斐波那契数列与黄金分割
黄金分割线的原理及应用
黄金分割线的原理及应用1. 黄金分割线的概述黄金分割线是指将一条线段划分为两部分，使得整条线段的比例等于两部分之间的比例。
这个比例被称为黄金分割比例，通常表示为1：1.618（近似值），也被称为黄金比例、黄金比例或神秘比例。
2. 黄金分割线的数学原理2.1 斐波那契数列和黄金比例黄金分割线和斐波那契数列有着密切的关系。
斐波那契数列是一系列数字，每个数字等于前两个数字之和。
例如，1，1，2，3，5，8，13，21，34等等。
如果将斐波那契数列中的相邻数字进行比值运算，将会逐渐接近黄金分割比例。
2.2 数学公式表达黄金分割比例可以用以下数学公式来表达： a / b = (a + b) / a = 1.6183.黄金分割线的应用领域黄金分割线的应用早已超出了数学的范畴，它在各个领域得到了广泛的应用。
3.1 美学和艺术黄金分割线在美学和艺术中被广泛应用，例如建筑设计、绘画和摄影。
根据黄金分割原理，可以将画面分割为多个部分，使得每个部分的比例符合黄金分割比例。
这种分割方法被认为可以创造出更加美观和和谐的作品。
3.2 设计和排版在设计和排版中，黄金分割线常被用来确定页面上元素的大小和位置关系。
通过将页面分割成黄金分割比例的部分，可以在视觉上达到更好的平衡和对称。
3.3 金融市场黄金分割线也在金融市场中被广泛应用。
金融分析师使用黄金分割线来预测股票价格走势和支持与阻力位的确定。
很多技术指标和交易工具也基于黄金分割原理。
3.4 自然科学黄金分割线在自然科学研究中也有着一定的应用。
生物学家研究植物、动物和人体各个部分之间的比例关系时，常使用黄金分割比例。
此外，在天文学和物理学领域也有相关的研究和应用。
3.5 网页设计在网页设计中，黄金分割线被应用于页面布局、图片尺寸和文字排版等方面。
通过使用黄金分割原理，可以使网页看起来更加美观和舒适。
4. 总结黄金分割线是一种既有数学原理又具有美学应用的概念。
它的比例被认为是一种对人眼极具吸引力的视觉比例，能够在艺术和设计领域起到重要的作用。
斐波那契数列与黄金分割 ppt课件
F1 1 F2 1
第三个月兔子数
F 3F 1F 2 1 12
随着时间不断流逝。。。。。。
第n个月兔子 数
Fn Fn1Fn2
按照递推公式计算，得到 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
从第三项起每一项都等于前两项之和。19世纪法国数 学家路卡斯给这个数列起了一个颇适合的名字:“斐波那契数 列”，数列中的每一个数称为斐波那契数．
数学家们已经发现了许多关于斐波那契数列的特性。例如：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , …
• 从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1， 每个偶数项的平方都比前后两项之积少1
• 第3、第6、第9、第12项的数字，能夠被 2整除
古希腊的数学家不必说了，中世纪的意 大利数学家裴波那契(Fibonacci, 约1170— 1240), 文艺复兴时代的德国天文学家开普勒 (Kepler, 1571—1630)，以及当代的一些著名 科学家都对它十分关注，并投入了大量的精 力。
意大利的数学家列昂 那多·斐波那契在1202 年提出这样一个问题
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
21个花瓣的紫菀
34个花瓣的雏菊 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
斐波那契数有时也称松果数，因为连续的 斐波那契数会出现在松果的左和右的两种 螺旋形走向的数目之中
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
斐波那契（Leonardo Pisano
F ibonacci ; 1170 1250 ）
斐波那契数列与黄金分割汇总
斐波那契數列
兔子的總對數是 1，1 ，2 ，3 ， 5 ， 8 ， …… ，
數列中的每一項則稱為
斐波那契數(Fibonnaci Number) 以符號 Fn 表示。
F1 = F2 = 1 ，而 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n>2)
向日葵的種子 植物的枝節 菠蘿的表皮 花瓣的數目 人類的身體 蜂房 其他例子
斐波那契數列與数學
后来的数学家发现了许多关于斐波那 契数列的特性。例如：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 14第4 ,3…、第 6、第 9、第 12 项的数字，能
够被 2 整除。 第 4、第 8、第 12 項的数字，能够被 3
整除。 第 5、第 10 项的数字，能够被 5 整除。
向日葵的種子
綠色表示按順時針排列的種子 紅色表示按逆時針排列的種子
向日葵的種子
植物學家發現： 某種向日葵的種子是按兩組螺線排列，
其數目往往是連續的斐波那契數 。
普通大小的向日葵：34條順時針螺線 55條逆時針螺線
較大的向日葵： ８９條順時針螺線 １４４條逆時針螺線
菠蘿的表皮
菠蘿的中心軸 ： Z 軸
年代背景
中世纪的时候,西欧经济开始繁荣,西方 商人到东方来经商的逐渐多了起来。从 十世纪以后,意大利的商人更是闻名全欧 洲,他们非常活跃于地中海沿岸活动。
卓越貢獻
斐波那契长大了以后,和父亲一样也成为 一个商人,为了做生意,他走遍埃及、西西 里、希腊和叙利亚,也学会了阿拉伯文,并 且对东方的数学产生了相当大的兴趣。 公元1202年,他写了一本有关数学的书 《算盘全书》,在这本书中介绍了印度─ 阿拉伯数字记数法,以及一些代数、几何 问题,最重要的就是以他为名的「斐波那 契数列」。
数学文化之旅------神奇的斐波那契数列与黄金分割
神奇的斐波那契数列与黄金分割石家庄二中南校区孟柳比萨的列奥纳多，又称斐波那契(Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175年-1250年)，中世纪意大利数学家，是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
