全国数学竞赛预赛试题分类：数列
2024年全国高中数学联赛北京赛区预赛一试试题(解析版)
2024年全国高中数学联赛北京赛区预赛一试试题考试时间:8:00-9:20填空题(1-8题每题8分，第9题16分，第10，11题每题20分，共120分)1．设整数集合{}12345A a a a a a =，，，，，若A 中所有三元子集的三个元素之积组成的集合为{}30,15,10,6,5,3,26,10,15B =------，，则集合A =.2．已知函数()201ln 102x x f x x x +<⎧⎪=⎨⎛⎫+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，，若关于x 的方程()()f f x m =恰有三个不相等的实数根123,,x x x 且满足123x x x <<，则()1229ln 4x x ++的取值范围是.3．从1,2,,2024 中任取两个数()a b a b ≤，，则37a b +的值中，个位数字为8的数有个.4．设复数z 满足32i 6z -=，令21107457iz z z z -+=-+，则1z 的最大值是.5．已知函数()*,1,,,N ,,,x x f x q q x p q p q p q p p ⎧⎪=+⎨=∈>⎪⎩若为无理数若其中且互质，则函数()f x 在区间89,910⎛⎫ ⎪⎝⎭上的最大值为.6．对于0c >，若非零实数a b ，满足224240a ab b c -+-=，且使2a b +最大，则342a b c -+的最小值为.7．已知函数()44cos sin sin4f x x x a x b =++-，且π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数.若方程+=0在[]0,π上有四个不同的实数解1234，，，x x x x ，则12344x x x x f +++⎛⎫ ⎪⎝⎭的平方值为.8．已知{}1,2,,2625A ⊆ ，且A 中任意两个数的差的绝对值不等于4，也不等于9，则A 的最大值为.9．设多项式202320240()i i f x x cx ==+∑，其中{}1,0,1i c ∈-.记N 为()f x 的正整数根的个数（含重根）.若()f x 无负整数根，N 的最大值是.10．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 上的一点，且11,A EF =为截面1A BD 上的动点，则AF FE +的最小值等于.11．数列{}n a 定义如下：设()()2!!2024!n n n +写成既约分数后的分母为(),n A n a 等于()2A n 的最大质因数，则n a 的最大值等于.2024年全国高中数学联赛北京赛区预赛二试试题考试时间:9:40-12:3012．设,,a b c 是三个正数，求证：++13．如图所示，锐角ABC V 的三条高线AD ，BE ，CF 交于点H ，过点F 作//FG AC 交直线BC 于点G ，设 CFG 的外接圆为O O ，与直线AC 的另一个交点为P ，过P 作//PQ DE 交直线AD 于点Q ，连接OD ，OQ .求证:OD OQ =.14．有n 个球队参加比赛，球队之间的比赛计划已经安排好了.但是每场比赛的主场客场还没有分配好.这时每个球队都上报了自己能够接受的客场比赛的最大次数.最终组委会发现这些次数加在一起恰好是比赛的总场次，并且组委会还发现任意挑出若干支球队，他们能够接受的客场次数之和都要大于等于他们之间的比赛总场次.请问组委会能否安排好主客场使得每支球队都满意，请证明你的结论.15．设12n a a a ，，，为n 个两两不同的正整数且12n a a a 恰有4048个质因数.如果12n a a a ，，，中任意多个数相乘均不是一个整数的4049次方，求n 的最大值.1．{}2,1,1,3,5--【分析】依据总的乘积，绝对值最大的乘积，绝对值最小的乘积去分析集合A 中的各元素即可.【详解】A 中所有三元子集共有35C 10=个，A 中的每个元素在这些三元子集中均出现了10365⨯=次，故()()()()()()()612345301510653261015a a a a a =-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯，1234530a a a a a =，因为集合B 中的元素有6个负数4个正数，故集合A 中的元素有2个负数3个正数，所以1234530a a a a a =，不妨设12345a a a a a ≤≤≤≤，三个元素之积绝对值最大时，34530a a a =-，121a a =-，又A 为整数集合，所以11a =，21a =-或者11a =-，21a =；三个元素之积绝对值最小时，1232a a a =，又121a a =-，所以32a =-，4515a a =，因为集合A 中的元素有2个负数3个正数，故4a 、5a 均为正整数，所以43a =，55a =，故{}2,1,1,3,5A =--.故答案为：{}2,1,1,3,5--.【点睛】关键点点睛：本题考查集合的子集，关键是理解题目的意思，并从“总的乘积，绝对值最大的乘积，绝对值最小的乘积”这些不同的角度去分析集合A 中的各元素.2．