考数学第二编中档题突破专项训练篇中档题型训练(七)简单的函数应用问题攻略试题
中职函数练习题推荐
中职函数练习题推荐函数是数学中的重要概念，在中职数学教学中也占据着重要的地位。
通过练习题的形式，可以帮助学生巩固对函数的理解和掌握相关的解题方法。
本文将推荐一些适合中职学生练习的函数题，以帮助他们在函数这一知识点上取得更好的成绩。
1. 函数定义与初等函数题目一：判断下列符号表达式是否表示函数关系，并解释原因。
(1) f(x) = x^2 + 1(2) y = 2x + 3(3) x^2 + y^2 = 1题目二：给出函数f(x) = x + 2与函数g(x) = 2x - 1的定义域和值域。
2. 函数的图像与性质题目一：根据所给函数的图像，判断函数的增减性并给出理由。
题目二：求函数f(x) = -x^2 + 4x - 3的零点，并判断函数在零点处的单调性。
3. 函数与方程题目一：已知函数f(x) = 2x - 3，求方程f(x) = 5的解。
题目二：已知函数f(x) = x^2 + 2x - 1，求方程f(x) = 0的解和函数的顶点坐标。
4. 复合函数题目一：已知函数f(x) = 2x + 1和g(x) = x^2 - 3x，求复合函数f(g(x))的解析式。
题目二：已知函数f(x) = x + 2和g(x) = 2x^2 - 1，求复合函数g(f(x))的解析式。
5. 反函数题目一：已知函数f(x) = 3x - 2，求函数f的反函数f^{-1}(x)的解析式，并求f^{-1}(2)的值。
题目二：已知函数f(x) = 2x + 1，求函数f的反函数f^{-1}(x)的解析式，并求f^{-1}(3)的值。
以上推荐的函数练习题涵盖了函数的定义与初等函数、函数的图像与性质、函数与方程、复合函数以及反函数等内容。
通过针对这些题目的练习，中职学生可以加深对函数的理解并掌握相关的解题技巧。
在练习过程中，建议学生注意以下几点：1. 仔细阅读题目，理解题目要求。
明确题目中所给的已知条件和需要求解的目标。
2. 注意函数的定义域和值域，理解函数图像的特点，如增减性、零点、单调性等。
考数学第二编中档题突破专项训练篇中档题型训练(八)统计与概率知识的应用试题
(河北专版)2017中考数学第二编中档题突破专项训练篇中档题型训练(八)统计与概率知识的应用试题中档题型训练(八)统计与概率知识的应用纵观近8年河北中考试题，对本内容多以解答题的形式出现，侧重对统计图表的理解和分析•概率知识在中 考中以选择题、填空题为主，也常常把概率和统计及其他知识点结合考查•但最近两年，河北中考在解答题中会 单独命题，如2016年23题，单独考概率应起重视并强化训练.统计知识「的应用【例1】(2016廊坊二模)某中学八年级抽取部分学生进行跳绳测试•并规定：每分钟跳 90次以下的为不及格；每分钟跳 90〜99次的为及格；每分钟跳 100〜109次的为中等；每分钟跳 110〜119次的为良好；每分钟跳 120次及以上的为优秀•测试结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图•请根据图中信息，解答下列各题：(1) 参加这次跳绳测试的共有 _________ 人； (2) 补全条形统计图；(3) 在扇形统计图中，“中等”部分所对应的圆心角的度数是 _____________ ； (4) 如果该校八年级的总人数是 480人，根据此统计数据，请你估算该校初二年级跳绳成绩为“优秀”的人数.【思路分析】(1)利用条形统计图以及扇形统计图得出良好的人数和所占比例，即可得出参加这次跳绳测试的 人数；(2)利用(1)中所求，结合条形统计图得出优秀的人数，进而求出答案； (3)利用中等的人数，进而得出 “中等”部分所对应的圆心角的度数； 【学生解答】解：(1)50; (2)(4)禾U 用样本估计总体进而利用“优秀”所占比例求出即可 优秀的人数为：50- 3 — 7- 10— 20= 10,如图所示；(3)72 ° ； (4)估计该校 八年级跳绳成绩为“优秀”的人数为：10480 X= 96（人）•501. （2016江西中考）为了了解家长关注孩子成长方面的状况，学校开展了针对学生家长的“您最关心孩子哪方面成长”的主题调查，调查设置了“健康安全”“日常学习”“习惯养成”“情感品质”四个项目并随机抽取甲、乙两班共100位学生家长进行调查，根据调查结果，绘制了如图不完整的条形统计图.（1 r）补全条形统计图；（2）若全校共有3 600位学生家长，据此估计，有多少位家长最关心孩子“情感品质”方面的成长？（3）综合以上主题调查结果，结合自身现状，你更希望得到以上四个项目中哪方面的关注和指导？解：（1）乙组关心“情感品质”的家长有：100- （18 + 20 + 23 + 17+ 5+ 7 + 4）= 6（人）,补全条形统计图如图；4 + 6（2）而X 3 600 = 360（人）.答：估计约有360位家长最关心孩子“情感品质”方面的成长；（3）无确切答案，结合自身情况或条形统计图，言之有理即可，如：从条形统计图中可以看出，家长对“情感品质”关心不够，可适当关注与指导.2. （2016天津中考）在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m），绘制出如下的统计图①和图②•请根据相关信息，解答下列问题：（1）图①中a的值为__25__；（2）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；（3）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65 m的运动员能否进入复赛.解：（2）观察条形统计图得：1.50 X 2 + 1.55 X 4+ 1.60 X 5+ 1.65 X 6+ 1.70 X3 亠、“町丄口亠1.65出现了6次，出现的次数最多，•••这组数据的众数是 1.65 ;将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数都是1.60，则这组数据的中位数是 1.60 ; （3）能.概率知识的应用【例2】（2016路北区二模）现有一个六面分别标有数字1, 2, 3, 4, 5, 6且质地均匀的正方形骰子，另有三张正面分别标有数字 1 , 2, 3的卡片（卡片除数字外，其他都相同），先由小明投骰子一次，记下骰子向上一面出现的数字，然后由小王从三张背面朝上放置在桌面上的卡片中随机抽取一张，记下卡片上的数字.（1）请用列表或画树形图（树状图）的方法，求出骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6的概率；（2）小明和小王做游戏，约定游戏规则如下：若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7,则小明赢；若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7,则小王赢，问小明和小王谁赢的可能性更大？请说明理由.【思路分析】（1）列举出所有情况，看向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6的情况数占总情况数的多少即可；（2）概率问题中的公平性问题，解题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可.【学生解答】解：（1）画树状图如图所示：3 1由上图可知，一共有18种等可能的情况，其中数字之积为6的情况有3种，所以P（数字之积为6）==-;18 6 （2）小王赢的可能性更大.理由：由上图可知，所有等可能的结果有18种，其中骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7的有7种，骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7的有11种，所以小明赢的概7 11 7 11 , …率为18，小王赢的概率为18，18<18，故小王赢的可能性更大.3. （2016重庆中考）点P的坐标是（a, b），从一2,—1, 0, 1, 2这五个数中任取一个数作为a的值，再从余下的四个数中任取一个数作为1b的值，则点P（a , b）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是匸.~5-4. （2016丽水中考）箱子里放有2个黑球和2个红球，它们除颜色外其余都相同•现从箱子里随机摸出两个球，恰好为「1个黑球和1个红球的概率是33-5. （2016威海中考）一个盒子里有标号分别为 1 , 2, 3, 4, 5, 6的六个小球，这些小球除标号数字外都相同.（1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；（2）甲、乙两人用这六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字•若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢•请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平.3 1解：⑴P（奇）=7—；6 2⑵列表得：18 1 18 1的标号数字为一奇一偶的结果有18种，P（甲赢）= =;,P（乙赢）= =^，二这个游戏对甲、乙两人是公平36 2 36 2的.统计与概率的综合应用【例3】（2016潜江中考）某校男子足球队的年龄分布如下面的条形图所示.