画法几何 点的投影(1)
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画法几何及机械制图 第二章 点直线和平面的投影1
距离
例 已知长方形ABCD中边BC的两投影和边AB的正面投影 （a'b'//OX)，求作长方形的两投影。
d c 分析： D
a
C
X
a
b
O A B
因为ABBC,且 ABH 根据直角投影定理 有ab bc
b d c
空间两直线互相垂直，若其 中有一条直线平行于某投影面， 则两直线在该投影面上的投影仍 互相垂直。
c
a
c
L
ZAB
b0
c0
AB
两直线的相对位置
两直线的相对位置有三种情况：平行、相交、交叉。
1.平行两直线
当两直线平行则两直线同面投影均相互平行；
反之，若两直线同面投影平 行，则该两直线平行。
直线 AB∥CD
注意：若要判断两直线是否平行 ，对于一般 位置直线，只需看其两组投影即可，而对于特 殊位置直线，则要看其三组投影
YH Z
b
a X O
YW
1)在与其垂直的投影面上的投 影积聚为一点； 2)另两个投影显实长，且分别 垂直于相应的投影轴。
YH
投影面上的直线的投影
直线的投影——投影特性
一般位置直线：与任何基本投影面都不平行也不垂直 z b' a'
b' B b" a'
a"
b"
x
A a b b a" aO NhomakorabeayW
yH
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
试判断图中CD与 AB是否平行？
AB 与 CD 不平行
虽然ab∥cd，并 且a’b’∥c’d’， 但侧面投影a”b” 与c”d ”相交。 作出第三面 投影来判断。
例 已知长方形ABCD中边BC的两投影和边AB的正面投影 （a'b'//OX)，求作长方形的两投影。
d c 分析： D
a
C
X
a
b
O A B
因为ABBC,且 ABH 根据直角投影定理 有ab bc
b d c
空间两直线互相垂直，若其 中有一条直线平行于某投影面， 则两直线在该投影面上的投影仍 互相垂直。
c
a
c
L
ZAB
b0
c0
AB
两直线的相对位置
两直线的相对位置有三种情况：平行、相交、交叉。
1.平行两直线
当两直线平行则两直线同面投影均相互平行；
反之，若两直线同面投影平 行，则该两直线平行。
直线 AB∥CD
注意：若要判断两直线是否平行 ，对于一般 位置直线，只需看其两组投影即可，而对于特 殊位置直线，则要看其三组投影
YH Z
b
a X O
YW
1)在与其垂直的投影面上的投 影积聚为一点； 2)另两个投影显实长，且分别 垂直于相应的投影轴。
YH
投影面上的直线的投影
直线的投影——投影特性
一般位置直线：与任何基本投影面都不平行也不垂直 z b' a'
b' B b" a'
a"
b"
x
A a b b a" aO NhomakorabeayW
yH
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
试判断图中CD与 AB是否平行？
AB 与 CD 不平行
虽然ab∥cd，并 且a’b’∥c’d’， 但侧面投影a”b” 与c”d ”相交。 作出第三面 投影来判断。
画法几何-投影法
a' Ⅲ
X
Ⅱ
O
b
Ⅰ D
d
Ⅳ Ac
3(4 )a
b’
（2’） 1‘
3’
c’
d’
4’ a’
X
O
b
2
Yd
1
c 3（4） a
交叉两直线可能有一组或两组同面投影平行，但两直线的其余同面投影必定不平行； 交叉二直线也可能在3个投影面的同面投影都相交，但交点必定不符合一个点的投影 规律，其投影的交点是两直线对不同投影面的重影点
b’
k'
a’
b' k' B
C a'
d’ X
O
d' X
K
b
D d
k
O c
A
a
b
d Y
k
c a
3、两直线交叉
既不相交也不平行的两直线称为交叉两直线。如果两直线的投影既不符合
两平行直线的投影特性，又不符合两相交直线的投影特性，则可断定这两条直 线为空间交叉两直线。
V
c' Z
b'
(2’ ) 1‘
C
d' B
三、平行投影法 的基本特征
