应用数理统计作业题及参考答案(第一章 )
第一章 数理统计的基本概念
P26
1.2 设总体X 的分布函数为()F x ，密度函数为()f x ，1X ，2X ，…，n X 为X 的子样，求最大顺序统计量()n X 与最小顺序统计量()1X 的分布函数与密度函数。
解：(){}{}()12n
n i n F x P X x P X x X x X x F x =≤=≤≤≤=⎡⎤⎣⎦，，，.
()()()()1n n n f x F x n F x f x -'=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦.
(){}{}1121i n F x P X x P X x X x X x =≤=->>>，，，. {}{}
{}121n P X x P X x P X x =->>>
{}{}{}121111n P X x P X x P X x =-⎡-≤⎤⎡-≤⎤⎡-≤⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
()11n
F x =-⎡-⎤⎣⎦
()()()()1111n f x F x n F x f x -'=⎡⎤=⎡-⎤⎣⎦⎣
⎦.
1.3 设总体X 服从正态分布()124N ，
，今抽取容量为5的子样1X ，2X ，…，5X ，试问： （i ）子样的平均值X 大于13的概率为多少？
（ii ）子样的极小值（最小顺序统计量）小于10的概率为多少？ （iii ）子样的极大值（最大顺序统计量）大于15的概率为多少？
解：()~124X N ，
，5n =，4
~125
X N ⎛⎫
∴ ⎪⎝
⎭，. （i ）
{}{
}
()13113111 1.1210.86860.1314P X P X P φφ⎧⎫⎛⎫
⎪⎪⎪>=-≤=-=-=-=-=. （ii ）令{}min 12345min X X X X X X =，，，，，{}max 12345max X X X X X X =，，，，.
{}{}{}min min 125101*********P X P X P X X X <=->=->>>，，， {}{}{}5
5
5
1
1
11011101110i i i i P X P X P X ===->=-⎡-<⎤=-⎡-<⎤⎣⎦⎣⎦∏∏.
()12
~012
X Y N -=
，， {}{}121012*********X X P X P P P Y ---⎧⎫⎧⎫
∴<=<=<-=<-⎨⎬⎨
⎬⎩⎭⎩⎭
{}()111110.84130.1587P Y φ=-<=-=-=. {}[]5
min 10110.158710.42150.5785P X ∴<=--≈-=.
（iii ）
{}{}{}{}{}5
5
max max 1251151151151515115115i i P X P X P X X X P X P X =>=-<=-<<<=-<=-⎡<⎤⎣⎦∏，，，.
{}5max 1510.9331910.70770.2923P X ∴>=-≈-=.
1.4 试证：
（i ）()()()2
2
2
1
1
n
n
i i i i x a x x n x a ==-=-+-∑∑对任意实数a 成立。
并由此证明当a x =时，()
2
1
n
i i x a =-∑达到最小。
（ii ）()
2
2
2
1
1
n
n
i i
i i x x x nx ==-=-∑∑，其中11n
i i x x n ==∑。
证明：（i ）()()()
()()()
2
2
2
2
1
1
12n
n
n
i i i i i i i x a x x x a
x x
x x x a x a ===⎡⎤-=-+-=-+--+-⎢⎥⎣⎦
∑∑∑ ()()(
)(
)
()
()()()
2
2
2
2
11
122n
n
n
i i i i i i x x
x a x x n x a
x x
x a nx nx n x a
====-+--+-=-+--+-∑∑∑
(
)
()
2
2
1
n
i i x x
n x a
==-+-∑.
当a x =时，()()()()2
2
2
2
1
1
1
n
n
n
i i i i i i x a x x n x x x x ===-=-+-=-∑∑∑达到最小。
（ii ）()()
2
2
2
2
2
22221
1
1
1
1
1
222n n
n n n n
i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x nx x x nx nx x nx ======-=-+=-+=-⋅+=-∑∑∑∑∑∑.
P27
1.5 设1X ，2X ，…，n X 为正态总体()2
~X N μσ，的样本，令1
1n
i i d X n μ==-∑，试证
()E d ，()221D d n
σπ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭。
证明：①()2~X N μσ，，则()2~0i X N μσ-，.
()1111n
n
i i i i E d E X E X n n μ
μ==⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑
. 222
2
2
22222220
0222--
-+∞
+∞
+∞-∞
⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
⎰y y y i y E X y e
dy ye
dy e d σ
σ
σσμσ
22
20
y e
σ
+∞
-
=⋅.
(
)11n i E d n n =∴==⋅.
② ()()()2
22i i i E X D X E X μμμσ-=-+-=.
(
)2
2
2222
21i i i D X E X E
X μμ
μσσσππ
⎛
⎫
∴-=---=-
=- ⎪⎝
⎭
.
()2222211111112211n n n
i i i i i i D d D X D X D X n n n n n n σμμμσππ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=-=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∑∑∑.
1.6 设总体X 服从正态()2N μσ，，1X ，2X ，…，n X 为其子样，X 与2S 分别为子样均值及方差。
又设1n X +与1X ，2X ，…，n X
独立同分布，试求统计量Y = 解：由于1n X +和X 是独立的正态变量，
∴2~X N n σμ⎛⎫
⎪⎝⎭，，()21~n X N μσ+，，且它们相互独立.
()()()
110n n E X X E X E X μμ++-=-=-=.
()()()
2
111n n n D X X D X D X n
σ+++-=+=
. 则211~0n n X X N n σ++⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
. ()01N ，. 而
()2
2
2
~1nS n χ
σ-，且
2
2
nS σ与1n X X +-相互独立，
则()1T t n -.
1.7 设()~T t n ，求证()2~1T F n ，.
证明：又t 分布的定义可知，若()~01U N ，
，()2~V n χ，且U 与V 相互独立，则
()~T t n ，这时，22
U T V n =，其中，()22~1U χ. 由F 分布的定义可知，()2
2
~1U T F n V n
=，.
1.9 设1X ，2X ，…，1
n X 和1Y ，2Y ，…，2
n Y 分别来自总体()21N μσ，和()22N μσ，，且相互
独立，α和β
(12
X Y αμβμ-+-
其中()
1
2
211
11n i i S X X n ==-∑，()
2
2
221
21n i i S Y Y n ==
-∑。
解：
211~X N n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，222~Y N n σμ⎛⎫
⎪⎝⎭，，1X μ-与2Y μ-相互独立，
211~0X N n σμ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，，222~0Y N n σμ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，
()()
222212
12~0X Y N n n ασβσαμβμ⎛⎫
∴-+-+ ⎪⎝
⎭，
()~01X Y N αμβμ-+-，. ()2
2
1112
~1n S n χσ
-，
()2222
22
~1n S n χσ
-，且21S 与22S 相互独立，
()2221122
122
2
~2n S n S n n χσ
σ
∴
+
+-.
