数学文化第四讲斐波那契数列与黄金分割
斐波那契数列与黄金分割
答案是 6710。
4
这与“斐波那契数列”有关
若一个数列，前两项等于1，而从第三项 起，每一项是其前两项之和，则称该数 列为斐波那契数列。即：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … …
5
一、兔子问题和斐波那契数列
1． 兔子问题 1） 问题 ——取自意大利数学家 斐波那契的《算盘书》 （1202年）
解：设跳到第n格的方法有 tn种。
由于他跳入第1格，只有一种方法；跳入 第2格，必须先跳入第1格，所以也只有一
种方法，从而 t1 t2 1
22
而能一次跳入第n格的，只有第 n 1
和第 n 2 两格，因此，跳入第 n 格的方法
数，是跳入第n 1格的方法数 tn1，加上跳入
第 n 2 格的方法数 tn2 之和。
2
再作
A(AE)交 AB于 C ，则
AC
AB
5 1 ，C 即
2
为 AB的黄金分割点。
D
5
E
1
A
C
B2Βιβλιοθήκη 38证：不妨令 BD 1 ，则 AB 2 ， AD 22 1 5 ， AE AD ED 5 1，
AC AE
AC 5 1,
5 1
AB 2
证完。
39
4. 黄金分割的美 黄金分割之所以称为“黄金”分割，是 比喻这一“分割”如黄金一样珍贵。黄金 比，是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术 门类中审美的因素之一。认为它表现了恰 到好处的“合谐”。 例如:
如果把该连分数从第 n 条分数线截住，即
把第n 1条分数线上、下的部分都删去，就
得到该连分数的第n 次近似值，记作 un 。
vn
斐波那契数列和黄金分割的关系
斐波那契数列和黄金分割的关系
斐波那契数列与黄金分割密切相关。
黄金分割是将一条线段分成两个部分，使其中一部分和全长之比等于另一部分和这部分之比，即(a+b)/a=a/b。
这个比例值大约是1.618。
斐波那契数列也有类似的特征，即每个数与它前面的数的比值都趋近于黄金分割比例值。
例如，3/2≈1.5≈1.618/1；5/3≈1.666≈1.618/1.在斐波那契数列中，相邻两个数的比值已经趋近于黄金分割比例值，而随着数列的不断增长，这个比值会越来越接近黄金分割比例值。
因此，斐波那契数列与黄金分割有着紧密的关系。
斐波那契数列与黄金分割 ppt课件
F1 1 F2 1
第三个月兔子数
F 3F 1F 2 1 12
随着时间不断流逝。。。。。。
第n个月兔子 数
Fn Fn1Fn2
按照递推公式计算，得到 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
从第三项起每一项都等于前两项之和。19世纪法国数 学家路卡斯给这个数列起了一个颇适合的名字:“斐波那契数 列”，数列中的每一个数称为斐波那契数．
数学家们已经发现了许多关于斐波那契数列的特性。例如：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , …
• 从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1， 每个偶数项的平方都比前后两项之积少1
• 第3、第6、第9、第12项的数字，能夠被 2整除
古希腊的数学家不必说了，中世纪的意 大利数学家裴波那契(Fibonacci, 约1170— 1240), 文艺复兴时代的德国天文学家开普勒 (Kepler, 1571—1630)，以及当代的一些著名 科学家都对它十分关注，并投入了大量的精 力。
意大利的数学家列昂 那多·斐波那契在1202 年提出这样一个问题
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
21个花瓣的紫菀
34个花瓣的雏菊 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
斐波那契数有时也称松果数，因为连续的 斐波那契数会出现在松果的左和右的两种 螺旋形走向的数目之中
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
斐波那契（Leonardo Pisano
F ibonacci ; 1170 1250 ）
斐波那契数列与黄金分割
数学文化
主讲教师 李令斗
斐波那契数列与黄金分割