• a实形性 • b积聚性 • c平行性 • d类似性 • e定比性 • f从属性
一、投影法的基本知识
物体在阳光的照射下，就会在墙上或地面上投下影子，这 就是投影现象。投影法是将这一现象加以科学抽象和思维 而产生的。投射线通过物体向选定的面投射，并在该面上 得到图形的方法，称为投影法。
一般位置直线的投影
z
V b’
X
a’ A a”
b’
βγ
α
B O
习题答案 画法几何
●
O
e
● ●
f m
f0
3.已知两交叉线AB、CD的水平投影和正面投影，求 作它们的侧面投影，分别标注三对重影点的三面投 影符号，并表明可见性。 Z
c’ 3’ 1’(2’) 6‘ 5’ 4’ a’ d’
X d b 5 a 1 2 3(4) 6 b’ b’’ 3’’ 2’’ c’’ 1’’ 5’’(6’’) 4’’ a’’ YW
平行
相交 相交
相交
交叉
交叉
交叉
相交
相交
交叉
交叉
交叉
6.已知一水平线与直线AB、CD、EF都相交，求作该 直线的两面投影。
d’ e’
●
a’b’ m’ ●
c’
n’ ●
p’ f’
X
b m● p● n
●
O
f f0 p0 d e
c
a
7.已知一直线与直线AB、CD都相交，且与直线EF交 于分线段EF成2：3的点，求作该直线的两面投影。
X e0 5 b0 3
n’ 5.作直线AB的实长及对H、 V的夹角、 ，并作出它 b 的水平迹点M和正面迹点 AB N的两面投影。 |zA-zB| a
O
X
m’ b
ab n
a m
AB
|zA-zB |
AB
ab
|zA-zB|
9
5.作直线AB的实长及对H、 V的夹角、 ，并作出它 的水平迹点M和正面迹点 N的两面投影。
a’
● ●
a’’ d’c’ b’ O
●
z、y相同
c’’ b’’
|ZA-ZB| X a
45
|ZA-ZB|
a0 25mm
O
e
● ●
f m
f0
3.已知两交叉线AB、CD的水平投影和正面投影，求 作它们的侧面投影，分别标注三对重影点的三面投 影符号，并表明可见性。 Z
c’ 3’ 1’(2’) 6‘ 5’ 4’ a’ d’
X d b 5 a 1 2 3(4) 6 b’ b’’ 3’’ 2’’ c’’ 1’’ 5’’(6’’) 4’’ a’’ YW
平行
相交 相交
相交
交叉
交叉
交叉
相交
相交
交叉
交叉
交叉
6.已知一水平线与直线AB、CD、EF都相交，求作该 直线的两面投影。
d’ e’
●
a’b’ m’ ●
c’
n’ ●
p’ f’
X
b m● p● n
●
O
f f0 p0 d e
c
a
7.已知一直线与直线AB、CD都相交，且与直线EF交 于分线段EF成2：3的点，求作该直线的两面投影。
X e0 5 b0 3
n’ 5.作直线AB的实长及对H、 V的夹角、 ，并作出它 b 的水平迹点M和正面迹点 AB N的两面投影。 |zA-zB| a
O
X
m’ b
ab n
a m
AB
|zA-zB |
AB
ab
|zA-zB|
9
5.作直线AB的实长及对H、 V的夹角、 ，并作出它 的水平迹点M和正面迹点 N的两面投影。
a’
● ●
a’’ d’c’ b’ O
●
z、y相同
c’’ b’’
|ZA-ZB| X a
45
|ZA-ZB|
a0 25mm
画法几何：第二讲__点、直线、平面的投影
例7：已知线段DE、FG的两个投影d’e’//f’g’， de//fg，判断空间两线段是否平行。
Z
d'
d''
f'
f''
e'
e''
g'
X O
d g
g'' YW
f e
结论：空间两 直线不平行。
YH
判断两直线是否平行：
对于一般位置直线，若两直线的两个同面 投影互相平行，即可判定该两直线在空间必定 相互平行。
b
ac
H
例6：已知直线AB和点K的投影，判断点K是否属于线 段AB
解法1 a' k'
Z a'' k''
b' X
O
a
k b
H
b'' YW
结论：K AB
解法2
X
a' k'
b' O
a k0
k
b0
b
结论：K AB
三、 两直线的相对位置
平行二直线 相交二直线 交叉二直线（异面）
1. 平行二直线
A
C
空间两直线
Y
a’
a’’
X
O
YW
a YH