列奥纳多的父亲Guilielmo(威廉)，外号Bonacci.因此列奥纳多就得到了外号斐波那契(Fibonacci，意即filius Bonacci，Bonacci之子)。
1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，当时仍是小伙子的列奥纳多已经开始协助父亲工作,因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。
于是他就学会了阿拉伯数字。
他是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
主要著作有《算盘书》《几何实践》《花朵》《平方数书》斐波那契在《算盘书》中提出了一个有趣的兔子问题：一般而言，兔子在出生两个月后就具有了繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对兔子，如果兔子都不死，那么一年后能有多少对兔子？拿新出生的一对兔子研究：第一个月兔子没有繁殖能力，两个月后生下一对小兔总数共有两对；三个月后，老兔子生下又一对，因为上一轮的小兔没有繁殖能力，所以总数是三对；…………..1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……依次类推下去，你会发现，它后一个数等于前面两个数的和。
在这个数列中的数字，就被称为斐波那契数。
2是第3个斐波那契数。
斐波那契数列还满足一下特点：1.任一项的平方数都等于与它相邻的两项乘积相差12.相邻的4个数，内积与外积相差13.前一项与后一项的比大约是0.6184.后一项比前一项大约是1.618经研究发现，相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
斐波那契-黄金分割
斐波那契-黄⾦分割斐波那契数列普通递推F0=0,F1=1,F n=F n−1+F n−2快速倍增递推F2n=F n(2F n+1−F n)F2n=F n(F n+1+F n−1)F2n+1=F2n+1+F2n 矩阵递推1 1 1 0F n−1F n−2=F nF n−1通项公式及其推导令ϕ=1+√52,ˆϕ=1−√52∵F_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}}(\phi^n-\hat\phi^n)=\lfloor \dfrac{\phi^i}{\sqrt{5}} + \dfrac{1}{2} \rfloor所以、斐波那契以指数形式增长1.母函数法$ \digamma(x)=\sum\limits_{\infin} F_nx n\ \digamma(x)=x2\digamma(x)+x\digamma(x)+x\ \digamma(x)=\dfrac{1-x-x2} $母函数进⾏展开，⾸先我们要知道⽜顿⼆项式定理、⽜顿⼴义⼆项式定理、⼆项式定理的推⼴⽜顿⼆项式定理(n \in N^{+})(x+y)^n = \sum\limits_{i=0}^{n} C_{n}^{i} x^{n-i}y^{i}**⼆项式定理推⼴⾄(n \in N) **(1+x)^n=\sum\limits_{i=0}^{\infin} C_{n}^{i} x^i~~~~(n>0)(1+x)^{-n} = \sum\limits_{i=0}^{\infin} C_{-n}^{i} x^i=\sum\limits_{i=0}^{\infin}(-1)^i C_{n+i-1}^{i} x^i⽜顿⼴义⼆项式定理(\alpha \in R)(x+y)^{\alpha}=\sum\limits_{i=0}^{\infin}\tbinom{\alpha}{i} x^{\alpha-i}y^k其中\tbinom{\alpha}{i}类似组合数\tbinom{\alpha}{i}=\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-i+1)}{i!}特殊形式(1+x)^n = (1-x)^{-n} = \sum\limits_{i=0}^{\infin} C_{n}^{i}x^i推导开始：设~\digamma(x)=\frac{x}{1-x-x^2}=\frac{A}{1-\alpha x}+\frac{B}{1-\beta x} \\=\frac{A+B-x(A\beta+B\alpha)}{1-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta x^2}\\ \left\{ \begin{matrix} A+B=0\\A\beta+B\alpha=-1\\ \alpha+\beta=1\\ \alpha\beta=-1 \end{matrix} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A=\frac{1}{\sqrt{5}}\\ B=-\frac{1}{\sqrt{5}}\\ \alpha=\phi\\ \beta=\hat\phi\end{matrix} \right.\\ \therefore \digamma(x)=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1}{1-\phi x}-\frac{1}{1-\hat\phi x})\\ \because\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{n=0}^{\infin}x^n\\ \digamma(x)=\frac{1}{\sqrt{5}}\sum\limits_{n=0}^{\infin}(\phi^n-\hat\phi^n) x^n2.数列待定系数法类似于求解a_n = pa_{n-1}+q性质1.