．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°【考点】K8：三角形的外角性质．【专题】选择题【分析】先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°，∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°，∴∠BFD=180°﹣45°﹣120°=15°．故选A．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．2．如图，将三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A的度数是（）A．35°B．65°C．55°D．25°【考点】R2：旋转的性质．【专题】选择题【分析】根据旋转的性质，可得知∠ACA′=35°，从而求得∠A′的度数，又因为∠A的对应角是∠A′，则∠A度数可求．【解答】解：∵△ABC绕着点C时针旋转35°，得到△AB′C′∴∠ACA′=35°，∠A'DC=90°∴∠A′=55°，∵∠A的对应角是∠A′，即∠A=∠A′，∴∠A=55°．故选C．【点评】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．解题的关键是正确确定对应角．3．如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB的周长是（）A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对【考点】KF：角平分线的性质；KW：等腰直角三角形．【专题】选择题【分析】由∠C=90°，根据垂直定义得到DC与AC垂直，又AD平分∠CAB交BC 于D，DE⊥AB，利用角平分线定理得到DC=DE，再利用HL证明三角形ACD与三角形AED全等，根据全等三角形的对应边相等可得AC=AE，又AC=BC，可得BC=AE，然后由三角形BED的三边之和表示出三角形的周长，将其中的DE换为DC，由CD+DB=BC进行变形，再将BC换为AE，由AE+EB=AB，可得出三角形BDE的周长等于AB的长，由AB的长可得出周长．【解答】解：∵∠C=90°，∴DC⊥AC，又AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，∴CD=ED，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，又AC=BC，∴AC=AE=BC，又AB=6cm，∴△DEB的周长=DB+BE+ED=DB+CD+BE=BC+BE=AE+EB=AB=6cm．故选A．【点评】此题考查了角平分线定理，垂直的定义，直角三角形证明全等的方法﹣HL，利用了转化及等量代换的思想，熟练掌握角平分线定理是解本题的关键．4．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点A1处，CA1与AB交于点N，且AN=AC，则∠A的度数是（）A．30°B．36°C．50°D．60°【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．【专题】选择题【分析】首先证明∠ACN=∠ANC=2∠ACM，然后证明∠A=∠ACM即可解决问题．【解答】解：由题意知：∠ACM=∠NCM；又∵AN=AC，∴∠ACN=∠ANC=2∠ACM；∵CM是直角△ABC的斜边AB上的中线，∴CM=AM，∴∠A=∠ACM；由三角形的内角和定理知：∠A+2∠A+2∠A=180°，∴∠A=36°，故选：B．【点评】该命题考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质找出图形中隐含的等量关系；灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．5．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（）A．90°B．100°C．110° D．120°【考点】KN：直角三角形的性质．【专题】选择题【分析】由三角形内角和定理求得∠A=70°；由垂直的定义得到∠AED=∠AFD=90°；然后根据四边形内角和是360度进行求解．【解答】解：如图，∵在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，∴∠A=70°．∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴∠AED=∠AFD=90°，∴∠EDF=360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD=110°．故选：C．【点评】本题考查了直角三角形的性质．注意利用隐含在题中的已知条件：三角形内角和是180°、四边形的内角和是360°．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】KN：直角三角形的性质．【专题】选择题【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，找出与∠A互余的角．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∴与∠A互余的角有2个，故选C．【点评】此题考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余．7．如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AC上的点，且∠1=∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC=3cm，则AE等于（）A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm【考点】KO：含30度角的直角三角形；KG：线段垂直平分线的性质．【专题】选择题【分析】求出AE=BE，推出∠A=∠1=∠2=30°，求出DE=CE=3cm，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠2=∠A，∵∠1=∠2，∴∠A=∠1=∠2，∵∠C=90°，∴∠A=∠1=∠2=30°，∵∠1=∠2，ED⊥AB，∠C=90°，∴CE=DE=3cm，在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠A=30°，∴AE=2DE=6cm，故选C．【点评】本题考查了垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形性质，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出∠A=30°和得出DE的长．8．在直角△ABC中，∠C=30°，斜边AC的长为5cm，则AB的长为（）A．4cm B．3cm C．2.5cm D．2cm【考点】KO：含30度角的直角三角形．【专题】选择题【分析】由题意可得，∠B是直角，AB=AC，直接代入即可求得AB的长．【解答】解：∵△ABC为直角三角形，∠C=30°，∴AB=AC=2.5，故选C．【点评】此题考查的是直角三角形的性质，30°的直角边所对的直角边等于斜边的一半．9．如果直角三角形中30°角所对的直角边是1cm，那么另一条直角边长是（）A．1cm B．2cm C．cm D．3cm【考点】KO：含30度角的直角三角形．【专题】选择题【分析】根据勾股定理和直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半求另一条直角边长．【解答】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边是1cm，∴该直角三角形的斜边是2cm，∴另一条直角边长是：=；故选C．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形．在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．10．等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【考点】KO：含30度角的直角三角形；KH：等腰三角形的性质．【专题】选择题【分析】分为两种情况：①高BD在△ABC内时，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；②高CD在△ABC外时，求出∠DAC，根据平角的定义求出∠BAC 即可．【解答】解：①如图，∵BD是△ABC的高，AB=AC，BD=AB，∴∠A=30°，②如图，∵CD是△ABC边BA 上的高，DC=AC，∴∠DAC=30°，∴∠BAC=180°﹣30°=150°，综上所述，这个等腰三角形的顶角等于30°或150°．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形性质和含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生能否求出符合条件的所有情况，注意：一定要分类讨论．11．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM 的周长是（）A．21 B．18 C．13 D．15【考点】KP：直角三角形斜边上的中线．【专题】选择题【分析】根据“BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点”得到FM=EM=BC，所以△EFM的周长便不难求出．【解答】解：∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，∴在Rt△BCE中，EM=BC=4，在Rt△BCF中，FM=BC=4，∴△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13，故选C．【点评】本题利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．12．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（）A．59°B．60°C．56°D．22°【考点】K7：三角形内角和定理．【专题】选择题【分析】根据高线的定义可得∠AEC=90°，然后根据∠C=70°，∠ABC=48°求出∠CAB，再根据角平分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．【解答】解：∵BE为△ABC的高，∴∠AEB=90°∵∠C=70°，∠ABC=48°，∴∠CAB=62°，∵AF是角平分线，∴∠1=∠CAB=31°，在△AEF中，∠EFA=180°﹣31°﹣90°=59°．∴∠3=∠EFA=59°，故选：A．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是解题的关键．13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，则AB2+BC2+CA2的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】KQ：勾股定理．【专题】选择题【分析】由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理得到斜边的平方等于两直角边的平方和，根据斜边AB的长，可得出两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，∴CA2+BC2=AB2，又∵AB=2，∴CA2+BC2=AB2=4，则AB2+BC2+CA2=AB2+（BC2+CA2）=4+4=8，故选C．【点评】此题考查了勾股定理的知识，是一道基本题型，解题关键是熟练掌握勾股定理，难度一般．14．如图，在三角形纸片ABC中，AC=6，∠A=30°，∠C=90°，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长为（）A．1 B．C．D．2【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KQ：勾股定理；T7：解直角三角形．【专题】选择题【分析】利用翻折变换及勾股定理的性质．【解答】解：∵∠A=30°，∠C=90°，∴∠CBD=60°．∵将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，∴∠A=∠DBE=∠EBC=30°．∵∠EBC=∠DBE，∠BCE=∠BDE=90°，BE=BE，∴△BCE≌△BDE．∴CE=DE．∵AC=6，∠A=30°，∴BC=AC×tan30°=2．∵∠CBE=30°．∴CE=2．即DE=2，故选D．【点评】考查了学生运用翻折变换及勾股定理等来综合解直角三角形的能力．15．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD相等的线段有（）A．AD与BD B．BD与BC C．AD与BC D．AD、BD与BC【考点】KP：直角三角形斜边上的中线．【专题】选择题【分析】由“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”，得CD=AB，又因为点D是AB的中点，故得与CD相等的线段．【解答】解：∵CD=AB，点D是AB的中点，∴AD=BD=AB，∴CD=AD=BD，故选A．【点评】本题利用了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．16．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．13【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KH：等腰三角形的性质．【专题】选择题【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，∵点E为AC的中点，∴DE=CE=AC=5，∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14，故选：C．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，D为AB的中点，则CD等于（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【考点】KP：直角三角形斜边上的中线．【专题】选择题【分析】本题涉及到的知识点是“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，所以有CD=AB，故可直接求得结果．【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∴CD=AB=2.5cm．故选B．【点评】此题主要是考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．