例1：已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
Y
a’
a’’
X
O
YW
a YH
3. 点的投影与坐标
Z a’
V a'
aZ
y
zA
a''
、X
aX
xO W
ya
第一部分《画法几何》复习大纲一．投影的基本知识1．投影法的分类
第一部分《画法几何》复习大纲一．投影的基本知识1．投影法的分类投影法可分为中心投影法和平行投影法两类。
（1）中心投影法：投射中心距投影面为有限远，即投射线从投射中心发出的投影法，称中心投影法（2）平行投影法：投射中心距投影面为无限远，即投射线相互平行时的投影法，称平行投影法。
平行投影法又分为斜投影法和正投影法两种。
投射线与投影面倾斜，称为斜投影法；投射线与投影面垂直，称为正投影法。
2．土木工程常用的几种投影图土木工程常用的投影图有多面正投影图、轴测投影图、标高投影图及透视投影图。
1）多面正投影图多面正投影图由物体在两个或两个以上相互垂直的投影面上的正投影所组成。
这种图的特点是度量性好，表达完整准确，作图简便，是工程上应用最广泛的投影图。
但它缺乏立体感，需要掌握一定的投影知识才能看懂。
2）轴测投影图轴测投影图是用平行投影法将物体连同确定其空间位置的直角坐标体系，沿不平行于任一坐标平面的方向，将其投射在单一投影面上所得的图形。
轴测投影图可在一个投影面上反映出形体的长、宽、高三个向度。
因此，这种投影图的特点是具有一定的立体感，缺点是作图较费时，且不能完整、唯一地表达物体的形状和大小，因此多用作辅助图样。
3）标高投影图标高投影图是物体在某一投影面（通常是水平投影面）上标有高度的正投影图，它是假想用一组高差相等的水平面截割山地表面，将所得不同高程的等高线投射在水平投影面上。
标高投影多用来表达地形及复杂曲面。
4）透视投影图透视投影图是用中心投影法将物体投射到单一投影面上所得到的图形。
这种图的优点是形象逼真、直观性强，因此常用于设计方案的比较或展示中。
缺点是作图较为复杂，且不能反映物体表面的真实形状和大小。
3．三面投影及其投影特性（1）一般情况下根据形体的三面投影，就可确定其形状和大小，其中正面投影反映形体的长和高；水平投影反映形体的长和宽；侧面投影反映形体的宽和高。
（2）因为三个投影表示的是同一形体，作投影图时，形体与各投影面的相对位置保持不变，展开后就有：正面投影与水平投影长度相等且对正；正面投影与侧面投影高度相等且平齐；水平投影与侧面投影宽度相等。
第四章点线面的投影 (1)
b′
Δy
ΔΖ
β
Δy α 实长
例2 已知直线AB的H投影及a′,其α为30°，求AB的 V投影。
b'
△Z
△Z
α
例3 已知ab，b′，β=30°,求a′b′。 a′
b′
a′b′
b
60°
a
例4 已知AB实长40㎜，点A距V面30㎜，求ab， 问有几解？
例5 已知AB＝40㎜，α＝30°，β=45°，求AB的两投影。
用定比关系,如图中的（2）。
三、交叉两直线—既不平行又不相交的两条 直线
（ 1）
（ 2）
（ 3）
投影特性：交叉两直线的投影可能表现为相互平
行，但不可能所有同面投影均平行，如上图中 （1）;交叉两直线的投影也可能表现为相交，但 同面投影的交点不是真正交点的投影,不满足投影 规律，如上图示（2）、（3）。
例3
求AB、CD的公垂线（或距离）。 a' n' b' n a(b)
距离
c' m'
d'
c
m d
作业：
P21-28。
§4-6 平面的投影
平面的表示方法 平面的分类及其投影特性
一、平面的表示方法
b' a' b a c c' a' b b' c'
a
不在一条直线 上的三个点
c
直线及直线 外一点
a′ b′
a〞 b〞
a b
若zA ＞ zB ，表示A在B之上。
右图中,A在B的左后上方。
重影点及其可见性判定：
如果空间两点恰好位于某一投影面的一条垂 线上，该两点在该投影面上的投影重合为一点， 则称这两点为对该投影面的重影点。
Δy
ΔΖ
β
Δy α 实长
例2 已知直线AB的H投影及a′,其α为30°，求AB的 V投影。
b'
△Z
△Z
α
例3 已知ab，b′，β=30°,求a′b′。 a′
