公开课两角和与差的正弦余弦正切公式
结
C
S (α-β)
诱导 公式
C (α＋β)
弦切关系
换元
诱导 (α-β) 公式
S (α+β)
弦切关系
T (α-β)
T (α+β)
2. 余弦：符号不同积同名 余弦：
正弦： 正弦：积不同名符号同 正切： 正切：符号上同下不同 3. 公式应用： 公式应用：
2011-10-3 两角和与差的正弦余弦正切公式 23
换元
转化 cos( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β 简记作
2011-10-3 两角和与差的正弦余弦正切公式
C (α + β )
3
思 推导 考
sin(α + β ) = ?
sin(α + β ) = cos π − (α + β ) = cos( π − α ) − β 2 2 转 化 展开 π π sin(α + β ) = cos( − α ) cos β + sin( − α ) sin β
π
4
π 5π π − 2kπ + < − α < − 2 kπ + 12 4 两角和与差的正弦余弦正切公式 2 2011-10-3
18
5π π 3 π 引申： sin , 求 cos α 引申： + α = ， < α < 6 6 5 3
2011-10-3
两角和与差的正弦余弦正切公式
2 2
化简 sin(α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
2011-10-3 两角和与差的正弦余弦正切公式
简记作
S (α − β )
8
思考
sin(α − β ) = sinα cos β − cosα sin β
推导１ 推导１
简记作
推导２ 推导２
两角和与差的正弦余弦正切公式
S (α − β ) C (α + β ) C (α − β )
cos( α + β ) =
cos( α − β ) =
cos α cos β − sin α sin β
cos α cos β + sin α sin β
tan α − tan β tan α + tan β tan(α + β ) = tan(α − β ) = 1 + tan α tan β 1 − tan α tan β
T(α + β )
2011-10-3
两角和与差的正弦余弦正切公式
T(α − β )
11
施展才华
(1) sin150
6− 2 4
利用和（ 利用和（差）角公式， 角公式， 求下列各式的值： 求下列各式的值：
(2)
cos 750
6− 2 4
(3)
sin 75
6+ 2 4
0
(4)
tan15
2− 3
0
2011-10-3
0
(1 引申： 引申： ) sin 72 cos 42 − sin 18 sin 42
0 0 0
2011-10-3
0 0
20
(2)cos 20
0
两角和与差的正弦余弦正切公式
cos 70 − sin 20 cos 20
0 0
归纳
两角和与差公式的逆用
sin( α + β ) sin( α − β )
sin α cos β + cos α sin β = sin α cos β − cos α sin β =
2011-10-3 两角和与差的正弦余弦正切公式 15
π
例题1 例题1
3 已知 sin α = − ，α是第四象限角 , 求 5 sin(
π
4
− α ), cos(
π
4
&#。
思考
求cos( +α), tan( −α)的值还有其它方法吗？ 的值还有其它方法吗？ 4 4
π
4
− α ), cos(
π
4
+ α ), tan(
π
4
的值。 − α )的值。
3 sin 是第四象限角， 解：由 α = − ，α是第四象限角，得 5 32 4 cosα = 1− sin α = 1− (− ) = 5 5
2
π π π sin −α = sin cosα − cos sinα 4 4 4
π sin −α π π 4 如何求 cos − α ？ tan( −α） = 4 π 4 cos −α 4
2011-10-3 两角和与差的正弦余弦正切公式 17
π
π 2 π 如何求 cos − α ？ cos − α = 4 4 10
方法1 方法1 方法２ 方法２
2kπ −
π π π cos − α = cos cos α + sin sin α 4 4 4
π 2 π cos − α = ± 1 − sin − α 4 4
π
4 < α < 2kπ −
π
6
− 2kπ +
π
6
< −α < −2kπ +
公式的 变形
2011-10-3
tan α ± tan β = tan(α ± β ) ⋅ (1 ∓ tanα tan β )
两角和与差的正弦余弦正切公式 21
D
45° 67 °
α
A
sinα = 30 , 得 cosα ≈ 60, 由 67 67 tanα ≈ 1 , 所以 2 x tan45°+ 于是 tan(45°+α) =1−tan45°tanα tanα 1+ 1 C =1+tanα ≈ 2 =3 1−tanα 1− 1 2 30 解方程 x + 30 = 3 60