18．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=．【考点】KO：含30度角的直角三角形．【专题】填空题【分析】由于∠C=90°，∠ABC=60°，可以得到∠A=30°，又由BD平分∠ABC，可以推出∠CBD=∠ABD=∠A=30°，∴BD=AD=6，再由30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．【解答】解：∵∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°，∴BD=AD=6，∴CD=BD=6×=3．故答案为：3．【点评】本题利用了直角三角形的性质和角的平分线的性质求解．19．如图，△ABC中，∠C=90°，AC﹣BC=2，△ABC的面积为7，则AB=．【考点】KQ：勾股定理．【专题】填空题【分析】先根据AC﹣BC=2得出（AC﹣BC）2=8，再根据△ABC的面积等于7得出AC•BC的值，进而可得出结论．【解答】解：∵AC﹣BC=2，∴（AC﹣BC）2=8①．∵S△ABC=AC•BC=7，∴AC•BC=14②，把②代入①得，AC2+BC2=36，∴AB==6．故答案为：6．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．20．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则AC=．【考点】KO：含30度角的直角三角形．【专题】填空题【分析】根据三角形内角和定理和角平分线定义求出∠A=∠ABD=∠CBD=30°，求出AD=BD=6，CD=BD=3，即可求出答案．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∠A=90°﹣60°=30°，∠CBD=∠ABD=∠ABC=30°，∴∠A=∠ABD，∴AD=BD=，∵AD=6，∴BD=6，∴CD=BD=3，∴AC=6+3=9，故答案为：9．【点评】本题考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是求出AD=BD和CD=BD，题目比较好，难度适中．21．如图：△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=3cm，则AD=cm．【考点】KO：含30度角的直角三角形．【专题】填空题【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD=∠A=30°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC、AB的长，然后根据AD=AB﹣BD计算即可得解．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD=∠A=30°，∵BD=3cm，∴BC=2BD=6cm，AB=2BC=12cm，∴AD=AB﹣BD=9cm．故答案是：9．【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．22．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=BC，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1），则点C的坐标为．【考点】KW：等腰直角三角形；D5：坐标与图形性质；KD：全等三角形的判定与性质．【专题】填空题【分析】先根据AAS判定△ACD≌△BAO，得出CD=AO，AD=BO，再根据点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1），求得CD和OD的长，得出点C的坐标．【解答】解：过C作CD⊥x轴于D，则∠CDA=∠AOB=90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=90°，又∵∠AOB=90°，∴∠CAD+∠BAO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CAD=∠ABO，在△ACD和△BAO中，，∴△ACD≌△BAO（AAS），∴CD=AO，AD=BO，又∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1），∴CD=AO=2，AD=BO=1，∴DO=3，又∵点C在第三象限，∴点C的坐标为（﹣3，2）．故答案为：（﹣3，2）．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是根据全等三角形的性质，求得点C到坐标轴的距离．23．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=1，则BD=．【考点】KO：含30度角的直角三角形；KF：角平分线的性质．【专题】填空题【分析】根据角平分线性质求出∠BAD的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出AD即可得BD．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，AD平分∠CAB，∴∠BAD=30°，∴BD=AD=2CD=2，故答案为2．【点评】本题考查了对含30度角的直角三角形的性质和角平分线性质的应用，求出AD的长是解此题的关键．24．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为．【考点】KO：含30度角的直角三角形；KH：等腰三角形的性质．【专题】填空题【分析】分四种情况：①当AB=AC时，根据AD=BC，可得出底角为45度；②当AB=BC时，根据AD=BC，可得出底角为15度．③当AC=BC时，底角等于75°④点A是底角顶点，且AD在△ABC外部时．【解答】解：分四种情况进行讨论：①当AB=AC时，∵AD⊥BC，∴BD=CD，∵AD=BC，∴AD=BD=CD，∴底角为45度；②当AB=BC时，∵AD=BC，∴AD=AB，∴∠ABD=30°，∴∠BAC=∠BCA=75°，∴底角为75度．③当AC=BC时，∵AD=BC，AC=BC，∴AD=AC，∴∠C=30°，∴∠BAC=∠ABC=（180°﹣30°）=75°；④点A是底角顶点，且AD在△ABC外部时，∵AD=BC，AC=BC，∴AD=AC，∴∠ACD=30°，∴∠BAC=∠ABC=×30°=15°，故答案为15°或45°或75°．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形以及等腰三角形的性质，注意分类讨论思想的运用．25．若直角三角形两直角边的比为3：4，斜边长为20，则此直角三角形的面积为．【考点】KQ：勾股定理．【专题】填空题【分析】先根据比值设出直角三角形的两直角边，用勾股定理求出未知数x，即两条直角边，用面积公式计算即可．【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为3x，4x（x＞0），根据勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，∴x=4或x=﹣4（舍），∴3x=12，4x=16∴直角三角形的两直角边分别为12，16，∴直角三角形的面积为×12×16=96，故答案为96．【点评】此题是勾股定理的应用，主要考查了勾股定理，三角形的面积计算方法，解本题的关键是用勾股定理求出直角边．26．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，且AD⊥BC于D，求证：CD=AB+BD，【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质．【专题】解答题【分析】在DC上取DE=BD，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB=AE，根据等边对等角的性质可得∠B=∠AEB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C=∠CAE，再根据等角对等边的性质求出AE=CE，然后即可得证．【解答】证明：如图，在DC上取DE=BD，∵AD⊥BC，∴AB=AE，∴∠B=∠AEB，在△ACE中，∠AEB=∠C+∠CAE，又∵∠B=2∠C，∴2∠C=∠C+∠CAE，∴∠C=∠CAE，∴AE=CE，∴CD=CE+DE=AB+BD，【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．27．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB，(1) 求∠B的度数；(2) 求证：CE是AB边上的中线，且CE=AB，【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KJ：等腰三角形的判定与性质．【专题】解答题【分析】(1) 利用直角△BCD的两个锐角互余的性质进行解答；(2) 利用已知条件和(1) 中的结论可以得到△ACE是等边三角形和△BCE为等腰三角形，利用等腰三角形的性质证得结论．【解答】(1) 解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD，CE三等分∠ACB，∴∠ACD=∠DCE=∠BCE=30°，则∠BCD=60°，又∵CD为高，∴∠B=90°﹣60°=30°30°；(2) 证明：由(1) 知，∠B=∠BCE=30°，则CE=BE，AC=AB，∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，又∵由(1) 知，∠ACD=∠DCE=30°，∴∠ACE=∠A=60°，∴△ACE是等边三角形，∴AC=AE=EC=AB，∴AE=BE，即点E是AB的中点．∴CE是AB边上的中线，且CE=AB，【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线．本题解题过程中利用了“等角对等边”以及等边三角形的判定与性质证得(2) 的结论的．28．如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，∠C=60°，AB=CD=4cm，求：(1) AD的长；(2) 四边形ABCD的周长．【考点】JA：平行线的性质．【专题】解答题【分析】(1) 根据AD∥BC，可得∠ADB=∠CBD；根据BD平分∠ABC，可得∠ABD=∠DBC，于是得到∠ABD=∠ADB，所以可证AB=AD；(2) 证出△BCD是直角三角形，利用30°的角所对的直角边是斜边的一半，即可求出BC的长．【解答】(1) 解：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AD=AB=4cm；(2) 解：∵AD∥BC，∠A=120°，∠C=60°，∴∠ADC=120°，∠ABC=60°，∠ADB=∠DBC；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠ADB=30°，∠BDC=90°；∴AB=AD，BC=2CD；又AB=CD=4cm，∴AD=4，BC=8，∴AB+BC+CD+AD=4+8+4+4=20（cm），∴四边形ABCD的周长为20cm．【点评】本题考查了等腰梯形的性质的运用，角平分线的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，勾股定理的运用及等腰梯形的周长．在解答中掌握等腰梯形的周长的算法是关键．29．已知锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是线段BC的中点，连接DM，EM．(1) 若DE=3，BC=8，求△DME的周长；(2) 若∠A=60°，求证：∠DME=60°；(3) 若BC2=2DE2，求∠A的度数．【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KJ：等腰三角形的判定与性质．【专题】解答题【分析】(1) 根据直角三角形斜边上中线性质求出DM=BC=4，EM=BC=4，即可求出答案；(2) 根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DM=BM，EM=CM，推出∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，根据三角形内角和定理求出即可；(3) 求出EM=EN，解直角三角形求出∠EMD度数，根据三角形的内角和定理求出即可．【解答】解：(1) ∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠BDC=∠BEC=90°，∵M是线段BC的中点，BC=8，∴DM=BC=4，EM=BC=4，∴△DME的周长是DE+EM+DM=3+4+4=11；(2) 证明：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵∠BDC=∠BEC=90°，M是线段BC的中点，∴DM=BM，EM=CM，∴∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，∴∠EMC+∠DMB=∠ABC+∠ACB=120°，∴∠DME=180°﹣120°=60°；(3) 解：过M作MN⊥DE于N，∵DM=EM，∴EN=DN=DE，∠ENM=90°，∵EM=DM=BC，DN=EN=DE，BC2=2DE2，∴（2EM）2=2（2EN）2，∴EM=EN，∴sin∠EMN==，∴∠EMN=45°，同理∠DMN=45°，∴∠DME=90°，∴∠DMB+∠EMC=180°﹣90°=90°，∵∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，∴∠ABC+∠ACB=（180°﹣∠DMB+180°﹣∠EMC）=135°，∴∠BAC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=45°．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，本题综合性比较强，有一定的难度，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．单元测试（二）一、选择题1．不等式﹣2x＜4的解集是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣22．下列不等式一定成立的是（）A．5a＞4a B．x+2＜x+3 C．﹣a＞﹣2a D．3．不等式﹣3x+6＞0的正整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个4．在数轴上表示不等式x≥﹣2的解集，正确的是（）A．B．C．D．5．如图，当y＜0时，自变量x的范围是（）A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜2 D．x＞26．