卡西尼性质F_{n-1}F_{n+1}-F_n^2=(-1)^n证：F_{n-1}F_{n+1}-F_n^2\\ =det \left( \left[ \begin{matrix} F_{n+1}~~F_{n}\\ F_{n}~~F_{n-1} \end{matrix} \right] \right) =det \left( \left[ \begin{matrix} 1~~~~1\\ 1~~~~0 \end{matrix} \right] \right)^n = \left( det \left( \left[ \begin{matrix} 1~~~~1\\ 1~~~~0 \end{matrix} \right] \right) \right)^n=(-1)^n2.附加性质F_{n+m}=F_m F_{n+1}+F_{m-1}F_{n}证：\because \left[ \begin{matrix} F_{n}~~~F_{n-1}\\ F_{n-1}~~~F_{n-2} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1~~~~1\\ 1~~~~0 \end{matrix} \right]^{n-1}\\ \therefore \left[ \begin{matrix} F_{n+m}~~~F_{n+m-1}\\ F_{n+m-1}~~~F_{n+m-2} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1~~~~1\\ 1~~~~0 \end{matrix} \right]^{n+m-1}=\left[ \begin{matrix} 1~~~~1\\ 1~~~~0\end{matrix} \right]^{n} \left[ \begin{matrix} 1~~~~1\\ 1~~~~0 \end{matrix} \right]^{m-1}= \left[ \begin{matrix} F_{n+1}~~~F_{n}\\ F_{n}~~~F_{n-1} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} F_{m}~~~F_{m-1}\\ F_{m-1}~~~F_{m-2} \end{matrix} \right]\\ \therefore F_{n+m}=F_{n+1}F_{m}+F_nF_{m-1}变形：F_{2n} = F_n(F_{n+1}+F_{n-1}) .3.整除与GCD性质\forall a,b \in N,F_a|F_b\Leftrightarrow a|b[][][](F_n,F_m) = F_{(n,m)}证：设~n>m~~则~(F_n,F_m)=(F_{n-km},F_m)\\ 设~r=n-km~,r<m~则~(F_r,F_m)=(F_r,F_{m-kr})\\ 这就类似于欧⼏⾥德算法的过程\\ \therefore~(F_n,F_m)=F_{(n,m)}4.求和公式奇数项：\sum\limits_{i=1}^{2n-1}[2\nmid i] F_{i}= F_{2n}偶数项：\sum\limits_{i=2}^{2n}[2\mid i] F_{i}= F_{2n+1}-1平⽅项：\sum\limits_{i=1}^{n}F_i^2=F_n F_{n+1}证：画图推⼴1.⼴义斐波那契数列当n<0时F_n=F_{n+2}-F_{n+1}F_{-n}=(-1)^{n-1}F_n2 .类斐波那契数列⼜称斐波那契—卢卡斯数列对于数列G,若G_0=a,G_1=b,且数列满⾜递推关系式，则称G是类斐波那契数列G_n =a F_{n-1} + b F_{n}⽤矩阵可证类斐波那契数列也有部分斐波那契数列的性质任意两个或两个以上斐波那契—卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契—卢卡斯数列3. Lucas数列与Fibonacci数列Lucas数列为a=2,b=1的类斐波那契数列，记为LL_n = (\dfrac{1+\sqrt{5}}{2})^n+(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2})^n~~~~(n\ge 2)Lucas数列能够辅助写出看似很困难的等式2L_{n+m}=5 F_n F_m+L_n L_m\\ 2F_{n+m}=5 F_n L_m+L_n F_m\\ L_{2n}=L_n^2-2(-1)^n\\ F_{2n}=F_n L_n\\ L_n=F_{n+1}+F_{n-1}4.编码(齐肯多夫定理)齐肯多夫表述法表⽰任何正整数都可以表⽰成若⼲个不连续的斐波那契数之和证：若~m~为斐波那契数,成⽴\\ 否则考虑最⼤~n1~满⾜~F_{n1}< m<F_{n1+1}\\ 继续考虑最⼤~n2~满⾜~F_{n2} < m-F_{n1}<F_{n2+1}\\ 反证：\\ 若~F_{n1}~和~F_{n2}~为连续斐波那契数\\ 则~F_{n1+1}<m~与~F_{n1+1}>m~⽭盾模意义下的循环对于任意整数n , 数列为F_i~(mod~n)周期数列. ⽪萨诺周期\pi(n)记为该数列的周期.例如，模3的斐波那契数列前若⼲项为:0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0\cdots\therefore \pi(3) = 8.性质：1.~~\pi(n)\le 6 n且只有满⾜n=2*5^k的形式时才取得到等号2.~~\forall a,b\in N~且~(a,b)=1，\pi(a)\pi(b)=\pi(ab)Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js。
斐波那契数列与黄金分割
我们可以在鹦鹉螺的外壳发现这样的螺线
所谓黄金三角形是一个 等腰三角形其底与腰的长 度比为黄金比值。我们若 以底边为一腰作一等腰三 角形则此三角形亦为一黄 金三角形，如下图。图中 三种不同长度的线段，其 中次长的线段（蓝色）与 最长的线段（红色）比是 黄金比例，最短的线段 （绿色）与次长线段（蓝 色）也是黄金比例。
1 5 ，其正根为 x 2
5 1 x 0.6180339 0.618 2 A B
小段 大段
3．黄金矩形
定义：一个矩形，如果从中裁去 一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长 之比，与原矩形的一样（即剩下的矩形与 原矩形相似），则称具有这种宽与长之比 的矩形为黄金矩形。黄金矩形可以用上述 方法无限地分割下去。
Fn Fn1 Fn2 , n 2.
