错误总数的估算方法
估算平均无故障时间的方法
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1
1、符号
ET —— 测试之前程序中错误总数 IT —— 程序长度（机器指令总数） Ʈ —— 测试时间 Ed（Ʈ）—— 在0至Ʈ之间发现的错误数 Ec（Ʈ）—— 在0至Ʈ之间改正的错误数 Er（Ʈ）—— 剩余的错误数
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2
2、基本假定
（1）根据经验数据，单位长度里的错误数 ET/IT 近似为常数。统计表明，在测试之前 每1000条指令中大约有5-20个错误。
估计测试前程序中题2
某公司对已开发的软件产品采用错误植入模型来 进行测试和评估。评测部对待测软件人为植入了 17个故障；在开始测试的一小段时间内，发现了 300个固有故障；发现了植入的故障3个，被测程 序的机器指令条数为3*105。
(1) 请估算出被测程序的固有故障的个数N的值。
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4.1 植入错误法
人为的植入错误数为Ns，经过一段时间测试后 发现ns个植入的错误，此外还发现了n个原有的 错误。
如果测试方案发现植入错误和发现原有错误的 能力相同，则估计程序中原有的错误总数为：
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4.2 分别测试法
两个测试员彼此独立的测试同一个程序，测试 一段时间后测试员甲发现错误数为B1，测试员 乙发现错误数为B2，两个测试员发现的相同错 误数为bc
所以
MTTF = 10 = 100000 / 1000(Et - Ec) = 100/(Et Ec) = 100/(350 - Ec)
所以Ec = 340 340-300 =40个错误。
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4、估计错误总数ET的方法
两种方法：
植入错误法 分别测试法 参考书P82 软件缺陷数目估计中撒播模型
解决问题——加减法估算(教案)2023-2024学年数学三年级上册人教版
解决问题——加减法估算（教案）20232024学年数学三年级上册人教版教学目标1. 知识与技能：使学生掌握100以内数的加减法估算方法，并能准确进行估算。
2. 过程与方法：通过实际问题的解决，让学生体会估算的实用性和便捷性，培养解决实际问题的能力。
3. 情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，激发学生主动参与数学学习活动的积极性。
教学内容1. 估算的意义：介绍估算的概念，解释估算在生活中的应用。
2. 加减法估算方法：讲解100以内数的加减法估算方法，包括四舍五入法、上下取整法等。
3. 实际应用：通过实例演示如何运用估算解决实际问题。
教学重点与难点1. 重点：掌握100以内数的加减法估算方法，并能准确进行估算。
2. 难点：理解估算的原理，灵活运用不同的估算方法。
教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔2. 学具：练习本、铅笔教学过程1. 导入：通过PPT展示一些生活中的实际问题，引导学生思考如何快速得出答案，引出估算的概念。
2. 新授：讲解估算的意义和方法，通过实例演示如何进行加减法估算。
3. 练习：让学生分组进行练习，互相讨论和分享估算的方法和经验。
4. 巩固：通过PPT展示一些实际问题，让学生独立进行估算，并给出答案。
板书设计1. 解决问题——加减法估算2. 内容：包括估算的意义、加减法估算方法、实际应用等。
作业设计1. 书面作业：完成练习册上的加减法估算题目。