一、兔子问题和斐波那契数列
二、数学的统一美
三、 斐波那契协会和《斐波那契季刊》
一、兔子问题和斐波那契数列
1． 兔子问题
1） 问题 ——取自意大利数学家 斐波那契的《算盘书》 （1202年）
(L.Fibonacci,1170-1250）
D (DB)
AC AB
交A D于 E ，
5 1 2
再作 A ( A E ) 交 A B于 C
，则
D
C ， 即
为 A B 的黄金分割点。
5
E
1
A
C
B
2
25
证：不妨令
AD 2 1
2
BD 1
，则
5 1 2
AB 2
，
5 1，
5
， AE
AC AB
AD ED
AC AE
un vn
19
对照
x 1 1
1 1 1 1 1 1
可算得
u1
1 u2 , v1 1 v2
1 1
1 u3 , 1 2 v3 1
1 1 1 1 1 1
2 u4 , 3 v4
1 1 1 1 1 1 1 1
3 5
20
发现规律后可以改一种方法算，
un vn 1
3
兔子问题
假设一对初生兔子要一个月才到成熟期， 而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么， 由一对初生兔子开始，12 个月后会有多少 对兔子呢？
4
解答
1 月 1 对
5
解答
Fibonacci数列与黄金分割
Fibonacci数列与黄金分割在数学领域中，Fibonacci数列和黄金分割是两个备受推崇和研究的重要概念。
它们不仅在数学中有着广泛的应用，也在其他领域中发挥着重要的作用。
本文将探讨Fibonacci数列和黄金分割的定义、性质以及它们的应用。
一、Fibonacci数列的定义和性质Fibonacci数列是一个经典的数学数列，其定义如下：F(0) = 0F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2) （n≥2）Fibonacci数列的性质包括以下几个方面：1. 连续项之间的比值逼近黄金分割F(n)/F(n-1)逼近黄金分割比例φ，即F(n)/F(n-1) ≈ φ。
2. 黄金分割比例的极限性质当n趋近于无穷大时，F(n)/F(n-1)的极限是黄金分割比例φ，即lim(n→∞) F(n)/F(n-1) = φ。
3. 黄金分割比例的近似值黄金分割比例φ约等于1.6180339887，可以用连分数形式表示：φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + ...)))。
二、黄金分割的定义和性质黄金分割是指将一条线段分割为两部分，较长部分与整体之比等于较短部分与较长部分之比。
这个比值等于黄金分割比例φ，约为1.6180339887。
黄金分割还有以下性质：1. 与Fibonacci数列的关联黄金分割比例φ正是Fibonacci数列的极限，即lim(n→∞) F(n)/F(n-1) = φ。
2. 出现在艺术和自然界中黄金分割比例φ被广泛应用于艺术和自然界。
许多古代建筑、艺术品和音乐作品都采用了黄金分割比例，使其更具美感和和谐感。
3. 出现在金融领域黄金分割比例在金融领域也有应用，例如在技术分析中，投资者会使用黄金分割比例来预测股票和证券市场的走势。
三、Fibonacci数列和黄金分割的应用Fibonacci数列和黄金分割在各个领域有着广泛的应用，以下列举其中几个重要的应用：1. 自然科学领域Fibonacci数列和黄金分割在自然科学领域中经常出现，如植物叶子和花瓣的排列规律、蜂窝的结构、物种繁殖规律等都与Fibonacci数列和黄金分割有关。
斐波那契数列与黄金分割
我们可以在鹦鹉螺的外壳发现这样的螺线
所谓黄金三角形是一个 等腰三角形其底与腰的长 度比为黄金比值。我们若 以底边为一腰作一等腰三 角形则此三角形亦为一黄 金三角形，如下图。图中 三种不同长度的线段，其 中次长的线段（蓝色）与 最长的线段（红色）比是 黄金比例，最短的线段 （绿色）与次长线段（蓝 色）也是黄金比例。
1 5 ，其正根为 x 2
5 1 x 0.6180339 0.618 2 A B
小段 大段
3．黄金矩形
定义：一个矩形，如果从中裁去 一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长 之比，与原矩形的一样（即剩下的矩形与 原矩形相似），则称具有这种宽与长之比 的矩形为黄金矩形。黄金矩形可以用上述 方法无限地分割下去。
Fn Fn1 Fn2 , n 2.