(()12
12~2X Y t n n αμβμ-+-
+-，
(()12
12~2X Y t n n αμβμ-+-+-.。
应用统计学练习题及答案（精简版）
应用统计学练习题及答案（精简版）应用统计学练习题第一章绪论一、填空题1. 统计工作与统计学的关系是—统计实践 _______ 和—统计理论—的关系。
2. 总体是由许多具有_共同性质—的个别事物组成的整体;总体单位是—总体_的组成单位。
3. 统计单体具有3个基本特征，即—同质性_、—变异性_、和—大量性_。
4. 要了解一个企业的产品质量情况，总体是_企业全部产品__,个体是—每一件产品5. 样本是从一总体_中抽出来的，作为代表_这一总体—的部分单位组成的集合体。
6. 标志是说明单体单位特征的名称，按表现形式不同分为一数量标志_和_品质标志_两种。
7.性别是_品质标志_标志，标志表现则具体体现为—男—或一女_两种结果。
1. 统计总体的同质性是指（ A ）。
A. 总体各单位具有某一共同的品质标志或数量标志B. 总体各单位具有某一共同的品质标志属性或数量标志值C. 总体各单位具有若干互不相同的品质标志或数量标志D. 总体各单位具有若干互不相同的品质标志属性或数量标志值 2.设某地区有800家独立核算的工业企业，要研究这些企业的产品生产情况，总体是4. 一个统计总体（D ）。
单项选择题（D ）。
A.全部工业企业 C.每一件产品3. 有200家公司每位职工的工资资料, 总体为（A ）。
A.200家公司的全部职工 C.200家公司职工的全部工资B.800家工业企业D.800家工业企业的全部工业产品如果要调查这200家公司的工资水平情况，则统计B.200家公司D.200家公司每个职工的工资三、多项选择题1.统计的含义包括（ ACD ）。
A. 统计资料 B. 统计指标 D. 统计学E. 统计调查2.统计研究运用各种专门的方法，包括（ ABCDE ）。
A. 大量观察法 B. 统计分组法 D.统计模型法E.统计推断法 3. 下列各项中，哪些属于统计指标？（ ACDE ）A. 我国 2005 年国民生产总值B. 某同学该学期平均成绩C. 某地区出生人口总数D. 某企业全部工人生产某种产品的人均产量E. 某市工业劳动生产率 4.统计指标的表现形式有（ BCE ）。
《应用统计学》练习试题和答案解析
《应用统计学》本科第一章导论一、单项选择题1．统计有三种涵义，其基础是( ）。
(1）统计学 (2)统计话动（3)统计方法 (4）统计资料2．一个统计总体( )。
（1)只能有个标志 (2)只能有一个指标 (3)可以有多个标志（4）可以有多个指标3．若要了解某市工业生产设备情况,则总体单位是该市( ）。
（1)每一个工业企业（2)每一台设备（3）每一台生产设备（4）每一台工业生产设备4．某班学生数学考试成绩分刷为65分、71分、80分和87分，这四个数字是( )。
（1）指标（2)标志（3）变量 (4）标志值5．下列属于品质标志的是（）。
(1)工人年龄 (2)工人性别（3)工人体重 (d)工人工资6．现要了解某机床厂的生产经营情况，该厂的产量和利润是( ).（1）连续变量 (2）离散变量（)3前者是连续变量,后者是离散变量（4)前者是离散变量,后者是连续变量7．劳动生产率是( )。
(1)动态指标 (2)质量指标（3）流量指标 (4）强度指标8．统计规律性主要是通过运用下述方法经整理、分析后得出的结论（ ).（1）统计分组法 (2)大量观察法 (3）练台指标法（4）统计推断法9．( )是统计的基础功能。
（1）管理功能 (2）咨询功能 (3)信息功能（4)监督功能10．( )是统计的根本准则,是统计的生命线。
（1)真实性（2）及时件 (3)总体性（4）连续性11．构成统计总体的必要条件是( ）。
（1）差异性 (2)综合性（3）社会性（4）同质性12．数理统计学的奠基人是( )。
（1）威廉·配第（2)阿亭瓦尔 (3）凯特勒（4)恩格尔13．统汁研究的数量必须是( )。
（1）抽象的量 (2)具体的量 (3)连续不断的量 (4）可直接相加量14．数量指标一般表现为( ）。
（1)平均数 (2）相对数 (3）绝对数 (1)众数15．指标是说明总体特征的．标志则是说明总体单位特征的，所以（ )。
（1）指标和标志之同在一定条件下可以相互变换（2)指标和标志都是可以用数值表示的(3)指标和标志之间不存在戈系（4)指标和标志之间的关系是固定不变的答案：一、1（2） 2（4）3(4）4(4）5（2）6（4）7（2）8(2）9(3)10（1)11（4）12(3）13（2)14（3）15(1)二、1× 2× 3√ 4× 5√ 6× 7√ 8× 9√ 10× 11× 12×二、判析题l．统计学是一门研究现象总体数量方面的方法论科学，所以它不关心、也不考虑个别现象的数量特征. （ ) 2．三个同学的成绩不同．因此仃在三个变量 ( ）3．统计数字的具体性是统讣学区别于数学的根本标志. （）4．统计指标体系是许多指标集合的总称。
应用数理统计作业题及参考答案（第一章）
应⽤数理统计作业题及参考答案（第⼀章）第⼀章数理统计的基本概念P261.2 设总体X 的分布函数为()F x ，密度函数为()f x ，1X ，2X ，…，n X 为X 的⼦样，求最⼤顺序统计量()n X 与最⼩顺序统计量()1X 的分布函数与密度函数。
解：(){}{}()12nn i n F x P X x P X x X x X x F x =≤=≤≤≤= ，，，.()()()()1n n n f x F x n F x f x -'=??=.(){}{}1121i n F x P X x P X x X x X x =≤=->>> ，，，. {}{}{}121n P X x P X x P X x =->>>{}{}{}121111n P X x P X x P X x =-?-≤??-≤??-≤()11nF x =-?-()()()()1111n f x F x n F x f x -'=??=?-.1.3 设总体X 服从正态分布()124N ，，今抽取容量为5的⼦样1X ，2X ，…，5X ，试问：（i ）⼦样的平均值X ⼤于13的概率为多少？（ii ）⼦样的极⼩值（最⼩顺序统计量）⼩于10的概率为多少？（iii ）⼦样的极⼤值（最⼤顺序统计量）⼤于15的概率为多少？解：()~124X N ，，5n =，4~125X N ??∴ ??，. （i ）{}{}()13113111 1.1210.86860.1314P X P X P φφ>=-≤=-=-=-=-=. （ii ）令{}min 12345min X X X X X X =，，，，，{}max 12345max X X X X X X =，，，，.{}{}{}min min 125101*********P X P X P X X X <=->=->>> ，，，{}{}{}5551111011101110i i i i P X P X P X ===->=-?-()12~012X Y N -=，， {}{}121012*********X X P X P P P Y ---∴<=<=<-=<-{}()111110.84130.1587P Y φ=-<=-=-=.{}[]5min 10110.158710.42150.5785P X ∴<=--≈-=.（iii ）{}{}{}{}{}55max max 1251151151151515115115i i P X P X P X X X P X P X =>=-<=-<<<=-<=-? {}5max 1510.9331910.70770.2923P X ∴>=-≈-=.1.4 试证：（i ）()()()22211nni i i i x a x x n x a ==-=-+-∑∑对任意实数a 成⽴。
清华大学应用数理统计课后习题及答案
清华大学应用数理统计课后习题及答案习题三1 正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量2(4.55,0.108)X N :.现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37. 如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果总体均值没有改变，问总体方差是否有显著变化（0.05α=）？解 由题意知 2~(4.55,0.108),5,0.05X N n α==，1/20.975 1.96u u α-==，设立统计原假设 0010:,:H H μμμμ=≠ 拒绝域为{}00K x c μ=->，临界值1/21.960.108/0.0947c u α-==⋅=，由于 0 4.364 4.550.186x c μ-=-=>，所以拒绝0H ，总体的均值有显著性变化.设立统计原假设 22220010:,:H H σσσσ=≠ 由于0μμ=，所以当0.05α=时22220.0250.97511()0.03694,(5)0.83,(5)12.83,n i i S X n μχχ==-===∑% 2210.02520.975(5)/50.166,(5)/5 2.567c c χχ====拒绝域为 {}222200201//K s c s c σσ=><%%或由于22/ 3.167 2.567S σ=>%，所以拒绝0H ，总体的方差有显著性变化. 2 一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽测25件，得其均值为x =950h .已知该种元件寿命2(100,)X N σ:，问这批元件是否合格（0.05α=）？解 由题意知 2(100,)X N σ:，设立统计原假设0010:,:,100.0.05.H H μμμμσα≥<==拒绝域为 {}00K x c μ=->临界值为 0.050.0532.9c u u =⋅=⋅=-由于 050x c μ-=-<，所以拒绝0H ，元件不合格.3 某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500g ，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其重量分别为510，505，498，503，492，502，497，506，495（g ），假定罐头重量服从正态分布. 问 (1)机器工作是否正常（0.05α=）？ 2）能否认为这批罐头重量的方差为5.52（0.05α=）？解 （1）设X 表示罐头的重量(单位：g). 由题意知2(,)X N μσ:,μ已知 设立统计原假设 0010:500,:H H μμμμ==≠,拒绝域 {}00K x c μ=-> 当0.05α=时，2500.89,34.5, 5.8737x s s ===临界值 12(1) 4.5149c t n α-=-⋅=，由于00.8889x c μ-=<，所以接受0H ，机器工作正常.（2）设X 表示罐头的重量(单位：g). 由题意知2(,)X N μσ:，σ已知设立统计原假设 222220010: 5.5,:H H σσσσ==≠拒绝域为 {}{}222200102K s c s c σ=<>%%U 当α=0.05时，可得2220.0250.97512500.89,34.5,(5) 2.7,(5)19.02,0.3, 2.11x s c c χχ======%由于22001.0138sK σ=∈%,所以接受0H ，可以认为方差为25.5. 4 某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查，抽查某市20个集市上鸡蛋的平均售价为3.399（元/500克），标准差为0.269（元/500克）.已知往年的平均售价一直稳定在 3.25（元/500克）左右， 问该市当前的鸡蛋售价是否明显高于往年？