2. 实践作业：观察生活中的实际问题，尝试运用估算方法解决。
课后反思1. 教学效果：通过本节课的学习，学生是否掌握了加减法估算的方法，并能准确进行估算。
3. 改进措施：针对学生的掌握情况，思考如何改进教学方法，提高教学效果。
结束语通过本节课的学习，希望学生能够掌握加减法估算的方法，并能灵活运用到实际生活中，解决实际问题。
同时，也希望学生能够对数学产生更浓厚的兴趣，积极参与数学学习活动。
教学重点与难点重点：掌握100以内数的加减法估算方法，并能准确进行估算。
人教版小学三年级下册数学教案：运用估算解决问题
运用估算解决问题教学内容：教材第29页例8、例9和练习六。
教学目标：1、使学生掌握运用估算解决实际问题的方法。
2、使学生学会从多角度思考来解决问题，培养学生灵活运用各种方法解决问题的能力。
教学重点：运用所学的知识解决一些实际问题。
教学难点：运用所学的知识解决一些实际问题。
教学过程：一、学前准备1、口算。
3分钟计时，学生在口算卡上完成20道口算题。
2、计算。
c O m板书下列各题，学生在练习本上完成。
6903 40022 508054284 6903 6000532284 5455（1）集体完成。
（2）指名学生板演。
（3）说一说，各自是怎样计算，如何验算的。
（4）针对学生出现的错误，进行分析和指导。
（5）表扬算理清楚，计算正确及有进步的同学。
3、计算比赛二、探究新知1、学习教材第29页例8.出示主题图。
观察情境图，从中知道了哪些信息？跟同伴说一说。
问：“大约”是什么意思？下面我们就来探究估算的方法。
估算267÷3时，把被除数看作与它接近的整百数或几百几十数，然后应用乘法口诀，估出商是多少。
在这道算式中，可以把267看作与它接近的整百数300，也可以把267看作与它接近的几百几十数270，且300和270都是3的倍数。
指名学生板演。
方法一：把267看作与它接近的整百数300267÷3≈100（元）（300）答：每天的住宿费大约是100元。
方法二：把267看作与它接近的几百几十数270267÷3≈90（元）（270）答：每天的住宿费大约是90元。
2、学习教材第30页例9.出示主题图。
观察情境图，从中知道了哪些信息？跟同伴说一说。
下面我们就来探究估算的方法。
在解决这个问题时，可以用估一估的方法求出18个箱子大约能装下多少个菠萝。
因为18接近20，可以把18看成20，算得20个箱子能装下160个菠萝，182＞160，所,18只纸箱肯定装不下182个菠萝；还可以用估一估的方法算出装完这些菠萝至少需要多少个纸箱。
第10讲 估算及解决问题-三年级上册数学知识点汇总与错题专练(人教版)
第10讲估算及解决问题三年级上册数学知识点汇总与错题专练（易错梳理+易错举例+易错题演练）【易错梳理】1、多位数乘一位数的估算方法。
先把因数中的多位数看作与它接近的整十、整百数，再与一位数相乘，中间要用“≈”连接。
2、乘、除混合运算的运算顺序。
按从左到右依次计算。
3、用两步计算解决实际问题。
用两步计算解决问题时，选择两个相关的条件，可以分步计算，也可以列综合算式计算。
4、估算时，一定要用“≈”连接。
5、估算带钱问题时，应估大不估小，以免带的钱不够，因些，乘法估算要联系实际进行。
6、解决问题时，要学会分析问题的方法，先弄清数量之间的关系，再列式解答。
【易错举例】易错点1：估算时应用“≈”连接算式。
估算:312×5【错误答案】312×5=1500【错解分析】在估算时,由于估算值不是准确值,要用“～”连接算式,不能用“=”。
【正确解答】312×5≈1500易错点2：解决问题时出现错误，注意要先求出单一量。
彭老师买了4个排球，一共花了80元，照这样计算，买6个排球要花多少元？【错误答案】80×6=480（元）答：买6个排球要花480元。
【错解分析】本题错在没有先求出单一量是多少，即买1个排球用多少钱，就进行直接计算了。
应该先用除法求出买一个排球需要多少钱，再乘上需要买的6个排球，就可以算出总共要花多少元钱。