3.1.2两角和与差的 两角和与差的 正弦、余弦、 正弦、余弦、正切公式
数学组 李学军
2011-10-3
两角和与差的正弦余弦正切公式
1
知识回顾
1. cos(α − β ) =
cos α cos β + sin α sin β
简记作 C (α − β )
2. cos(
π
2
−α) =
sin α
2
3. tan α =
作
业
作业本68页 作业本68页 68
2011-10-3
两角和与差的正弦余弦正切公式
24
2011-10-3
两角和与差的正弦余弦正切公式
25
sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
sin[α + ( − β )] = sin α cos( − β ) + cos α sin( − β )
转化 sin(α − β ) = sin α cos β − cos α sin β 简记作
2011-10-3 两角和与差的正弦余弦正切公式
π
π π π cos +α = cos cosα − sin sinα = 7 2 10 4 4 4
2011-10-3 两角和与差的正弦余弦正切公式 14
2 4 2 3 7 2 = ⋅ − ⋅− = 10 2 5 2 5
例题1 例题1
3 已知 sin α = − ，α是第四象限角 , 求 5 sin(
B
得 x=150 因此,高度大约为 高度大约为150米. 因此 高度大约为 米
由引例已得到： x + 30 tan(45°+α) =
2011-10-3 两角和与差的正弦余弦正切公式
60
22
转化贯穿始终,换元灵活运用 1.公式推导(转化贯穿始终 换元灵活运用 公式推导 转化贯穿始终 换元灵活运用)
小
cos α cos β − sin α sin β =
cos α cos β + sin α sin β =
cos( α + β )
cos( α − β )
tan α + tan β = tan(α + β ) tan α − tan β = tan(α − β ) 1 − tan α tan β 1 + tan α tan β
19
例题2 例题2
利用和( 利用和(差)角公式计算下列各式的值
(1)sin 72 cos 42 − cos 72 sin 42 0 0 0 0 (2)cos 20 cos 70 − sin 20 sin 70
0 0 0 0
1 + tan 15 0 0 (3) ( 3)(1 + tan 22 )(1 + tan 23 ) 0 1 − tan 15
4 4 4 π π π cos + α = cos cosα − sin sinα 4 4 π 4 4 tan −α = 4 1− tan π tanα 2011-10-3 两角和与差的正弦余弦正切公式 4 π tan
π
− tanα
13
例题1 例题1
3 已知 sin α = − ，α是第四象限角 , 求 5 sin(
2 2
化简 sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
2011-10-3 两角和与差的正弦余弦正切公式
简记作
S (α + β )
4
思考
sin(α − β ) =
推导１ 推导１
两角和与差的正弦余弦和正切公式市公开课一等奖省优质课获奖课件
新知导学
名称
简记符号
公式
使用条件
两角差的余弦
C(α－β)= cos αcos β ＋sin αsin β
任意角都成 cos(α－β)＝
立
温馨提示：公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名 函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．
新知探究
题型探究
感悟提升
第2页
互动探究 探究点 当α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cos α＋cos β成立．那么 当α、β∈R时，cos(α－β)＝cos α＋cos β恒成立吗？
55，sin
β＝3
10 10 .
∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝255× 1100＋ 55×31010＝ 22.
新知探究
题型探究
感悟提升
第13页
又sin α<sin β， ∴0<α<β<π2， ∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4.
[规律方法] 解答已知三角函数值求角这类题目，关键在于合理利 用公式并结合角范围，对所求解进行取舍，其关键步骤有两个： 一是求出所求角某种三角函数值，二是确定角范围，然后结合三 角函数图象就易求出角值．
cos
α2－β.然后利用两角差的余弦公式求cos
α＋β 2.