（0.05α=）解 设X 表示市场鸡蛋的价格（单位：元/克），由题意知2(,)X N μσ: 设立统计原假设 0010: 3.25,:H H μμμμ==>, 拒绝域为 {}00K x c μ=->当α=0.05时，13.399,0.269,20,0.0992x n c ασμ-====⋅=临界值由于0 3.399 3.250.149.x c μ-=-=>所以拒绝0H ，当前的鸡蛋售价明显高于往年.5 已知某厂生产的维尼纶纤度2(,0.048)X N μ:，某日抽测8根纤维，其纤度分别为 1.32，1.41，1.55，1.36，1.40，1.50，1.44，1.39，问这天生产的维尼纶纤度的方差2σ是否明显变大了（0.05α=）？解 由题意知 2(,0.048)X N μ:，0.05α=设立统计原假设 2222220010:0.048,:0.048H H σσσσ==>=拒绝域为{}2200K s c σ=>， 当0.05α=时，2220.950.951.4213,0.0055,(7)14.07,(7)7 2.0096x s c χχ=====由于220 2.3988s c σ=>，所以拒绝0H ，认为强度的方差明显变大.6 某种电子元件,要求平均寿命不得低于2000h ，标准差不得超过130h .现从一批该种元件中抽取25只,测得寿命均值1950h ,标准差148h s =.设元件寿命服从正态分布，试在显著水平 α=0.05下, 确定这批元件是否合格.解 设X 表示电子元件的平均寿命（单位：h ），由题意知2(,)X N μσ: 设立统计原假设 0010:=2000H <H μμμμ≥，： 拒绝域为 {}00K x c μ=-<当0.05α=时，1950,148,(1)50.64x s c t n α===-=-临界值由于 050x c μ-=->，所以接受0H ，即这批电子元件的寿命是合格的. 7 设n X X X ,...,,21为来自总体(,4)X N μ:的样本，已知对统计假01:1;: 2.5H H μμ== 的拒绝域为0K {}2>=X .1）当9=n 时，求犯两类错的概率α与β；2）证明：当n →∞时，α→0，β→0.解 （1）由题意知 {}010~(,4),:1;: 2.5,2,9.X N H H K X n μμμ===>= 犯第一类错误的概率为()21 1.51(1.5)0.0668.X P X P αμ⎫=>==>==-Φ=⎪⎭犯第二类错误的概率为()2 2.50.75(0.75)1(0.75)0.2266.X P X P βμ⎫=≤==≤=-⎪⎭=Φ-=-Φ=（2）若0:1H μ=成立，则(1,4)X N :}{}{00000()=11)n P H H P X c P X c nc αμμσ=≥+=-<+=-Φ否定成立 当n →∞时，0)1ncσΦ→，所以0()n n α→→∞同理 }{0010=<+=+c )/)()=0()n P X c n βμμμσΦ-→Φ-∞→∞ 8 设需要对某一正态总体,4()N μ的均值进行假设检验H 0：μ= 15，H 1：μ<15取检验水平α=0.05，试写出检验H 0的统计量和拒绝域.若要求当H 1中的μ=13时犯第二类错误的概率不超过β=0.05，估计所需的样本容量n .解 由题意知 (,4)X N μ:,σ已知, 设立统计原假设 01:15,:15H H μμ=< 则拒绝域为}{015K X c =-<，其中临界值0.05c μ=⋅=-犯第二类错误的概率1513130.05P X P X β⎛⎫⎛⎫=->==->≤ ⎪ ⎭⎝⎝即1.65)0.95Φ≥, 化简得 23.311n ≥≈.9 设n X X X ,...,,21为来自总体X ～20(,)N μσ的样本，20σ为已知, 对假设：0011:;:H H μμμμ==其中01μμ≠，试证明：2211212()()n αβσμμμμ--=+⋅- 解 （1）10>μμ当时,由题意知 00110:;:;H H μμμμμ==>犯第一，二类错误分别为,αβ，则有001(|)P X c c u ααμμμ-=>+=⇒=01110(|))X P X c P u αβμμμμμ-=≤+==≤=⇒()()22011111120010u u u u n u u ββααβαβσμμμ------=-=⇒+=⇒=+- （2）10μμ≤当时由题意知 00110:,:H H μμμμμ==≤，犯第一，二类错误分别为,αβ，则有00(|)P X c c u ααμμμ=<+=⇒=()()01102201111120010(|))X P X c P u u u u u n u u αβααβαββμμμμμσμμ-----=≥+==≥+=⇒=⇒+==+-10 设171,...,X X 为总体2(0,)X N σ:样本，对假设：2201:9,: 2.905H H σσ==的拒绝域为 }{20 4.93K s =<. 求犯第Ⅰ类错误的概率α和犯第Ⅱ类错的概率β. 解 由题意知 2(0,)X N σ:,222~().nsn χσ%统计假设为 2201:9,: 2.905H H σσ==. 拒绝域为 }{20 4.93K s=<% 则犯第一，二类错误的概率,αβ分别是()()22222221717417174497.3040.0259999171744 3.319120.48810.750.253.319 3.319s s P s P P s P s P ασβσ⎛⎫⎛⎫⨯⨯=<==<=<== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⨯=<==-<==-= ⎪⎝⎭%%%%%11 设总体是密度函数是1,01(;)0,x x f x θθθ-<<=⎧⎨⎩其他统计假设 01:1,:2H H θθ==.现从总体中抽取样本21,X X ,拒绝域2134ΚX X =≤⎧⎫⎨⎬⎩⎭，求：两类错误的概率,αβ 解 由题意知010213:1;:2,, 2.4H H K X n X θθ⎧⎫===≤=⎨⎬⎩⎭当12121,0,11(;1) 1.~(0,1),(,)0,x x f x X U f x x θ<<⎧===⎨⎩时，其他此时 212121231431(,)0.250.75ln 0.75.4x x P X f x x dx dx X αθ≤⎛⎫=≤===+⎪⎝⎭⎰⎰当1212122,014,0,12(;2).(,)0,0,x x x x x x f x f x x θ<<<<⎧⎧===⎨⎨⎩⎩时，其他其他 此时 21212123143992(,)ln 0.75.4168x x P X f x x dx dx X βθ>⎛⎫=>===+ ⎪⎝⎭⎰⎰12 设总体2(,)X N μσ:，根据假设检验的基本原理，对统计假设：00110:,:()()H H μμμμμσ==>已知；0010:,:H H μμμμσ≥<（未知），试分析其拒绝域.解 由题意知 2(,)X N μσ:,当00110:,:()H H μμμμμ==>成立时()01X P X c P αμμμ=->==>=-Φ{}1100,u c u K X c ααμ--===->所以拒绝域为 }{00K X c μ=-> 当0010:,:H H μμμμ≥<成立时00()()X P X c P X c P αμμμμ⎛⎛⎫⎫=-<≥≥-<=<=Φ}{00,c K X c ααμμμ===-<所以拒绝域为}{00K X c μ=-<13 设总体2(,)X N μσ:根据假设检验的基本原理，对统计假设： （1）22220010:,:()H H σσσσμ=>已知；（2）22220010:,:()H H σσσσμ≤>未知试分析其拒绝域.解 由题意知 2~(,)X N μσ（1）假设统计假设为 22220010:=,:>H H σσσσ 其中μ已知当0H 成立时，拒绝域形式为 2020=>s K c σ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩由222220=(n)ns ns χσσ:，可得220=>nsP nc ασ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩所以 21-=()nc n αχ，由此可得拒绝域形式为2201-201=>()sK n nαχσ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩（2）假设统计假设为 22220010:<,:>H H σσσσ 其中μ未知当0H 成立时，选择拒绝域为 2020=>sK c σ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩，由222(-1)(1)n s n χσ-: 得 ()()()()222201111n s n s P n c P n c ασσ⎧⎫⎧⎫--⎪⎪⎪⎪=>-≤>-⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭所以21(1)(1)n c n αχ--=-，由此可得拒绝域形式为2201-201=>(1)1s K n n αχσ⎧⎫⎪-⎨⎬-⎪⎭⎩14 从甲、乙两煤矿各取若干样品，得其含灰率（%）为,甲:24.3, 20.8, 23.7, 21.3,17.4, 乙:18.2, 16.9, 20.2, 16.7 .假定含灰率均服从正态分布且2212=σσ，问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异 （=0.05α）？解 由题意知 2212(,),Y (,)X N N μσμσ::设统计假设为 012112:=;:H H μμμμ≠ 其中12=5,=4n n 当=0.05α时1/2122.3238,(2) 2.3646w s t n n α-==+-=临界值1-212=(+2) 3.6861w c t n n s α-⋅= 拒绝域为}{0 3.6861K x y c =->= 而 03.5,,.x y c H -=<接受认为没有差别15 设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低.经过试验获得它们的抗拉强度分别为（单位：kg/cm 2）：甲：88，87，92，90，91 乙：89，89，90，84，88假定两种零件的抗拉强度都服从正态分布，且21σ =22σ.问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的高（=0.05α）？解 由题意知 2212(,),Y (,)X N N μσμσ::设统计假设为 012112:=;:H H μμμμ≠，其中12=5,=5n n 当=0.05α时122.2136,(2) 1.86,w s t n n α==+-=-临界值1-12=(+2) 2.2136w c t n n s α-⋅= 拒绝域为}{0 2.2136K x y c =->=而 1.6x y c -=<，所以接受0H ，认为甲的抗拉强度比乙的要高.16 甲、乙两车床生产同一种零件.现从这两车床产生的产品中分别抽取8个和9个，测得其外径（单位：mm ）为：甲：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8乙：15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，15.0，14.8，15.1，14.8假定其外径都服从正态分布，问乙车床的加工精度是否比甲车床的高（=0.05α）？解 由题意知 2212(,),Y (,)X N N μσμσ::设统计假设为 2222012112:;:H H σσσσ≥<，其中12=8,=9n n当=0.05α时 220.0955,0.0261x y s s ==，临界值 12(1,1)0.2684c F n n α=--=拒绝域为202x y s K c s ⎧⎫⎪⎪=<⎨⎬⎪⎪⎭⎩，而22 3.6588x y s F c s ==>，接受0H ，认为乙的精度高.17 要比较甲、乙两种轮胎的耐磨性，现从甲、乙两种轮胎中各取8个，各取一个组成一对，再随机选取8架飞机，将8对轮胎磨损量（单位：mg ）数据列表如下：试问这两种轮胎的耐磨性有无显著差异？