要使代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x≥2 B．x≥﹣2 C．x≤﹣2 D．x≤27．不等式组的解集是（）A．x＜3 B．3＜x＜4 C．x＜4 D．无解8．若a＞b＞0，则下列结论正确的是（）A．﹣a＞﹣b B．＞C．a3＜0 D．a2＞b29．下列图形中，能表示不等式组解集的是（）A．B．C．D．10．观察函数y1和y2的图象，当x=1，两个函数值的大小为（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．y1≥y211．如果不等式组有解，那么m的取值范围是（）A．m＞5 B．m≥5 C．m＜5 D．m≤812．不等式组的最小整数解为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．4二、填空题13．已知三角形的两边为3和4，则第三边a的取值范围是．14．不等式组的解集是．15．不等式组﹣1＜x＜4的整数解有个．16．若a＞c，则当m时，am＜cm；当m时，am=cm．17．小于88的两位正整数，它的个位数字比十位数字大4，这样的两位数有个．18．不等式组﹣1＜x﹣5＜11的解集是．19．若不等式组有解，则a的取值范围是．20．一次函数y=﹣3x+12中x时，y＜0．21．不等式x﹣8＞3x﹣5的最大整数解是．22．直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为．三、解答题23．解不等式，并把解集在数轴上表示出来：(1)5x﹣6≤2（x+3）；(2)﹣＜0．24．解不等式组：(1)；(2)．25．已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（m+n）2014的值等于多少？26．是否存在整数k，使方程组的解中，x大于1，y不大于1，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．27．小颖准备用21元钱买笔和笔记本．已知每枝笔3元，每个笔记本2.2元，她买了2个笔记本．请你帮她算一算，她还可能买几枝笔？28．每年3月12日是植树节，某学校植树小组若干人植树，植树若干棵．若每人植4棵，则余20棵没人植，若每人植8棵，则有一人比其他人植的少（但有树植），问这个植树小组有多少人？共有多少棵树？29．甲、乙原有存款800元和1800元，从本月开始，甲每月存400元，乙每月存200元．如果设两人存款时间为x月．甲存款额是y1元，乙存款额是y2元．(1)试写出y1与x及y2与x之间的函数关系式；(2)到第几个月时，甲存款额能超过乙存款额？30．在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．(1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元？(2)根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低．答案与解析1．不等式﹣2x＜4的解集是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2【考点】C6：解一元一次不等式．【专题】选择题【分析】两边同时除以﹣2，把x的系数化成1即可求解．【解答】解：两边同时除以﹣2，得：x＞﹣2，故选D．【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．2．下列不等式一定成立的是（）A．5a＞4a B．x+2＜x+3 C．﹣a＞﹣2a D．【考点】C2：不等式的性质．【专题】选择题【分析】根据不等式的性质分析判断．【解答】解：A、因为5＞4，不等式两边同乘以a，而a≤0时，不等号方向改变，即5a≤4a，故错误；B、因为2＜3，不等式两边同时加上x，不等号方向不变，即x+2＜x+3正确；C、因为﹣1＞﹣2，不等式两边同乘以a，而a≤0时，不等号方向改变，即﹣a ≤﹣2a，故错误；D、因为4＞2，不等式两边同除以a，而a≤0时，不等号方向改变，即，故错误．故选B．【点评】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：(1)不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．(2)不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．(3)不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3．不等式﹣3x+6＞0的正整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个【考点】C7：一元一次不等式的整数解．【专题】选择题【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．【解答】解：不等式的解集是x＜2，故不等式﹣3x+6＞0的正整数解为1，故选A．【点评】正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．4．在数轴上表示不等式x≥﹣2的解集，正确的是（）A．B． C．D．【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集．【专题】选择题【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法利用排除法进行解答．【解答】解：∵不等式x≥﹣2中包含等于号，∴必须用实心圆点，∴可排除A、B，∵不等式x≥﹣2中是大于等于，∴折线应向右折，∴可排除D，故选：C．【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式解集的方法，即“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．5．如图，当y＜0时，自变量x的范围是（）A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜2 D．x＞2【考点】F3：一次函数的图象．【专题】选择题【分析】通过观察函数图象，当y＜0时，图象在x轴左方，写出对应的自图象在x轴左方变量的范围即可．【解答】解：由图象可得，一次函数的图象与x轴的交点为（﹣2，0），当y＜0时，x＜﹣2，故选A．【点评】熟悉一次函数的性质．学会看函数图象．6．要使代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x≥2 B．x≥﹣2 C．x≤﹣2 D．x≤2【考点】72：二次根式有意义的条件．【专题】选择题【分析】二次根式的被开方数x﹣2是非负数．【解答】解：根据题意，得x﹣2≥0，解得，x≥2；故选：A．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．。
北师大版八年级数学下册各章测试题带答案(全册)
第一章《三角形的证明》水平测试一、精心选一选，慧眼识金（每小题2分，共20分）1．如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带（）去配.A. ①B. ②C. ③D. ①和②2．下列说法中，正确的是（）.A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等B．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等D．面积相等的两个三角形全等3．如图2，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm，BE=3cm，那么AC 长为（）.A．4cm B．5cm C．8cm D．34cm4．如图3，在等边ABC中，D,E分别是BC,AC上的点，且BD CE，AD与BE相交于点P，则 1 2的度数是（）.A．450B．550C．600D．750．如图，在ABC 中，AB=AC，A360，BD和CE分别是ABC和ACB的平分54线，且相交于点P.在图4中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（）.A．9个B．8个C．7个D．6个6．如图 5，l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）.A．1处B．2处C．3处D．4处7．如图6，A、C、E三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN. 其中，正确结论的个数是（）.A．3个B．2个C．1个D．0个8．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E在同一条直线上（如图7），可以证明ABC≌EDC，得ED=AB.因此，测得DE的长就是AB的长，在这里判定ABC≌EDC的条件是( ).A．ASA B．SAS C．SSS D．HL9．如图8，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点E的位置，BE交AD于点F.求证：重叠部分（即BDF）是等腰三角形.证明：∵四边形 ABCD是长方形，∴AD∥BC又∵BDE与BDC关于BD对称，∴2 3.∴图8 BDF是等腰三角形.请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？（）.① 1 2；② 1 3；③ 3 4；④BDC BDEA．①③B．②③C．②①D．③④10.如图9，已知线段a，h作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h.张红的作法是：（1）作线段BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；（3）在直线MN上截取线段h；（4）连结AB，AC，则△ABC为所求的等腰三角形.上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（）.A.（1）B.（2）C.（3）D.（4）二、细心填一填，一锤定音（每小题2分，共20分）1．如图10，已知，在△ ABC和△DCB中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是____________.2．如图11，在Rt ABC中，BAC 900,AB AC，分别过点B,C作经过点A的直线的垂线段 BD，CE，若BD=3厘米，CE=4厘米，则DE的长为_______.3．如图12，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠ABC等于_________度.4．如图13，在等腰ABC中，AB=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若BCE的周长为50，则底边BC的长为_________.5．在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为500，则底角B 的大小为________.6．在《证明二》一章中，我们学习了很多定理，例如：①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是 ________.(填序号)7．如图14，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=5cm ，BC=10cm ，将△ABC 折叠，点B与点A 重合，折痕为 DE ，则CD 的长为________.8．如图 15，在 ABC 中，AB=AC ， A 1200，D 是BC 上任意一点，分别做 DE ⊥AB于 E ，DF ⊥AC 于F ，如果BC=20cm ，那么DE+DF=_______cm.9．如图16，在Rt △ABC 中，∠C=90°,∠B=15°，DE 是AB 的中垂线，垂足为D ，交BC于点E ，若BE 4，则AC _______.10．如图17，有一块边长为24m 的长方形绿地，在绿地旁边B 处有健身器材，由于居住在A 处的居民践踏了绿地，小颖想在A 处立一个标牌“少走_____步，踏之何忍？”但小颖不知在“ _____”处应填什么数字，请你帮助她填上好吗？（ 假设两步为 1米）？三、耐心做一做，马到成功（本大题共 48分）1．（7分）如图18，在 ABC 中， ACB 900，CD 是AB 边上的高，A 300.求证：AB=4BD.．（ 分）如图 19 ，在ABC 中，C900， ， 平分 CAB 27 AC=BC AD交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，若AB=6cm.你能否求出BDE 的周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.3．（10分）如图20，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，BE 与CD 相交于O 点.现有四个条件：①AB ＝AC ；②OB ＝OC ；③∠ABE ＝∠ACD ；④BE ＝CD. (1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正 ． 确的命题： ．命题的条件是和，命题的结论是和(均填序号).(2)证明你写出的命题.已知：求证：证明：4．（8分）如图 21，在ABC中，A900，AB=AC，ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E.图211BD.求证：CE25．（8分）如图22，在ABC中， C 900.（1）用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数.6．（8分）如图23，AOB900，OM平分AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由.图23四、拓广探索（本大题12分）如图24，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若A400.（1）求NMB的度数；（2）如果将（1）中A的度数改为700，其余条件不变，再求图24 NMB的度数；（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；（4）若将（1）中的A改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？答案：一、精心选一选，慧眼识金 1．C ； 2．B ；3．D ．点拨：BC=BE=3cm ，AB=BD=5cm ； 4．C ．点拨：利用 ABD ≌ BCE ； 5．B ；6．D ．点拨：三角形的内角平分线或外角平分线的交点处均满足条件； 7．B ．点拨：① ②正确；8．A ； 9．C ；10．C ．点拨：在直线 MN 上截取线段h ，带有随意性，与作图语言的准确性不相符.二、细心填一填，一锤定音 1．答案不惟一.如ACB DBC ；2．7厘米.