线性回归的基本思想
第6章
表6-2
Y
X
18 150
24 175
26 200
23 225
30 250
27 275
34 300
35 325
33 350
40 375
表6-3
YX 23 150 18 175 24 200 25 225 28 250 27 275 31 300 29 325 33 350 34 375
表6-2 、6-3 来自表6-1总体的两个随机样本
做散点图及估计样本回归直线见Excel文件
12
第6章
样本回归直线可用样本回归函数SRF来表示：
Yˆi b1 b2 Xi (6-3)
E(Y | X i ) B1 B2 X i (6-1)
随机的样本函数：
Yi b1 b2 Xi ei (6-4)
Yi B1 B2 X i ui (6-2)
2
第6章
6.1 回归的含义
回归分析是用来研究一个变量（称之为被解释变 量explained variable 或应变量 dependent variable）与 另一个或多个变量（称之为解释变量 explanatory variable 或自变量 independent variable）之间关系的 一种分析方法。
（1） Y b1 b2 X
（2） e ei n 0 （3） eiXi 0 （4） eiYˆi 0
21
第6章
6.9 综合
利用OLS方法估计样本回归方程，具体计算步骤 如表6-4：见Excel文件。
解得：
b1 Y b2 X
b2
xiyi xi2
Xi X Yi Y Xi X 2
非线性举例： E(Y ) B1 B2 Xi 2
E(Y ) B1 B2 1 Xi
图6-5 线性和非线性需求曲线
2. 参数线性 例如：
非线性举例：
E(Y
)
B1
B2 2
Xi
16
第6章
图6-5 线性和非线性需求曲线
Y
Y
需
求 量
B2
1
Yi B1 B2 Xi
B2
1
价格
X
a)线性需求曲线
B2 1
-0.3371
23
第6章
对博彩支出回归结果的解释
Yˆi 7.6182 0.08145 Xi
对博彩支出的估计结果解释如下：斜率系数 0.08145表示，在其他条件保持不变的情况下， PDI每增加一美元，每周平均博彩支出将增加约8 每分。截距7.6182表示，当PDI为0时，博彩的平 均支出为7.62美元。截距一般没有什么特殊的经 济含义。
每增加一年，平均小时工资增加72美分。
前面已经提到过，在大多数情况下，截距没有什么明显
线性
OLS
总结
14
第6章
图6-4 总体回归线与样本回归线
Y
.Y1
需 求 量
. e1
u1
Yˆi b1 b2 Xi
.Yˆ1
EY | X B1 B2 Xi
A
..un Yn . en
Yˆn
0
X1 价格
Xn
X
15
第6章
6.6 “线性”回归的特殊含义
解释变量线性与参数线性
1. 解释变量线性 例如：
（6-11）
个体博彩支出函数（即随机总体回归函数）为：
Yi B1 B2 X 2i B3 X 3i B4 X 3i ui
E(Y) ui
（6-12）
18
第6章
6.8 参数估计：普通最小二乘法
普通最小二乘法(OLS)
最小二乘原理
总体回归方程： Yi B1 B2 Xi ui
样本回归函数： Yi b1 b2 Xi ei
例如研究商品的需求量与该商品的价格、消费者 的收入以及其他同类商品的价格之间的关系。
通常我们用Y表示应变量，用X表示自变量。
3
第6章
回归分析是用来处理一个应变量与另一个或多个 自变量的关系，但它并不一定表明因果关系的存在。 两个变量是否存在因果关系，哪一个是应变量，哪一 个是自变量是由正确的经济理论决定的。
检验 （3）根据自变量的值对应变量的均值进行预测 （4）上述多个目标的综合
5
第6章
6.2 总体回归函数:假想一例
下面我们通过一个具体例子说明回归分析的用途。
个人可支配收入 消费者 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 均值
表6-1 每周博彩支出和每周个人可支配收入
每周博彩支出 150 175 200 225 250 275 300 325 28 33 35 36 38 40 42 43 27 31 31 34 36 37 39 35 25 29 30 31 33 32 34 31 33 27 28 29 30 30 31 30 23 24 26 27 28 29 30 29 15 20 22 26 25 27 29 33 18 18 20 23 23 25 26 32 12 15 17 21 22 22 24 30 13 14 16 18 20 18 25 31 15 10 19 16 18 32 23 25 20.9 22.1 24.4 26.1 27.3 29.2 30.3 31.9