(=0.05α). 假定甲、乙两种轮胎的磨损量分别满足2212(,),Y (,)X N N μσμσ::且两个样本相互独立.解 由题意知 2212(,),Y (,)X N N μσμσ::设统计假设为 012112:=;:H H μμμμ≠，其中12===8n n n 当=0.05α时，令()221/211,320,102200,319.69,(1) 2.36461n ZZ i Z X Y z s z z s t n n α-==-==-==-=-∑ 拒绝域为}{0K z c =>，临界值1-2=(1)2138Z c t n s α-⋅= 而320z c =<，所以接受0H ，认为两种轮胎耐磨性无显著差异. 18 设总体2212(,),Y (,)X N N μσμσ::, 由两总体分别抽取样本 X ：4.4，4.0，2.0，4.8 Y ：6.0，1.0，3.2，0.41）能否认为12μμ= (=0.05α)? 2）能否认为2212σσ= (=0.05α)？解 (1) 由题意知 2212(,),Y (,)X N N μσμσ::设统计假设为 012112:=;:H H μμμμ≠，其中12==4=n n n令Z X Y =-，则有22111.15,()9.02331n z i z s z z n ===-=-∑，当=0.05α时，1-2=(1) 3.1824c t n α-=，1-2=(1)/ 4.78Z c t n s α-⋅= 拒绝域为}{0K z c =>，而 1.15z c =<，所以012,.H μμ=接受认为(2) 由题意知 2212(,),Y (,)X N N μσμσ::设统计假设为 2222220111:=;:H H σσσσ≠，其中12==4=n n n 其中221.5467, 6.4367x y s s ==，拒绝域为2201222>x x yy s s K c c s s ⎧⎫⎪⎪=<⎨⎬⎪⎪⎭⎩或临界值 1/21221212(1,1)0.0648,(1,1)15.4392c F n n c F n n αα-=--==--=而22201220.2403,,.X Ys F H s σσ===接受认为19 从过去几年收集的大量记录发现，某种癌症用外科方法治疗只有2%的治愈率.一个主张化学疗法的医生认为他的非外科方法比外科方法更有效.为了用实验数据证 实他的看法，他用他的方法治疗200个癌症病人，其中有6个治好了.这个医生断 言这种样本中的3%治愈率足够证实他的看法.（1）试用假设检验方法检验这个医生的看法；（2）如果该医生实际得到了4.5%治愈率，问检验将证实化学疗法比外科方法更有效的概率是多少？解 (1) 记每个病人的治愈情况为X ，则有(1,) X B p :设统计假设为 0010:=0.02;:0.02H p p H p p >≤=，其中200,0.05n α==拒绝域为}{00K x p c =-<，临界值10.0163c αμ-== 而 000.01,,0.02.x p c H p -=<>拒绝不能认为 (2) 不犯第二类错误的概率101 4.5%P X u p p β-⎧⎫⎪⎪-=>=⎨⎬⎪⎪⎭⎩由(1,) X B p :，可得 (1),p p EX p DX n-== 由中心极限定理得1 4.5%10.72X P p β⎧⎫⎪-=>=⎬⎪⎭=-Φ=20 在某公路上，50min 之间，观察每15s 内通过的汽车数，得下表通过的汽车数量0 1 2 3 4 ≥5 次数f92 68 28 11 1 0问能否认为通过的汽车辆数服从泊松分布（=0.10α）？解 设统计假设为 0010:()(),()(),200.0.10H F x F x H F x F x n α====4001ˆ,0.805.j j H X j n λν====∑若成立 记 ˆ1,2,3,4ˆ(),!j j j p P x j ej λλ-==-=则有ˆ0.8050102143243500.8050.4471,0.805*0.3599,*0.144920.8050.805*0.0389,*0.0078,10.0014,34j j p e e p p p p p p p p p p λ--=============-=∑检验统计量的值为()2522210.9500 2.1596(1)(4)9.848,~(),0.805.jj n j jnp m r np H X P ανχχχλλ-=-==<--===∑不拒绝认为且21 对某厂生产的汽缸螺栓口径进行100次抽样检验，测得100数据分组列表如下：组限 10.93～10.95 10.95～10.97 10.97～10.99 10.99～11.01 频数582034 组限 11.01～11.0311.03～11.0511.05～11.0711.07～11.09 频数17664试对螺栓的口径X 的分布做假设检验（=0.05α）.解 设X 表示螺栓的口径，2(,)X N μσ:，分布函数为()F x ，统计假设为0010:()(),:()()H F x F x H F x F x =≠，其中100,0.05,2n r α===在0H 成立的情况下，计算得88221111ˆˆ11.0024,()0.00101888j j j j i i X x v x v μσμ====⋅==-⋅=∑∑ 由ˆ11.0024(0,1)ˆ0.00319X X N μσ--=: 得0810.9311.002411.0911.00242.2689,, 2.74520.003190.00319x x --==-==L所以110887()()0.0386,,()()0.0140p x x p x x =Φ-Φ==Φ-Φ=L检验统计量的值为2822210.951()13.825(1)(5)11.07j j nj jv np m r np αχχχ-=-==>--==∑由此应该20,~(,).H X N μσ拒绝不能认为22 检查产品质量时，每次抽取10个产品检验，共抽取100次，得下表：次品数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 频数35 40 18 5 1 1 0 0 0 0 0问次品数是否服从二项分布（=0.05α）？解 设X 表示抽取的次品数，2(,)X N μσ:，分布函数为()F x ，统计假设为0010:()(),:()()H F x F x H F x F x =≠，其中10,0.05n α==在0H 成立的情况下，01ˆNjj X pjvN N===∑计算得001011922801011021033710100103101010(1),0,1,,10;ˆˆˆ(1)0.3487,(1)0.3874,(1)0.1937ˆˆ(1)0.0574,(1)10,jj N j j N p C p p j p C p p p C p p p C p p p C p p p C p p--=-==-==-==-==-==-=L L 检验统计量的值为0020()21022210.950 5.1295(1)(9)16.92j j n j jnp m r np ανχχχ-=-==<--==∑因此0,~(10,0.1).H X B 不拒绝认为23 请71人比较A 、B 两种型号电视机的画面好坏，认为A 好的有23人，认为B 好的有45人，拿不定主意的有3人，是否可以认为B 的画面比A 的好（=0.10α）？解 设X 表示A 种型号电视机的画面要好些，Y 表示B 中型号电视机画面要好些分布函数分别为()X F x ，()Y F x ，统计假设为01:()(),:()(),10,100.0.05X Y X Y H F x F x H F x F x N n α=≠===由题意知++=23=45,=+n n n n n --， 检验统计量 ,min()s n n +-=而23(68)25s s α=<=，所以0,.H B 拒绝认为的画面好24 为比较两车间（生产同一种产品）的产品某项指标的波动情况，各依次抽取12个产品进行测量，得下表 甲 1.13 1.26 1.16 1.41 0.86 1.39 1.21 1.22 1.20 0.62 1.18 1.34 乙 1.211.310.991.591.411.481.311.121.601.381.601.84问这两车间所生产的产品的该项指标分布是否相同（=0.05α）？解 设,X Y 分别表示甲乙两车间所生产产品的指标分布，分布函数分别()X F x ()Y F x ，统计假设为01:()(),:()(),.0.05,12,X Y X Y H F x F x H F x F x n m α=≠===检验统计量为秩和T ，易知T 的样本值为112T =且(150,300)T N :拒绝域为012K u u α-⎧⎫⎪=>⎨⎬⎪⎭⎩而0.9752.194 1.96u u =>=，所以0,.H 拒绝认为指标分布不相同 25 观察两班组的劳动生产率(件/h)，得下表：问两班组的劳动生产率是否相同（α=0.05）？解 设,X Y 分别表示两个组的劳动生产率，分布函数分别为(),X F x ()Y F x ，统计假设为01:()(),:()(),.0.05,9,9X Y X Y H F x F x H F x F x n m α=≠===检验统计量为秩和T ，易知T 的样本值为73T = 拒绝域形式为}{01212,<K T t T t t t =<>U 其中而12(9,9)=66,(9,9)105t t =，因此T K ∈, 所以0,.H 接受认为劳动生产率相同26 观观察得两样本值如下：Ⅰ 2.36 3.14 7.52 3.48 2.76 5.43 6.54 7.41 Ⅱ 4.38 4.25 6.54 3.28 7.21 6.54 问这两样本是否来自同一总体（α=0.05）？解 设,X Y 分别表示Ⅰ，Ⅱ两个样本，分布函数分别是(),X F x ()Y F x ，统计假设为01:()(),:()(),.0.05,6,8,X Y X Y H F x F x H F x F x n m α=≠===检验统计量为秩和T ，易知T 的样本值为49T = 拒绝域形式为}{01212,<K T t T t t t =<>U 其中而12(6,8)=32,(6,8)58t t =，因此0T K ∈, 所以0,.H 接受认为来自同一总体 27 某种动物配偶的后代按体格的属性分为三类，各类的数目是：10，53，46,按照某种遗传模型其比率之比应为：22)1(:)1(2:p p p p --，问数据与模型是否相符（05.0=α）？解 设体格的属性为样本X ，由题意知(2,1)X B p -: 其密度函数为()f x ，其中22(,)(1)0,1,2xxx f x p C p p x -=-=统计假设为0010:()(),:()()H F x F x H F x F x =≠似然函数为222211(1)(1)i iii nnx x x x n nxnxi i L C pp pp C --===-=-∏∏ 解得最大似然统计量为 ˆ12xp=- 则 220ˆˆ 1.330.1121pp === 1ˆˆˆ2(1)0.4454p p p =-= 22ˆˆ(1)0.4424p p =-= 拒绝域为}{2201(1)K m r αχχ-=>--而 ()21022210.950ˆ0.9134(1)(9) 3.8414ˆj j n j j npm r npανχχχ-=-==<--==∑所以0,.H 不拒绝认为与模型相符28 在某地区的人口调查中发现：15729245个男人中有3497个是聋哑人.16799031个女人中有3072个是聋哑人.试检验“聋哑人与性别无关”的假设（05.0=α）.解 设X 表示男人中聋哑人的个数，Y 表示女人中聋哑人的个数，其分布函数分别表示为()X F x ，()Y F x . 