点拨：利用 ABD ≌ CAE ； 3．300；4．23．点拨：由BECEACAB27，可得BC5027 23；5．700或200.点拨；当ABC 为锐角三角形时，B 700；当 ABC 为钝角三角形时，B 200；6．①、③、④、⑤.点拨：三个角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形，所以②不存在逆定理；15点拨：设CD x ，则易证得BDAD 10 x.在RtACD 中，7．4cm. 15 (10x 2 ) x 2 2 5，解得x. 48．10．点拨：利用含300角的直角三角形的性质得， DE DF 1 BD CD 1BC.22． 2. 点拨：在Rt AEC 中， AEC 300，由AE=BE=4 ，则得 AC=2 ；910．16．点拨：AB=26米，AC+BC=34 米，故少走8米，即 16步. 三、耐心做一做，马到成功1．∵ ACB 900，A300，∴AB=2BC ，B 600.又∵CD ⊥AB ，∴ DCB 300，∴BC=2BD.∴AB=2BC=4BD. 2．根据题意能求出 BDE 的周长.∵ C900， DEA900，又∵AD 平分CAB ，∴DE=DC.在 RtADC 和RtADE 中，DE=DC ，AD=AD ，∴RtADC ≌Rt ADE （HL ）.5∴A C=AE，又∵AC=BC，∴AE=BC.∴BDE的周长DE DB EB BC EB AE EB AB.∵AB=6cm，∴BDE的周长=6cm.3．（1）①，③；②，④.（2）已知：D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于O点，且AB＝AC，∠ABE＝∠ACD.求证：OB＝OC，BE＝CD.证明：∵AB=AC，∠ABE＝∠ACD，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD（ASA）.∴BE=CD.又∵ABC ACB，∴BCD ACB ACD ABC ABE CBE ∴BOC是等腰三角形，∴OB＝OC.4．延长CE、BA相交于点 F.∵EBF F 900, ACF F 900，∴EBF ACF.在RtABD和RtACF中，∵DBA ACF，AB=AC，∴RtABD≌RtACF（ASA）.∴BD CF.在RtBCE和RtBFE中，∵BE=BE，EBC EBF，∴RtBCE≌RtBFE（ASA）.∴CEEF.1 1BD. ∴CE CF2 25．（1）图略.点拨：作线段AB的垂直平分线.（2）连结BP.∵点P到AB、BC的距离相等，∴BP是ABC的平分线，∴ABP PBC.又∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB，∴A ABP.∴ A ABP PBC 1900 300 .36．过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F.∵OM平分AOB，点P在OM上，∴PE=PF.又∵AOB 900，∴EPF900.∴EPF CPD，∴ EPC FPD.∴Rt PCE≌Rt PDF（ASA），∴PC=PD.四、拓广探索（1）∵AB=AC，∴B ACB.∴ B 11800 A 11800400700.2 2∴NMB 900 B 900700200.（2）解法同（1）.同理可得，NMB 350 .（3）规律：NMB的度数等于顶角A度数的一半.证明：设 A .∵AB=AC，∴B C，∴ B 1 1800.2 ∵BNM 900，∴NMB 900B90011800 1 .NMB的度数等于顶角A度数的一半. 2 2即（4）将（1）中的A改为钝角，这个规律不需要修改.仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交所成的锐角等于顶角的一半.6全品中考网全品第二章一元一次不等式（组）检测试题一、选择题（每小题3分, 共36分）1．x与y的差的5倍与2 的和是一个非负数,可表示为（）（A）5xy2 0（B）5xy 20（C）x5y 20（D）5x2y20 2．下列说法中正确的是（）（A）x 3 是2x 3 的一个解. （B）x 3是2x 3 的解集.（C）x 3 是2x 3 的唯一解. （D）x 3不是2x 3的解.3.不等式2x 2 x 2的非负整数解的个数是（）（A）1 （B）2 （C）3（D）474．已知正比例函数y 2m1x 的图象上两点Ax 1,x 2 ,Bx 2,y 2,当x 1x 2时,有y 1 y2,那么m 的取值范围是（ ）（A ）m1 （B ）m1（D ）m02 （C ）m222x 6 0,15．不等式组 的解集是（ ）x53. 2（A ）2x3（B ） 8x3（C ）8x3（D ）x8或x36．若ab 0,且b0，则a,b, a,b 的大小关系是（）（ A ） （ C ） a b ab （B ） ba ab a b ab （D ）abb a7．已知关于x 的一次函数 y mx 2m 7 在1 x 5上的函数值总是正的 ,则m 的取值范围是（ ）（A ）m7（B ）m 1 （C ）1 m 7 （D ）以上答案都不对8 3x y k 1,的解为x 、 y ，且 2k 4 ，则 x y的取值范围是（ ）．如果方程组 x 3y 3.（）0 x y 1（） 0xy 1（C ） 1xy1（D ）3xy 1 A B 29．若方程 3mx 1 1 m3 x 5x 的解是负数，则 m 的取值范围是（ ）（A ）m5 （B ）m 5 （C ）m 5（D ）m5 4 4 4410．两个代数式 x 1与x 3的值的符号相同，则 x 的取值范围是（） （A ）x3（B ）x1（C ）1x2（D ）x 1或x311．若不等式 a 3xa 3的解集是x 1，则a 的取值范围是（） （A ）a3 （B ）a3 （C ）a 3 （D ）a312 4 2m 2m 4,那么 m 的取值范围是（ ） ．若（A ）不小于2 （B ）不大于 2（C ）大于2（D ）等于2 二、填空题（每题3分,共24分）13. 当x_____时,代数式 3x 4的值是非正数.14.若不等式2xa 1, 的解集为 1 x 1,那么ab 的值等于_____. x 2b 3.15.若x同时满足不等式2x 30与x 2 0,则x的取值范围是_____.816 .5 2x 1,已知x关于的不等式组a 0.无解,则a的取值范围是_____.x17. 如果关于x的不等式a 1x a 5和2x 4的解集相同,则a的值为_____.18 . 小马用100元钱去购买笔记本和笔共30件,已知每本笔记本2元,每枝钢笔5元,那么小马最多能买_____枝钢笔.19. 一个两位数,十位上的数字比个位数上的数字小2,若这个两位数处在40至60之间,那么这个两位数是_____.20 . 已知四个连续自然数的和不大于34,这样的自然数组有_____组.三、解答题（每题8 分,共40分）21．解不等式x23x5 x 2 x,并把它的解集在数轴上表示出来.3 2 322.求不等式组11 2x 3 3x1, (1)1 2x.的偶数解.x 2 (2)323．已知关于x,y的方程组2x y m3, (1)的解x,y均为负数,求m的取值范围.x y 2m. (2)92y 5 3 y t,24.关于y的不等式组y t y 7 的整数解是3,2,1,0,1，求参数t的取值范.2 3 6围.25.甲乙两人先后去同一家商场买了一种每块0.50元的小手帕.商场规定凡购买不少于10 块小手帕可优惠20%，结果甲比乙多花了4元钱，又知甲所花的钱不超过8元，在充分享受优惠的条件下，甲乙两人各买了多少块小手帕？参考答案一、选择题（每小题3分,共36分）1．解：x与y的差的5倍是5xy,再与2的和是 5xy2,是一个非负数为:5xy 2 0.故选（B）2．解:2x 3,根据不等式基本性质2,两边都除以2,得x 3 .由此,可知x3只是2x32的一个解.故选（A）103.解：去括号，得解得2x 4 x 2. x 2.所以原不等式的非负数整数解为x 0,1,2,共3个.故选（C）4．解:因为点Ax1,x2,Bx2,y2在函数y2m 1x的图象上, 所以y12m1x1, y22m1x2.所以y1y22m1x1x2.因为当x1x2时,有y1y2,即当x1x2,y1y20,所以2m 1 0.所以m 1.2故选（A）5．解:由(1) 得x 3.由(2)得x 8 .所以不等式组的解集是8 x3故选（C）6．解:由a b0,且b 0，得a 0且ab.又根据不等式的性质2,得 a 0,b 0. a b,a b.所以a b b a故选（D）7．解:根据题意,令x 1,则y m70,得m7;令x 5,则y7m7 0,得m1.综上, 得m7 .故选（A）8．解：两个不等式相减后整理，得x y 12 .k由2 k 4，得0 k 2 2.2 所以0 xy 1故选（A）9．解:方程3mx 1 1 m3 x 5x 的解为x1，4m 5要使解为负数，必须4m 5 0，即m 5 .4故选（A）10．解:因为代数式x 1与x 3 的值的符号相同，可得11x 1 0, x 1 0,x 3或3 0.0. x由第一个不等式组得, x 3;由第二个不等式组得,x 1.故选（D）11．解:因为不等式a3xa3的解集是x1 a30.所以a3.，所以故选（C）12．解:由42m 2m4,得2m 4 0 ,所以m2 .故选（A）二、填空题（每题3分,共24分）13.解:根据题意,得3x 4 0.解得x 4.32xa 1,1 a14.解:由得x 2 ,所以3 2b x 1 a.x 2b 3.x 3 2b.21 x 1,所以1 a1, a1,又因为 2 解得b 2.3 2b 1.所以ab 1 2 2.15.解:由2x 3 0,得x 3,由x 2 0,得x 2. 2所以3x 2.2x 3,16.解:原不等式组可化为x a.若不等式组有解 ,则a x 3. a 3.故当a3时, 不等式组无解.所以a的取值范围是 a 3.17.解:由2x 4得x 2.因为不等式 a 1x a 5 和2x 4的解集相同,所以不等式 a 1x a 5 的解集为x a 5.a5a 12.解得a 7.a 118.解:设小马最多能买x枝钢笔.根据题意,得5x 230 x 100。
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明单元测试题(含详细解析)
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明单元测试题一．选择题（共12小题）1．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3B．4C．6D．52．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24 B．30 C．32 D．363．已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或104．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．25．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（）A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm6．如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）A．10cm B．8cm C．5cm D．2.5cm7．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B．C．D．8．如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（）A．28°B．25°C．22.5°D．20°9．若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（）A．88°或2°B．4°或86°C．88°或4°D．4°或46°10．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3B．3.5 C．2.5 D．2.811．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到BC的距离是（）A．1B．2C．D．12．如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°二．填空题（共6小题）13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为_________．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_________．15．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=_________．16．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= _________．17．在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是_________．18．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB= _________度．三．解答题（共12小题）19．如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．20．如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：CE⊥CF．21．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．22．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．23．如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．24．如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．25．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．26．已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．（1）求证：AE=CF；（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．27．如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．28．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，求点D到斜边AB的距离．29．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=3，AC=4，AD是∠CAB的平分线，AD交BC于D，求BD的长．30．如图，四边形ABCD中，AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC于点E，求证：CD=CE．