第6章 线性回归的基本思想
——双变量模型
第6章
6.1 回归的含义 6.2 总体回归函数 6.3 总体回归函数的统计或随机设定 6.4 随机误差项的性质 6.5 样本回归函数 6.6 “线性”回归的特殊含义 6.7 从双变量回归到多元线性回归 6.8 参数估计：普通最小二乘法 6.9 综合 6.10 一些例子 6.11 总结
30 250 7500 62500 -12.5 1
1 156.25 -12.5 27.9819 2.01807 4.073 504.5170
27 275 7425 75625 12.5 -2
4 156.25 -25 30.0183 -3.01831 9.110 -830.0344
34 300 10200 90000 37.5 5 25 1406.25 187.5 32.0546 1.94532 3.784 583.5954
24 175 4200 30625 -87.5 -5 25 7656.25 437.5 21.8728 2.12719 4.525 372.2588
26 200 5200 40000 -62.5 -3
9 3906.25 187.5 23.9091 2.09082 4.372 418.1636
23 225 5175 50625 -37.5 -6 36 1406.25 225 25.9455 -2.94556 8.676 -662.7503
合计 290 2625 80325 740625
0 0 394 51562.5 4200 290.00
斜率：b2
xi yi xi2
4200 51562.5
0.0814545
截矩：b1 Y b2 X 29 0.0814545 * 262 .5 7.6182
-0.00119 51.891
因而 ei Yi Yˆi Yi b1 b2 Xi
[利用(6-3)]
最小二乘原理就是选择合适参数使得全部观察值的残 差平方和(RSS)最小，数学形式为：
min{
ei2} min{
(Yi
Yˆi
2
)
}
min{ Yi b1 b2 Xi 2}
(6-13)
19
第6章
普通最小二乘法就是寻找使RSS达到最小时的参数 作为参数估计值的一种方法。
XiYi nXY
X
2 i
nX
2
Yˆi 7.6182 0.08145Xi
22
表6-4 博彩一例的原始数据及OLS计算步骤（来自表6-2）
第6章
Yi Xi XiYi Xi平方 xi yi yi平方 xi平方 xiyi Yi估计值
ei ei平方
eiXi
18 150 2700 22500 -112.5 -11 121 12656.25 1238 19.8364 -1.83643 3.372 -275.4648
13
第6章
样本回归函数
Yˆi b1 b2 Xi
随机样本回归函数 Yi b1 b2 Xi ei
总体回归函数
E(Y | Xi) B1 B2 Xi
随机总体回归方程 Yi B1 B2 Xi ui
观察值可表示为 Yi Yˆi ei
Yi E(Y | Xi) ui
(6-3) (6-4) (6-1) (6-2) (6-6) (6-7)
10
第6章
6.5 样本回归函数
前面我们已经介绍了：
总体回归函数PRF E(Y | X i ) B1 B2 X i (6-1)
随机总体回归方程(stochastic PRF)
Yi B1 B2 X i ui (6-2)
如何估计总体回归函数，即求参数B1、B2呢？
如果已知整个总体的数据，如上例，问题就比较简单， 但在实际中，我们往往不能得到整个总体的数据，只有 来自总体的某一个样本数据，我们该怎么做？
利用极值原理可以得到：
正规方程
Yi nb1 b2 Xi
YiXi b1
Xi b2
X
2 i
(6-14) (6-15)
求解得到： b1 Y b2 X
(6-16)
b2
xiyi xi2
Xi X Yi Xi X 2
Y
XiYi nXY
X
2 i
nX
2
(6-17)
20
第6章
普通最小二乘估计量的一些性质：
24
第6章
6.10 一些例子
线性回归的求解方法
线性回归的求解方法线性回归是一种广泛应用于机器学习和数据分析领域的数学方法，它能从现有数据中分析出变量间的关系，从而预测未来的结果。