统计假设为01:(,)()(),:(,)()()X Y X Y H F x y F x F x H F x y F x F x =≠拒绝域为}{2201(1)K m r αχχ-=>--而21022210.950ˆ()62.64(1)(1) 3.84ˆj j nj j v np m r np αχχχ-=-==>--==∑ 所以0,.H 拒绝认为聋哑与性别相关 29 下表为某药治疗感冒效果的联列表：试问该药疗效是否与年龄有关（α=0.05）？解 设X 表示该药的疗效与年龄有关，Y 表示该药的疗效与年龄无关，其分布函数分别表示为(),X F x ()Y F x . 统计假设为01:(,)()(),:(,)()(),3,3,0.05,X Y X Y H F x y F x F x H F x y F x F x r s α=≠===拒绝域为}{2201(1)K m r αχχ-=>--而 ()21022210.950ˆ13.59(1)(4)9.488ˆj j n j j npm r npανχχχ-=-==>--==∑所以0,.H 拒绝认为疗效与年龄相关30 某电子仪器厂与协作的电容器厂商定，当电容器厂提供的产品批的不合格率不超过3%时以高于95%的概率接受，当不合格率超过12%时，将以低于10%的概率接受.试为验收者制订验收抽样方案.解 由题意知，010.03,0.12,0.05,0.1p p αβ====代入式子 01()1()L p L p αβ=-⎧⎨=⎩()L p选用式子()(L P X d P U φ=≤=≤≈计算求得 66,4n d ==，于是抽查方案是：抽查66件产品，如果抽得的不合格产品4X ≤，则接受这批产品，否则拒绝这批产品.31 假设一批产品的质量指标2(,)X N μσ:（2σ已知），要求质量指标值越小越好.试给出检验抽样方案（,n c ）的计算公式.若2σ未知，又如何确定检验抽样方案（,n c ）？若质量高时指质量指标在一个区间时，又如何确定检验抽样方案（,n c ）?解 (1) 解方程组01()1()L L μαμβ=-⎧⎨=⎩得 ()201u u n αβσμμ⎛⎫+⎪= ⎪-⎝⎭10u u c u u αβαβμμ+=+ (2) 若2σ未知，用*2M 估计2σ，从而得出公式()2*201u u M n αβμμ⎛⎫+⎪= ⎪-⎝⎭10u u c u u αβαβμμ+=+习题四1 下表数据是退火温度x (C 0)对黄铜延性η效应的试验结果，η是以延伸率计算的，且设为正态变量，求η对x 的样本线性回归方程.x (C 0)300 400 500 600 700 800 y (%)40 50 55 60 67 70解 利用回归系数的最小二估计：101ˆˆˆxyxx l l y x βββ⎧=⎪⎨⎪=-⎩其中2211,n nxy i i xx i i i l x y nxy l x nx ===-=-∑∑ 代入样本数据得到：1ˆˆ0.0589,24.6286ββ== 样本线性回归方程为：ˆ24.62860.0589yx =+ 2 证明线性回归函数中(1)回归系数1β的置信水平为α-1的置信区间为211ˆˆ(2)n αβ-±-； (2)回归系数0β的置信水平为α-1的置信区间为2ˆ(2)n αβ-±-.证 (1) 由于211ˆ,xx N l σββ⎛⎫ ⎪⎝⎭:()0,1N : 222(2)ES n χσ-:又因为：，()222ˆ2(2)n n σχσ--:故所以()2t n -:易知 {}11ˆ1p c ββα-<=-，1P α<=-⎪⎭⎩其中()122n α--所以1β的置信水平为α-1的置信区间为211ˆˆ(2)n αβ-- (2) 由0ˆβ～2201(,())xxnx N l βσ+，得()0,1N :，()222ˆ2(2)n n σχσ--:，0ˆβ与2ˆσ相互独立， 所以：()2T t n ==-:根据11221(2)(2)P T t n P t n ααα--⎫⎪⎛⎫⎪-=<-=<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎭()()0001122ˆˆ22P n n ααβββ--⎛⎫ ⎪ ⎪=-<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭得到0β的置信度为1α-的置信区间()012ˆ2n αβ-±-.3 某河流溶解氧浓度（以百万分之一计）随着水向下游流动时间加长而下降.现测得8组数据如下表所示.求溶解氧浓度对流动时间的样本线性回归方程，并以α=0.05对回归显著性作检验.流动时间t （天） 0.5 1.0 1.6 1.8 2.6 3.2 3.8 4.7 溶解氧浓度（百万分之一）0.28 0.29 0.29 0.18 0.17 0.18 0.10 0.12解 利用101ˆˆˆtytt l l y tβββ⎧=⎪⎨⎪=-⎩其中2211,n nty i i tt i i i l t y nty l t nt ===-=-∑∑代入样本数据得到： 10ˆˆ0.0472,0.3145ββ=-= 所以，样本线性回归方程为：ˆ0.31450.0472yt =- 拒绝域形式为：{}21ˆc β> ()20.95ˆ1,6,0.0058ttF c c l σ==>而21ˆ0.0022β=，所以回归模型不显著. 4 假设X 是一可控制变量，Y 是一随机变量,服从正态分布.现在不同的X 值下分别对Y 进行观测，得如下数据i x0.25 0.37 0.44 0.55 0.60 0.62 0.68 0.70 0.73 i y2.57 2.31 2.12 1.92 1.75 1.71 1.60 1.51 1.50 i x 0.75 0.82 0.84 0.87 0.88 0.90 0.95 1.00 i y1.41 1.33 1.31 1.25 1.20 1.19 1.15 1.00(1)假设X 与Y 有线性相关关系，求Y 对X 样本回归直线方程，并求2σ=DY 的无偏估计；(2)求回归系数210σββ、、的置信度为95%的置信区间； (3)检验Y 和X 之间的线性关系是否显著（=0.05α）； (4)求Y 置信度为95%的预测区间；(5)为了把Y 的观测值限制在)68.1,08.1(，需把x 的值限制在什么范围？（=0.05α）解 (1) 利用101ˆˆˆxyxx l l y x βββ⎧=⎪⎨⎪=-⎩其中2211,n nxy i i xx i i i l x y nxy l x nx ===-=-∑∑计算得10ˆˆ2.0698, 3.0332ββ=-= 所以，样本线性回归方程为：ˆ 3.03322.0698yx =-，22ˆ0.002015ES σ== (2) 根据第二题，1β的置信区间为()112ˆ2n αβ--，代入值计算得到：()1 2.1825, 1.9571β∈--，0β的置信区间为()02ˆ2n αβσ-±-，代入数值计算得到：()0 2.95069,3.1160β∈.(3) 根据F 检验法，其拒绝域形式为 }{201ˆK c β=> 而 12ˆ(2),xxc tn l ασ-=- 显然10K β∈，所以Y 和X 之间具有显著的线性关系.(4)()221(0,(1))xxx x y N l nσ-++:,()2ˆ1()1(0,1)xxx x s x N l n -=++:令222ˆ(2)((2)n n t n σχσ---:: 则有1122ˆˆˆ((2),(2))y yt n yt n αα--∈-+-(5) 根据(4)的结论，令22ˆˆ1.68 1.08yyαα--+=-=，解得 (0.7802,0.8172)x ∈5 证明对一元线性回归系数0ˆβ,1ˆβ相互独立的充分必要条件是0=x . 证 ""⇒()()()()()010011111ˆˆˆˆˆˆcov ,E y x ββββββββββ=--=---2110111101ˆˆˆˆ()E y x y x βββββββββ=---++2211011101ˆy xE y x ββββββββ=---++ ()2211ˆx E ββ=-- 222221111ˆˆˆ()xx E D E l σββββ=+=+ 若要()01ˆˆcov ,0ββ=，那么0x =.反之显然也成立，命题的证.6 设n 组观测值),...,2,1)(,(n i y x i i =之间有关系式：i i i i x x y εεββ，+-+=)(10～),...,2,1)(,0(2n i N =σ（其中∑==ni i x nx 11），且n εεε,...,,21相互独立.(1) 求系数10,ββ的最小二乘估计量10ˆ,ˆββ； (2) 证明∑∑∑===-+-=-ni i n i i i n i i y y y y y y 121212)ˆ()ˆ()(，其中∑==n i i y n y 11(3) 求10ˆ,ˆββ的分布. 解 (1) 最小化残差平方和：2201[()]Ei i S y x x ββ=---∑01ββ求，的偏导数[][]220101012()02()()0E Ei i i i i S S y x x y x x x x ββββββ∂∂=----==-----=∂∂∑∑， 01ˆˆ,xy xxl y l ββ==得到：(2) 易知()()()22221111ˆˆˆˆˆˆ()()2()nnnniiiiiii i i i i i i i y y y yy y y y yy y y y y ====-=-+-=-+-+--∑∑∑∑ 其中01ˆˆˆ()()xy i ii xxl y x x y x x l ββ=+-=+-，将其代入上式可得1ˆˆ()()0niiii y yy y =--=∑ 所以,∑∑∑===-+-=-ni i n i i i ni iy y yy y y121212)ˆ()ˆ()( (3) 20ˆ~(0,),iN y εσβ=Q ，200ˆ~(,)N nσββ∴同理，易得211ˆ~(,)xxN l σββ∴7 某矿脉中13个相邻样本点处某种金属的含量Y 与样本点对原点的距离X 有如下观测值ix 2 3 4 5 7 8 10 i y 106.42 108.20 109.58 109.50 110.00 109.93 110.49ix11 14 15 16 18 19i y110.59 110.60 110.90 110.76 111.00 111.20分别按(1)x b a y +=；(2)x b a y ln +=；(3)xb a y +=. 建立Y 对X 的回归方程，并用相关系数221TES S R -=指出其中哪一种相关最大.解 (1)令v y a bv ==+，根据最小二乘法得到，正规方程：101ˆˆˆvy vv l l y vβββ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，最后得到10ˆˆ1.1947,106.3013ββ==所以：样本线性回归方程为：ˆ106.3013y=+10.8861R = (2) 令ln ,v x y a bv ==+101ˆˆˆvyvv l l y vβββ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，得到10ˆˆ1.714,106.3147ββ== 所以：样本线性回归方程为：ˆ106.3147 1.714ln yx =+，20.9367R = (3) 令1,v y a bv x==+ 101ˆˆˆvy vv l l y vβββ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，得到10ˆˆ111.4875,9.833ββ==- 所以：样本线性回归方程为：ˆ111.48759.833yx =-，30.987R = 综上，123R R R <<,所以第三种模型所表示的X Y 与的相关性最大. 8 设线性模型⎪⎩⎪⎨⎧++=+-=+=3213221211122εββεββεβy y y其中i ε～),0(2σN （1,2,3.i =）且相互独立，试求1β、2β的LS 估计.