每月大兔对数 Fn 排成数列为： 0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，
•••
4
定义：若一个数列,前两项均等于1,而从 第三项起每一项是其前两项之和,则称该数列
为斐波那契数列。即：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … …
（1）人体各部分的比Fra bibliotek肚 脐：
印堂穴：
（头—脚）
（口—头顶）
肘关节： （肩—中指尖） 膝 盖： （髋关节—足尖）
（2）著名建筑物中各部分的比
如埃及的金字塔，高（137米）与底边长 （227米）之比为0.629
雅典的帕德侬神庙 (Parthenon at Athens) 庄严、宏伟，被认为 是古希腊最伟大的建筑之一。有 人认为它之所以显得那么和谐， 是因为这个建筑符合黄金比。
Field daisies have 34 petals
斐波那契数列与黄金分割的联系
斐波那契数列与黄金分割的联系斐波那契数列与黄金分割是两个在数学和自然界中非常重要的概念。
它们之间存在着密切的联系，这一联系体现在斐波那契数列中每两个相邻数的比例，正好是无限接近于黄金分割的比例。
斐波那契数列是一个无限序列，从0和1开始，后面的每个数都是前面两个数之和。
具体来说，斐波那契数列的定义如下：F(0) = 0，F(1) = 1，F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中n≥2。
斐波那契数列中的数迅速增长，例如，前几个斐波那契数是：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，...可以看出这个数列几乎是无穷无尽的。
黄金分割是指一种特殊的比例关系，即将一条线段分成两部分，使得整体长度与较长部分的比值等于较长部分与较短部分的比值。
这个比值通常用希腊字母φ（phi）来表示，约等于1.618。
斐波那契数列中的相邻数之间的比值逐渐逼近黄金分割比例。
具体来说，当n较大时，F(n)/F(n-1)的比值接近于黄金分割比例φ。
例如，当n=20时，F(20)/F(19)≈1.618，接近于黄金分割比例。
为什么斐波那契数列和黄金分割之间存在联系呢？这涉及到一个数学性质，即斐波那契数列的极限比值与黄金分割比例是相等的。
换句话说，当n趋近于无穷大时，F(n)/F(n-1)的极限等于黄金分割比例φ。
这一性质可以通过数学推导得到。
斐波那契数列和黄金分割在自然界中的广泛存在也是它们联系的体现。
黄金分割比例被广泛应用于艺术、建筑和设计领域，人们认为它具有一种视觉上的美感。
许多传统文化中的建筑和艺术作品都采用了黄金分割比例。
斐波那契数列也出现在自然界中各种地方，如植物的生长中、动物的骨骼结构、海洋中的螺旋壳形状等。
这些都体现了斐波那契数列和黄金分割的普遍存在。
斐波那契数列和黄金分割的联系还可以用几何形状来展示。
通过绘制正方形并在正方形的一边上不断添加等边三角形，可以形成一个逐渐扩大的黄金矩形。
斐波那契与黄金分割
斐波那契比萨的列奥纳多，又称斐波那契（Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175年-1250年），意大利数学家，西方第一个研究斐波那契数，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
目录1人物背景2数列3质数4重要作品1人物背景家庭列奥纳多的父亲Guilielmo（威廉），外号Bonacci（意即「好、自然」或「简单」）。
因此列奥纳多就得到了外号斐波那契 (Fibonacci，意即filius Bonacci，Bonacci之子）。
威廉是商人，在北非一带工作（今阿尔及利亚Bejaia），当时仍是小伙子的列奥纳多已经开始协助父亲工作。
于是他就学会了阿拉伯数字。
学习有感使用阿拉伯数字比罗马数字更有效，列奥纳多前往地中海一带向当时著名的阿拉伯数学家学习，约于1200年回国。
1202年，27岁的他将其所学写进计算之书（Liber Abaci）。
这本书通过在记帐、重量计算、利息、汇率和其他的应用，显示了新的数字系统的实用价值。
这本书大大影响了欧洲人的思想，可是在三世纪后印制术发明之前，十进制数字并不流行。
（例子：1482年，Ptolemaeus世界地图，Lienhart Holle在Ulm印制）成就列奥纳多曾成为热爱数学和科学的腓特烈二世 (神圣罗马帝国）的坐上客。
欧洲数学在希腊文明衰落之后长期处于停滞状态，直到12世纪才有复苏的迹象。
这种复苏开始是受了翻译、传播希腊、阿拉伯著作的刺激。
对希腊与东方古典数学成就的发掘、探讨，最终导致了文艺复兴时期（15～16世纪）欧洲数学的高涨。
文艺复兴的前哨意大利，由于其特殊地理位置与贸易联系而成为东西方文化的熔炉。
意大利学者早在12～13世纪就开始翻译、介绍希腊与阿拉伯的数学文献。
欧洲，黑暗时代以后第一位有影响的数学家斐波那契（约1175～1240），其拉丁文代表著作《算经》、《几何实践》等也是根据阿拉伯文与希腊文材料编译而成的，斐波那契，即比萨的列昂纳多（Leonardo of Pisa），早年随父在北非从师阿拉伯人习算，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后即写成《算经》（Liber Abac·1202，亦译作《算盘书》）。
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2、兔子数列 如果每对兔子（一雄一雌）每月能生殖一对小兔 子（也是一雄一雌，下同），每对兔子第一个月没有 生育能力，但从第二个月以后便能每月生一对小兔子。 假定这些兔子都不发生死亡现象，那么从一对刚出生 的兔子开始，一年之后会有多少对兔子呢？
解答
1 月 1 对
解答
1 月 1 对 2 月 1 对
斐波那契数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89， 144，• • • 上述数列中的每一个数称为斐波那契数． 此数列有下述递推公式： u1 = 1， u2 = 1，un = un-1 + un-2 ，n > 2 ． 用数学归纳法，可推得斐波那契数列的通项公式：
1 1 5 n 1 5 n , un 5 2 2
二、黄金分割
著名天文学家开普勒说：几何学里有两个 宝库，一个是毕达哥拉斯定理，一个是黄金分 割。前者可以比作金矿，后者可以比作珍贵的 钻石矿。
数学之美
德国天文学家开普勒曾说：“几何学有两大宝 藏，其一为毕氏定理，其二为将一线段分成外内比。 前者如黄金，后者如珍珠。”
A straight line is said to have been cut in extreme and mean radio when,as the whole line is to the greater segment,so is the greater to the less.