该方法在各行各业都得到了广泛应用，包括经济学、工程学、医学、生物学等领域。
本文将主要介绍线性回归的求解方法，包括最小二乘法和梯度下降法。
一、最小二乘法最小二乘法是一种常见的线性回归求解方法，它的基本思想是找到一条直线，使得这条直线与数据点之间的距离最短。
距离通常是指欧几里得距离或曼哈顿距离。
具体来说，最小二乘法的公式如下：$$\hat{\beta} = (X^TX)^{-1}X^TY$$其中，$\hat{\beta}$表示回归系数的向量，$X$表示自变量的矩阵，$Y$表示因变量的向量。
最小二乘法的求解过程包括以下几个步骤：1. 将自变量和因变量分别存储在矩阵$X$和向量$Y$中。
2. 计算$X^TX$的逆矩阵，如果逆矩阵不存在，则说明矩阵$X$线性相关，需要进行特征分解或奇异值分解来处理。
3. 计算$\hat{\beta}$的值，即$(X^TX)^{-1}X^TY$。
最小二乘法的优点在于简单易懂，求解速度较快。
但是，它也存在一些缺点，例如当数据集中存在极端值时，该方法会对这些极端值敏感。
二、梯度下降法与最小二乘法相比，梯度下降法在面对大规模数据时能够更好地处理。
梯度下降法的基本思想是根据误差的方向和大小不断更新回归系数的值，以达到最小化误差的目的。
梯度下降法的公式如下：$$\beta_{new}=\beta_{old}-\alpha\frac{\partial RSS}{\partial\beta}$$其中，$\beta_{new}$表示迭代后的回归系数向量，$\beta_{old}$表示迭代前的回归系数向量，$\alpha$表示学习率，$RSS$表示残差平方和。
梯度下降法的求解过程包括以下几个步骤：1. 初始化回归系数向量$\beta$和学习率$\alpha$。
2. 计算回归函数的预测值$y$3. 计算误差$e=y-y_{true}$4. 计算残差平方和$RSS=\sum_{i=1}^{n}e_i^2$5. 计算参数向量的梯度$\frac{\partial RSS}{\partial \beta}$6. 更新参数向量：$\beta_{new}=\beta_{old}-\alpha\frac{\partial RSS}{\partial \beta}$7. 通过迭代不断更新参数，直到误差达到最小值。
linear regression知识点
linear regression知识点1.引言1.1 概述引言部分是文章的开头，用来介绍文章的背景和重要性。
在"概述"部分，我们可以对linear regression（线性回归）的基本概念和作用进行简单介绍。
概述：线性回归是机器学习领域中最简单且最常用的回归方法之一。
它是一种建立输入变量（自变量）和输出变量（因变量）之间线性关系的统计学模型。
线性回归可以帮助我们探索和理解数据，预测未知的因变量值，并在实际问题中做出决策。
线性回归的基本思想是基于已知的训练数据，通过拟合一条直线（或超平面）来近似描述输入和输出之间的关系。
这条直线可以用来做预测和回答各种问题。
线性回归的关键是通过最小化预测值与实际观测值之间的差距，找到最佳拟合直线。
线性回归不仅可以用于预测连续性数值型数据，还可以用于分类问题，例如将输出变量划分为两个或多个不同的类别。
尽管线性回归在实际问题中很常见，但它也有一些局限性，例如对于非线性关系的建模能力较弱。
为了克服这些局限性，研究人员还提出了各种改进方法。
本文将深入探讨线性回归的基本概念和原理，介绍线性回归模型的建立与求解过程，并探讨线性回归在实际应用中的场景和局限性，同时提出一些改进方法。
通过阅读本文，读者将能够全面了解线性回归的知识和应用，从而在实际问题中更好地应用和理解线性回归方法。
下面我们将详细介绍本文的结构和目的。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以描述整篇文章的组织和安排，可以按照以下内容进行阐述：在本篇文章中，我们将从引言、正文和结论三个部分来组织和阐述关于Linear Regression（线性回归）的知识点。
首先，在引言部分，我们将对线性回归进行概述，介绍其基本概念和原理。
同时，我们将阐明本篇文章的目的，即通过介绍线性回归的知识点，让读者对线性回归有一个全面的了解。
接着，在正文部分，我们将分为两个小节来详细讲解线性回归的知识点。
首先，我们将介绍线性回归的基本概念，包括线性回归的定义、特点以及模型表示等。
简述回归分析的基本思想.