11,1ln 22ln 2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】求出嵌套函数解析式4,2,1(())ln 2,20,211ln ln 11,022x x f f x x x x x ⎧⎪+<-⎪⎪⎪⎛⎫=+-≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎤⎛⎫++≥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩，作出其图象，得到0ln 2m ≤<，化简得()121ln 229221ln 4ln 2x x m ⎛⎫- ⎪+=- ⎪++ ⎪⎝⎭，设右边为新函数，根据其单调性得到范围.【详解】当2x <-时，则20x +<，则()()224f f x x x =++=+，当20x -≤<时，022x £+<，则()()()11ln 21ln 222f f x x x ⎡⎤⎛⎫=++=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当0x ≥时，()()11ln ln 1122f f x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即4,2,1(())ln 2,20,211ln ln 11,022x x f f x x x x x ⎧⎪+<-⎪⎪⎪⎛⎫=+-≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎤⎛⎫++≥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩方程(())f f x m =恰有三个不相等的实数根等价于直线y m =与函数(())y f f x =的图象有三个不同交点，因此0ln 2m ≤<.此时14x m +=且21ln 22x m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则14x m =-，()2ln 4ln 2x m +=+，从而()121ln 22921221ln 4ln 2ln 2x m x m m ⎛⎫- ⎪++==- ⎪+++ ⎪⎝⎭，设()1ln 2221ln 2h m m ⎛⎫- ⎪=- ⎪+ ⎪⎝⎭，则其在[0,ln 2)上单调递增，因此()1229ln 4x x ++的取值范围是11,1ln 22ln 2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,1ln 22ln 2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用分段函数的解析式求出()()y f f x =的表达式，然后利用转化法、数形结合思想进行求解.。
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 数列 真题汇编与预赛典型例题(解析版)
专题01数列真题汇编与预赛典型例题1．【2018年全国联赛】设整数数列满足，且，则这样的数列的个数为.【答案】80【解析】设，则有，①.②用t表示中值为2的项数.由②知t也是中值为2的项数，其中t∈{0，1，2，3}.因此的取法数为.取定后，任意指定的值，有22=4种方式.最后由①知，应取使得为偶数，这样的b1的取法是唯一的，并且确定了整数a1的值，进而数列唯一对应一个满足条件的数列.综上可知，满足条件的数列的个数为20×4=80.2．【2017年全国联赛】设两个严格递增的正整数数列满足,对任意正整数n,有。
则的所有可能值为___________。
【答案】13、20【解析】由条件，知均为正整数，且。
由于，故.反复运用数列的递推关系知，。
而，故①注意到，则②当时，式①②分别化为无解。
当时，式①②分别化为得到唯一的正整数，此时。
当时，式①②分别化为：，得到唯一的正整数此时综上，的所有可能值为13、20。
故答案为：13、203．【2016年全国联赛】设为1，2，…，100中的四个互不相同的数，满足.则这样的有序数组的个数为________. 【答案】40【解析】由柯西不等式知，等号成立的充分必要条件为:，即成等比数列.于是，问题等价于计算满足的等比数列的个数.设等比数列的公比，且.记，其中，m、n为互素的正整数，且.先考虑的情形.此时，.注意到，互素，故.相应地，分别等于，它们均为正整数.这表明，对任意给定的，满足条件并以q为公比的等比数列的个数，即为满足不等式的正整数l的个数，即.由于，故仅需考虑的情形，相应的等比数列的个数之和为.当时，由对称性，知亦有20个满足条件的等比数列.综上，共有40个满足条件的有序数组4．【2014年全国联赛】已知数列满足.则___________.【答案】【解析】由题意知记数列的前n项和为.则.上面两式相减得故.5．【2013年全国联赛】已知数列共有九项，其中，，且对每个，均有.则这样的数列的个数为______.【答案】491【解析】令.则对每个符合条件的数列，满足条件，且.反之，由符合上述条件的八项数列可唯一确定一个符合题设条件的九项数列.记符合条件的数列的个数为.显然，中有；从而，有个2，个1.当给定时，的取法有种，易见的可能值只有0、1、2，故.因此，由对应原理，知符合条件的数列的个数为491.6．【2011年全国联赛】已知.则数列中整数项的个数为______. 【答案】15【解析】注意到.要使为整数，必有均为整数，即.当时，均为非负整数.所以，为整数，共有14个.当时，，在中，中因数2的个数为.同理，可计算得中因数2的个数为82，中因数2的个数为110.故中因数2的个数为.从而，是整数.当时，.