（1）求这些队员的平均年龄；（2） 下周的一场校际足球友谊赛中，该校男子足球队将会有 你求出其中某位队员首发出场的概率.【思路分析】（1）根据加权平均数的计算公式进行计算即可; 即可求解.【学生解答】解：（1）该学校男子足球队 队员的人数为 2+ 6 + 8+ 3+ 2+ 1 = 22（人）•该校男子足球队员的平 均年龄为（13 X 2+ 14X 6+ 15X 8+ 16X 3+ 17X 2+ 18X 1）十22= 330- 22= 15（岁）•故这些队员的平均年龄是 15 岁；（2） T 该校男子足球队一共有 22名队员，将会有11名队员作为首发队员出场，.••不考虑其他因素，其中某位11 1队员首发出场的概率为22= 2.6• （2016内江中考）学校为了增强学生体质，决定开设 以下体育课外活动项目： A.篮球，B.乒乓球，C.跳 绳，D.踢毽子•为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅 不完整的统计图［如图（1），图（2）］，请回答下列问题：（1） 这次被调查的学生共有 __200—人; （2） 请你将条形统计图补充完整；（3） 在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球 比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率. （用树状图或列表法解答）图（1） 图（2）解：（2）C 项目对应人数为：200- 20- 80-40= 60（人）；如图所示;11名队员作首发队员出场，不考虑其他因素，请 （2）用首发队员出场的人数除以足球队的总人数⑶列表如下:一一一 2 1 ）=12= 6.7. （2016永州模拟）有三张卡片（形状、大小、质地都相同），正面分别写上整式x2+ 1,—X2—2, 3•将这三张卡片背面向上洗匀，从中任意随机抽取一张卡片，记卡片上的整式为A,再从剩下的卡片中任意抽取一张，记卡A 片上的整式为B,于是得到代数式-.BA（1）请用画树状图或列表的方法，写出代数式所有可能的结果；BA（2）求代数式§恰好是分式的概率.解：⑴画树状图：（2）代数式所有可能的结果共有6种，其中是分式的有4种:2 2—x — 2 3 x + 1X2+ 1 ，X2+ 1，—X2—2,3—x2— 2•。
中职数学函数部分重要题型练习
学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________数学试题 函数部分典型题、 已知函数()f x 在R 上是奇函数，且在()0+∞，上是减函数，试说明函数()f x 在区间()0-∞，上的单调性． 、 已知()f x 在区间()0+∞，上为增函数，试解不等式()()82f x f x >-⎡⎤⎣⎦．、下列函数中，在区间()02，上是增函数的是_____A: 12log (1)y x =+ B: 21log y x = C: 2log y =D: 212log (45)y x x =-+、函数()21log 56y x x =--的单调递增区间为__________．、函数12y ⎛= ⎪⎝⎭的单调递增区间为__________．、已知定义在R 上的偶函数()f x 在()0-∞，上是递增的，且2(21)f a a ++<2(321)f a a -+，a 的取值范围． 7、（1）若函数22(1)(1)3y a x a x =-+-+在R 上为偶函数，求a 的值．（2）若函数2()2(1)3f x ax a x =+-+为R 上的偶函数，求a 的值．8、试判断函数()(f x x =-1x <）的奇偶性．9、已知x ∈R 且1x ≠±，()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，()()11f x g x x+=+， 试求()f x 与()g x 的解析式．10、已知()f x 为奇函数，且当0x >时其解析式为()1f x x =-，试求()0f x >的解集．学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________、已知()f x 为奇函数，且0x >时有()212f x x x =+-，求0x <时()f x 的表达式．、试判断函数)y x =在其定义域内的奇偶性． 、如下的四个函数中，是偶函数的是_______________．：2lg 2x y x+=-B ：lg(y x =C ：(1)x xa x y a -= D ：x x y a a -=- 、已知函数()f x 在区间[]a a -，上是奇函数，且在[]0a ，上有2()5f x x =-+，试判断()f x 在[]0a -，上的单调性并给出证明． 、设函数()f x 对于任意x 、y ∈R 都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时有()0f x <， 1）求证对于任意x ∈R ，函数()f x 为奇函数；（2）试判断()f x 在R 上的单调性并证明．16、已知奇函数()y f x =在区间()22-，上单调递增且(2)(12)0f a f a ++->，试求实数a 的范围．题型二：定义域与值域相关17、如果函数2(1)2y x k x k =-+-+值域为非负实数集，试求k 的值．18、已知函数y =R ，求a 的取值范围．19、已知(1)1f x x +=+，求()f x 的解析式．20、若函数2()426f x x x a =-++的值域为[)0+∞，，求a 的值．学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________、试求二次函数241y x x =--+（其中33x -≤≤）的最大值与最小值． 、已知001x y a >><<，，则下列不等式成立的是_______________．A ．x a <y aB ．log log a a x y =C ．xa >y a D ．log a x >log a y、求函数y =的定义域．、解不等式20.3log (2)x x --<20.3log (273)x x -+．、已知532a -<，求关于x 的不等式232x x a -+>2210x x a+-的解集．26、求抛物线2()2f x x ax a =++-与x 轴二交点间的最小距离．27、已知α、β是方程22(2)350x k x k k +-+++=的两个实根（k ∈R ），试求22αβ+的最大值．28、某种商品原来的销售单价为20元，每天可以销售300件，已知适当地涨价可以使每天的销售收入增加，若单价每上涨2元，则销售量减少10件．求单价为多少元时每天的销售收入最大，最大为多少？学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________数学试题 函数部分典型题 答案()f x 在R 上是奇函数，且在()0+∞，上是减函数，试说明函数()f x 在区间()0-∞，12x x ，为()0-∞，上的任意两个负实数，且12x x ≠， 12x x --，为()0+∞，上的任意正实数，且12x x -≠-， ()f x 在()0+∞，上是减函数，则()()()()21210f x f x x x ---<---（1）()f x 在R 上是奇函数，故()()()()1122f x f x f x f x -=--=-，1）可得()()()()()()()211221120f x f x f x f x x x x x ----=<----()f x 在区间()0-∞，上为减函数． ()f x 在区间()0+∞，上为增函数，试解不等式()()82f x f x >-⎡⎤⎣⎦．()02082x x x x ⎧>⎪->⎨⎪>-⎩，解得02169x x x ⎧⎪>⎪<⎨⎪⎪>⎩，即1629x <<．1629x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．()02，上是增函数的是_____．（D ）12log (1)y x =+ B: 21log y x = C: 2log y =D: 212log (45)y x x =-+ 4、函数()212log 56y x x =--的单调递增区间为__________．（()1-∞-，）5、函数12y ⎛=⎪⎝⎭的单调递增区间为__________．(]0-∞，6、已知定义在R 上的偶函数()f x 在()0-∞，上是递增的，且2(21)f a a ++<2(321)f a a -+，试求实数a 的取值范围．解：由()f x 为定义在R 上的偶函数，在()0-∞，上是增函数， 根据偶函数的对称性，容易判断()f x 在()0+∞，上为减函数因为2221177212122488a a a a a ⎛⎫⎛⎫++=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221223213133333a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+=-+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由以上可得，221a a ++>2321a a -+，整理得230a a -<，解得03a << 7、（1）若函数22(1)(1)3y a x a x =-+-+在R 上为偶函数，求a 的值． 