每月大兔对数 Fn 排成数列为： 0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，
•••
4
定义：若一个数列,前两项均等于1,而从 第三项起每一项是其前两项之和,则称该数列
为斐波那契数列。即：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … …
（1）人体各部分的比Fra bibliotek肚 脐：
印堂穴：
（头—脚）
（口—头顶）
肘关节： （肩—中指尖） 膝 盖： （髋关节—足尖）
（2）著名建筑物中各部分的比
如埃及的金字塔，高（137米）与底边长 （227米）之比为0.629
雅典的帕德侬神庙 (Parthenon at Athens) 庄严、宏伟，被认为 是古希腊最伟大的建筑之一。有 人认为它之所以显得那么和谐， 是因为这个建筑符合黄金比。
Field daisies have 34 petals
斐波那契数列与黄金分割 教案 高二上学期数学苏教版(2019)选择性必修第一册
《数学活动课：斐波那契数列与黄金分割》教学设计一、教学内容解析数学活动课，是指以在教学过程中构建具有教育性、创造性、实践性的学生主题活动为主要形式，以激励学生主动参与、主动实践、主动思考、主动探索、主动创造为基本特征，以促进学生整体素质全面提高为目的的一种教学观和教学形式[1]．高中数学活动课应关注高中数学课程的特征，充分考虑高中学生的认知规律，更加突出学生学习的自主性和主动性，让学生在亲自探索、亲手操作、亲身体验中，获得进一步学习所必需的知识、技能、思想和方法，培养实践意识、应用能力和创新思维，发展数学学科核心素养．在苏教版《普通高中教科书·数学（选择性必修第一册）》中，斐波那契数列共计出现四处，分别为第120-121页数列一章目录的背景图片，第122页的章头问题，第123页的问题5，第164-165页的阅读材料．斐波那契数列与等差、等比数列一样，都是从现实背景中抽象概括出的重要数列模型，它们是一脉相承的．从单元视角来看，斐波那契数列模型的建立与研究有助于学生对数列单元形成系统的理解和把握．而数列又是特殊的函数，基本遵循函数的研究路径：背景—概念—性质—应用．模型思想、数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想、极限思想在斐波那契数列的研究过程中均有体现．“黄金分割”是苏科版《义务教育教科书·数学（九年级下册）》第六章“图形的相似”第二节内容，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割[2]，是对线段成比例的巩固．初中阶段侧重从“形”的角度研究黄金分割，引导学生感悟数学之美，发展空间观念和几何直观．高中阶段则是从“数”的角度发现黄金比，通过实际情境引入斐波那契数列，通过代数运算导出黄金比．可见，初高中数学在对同一个问题的研究中方法和途经存在差异性，这正体现了数学课程在内容呈现上的层次性、多样性和一致性，也体现了核心素养的达成具有阶段性、连续性和整合性．斐波那契数列与黄金分割蕴含着丰富的科学价值、文化价值、应用价值和审美价值．在数学抽象、数学探究、数学欣赏、数学应用的过程中，学生进行深度学习，积累数学活动经验，感悟数学的连贯性与统一性．对培养学生的高阶思维品质，提升数学关键能力，发展数学学科核心素养，实现高中数学学科育人有着重要意义和价值.教学重点：探究斐波那契数列与黄金分割的关系．二、教学目标设置本节课的教学目标设置如下．(1)经历从实际情境中抽象出数学问题的过程，探寻兔子繁殖规律，得到斐波那契数列的概念和递推公式，发展数学建模和数学抽象素养；(2)经历三个数学探究活动，从数与形两方面了解斐波那契数列与黄金分割的关系，进一步体会研究一个数学对象的基本路径，感悟初高中数学在研究问题时的差异性和统一性，提高自主发现和提出问题、分析和解决问题的能力，促进学生高阶思维和关键能力的发展，积累数学探究活动经验；(3)通过数学欣赏，拓展视野，引导学生从数学的角度刻画审美的共性，用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，体会数学的科学价值、文化价值、应用价值和审美价值，激发学习数学的兴趣，实现学科育人．三、学生学情分析本节课的授课对象是江苏省四星级高中高二学生，他们基础较扎实，思维活跃，有一定的探究活动经验和自主学习能力．1.学生已具备的认知基础初中时，学生通过线段成比例认识了黄金分割，借助一元二次方程求出了黄金比，也学习了一些与黄金矩形和黄金三角形有关的内容．在本节课之前，学生了解了数列的概念，探索并掌握了等差数列和等比数列的取值规律、通项公式、性质、前n项和公式及简单应用，掌握了由二阶递推关系求数列通项的基本方法，这些都为本节课的学习奠定了知识基础．