同理，中因数2的个数小于10.从而，不是整数.因此，整数项的个数为.故答案为：157．【2010年全国联赛】已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，，且存在常数使得对每一个正整数都有.则________.【答案】【解析】设的公差为的公比为.则解得.从而对一切正整数都成立.于是，.解得.8．【2019年全国联赛】设整数满足.记.求f的最小值.并确定使f=f0成立的数组的个数.【答案】答案见解析【解析】取最小值时.每个或1，.设中，n有个.则任意.令，则.由隔板法的解数为.因此所求有个，最小值.9．【2018年全国联赛】已知实数列满足：对任意正整数n，有，其中S n表示数列的前n项和，证明：（1）对任意正整数n，有；（2）对任意正整数n，有.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.。
高中数学竞赛5数列部分参考答案
全国高中数学联赛试题分类汇编5.数列部分参考答案2019B 8.◆答案：5★解析：设{}n a 的公差为d ．由条件知12k a a a +=（k 是某个正整数），则()1121a d a k d +=+-，即()12k d a -=，因此必有2k ≠，且12a d k =-． 这样就有()111112n n a a n d a a k -=+-=+-，而此时对任意正整数n ，()()()()1211111222n n n n n a a a na d a n k d --⎡⎤+++=+=+--+⎢⎥⎣⎦，确实为{}n a 中的一项．因此，仅需考虑使()12|k a -成立的正整数k 的个数．注意到20193673=⨯，易知2k -可取1,1,3,673,2019-这5个值，对应得到5个满足条件的等差数列．2019B 二、★证明：由条件可知4k ≥，且3212112kk k k d d d d d d d d -----=--……………10 分 易得11,k d d n ==，12k nd d -=，23k nd d -=，代入上式得3222123nn d d d n n d d d d --=--， 即()()2232231d d d d -=-，由此可知3d 是完全平方数．由于2d p =是n 的最小素因子，3d 是平方数，故只能23d p =． ………………30 分 从而序列21321,,,k k d d d d d d ----为232121,,,,k k p p p p p p p ------，即12,,,k d d d为211,,,,k p p p -，而此时相应的n 为1k p -.综上可知，满足条件的n 为所有形如a p 的数，其中p 是素数，整数3a ≥．………40分。
2018A 8、◆答案：80★解析：记{}2,11∈-=+i i i a a b （9,,2,1 =i ），则有92111012b b b a a a +++=-= ① 7655825432b b b a a a a b b b ++=-=-=++②下面用t 表示432,,b b b 中2的项数。
2023全国高中数学联赛山东省预赛试题(答案)
2023全国数学联赛山东省预赛试题（答案）一、填空题（每小题8分，共80分）1、已知},33811|{1Z x x A x ，},032|{N x x x x B ，则集合},,|{B y A x xy m m C 的元素个数是答案：7解析：由已知得}2,1,0,1,2{ A ，}2,1,0{ B ，所以}4201124{，，，，， C 2、已知：3tan sin 41))2,0((，则 是答案：18解析：由已知得)6sin (22sin 2，所以易得183、已知关于x 的方程023 c b x a x x 的三个非零实数根成等比数列，则33b c a 的值是答案：0解析：设这三个根是2,,dq dq d ，则由韦达定理得c qd b q d q d q d adq dq d 33322222整理得c ab3)(，所以033 b c a 4、正方体1111D C B A ABCD 的底面1111D C B A 内有一个动点M ，且CAD BM 1//平面，则MD D 1tan 的最大值是答案：2解析：由已知点M 在线段11C A 上运动，所以2tan 111MD DD MD D ，且当点M 是11C A 中点时等号成立.5、数列}{n a 中，11 a ，),2,1(211na a nn ，那么n a 答案：),2,1(1)2(32na nn 解析：由递推关系得)1(211nnn a a a ，)2(121nnn a a a 所以2122111n n n n a a a a ，所以nn n n a a a a )2(21)2(21111 所以),2,1(1)2(32na nn6、已知0,, z y x ，则zy x x zz yy xf539164222222的最小值是答案：55解析：由柯西不等式得y x y x24122，z y z y441422，xz x z8411622所以zy x x zz yy xf539164222222555539842）（z y x xz z y y x 且当x z y 2 时取等号7、设ABC 的内心为I ，而且满足0652 IC IB IA ，则B cos 的值是答案：85解析：设ABC 的三边长为c b a ,,，由熟悉的结论：0 IC c IB b IA a 得6:5:2:: c b a ，所以85cosB 8、已知双曲线H ：221x y 上第一象限内一点M ，过M 的作H 的切线l ，与双曲线H 切于M ，交H 的渐近线于P ，Q 两点（P 在第一象限），R 与Q 在同一渐近线上.