解：①若10a -=，函数为3y =，在R 上为偶函数，符合题意；②若10a -≠，由函数22(1)(1)3y a x a x =-+-+为偶函数可得210a -=，即()11a a ==-舍去或 综合①②可得，11a a ==-或．（2）若函数2()2(1)3f x ax a x =+-+为R 上的偶函数，求a 的值． 解：①若0a =，函数为()3f x x =-+，不是偶函数，不符合题意；②若0a ≠，由函数2()2(1)3f x ax a x =+-+为偶函数可得1a =，综合①②可得，所求1a =．学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________()(f x x =-1x <）的奇偶性． 1x <得11x -<<，定义域关于原点对称()(f x x =-=()()x f x -===()f x 在()11-，上是偶函数．x ∈R 且1x ≠±，()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，()()11f x g x x+=+，()f x 与()g x 的解析式． ()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，()()()()f x f x g x g x -=-=，()()11f x g x x +=+ ①，得()()()()11f x g x f x g x x-+-=-=- ② ()()()()1111f x g x x f x g x x ⎧+=⎪⎪+⎨⎪-=⎪-⎩，解得()()22111f x x x g x x ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩．()f x 为奇函数，且当0x >时其解析式为()1f x x =-，试求()0f x >的解集．x 为()0-∞，上任意负实数，则x -为()0+∞，上任意正实数()()11f x x x -=--=--()f x 为奇函数，所以()()1f x f x x -=-=--，所以()()10f x x x =+<所以()()()1010x x f x x x +<⎧⎪=⎨->⎪⎩，由()0f x >得①010x x >⎧⎨->⎩或②010x x<⎧⎨+>⎩分别解①②不等式组，得1x >或10x -<< 所以所求解集为{}110x x x >-<<或． 方法二：由已知条件可作函数图象，如右图所示：由图可得()0f x >解集为{}110x x x >-<<或．11、已知()f x 为奇函数，且0x >时有()212f x x x =+-，求0x <时()f x 的表达式． 解：设x 为()0-∞，上任意负实数，则x -为()0+∞，上任意正实数由已知得()()22()1212f x x x x x -=-+--=--因为()f x 为奇函数，所以()2()12f x f x x x -=-=--所以()212f x x x =-++．12、试判断函数)y x =在其定义域内的奇偶性． 解：由已知得，函数的定义域为R ，关于原点对称，又())lgf x x -=，所以()()))lglgf x f x x x -+=+)()22lg lg 1lg10xx x x ⎡⎤==+-==⎢⎥⎣⎦即()()f x f x -=-，所以函数为奇函数．13 、如下的四个函数中，是偶函数的是_______________．（A ）A ：2lg 2x y x+=- B ：lg(y x = C ：(1)x xa x y a -= D ：x x y a a -=-学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________()f x 在区间[]a a -，上是奇函数，且在[]0a ，上有2()5f x x =-+，试判断()f x 在 []0a -，上为减函数． []0a -，上任意负实数，则x -为[]0a ，上任意正实数()22()55f x x x -=--+=-+，()2()5f x f x x -=-=-+，即()[]250f x x x a =-∈-，，为[]0a -，上任意两负实数，且12x x ≠()()222221212121212121550f x f x x x x x x x x x x x x x ---+-====+<---)在区间[]0a -，上为减函数． ()x 对于任意x 、y ∈R 都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时有()0f x <， x ∈R ，函数()f x 为奇函数；（2）试判断()f x 在R 上的单调性并证明． 0=)()()y f x f y +=+，得()()()00f x f x f +=+，即()()()0f x f x f =+，即()00f =)()()()00y f f x f x ==+-=，所以()()f x f x -=- x ∈R ，函数()f x 为奇函数．12x ，为任意两实数，且21x x > ()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=- )()()()()212121f x f x f x f x x -=+-=-因为当0x >时，()0f x <，又210x x ->，所以()()210f x f x -< 所以函数()f x 在R 上为减函数．16、已知奇函数()y f x =在区间()22-，上单调递增且(2)(12)0f a f a ++->，试求实数a 的范围．解：由已知(2)(12)0f a f a ++->得(2)(12)f a f a +>--因为函数()y f x =为奇函数，(12)(21)f a f a --=-，所以(2)(21)f a f a +>-由以上及题意可得2222212221a a a a -<+<⎧⎪-<-<⎨⎪+>-⎩，整理得4013223a a a -<<⎧⎪⎪-<<⎨⎪<⎪⎩，解得102a -<<所以所求实数a 的范围为102a -<<． 题型二：定义域与值域相关17、如果函数2(1)2y x k x k =-+-+值域为非负实数集，试求k 的值．解：由已知得()()21420k k ∆=+--+=，即221480k k k +++-=，整理得2670k k +-=解得71k k =-=或．18、已知函数y =R ，求a 的取值范围． 解：由已知得2240ax ax -+≥，解集为R① 若0a =，不等式为40≥，恒成立，故0a =符合题意；② 若0a ≠，由题意可得204160a a a >⎧⎨∆=-≤⎩，解得004a a >⎧⎨≤≤⎩， 即04a <≤综合①②可得，所求a 的取值范围为[]04，．学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________()f x 的解析式．1t =+的值域为[)0+∞，，求a 的值． )60a +=，解得1a =-()226222a x a ++=-++22a + 1a =-．33x -≤≤）的最大值与最小值． )()224125x x ++=-++()320=-．_______________．（A ） a y C ．xa >y a D ．log a x >log a y的定义域．3721x x ≥>≤，即3712x x x ≥⎧⎪>⎨⎪≤⎩ {}712x x <≤． 20.3(273)x x -+．解：由原不等式可得()()()22222012730222733x x x x x x x x ⎧-->⎪⎪-+>⎨⎪-->-+⎪⎩解（1）得：12x x <->或解（2）得：132x x <>或 解（3）得：15x <<综合（1）（2）（3）得所求不等式解集为{}35x x <<． 25、已知532a -<，求关于x 的不等式232x x a-+>2210x x a+-的解集．解：由532a -<得，2532a -<-<，解得115a << 由不等式232x x a-+>2210x x a+-得2232210x x x x -+<+-，即24120x x +->所以()()260x x -+>，解得62x -<< 所以所求不等式解集为{}62x x -<<．26、求抛物线2()2f x x ax a =++-与x 轴二交点间的最小距离．解：设12x x ，为抛物线与x 轴的两交点的横坐标 故1222x x a x x a =-=-+，所以12x x ==-显然，当2a =时，有最小值为2．27、已知α、β是方程22(2)350x k x k k +-+++=的两个实根（k ∈R ），试求22αβ+的最大值．解：因为方程22(2)350x k x k k +-+++=有两个实根，所以()()2224350k k k ∆=--++≥学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________2316160k k --≥，解得433k -≤≤-α、β是方程22(2)350x k x k k +-+++=的两个实根2235k k k αβαβ+=-=++，()()()2222222235k k k αβαβαβ+=+-=--++()22106519k k k =---=-++433k -≤≤-3k =-时，22αβ+取最大值，为()2351915--++=．20元，每天可以销售300件，已知适当地涨价可以使每天的销2元，则销售量减少10件．求单价为多少元时每天的销售收入最大，x 个2元，销售收入为y ，则()()220230010600040020x x x x =+-=+-()()222020600020108000x x x =--+=--+由题意，0x x N >∈且故当10x =时，max 8000y =，此时价格为2021040+⨯=（元） 答：当单价为40元时，销售收入最大，为8000元．。