【正确解答】80÷4×6=20×6=120（元）答：买6个排球要花120元。
【易错题演练】一、选择题1．①每名同学分得2本数学练习本，共500名同学，一共需要多少本练习本？②学校准备礼物，全校一共968名同学，要花多少钱买礼物？③文文家距学校400米，从家到学校7分钟能走到吗？上面三个问题最适合用（）来解决。
A．口算，笔算，估算B．估算，笔算，口算C．口算，口算，估算D．笔算，估算，口算2．妈妈选礼物。
最贵的每件108元，最便宜的每件78元，妈妈要买3件，总价大约在（）之间。
第三节误差的估算
第三节 误差的估算由于物理量的数值的获得途径有直接测量和间接测量两种，无论直测量，还是间测量都有误差，误差的计算也分两种情况。
广义地讲，两种情况的处理都属于误差计算。
然而，间测量是由直测量决定的，以直测量为基础的，间测量的误差是由直测量通过给定的函数关系确定的。
因此，狭义地讲，常把直测量的误差计算称为误差计算，而将间测量的误差计算叫误差传递。
此外，由于严格意义上的误差是无法计算的，因而只能通过各种方法进行近似计算，故将误差计算称为误差的估算，而且可有多种方法进行估算。
下面就介绍几种常用的误差估算方法。
一、直测量的误差估算 1．算术平均误差在测量列{}i X 中，各次测量的误差的绝对值的算术平均值叫算术平均误差。
记为X ∆。
按定义 ∑=-=∆ni i X X n X 101或 ∑=∆=∆ni i X n X 11其中0X X X i i -=∆。
当n 较大时，可用下式估算为()1--=∆∑n n XX X i此法比前法得到的偏差要大些。
2.绝对误差误差的绝对值叫绝对误差。
狭义的绝对误差，如上面的i X ∆，X ∆。
而广义的绝对误差还有后面要讨论的x S ，x σ，σ，Q 等。
3.相对误差绝对误差与平均值的百分比叫相对误差，又叫百分误差。
记为r E 。
其估算方法为%100⨯∆=XXE r 广义地讲，后面要讨论的XS x 、Xσ等都可叫相对误差。
4.标准误差(实验标准差)按定义，标准误差是测量列中各次误差的方均根，记为x σ。
即()∑=-=ni i x X X n 1201σ需要注意的是，上式是在测量次数很多时，测量列按正态分布时所得到的结果。
实际上，由于真值无法获得，而测量次数也只能是有限的。
因此，标准误差x σ只能通过偏差进行估算。
常用的估算方法有：最大偏差法、极差法、Bessel 法等，它们的估算结果基本一致。
应用上，一般使用Bessel 方法。
由统计理论可推导出，对有限次测量的Bessel 标准偏差x S 的计算公式(Bessel 公式)为： ()∑=--=ni i x X X n S 1211或 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑∑==2112111n i in i i x X n X n S 即最后是用x S 代替x σ。
三年级上册数学教案-第四单元第6课时解决问题策略—估算 人教版
教案标题：三年级上册数学教案-第四单元第6课时解决问题策略—估算人教版一、教学目标1. 让学生掌握估算的方法，能够运用估算解决实际问题。
2. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极参与的精神。
二、教学内容1. 估算的意义和方法2. 估算在生活中的应用3. 估算题目的解答方法三、教学重点、难点1. 教学重点：掌握估算的方法，能够运用估算解决实际问题。
2. 教学难点：如何引导学生运用估算方法解决实际问题。
四、教学过程1. 导入：通过一个生活实例，引出估算的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入：讲解估算的意义和方法，让学生了解估算的重要性。
3. 案例分析：分析几个估算的案例，让学生了解估算在生活中的应用。