新知探究
题型探究
感悟提升
第8页
解 ∵α∈π2，π，β∈0，π2，
∴α－β2∈π4，π，α2－β∈－π4，π2，
∴sinα－β2＝
1－cos2α－β2＝
1－811＝4
9
5 .
cos α2－β＝
1－sin2α2－β
两角和与差的公式
两角和与差的公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β)) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C (α＋β)) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S (α－β)) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T (α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β (T (α＋β))2．二倍角公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T (α±β)可变形为tan α±tan β＝tan(α±β)(1tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan(α＋β)＝tan α－tan βtan(α－β)－1.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )(5)设sin 2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan 2α＝ 3.( √ )1．(2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) C ．－34 D ．－43 答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52. 化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于( )A ．－34 C ．－43 答案 B解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3， 则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 3．(2013·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.答案 －105解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13，即⎩⎪⎨⎪⎧3sin θ＝－cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，且θ为第二象限角， 解得sin θ＝1010，cos θ＝－31010. ∴sin θ＋cos θ＝－105.4．(2014·课标全国Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________． 答案 1解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ， ∴f (x )的最大值为1.题型一 三角函数公式的基本应用例1 (1)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3(2)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13， cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)等于( ) B ．－33D ．－69答案 (1)A (2)C解析 (1)由根与系数的关系可知 tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.故选A. (2)cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)． ∵0<α<π2， 则π4<π4＋α<3π4，∴sin(π4＋α)＝223. 又－π2<β<0， 则π4<π4－β2<π2， 则sin(π4－β2)＝63.故cos(α＋β2)＝13×33＋223×63＝539.故选C.思维升华 三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α等于( )C ．－35D ．－45(2)计算：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)＝________. 答案 (1)A (2)32解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17，∴tan α＝－34＝sin αcos α， ∴cos α＝－43sin α. 又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝925.又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35.(2)原式＝2cos 210°4sin 10°cos 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 20°sin 10° ＝cos 10°－2sin 20°2sin 10° ＝cos 10°－2sin(30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2sin 30°cos 10°＋2cos 30°sin 10°2sin 10°＝32.题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为( )(2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan(π4－x )sin 2(π4＋x )＝________. (3)求值：cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝________.答案 (1)B (2)12cos 2x (3)3解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos[90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22.故选B. (2)原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin(π4－x )cos(π4－x )·cos 2(π4－x ) ＝(2cos 2x －1)24sin(π4－x )cos(π4－x )＝cos 22x 2sin(π2－2x ) ＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x .(3)原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)已知α∈(0，π)，化简：(1＋sin α＋cos α)·(cos α2－sin α2)2＋2cos α＝________.(2)在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为________．答案 (1)cos α (2)3解析 (1)原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)·(cos α2－sin α2)4cos 2α2.因为α∈(0，π)，所以cos α2>0，所以原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)·(cos α2－sin α2)2cos α2 ＝(cos α2＋sin α2)·(cos α2－sin α2)＝cos 2α2－sin 2α2＝cos α.(2)因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan A ＋C2＝3，所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2＝tan ⎝⎛⎭⎫A 2＋C 2⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2＝3⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2＝ 3. 题型三 三角函数公式运用中角的变换例3 (1)已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.则sin(α－β)＝________，cos β＝________.(2)(2013·课标全国Ⅱ)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )答案 (1)－1010 95010 (2)A解析 (1)∵α，β∈(0，π2)，从而－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0， ∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，sin α＝35，∴cos α＝45. ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝91050. (2)因为cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos2⎝⎛⎭⎫α＋π42 ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2， 所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，选A.思维升华 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等．(1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( )或255或525(2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是________． 答案 (1)A (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525. (2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453， ∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453， ∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45.高考中的三角函数求值、化简问题典例：(1)若tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则2cos 2θ2－sin θ－12sin(θ＋π4)＝________.(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2 B ．2α－β＝π2 C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2(3)(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( ) A ．－53 B ．－59(4)(2012·重庆)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°等于( ) A ．－32 B ．－12思维点拨 (1)注意和差公式的逆用及变形．(2)“切化弦”，利用和差公式、诱导公式找α，β的关系． (3)可以利用sin 2α＋cos 2α＝1寻求sin α±cos α与sin αcos α的联系． (4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化． 