则RP RQ的最小值为.答案：21解析：设点00(,)M xy ，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则00:10l x x y y .02121=x y y x x y 且2211222200x y x y ，12211221212x x y y y y x x，注意到02121=x y y x x y 1201222x x y y y x1201222x x y y y x即M 为PQ 的中点.222221111||||4444RP RQ RM P Q P OP QO Q.考虑到M 在第一象限，故22O Q21142RP RQ O Q9、小张参加一次十道选择题的测试，做对一道得一分，做错一道扣一分，不做得零分．他的目标是至少得7分，7分及格．小张现在确定他前六道题的答案是正确的，而剩下的每道题做对的概率为21，小张应该做______多少道题，及格的概率最大答案：7或9解析：做对6道题．再做一道题及格的概率为1P p ，再做两道题及格的概率为22P p ，再做三道题及格的概率为322233(1)(32)P p C p p p p ，再做四道题及格的概率为433344(1)(43)P p C p p p p ．显然1234P P P P ，．因此，只需比较1P 与3P 的大小．当13P P ，即2(32)pp p时，解得112p ．因此，当112p 时，13P P ，此时回答九道题及格的概率最大；当102p 时，13P P ，此时回答七道题及格的概率最大；当12p 时，13P P ，此时回答七道题或回答九道题及格的概率最大10、设实数y x ,使得y x ，22y x ，33y x 均为素数，则y x 的值是答案：3解析：设p y x ，q y x22，r y x 33，期中r q p ,,都是素数，pq yx y xy x22所以)(21p pq x，)(21p pq y代入r y x 33整理得)4(332p rp q故23|q p ，所以3 p 或q p ，经检验只能3 p 二、解答题（共70分）11、（本题15分）已知：O 是ABC 的外心，E D ,分别是边AB AC ,上的点.线段CE BD DE ,,的中点分别为R Q P ,,.DE OH垂足为H .求证：H R Q P ,,,四点共圆证明：设ADE 的三个内角分别为E D A ,,，ABC 的外接圆半径为R 由ACRP AB QP//,//知EQPH sinsin，A QPR sinsin ，DHPR sinsin又2,2CD PRBE PQ ，故HR Q P ,,,四点共圆 QPRPHQPH PR RPH PQ sinsin sinAPHECD DBE sin sin 2sin 2DEPH AD CD AE BE 2 )()()()(2222EHDH EH DH ODRDER2222EHDH OE ODDEOH得证12、（本题15分）在区间)2,2(32n n 中任取1212 n 个奇数.求证：在所取出的数中，必有两个数，其中一个数的平方不能被另一个数整除.13、（本题20分）已知：c b a ,,为正实数.证明：)(9)2)(2)(2(222ca bc ab c b a 证明：由抽屉原理，c b a ,,中必有两个数同时不大于1，或同时比小于1，设为b a ,则由0)1)(1(22 b a 得22221b a b a 所以)2)(422()2)(2)(2(22222222 c b a b a c b a )11)(1(3222c b a 2)(3c b a )(9ca bc ab 14、（本题20分）1010 的表格上填入1到100，第i 行第j 列填入j i )1(10.每次操作如下：取一个格子，或者将此格数字减少2，将两个相对的邻格同时加1；或者将此格数字增加2，将两个相对的邻格同时减1.证明：如果经过一些步骤后表格中又得到1到100的数字，则它们是按原来的顺序排列的.证明：设一开始填数字k 的格子为k a ，令 1001i iia A 则A 在操作中是不变量，始终为33835010012 i i 又因此数为表格中1到100所能得到的最大值，故等号成立，所以顺序不变.。
数学竞赛预赛试题及答案
数学竞赛预赛试题及答案试题一：代数问题题目：解下列方程组：\[ \begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases} \]答案：首先将方程①和方程②相加，得到3x = 6，解得x = 2。
将x = 2代入方程①，得到y = 3。
因此，方程组的解为：\[ \begin{cases}x = 2 \\y = 3\end{cases} \]试题二：几何问题题目：已知直角三角形ABC，其中∠A为直角，AB = 6，AC = 8，求斜边BC的长度。
答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度可以通过以下公式计算：\[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]所以，斜边BC的长度为10。
试题三：数列问题题目：数列1, 1, 2, 3, 5, 8, ... 被称为斐波那契数列。
求第10项的值。
答案：斐波那契数列的定义是每一项都是前两项的和。