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3B．4C．6D．5考点：角平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．解答：解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选：A．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．2．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24 B．30 C．32 D．36考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据角平分线的定义可得∠ABP=∠CBP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP，再根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．解答：解：∵直线M为∠ABC的角平分线，∴∠ABP=∠CBP．∵直线L为BC的中垂线，∴BP=CP，∴∠CBP=∠BCP，∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°，即3∠ABP+60°+24°=180°，解得∠ABP=32°．故选：C．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键．3．已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或10考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组；三角形三边关系．分析：先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长．解答：解：∵|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2=0，∴，解得，当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；综上所述此等腰三角形的周长为7或8．故选：A．点评：本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．4．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．2考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理．专题：几何图形问题．分析：连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．解答：解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=，CF=3，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，AF===2，∵H是AF的中点，∴CH=AF=×2=．故选：B．点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．5．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（）A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，再求出AC的长，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．解答：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，∵AE=4cm，∴AC=2AE=2×4=8cm，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22cm．故选B．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，求出△ABD的周长=AB+BC是解题的关键．6．如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）A．10cm B．8cm C．5cm D．2.5cm考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理．专题：探究型．分析：连接AD，先由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质可得出∠DAB的度数，根据线段垂直平分线的性质可求出AD的长及∠DAC的度数，最后由直角三角形的性质即可求出AC的长．解答：解：连接AD，∵DE是线段AB的垂直平分线，BD=15，∠B=15°，∴AD=BD=10，∴∠DAB=∠B=15°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=15°+15°=30°，∵∠C=90°，∴AC=AD=5cm．故选C．点评：本题考查的是直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分的性质是解答此题的关键．7．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B．C．D．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．分析：由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．解答：解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，∴∠AOP=∠COP=30°，∵CP∥OA，∴∠AOP=∠CPO，∴∠COP=∠CPO，∴OC=CP=2，∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，∴∠CPE=30°，∴CE=CP=1，∴PE==，∴OP=2PE=2，∵PD⊥OA，点M是OP的中点，∴DM=OP=．故选：C．点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．8．如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（）A．28°B．25°C．22.5°D．20°考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．根据线段的垂直平分线的性质，得AE=CE，再根据等边对等角，得∠C=∠CAE=x，然后根据三角形的内角和定理列方程求解．解答：解：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．∵AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，∴AE=CE．∴∠C=∠CAE=x．根据三角形的内角和定理，得∠C+∠BAC=180°﹣∠B，即x+4x=140°，x=28°．则∠C=28°．故选A．点评：此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．9．若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（）A．88°或2°B．4°或86°C．88°或4°D．4°或46°考点：等腰三角形的性质．分析：分88°内角是顶角和底角两种情况讨论求解．解答：解：88°是顶角时，等腰三角形的顶角为88°，88°是底角时，顶角为180°﹣2×88°=4°，综上所述，它的顶角是88°或4°．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论．10．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3B．3.5 C．2.5 D．2.8考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质．专题：计算题．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．解答：解：∵EO是AC的垂直平分线，∴AE=CE，设CE=x，则ED=AD﹣AE=4﹣x，在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，即x2=22+（4﹣x）2，解得x=2.5，即CE的长为2.5．故选：C．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到BC的距离是（）A．1B．2C．D．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，再根据角平分线的定义求出∠ABD=∠DBC=30°，从而得到∠DBC=∠ACB，然后利用等角对等边的性质求出BD的长度，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD，过点D作DE⊥BC于点E，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=30°，∴∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴∠DBC=∠ACB，∴BD=CD=4，在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，∴AD=BD=×4=2，过点D作DE⊥BC于点E，则DE=AD=2．故选B．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及等角对等边的性质，小综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．12．如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°考点：等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：根据此题的条件，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程．解答：解：∵AC=AE，BC=BD∴设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，∴∠A=180°﹣2x°，∠B=180°﹣2y°，∵∠ACB+∠A+∠B=180°，∴100+（180﹣2x）+（180﹣2y）=180，得x+y=140，∴∠DCE=180﹣（∠AEC+∠BDC）=180﹣（x+y）=40°．故选D．点评：根据题目中的等边关系，找出角的相等关系，再根据三角形内角和180°的定理，列出方程，解决此题．二．填空题（共6小题）13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为15．考点：角平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：要求△ABD的面积，现有AB=7可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E．根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解．解答：解：作DE⊥AB于E．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=CD=3．∴△ABD的面积为×3×10=15．故答案是：15．点评：此题主要考查角平分线的性质；熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出并求出三角形AB边上的高时解答本题的关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是2．考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．分析：根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．解答：解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB，∴∠ACB=∠FDB=90°，∵∠F=30°，∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）．又∵AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA=∠A=30°，∴直角△DBE中，BE=2DE=2．故答案是：2．点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA=30°．15．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=55°．考点：角平分线的性质．分析：首先过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，由△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，易证得AE是∠CAH的平分线，继而求得答案．解答：解：过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，∴EH=EF，EG=EF，∴EH=EG，∴AE是∠CAH的平分线，∵∠BAC=70°，∴∠CAH=110°，∴∠CAE=∠CAH=55°．故答案为：55°．点评：此题考查了角平分线的性质与判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．16．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= 4：5：6．考点：角平分线的性质．专题：压轴题．分析：首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．解答：解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，∴OD=OE=OF，∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB•OD）：（BC•OF）：（AC•OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．故答案为：4：5：6．点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．17．在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是15°．