简述回归分析的基本思想.
线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量
关系的一种统计分析方法，运用十分广泛。
其表达形式为y = w'x+e，e为误差服从均值
为0的正态分布。
在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
在统计学中，线性重回（linear regression）就是利用称作线性回归方程的最轻平
方函数对一个或多个自变量和因变量之间关系展开建模的一种重回分析。
这种函数就是一
个或多个称作回归系数的模型参数的线性组合。
只有一个自变量的情况称作直观重回，大
于一个自变量情况的叫作多元回归。
（这反过来又应由多个有关的因变量预测的多元线性
重回区别，而不是一个单一的标量变量。
）
在线性回归中，数据使用线性预测函数来建模，并且未知的模型参数也是通过数据来
估计。
这些模型被叫做线性模型。
最常用的线性回归建模是给定x值的y的条件均值是x
的仿射函数。
不太一般的情况，线性回归模型可以是一个中位数或一些其他的给定x的条
件下y的条件分布的分位数作为x的线性函数表示。
像所有形式的回归分析一样，线性回
归也把焦点放在给定x值的y的条件概率分布，而不是x和y的联合概率分布（多元分析
领域）。
数据拟合方法研究
数据拟合方法研究一、线性回归拟合方法线性回归拟合是最常见的数据拟合方法之一、其基本思想是建立一个线性模型，通过最小二乘法求解模型参数，使模型的预测结果与实际数据之间的误差最小化。
线性回归模型具有简单的形式和可解析的解，适用于解决线性关系的问题。
二、非线性拟合方法如果实际数据与线性模型之间存在非线性关系，线性回归模型就无法准确拟合数据。
这时需要使用非线性拟合方法。
常用的非线性拟合方法有多项式回归、指数函数拟合、对数函数拟合等。
这些方法通过调整模型参数，使模型能更好地逼近实际数据，建立更准确的拟合模型。
三、曲线拟合方法有些数据与线性模型或非线性模型都无法准确拟合，可能需要使用曲线拟合方法。
曲线拟合方法将数据与曲线进行对比，通过调整曲线参数，使曲线与实际数据尽可能接近。
常见的曲线拟合方法有多项式拟合、样条插值、B样条拟合等。
这些方法可以根据实际问题和数据特点选择合适的曲线模型，并通过调整节点或控制点的位置，优化曲线拟合效果。
四、最小二乘法拟合最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，可以用于线性或非线性数据拟合。
最小二乘法的基本思想是最小化观测数据与拟合函数之间的残差平方和，即使得模型的预测结果与实际数据之间的误差最小化。
最小二乘法不仅可以用于拟合直线或曲线，还可以用于拟合多项式函数、指数函数、对数函数等。
五、贝叶斯拟合方法贝叶斯拟合方法是一种基于贝叶斯统计学理论的数据拟合方法。
贝叶斯拟合方法将参数的不确定性考虑进来，通过概率分布描述参数的可能取值范围，并通过贝叶斯公式更新参数的后验概率。
贝叶斯拟合方法可以更准确地估计参数的置信区间，并提供更可靠的模型预测。
综上所述，数据拟合方法包括线性回归拟合、非线性拟合、曲线拟合、最小二乘法拟合和贝叶斯拟合等。
不同的拟合方法适用于不同类型的数据和问题。
在实际应用中，需要结合数据的特点和问题的要求，选择合适的拟合方法，并通过调整模型参数，使拟合模型能准确地描述数据的变化趋势。
回归分析的基本思想及其初步应用
回归分析的基本思想及其初步应用1．回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，回归分析的基本步骤是画出两个变量的散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报． 2．线性回归模型(1)在线性回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 中，b ^＝∑ni ＝1 （x i －x ）（y i －y ）∑ni ＝1（x i －x ）2，a ^＝y －－b ^x －，其中x －＝1n ∑ni ＝1x i ，y －＝1n∑ni ＝1y i ，(x ，y )称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心． (2)线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e ，其中e 称为随机误差，自变量x 称为解释变量，因变量y 称为预报变量．[注意] (1)非确定性关系：线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e 与确定性函数y ＝a ＋bx 相比，它表示y 与x 之间是统计相关关系(非确定性关系)，其中的随机误差e 提供了选择模型的准则以及在模型合理的情况下探求最佳估计值a ，b 的工具．(2)线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中a ^，b ^的意义是：以a ^为基数，x 每增加1个单位，y 相应地平均增加b ^个单位．