在此之前，学生在老师的指导下类比等差数列的学习，对等比数列进行了探究，为本节课的探究活动提供了经验积累．2.达成教学目标所需具备的认知基础学生应熟知特殊数列的研究内容与研究方法，对数列的研究路径有一定的理解，面对开放性问题，有一定的自主探究与合作交流的活动经验，能将已有的知识和经验类比迁移到新的数学学习活动中，自主地发现和提出问题，分析和解决问题．3.“已有的基础”与“需要的基础”之间的差异与等差、等比数列相比，斐波那契数列取值规律以及与黄金比有关的性质隐蔽性较强，不易发掘．学生发散性思维，批判性思维，创造性思维等高阶思维品质还有待进一步提升．4.教学难点及突破策略教学难点：斐波那契数列与黄金比有关的性质的发现与推导．突破策略：(1)根据思维最近发展区理论，在学生已有的认知经验中寻找新知识的生长点，引导学生运用类比方法，对斐波那契数列展开探究；(2)通过学生合作交流，教师引导点拨以及技术辅助手段，帮助学生发现和理解斐波那契数列与黄金比的关系．四、教学策略分析本节课是一节数学活动课，对于教学活动的设计应遵循教学的基本规律：情境—问题—活动—结果．在教法上，本节课采用以学生为主体的探究式教学方法，通过一系列循序渐进的探究活动，帮助学生多角度地理解教学内容．将数学文化融入数学教学活动，引导学生感悟数学的价值，提升科学精神、应用意识和人文素养．在学法上，从学生已有的认知出发，给与学生充分的独立思考、动手操作、合作探究、交流展示的时间和机会，注重学生的学习过程体验，着力培养学生的探究精神，实现人人参与活动，不同的人得到不同的发展．在教学评价上，关注学生成长和发展的过程，包括知识技能的掌握与核心素养的提升．重视师生之间、生生之间的沟通交流，做到多元评价、及时反馈．五、教学过程设计引导语：现实生活中存在着各式各样的现象，有些现象与“数”紧密联系并具有一定的规律．其中具有等差、等比规律的数列我们已经进行了比较系统的研究．今天我们再来认识一个新的神奇的数列．1.创设情境，规律探究情境：意大利数学家斐波那契在其著作《计算之书》中提出了一个有趣的兔子问题：假设一对刚出生的小兔（一雌一雄），一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔（一雌一雄），此后每个月生一对小兔. 如果不发生死亡，那么由一对刚出生的小兔开始，50个月后会有多少对兔子？时间/月小兔子/对大兔子/对兔子总数/对1101201131124 1 2 3问题：第5至12个月的兔子对数分别是多少？学生活动：尝试用列举、树状图、列表等方法得到第5至12个月的兔子对数．追问1：你是怎么得到这些月的兔子对数的？追问2：这个规律适合每个月的兔子对数吗？追问3：假设第n 个月的兔子对数为F n ，你能用数学符号语言表达这个规律吗？师：按照这个规律，我们就能得到更多月份的兔子对数，这些数构成了一个数列，由于这个数列最早是由斐波那契提出的，为了纪念他，人们把这个数列称为斐波那契数列，通常记为数列{}n F ，数列中的项称为斐波那契数．【设计意图】以经典的兔子繁殖问题创设情境，分析其中的数量关系，探寻兔子繁殖规律，抽象出数学模型——斐波那契数列．通过教师引导、学生独立思考和问题串，帮助学生发现和理解兔子繁殖规律的数学本质是一种特殊的递推关系，并用数学符号进行正确表征，发展学生的数学建模和数学抽象素养．2.类比迁移，性质探究探究活动：类比等差、等比数列的研究内容及研究方法，对斐波那契数列展开探究.要求：明确探究主题（一个或多个）；小组分工合作；写出探究过程和结论.预设1：学生探究斐波那契数列的通项公式．预设2：学生探究斐波那契数列相邻两项的比值．预设3：学生探究斐波那契数列的前n 项和．预设4：学生探究斐波那契数列奇数项或偶数项的和．预设5：学生探究斐波那契数列相邻三项的关系．小组代表汇报探究成果．通过合作探究，教师引导，学生发现斐波那契数列每一项与后一项的比值交替地大于或510.618-≈），并且该比值无限趋近于黄金比． 【设计意图】等差、等比数列的学习经验是探究活动的生长点，学生在对斐波那契数列的探究过程中，从已有的知识和经验出发，通过类比发现、动手计算、演绎证明、归纳猜想等方式，发现斐波那契数列的性质，特别是与黄金比的联系，将新知识纳入已有的知识体系中．这是一个主动建构的过程，特别是思维层面的积极建构，对发展学生的科学探究与构造、逻辑推理与论证、语言表达与沟通、批判性思维以及创造性思维等高价思维能力起到了很大的促进作用．3.动手操作，深化探究探究活动：用所给的正方形纸片拼成矩形（从最小的两个正方形开始，每次添加一个正方形）．并思考：⑴如果最小的两个正方形的边长是1个单位长度，那么其它的正方形的边长分别是多少？⑵观察每次所得矩形的宽和长分别是多少？你有什么发现？⑶用不同的方法计算每次所得矩形的面积，你又有什么发现？