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：由DE垂直平分AC，∠A=50°，根据线段垂直平分线的性质，易求得∠ACD的度数，又由AB=AC，可求得∠ACB的度数，继而可求得∠DCB的度数．解答：解：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=50°，∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ACB=∠B==65°，∴∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=15°．故答案为：15°．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．18．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB= 72度．考点：线段垂直平分线的性质；菱形的性质．专题：计算题．分析：欲求∠CPB，可根据菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法．解答：解：先连接AP，由四边形ABCD是菱形，∠ADC=72°，可得∠BAD=180°﹣72°=108°，根据菱形对角线平分对角可得：∠ADB=∠ADC=×72°=36°，∠ABD=∠ADB=36度．EP是AD的垂直平分线，由垂直平分线的对称性可得∠DAP=∠ADB=36°，∴∠PAB=∠DAB﹣∠DAP=108°﹣36°=72度．在△BAP中，∠APB=180°﹣∠BAP﹣∠ABP=180°﹣72°﹣36°=72度．由菱形对角线的对称性可得∠CPB=∠APB=72度．点评：本题开放性较强，解法有多种，可以从菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法，在这些方法中，最容易理解和表达的应为对称法，这也应该是本题考查的目的．灵活应用菱形、垂直平分线的对称性，可使解题过程更为简便快捷．三．解答题（共12小题）19．如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．考点：线段垂直平分线的性质．分析：先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，故可得出BD+AD=BD+CD=BC，进而可得出结论．解答：解：∵DE垂直平分，∴AD=CD，∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm，又∵AB=10cm，∴△ABD的周长=AB+BC=10+11=21（cm）．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．20．如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：CE⊥CF．考点：等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：根据三线合一定理证明CF平分∠ACB，然后根据CF平分∠ACB，根据邻补角的定义即可证得．解答：证明：∵CD=CA，E是AD的中点，∴∠ACE=∠DCE．∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF．∵∠ACE+∠DCE+∠ACF+∠BCF=180°，∴∠ACE+∠ACF=90°．即∠ECF=90°．∴CE⊥CF．点评：本题考查了等腰三角形的性质，顶角的平分线、底边上的中线和高线、三线合一．21．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．考点：含30度角的直角三角形；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：延长DA，CB，交于点E，可得出三角形ABE与三角形CDE相似，由相似得比例，设AB=x，利用30角所对的直角边等于斜边的一半得到AE=2x，利用勾股定理表示出BE，由BC+BE表示出CE，在直角三角形DCE中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到2DC=CE，即可求出AB的长．解答：解：延长DA，CB，交于点E，∵∠E=∠E，∠ANE=∠D=90°，∴△ABE∽△CDE，∴=，在Rt△ABE中，∠E=30°，设AB=x，则有AE=2x，根据勾股定理得：BE==x，∴CE=BC+BE=4+x，在Rt△DCE中，∠E=30°，∴CD=CE，即（4+x）=3，解得：x=，则AB=．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．22．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．考点：角平分线的性质；勾股定理．分析：（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．解答：解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10，∴△ADB的面积为S△ADB=AB•DE=×10×3=15．点评：本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．23．如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．考点：直角三角形斜边上的中线．专题：证明题．分析：由于AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，因此可以AB为媒介，再根据斜边上的中线等于斜边的一半来证CE=ED．解答：证明：在Rt△ABC中，∵E为斜边AB的中点，∴CE=AB．在Rt△ABD中，∵E为斜边AB的中点，∴DE=AB．∴CE=DE．点评：本题考查的是直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．24．如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．考点：等腰三角形的性质；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）在等腰△ACD中，CF是顶角∠ACD的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质知F是底边AD的中点，由此可证得EF是△ABD的中位线，即可得到EF∥BC的结论；（2）易证得△AEF∽△ABD，根据两个相似三角形的面积比（即相似比的平方），可求出△ABD的面积，而四边形BDFE的面积为△ABD和△AEF的面积差，由此得解．解答：（1）证明：∵在△ACD中，DC=AC，CF平分∠ACD；∴AF=FD，即F是AD的中点；又∵E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线；∴EF∥BC；（2）解：由（1）易证得：△AEF∽△ABD；∴S△AEF：S△ABD=（AE：AB）2=1：4，∴S△ABD=4S△AEF=6，∴S△AEF=1.5．∴S四边形BDFE=S△ABD﹣S△AEF=6﹣1.5=4.5．点评：此题主要考查的是等腰三角形的性质、三角形中位线定理及相似三角形的判定和性质．25．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．专题：证明题．分析：此题根据直角梯形的性质和CE⊥BD可以得到全等条件，证明△ABD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质证明题目的结论．解答：证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵CE⊥BD，∴∠BEC=90°．∵∠A=90°，∴∠A=∠BEC．∵BD=BC，∴△ABD≌△BCE．∴AD=BE．点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；此题把全等三角形放在梯形的背景之下，利用全等三角形的性质与判定解决题目问题．26．已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．（1）求证：AE=CF；（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题；证明题．分析：根据已知利用SAS判定△ABE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等就可得到AE=CF；根据已知利用角之间的关系可求得∠EFC的度数．解答：（1）证明：在△ABE和△CBF中，∵，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∠CAE=30°，∴∠CAB=∠ACB=（180°﹣90°）=45°，∠EAB=45°﹣30°=15°．∵△ABE≌△CBF，∴∠EAB=∠FCB=15°．∵BE=BF，∠EBF=90°，∴∠BFE=∠FEB=45°．∴∠EFC=180°﹣90°﹣15°﹣45°=30°．点评：此题主要考查了全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质等知识点的掌握情况；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．27．如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据AD是∠EAF的平分线，那么DE=DF，如果证得EA=FA，那么我们就能得出AD是EF的垂直平分线，那么就证得EF⊥AD了．因此证明EA=FA是问题的关键，那么就要先证得三角形AED和AFD全等．这两个三角形中已知的条件有∠EAD=∠FAD，一条公共边，一组直角，因此两三角形全等，那么就可以得出EA=AF了．（2）要求AD的长，在直角三角形AED中，有了DE的值，如果知道了∠ADE或∠EAD的度数，那么就能求出AD了．如果DE∥AC，那么∠EAC=90°，∠EAD=45°，那么在直角三角形AED中就能求出AD的长了．解答：（1）证明：∵AD是∠EAF的平分线，∴∠EAD=∠DAF．∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴∠DEA=∠DFA=90°又AD=AD，∴△DEA≌△DFA．∴EA=FA∵ED=FD，∴AD是EF的垂直平分线．即AD⊥EF．（2）解：∵DE∥AC，∴∠DEA=∠FAE=90°．又∠DFA=90°，∴四边形EAFD是矩形．由（1）得EA=FA，∴四边形EAFD是正方形．∵DE=1，∴AD=．点评：本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识点．本题中利用全等三角形得出线段相等是解题的关键．。
最新北师大版八年级下册数学平行四边形单元测试试题以及答案(4套题)
八年级下册平行四边形单元测试试题一、选择题。
（共12道选择题，每道选择题只有一个正确答案）1、平行四边形的周长是36厘米，相邻两个边的比是5：1，则较长边是（）。
A、3B、15C、6D、304，取BC的中点为2、在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AC=2P。
以点P为中心，将△ABC旋转180°，A点的对应点为A’，则AA’的距离是（）。
2A、54B、58C、5D、53、如图，在▱ABCD中，AC+BD=24，BC=10，则△AOD的周长是（）。
A、24B、22C、29D、174、已知平面直角坐标系中，以O(0，0)，P(3，0)，M(1，1)，N(x，1)，若以O，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则x等于（）。
A、﹣4或﹣2B、﹣1或﹣2C、4或﹣1D、4或﹣25、在长方形ABCD中，如下图，E、F、G、H分别是长方形四边的中点，AB=4，BC=10，则图中阴影部分的面积是（）。
A、40B、20C、10D、86、如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，平行四边形的周长是32，△AOB比△AOD的周长小2，则AB、BC的长分别是（）。
A 、6、10B 、7、9C 、5、7D 、8、107、如图，在平行四边形ABCD 中，CE ：DE=3：2，则BEF DEF ABF S S S △△△：:的比是（ ）。
A 、25:2:5B 、25:4:9C 、5:2:3D 、25:4:108、一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形是（）边形。
A 、6B 、7C 、8D 、99、如果从一个等腰三角形的底边上任何一点分别作两腰的平行线，所得的平行四边形的周长等于（）。
A、等腰三角形的周长B、等腰三角形周长的一半C、等腰三角形两腰长D、等腰三角形两腰长的一半10、如图，四边形ABCD是平行四边形，BG⊥AF，AF是∠BAD的平分4，则△CEF的面积是（）。
线，若CD=6,BC=9，BG=24A、23B、22C、2D、211、如图，在平行四边形ABCD中，E、F在对角线AC上，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF，能判定四边形DEBF是平行四边形的有（）个。
北师大版八年级数学下册第一章测试卷及答案