解析 (1)原式＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θ1＋tan θ，又tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，即2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝－12或tan θ＝ 2. ∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π.∴tan θ＝－12，故原式＝1＋121－12＝3＋2 2.(2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)． ∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)， ∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2.(3)方法一 ∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13， ∴2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23. 又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝33>0， ∴2k π＋π2<α<2k π＋34π(k ∈Z )， ∴4k π＋π<2α<4k π＋32π(k ∈Z )， ∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53. 方法二 由sin α＋cos α＝33两边平方得1＋2sin αcos α＝13，∴2sin αcos α＝－23.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝153.由⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝33，sin α－cos α＝153，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝3＋156，cos α＝3－156.∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－53.(4)原式＝sin(30°＋17°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17° ＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.答案 (1)3＋22 (2)B (3)A (4)C温馨提醒 (1)三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式．(2)三角求值要注意角的变换，掌握常见的配角技巧．方法与技巧1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2， 配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 失误与防范1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的．3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )答案 C解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，所以 tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan(α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan(α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322. 2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )答案 D解析 由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2，又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74.同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.3．已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α的值为( ) A ．4 3C ．4答案 B解析 1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α＝2cos 2α＋8sin 2α2sin αcos α， ∵tan α＝4，∴cos α≠0，分子、分母都除以cos 2α得2＋8tan 2α2tan α＝654. 4．(2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于( )D ．22－1答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin(50°＋30°)－sin 40°cos 40° ＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3. 5．已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1答案 C解析 cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x )＝3cos(x －π6)＝－1.6． sin 250°1＋sin 10°＝________. 答案 12解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos(90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 答案 1解析 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β>0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.12°－3,(4cos 212°－2)sin 12°)＝________.答案 －43解析 原式＝3sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin(－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 9．已知 1＋sin α1－sin α－ 1－sin α1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合． 解 因为1＋sin α1－sin α－ 1－sin α1＋sin α ＝ (1＋sin α)2cos 2α－ (1－sin α)2cos 2α＝|1＋sin α||cos α|－|1－sin α||cos α| ＝1＋sin α－1＋sin α|cos α|＝2sin α|cos α|，所以2sin α|cos α|＝－2tan α＝－2sin αcos α.所以sin α＝0或|cos α|＝－cos α>0.故α的取值集合为{α|α＝k π或2k π＋π2<α<2k π＋π或2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }．10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310.B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos(α－π4)等于()A ．－255B ．－3510C ．－31010答案 A 解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos(α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.12．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )答案 D解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14， ∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，∴cos 2α＝14， ∴cos α＝12或－12(舍去)，∴α＝π3，∴tan α＝ 3.13．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝________. 答案 7210解析 因为sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45， 又由θ∈(0，π4)，得2θ∈(0，π2)，所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝35， 所以sin(2θ＋π4) ＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝45×22＋35×22＝7210.14．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0. (1)解 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明 由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0，∵0<α<β≤π2，∴β＝π2，∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.15．已知f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x －2sin(x ＋π4)·sin(x －π4)．(1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈[π12，π2]，求f (x )的取值范围．解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4· cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12.由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45. cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以，f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤5π4. 所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12， 所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12.。
【公开课】两角和与差的正弦、余弦和正切公式(2)课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
sin( ) sin cos sin cos
知识点二 两角和与差的的正切公式
问题３ 你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从两角和与差的正弦，余弦
公式出发，推导出用任意角 ， 的正切表示tan( )，tan( )的公式吗？
tan(
换元
运算
替换为( ) ( )
T ( ) 替换为( )
C s
sin(
)
cos
2
(
)
tan( ) tan tan 1 tan tan
公式
S(
)
，
C (
)
，T(
)
给出了任意角
，
的三角函数值与其和角
+ 的三角函数值之间的关系．为方便起见，我们把这三个公式都叫做和
追问 3.1：如何用任意角 ， 的正切表示tan( )？
tan( )=1tantanttaann .