4. 实践操作：让学生分组进行估算练习，培养学生的合作学习能力和实践操作能力。
5. 总结提升：总结估算的方法和技巧，让学生能够熟练运用估算解决实际问题。
五、教学反思1. 教师要关注学生的学习过程，及时发现和解决学生在学习过程中遇到的问题。
2. 教师要注重培养学生的合作学习能力和实践操作能力，提高学生的综合素质。
3. 教师要不断反思自己的教学方法和教学效果，提高教学质量。
六、作业布置1. 请学生运用估算方法解决生活中的实际问题，并记录下来。
2. 请学生预习下一课时的内容，为课堂学习做好准备。
七、板书设计1. 课题：解决问题策略—估算2. 教学目标3. 教学内容4. 教学重点、难点5. 教学过程6. 教学反思7. 作业布置八、教学评价1. 学生能够掌握估算的方法，并能够运用估算解决实际问题。
2. 学生能够积极参与课堂讨论和实践活动，表现出良好的合作学习能力和实践操作能力。
3. 学生能够完成作业，并能够预习下一课时的内容。
重点关注的细节是教学过程，因为它是整个教案中的核心部分，直接关系到学生对估算方法的理解和应用能力的培养。
以下是对教学过程的详细补充和说明：教学过程：1. 导入- 通过一个生活实例，例如估算购物时的总价，引出估算的概念。
三年级上册数学教案-第6单元第9课时 用估算解决问题人教新课标
三年级上册数学教案－第6单元第9课时用估算解决问题人教新课标教学目标1. 知识与技能：使学生能够理解估算的概念，掌握基本的估算方法，并能够运用估算解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、操作、思考和讨论，培养学生运用估算解决问题的能力，增强数感和应用意识。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们独立思考和合作交流的能力，形成积极的学习态度。
教学内容本节课将介绍估算的概念，引导学生掌握四舍五入法、闭眼法、分解法等基本的估算方法，并通过实例让学生学会如何运用估算解决实际问题。
教学重点与难点1. 重点：让学生理解估算的重要性，掌握基本的估算方法，并能够运用估算解决实际问题。
2. 难点：如何引导学生正确地选择合适的估算方法，并准确地估算结果。
教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔。
2. 学具：计算器、练习本、笔。
教学过程1. 导入：通过PPT展示一些估算的实例，让学生初步感知估算的概念和重要性。
2. 新授：介绍四舍五入法、闭眼法、分解法等基本的估算方法，并通过实例让学生理解和掌握这些方法。
3. 练习：让学生分组进行估算练习，互相交流和学习，教师巡回指导。
板书设计板书设计要简洁明了，突出本节课的重点内容，包括估算的概念、基本的估算方法和如何运用估算解决实际问题。
作业设计1. 必做题：让学生完成练习册上的估算题目，巩固课堂所学。
2. 选做题：让学生回家后观察生活中的估算实例，并记录下来，下次课进行分享。
课后反思本节课通过实例引入，让学生初步感知估算的概念和重要性，然后通过介绍基本的估算方法和让学生进行练习，使学生能够理解和掌握这些方法，通过展示和讨论，让学生学会如何运用估算解决实际问题。
整体教学过程流畅，学生参与度高，达到了预期的教学效果。
但在教学过程中，也发现部分学生对估算的方法掌握不够熟练，需要在今后的教学中加强练习和指导。
重点关注的细节是“教学过程”。
教学过程是整个教学活动的核心，直接关系到学生对知识点的理解和掌握。
推断总体错报的方法
推断总体错报的方法在会计和审计的世界里，推断总体错报就像是在一个大森林里找那些长歪了的树。
这可不是一件轻松的事儿，但要是掌握了些小窍门，也能像老猎手一样把那些隐藏的“歪树”给找出来。
先来说说比率估计法。
这就好比你去市场买苹果。
你知道一小袋苹果里有几个是坏的，这小袋苹果就像样本。