中考数学第二编中档题突破专项训练篇中档题型训练六直角三角形的应用试题
中档题型训练(六) 直角三角形的应用解直角三角形的应用是河北中考的必考内容之一，它往常以实质生活为背景，考察学生运用直角三角形知识成立数学模型的能力，解答这种问题的方法是运用“遇斜化直〞的数学思想，即经过作协助线(斜三角形的高线)把它转变成直角三角形问题，而后依据条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求解．仰角、俯角问题【例1】(2021张家口二模)学习“利用三角函数测高〞后，某综合实践活动小组实地丈量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其丈量步骤以下：(1)在中心广场测点 C处布置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH＝30°；(2)在测点C与山脚B之间的D处布置测倾器(C，D与B在同向来线上，且C，D之间的距离能够直接测得)，测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH＝45°；测得测倾器的高度CF＝DG＝m，并测得CD之间的距离为288m；红军亭高度为12m，请依据丈量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB.( 3取，结果保存整数)【思路剖析】第一剖析图形，依据题意结构直角三角形．此题涉及多个直角三角形，应利用其公共边结构边角关系，从而可求出答案．【学生解答】解：设AH＝xm,在Rt△EHG中，∵∠EGH＝45°，∴GH＝EH＝AE＋AH＝(x＋12)m.易知GF＝CD＝288m,∴HF＝GH＋GF＝x＋12＋288＝(x＋300)m.在Rt△AFH中，∵∠AFH＝30°，∴AH＝HF·tan∠AFH，即x＝(x＋300)·3解得x＝150(3＋1)，∴AB＝AH＋BH≈＋＝≈411(m).3，答：凤凰山与中心广场的相对高度AB大概是411m.1．(2021张家界中考)如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小明在地面观察旗杆顶端B的仰角为30°，而后他正对建筑物的方向行进了20m抵达地面的E处，又测得旗杆顶端角为60°，建筑物的高度AC＝12m，求旗杆AB的高度．(结果精准到m，参照数据：3≈D处B的仰，2≈1.41)解：由题意得∠DBE＝∠BEC－∠BDE＝60°－30°＝30°＝∠BDE，∴BE＝DE＝20.在Rt△BEC中，BC＝BE·sin60°＝20×3＝103≈17.3(m)，∴AB＝BC－AC＝－12＝5.3(m)．2答：旗杆的高度是m.2．(2021随州中考)某班数学兴趣小组利用数学活动课时间丈量位于烈山山顶的炎帝塑像高度，烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高尺，组员从山脚D处沿山坡向着塑像方向行进1620尺抵达E点，在点处测得塑像顶端A的仰角为60°，求塑像AB的高度．E解：过点E作EF⊥AC于点F，EG⊥CD于点G,在Rt△DEG中，∵DE＝1620，∠D＝30°，∴EG＝DE·sin30°＝1620×1＝810，又∵BC＝2，CF＝EG,∴BF＝BC－CF＝47.5,在Rt△BEF中，tan∠BEF＝BF＝EFtan30°，∴EF＝3BF, 在Rt△AEF中，∠AEF＝60°，设∴AF＝3BF，∴x＋＝3×47.5,∴x＝95. 答：塑像 AB的高度为 95尺．AB＝x,AF∵tan∠AEF＝EF，∴AF＝EF·tan∠AEF,方向角问题【例2】(2021石家庄二十八中二模)以下列图，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛C位于港口O 北偏西60°的方向．一艘游船从港口 O出发，沿OA方向(北偏西30°)以vkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物质后，立刻按原来的速度给游船送去．快艇从港口B到小岛C需要多长时间？(2)假设快艇从小岛C到与游船相遇恰巧用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离．【思路剖析】(1)先由题意求得∠BCO＝90°，解Rt△OBC，求得BC的长，从而求得时间；(2)过点C作CD⊥OA于点D.设相遇处为E，在Rt△CDE中，用勾股定理得v的方程，解得两个v值，分别求出OE的长．【学生解答】解：(1)∵∠BOC＝90°－60°＝30°，∠CBO＝90°－30°＝60°，∴∠BCO＝90°，∴BC＝OB·cos 60°＝120×1＝60()，∴快艇从港口B到小岛C需要的时间为60＝1()；(2)如图，过点C作CD⊥OA于km6021点D，设相遇处为点E，那么OC＝OB·cos30°＝603(km)．在Rt△CDO中．∵∠COD＝30°，∴CD＝2OC＝30km，OD＝OC·cos30°＝90(km)．∵DE＝(90223)＋(90－3v)－3v)km，CE＝60km，∴CD＋DE＝CE，即(30602，解得v＝20或v＝40，∴当v＝20时，OE＝3×20＝60(km)；当v＝40时，OE＝3×40＝120(km)．3．(2021临沂中考)一艘轮船位于灯塔P的南偏西抵达灯塔 P南偏西45°方向上的B处？(参照数据：60°方向，距离灯塔3≈，结果精准到20海里的0.1)A处，它向东航行多少海里解：过点P作PC⊥AB，交AB的延伸线于点C，在Rt△ACP中，∠ACP＝90°，∠APC＝60°，PA＝20.PC∵cos∠APC＝，PAAC1 3sin∠APC＝PA，∴PC＝PA·cos60°＝20×2＝10，AC＝PA·sin60°＝20×2＝103，在Rt△BCP中，∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，∴答：轮船向东航行约BC＝PC＝10，∴AB＝AC－BC＝10 3－10＝10×－10≈7.3.海里抵达灯塔P南偏西45°方向上的B处．4．(2021乐山中考)如图，严禁打鱼时期，某海上稽察队在某海疆巡逻，上午某一时辰在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘打鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立刻乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截打鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截打鱼船所用的时间．解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时.由题意，得∠ABC＝45°＋75°＝120°，AB＝12，BC＝10x，AC＝14x，过点A作AD⊥CB的延伸线于点D，在Rt△ABD中，AB＝12，∠ABD＝60°，∴BD＝6，AD＝63，∴CD＝10x＋6.在Rt△ACD中，由勾股定理得：23(14x)＝(10x＋6)＋(63)，解此方程得x1＝2，x2＝－4(不合题意舍去)．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．坡度、坡比问题【例3】(2021巴中中考)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6，坝高20，斜坡AB的坡m m度i＝1∶，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精准到m，参照数据：2≈，3≈1.732.提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)【思路剖析】分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F将梯形转变成两个直角三角形和一个矩形．【学生解答】解：如图，分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，由题意知BE＝CF＝20，BCBE1201CF2＝EF＝6，∠D＝30°，在Rt△ABE中，i＝＝，即＝，∴AE＝50，在Rt△CDF中，tan30°＝，即DFAE AE DF＝3，∴DF＝203≈，∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋＝90.6()．m答：坝底AD的长度为m.5．(2021石家庄二十八中二模)为邓小平寿辰 110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整顿，如图，已知斜坡AB长60 2m，坡角(即∠BAC)为45°，BC⊥AC，现方案在斜坡中点D处挖去局部斜坡，修筑一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE.(下边两个小题结果都保存根号)假设修筑的斜坡BE的坡比为3∶1，求休闲平台DE的长是多少米？