三、两角和与差的正切公式
两角和与差的正切公式，简记作T（α+β)与T(α-β)
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
2
追问1.3：基于上述差异与联系，如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？
cos(
)
cos
(
)
cos cos()sinsin()
cos cos sin sin .
一、两角和的余弦公式
两角和的余弦公式，简记作C(α+β).
cos( ) cos cos sin sin
知识点二 两角和与差的的正弦公式
解：由 cos 4 ， 是锐角，
两角和与差的正弦、余弦正切公式
两角和与差的正弦、余弦正切公式两角和与差公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =Atan 12tanA 2- Sin2A=2SinA•CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A半角公式 sin(2A )=2cos 1A -cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2b a - tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb =21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)] 其它公式 a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=ab ] 熟记并理解各公式，并能熟练的运用各公式在具体题型中的运用。
必修4课件：3-1-2-2 两角和与差的正切 公开课一等奖课件
∈Z)
．
2．推导tan(α－β)的公式，既可以用tan(α－β)＝ sinα－β ，也可以将tan(α－β)变换为tan[α＋(－β)]．自己写出 cosα－β tanα－tanβ 推证过程，结果为tan(α－β)＝ 1＋tanαtanβ .使此表达式有意 π 义的α、β、α－β，均不等于 kπ＋2(k∈Z) ．
1＝13. 1＋－3×4
1 1 tan(α－β)＝ ，tanβ＝ ，则tanα＝( 2 3 A．1 1 C. 5 1 B.7 5 D. 7
)
[答案] A
[解析] tanα＝tan[(α－β)＋β] 1 1 ＋ tanα－β＋tanβ 2 3 ＝ ＝ ＝1. 1 1 1－tanα－βtanβ 1－ × 2 3
[点评]
在利用三角函数值求角的大小要注意角的范围，
防止多解或漏解．
1 已知tanx＝ 4 ，tany＝－3，则tan(x＋y)＝________，tan(x －y)＝________.
[答案] 11 －7 13
1 －3 tanx＋tany 4 [解析] tan(x＋y)＝ ＝ 1 1－tanxtany 1－4×－3 11 ＝－ 7 . tanx－tany tan(x－y)＝ ＝ 1＋tanxtany 1 4＋3
3．同角间三角函数关系 (1)平方关式________． (2)商式关系：________.
[答案] (1)sin2α＋cos2α＝1
sinα (2)tanα＝cosα
4．求值：(1)cos44° sin14° －sin44° cos14° ＝________； (2)sin(54° －x)cos(36° ＋x)＋cos(54° －x)sin(36° ＋x)＝ ________. [分析] 运用S(α±β)． (1)符合S(α－β)，(2)符合S(α＋β)的结构特征，可直接
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)
归纳与技巧：两角和与差的正弦、余弦和正切公式基础知识归纳1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．常用的公式变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4.基础题必做1． 若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选Dsin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. 2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( )A ．－22B.22C.32D ．1解析：选B 原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22. 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )A ．－53 B ．－19C.19D.53解析：选B cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19.4．(教材习题改编)若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________ 解析：由已知条件sin α＝－1－cos 2α＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝－7210. 答案：－72105．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝25，则tan α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝25， 即5tan α＋5＝2－2tan α. 则7tan α＝－3，故tan α＝－37.答案：－37解题方法归纳1.两角和与差的三角函数公式的理解：(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．三角函数公式的应用 典题导入[例1] 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2. (2)∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65， ∴2sin α＝1013，2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝65. 即sin α＝513，cos β＝35.∴cos α＝1213，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝1665.解题方法归纳两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．以题试法1．(1)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________.(2) 已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－17C ．－43D ．－7 解析：(1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45. ∴原式＝－75.(2)依题意得，sin α＝255，故tan α＝2，tan 2α＝2×21－4＝－43，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝1－431＋43＝－17. 答案：(1)－75 (2)B三角函数公式的逆用与变形应用典题导入[例2] 已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2cos 2x2－3sin x ＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，∴周期T ＝2π，f (x )的值域为[－1,3]．(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13. ∵α为第二象限角，∴sin α＝223. ∴cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.解题方法归纳运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．以题试法2．(1) 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋cos α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为( ) A.45 B.35 C.32D.35(2)若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．