引导学生将“用不同的方法计算每次所得矩形的面积”得到的等式进行推广，归纳出斐波那契数列的又一个性质：22221231n n n F F F F F F ++++⋅⋅⋅+=．介绍斐波那契矩形和斐波那契螺旋线，以及它们与黄金矩形、黄金螺线的关系．【设计意图】从“形”的角度继续对斐波那契数列与黄金分割的关系进行探究，以形助数，尝试发现新性质；以数解（释）形，用数学符号语言表达图形隐含的规律．帮助学生建立良好的数学直觉，体会数形结合的思想方法，多角度地把握现象的规律性．4.数学欣赏，拓展探究欣赏图片和视频，感受无处不在的斐波那契数列与黄金分割．【设计意图】自然界中的许多现象都蕴含着斐波那契数列，黄金分割的应用更是体现在生活的方方面面，其中优选法、五角星既是黄金分割的直接应用，又是进行爱国主义教育的良好素材．通过图片和视频，在对学生进行美的熏陶和教育的同时，培养学生的审美意识，帮助学生感知数学源于生活，体会数学与生活以及其他学科的联系，引导学生用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界．实现德育与智育、美育的有机融合，落实立德树人根本任务．5.总结反思，升华探究表2师：本节课，我们遵循研究数列的一般路径，通过合作探究，发现了斐波那契数列与黄金分割的神秘关系，也体会了初高中数学在研究问题时的差异性及统一性．在活动中，同学们能自主地发现、提出、分析和解决问题，正是这种探究精神，推动了数学的发展．最后和同学们分享一则斐波那契数列带给我们的启示：明天的成就=今天的努力+昨天的积累．希望同学们在今后的学习生活中，踔厉奋发，笃行不怠！【设计意图】结合数学活动评价表（见表2），引导学生回顾研究过程，总结研究方法，感悟研究数学问题的基本路径：背景—概念—性质—结构（联系）—应用，以及研究数列的一般观念：运算．总结活动经验，增强学习自信，培养数学交流和表达的能力，养成及时反思总结的良好学习习惯．6.分层作业，延伸探究⑴完成《数学活动评价表》；⑵尝试用代数方法证明22221231n n n F F F F F F ++++⋅⋅⋅+=；⑶（选做）查阅资料，进一步了解和研究斐波那契数列与黄金分割，撰写小论文.【设计意图】必做作业意在帮助学生巩固斐波那契数列的有关知识，掌握证明方法的多样性，进一步积累数学活动经验．选做作业旨在引导学生厚实阅读、丰富阅历，提高自主学习和探究能力，实现学生的可持续发展.斐波那契数列与黄金分割活动时间同学或小组评价老师评语 又是如何发现斐波那契数列与黄金比的关系的？数学活动评价表活动名称个人评价 1.回顾本节课的研究过程，我们是怎样展开对斐波那契数列的研究的？2.你提出并解决了哪些问题？是如何解决的？运用了哪些知识和思想方法？ 你是否在与同学的交流中得到启发？3.你对生活与数学的联系、数学在解决实际问题中的作用有哪些新的体会？参考文献：[1] 帅建卓．初中数学活动课文献综述[J]．中学数学杂志，2012，8（25）.[2] 中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2022年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2022.4：69.。
斐波那契数列与黄金分割的联系
斐波那契数列与黄金分割的联系斐波那契数列与黄金分割是两个在数学和自然界中非常重要的概念。
它们之间存在着密切的联系，这一联系体现在斐波那契数列中每两个相邻数的比例，正好是无限接近于黄金分割的比例。
斐波那契数列是一个无限序列，从0和1开始，后面的每个数都是前面两个数之和。
具体来说，斐波那契数列的定义如下：F(0) = 0，F(1) = 1，F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中n≥2。
斐波那契数列中的数迅速增长，例如，前几个斐波那契数是：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，...可以看出这个数列几乎是无穷无尽的。
黄金分割是指一种特殊的比例关系，即将一条线段分成两部分，使得整体长度与较长部分的比值等于较长部分与较短部分的比值。
这个比值通常用希腊字母φ（phi）来表示，约等于1.618。
斐波那契数列中的相邻数之间的比值逐渐逼近黄金分割比例。
具体来说，当n较大时，F(n)/F(n-1)的比值接近于黄金分割比例φ。
例如，当n=20时，F(20)/F(19)≈1.618，接近于黄金分割比例。
为什么斐波那契数列和黄金分割之间存在联系呢？这涉及到一个数学性质，即斐波那契数列的极限比值与黄金分割比例是相等的。
换句话说，当n趋近于无穷大时，F(n)/F(n-1)的极限等于黄金分割比例φ。
这一性质可以通过数学推导得到。