解 令()()1231212310,,,21,(,),,,12T TT Y y y y X βββεεεε⎡⎤⎢⎥==-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦则线性模型可转化为 Y X βε=+ 根据 222TTTTES Y X Y Y Y X X X ββββ=-=-+， 令 20ES β∂=∂ 可得 ()1ˆTT X X X Y β-=即 112322311ˆˆ(23),(2)66Y Y Y Y Y ββ=++=--+ 9 养猪场为估算猪的毛重，随机抽测了14头猪的身长1x (cm)，肚围2x (cm)与体重y (kg)，得数据如下表所示，试求一个22110x b x b b y ++=型的经验公式.解由多元线性模型得：()2140,Y X I βεεσ=+⎧⎪⎨=⎪⎩()()()0121212,,,,,,T T Tn n Y y y y ββββεεεε===L L()114149145581516215271159621627416971ˆ172741787918084190851929419891110395T T X X X X Y β-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦代入数值得到：12ˆ15.93840.52230.4738yx x =-++ 同样得到：12ˆ15.93840.52230.4738yx x =-++ 10 某种商品的需求量y ，消费者的平均收入1x 和商品价格2x 的统计数据如下表所示.试求y 对1x 、2x 的线性回归方程. 1i x1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300 2i x 5 7 6 6 8 7 5 4 3 9 y100 75 80 70 50 65 90 100 110 60解 建立回归模型201122=+++(0,)Y x x N βββεεσ:其中根据2()=0E S ββ∂∂，可求得β的LS 估计为 -1ˆ=(X X)T T X Y β代入x ，得0=111.6918,β 1=0.0143,β 2=7.1882,β-则回归方程为：12ˆ111.69180.01437.1882yx x =+- 11 设n 组观测值),...,2,1)(,(n i y x i i =之间有如下关系：i i i i i x x y εεβββ，+++=2210～),...,2,1)(,0(2n i N =σ，且n εεε,...,,21相互独立.(1)求系数210,,βββ的最小二乘估计量210ˆ,ˆ,ˆβββ； (2)设n i x x y i i i ,...,2,1,ˆˆˆˆ2210=++=βββ，∑==n i i y n y 11，证明：∑∑∑===-+-=-ni i ni i i ni i y y y y y y 121212)ˆ()ˆ()(解 (1) ()()()0121212,,,,,,T T Tn n Y y y y ββββεεεε===L L1222211111Tn n X x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L L L()1ˆT T X X X Y β-=(2)()()()22221111ˆˆˆˆˆˆ()()2()nnnniiiiiii i i i i i i i y y y yy y y y yy y y y y ====-=-+-=-+-+--∑∑∑∑()()11ˆˆˆˆ()0nTTi i i i x x x x y y yy β-==--=∑其中:y=x ，将其代入，得到 ()22211ˆˆ()()nni i i i i i y y y yy y ==∴-=-+-∑∑ 12(1)求形如2210x b x b b y ++=的回归方程；(2)对上述回归方程的显著性作检验； (3)求当x =5.5时Y 的估计值.解 (1) 令212,xx x x ==，求得回归方程为：2ˆ 3.4167 2.72620.3905yx x =+- (2) 拒绝域形式为：{}21ˆc β> ()20.9521ˆ1,6ˆxxF c l σβ=>而，所以回归方程具有显著性 (3) 将 5.5x =代入回归方程，得到ˆ 6.5982y= 13 设y 和变量12,x x 有形为ε++=2211x b x b y ,2(0,)N εσ:的回归方程模型，试用最小二乘法求出12b b 和的估计.解 令 ()()()121212,,,,,TTTn Y y y y βββεεε===L1112121222Tn n x x x X x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭L L残差平方和为 222T T T T E S Y X Y Y Y X X X ββββ=-=-+令 20E S β∂=∂，得到 112ˆ(,)()T T T X X X Y βββ-==.。
概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ；2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= .(2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： .(3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： .(5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： .2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=BA ，（4）B A ⋃= ，（5）B A = 。
§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= .2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。
应用数理统计习题答案_西安交大（论文资料）
应用数理统计答案学号：姓名：班级：目录第一章数理统计的基本概念 (2)第二章参数估计 (14)第三章假设检验 (24)第四章方差分析与正交试验设计 (29)第五章回归分析 (32)第六章统计决策与贝叶斯推断 (35)对应书目：《应用数理统计》施雨著西安交通大学出版社第一章 数理统计的基本概念1.1 解：∵2(,)X N μσ∼ ∴ 2(,)n X N σμ∼∴)(0,1)X N μσ−∼分布∴(1)0.95P X P μ−<=<=又∵ 查表可得0.025 1.96u = ∴ 221.96n σ=1.2 解：(1) ∵ (0.0015)X Exp ∼∴ 每个元件至800个小时没有失效的概率为：8000.001501.2(800)1(800)10.0015x P X P X e dxe −−>==−<=−=∫∴ 6个元件都没失效的概率为： 1.267.2()P e e −−==(2) ∵ (0.0015)X Exp ∼∴ 每个元件至3000个小时失效的概率为：30000.001504.5(3000)0.00151x P X e dxe−−<===−∫∴ 6个元件没失效的概率为： 4.56(1)P e −=−1.4 解：ini n x n x ex x x P ni i 122)(ln 2121)2(),.....,(122=−−Π∑==πσμσ1.5证：∵21122)(na a x n x a x ni ni ii+−=−∑∑==∑∑∑===−+−=+−+−=ni i ni i ni i a x n x x naa x n x x x x 1222211)()(222a) 证：)(11111+=+++=∑n ni i n x x n x )(11)(1111n n n n n x x n x x x n n −++=++=++])()1(1 ))((12)[(11)](11[11)(11212111121211212112n n n i n n n i n i n i ni n n n i n i n in x x n n x x x x n x x n x x n x x n x x n S −+++−−+−−+=−+−−+=−+=++=+=+=+=++∑∑∑∑] )(11))1()((12)([112111212n n n n n n n n n x x n x n x x n x x n x x nS n −++−+−+−−++=++++])(11S [1 ])(1[nS 11212n 212n n n n n x x n n n x x n n n −+++=−+++=++ 1.6证明 (1) ∵22112211221()()()2()()()()()nni ii i nni i i i ni i X X X X X X X X X n X X X n X μμμμμ=====−=−+−=−+−−+−=−+−∑∑∑∑∑(2) ∵2221112221221()22ii i nn ni i i i i ni ni XX X X X nX X nX nX X nX =====−=−+=−+=−∑∑∑∑∑1.10 解: (1).∑∑====ni i n i i x E n x n E X E 11)(1)1()(p np n=⋅=1np mp x D n x n D X D ni in i i )1()(1)1()(121−===∑∑==))(1()(122∑=−=n i i x x n E S E)1(1)])1(1())1(([1)])()(())()(([1])()([1])([12222212212212p mp nn p m p mp n n p m p mp n n x E x D n x E x D n x nE x E n x x E n ni i i n i i n i i −−=+−−+−=+−+=−=−=∑∑∑=== 同理，（2）. λ===∑∑==ni i n i i x E n x n E X E 11)(1)1()(λnx D n x n D X D ni in i i 1)(1)1()(121===∑∑==λnn x E x D n x E x D n x nE x E n S E ni i i n i i 1)])()(())()(([1])()([1)(2122122−=+−+=−=∑∑==(3). 