已知第9项为34，第8项为21，第7项为13，第6项为8，第5项为5，第4项为3，第3项为2，第2项为1，第1项为1。
根据定义，第10项为第8项和第9项的和，即：\[ 34 + 21 = 55 \]所以，斐波那契数列的第10项是55。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，求抽到红球的概率。
答案：总共有8个球，其中5个是红球。
抽到红球的概率是红球数量除以总球数，即：\[ P(\text{红球}) = \frac{5}{8} \]试题五：组合问题题目：有7个人参加一个会议，需要选出3个人组成一个委员会。
求不同的委员会组合数。
答案：这是一个组合问题，可以用组合公式计算：\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]其中n是总人数，k是委员会的人数。
将数值代入公式，得到：\[ C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \]所以，可以组成35种不同的委员会组合。
2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题(含答案)
2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。
若A B ⊆，则实数m 的取值范围为 。
2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=，则这样的函数有_______个。
3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。
4.已知数列{}n x满足：11,12n x x x n +==≥，则通项n x =__________。
5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，1,60BC BDC =∠=，则球心到平面BDC 的距离为______________。
6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=，则z =__________________。
7.已知平面上单位向量,a b 垂直，c 为任意单位向量，且存在(0,1)t ∈，使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直，则a b c +−的最小值为__________________________。
8. 若对所有大于2024的正整数n ，成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑，则12024a a +=_________。
9.设实数,,(0,2]a b c ∈，且3b a ≥或43a b +≤，则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。
10.在平面直角坐标系xOy 上，椭圆E 的方程为221124x y +=，1F 为E 的左焦点；圆C 的方程为222())x a y b r −+−=（ ，A 为C 的圆心。
直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。
则当1OAF ∠最大时，实数r =_____________________。
竞赛中的数列问题
竞赛中的数列问题【实用版】目录1.竞赛中的数列问题概述2.数列问题的分类3.数列问题的解题技巧4.实例解析5.总结与展望正文【1.竞赛中的数列问题概述】在各类数学竞赛中，数列问题是一个重要的题型，它涉及的知识点广泛，题型多样，既能考查学生的基本运算能力，也能考查学生的思维能力和创新能力。
数列问题主要围绕等差数列、等比数列及其性质、求和公式、通项公式等知识点展开。
【2.数列问题的分类】数列问题主要分为以下几类：（1）等差数列问题：主要涉及等差数列的性质、求和公式、通项公式等。
（2）等比数列问题：主要涉及等比数列的性质、求和公式、通项公式等。
（3）混合数列问题：涉及等差数列与等比数列的结合，需要运用分类讨论的思想进行求解。
（4）数列的极限问题：涉及数列的收敛性、发散性、极限等概念。
【3.数列问题的解题技巧】（1）熟练掌握等差数列、等比数列的性质和公式，这是解决数列问题的基本功。
（2）善于运用分类讨论的思想，对于混合数列问题，要能够根据题目条件进行分类讨论，寻找解题思路。
（3）对于数列的极限问题，要能够运用数列的收敛性、发散性、极限等概念进行分析。
【4.实例解析】例题：已知数列{an}满足 an=2an-1+3an-2（n≥2），求数列{an}的前n 项和。
解：根据题目条件，我们可以判断这是一个等差数列问题。
首先，根据 an 的表达式，我们可以得到 an-2 和 an-1 的关系：an-2=2an-3+3an-4，进一步可以得到 an-3 和 an-2 的关系：an-3=2an-4+3an-5，以此类推，我们可以得到：an-k=2an-k-1+3an-k-2（k≥2）将上述各式相加，可以得到：an=2(an-1+an-2+...+an-k)+3(an-1+an-2+...+an-k-1)根据等差数列的求和公式，我们可以得到：an=2(n-k)an-k/2+3(n-k-1)an-k-1/2化简得：an=(4n-5)an-k-1/2+(2n-3)an-k/2由此，我们可以求得数列{an}的前 n 项和。