一座建筑物GH距离A点33m远(即AG＝33m)，小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B，C，A，G，H 在同一个平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，建筑物GH高为多少米？解：(1)∵FM∥CG，∴∠BDF＝∠BAC＝45°，斜坡AB长602m，D是AB的中点，∴BD＝302m，∴DF＝BD·cos ∠BDF＝302×2BF33，＝30()，BF＝DF＝30．∵斜坡BE的坡比为3∶1，∴＝，解得EF＝102m mEF1m∴DE＝DF－EF＝(30－10).答：休闲平台DE的长是(30－103)；m m(2)设GH＝xm，那么MH＝GH－GM＝(x－30)m，DM＝AG＋AP＝33＋30＝63(m)，在Rt△DMH中，tan30°＝M H，即D Mx－30＝3，解得x＝30＋213，∴建筑物GH高为(30＋213).633m6．(2021重庆中考)某水库大坝的横截面是以下列图的四边形ABCD，此中AB∥CD，大坝顶上有一眺望台PC，PC正前面有两艘渔船M，N.观察员在眺望台顶端P处观察到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°.MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，且PE长为30m.求两渔船M，N之间的距离；(结果精准到1m)坝高24m，坝长100m，背水坡AD的坡度i＝1∶，为提升大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡经过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变成BH，加固后背水坡DH的坡度i＝1∶，施工队施工10天后，为赶快达成加固任务，施工队增添了机械设施，工作效率提升到本来的2倍，结果比原方案提早20天达成加固任务，施工队原方案均匀每日填筑土石方多少立方米？(参照数据：tan31°≈，sin31°≈0.52)中考数学第二编中档题突破专项训练篇中档题型训练六直角三角形的应用试题11 / 1111PE解：(1)在直角△PEN 中，EN ＝PE ＝30m ，ME ＝tan 31°＝50m ，那么MN ＝EM －EN ＝20(m)．答：两渔船M 、N 之间的距离是20；(2)过点D 作DN′⊥AH 于点N′.由题意得： t an∠DAB＝4， t an4Rt△DAN′中，AN′＝ H ＝.在m7DN′ 24DN ′241＝＝6(m)，在Rt △DHN′中，HN′＝＝42(m)．故AH ＝HN′－AN′＝42－6＝36(m)．S △ADH＝ tan ∠D AB4tanH4 27AH·DN ′＝2V ＝SL ＝432×100＝43200(33432(m)．故需要填筑的土石方是m)．设原方案均匀每日填筑 xm ，那么原方案43200天达成，那么增添机械设施后，此刻均匀每日填筑2x3.依据题意，得：10x ＋43200－10－20·2x ＝xmx43200，解得x ＝864.经查验，x ＝864是原方程的解．答：施工队原方案均匀每日填筑土石方3864m .。
函数练习题中职
函数练习题（中职）一、选择题1. 下列函数中，哪一个是非奇非偶函数？A. y = x^3B. y = |x|C. y = x^2 1D. y = cos(x)2. 已知函数f(x) = 2x + 3，那么f(1)的值为？A. 1B. 1C. 5D. 53. 下列函数中，哪一个函数的值域为[0, +∞)？A. y = x^2B. y = 1/xC. y = x^2D. y = x 1二、填空题1. 已知函数f(x) = 3x 2，则f(2) = _______。
2. 若函数g(x) = 2x^2 4x + 3，则g(1) = _______。
3. 设函数h(x) = |x 1|，则h(0) = _______。
三、解答题1. 求函数f(x) = 2x^3 3x^2 + 4x 5在区间[2, 3]上的最大值和最小值。
2. 已知函数g(x) = (x 1)^2，求g(x)的单调递增区间。
3. 设函数h(x) = 1/(x 2)，求h(x)的定义域。
四、应用题1. 某企业生产一种产品，固定成本为2000元，每生产一件产品的可变成本为50元。
试表示该企业生产x件产品的总成本函数C(x)。
2. 一辆汽车以60km/h的速度行驶，行驶t小时后，汽车离出发点的距离S（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系是什么？3. 某商品的单价为p元，销售量为q件，已知销售量与单价之间的关系为q = 100 p。
试表示该商品的总收入R与单价p之间的关系。
五、判断题1. 函数f(x) = x^2和g(x) = (x + 1)^2的图像相同。
（）2. 如果函数f(x)在区间(0, +∞)上单调递增，那么f'(x) > 0。
（）3. 任何有理数系数的多项式函数都是初等函数。
（）六、作图题1. 请作出函数f(x) = |x|的图像。
2. 请作出函数g(x) = 3x^2 + 4x + 1的图像，并标出其顶点。
七、综合题1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），且f(1) = 3，f(1) = 5，f(2) = 10，求a、b、c的值。
中考数学总复习 第二编 中档题型突破专项训练篇 中档
中档题型训练(三) 一次函数和反比例函数结合利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式【例1】如图，一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象与x 轴，y 轴分别交于A(1，0)，B(0，－1)两点，且与反比例函数y ＝mx(m≠0)的图象在第一象限交于C 点，C 点的横坐标为2.(1)求一次函数的表达式；(2)求C 点坐标及反比例函数的表达式．【解析】(1)将点A(1，0)，B(0，－1)代入y ＝kx ＋b 即可；(2)将C 点的横坐标代入公式y ＝kx ＋b 即可求出纵坐标，再代入y ＝mx中即可．【学生解答】解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，b ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1，一次函数的表达式为y ＝x －1；(2)当x ＝2时，y ＝2－1＝1，∴C 点坐标为(2，1)．又C 点在反比例函数y ＝m x (m≠0)的图象上，∴1＝m2，解得m ＝2.所以反比例函数的表达式为y ＝2x .1．(2016乐山中考)如图，反比例函数y ＝k x 与一次函数y ＝ax ＋b 的图象交于点A(2，2)，B⎝ ⎛⎭⎪⎫12，n . (1)求这两个函数表达式；(2)将一次函数y ＝ax ＋b 的图象沿y 轴向下平移m 个单位，使平移后的图象与反比例函数y ＝kx的图象有且只有一个交点，求m 的值．解：(1)y ＝4x，y ＝－4x ＋10；(2)将直线y ＝－4x ＋10向下平移m 个单位长度得y ＝－4x ＋10－m.∵y＝－4x ＋10－m 与y ＝4x只有一个交点，∴－4x ＋10－m ＝4x，∴4x 2＋(m －10)x ＋4＝0，∴Δ＝(m －10)2－64＝0，解得m ＝2或18.与面积有关的问题【例2】(2014白银中考)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝mx 与双曲线y ＝nx相交于A(－1，a)，B 两点，BC ⊥x 轴，垂足为点C ，△AOC 的面积是1.(1)求m ，n 的值；(2)求直线AC 的表达式．【解析】(1)因为A(－1，a)，所以B 的横坐标为1，即C(1，0)．再由S △AOC ＝1，得A(－1，2)，再代入y ＝mx 与y ＝nx即可；(2)将A ，C 坐标代入即可．【学生解答】解：(1)∵直线y ＝mx 与双曲线y ＝nx相交于A(－1，a)，B 两点，∴B 点横坐标为1，即C(1，0)，∵△AOC 的面积为1，∴A(－1，2)，将A(－1，2)代入y ＝mx ，y ＝nx可得m ＝－2，n ＝－2；(2)设直线AC 的表达式为y ＝kx ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝2，k ＋b ＝0.解得k ＝－1，b ＝1，∴直线AC 的表达式为y ＝－x ＋1.2．(2016泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为(0，3)，点A 在x 轴的负半轴上，点D ，M 分别在边AB ，OA 上，且AD ＝2DB ，AM ＝2MO ，一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点D 和M ，反比例函数y ＝mx的图象经过点D ，与BC 的交点为N.(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)若点P 在直线DM 上，且使△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，求点P 的坐标．解：(1)y ＝－6x，y ＝－x －1；(2)把y ＝3代入y ＝－6x得x ＝－2，∴N(－2，3)，即NC ＝2.设P(x ，y)，∵△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，∴12(OM ＋NC)·OC＝12OM|y|，即|y|＝9，∴y ＝±9.