你通过这个小袋里坏苹果的比例，去推测这一整车苹果里大概会有多少个坏的。
比如说，你买了一小袋10个苹果，里面有2个是坏的，那坏苹果的比率就是20%。
如果这一整车苹果有100个，那按照这个比率，你就大概能推断出有20个苹果是坏的。
在实际的会计或者审计中呢，你得先确定样本中的错报金额和样本账面金额，算出这个比率，再用总体账面金额乘以这个比率，就得出估计的总体错报了。
不过这里面得小心啊，要是样本选得不好，就像你买那小袋苹果刚好都是从坏苹果堆里拿的，那推断出来的结果可就差得远了。
还有差额估计法呢。
这有点像你数家里的存钱罐。
你先数出一部分硬币，算出这部分硬币比你印象中应该有的数量多了或者少了多少，这就是样本中的差额。
然后你就想啊，这存钱罐里总共就这么多硬币，按照这个部分的差额，那整个存钱罐里的硬币大概总共多了或者少了多少呢。
在财务上，就是先计算样本平均错报，再用这个平均错报乘以总体规模，得到总体错报的估计值。
但是这也有个小问题，样本的代表性很重要。
要是你数的那部分硬币都是你好久以前放进去的，和最近放的硬币情况不一样，那这个推断可能就不准了。
再讲讲均值估计抽样法。
想象你在参加一个班级的身高测量。
你先量了一部分同学的身高，算出这部分同学的平均身高，然后你就觉得整个班级同学的平均身高应该和这个差不多。
然后你用这个平均身高乘以班级总人数，得出一个大概的总身高数值。
如果老师给你的班级总身高数值和你算出来的不一样，那这个差额可能就是总体错报啦。
不过呢，这方法的前提是样本要均匀，就像你不能光量篮球队员的身高就去推断全班身高，那肯定不行。
我觉得推断总体错报啊，就像是在猜一个大盒子里装了多少颗糖。
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可靠性与故障总数估算的方法
在软件测试过程中，利用测试的统计数据，估算软件的可靠性，对控制软件的质量有一定的指导作用。
本文转自《软件测试》一书。
1、推算错误的产生频度
估算错误产生的频度的一种方法是估算平均失效等待时间MTTF。
MTTF估算公式（Shooman模型）是
其中，K是一个经验常数，美国一些统计数字表明，K的典型值是200；E T是测试之前程序中原有的故障总数；I T是程序长度（机器指令条数或简单汇编语句条数）；
t是测试（包括排错）的时间；E C(t) 是在0～t期间内检出并排除的故障总数。
公式的基本假定是：
单位（程序）长度中的故障数E T∕I T近似为常数，它不因测试与排错而改变。
统计数字表明，通常E T∕I T值的变化范围在0.5×10-2～2×10-2之间；故障检出率正比于程序中残留故障数，而MTTF与程序中残留故障数成反比；故障不可能完全检出，但一经检出立即得到改正。
设E C(τ) 是0～τ时间内检出并排除的故障总数，τ是测试时间(月)，则在同一段时间0～τ内的单条指令累积规范化排除故障数曲线εc (τ) 为：εc (τ) = E C (τ)∕I T
这条曲线在开始呈递增趋势，然后逐渐和缓，最后趋近于一水平的渐近线E T∕I T。
利用公式的基本假定：故障检出率（排错率）正比于程序中残留故障数及残留故障数必须大于零，经过推导得：
这就是故障累积的S型曲线模型，
2、估算软件中故障总数E T的方法
①利用Shooman模型估算程序中原来错误总量E T——瞬间估算
所以，
若设T是软件总的运行时间，M是软件在这段时间内的故障次数，则T∕M = 1∕λ= MTTF 现在对程序进行两次不同的互相独立的功能测试，相应检错时间τ1 <τ2，检出的错误数E C (τ1 ) < E C (τ2 )，则有
且
解上述方程组，得到E T的估计值。
②Hyman分别测试法
由两个测试员同时互相独立地测试同一程序的两个副本，用t表示测试时间（月），记t = 0时，程序中原有故障总数是B0；t = t1时，测试员甲发现的故障总数是B1；测试员乙发现的故障总数是B2；其中两人发现的相同故障数目是b c；两人发现的不同故障数目是b i。