全国高中数学竞赛试题及答案
全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。
2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。
3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。
试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。
2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。
3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。
试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。
2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。
3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。
试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。
2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。
3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。
试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。
2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
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全国数学竞赛预赛试题分类：数列IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】2014数学预赛试题分类：数列天津3．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，并且对任意正整数n 成立243n n S S +=+，则2a 的值是（）(A)．2(B)．6(C)．2或6(D)．2或-6天津9．数列｛n a ｝满足11,2n n n a a a n +-=+≥．若78a =，则1210a a a +++等于． 河北11、设{n a }是等差数列，且满足：①n a ∈N *，②项数≥3，③d>0，记{n a }所有项的和为S.（1）写出满足S=30的所有{n a }；（2）求证：对大于8的合数m ，总存在{n a }使得S=m. 河北14、数列{n a }满足：211,111-==+n n a a a 。
（1）求证：32≥n a ； （2）求证：27102<-n n a a . 山西1、将正整数数列1，2，3，…按如下方式自左至右分段，使得第一段有1×2个数，第二段有2×3个数，…，第n 段有n ×(n+1)个数，…，则2014位于第段。
山西10、数列{n a }，{n b }满足条件：n n n n n n b a b b a a b a +=+===++1111,2,1；证明：对每个正整数n ，下式成立：（1）2,2221212><--nn n n b ab a ； （2）2211-<-++nn n n b ab a 辽宁5．正项数列{}n a 满足*12121111()n n n n n n n a a a a a a ++++++=∈N ，136a a +=，1a ，2a ，3a 单调递增且成等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，则[]2014S 的值是（其中表示不超过实数的最大整数）（） A ．5368B ．5367C ．5363D ．5362辽宁15．（本小题满分25分）已知数列{}n a 中，12a =，对于任意的*,p q ∈N ，有p q p q a a a +=+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足13124234(1)2121212121n n n nb b b b ba -=-+-++-+++++*()n ∈N ，求数列{}n b 的通项公式；（3）设*3()n n n C b n λ=+∈N ，是否存在实数λ，当*n ∈N 时，1n n C C +>恒成立，若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．吉林5、若五项的数列{n a }：54321,,,,a a a a a 满足543210a a a a a <<<<≤，且对任意的i ，j（1≤i ≤j ≤5），均有i j a a -在该数列中。
①1a =0；②254a a =；③{n a }为等差数列；④集合A={j i a a +1≤i ≤j ≤5}含9个元素。
则上述论断正确的有（）个。
A 、1B 、2C 、3D 、4 山东6、已知数列{n a }满足：)1()1(11122≥+++=n n n a n ，且其前n 项和为n S ，则n S 的最大整数部分为。