解析：(1)由条件得32sin α＋32cos α＝435， 即12sin α＋32cos α＝45. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45. (2)－1＝tan 3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β. ∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2，即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 答案：(1)A (2)2角 的 变 换 典题导入[例3] (1) 若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.(2) 设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． [自主解答] (1)由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2.故tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43.(2)因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425， cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝2425×22－725×22＝17250. [答案] (1)43 (2)17250解题方法归纳1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； 2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3．常见的配角技巧： α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)； α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]； π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α；α＝π4－⎝⎛⎭⎫π4－α.以题试法3．设tan ()α＋β＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.1318 B.1322 C.322D.16解析：选C tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322.1． 设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选A 由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3.2． 已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1解析：选C cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－1. 3． 已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( ) A.14 B ．－14C.12D ．－12解析：选A 依题意得，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝14.4．已知函数f (x )＝x 3＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为4，则函数g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x 的最大值和最小正周期为( )A ．1，πB ．2，π C.2，2πD.3，2π解析：选B 由题意得f ′(x )＝3x 2＋b ， f ′(1)＝3＋b ＝4，b ＝1. 所以g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 故函数的最大值为2，最小正周期为π. 5． 设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin ()α＋β＝35，则cos β＝( ) A.2525B.255C.2525或255D.55或525 解析：选A 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α、β均为锐角，因此0<α<α＋β<π， cos α>cos(α＋β)，注意到45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525.6．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53解析：选A 将sin α＋cos α＝33两边平方，可得1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝53.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－153，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)·(cos α＋sin α)＝－53. 7． 满足sin π5sin x ＋cos 4π5cos x ＝12的锐角x ＝________.解析：由已知可得 cos 4π5cos x ＋sin 4π5sin x ＝12，即cos ⎝⎛⎭⎫4π5－x ＝12，又x 是锐角，所以4π5－x ＝π3，即x ＝7π15.答案：7π158．化简2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝________. 解析：原式＝tan(90°－2α)·12sin 2αcos 2α＝sin (90°－2α)cos (90°－2α)·12sin 2αcos 2α ＝cos 2αsin 2α·12sin 2αcos 2α＝12. 答案：129． 已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.解析：依题设及三角函数的定义得： cos β＝－13，sin(α＋β)＝45.又∵0<β<π，∴π2<β<π，π2<α＋β<π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－35×⎝⎛⎭⎫－13＋45×223 ＝3＋8215.答案：3＋821510．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，求tan 2α和sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值． 解：∵tan α＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43，且sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴5sin 2α＝1，而α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝55，cos α＝255. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×255＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝45－15＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 11．已知：0<α<π2<β<π，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45. (1)求sin 2β的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值．解：(1)法一：∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin β＝22cos β＋22sin β＝13， ∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin 2β＝29，∴sin 2β＝－79. 