斐波那契数列和黄金分割在自然界中的广泛存在也是它们联系的体现。
黄金分割比例被广泛应用于艺术、建筑和设计领域，人们认为它具有一种视觉上的美感。
许多传统文化中的建筑和艺术作品都采用了黄金分割比例。
斐波那契数列也出现在自然界中各种地方，如植物的生长中、动物的骨骼结构、海洋中的螺旋壳形状等。
这些都体现了斐波那契数列和黄金分割的普遍存在。
斐波那契数列和黄金分割的联系还可以用几何形状来展示。
通过绘制正方形并在正方形的一边上不断添加等边三角形，可以形成一个逐渐扩大的黄金矩形。
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数学文化
主讲教师 李令斗
斐波那契数列与黄金分割
一、兔子问题和斐波那契数列
二、数学的统一美
三、 斐波那契协会和《斐波那契季刊》
一、兔子问题和斐波那契数列
1． 兔子问题
1） 问题 ——取自意大利数学家 斐波那契的《算盘书》 （1202年）
(L.Fibonacci,1170-1250）
D (DB)
AC AB
交A D于 E ，
5 1 2
再作 A ( A E ) 交 A B于 C
，则
D
C ， 即
为 A B 的黄金分割点。
5
E
1
A
C
B
2
25
证：不妨令
AD 2 1
2
BD 1
，则
5 1 2
AB 2
，
5 1，
5
， AE
AC AB
AD ED
AC AE
un vn
19
对照
x 1 1
1 1 1 1 1 1
可算得
u1
1 u2 , v1 1 v2
1 1
1 u3 , 1 2 v3 1
1 1 1 1 1 1
2 u4 , 3 v4
1 1 1 1 1 1 1 1
3 5
20
发现规律后可以改一种方法算，
un vn 1
3
兔子问题
假设一对初生兔子要一个月才到成熟期， 而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么， 由一对初生兔子开始，12 个月后会有多少 对兔子呢？
4
解答
1 月 1 对
5
解答
1 月 1 对 2 月 1 对
6
解答
1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对
7
解答
1 2 3 4 月 月 月 月 1 1 2 3 对 对 对 对
1
反复迭代，就得到上述连分数。
17
x 1 1
1 1 1 1 1 1
上述这一全部由1构成的连分数， 是最简单的一个连分数。
18
通常，求连分数的值，如同求无理数的
值一样，我们常常需要求它的近似值。
如果把该连分数从第 条分数线截住，即 n n 1 把第 条分数线上、下的部分都删去，就 得到该连分数的第 次近似值，记作 n
（ “一阶”、“二阶”）
F1 F2 1 Fn Fn 1 Fn 2 , n 3, 4, 5
14
2） 斐波那契数列 令 n = 1, 2, 3,… 依次写出数列，就是
1，1，2，3，5，8，13，21，34， 55，89，144，233，377，… 这就是斐波那契数列。其中的任一个 数，都叫斐波那契数。
提出了颇有影响的“波浪理论”。该理论认为：
股指波动的一个完整过程（周期）是由波形图 （股指变化的图象）上的5（或8）个波组成，其 中3上2下（或5上3下），如图，无论从小波还是 从大波波形上看，均如此。
注意这儿的2、3、5、8均系斐波那契数列中
的数。
61
同时，每次股指的增长幅度常循斐波 那契数列中数字规律完成。比如：如果某 日股指上升8点，则股指下一次攀升点数
肘关节： （肩—中指尖） 膝 盖： （髋关节—足尖）
28
2） 著名建筑物中各部分的比
如埃及的金字塔， 高（137米）与底边长 （227米）之比为0.629
古希腊的巴特农神殿，
塔高与工作厅高之比为 340∶553≈0.615
（外形的高与宽之比？ 大理石廊柱高与神殿高之比？）
29
3） 美观矩形的 宽长比 如国旗和其它用到 矩形的地方（建筑、家 具） 4） 风景照片中， 地平线位置的安排
x
x 1 1 x x
， x 2 x 1 0
5
x
1 2
，其正根为
5 1 2
0 .6 1 8 0 3 3 9 0 .6 1 8
A
小段 大段
B
24
3． 黄金分割的尺规作图 设线段为 A B 。作 B D A B ，且
BD 1 2 AB
，连 A D 。作
波那契数。斐波那契数是大自然的一个基
本模式，它出现在许多场合。
下面举几个例子。
40
1） 花瓣数中的斐波那契数
大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波
那契数。例如，兰花、茉利花、百合花有3
个花瓣，毛茛属的植物有5个花瓣，翠雀属
植物有8个花瓣，万寿菊属植物有13个花瓣，
紫菀属植物有21个花瓣，雏菊属植物有34、
二、数学的统一美