山东14、数列{n a }中，)3(,,1211321≥+====--+n a a a k a m a a a n n n n ，其中k 、m 均为正整数且（k ，m ）=1.问k 为何值时，对任意的n ∈N ，a n 均为整数？福建11．已知{}na为递增的等比数列，且126a a+=，3424a a+=。
2(1)nnnaba=-，数列{}n b的前n项和为n T，求证：对一切正整数n均有，3nT<。
江西1．如果2014是一个正整数等差数列的第八项，那么该数列首项的最小值是．江西6．等差数列{}n a，{}n b的前n项和分别为n S，n T，若对任意的正整数n都有5321nnS nT n-=+，则207ab=．河南4、等差数列{na}满足1021021≤+aa，则191110...aaaS+++=的取值范围是。
河南12、递增数列1，3，4，9，10，12，13，…由一些正整数组成，它们或者是3的幂或者是若干个不同的3的幂的和，求第2014项的值。
湖北1.已知正整数数列}{na满足nnnaaa+=++12，∈n*N．若15711=a，则1a=.湖北6.去掉集合{|10000,A n n n=≤∈*N}中所有的完全平方数和完全立方数后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，这个数列的第2014项为.湖北13.在单调递增数列}{n a中，12a=，24a=，且12212,,+-nnnaaa成等差数列，22122,,++nnnaaa成等比数列，,3,2,1=n．（1）求数列}{na的通项公式；（2）设数列}1{na的前n项和为nS，证明：43(3)nnSn>+，*n∈N．四川3、已知公差为d的等差数列}{na满足：d>0，正整数n，都有，则公差d的取值范围是（）四川15、已知k 为给定正整数，数列}{n a 满足，其中是}{n a 的前n 项和，令。
，求k 的所有可能值。
陕西2、已知等差数列}{n a 、}{n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且对于一切正整数n ，都有1312+-=n n b a n n ， 则=56T S 。
陕西加2、已知数列}{n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且对任意n ∈N +，都有0)()1(222=+--+-n n S n n S n n。
甘肃1、在数列{n a }中，3,121==a a ，且)(*12N n a a a n n n ∈-=++，则2014a =。
甘肃11、在数列{n a }中，11=a ，*1,22N n n a a n n ∈+-=+.求数列{n a }的前n 项和n S .黑11、已知数列{n a }满足n a =)10,(*<<∈⋅p N n p n n ，下面说法正确的是（） A 、①②B 、③④C 、②④D 、②③ ①当p=21时，数列{n a }为递减数列；②当21<p<1时，数列{n a }为不一定有最大项； ③当0<p<21时，数列{n a }为递减数列；④当p p -1为正整数是，数列{n a }必有两项相等的最大项；江苏4、已知等比数列{n a }的公比为q ，前n 项和n S >0（n=1，2，3，…），则q 的取值范围是。
江苏9、设数列{n a }的前n 项和为n S ，*111,232,0N n a S S a n n ∈=-≠+。
（1）证明数列{n a }为等比数列（2）若1a 、)3(≥p a p 两项均为正整数，且存在正整数m ，使11-≥p m a ，1)1(-+≤p p m a ，求n a 。
贵州9．（本小题满分16分）已知数列{}n a 中，11a =，且121n n a a +=+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列}1)n a +的前n 项和为n S ，求证：22(1)(41)3n nn n S +-≤．安徽10.设数列{}n a 满足21131,,12n n na a a n a ++==≥．求证：（1）当2n ≥时，n a 严格单调递减．（2）当1n ≥时，1|nn a +-=2r =浙江4．已知等比数列{a n }：a 1=5,a 4=625，则201415511log log k k k a a =+∑=（）A ．20142015 B ．20132014C ．20124028D ．20134030浙江20．设数列{a n }定义为a 1=a ,a n +1=1+1211n a a a ++⋅⋅⋅+-，n ≥1，求所有实数a ，使得0<a 1<1，n ≥2．湖南3．若{}n a 是等差数列，首项10a >，201320140a a +>，201320140a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（）A ．4025B ．4026C ．4027D ．4028 湖南10．已知一无穷等差数列中有3项（顺次排列但不一定相连）：13，25，41，则可以判断得出2013（填“是”、“不是”、“不能确定”）数列中的一项．湖南16．（本小题满分20分）已知数列{}n x 满足：212n n n x x x ++=+，12x =，26x =；数列{}n y 满足：212n n n y y y ++=+，13y =，29y =．求证：存在正整数0n ，使得对任意0n n >都有n n x y >．新疆1、已知一个等比数列前2014项之和为200，前4028项之和为380，则前6042项之和为。
全国4、 全国10、。