2)(1)1()(11b a x E n x n E X E ni i n i i +===∑∑==na b x D nx n D X D ni ini i 12)()(1)1()(2121−===∑∑==12)(1)])()(())()(([1])()([1)(22122122a b nn x E x D n x E x D n x nE x E n S E ni i i n i i −⋅−=+−+=−=∑∑==(4). λ===∑∑==ni i n i i x E n x n E X E 11)(1)1()(nx D nx nD X D ni ini i 2121)(1)1()(λ===∑∑==221221221)])()(())()(([1])()([1)(λnn x E x D n x E x D n x nE x E n S E ni i i n i i −=+−+=−=∑∑==(5). μ===∑∑==ni ini i x E nx nE X E 11)(1)1()(nx D nx nD X D ni i ni i 2121)(1)1()(σ===∑∑==221221221)])()(())()(([1])()([1)(σ⋅−=+−+=−=∑∑==nn x E x D n x E x D n x nE x E n S E ni i i n i i1.11 解：由统计量的定义知，1，3，4，5，6，7为统计量，5为顺序统计量 1.17 证：),(~ λαΓX ∵xe x xf λαααλ−−Γ=∴1)()( 令kXY =ke ky k k e ky yf kyky ⋅Γ=⋅Γ=∴−−−−λαααλαααλαλ11)()( )()()(即 ),(~ky Y αΓ1.18 证：),(~ b a X β∵),()1()( 11b a B x xx f b a −−−=∴),(),( ),()1()( 11b a B b k a B b a B x x x X E b a k k +=−=∴∫∞+∞−−−),(),1()( b a B b a B X E +=∴ba a ab a b a b a a a a b a b a a a b b a b a b a +=Γ+Γ++ΓΓ=Γ++Γ+Γ+Γ=ΓΓ+Γ⋅++ΓΓ+Γ=)()()()()()()1()()1()()()()1()()1(),(),2()(2b a B b a B X E +=))(1()1()()()()2()()2(b a b a a a a b b a b a b a ++++=ΓΓ+Γ⋅++ΓΓ+Γ= 22)]([)()( X E X E X D −=∴2))(1())(1()1(b a b a ab ba ab a b a a a +++=+−++++= 1.19 解：∵ (,)X F n m ∼分布2212(1)022()((1))((1)()()()(1)()()n n m n mn m yn m y n mn nP Y y P X X y m myP X y n n n x x dx m mm ++−−+≤=+≤=<−Γ=+ΓΓ∫2222122221122()()()1((1()()11(1)(1)(,)n n m n m n m n m n m f y P Y y y y yy y yy B ++−−−−′=≤Γ=+ΓΓ−−−−=∴ 22(1)(,)n mn n Y X X m mβ=+∼分布1.20 解：∵ ()X t n ∼分布122212()()((2(1n n P Y y P X y P X xdxn ++−≤=≤=≤≤=+112211221212122()()()(1)()1()(1(()()n n n n n f y P Y y y y n y y nn n +++−−+−−′=≤Γ=+Γ=+ΓΓ∴ 2(1,)2nY X F =∼分布1.21 解: (1) ∵ (8,4)X N ∼分布∴ 4(8,)25X N ∼ 分布，即5(8)(0,1)2X N −∼ ∴ 样本均值落在7.88.2∼分钟之间的概率为：5(7.88)5(8)5(8.28)(7.88.2)()2220.383X P X P −−−≤≤=≤≤=(2) 样本均值落在7.58∼分钟之间的概率为：5(7.58)5(8)5(88)(7.58)(2225(8)(0 1.25)20.3944X P X P X P −−−≤≤=≤≤−=≤≤= 若取100个样品，样本均值落在7.58∼分钟之间的概率为：10(7.88)10(8)10(8.28)(7.88.2)(2222*(0.84130.5)0.6826X P X P −−−≤≤=≤≤=−= 单个样品大于11分钟的概率为：110.77340.2266P =−= 25个样品的均值大于9分钟的概率为210.97980.0202P =−= 100个样品的均值大于8.6分钟的概率为310.99870.0013P =−= 所以第一种情况更有可能发生1.23 解：(1) ∵ 2(0,)X N σ∼分布 ∴ 2(0,X N nσ∼分布∴ 22)(1)nXχσ∼∵ 222221()(ni i nXa X an X an σσ===∑∴ 21a n σ=同理 21b m σ=(2) ∵2(0,)X N σ∼分布 ∴222(1)X χσ∼分布由2χ分布是可加性得：2221()ni i X n χσ=∑∼()ninX c X t m ==∑∼ ∴c =(3) 由(2)可知2221()ni i X n χσ=∑∼2221122211(,)nni ii i n mn mi ii n i n X d Xnn dF n m XmXmσσ==++=+=+=∑∑∑∑∼∴ md n=1.25 证明：∵ 211(,)X N μσ∼分布 ∴ 2211((1)i X μχσ−∼∴ 1221111(()n i i X n μχσ=−∑∼同理 2222212(()n i i Y n μχσ=−∑∼ 1122222112211111222221122112()()(,)()()n n i i i i n n i i i i X n n X F n n Y n Y n μσμσμσμσ====−−=−−∑∑∑∑∼ 第二章 参数估计2.1 (1) ∵ ()X Exp λ∼分布∴ ()1E X λ=令 ˆ1X λ= 解得λ的矩估计为: ˆ1X λ= (2) ∵ (,)X U a b ∼分布∴ ()2a bE X +=2()()12b a D X −=令 1ˆˆ2ab A X +==22221ˆˆˆˆ()()1124n i i b a a b A X n =−++==∑ （22211n i i X X S n =−=∑）解得a 和b 的矩估计为:ˆˆaX bX =−=(3) 110()1E X x x dx θθθθ−=∗=+∫令 1ˆˆ1A X θθ==+∴ˆ1XXθ=− (4) 110()(1)!kk x kE X x x e dx k βββ−−=∗=−∫令ˆkX β= ∴ ˆkXβ=(5) 根据密度函数有2221()22()E X a aE X a λλλ=+=++根据矩估计有1222221ˆˆˆ22ˆˆˆa A X a a A S X λλλ+==++==+解得λ和a 的矩估计为:ˆˆaX λ==(6) ∵ (,)X B m p ∼ ∴ ()E X mp =令 1ˆmpA X == 解得p 的矩估计为:ˆXpm= 2.3解：∵ X 服从几何分布，其概率分布为：1()(1)k P X k p p −==−故p 的似然函数为： 1()(1)ni i x nnL p p p =−∑=−对数似然函数为：1ln ()ln ()ln(1)ni i L p n p x n p ==+−−∑令 1ln ()1()01nii L p n x n p p p =∂=−−=∂−∑ ∴ 1ˆpX= 2.4 解：由题知X 应服从离散均匀分布，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==其它01 1)(Nk N k x p2)(NX E =矩估计： 令 7102=∧N1420=∴∧N 极大似然估计：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它07101 1)(NN N L ∵要使)(N L 最大，则710=N710=∴∧N 2.5 解：由题中等式知：2196.196.196.1)025.01(025.0)(1S X +=+=∴+=+−Φ=∴=−Φ−∧∧∧−σμθσμμσθσμθ2.6 解：（1） 05.009.214.2=−=R ∵0215.005.04299.05=×==∴∧d Rσ（2）将所有数据分为三组如下所示：1x 2x 3x 4x5x 6x i R1 2.14 2.10 2.15 2.13 2.12 2.13 0.05 2 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 0.05 32.11 2.14 2.10 2.11 2.15 2.10 0.050197.005.03946.005.0)05.005.005.0(316=×==∴=++=∴∧d R R σ 2.7 解：（1）⎩⎨⎧+<<=其它 01x 1)(θθx f ∵ θθθθθθ≠+==+=++=∴∧21)()(2121)(X E E X E ∴ X =∧θ不是θ的无偏估计，偏差为21=−∧θθ（2） θ=−21(X E ∵ 21−=∴∧X θ是θ的无偏估计（3）22))(()())(()(θθθθ−+=−+=∧∧X E X D E D MSE41121+=n 2.8 证：由例2.24，令2211x a x a +=∧μ，则∧μ 为μ无偏估计应 满足121=+a a因此1μ，2μ，3μ都是μ的无偏估计)()()()(21)()(2513)()(95)9491)(()())(()()(1233212221212∧∧∧∧∧∧=∧<<===+=∴+==∑μμμμμμμD D D X D D X D D X D X D D a a X D X D a D i i i ∵∵2132121X X +=∴∧μ最有效2.9证： )(~λp X ∵ λλ==∴)( )(X D XEX ∵是λ=)(X E 的无偏估计，2*S 是λ=)( X D 的无偏估计)()1()())1((2*2*S E X E S X E αααα−+=−+∴λλααλ=−+=)1(∴2*)1(SX αα−+是λ的无偏估计2.10 解：因为2222((1))()(1)()(1)()1(1)()11(1)1E X S E X E S na E S n n a E S n n n a n nααααλαλαλαλλ∗∗+−=+−=+−−=+−−−=+−=− 所以 2(1)X S αα∗+−是λ的无偏估计量2.15 解：因为ˆθ是θ的有效估计量ˆˆˆ()()()E uE a b aE b a b u θθθ=+=+=+= 221ˆˆˆˆ()()()()D u D a b a D a D θθθ=+=≤ （其中,1ˆθ是θ的任意无偏估计量中的一个）所以 ˆu是u 的有效估计量 2．26 解： 因为总体服从正态分布，所以)01X U N μσ−=∼（，）对于给定的1α−，查标准正态分布表可得2u α，使得2()1P U u αα<=−即：22()1P X p X ααα−<<=−区间的长度2d L α=<，所以 22224u n L ασ>2.28 解：因为总体服从正态分布，所以)01X U N μσ−=∼（，）， 222(1)nS V n χσ=−∼由因为U 和V 是相互独立的，所以(1)X T t n =−∼对于给定的1α−，查标t 分布表可得t α，使得 2()1P U t αα<=−，即：22()1P X X ααμα<<+=− 当30n =，35X =，15S =时，第一家航空公司平均晚点时间μ的95%的置信区间为：(29.3032,40.6968)对于给定的1α−，查标t 分布表可得t α，使得 ()1P U t αα>=−， 即：()1P X αμα<+=− 故μ的具有单侧置信上限的单侧置信区间为(,)X α−∞+ 所以经计算可得：第一家航空公司的单侧上限置信区间为(,39.7327)−∞第二种航空公司的单侧上限置信区间为(,36.3103)−∞所以选择第二家航空公司。
应用数理统计
t1a/2 (n 1) t10.05/2 (15 1) t0.975 (14) 查表得 2.1448；
代入公式： St1a/2 (n 1) 得上限： =0.58+
1.3336 g2.1448
＝1.24197
n 1
15 1
1.3336 g2.1448
下限： =0.58-
＝-0.08197
n r
r QA 1Qe
> F1- r 1, n r ， F1- 查表可得结果。
认为因素 A 对试验指标的影响是显著的，并找出最佳水平。
P191.习题 1.方差分析
P192.习题 3 正交试验设计——正交表的直观分析 本题应表示为 L16(43x26):9 个因子，前 3 个为 4 水平，后 6 个为 2 水平，共 16 次试验。 正交表记作： Ln (r1 r2 gggrm ) ；当 r1＝r2＝…＝rn 时表示为 Ln（rm）；
②
拒绝域：
X
2 n
>
X12
a
(m
1
l
)
其中 m 为数据的组数，l 为未知参数的个数。 例题：
3、秩和检验
①假设： H0 : F1(x) F2( x) ，H1:F1(x) F2 (x)
②将数据从小到大排列， ③算秩（限顺序），值一样时求几个数的平均值作为秩， ④算秩和，查表 P256.