数学中，“从不同的范畴，不同的途径，得 到同一个结果”的情形是屡见不鲜的。 这反映了客观世界的多样性和统一性，也反
映了数学的统一美。
黄金分割点0.618的得到，是一个能说明问
题的例子
33
从不同途径导出黄金比
5 1 2
0 .6 1 8
1． 黄金分割：线段的分割点满足
大段 全段 小段 大段
55或89个花瓣。
41
花瓣中的斐波那契数 花瓣的数目
海棠（2）
铁兰（3）
42
花瓣中的斐波那契数 花瓣的数目
洋紫荊（5）
黃蝉（5）
蝴蝶兰（5）
43
花瓣中的斐波那契数 花瓣的数目
雏菊（13）
雏菊（13）
44
2）树杈的数目
13 8
5 3 2 1 1
45
3）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数
46
47
8
解答
1 2 3 4 5 月 月 月 月 月 1 1 2 3 5 对 对 对 对 对
9
解答
1 2 3 4 5 6 月 月 月 月 月 月 1 1 2 3 5 8 对 对 对 对 对 对
10
解答
1 2 3 4 5 6 7 月 1 月 1 月 2 月 3 月 5 月 8 月 13 对 对 对 对 对 对 对
51
菜花表面排列的螺线数（5-8）
52
这一模式几个世纪前已被注意到，此后曾
被广泛研究，但真正满意的解释直到1993年
才给出。这种解释是：这是植物生长的动力学
特性造成的；相邻器官原基之间的夹角是黄金
角——137.50776度；这使种子的堆集效率达
到最高。
53
4）斐波那契数与音乐 2
3
3
5
54
5
在19世纪初以前，也没有人认真研究过它。没 想到过了几百年之后，十九世纪末和二十世 纪，这一问题派生出广泛的应用，从而突然活 跃起来，成为热门的研究课题。
36
有人比喻说，“有关斐波那契数
列的论文，甚至比斐波那契的兔子
增长得还快”，以致1963年成立了 斐波那契协会，还出版了《斐波那
契季刊》。
37
2． 斐波那契生平 出生于意大利的比萨。 他小时候就 对算术很有兴趣。 后来，他父亲带他旅行到埃 及、叙利亚、希腊（拜占 庭）、西西里和普罗旺斯， 他又接触到东方国家的数学。 斐波那契确信印度—阿拉伯 计算方法在实用上的优越性。 1202年，在回到家里不久， 他发表了著名的《算盘书》。
57
2） 通过面对面的玻璃板的斜光线的 不同路线条数
反射次数为0的光线以唯一 的一种路线通过玻璃板； 反射次数为1的光线可以以2 种路线通过玻璃板；
反 射 次 数 不 同 路 线 数 1
0
反射次数为2的光线可以以3
种路线通过玻璃板； 反射次数为3的光线可以以5
1 2
种路线通过玻璃板；
反射次数为的光线可以以种 路线通过玻璃板；
5 1 2
的值正是
5 1 2
6． 优选法的试验点，正是 我们看到了数学的统一美。
5 1 2
35
三、 斐波那契协会和《斐波那契季刊》
1． 斐波那契协会和《斐波那契季刊》
斐波那契1202年在《算盘书》中从兔子 问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，
13，…之后，并没有进一步探讨此序列，并且
月 份 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ ⅤⅥ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ 大兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 小兔对数 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
到十二月时有大兔子89对，小兔子55对，共 有兔子89+55=144对。 （三点规律）
13
2． 斐波那契数列
1） 公式 用 F n 表示第 n 个月大兔子的对数，则有 二阶递推公式
，这一比值正是
5 1 2
。
Fn Fn 1
2． 斐波那契数列组成的分数数列
1 1 2 3 5 , , , , , 1 2 3 5 8
的极限正是
5 1 2
。
34
3． 方程
x x 1 0
2
的正根是
5 1 2
4． 黄金矩形的宽长之比正是 5． 连分数 x
1 1 1 1 1 1
8
55
4． 科学中的斐波那契数列 1） 电路中的斐波那契数列 如下图那样专门设计的电路， 表示
的都是1欧姆的电阻，最后一个分支中的电
流为1安培，则加在电阻上的电压（从右至 左）恰好是斐波那契数列：1，1，2，3，5， 8，13，…
56
加在电阻上的电压，从右至左，恰是斐波那契数列 1，1，2，3，5，8，13，21,…………
30
5） 正五角星中的比
AB AC
E' B A' D C
0 .6 1 8
AB AD AD D C
0 .6 1 8
D'
B'
C'
A
E
0 .6 1 8