当y ＝9时x ＝－10，当y ＝－9时x ＝8，∴P 的坐标为(－10，9)或(8，－9)．与最小(大)值有关的问题【例3】一次函数y ＝mx ＋5的图象与反比例函数y ＝kx(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B(4，1)两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为M.(1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求△OAM 的面积S ；(3)在y 轴上求一点P ，使PA ＋PB 最小．【解析】(3)作点A 关于y 轴的对称点N ，连接BN 交y 轴于点P ，则点P 即为所求．【学生解答】解：(1)将B(4，1)代入y ＝k x ，得1＝k 4.∴k ＝4，∴y ＝4x ，将B(4，1)代入y ＝mx ＋5，得1＝4m＋5，∴m ＝－1，∴y ＝－x ＋5；(2)在y ＝4x 中，令x ＝1，解得y ＝4，∴A(1，4)，∴S ＝12×1×4＝2；(3)作点A关于y 轴的对称点N ，则N(－1，4)，连接BN 交y 轴于点P ，点P 即为所求．设直线BN 的关系式为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝1，－k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－35，b ＝175，∴y ＝－35x ＋175，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，175.3．(2015宿迁中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(8，1)，B(0，－3)，反比例函数y ＝kx(x>0)的图象经过点A ，动直线x ＝t(0<t<8)与反比例函数的图象交于点M ，与直线AB 交于点N.(1)求k 的值；(2)求△BMN 面积的最大值； (3)若MA⊥AB，求t 的值．解：(1)将A 点坐标(8，1)代入y ＝kx，得k ＝8；(2)设直线AB 的表达式为y ＝mx ＋b ，将A 点坐标(8，1)和B点坐标(0，－3)代入得⎩⎪⎨⎪⎧1＝8m ＋b ，－3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，b ＝－3，故直线AB 的表达式为y ＝12x －3，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2－3，又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，8t ，故MN ＝8t －t 2＋3，S △B MN ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫8t －t 2＋3t ＝－14t 2＋32t ＋4＝－14(t －3)2＋254，∴当t ＝3时，△BMN 面积的最大，最大值为254；(3)过A 作AQ⊥y 轴于点Q ，延长AM 交y 轴于点P ，又AM⊥AB.∴△ABQ∽△PAQ，故AQ BQ ＝PQ AQ ，即84＝PQ 8，∴PQ ＝16，∴P(0，17)．又A(8，1)．∴直线AP 的表达式为y ＝－2x ＋17.∴－2x ＋17＝8x ，解得x 1＝12，x 2＝8，∵A 点的横坐标是8，∴t ＝12.与平移有关的问题【例4】如图，直线y ＝12x 与双曲线y ＝k x (k>0，x>0)交于点A ，将直线y ＝12x 向上平移4个单位后与y 轴交于点C ，与双曲线y ＝kx(k>0，x>0)交于点B ，若OA ＝3BC ，求k 的值．【解析】分别过点A ，B 作AD⊥x 轴，BE ⊥x 轴，CF ⊥BE 于点F ，设A(3x ，32x)，可得B(x ，12x ＋4)．【学生解答】解：∵将直线y ＝12x 向上平移4个单位后，与y 轴交于点C ，∴平移后直线的表达式为y ＝12x ＋4，分别过点A ，B 作AD⊥x 轴，BE ⊥x 轴，CF ⊥BE 于点F ，设A ⎝⎛⎭⎪⎫3x ，32x ，∵OA ＝3BC ，BC ∥OA ，CF ∥x 轴，∴△BCF ∽△AOD ，∴CF ＝13OD ，又∵点B 在直线y ＝12x ＋4上，∴B(x ，12x ＋4)，∵点A ，B 在双曲线y ＝kx(x>0)上，∴3x ×32x ＝x×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4，解得x ＝1(x ＝0直接舍去)，∴k ＝3×1×32×1＝92.4．(2016聊城中考)如图，在直角坐标系中，直线y ＝－12x 与反比例函数y ＝kx的图象交于关于原点对称的A ，B 两点，已知A 点的纵坐标是3.(1)求反比例函数的表达式；(2)将直线y ＝－12x 向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C ，如果△ABC 的面积为48，求平移后的直线的函数表达式．解：(1)y ＝－18x ；(2)设平移后的直线y ＝－12x ＋b ，与y 轴交于点D ，连接AB ，BD ，∵AB ∥CD ，∴S △ABD ＝S △ABC ＝48.由于点A ，B 关于原点O 对称，∴点B 的坐标为(6，－3)，即|x A |＝x B ＝6，∴S △ABD ＝S △AOD ＋S △BO D ＝12OD ·|x A |＋12OD ·x B ＝6OD ，即6OD ＝48，OD ＝8，∴平移后的直线为y ＝－12x ＋8.。
考数学第二编中档题突破专项训练篇中档题型训练(五)圆的有关计算、证明与探究试题
(河北专版)2017中考数学第二编中档题突破专项训练篇中档题型训练(五)圆的有关计算、证明与探究试题中档题型训练(五)圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算与证明是河北中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系.圆的切线性质与判定【例1】(2016天水中考)如图，点D为OO上一点，点C在直径BA的延长线上，且/ CDA=Z CBD.(1) 判断直线CD和OO的位置关系，并说明理由；(2) 过点B作OO的切线BE交直线CD于点E,若AC= 2, O O的半径是3,求BE的长.【思路分析】⑴ 连接OD根据圆周角定理求出/ DABF Z DBA= 90°,从而得出/ CDAb Z ADO= 90°，再根据切线的判定推出即可；(2)首先利用勾股定理求出DC,由切线长定理得出DE= EB,在Rt△ CBE中根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可.【学生解答】解：⑴ 直线CD和OO的位置关系是相切•理由是：连接OD.T AB是OO的直径，二/ ADB= 90°,「./ DAB^Z DBA= 90° . v/ CDA=Z CBDDAB^Z CDA= 90° . v OD= OADAB=Z ADOCDA^ /ADO= 90°,即ODLCE「•直线CD是OO的切线，即直线CD和OO的位置关系是相切；(2) v AC= 2, O O 的半径是3, • OC= 2+ 3 = 5 , OD= 3.在Rt△ CDO中 ,由勾股定理得CD= 4. v CE BOO 于点D, EB BOO 于点B, • DE= EB, / CBE= 90°,设DE= EB= x,在Rt△ CBE中，由勾股定理，得CE= BE+ BC ,则 2 2 2 (4 + x) = x + (5 + 3),解得x= 6,即BE= 6.1. （2016毕节中考）如图，以△ ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A, B两点，且与BC边交于点E, D为BE 的下半圆弧的中点，连接AD交BC于点F, AC= FC.（1）求证：AC是OO的切线；（2）已知圆的半径R= 5, EF= 3，求DF的长.解：⑴如图，连接AE AO. v BE 为半圆，•••/ BAE= 90° . •/ BD= ED,A Z BAD=Z EAD= 45°,「./ AFC=ZB + 45°,「./ CAF=Z EACb 45° . v AC= FC,「./ AFC=Z CAF B+ 45 ° =Z EAO 45°,「./ B=Z EAC v OA=OB OAB=Z B,「./ EAC=Z OAB OAC=Z OA&Z EAC=Z OA&Z OAB=Z BAE= 90°,•AC丄OA •- AC为OO为切线；(2 )如图，连接OD.v B D= D E, BOD=Z DOE= 90° .在Rt△ OFD中, OF= 5 —3 = 2 , OD= 5, •DF= OF+ OD= 29.2. (2016承德二中一模)已知如图，以Rt△ ABC的AC边为直径作OO交斜边AB于点E ,连接EO并延长交BC 的延长线于点D,点F为BC的中点，连接EF.(1) 求证：EF是OO的切线；(2) 若OO的半径为3, / EAC= 60°,求AD的长.解：⑴连接FQ 易证OF// AB.T AC 是OO 的直径，二CEL AE,v OF// AB,「. OF丄CE•又T OB OC /• OF是线段CE 的垂直平分CE 二FC= FE,「./ FEC=Z FCE.T OE= OCOEC=Z OCE V RgABC中，/ ACB= 90°,即 / OCE-Z FCE=90 °,「./ OECF Z FEC= 90°,即/ FEO= 90°,「. EF为OO 的切线；(2) VOO 的半径为3,「. AO= CO= EO= 3.V Z EAC= 60°, OA= OEEOA= 60°,：Z CO空Z EOA= 60°. •••在Rt△OCD中，Z COD= 60°, OC= 3,「. CD= 3 3. V在Rt^ACD中，Z ACD= 90°, CD= 3 3, AC= 6, A AD= 3 7.圆与相似【例2】如图，已知AB是OO的弦，OB= 2,Z B= 30°, C是弦AB上的任意一点（不与点A, B重合），连接CO并延长CO交OO于点D,连接AD.⑴弦长AB= 「;（结果保留根号）（2）当/D- 20。