北师大版八年级数学下册第一章测试卷及答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( )A．40° B．50° C．60° D．70°2.已知等腰三角形两边长是8 cm和4 cm，那么它的周长是( )A．12 cm B．16 cm C．16 cm或20 cm D．20 cm3. 已知在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.若用反证法来证明这个结论，可假设( )A．∠A＝∠B B．AB＝BC C．∠B＝∠C D．∠A＝∠C4.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )A．3，4， 5 B．1，2， 3 C．6，7，8 D．2，3，45.如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是( )A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DC D．AB＝CD6.如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝( )A．40° B．50° C．60° D．75°7.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AD上的点，且AE＝EC，若∠BAC＝45°，BD＝3，则CE的长为( )A．3 B．3 2 C．2 3 D．48.为了加快灾后重建的步伐，某市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址( )A．仅有一处B．有四处 C．有七处D．有无数处9.如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD的长为( )A ．3 2B ．4C ．2 5D ．4.510. 如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ，过点O 作OD ⊥AC 于点D ，下列结论：①EF ＝BE ＋CF ；②∠BOC ＝90°＋12∠A ；③点O 到△ABC 各边的距离都相等；④设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则S △AEF ＝mn ；⑤S △EOB ＝S FOC .其中，正确的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11.如图，在△ABC 中，∠C ＝40°，CA ＝CB ，则△ABC 的外角∠ABD ＝________．12. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝4，AD 平分∠BAC ，点E 是AC 的中点，则DE 的长为________．13.已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：____________________________________________，该逆命题是________(填“真”或“假”)命题． 14.如图，已知直线l 1∥l 2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β＝________.15.若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则下列条件中能判定△ABC 是直角三角形的有________个． ①∠A ＝∠B －∠C ；②∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5；③a 2＝(b ＋c )(b －c )；④a ∶b ∶c ＝5∶12∶13. 16.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB .若AC ＝2，DE ＝1，则S △ACD ＝________．17.如图，E是等边三角形ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE是________三角形．18.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(点E在BC上，点F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数为________．三．解答题（共7小题， 66分）19．(8分) 如图，△ABC，△CDE均为等边三角形，连接BE，AD交于点O，BE与AC交于点P.求证：∠AOB ＝60°.20．(8分) 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，O是BD与CE的交点，求证：BO＝CO.21．(8分) 如图，四边形ABCD是长方形，用尺规作∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q(不写作法，保留作图痕迹).连接QD，在新图形中，你发现了什么？请写出一条．22．(8分)如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.23．(10分)如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于点F，PA＝PC.(1)求证：∠PCB＋∠BAP＝180°；(2)若BC＝12 cm，AB＝6 cm，PA＝5 cm，求BP的长．24．(10分) 如图，点P是等边三角形ABC内一点，AD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PG⊥BC于点G.求证：AD＝PE＋PF＋PG.25．(14分) 如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q 两点都停止运动，设运动时间为ts，解答下列问题：(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由．(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t；若不能，请说明理由．参考答案1-5DDCBA 6-10BBABB 11. 110° 12. 213. 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假 14. 20° 15. 3 16.1 17. 等边 18. 108°19. 证明：∵△ABC 和△ECD 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB ＋∠ACE ＝∠DCE ＋∠ACE ，即∠ACD ＝∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE(SAS)，∴∠CAD＝∠CBE ，∵∠APO ＝∠BPC ，∴∠AOP ＝∠BCP ＝60°，即∠AOB ＝60°.20．证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠BDC ＝∠CEB ＝90°，在△BCE 和△CBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABC ＝∠ACB ，∠CEB ＝∠BDC ＝90°，BC ＝CB ，∴△BCE ≌△CBD(AAS)，∴∠BCE ＝∠CBD ，∴BO ＝CO. 21. 解：如图所示．发现：QD ＝AQ 或∠QAD ＝∠QDA 等22. 解：(1)∠ABE ＝∠ACD.理由：在△ABE 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AE ＝AD ，∴△ABE ≌△ACD ，∴∠ABE ＝∠ACD(2)连接AF.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，由(1)可知∠ABE ＝∠ACD ，∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC ，∵AB ＝AC ，∴点A ，F 均在线段BC 的垂直平分线上，即直线AF 垂直平分线段BC23.解：(1)证明：过点P 作PE ⊥AB 于点E ，∵∠1＝∠2，PF ⊥BC ，PE ⊥AB ，∴PE ＝PF.在△APE 和△CPF 中，⎩⎪⎨⎪⎧PA ＝PC ，PE ＝PF ，∴△APE ≌△CPF(HL)，∴∠PAE ＝∠PCB.∵∠PAE ＋∠PAB ＝180°，∴∠PCB ＋∠BAP ＝180°. (2)∵△APE ≌△CPF ，∴AE ＝FC ，∵BC ＝12 cm ，AB ＝6 cm ，∴AE ＝12×(12－6)＝3 (cm)，BE ＝AB ＋AE ＝6＋3＝9 (cm)，在Rt △PAE 中，PE ＝52－32＝4 (cm)，在Rt △PBE 中，PB ＝92＋42＝97 (cm)．24. 证明：连接PA ，PB ，PC ，如图．∵AD ⊥BC 于点D ，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，PG ⊥BC 于点G ，∴S △ABC ＝12×BC ×AD ，S △PAB ＝12×AB ×PE ，S △PAC ＝12×AC ×PF ，S △PBC ＝12×BC ×PG . ∵S △ABC ＝S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC ，∴12×BC ×AD ＝12(AB ×PE ＋AC ×PF ＋BC ×PG )．∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ，∴BC ×AD ＝BC ×(PE ＋PF ＋PG )，∴AD ＝PE ＋PF ＋PG .25. 解：(1)当点Q 到达点C 时，PQ 与AB 垂直．理由：∵点Q 到达点C 时，BQ ＝BC ＝6 cm ，∴t ＝62＝3.∴AP ＝3 cm.∴BP ＝AB －AP ＝3 cm ＝AP .∴点P 为AB 的中点．∴PQ ⊥AB .(2)能．∵∠B ＝60°，∴当BP ＝BQ 时，△BPQ 为等边三角形．∴6－t ＝2t ，解得t ＝2.∴当t ＝2时，△BPQ 是等边三角形．。
北师大版数学八年级下册各单元测试题-含答案(共六套)
8.如果a2＋ma＋121是一个完全平方式，那么m＝________或_______.
三、用心算一算（共36分）
1.（20分）因式分解：
(1)4x2－16y2；（2）
（3）x2－10x＋25；（4）
2.（5分）利用因式分解进行计算：
解得 ．
8．A
提示：不等式组 的解集为 ．
由题意，得 解得 ．
则 ．
9．B
10．C
三、解答题
1．解：（1）去分母，得 ．
去括号，得
移项，合并同类项，得 ．
两边都除以-1，得 ．
（2）
解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ．
所以，原不等式组的解集是 ．
2．解：解方程组 得 ．
由题意，得 解得 ．
因为m为整数，所以m只能为7，8，9，10．
9．7
10．22
提示：设得5分的有x人，若最低得3分的有1人，得4分的有3人，则 ，且 ，解得 ．应取最小整数解，得x=22．
二、选择题
1．C
2．B
3．B
提示：设三个连续奇数中间的一个为x，则 ．
解得 ．所以 ．所以 只能取1，3，5，7．
4．C
5．B
6．C
7．B
提示：不等式组 的解集为 ．
因为不等式组 有四个整数解，所以 ．
4．如果 ，那么[ ]．
A． B． C． D．
5．某数的2倍加上5不大于这个数的3倍减去4，那么该数的范围是[ ]．
A． B． C． D．
6．不等式组 的正整数解的个数是[ ]．
A．1B．2 C．3D．4
7．关于x的不等式组 有四个整数解，则a的取值范围是[ ]．
北师大版八年级数学下册《因式分解》单元测试卷及答案含有详细解析
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………北师大版八年级数学下册《因式分解》单元测试卷评卷人 得分一、选择题1、将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）A ．a 2﹣1 B ．a 2+a C ．a 2+a ﹣2 D ．（a+2）2﹣2（a+2）+1 2、下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）A ．x 2-xy B ．x 2+xy C ．x 2-y 2D ．x 2+y 23、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是( )A ．(3－x)(3＋x)＝9－x 2B ．m 4－n 4＝(m 2＋n 2)(m ＋n)(m －n) C ．(y ＋1)(y －3)＝－(3－y)(y ＋1) D ．4yz －2y 2z ＋z ＝2y(2z －yz)＋z 4、把8a 3－8a 2＋2a 进行因式分解，结果正确的是( )A ．2a(4a 2－4a ＋1)B ．8a 2(a －1) C ．2a(2a ＋1)2D ．2a(2a －1)25、一次数学课堂练习，小明同学做了如下四道因式分解题．你认为小明做得不够完整的一题是( )A ．4x 2－4x ＋1＝(2x －1)2B ．x 3－x ＝x(x 2－1) C ．x 2y －xy 2＝xy(x －y) D ．x 2－y 2＝(x ＋y)(x －y) 6、若x 2＋ax －24＝(x ＋2)(x －12)，则a 的值为( )A ．－10B ．±10C ．14D ．－14 7、小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解，正确的是( )A ．x 2＋2x ＝x(x ＋2) B ．x 2－2x ＋1＝(x －1)2C ．x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2D ．x 2＋3x ＋2＝(x ＋2)(x ＋1) 8、对于任何整数m ，多项式( 4m +5)2−9都能( )A ．被8整除B ．被m 整除C ．被(m −1)整除D ．被(2m −1)整除……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………9、某同学粗心大意，因式分解时，把等式x 4－■＝(x 2＋4)(x ＋2)(x －▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是( ) A ．8，1 B ．16，2 C ．24，3 D ．64，8 10、已知，则a 2－b 2－2b 的值为A ．4B ．3C ．1D ．0评卷人 得分二、填空题11、分解因式：2m 3﹣8m= 。
北师大版八年级数学下册单元测试《第1章 三角形的证明》(解析版)