+
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ??
十秒钟加数
请用十秒，计算出 左边一列数的和。
时间到！
答案是 231。
+
34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 ????
十秒钟加数
再来一次！
时间到！
答案是 6710。
一、斐波那契数列
1、斐波那契的生平
A、自然界中花朵的花瓣中存在斐氏数列特征
生物学家们发现，花瓣数是极有特征的。多 数情况下，花瓣的数目都是3，5，8，13，21，34， 55，89，144…… 例如：百合花有3瓣花瓣，至良属的植物有5 瓣花瓣，许多翠雀属植物有8瓣花瓣，万寿菊的 花瓣有13瓣，紫莺属的植物有21瓣花瓣……
向日葵花盘内葵花子排列的螺线数．
“黄金分割律”，这个比例成为后代艺术家创造人体美的准则。） 亦有多组比例符合黄金分割比。如人的脐部到头顶的距离与脐 部高度之比、头顶到举手指端的距离与脐部到头顶距离之比、 膝盖到肚脐同膝盖到脚底之比，都符合黄金分割。
叶子中的黄金分割
图中主叶脉与叶柄
和主叶脉的长度之 和比约为0.618．
在动物界，形体优美的动 物形体，如马，骡、狮、 虎、豹、犬等，凡看上去 健美的，其身体部分长与 宽的比例也大体上接近与 黄金分割如：蝴蝶身长与 双翅展开后的长度之比也 接近0.618。
向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的， 有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺 线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是
34和55，大向日葵是89和144，还曾发现过一个更
大的向日葵有144和233条螺线，它们都是相继的
两个斐波那契数．
有一位学者细心地数过一朵花的花瓣，发现这 朵花的花瓣刚好是157瓣。且他又发现其中有13瓣与 其他144瓣有显著的不同，是特别长并卷曲向内， 这表明这朵花的花瓣数目是由F7=13和F12=144合成 的。这一模式几个世纪以来一直被广泛研究，但真 正意义上的解释直到1993年才给出。目前科学家们 对这一模式还在研究之中。
解答
1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对
解答
1 2 3 4 月 月 月 月 1 1 2 3 对 对 对 对
解答
1 2 3 4 5 月 月 月 月 月 1 1 2 3 5 对 对 对 对 对
解答
1 2 3 4 5 6 月 月 月 月 月 月 1 1 2 3 5 8 对 对 对 对 对 对
真是不可思议！那神奇的1平方英尺究竟从哪里跑出来的呢？ 这就是费氏数列的奥妙所在。
C、雄蜂家系与斐氏数列 众所周知，一般动物都有父亲和母亲，但 雄蜂是例外，它只有母亲没有父亲，养过蜜蜂 的人都知道，蜂后产的卵，若能受精则孵化成 雌蜂；如果不受精，则孵化成雄蜂，也即雄蜂 是有母无父。雌蜂是有父有母的。因此，我们 若追溯一只雄蜂的祖先，则可以发现其第n代 的祖先数目刚好就是斐氏数列的第n项Fn.
除了扮演传播印度数学——阿拉伯数字的角 色，斐波那契在数学中的贡献也是非常大的。除 了《算盘全集》外，另有《几何实用》（1220）， 《平方数书》（1225），是专门讨论二次丢番图 方程式的。书中最有创造性的工作应是同余数， 该书使斐波那契成为在数论史中，贡献介于丢番 图和费尔马之间。然而，现代数学家之所以会知 道他的名字，并非因为他在数学上的成就，而是 得知于斐波那契数列。这是在1228年修订《算盘 全集》时增加的脍炙人口的“兔子问题”（简称 为斐氏数列）。
x 2 x 1 0 .