注意将数的个数少的作为 n1 来计算秩和后，比较 R1 与 T1,T2 的关系。 ⑤拒绝域：X0={R1<T1 或 R1>T2}(T1<T2)
15 1
因此 a 的置信度为 0.95 的区间估计为（-0.08197, 1.24197）。
概率论与数理统计第一章总习题答案
概率论与数理统计课后习题答案第一章总习题1．填空题（1）假设B A ,是两个随机事件，且B A AB ⋅=，则()A B =，()=AB ；解：AB A B AB A B =⋅⇔=即AB 与A B 互为对立事件，又AB AB ⊂所以()(),.AB A B A B AB A B AB Ω==∅==（2）假设B A ,是任意两个事件，则()()()()()P A B A B A B A B ⎡⎤=⎣⎦.解：()()()()()()P A B A B A B A B P AA AB AB B AAAB ABB ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦()()0P BB P ==∅=.（3）.已知41)()()(===C P B P A P ， 0)(=AB P ， 161)()(==BC P AC P 。
则事件A 、B 、C 全不发生的概率为解：所求事件的概率即为()P ABC ,又,ABC AB ⊂从而()()00,P ABC P AB ≤≤=则()0P ABC =，所以()()()1P ABC P A B C P A B C ==-()()()()()()()31311.488P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =---+++-=-+=2．选择题（1）设8.0)(=A P ，7.0)(=B P ，()8.0=B A P ，则下列结论正确的是().（A ）事件A 与事件B 相互独立；（B ）事件A 与事件B 互逆； （C ）A B ⊃；（D ）()()()P AB P A P B =+.解：因为()56.0)()(==B A P B P AB P ，而56.0)()(=B P A P ，即)()()(B P A P AB P =，所以事件A 与事件B 相互独立，选（A ）.（2）设B A ,为两个互逆的事件，且0)(>A P ，0)(>B P ，则下列结论正确的是().（A ）()0>A B P ；（B ）())(A P B A P =；（C ）()0=B A P ；（D ）)()()(B P A P AB P =. 解：因为B A ,为两个互逆的事件，所以当事件B 发生时，事件A 是不会发生的，故()0=B A P .选（C ）.（3）设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，()()1=+B A P B A P ，则下列结论正确的是().（A ）事件A 与事件B 互不相容；（B ）事件A 与事件B 互逆； （C ）事件A 与事件B 不互相独立；（D ）事件A 与事件B 互相独立.解：因为()()()()()()()()()()1111P A B P A BP AB P AB P A B P A B P B P B P B P B⋅+=⇔+=⇔+=- ()()()()()()()()()()111111P AB P A B P AB P A P B P AB P B P B P B P B ---+⇔+=⇔+=⇔--()()[]()()()()[]()()[]⇔-=+--+-B P B P AB P B P A P B P B P AB P 111)()()(B P A P AB P =，所以事件A 与事件B 互相独立.选（D ）.3．从五双不同的鞋子中任取四只，求取得的四只鞋子中至少有两只配成一双的概率. 解：此题考虑逆事件求解比较方便，即取得的四只鞋子中不能配成一双.设A 表示“取得的四只鞋子中至少有两只配成一双”，则()4101212124511)(C C C C C A P A P -=-=2113=.4．（找次品问题）盒中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只进行测试，直到4只次品晶体管都找到为止，求第4次品晶体管在第五次测试中被发现的概率.解：设i A 表示“第i 次找到次品晶体管”()5,4,3,2,1=i ，则所求概率为：()54321543215432154321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A P ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅()()()()()432153214213121A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=()()()()()432153214213121A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ ()()()()()432153214213121A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ ()()()()()432153214213121A A A A AP A A A AP A A A P A A P A P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+61768293104617286931046172839610461728394106⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=1052617283941064=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯⨯=.5．（讨论奖金分配的公平性问题）在一次羽毛球比赛中，设立奖金1000元.比赛规定：谁先胜三盘，谁获得全部奖金.设甲、乙两人的球技相当，现已打了三盘，甲2胜11000元应如何分配才算公平?解：应以预期获胜的概率为权重来分配这笔奖金，于是求出甲、乙两人获胜的预期概率即可.比赛采取的应是五局三胜制，比赛已打三盘，甲胜两盘，甲若再胜一盘即可获胜. 甲获胜的预期概率为：()()()()43212121544544=⨯+=+=+A P A P A P A A A P . 于是，甲应分得1000元奖金中的750100043=⨯元，乙分得250元.6．(彩票问题) 一种福利彩票称为幸福35选7，即从01，02，…，35中不重复地开出7个基本号码和一个特殊号码.中奖规则如下表所示.(1)试求各等奖的中奖概率(1,2,,7);i p i =(2) 试求中奖的概率.解：(1) 因为不重复地选号码是一种不放回抽样，所以样本空间Ω含有735C 个样本点.要中奖应把抽样看成是在三种类型中抽取：第一类号码：7个基本号码； 第二类号码：1个特殊号码； 第三类号码：27个无用号码。
《应用统计学》练习题及答案.docx
《应用统计学》练习题及答案《应用统计学》本科第一章导论一、单项选择题1．统计有三种涵义，其基础是( )。
(1)统计学 (2)统计话动(3)统计方法(4)统计资料 2 ．一个统计总体 ( )。
(1)只能有个标志(2)只能有一个指标(3)可以有多个标志(4)可以有多个指标 3 ．若要了解某市工业生产设备情况，则总体单位是该市( )。
(1)每一个工业企业(2)每一台设备(3)每一台生产设备(4)每一台工业生产设备 4 ．某班学生数学考试成绩分刷为65 分、71分、80分和87 分，这四个数字是( )。
(1)指标(2) 标志(3) 变量(4) 标志值 5 ．下列属于品质标志的是( )。
(1)工人年龄(2)工人性别(3)工人体重(d)工人工资6．现要了解某机床厂的生产经营情况，该厂的产量和利润是( ) 。
(1)连续变量(2)离散变量()3前者是连续变量，后者是离散变量(4)前者是离散变量，后者是连续变量7．劳动生产率是( )。
(1)动态指标(2)质量指标(3)流量指标(4)强度指标 8 ．统计规律性主要是通过运用下述方法经整理、分析后得出的结论( )。
(1)统计分组法(2)大量观察法(3)练台指标法(4)统计推断法 9 ． ( ) 是统计的基础功能。
(1)管理功能(2)咨询功能(3)信息功能(4)监督功能 10 ．( )是统计的根本准则，是统计的生命线。
(1)真实性 (2) 及时件 (3) 总体性 (4) 连续性11．构成统计总体的必要条件是( )。
(1)差异性(2) 综合性 (3) 社会性 (4) 同质性12．数理统计学的奠基人是 ( ) 。
(1)威廉·配第(2) 阿亭瓦尔(3)凯特勒 (4)恩格尔13 ．统汁研究的数量必须是 ( ) 。
(1)抽象的量(2) 具体的量(3)连续不断的量(4)可直接相加量 14 ．数量指标一般表现为 ( ) 。
(1)平均数(2) 相对数(3) 绝对数(1) 众数15．指标是说明总体特征的．标志则是说明总体单位特征的，所以 ( ) 。
（完整版）概率论与数理统计课程第一章练习题及解答
（完整版）概率论与数理统计课程第一章练习题及解答概率论与数理统计课程第一章练习题及解答一、判断题（在每题后的括号中对的打“√”错的打“×” ）1、若1()P A =，则A 与任一事件B 一定独立。
（√）2、概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。
（√）3、样本空间是随机现象的数学模型。
（√）4、试验中每个基本事件发生的可能性相同的试验称为等可能概型。
（×）5、试验的样本空间只包含有限个元素的试验称为古典概型。
（×）6、实际推断原理就是“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”。
（√）7、若S 为试验E 的样本空间，12,,,n B B B L 为E 的一组两两互不相容的事件，则称12,,,n B B B L 为样本空间S 的一个划分。
（×）8、若事件A 的发生对事件B 的发生的概率没有影响，即()()P B A P B =，称事件A 、B 独立。
（√） 9、若事件12,,,(2)n B B B n ≥L 相互独立，则其中任意(2)k k n ≤≤个事件也是相互独立的。
（√）10、若事件12,,,(2)n B B B n ≥L 相互独立，则将12,,,n B B B L 中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n 个事件仍相互独立。
（√）二、单选题1．设事件A 和B 相互独立，则()P A B =U （ C ）A 、()()P A PB + B 、()()P A P B +C 、1()()P A P B -D 、1()()P A P B -2、设事件A 与B 相互独立，且0()1,0()1P A P B <<<<，则正确的是（ A ）A 、A 与AB +一定不独立 B 、A 与A B -一定不独立C 、A 与B A -一定独立D 、A 与AB 一定独立3、设当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则（ B ）A 、1()()()P C P A PB ≤+- B 、1()()()PC P A P B ≥+-C 、()()P C P AB =D 、()()P C P A B =U4、在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电，以E 表示事件“电炉断电”，而(1)(2)(3)(4)T T T T ≤≤≤为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于（）A 、(1)0{}T t ≥B 、(2)0{}T t ≥C 、(3)0{}T t ≥D 、(4)0{}T t ≥分析事件(4)0{}T t ≥表示至少有一个温控器显示的温度不低于临界温度0t ；事件(3)0{}T t ≥表示至少有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，即(3)0{}E T t =≥，选C 。