函数的应用 - 中档 - 习题
函数的应用一、选择题（共12小题；共60分）1. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是A. B.C. D.2. 据报道，青海的湖水量在最近年内减少了，如果按此规律，设2010 年的湖水量为，从 2010 年起，过年后湖水量与的函数关系式为A. B.C. D.3. 从盛满纯酒精的容器里倒出酒精，然后用水添满，再倒出混合液，再用水添满，这样继续下去，如果倒第次（）时，共倒出纯酒精，倒第次时，共倒出纯酒精，则的表达式为（假设酒精与水混合后相对体积不变）A. B. C. D.4. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是A. 小时B. 小时C. 小时D. 小时5. 已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：型号小包装大包装重量克克包装费元元销售价格元元则下列说法中正确的是①买小包装实惠②买大包装实惠③卖小包比卖大包盈利多④卖大包比卖小包盈利多A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④6. 某商店出售、两种价格不同的商品，由于商品连续两次提价，同时商品连续两次降价，结果都以每件元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时的情况比较，商店盈利情况是A. 多赚约元B. 少赚约元C. 多赚约元D. 盈利相同7. 将进货单价为元的商品按元一个售出时，能卖出个，已知该商品每个涨价元，其销售量就减少个，为了赚得最大利润，售价应定为A. 每个元B. 每个元C. 每个元D. 每个元8. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为"可食用率"．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数关系（是常数），下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为A. 分钟B. 分钟C. 分钟D. 分钟9. 某厂年份产值计划为当年月份产值的倍，则该厂年度产值的月平均增长率为A. B. C. D.10. 某地实行阶梯电价，以日历年（每年1月1日至12月31日）为周期执行居民阶梯电价，即：一户居民用户全年不超过度（度千瓦时）的电量，执行第一档电价标准，每度电元；全年超过度至度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电元；全年超过度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电元.下面是关于阶梯电价的图形表示，其中正确的有参考数据：元度度元，元度度元元 .A. B. C. D.11. 某地区在六年内第年的生产总值（单位：亿元）与之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是A. 第一年到第三年B. 第二年到第四年C. 第三年到第五年D. 第四年到第六年12. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），用横轴表示产品数量（因变量）．某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格低于均衡价格时，则需求量大于供应量，价格会上升为；当产品价格高于均衡价格时，则供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此继续波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格．能正确表示上述供求关系的图形是A. B.C. D.二、填空题（共5小题；共25分）13. 某地固定电话市话收费规定：前三分钟元（不满三分钟按三分钟计算），以后每加一分钟增收元（不满一分钟按一分钟计算），那么某人打市话秒，应支付电话费元．14. 如图，有一边长为的正方形的铁皮，将其四个角各裁去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，设盒子的体积为，则关于的函数的解析式为 .15. 甲地与乙地相距，某天小袁从上午7：50由甲地开车前往乙地办事，在上午9：00，10：00，11：00三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11：00时，小袁距乙地还有．16. 图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费（元）与通话时间之间的函数关系图象，根据图象填空：通话，需付电话费元；通话，需付电话费元；如果，电话费（元）与通话时间之间的函数关系式是．17. 某厂原来月产量为，一月份增产，二月份比一月份减产，设二月份的产量为，则与的大小关系是．三、解答题（共5小题；共65分）18. 山东省某水果种植场今年喜获丰收，据估计，可收获荔枝和芒果共吨．按合同，每吨荔枝售价为人民币万元，每吨芒果售价为人民币万元．现设销售这两种水果的总收入为人民币万元，荔枝的产量为吨．（1）请写出关于的函数关系式；（2）若估计芒果产量不小于荔枝和芒果总产量的，但不大于，请求出的取值范围．19. 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．（1）试规定的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数应该满足的条件和具有的性质；（3）设，现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由．20. 某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为元，出厂单价定为元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过件．（1）设一次订购件，服装的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大?其最大利润是多少?21. 某种商品在天内每件的销售价格元与时间天的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在天内日销售量件与时间天之间的关系如下表：时间天销售量件（1）根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格与时间的函数关系；（2）根据表中提供的数据，确定日销售量与时间的一个函数关系式；（3）求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是天中的第几天?日销售金额每件的销售价格日销售量22. 某工厂生产一种产品的原材料费为每件元，若用表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件元，又该厂职工工资固定支出元．（1）把每件产品的成本费（元）表示成产品件数的函数，并求每件产品的最低成本费；（2）如果该厂生产的这种产品的数量不超过件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价与产品件数有如下关系：，试问生产多少件产品，总利润最高?总利润最高为多少?（总利润总销售额总成本）。