1 5 1 5 . , x2 该方程的根为 x1 2 2
A
C
B
于是
AB 1 5 x1 1.618 , AC 2
AC 2 5 1 其倒数 0.618 . AB 1 5 2
即 C 点约在 AB 长度的 0.618 的位置上． 希腊数学家把这个几何问题里的点 C 叫作黄金分
分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于 大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比。
两千年前，希腊数学家考虑如下问题：
设线段 AB ，
A
C
B
在 AB 上找一点 C ， 使得
令 x AB AC , 于是有 x AC CB 1 CB 1 1 , AC CB AC AC x 可化为一元二次方程
D、斐氏数列应用于生活（上台阶）
有N级台阶，每次可能上一级或二级。共有多少种上法？
只有一个台阶时，只有一种走法，F1=1；
两个台阶，走法有2种，一阶一阶或者一步上两个台阶， 所以F2=2； 三个台阶时，走法有一步一阶，2阶再一阶，1阶再2阶，因 此F3=3； 四个台阶时，走法有（1，1，1，1），（1，1，2），（1，2， 1），（2，1，1），（2，2），共5种走法。故F4=5； 依此类推，有数列：1，2，3，5，8，13，21，34，…… 用1元，2元钞若干张能支付1，2，3，4，……元的支付方 式，刚好成斐氏数列。
斐波那契数列与黄金比
不是缺少美，而是缺少发现美 !
古今中外许多著名的数学家都曾以其亲身感受对这 个问题有过深刻的论述，认为数学不仅与美学密切相关， 而且数学中充满着美的因素，到处闪现着美的光辉。
英国著名数理逻辑学家罗素指出：“数学，如果 正常地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美， 正如雕塑的美,是一种冷而严肃的美。” 我国著名数学家徐利治教授指出：“数学园地 处处开放着美丽花朵，它是一片灿烂夺目的花果园， 这片花果园正是按照美的追求开拓出来的。”
B、斐氏数列与游戏
一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯， 对他的地毯匠朋友说： “请您把这块地毯分成四小块， 再把它们缝成一块长13英尺、宽5英尺的长方形地毯。” 这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为8英尺的正 方形地毯面积是64平方英尺，如何能够拼出65平方英 尺的地毯？两者之间面积相差达一平方英尺呢！可是 魔术师做到了。他让匠师用下图的办法达到了他的目 的！
相邻两个数的平方和也是一个斐波那契数，且脚标 恰为前两者脚标之和。
☆
“十秒钟加数”的秘密
数学家发现：连续 10个斐波 那契数之和，必定等于第 7 个数的 11 倍！
所以右式的答案是： 21 11 = 231 +
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ??
“十秒钟加数”的秘密
拉斐尔的 《刑罚》 (Crucifixion) 人物布局以 “黄金三角 形”和“黄 金五角星” 展开。
健美的人体（如古希腊雕 塑《米罗的维纳斯》看上0.382 0.382 去健美漂亮就是典型的例 子，19世纪以来，世界各 国的选美标准大部分都依 据《米罗的维纳斯》身材 各部分的尺寸。她的体形 符合希腊人关于美的理想 0.618 0.618 与规范，身长比例接近所 追求的人体美标准，即身 与头之比为8∶1。由于8 为3加5之和，这就可以分 割成1∶3∶5，这就是
有人比喻说，“有关斐波那契
数列的论文，甚至比斐波那契的兔
子增长得还快”，以致1963年成立 了斐波那契协会，还出版了《斐波
那契季刊》。
3、斐波那契数列趣话
数学的各个领域常常奇妙而出乎意料地联系在一
起．
斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来的，如果 它在其它方面没有应用，它就不会有强大的生命． 发 人深省的是，斐波那契数列确实在许多问题中出现．
斐波那契（Fibonacci 1170~1250） 13世纪意大利最杰出的数学家。斐波那 契的父亲为比萨的商人，他认为数学是 有用的，因此送斐波那契向阿拉伯教师 们学习数学，并掌握了印度数码之一新 的记数体系，后来游历埃及、叙利亚、 希腊、西西里、法国等地，掌握了不同 国家和地区商业的算术体系。1200年左 右回到出生地——比萨，潜心研究数学， 于1202年写成名著《算盘全集》。该书 广为流传，为印度——阿拉伯数码在欧 洲流传起了重要的作用。
解答
1 2 3 4 5 6 7 月 1 月 1 月 2 月 3 月 5 月 8 月 13 对 对 对 对 对 对 对
解答
可以将结果以列表形式给出：
1月 1 7月 13 2月 1 8月 21 3月 2 9月 34 4月 3 5月 5 6月 8
10月 11月 12月 55 89 144
因此，斐波那契问题的答案是 144对。