《第1章三角形的证明》一、选择题1．如果三角形的三个内角度数比为1：1：2，则这个三角形为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．非等腰直角三角形D．等腰直角三角形2．下面命题不正确的是（）A．两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形B．两个外角相等的三角形是等腰三角形C．一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形D．两个内角不相等的三角形不是等腰三角形3．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（）A．a=﹣2 B．a=﹣1 C．a=1 D．a=24．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°5．如图，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连接ED并延长到点F，使DF=DE，连接FC，若∠B=70°，则∠F 的度数是（）A．40 B．70 C．50 D．456．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．97．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（）A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里二、填空题8．如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，则图中共有等腰三角形的个数是．9．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是．10．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是．①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．三、解答题11．证明题：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）13．已知∠AOB及其内部一点P，试讨论以下问题的解答：（1）如图①，若点P在∠AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；若点P不在∠AOB的平分线上（如图②），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？请你在图②中画出图形，并简要说明画法．（2）若点P不在∠AOB的平分线上（如图③），我们可以过P点作PQ∥OA，并作∠QPR=∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形．请你说明这样作的理由．（3）若点P不在∠AOB的平分线上，请你利用在（2）中学到的方法，在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边．保留画图的痕迹，不用写出画法．《第1章三角形的证明》参考答案与试题解析一、选择题1．如果三角形的三个内角度数比为1：1：2，则这个三角形为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．非等腰直角三角形D．等腰直角三角形【考点】三角形内角和定理．【分析】由三角形的三个内角度数比为1：1：2，可设三角形的三个内角分别为：x，x，2x，然后由三角形的内角和等于180°，即可得方程：x+x+2x=180°，解此方程即可求得答案．【解答】解：∵三角形的三个内角度数比为1：1：2，∴设三角形的三个内角分别为：x，x，2x，∴x+x+2x=180°，解得：x=45°，∴三角形的三个内角度数分别为：45°，45°，90°．∴这个三角形为等腰直角三角形．故选：D．【点评】此题考查了三角形的内角和定理．此题比较简单，解题的关键是根据三角形的三个内角度数比为1：1：2，设三角形的三个内角分别为：x，x，2x，利用方程思想求解．2．下面命题不正确的是（）A．两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形B．两个外角相等的三角形是等腰三角形C．一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形D．两个内角不相等的三角形不是等腰三角形【考点】等腰三角形的判定．【分析】认真阅读各选项，结合各选项提供的已知条件及等腰三角形的定义可得．【解答】解：A、第三个角180°﹣50°﹣65°=65°，有两等角的三角形是等腰三角形，正确；B、外角相等，则对应的内角也相等，有两等角的三角形是等腰三角形，正确；C、利用两直线平行，内错角相等，同位相等，可知，另外的两内角也相等，有两等角的三角形是等腰三角形，正确；D、两个内角不相等的三角形可能是等腰三角形，错误．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；找出各选项的正误是正确解答本题的关键．3．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（）A．a=﹣2 B．a=﹣1 C．a=1 D．a=2【考点】反证法．【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．【解答】解：用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a=﹣2，∵（﹣2）2＞1，但是a=﹣2＜1，∴A正确；故选：A．【点评】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．4．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°【考点】反证法．【专题】证明题．【分析】此题要运用反证法，由题意先假设三角形的三个角都小于60°成立．然后推出不成立．得出选项．【解答】解：设三角形的三个角分别为：a，b，c．假设，a＜60°，b＜60°，c＜60°，则a+b+c＜60°+60°+60°，即，a+b+c＜180°与三角形内角和定理a+b+c=180°矛盾．所以假设不成立，即三角形中至少有一个角不小于60°．故选B．【点评】此题考查的知识点是反证法，解答此题的关键是由已知三角形中至少有一个角不小于60°假设都小于60°进行论证．5．如图，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连接ED并延长到点F，使DF=DE，连接FC，若∠B=70°，则∠F 的度数是（）A．40 B．70 C．50 D．45【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】由题意可得EB=ED，根据等边对等角的性质，易得∠B=∠EDB=∠ACB，即可得EF∥AC，又由AE=BE，根据平行线等分线段成比例定理，可得BD=CD，然后利用SAS即可证得△EBD≌△CFD，即可得∠F=∠BED．【解答】解：∵以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，∴EB=ED，∴∠EDB=∠B=70°，∴∠BED=180°﹣∠B=∠BDE=40°，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B，∴∠EDB=∠ACB，∴EF∥AC，∵E是AB的中点，即BE=AE，∴BD=CD，在△EBD和△FCD中，，∴△EBD≌△FCD（SAS），∴∠F=∠BED=40°．故选A．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解题意．6．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等腰三角形的判定．【专题】分类讨论．【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．【解答】解：如上图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（）A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里【考点】等腰三角形的判定与性质；方向角；平行线的性质．【专题】应用题．【分析】根据方向角的定义即可求得∠M=70°，∠N=40°，则在△MNP中利用内角和定理求得∠NPM的度数，证明三角形MNP是等腰三角形，即可求解．【解答】解：MN=2×40=80（海里），∵∠M=70°，∠N=40°，∴∠NPM=180°﹣∠M﹣∠N=180°﹣70°﹣40°=70°，∴∠NPM=∠M，∴NP=MN=80（海里）．故选：D．【点评】本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定理，理解方向角的定义是关键．二、填空题8．如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，则图中共有等腰三角形的个数是6．【考点】等腰三角形的判定与性质．【分析】由在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，易求得各角的度数，继而求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠ABD=36°，即△ABC是等腰三角形，∴∠C=∠B=36°，∴∠BAC=108°，∵∠DAE=∠EAC=36°，∴∠BAD=36°，∴∠BAD=∠B=36°，∠EAC=∠C=36°，∴△ABD，△ACE是等腰三角形，∴∠ADE=∠AED=∠DAC=∠BAE=72°，∴△ADE，△ABE，△ACD是等腰三角形．故答案为：6．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．9．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是9．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】压轴题．【分析】由在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，易证得△DOB与△EOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得△ADE的周长等于AB+AC，即可求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，∴OD=BD，OE=CE，∵AB=5，AC=4，∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9．故答案为：9．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质．此题难度适中，注意证得△DOB与△EOC是等腰三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．10．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是②③④．①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②是否正确；③④要通过作等腰三角形来判断其结论是否成立．【解答】解：应添加的条件是②③④；证明：②当∠BAD=∠CAD时，∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高；则△ABD≌△ACD，∴△BAC是等腰三角形；③延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；∵AB+BD=CD+AC，∴DE=DF，又AD⊥BC；∴△AEF是等腰三角形；∴∠E=∠F；∵AB=BE，∴∠ABC=2∠E；同理，得∠ACB=2∠F；∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形；④△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得：AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）；∵AB﹣BD=AC﹣CD①，∴AB+BD=AC+CD②；∴①+②得：，2AB=2AC；∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形故答案为：②③④．【点评】此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质；本题的难点是结论③的证明，能够正确的构建出等腰三角形是解答③题的关键．三、解答题11．证明题：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．【考点】反证法．【专题】证明题．【分析】运用反证法进行求解：（1）假设结论PB≠PC不成立，PB=PC成立．（2）从假设出发推出与已知相矛盾．（3）得到假设不成立，则结论成立．【解答】证明：假设PB≠PC不成立，则PB=PC；∵在△ABP和△ACP中，，∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC；与∠APB≠∠APC相矛盾．因而PB=PC不成立，则PB≠PC．【点评】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）【考点】等腰三角形的判定与性质；作图—基本作图．【专题】作图题．【分析】（1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM 于F．（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD=×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推出AD=AF，即可得出答案．【解答】解：（1）如图所示：（2）△ADF的形状是等腰直角三角形，理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∵AF平分∠EAC，∴∠EAF=∠FAC，∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠EAC+∠BAC=×180°=90°，即△ADF是直角三角形，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，∴∠EAF=∠B，∴AF∥BC，∴∠AFD=∠FDC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，∴AD=AF，即直角三角形ADF是等腰直角三角形．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，等腰三角形的性质和判定的应用，主要培养学生的动手操作能力和推理能力，题目比较典型，难度也适中．13．已知∠AOB及其内部一点P，试讨论以下问题的解答：（1）如图①，若点P在∠AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；若点P不在∠AOB的平分线上（如图②），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？请你在图②中画出图形，并简要说明画法．（2）若点P不在∠AOB的平分线上（如图③），我们可以过P点作PQ∥OA，并作∠QPR=∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形．请你说明这样作的理由．（3）若点P不在∠AOB的平分线上，请你利用在（2）中学到的方法，在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边．保留画图的痕迹，不用写出画法．【考点】作图—应用与设计作图；角平分线的性质；等腰三角形的判定．【分析】（1）作∠AOB的平分线，过P点作角平分线的垂线，分别交角的两边OA、OB于点C、D，则△OCD是以CD为底边的等腰三角形；（2）根据PQ∥OA，得出∠QPR=∠OCD，进而得出OD=CD，即可得出答案；（3）作QP∥DO，再作∠ODR=∠O，即可得出答案．【解答】解：（1）能．画法：作∠AOB的平分线，过P点作角平分线的垂线，分别交角的两边OA、OB 于点C、D，则△OCD是以CD为底边的等腰三角形，如图①．（2）∵PQ∥OA，∴∠QPR=∠OCD，又∵∠QPR=∠AOB，∴∠OCD=∠AOB．∴OD=CD．即△OCD是以OC为底的等腰三角形．（3）如图②．【点评】此题主要考查了基本作图角平分线的性质等知识；作角平分线是正确解答本题的关键．。