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中档题型训练(七)简单的函数应用问题攻略纵观8年河北中考试题，对本内容多以解答题的形式出现，应用题也有单独二次函数的应用，中考复习时应强化训练.网格中的平移、旋转【例1】(2016青岛中考)某厂制作甲、乙两种环保包装盒•已知同样用 6 m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制成一个乙盒需要多用20%勺材料.(1) 求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？(2) 如果制作甲、乙两种包装盒 3 000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需材料总长度i(m与甲盒数量n(个)之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料.【思路分析】(1)根据“用6 m的材料制成乙盒的个数一用 6 m的材料制成甲盒的个数=2”作为等量关系列方程解答；(2)建立函数关系式，然后用一次函数的性质解答问题.6 【学生解答】解：(1)设制作每个乙盒用x m材料，则制作每个甲盒用(1 + 20%)x m材料，由题可得：-—X6 =2,解得x = 0.5，经检验，x = 0.5是原方程的解，所以(1 + 20%)x= 0.6.(1 + 20%) x答：制作每个甲盒用0.6 m材料，制作每个乙盒用0.5 m材料；n > 2 (3 000 —n),(2)由题意得••• 2 000 < n < 3 000 , I = 0.6n + 0.5(3 000 —n) = 0.1 n + 1 500. •/ k =n w 3 000 ,0.1>0 ,• I 随n 而增大，•当n= 2 000 时，I 最小=1 700.答：最少需要1 700 m材料.1. (2016承德二中二模)六一期间，小张购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如F表：(1) 小张如何进货，才能使进货款恰好为 1 300元？(2) 要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%请你帮小张设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值.解：⑴ 设购进A型文具x只，则购进B型文具(100 —x)只，根据题意得10x + 15(100 —x) = 1 300，解得x = 40,贝U 100—x = 60.答：购进A型文具40只，B型文具60只时进货款刚好为1 300元；(2)设购进A型文具x只，销售利润为y元，根据题意得：y = (12 —10)x + (23 —15)(100 —x) =—6x + 800.由题意可得—6x + 800W40%[10x+ 15(100 —x)]，解得x>50.在y = —6x+ 800 中.T— 6<0, y 随x 的增大而减小，•••当x = 50时，所获利润最大.最大利润y = —6X 50+ 800= 500.答：当购进A型文具50只，B型文具50只时，所获利润最大，最大利润为500元.2. 一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1 km出租车离甲地的距离为y2 km两车行驶的时间为x h, y1, y关于x的函数图象如图所示：(1) 根据图象，直接写出y1, y2关于x的函数关系式；(2) 若两车之间的距离为s km请写出s关于x的函数关系式；(3) 甲、乙两地间有A, B两个加油站，相距200 km若客车进入A加油站时，出租车恰好进入B加油站，求A加油站离甲地的距离.15—160x+ 600,(0< x< —) 解：(1)y1 = 60x(0 < x< 10), y2=—100x+ 600(0 < x< 6); (2)s =160x—600,(1f<x< 6)60x; (6<x< 10)15 5 15(3)由题意得s = 200.①当0W xw £时，一160x+ 600= 200,「. x = 2, •y1= 60x = 150( km);②当—<x < 6 时，160x —600 = 200,「. x = 5,「. y= 60x= 300( kn);③当6<x< 10 时，60x>360(舍去).即 A 加油站离甲地的距离为150 km或300 km一次、二次函数的实际应用【例2】(2016沧州九中二模)为满足市场需求，某超市在五月初五"端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒.(1) 试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关-系式；(2) 当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P(元)最大？最大利润是多少？(3) 为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元.如果超市想要每天获得不低于6 000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？【思路分析】(1)就分析销售量与每盒售价之间的式子，建立一次模型；(2)先建立利润关于售价的二次模型，再依据题中条件分析判断.【学生解答】解：(1)y = 700 —20(x —45) =- 20x + 1 600 ;2 2(2) P = (x —40)( —20x + 1 600) =—20x + 2 400x —64 000 =—20(x —60) + 8 000. v x>45, a=—20<0,二当x= 60时，P最大=8 000(元)•即每盒售价定为60元时，每天销售的利润最大，最大为8 000元；(3) 由题意，得一20(x —60) + 8 000 = 6 000.解这个方程，得X1= 50, X2= 70. v抛物线P=—20(x —60) + 8 000的开口向下，.••当50W x w70时，每天销售粽子的利润不低于 6 000元.又v x< 58,二50< x< 58. v在y = —20x + 1 600 中，k = —20<0,「. y 随x 的增大而减小，.••当x = 58 时，y 最小值=—20X 58+ 1 600 = 440.即超市每天至少销售粽子440盒.3. (2016鄂州中考)鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为30元/kg物价部门规定其销售单价不高于60元/ kg,不低于30元/kg.经市场调查发现：日销售量y( kg)是销售单价x(元)的一次函数，且当x= 60时，y = 80; x = 50时，y= 100.在销售过程中，每天还要支付其他费用450元.(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2) 求该公司销售该原料日获利 w(元)与销售单价x(元/kg )之间的函数关系式；(3) 销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？2 2解：⑴y =- 2x + 200(30<x w 60);(2)w = (x — 30)( — 2x + 200) — 450 =- 2x + 260x — 6 450 =- 2(x — 65) + 2 000 ; (3)w =— 2(x — 65) + 2 000. •/ 30< x < 60,二 x = 60 时，w 有最大值为 1 950 元，.••当销售单价为 60 元 时，该公司日获利最大为1 950元.， 4. (2016黄石中考)科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.如图所示，图中点的横坐标 x 表示科技馆从 & 30开门后经 过的时 间(min ),纵坐标 y 表示到达 科技馆 的总人 数.图中 曲线对 应的函 数解析式为 y = 2 ax ,(0w x < 30) 2 10: 00之后来的游客较少可忽略不计.b ( x — 90) + n ,(30<x < 90)(1) 请写出图中曲线对应的函数解析式；(2) 为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人， 后来的人在馆外休息区等待.从 10: 30开 始到12: 00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到 624人时，馆外等待的游客可全部进入.馆外游客最多等待多少分钟？ 解：(1)300 = a x 302, a = 3，n = 700, b x (30 — 90) 2 + 700= 300, b =— 9,1 2 §x 2,( 0w x w 30)1 2 —9 (x — 90) + 700;(30< x w 90) 57 min . 「5. (2016保定八中二模)某商店购进一种商品，每件商品进价 30元.试销中发现这种商品每天的销售量y(件)与每件销售价x(元)的关系数据如下：(1) 已知y 与x 满足一次函数关系，根据上表，求出 y 与x 之间的关系式；(不写出自变量x 的取值范围)(2) 如果商店销售这种商品，每天要获得 150元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？(3) 设该商店每天销售这种商品所获利润为 w(元)，求出w 与x 之间的关系式，并求 出每件商品销售价定为多 少元时利润最大？40= 30k + b ，k =— 2， 解：(1)设该函数的解析式为y = kx + b ，根据题意，得 解得 •该函数的解析式为 y 36= 32k + b ， b = 100.=—2x + 100; ⑵-1(x 2 —90) + 700=684, x = 7 8, 684 — 624 4=15,15+ 30 + (90 — 78) = 57 ( min ) .•••馆外游客最多等待(2)根据题意，得(—2x + 100)(x —30) = 150，解这个方程得，x 1= 35，X2= 45，二每件商品的销售价定为35元或45元时日利润为150元;22(3)根据题意，得w = ( —2x+ 100)(x —30) =- 2x + 160x —3 000 =- 2(x —40) + 200. •/ a=- 2<0,则抛物线开口向下，函数有最大值，即当x = 40时，w的值最大，.••当销售单价为40元时获得利润最大.。