b′
a′b′
b
60°
a
例4 已知AB实长40㎜，点A距V面30㎜，求ab， 问有几解？
例5 已知AB＝40㎜，α＝30°，β=45°，求AB的两投影。
用定比关系,如图中的（2）。
三、交叉两直线—既不平行又不相交的两条 直线
（ 1）
（ 2）
（ 3）
投影特性：交叉两直线的投影可能表现为相互平
行，但不可能所有同面投影均平行，如上图中 （1）;交叉两直线的投影也可能表现为相交，但 同面投影的交点不是真正交点的投影,不满足投影 规律，如上图示（2）、（3）。
例3
求AB、CD的公垂线（或距离）。 a' n' b' n a(b)
距离
c' m'
d'
c
m d
作业：
P21-28。
§4-6 平面的投影
平面的表示方法 平面的分类及其投影特性
一、平面的表示方法
b' a' b a c c' a' b b' c'
a
不在一条直线 上的三个点
c
直线及直线 外一点
a′ b′
a〞 b〞
a b
若zA ＞ zB ，表示A在B之上。
右图中,A在B的左后上方。
重影点及其可见性判定：
如果空间两点恰好位于某一投影面的一条垂 线上，该两点在该投影面上的投影重合为一点， 则称这两点为对该投影面的重影点。
点的投影
[例2] 已知点A(6,3,4),B点在A点的右、前、上方各2个
的投影
单位，C点在B点的正下方3个单位，求各点的投影。
b
a c
2
X
6
2
3
Z
4
a"
0
b" c"
YW
a b (c)
2
3
YH
[ ]
[例3] 已知点A(10,15,20),点B距W、V、H面分别为20mm、 影投的点求 3例 10mm、15mm，点C在点A之左15mm，之前5mm、 之下10mm，求各点的投影。
点A到W面的距离为：
Aa"=a’az=aayH =X坐标；
点A到V面的距离为：
Aa’=a"az=aax =Y坐标；
点A到H面的距离为：
Aa=a"ayW=a’ax=Z坐标；
Z A到W面
A到V面 Va' aZ
距离
距离
A
A到H面X ax
O
a" W
距离
a
aY
H
Y
A到W面
距离 Z
点的H面投影反映点的X、Y坐标；
水平投影面（水平面、H面） 正立投影面（正面、V面） 投影轴：X轴。
四个分角：H、V两投影面将空间划分为四个分角。
A点的投影：H面投影a , V面投影a’。
投影面的展开：V面不动，H面绕X轴向下旋转与V面重合。
实际画图不画外框线
Ⅱ Ⅰ
Ⅲ Ⅳ
a' V
X X ax H
a
V第
Ⅰ
A
分
角
aH H
V a'
X ax
a H
《画法几何》第2章 点、直线、平面的投影
相交（或交 叉）成直角 的两直线， 只要其中有 一条直线平 行于某投影 面，则它们 在该投影面 上的投影仍 反映直角
水平线
Ｂ
b a
Ａ Ｃ
c
反之，两直线之一是某投影面平行线，且两直线在该投影面 上的同名投影互相垂直，则在空间两直线互相垂直
[例2-7]已知过点A作线AB平行于EF，问AB与CD是否相 交(习题P25-4)
Ⅰ∈AB Ⅱ∈CD
Ⅲ∈AB Ⅳ∈CD
3 4） （
1
b
判断重影点重 合投影的可见性 时，要在其他投 影中比较它们坐 标的大小。
直角投影定理
当两直线都平行于某投影面对，其夹角在该投影 面上的投影反映实形。
当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该投 影面上的投影一般不反映实形。
a b
a c b
c
b0
c
b
d
[例2-11]作一直线与AB和CD相交，并与它们垂直（即 求两直线的公垂线），并标明其真实距离
c´ b´
f´
a´
e´
d´ c (d) e
a
真ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ距离
f
b
点的投影
直线的投影
两直线的相对位置
平面的投影（自学）
平面的投影
平面的投影
平面的投影性质
P
A D C B
q p H d
根据一般位置直线的投影求其实长和倾角 （直角三角形法）
b´
m
V
a´
α
b´
B
C
X
a´
1、过A点作 AC//ab 2、过b点作 O bb ⊥ab,且 0 bb0=BC
A b
a
α