法二：sin 2β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2β＝2cos 2⎝⎛⎭⎫β－π4－1＝－79. (2)∵0<α<π2<β<π， ∴π4<β<－π4<34π，π2<α＋β<3π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4>0，cos (α＋β)<0. ∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin (α＋β)＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝223，cos (α＋β)＝－35. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos (α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝－35×13＋45×223＝82－315. 12． 函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π－x 2，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (α)＝2105，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值． 解：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π－x 2＝sin x 2＋cos x 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4， 故f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π. (2)由f (α)＝2105，得sin α2＋cos α2＝2105， 则⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＝⎝⎛⎭⎫21052， 即1＋sin α＝85，解得sin α＝35，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α＝1－sin 2α＝ 1－925＝45， 故tan α＝sin αcos α＝34， 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝34＋11－34＝7.1．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ⎝⎛⎭⎫1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( ) A ．1B.110 C ．1或110 D ．1或10解析：选C tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg (10a )＋lg ⎝⎛⎭⎫1a 1－lg (10a )·lg ⎝⎛⎭⎫1a ＝1⇒lg 2a ＋lg a ＝0， 所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110. 2．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：123．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95， 即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45.又2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43. (2)∵β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，β－π4∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45， 于是sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫β－π4cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425. 又sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝－cos 2β， ∴cos 2β＝－2425， 又∵2β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin 2β＝725， 又∵cos 2α＝1＋cos 2α2＝45⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴cos α＝255，sin α＝55. ∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝255 ×⎝⎛⎭⎫－2425－55×725＝－11525.1． 已知函数f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π.(1)求f (x )的零点；(2)求f (x )的最大值和最小值．解：(1)令f (x )＝0，得sin x ·(3sin x ＋cos x )＝0， 所以sin x ＝0或tan x ＝－33. 由sin x ＝0，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，得x ＝π；由tan x ＝－33，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，得x ＝5π6. 综上，函数f (x )的零点为5π6，π.(2)f (x )＝32(1－cos 2x )＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3. 所以当2x －π3＝2π3，即x ＝π2时，f (x )的最大值为3； 当2x －π3＝3π2，即x ＝11π12时，f (x )的最小值为－1＋32. 2．已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值； 解：∵0<β<π2<α<π， ∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2<π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β ＝ 1－⎝⎛⎭⎫232＝53，sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2 ＝ 1－⎝⎛⎭⎫－192＝459. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527. ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.。
3.1.2第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式 课件
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑- 思考内化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
超级记忆法
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
超级记忆法-记忆规律
记忆前
第三章 三角恒等变换
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切 公式
第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式
第三章 三角恒等变换
学习导航
学习目标
结合两角差 的余弦公式
―理―解→
两角和与差的正弦、 余弦推导过程及各 公式之间的联系
―掌―握→
两角和与差的正弦、 余弦公式的应用
重点难点 重点：公式的正用、逆用及变式应用． 难点：灵活运用公式解决相关的求值、化简．
＝12sin x＋ 23cos x＋sin x－ 3cos x＋ 23cos x－32sin x
＝(12＋1－32)sin x＋( 23－
3＋
3 2 )cos
x＝0.
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
(2)原式＝sin[α＋β＋α]s－in 2αcosα＋βsin α
＝sinα＋βcos
α－cosα＋βsin sin α
＝csions 8100°°＝1.