在大程序测试时，头几个月所发现的错误在总的错误中具有代表性，两个测试员测试的结果应当比较接近，b i不是很大。
这时有
如果b i比较显著，应当每隔一段时间，由两个测试员再进行分别测试，分析测试结果，估算B0。
如果b i减小，或几次估算值的结果相差不多，则可用B0作为程序中原有错误总数E T的估算值。
在软件开发的过程中，利用测试的统计数据，估算软件的可靠性，以控制软件的质量是至关重要的。
(1) 推测错误的产生频度
估算错误产生频度的一种方法是估算平均失效等待时间MTTF（Mean Time To Failure）。
MTTF估算公式（Shooman模型）是
其中，K 是一个经验常数，美国一些统计数字表明，K的典型值是200；
ET 是测试之前程序中原有的故障总数；
IT 是程序长度（机器指令条数或简单汇编语句条数）；
t是测试（包括排错）的时间；
EC (t) 是在0～t期间内检出并排除的故障总数。
公式的基本假定是：
§单位（程序）长度中的故障数ET∕IT近似为常数，它不因测试与排错而改变。
统计数字表明，通常ET∕IT 值的变化范围在0.5×10-2～2×10-2之间；
§故障检出率正比于程序中残留故障数，而MTTF与程序中残留故障数成正比；
§故障不可能完全检出，但一经检出立即得到改正。
下面对此问题做一分析：
设EC (τ) 是0～τ时间内检出并排除的故障总数，τ是测试时间(月)，则在同一段时间0～τ内的单条指令累积规范化排除故障数曲线εc (τ) 为：
εc (τ) = EC (τ)∕IT
这条曲线在开始呈递增趋势，然后逐渐和缓，最后趋近于一水平的渐近线ET∕IT。
利用公式的基本假定：故障检出率（排错率）正比于程序中残留故障数及残留故障数必须大于零，经过推导得：
这就是故障累积的S型曲线模型，参看图5.19。
图5.19 故障累积曲线与故障检出曲线
故障检出曲线服从指数分布，亦在图5.19中显示。
(2) 估算软件中故障总数ET的方法
①利用Shooman模型估算程序中原来错误总量ET —瞬间估算
所以，
若设T是软件总的运行时间，M是软件在这段时间内的故障次数，则
T∕M = 1∕λ= MTTF
现在对程序进行两次不同的互相独立的功能测试，相应检错时间τ1 <τ2，检出的错误数EC (τ1 ) < EC (τ2 )，则有
且
解上述方程组，得到ET的估计值和K的估计值。
②利用植入故障法估算程序中原有故障总数ET ─ 捕获－再捕获抽样法
若设NS是在测试前人为地向程序中植入的故障数（称播种故障），nS是经过一段时间测试后发现的播种故障的数目，nO是在测试中又发现的程序原有故障数。
设测试用例发现植入故障和原有故障的能力相同，则程序中原有故障总数ET的估算值为
在此方法中要求对播种故障和原有故障同等对待，因此可以由对这些植入的已知故障一无所知的测试专业小组进行测试。
这种对播种故障的捕获─再捕获的抽样方法显然需要消耗许多时间在发现和修改播种故障上，这会影响工程的进度，而且要想使植入的故障有利于精确地推测原有的故障数，如何选择和植入这些播种故障也是一件很困难的事情。
为了回避这些难点，就有了下面不必埋设播种故障的方法。
③Hyman分别测试法
这是对植入故障法的一种补充。
由两个测试员同时互相独立地测试同一程序的两个副本，用t表示测试时间（月），记t = 0时，程序中原有故障总数是B0；t = t1时，测试员甲发现的故障总数是B1；测试员乙发现的故障总数是B2；其中两人发现的相同故障数目是bc；两人发现的不同故障数目是bi。
在大程序测试时，头几个月所发现的错误在总的错误中具有代表性，两个测试员测试的结果应当比较接近，bi不是很大。
这时有
如果bi比较显著，应当每隔一段时间，由两个测试员再进行分别测试，分析测试结果，估算B0。
如果bi减小，或几次估算值的结果相差不多，则可用B0作为程序中原有错误总数ET的估算值。