合肥工业大学2016-2017年第二学期高等数学A卷答案

一、填空题（每题3分，共15分）

1. 1 ．

2.

19

5

． 3. 8． 4. 4π 5. 2 二、选择题（每题3分，共15分）

1. D ． 2． C ． 3. B ． 4. A ． 5. A ． 三、（本题满分10分）

解：在方程两边关于x 求偏导数得1z

z z

e x x

∂∂-

=∂∂， (1) 当(,)(1,0)x y =时，0z =，代入上式，得

(1,0)1

2

z x ∂=∂．类似可得

(1,0)12z y ∂=∂． 在(1)式两边关于y 求偏导数得22

z z z z z z e e x y x y x y ∂∂∂∂-=⋅+∂∂∂∂∂∂，代入1,0,0x y z ===，(1,0)12

z x ∂=∂及(1,0)1

2

z y ∂=∂，解得

(1,02)18z x y ∂=-∂∂． 或者：计算得1

1z

z z x y e ∂∂==∂∂+，23(1)z z z e x y e ∂-=∂∂+，同理可得(1,02)18z x y ∂=-∂∂． 四、（本题满分12分）

解：令2

(,)260,

(,)3120,x y

f x y x f x y y '=-+=⎧⎪⎨'=-=⎪⎩得驻点(3,2),(3,2)-．又 (,)2,(,)0,(,)6xx

xy yy

f x y f x y f x y y ''''''=-==．

在驻点(3,2)处，(3,2)2,(3,2)0,(3,2)12xx

xy yy A f B f C f ''''''==-====， 2240AC B -=-<，故(3,2)不是极值点；

在驻点(3,2)-处，(3,2)2,(3,2)0,(3,2)12xx

xy yy A f B f C f ''''''=-=-=-==-=-， 2240AC B -=>，且0A <，故(3,2)-是极大值点，且极大值为(3,2)18.f -=-

五、（本题满分12分）

解：记1{(,)1}D x y x y x =≤≤≤，则

1

222

1

(,)x D

D f x y dxdy x ydxdy dx ydy ==⎰⎰

⎰⎰⎰ 2

431

49()20

x x dx =-=

⎰． 六、（本题满分12分）

解 补充曲面1∑：2

2

2(4)z x y =+≤，取上侧．

设Ω为1∑+∑所围成的立体区域，则2

2,02,022

r z r θπΩ≤≤≤≤≤≤：，由Gauss 公式可得

21

222

20

2

4d d 2d d (1)d d (42)2r zx y z z z x z x y z z dv d rdr zdz

πθ∑+∑Ω

-+-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

42

0322(4)43

r r dr π

π=-=

⎰; 221

2

4

4d d 2d d (1)d d (3)12x y zx y z z z x z x y dxdy π∑+≤-+-=-=-⎰⎰

⎰⎰, 所以

1

1

224d d 2d d (1)d d 4d d 2d d (1)d d I zx y z z z x z x y zx y z z z x z x y ∑+∑∑=

-+---+-⎰⎰⎰

3268

(12)33

πππ=

--=．

七、（本题满分12分）求幂级数

(31)n

n n x

∞

=+∑的收敛域及和函数()s x ．

解：34

lim

131

n n n ρ→∞

+==+，所以收敛半径为1R =，收敛区间为(1,1)-．

当1x =±时，lim(31)0n

n n x →∞

+≠，所以原级数均发散，故收敛域为(1,1)-．

()(31)3(1)2n

n

n n n n s x n x n x x ∞∞∞

====+=+-∑∑∑

122

1232123()2

3()111(1)1(1)n n x x

x x x x x x x ∞

+=+''=-=-=-=

------∑，(1,1)x ∈-．

八、（本题满分12分）

解：⑴ 令2,2x

x

P y e Q ye ==，则

2x P Q ye y x

∂∂==∂∂，所以积分22x x

L y e dx ye dy +⎰与路径无关．

下面求(,)u x y ．由题意知2(,)2x x du x y y e dx ye dy =+．

解法一：取00(,)(0,0)x y =，则20

(,)02x

y

x x x u x y e dx ye dy y e =⋅+=⎰⎰；

解法二：2222(,)2()()()x x x x x du x y y e dx ye dy y d e e d y d y e =+=+=，取2(,)x u x y y e =， 解法三：由

2x u

y e x

∂=∂得22()x x u y e dx y e c y ==+⎰，从而2()2x x u ye c y Q ye y ∂'=+==∂，即()0c y '=，取()0c y =，则2(,)x u x y y e =．

⑵ 解法一：

22()(21)2x x x x L

L

L

I y e y dx ye dy y e dx ye dy ydx dy =-+-=+-+⎰⎰⎰

(1,1)

22,0)

1(x L

y e

ydx dy e I =-+=-⎰．

L 的参数方程为1cos ,:sin x t L y t =+⎧⎨=⎩，

:02t π→．则2210(sin cos )14L I ydx dy t t dt π

π

=+=-+=-+⎰⎰．

故(1,1)(2,0)

214

x

L

I y e ydx dy e π

=-+=+

-⎰．

解法二：补充曲线1:2L y x =-+，:12x →，L 与1L 所围平面区域记为D ，故

11

22()(21)()(21)x x x x

L L L I y e y dx ye dy y e y dx ye dy +=

-+---+-⎰⎰．

1

21()(21)(221)14

2

x x x x L L D

D

y e y dx ye dy ye ye dxdy dxdy π

+-+-=-+==

-

⎰⎰⎰⎰⎰1

2

221

()(21){(2)2[2(2)1](1)}x x x x L y e y dx ye dy x e x x e dx -+-=-++-+-+--⎰

⎰

2

21

1(21)2

x x x e xe x dx e =-+-=-+

⎰， 所以 11(

)()14224

I e e π

π

=---+=+-． x