第三章 三角恒等变换
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
小案例—哪个是你
两角和差的正弦余弦正切公式
两角和差的正弦余弦正切公式两角和差的正弦、余弦、正切公式是解决三角函数的运算中的常用工具。
它们可以通过已知两个角的三角函数值来求解它们的和或差的三角函数值。
这些公式在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
下面将详细介绍这些公式，以及它们的推导和应用。
1.两角和差的正弦公式sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)其中A和B为任意两个角。
为了推导这个公式，我们可以使用三角函数的和差角公式：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)通过观察可以发现，两角和差的正弦公式可以通过将cos(A ± B)公式正负号变化得到。
2.两角和差的余弦公式cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)其中A和B为任意两个角。
可以看到，这个公式可以通过将sin(A ± B)的公式正负号变化得到。
3.两角和差的正切公式tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B))/(1 ∓ tan(A)tan(B))其中A和B为任意两个角。
这个公式可以通过两角和差的正弦公式和余弦公式相除得到。
使用公式sin(A)/cos(A) = tan(A)和cos(A)cos(B) -sin(A)sin(B)=cos(A+B)得到。
这些公式在解决三角函数运算中有着广泛的应用。
例如，我们可以将它们用于证明或求解三角恒等式。
以下是一些常见的应用示例：1.求两个特定角的正弦、余弦或正切值的和或差的问题。
例如，已知sin(A) = 0.6，cos(B) = 0.8，求sin(A+B)的值。
根据两角和差的正弦公式，我们可以有：sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)= 0.6*0.8 + cos(A)*sin(B)如果我们已经知道了cos(A)和sin(B)的值，就可以计算出sin(A+B)的值。
第5课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3 1 4 2 2 8 2－3 ＝－ × ＋ × ＝ . 5 3 5 3 15
工具
第三章
三角函数
栏目导引
1．理解和运用两角和与差的三角函数公式需注意的几个问题 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系 ①掌握好公式的内在联系及其推导过程，能帮助我们理解和记忆公 式，是学好这部分内容的关键． ②诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情况，α、β 中若有 π 的整数倍角时，使用诱导公式更灵活、简便． 2
(3)角的变换 α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)， 2β＝(α＋β)－(α－β)．
工具
第三章
三角函数
栏目导引
2．理解和运用二倍角公式需注意的几个问题 (1)掌握二倍角公式与两角和公式之间的内在联系能帮助我们理解 与记忆公式． (2)公式的逆用及有关变形 1－cos 2α 1＋cos 2α 2 sin α＝ ；cos α＝ (降幂公式)； 2 2
工具
第三章
三角函数
栏目导引
5 又 β 为第一象限角，cos β＝ ， 13 12 12 ∴sin β＝ 1－cos β＝ ，tan β＝ ， 13 5
2
24 12 －7－5 204 ∴tan(2α－β)＝ ＝ . 24 12 253 1＋－ 7 × 5
工具
第三章
三角函数
栏目导引
sin 50° 1＋ 3tan 10° －cos 20° 求值： . cos 80° 1－cos 20°
1 2× 2 2tan α 4 解析： tan 2α＝ ＝ ＝ . 12 3 1－tan2α 1－2
π 4 ∵α∈0，2，2α∈(0，π)，tan 2α＝3＞0， π ， 0 ， ∴2α∈ 2
第3章3.1-3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件人教新课标
＝－ 23cos(θ＋15°)＋12sin(θ＋15°)＋cos( θ＋45°) ＝sin(θ－45°)＋cos(θ＋45°)＝0. 答案：0
5．tan 105°＝________． 解析：因为 105°＝60°＋45°，
因为 0＜α＜π2 ，则π4 ＜π4 ＋α＜3π 4 ，
所以
sinπ4 ＋α＝23
2 .
π
ππβπ
又－ 2 ＜β＜0，则 4 ＜ 4 － 2 ＜ 2 ，
则
sinπ4 －β2＝
6 3.
故
cosα＋β2＝13×
33＋2 3 2×
36＝5
9
3 .
答案：C
类型 3 给值求角(互动探究)
[典例 3] 已知 cos α＝17，sin(α＋ β)＝51413，0＜α
sin βcos(α＋ β )－cos βsin(α＋ β )＝ sin[ β－(α＋ β )]＝sin(－α)＝－sin α.
3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进 行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角 之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．
所以 sin β＝sin [(α＋ β )－α]＝ sin(α＋ β )cos α－cos(α＋ β )sin α＝ 5143×17－－1114×47 3＝ 23. 又因为π2＜ β ＜π，所以 β＝23π.
归纳升华 1．解答此类问题的关键是找出已知角和所求角之间 的联系，解答此类问题最容易出错的地方是求角的范围． 2．此类问题的解题步骤：(1)讨论角的范围；(2)求出 指定范围内的三角函数值；(3)根据已知角与未知角的关 系拆分角，进一步利用公式求解．