3．刻画回归效果的方式方式方法计算公式 刻画效果R 2R 2＝1－∑ni ＝1（y i －y ^i ）2∑n i ＝1（y i －y ）2R 2越接近于1，表示回归的效果越好残差图e ^i 称为相应于点(x i ，y i )的残差，e ^i ＝y i －y ^i残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高残差平方和∑ni ＝1(y i －y ^i )2 残差平方和越小，模型的拟合效果越好判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求线性回归方程前可以不进行相关性检验．( )(2)在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号．( )(3)利用线性回归方程求出的值是准确值．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×变量x 与y 之间的回归方程表示( )A ．x 与y 之间的函数关系B ．x 与y 之间的不确定性关系C ．x 与y 之间的真实关系形式D ．x 与y 之间的真实关系达到最大限度的吻合 答案：D在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型1的相关指数R 2为0.98 B ．模型2的相关指数R 2为0.80 C ．模型3的相关指数R 2为0.50 D ．模型4的相关指数R 2为0.25 答案：A已知线性回归方程y ^＝0.75x ＋0.7，则x ＝11时，y 的估计值为________． 答案：8.95探究点1 线性回归方程在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间的一组观察值如下表.x (s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 y (μm)610101316171923252946(1)画出散点图；(2)求y 对x 的线性回归方程；(3)利用线性回归方程预测时间为100 s 时腐蚀深度为多少． 【解】 (1)散点图如图所示．(2)从散点图中，我们可以看出y 对x 的样本点分布在一条直线附近，因而求回归直线方程有意义．x ＝111(5＋10＋15＋ (120)＝51011，y ＝111(6＋10＋10＋…＋46)＝21411，a ^＝y －b ^x ≈21411－0.304×51011＝ 5.36. 故腐蚀深度对腐蚀时间的线性回归方程为y ＝0.304x ＋ 5.36.(3)根据(2)求得的线性回归方程，当腐蚀时间为100 s 时，y ^＝5.36＋0.304×100＝35.76(μm)，即腐蚀时间为100 s 时腐蚀深度大约为35.76 μm.求线性回归方程的三个步骤(1)画散点图：由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系． (2)求回归系数：若存在线性相关关系，则求回归系数．(3)写方程：写出线性回归方程，并利用线性回归方程进行预测说明．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x 与冶炼时间y (从炼料熔化完毕到出钢的时间)的数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，10)并已计算出＝1589,i ＝110y i ＝1 720，故冶炼时间y 对钢水的含碳量x 的回归直线方程为y ^＝1.267x －30.47. 探究点2 线性回归分析假定小麦基本苗数x 与成熟期有效穗y 之间存在相关关系，今测得5组数据如下：(1)以x 为解释变量，y 为预报变量，作出散点图；(2)求y 与x 之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗； (3)计算各组残差，并计算残差平方和；(4)求相关指数R 2，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几？ 【解】 (1)散点图如下．(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用回归方程刻画它们之间的关系．设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，x －＝30.36，y －＝43.5，(1)该类题属于线性回归问题，解答本题应先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R 2来分析函数模x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 y39.442.942.943.149.2型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析． (2)刻画回归效果的三种方法①残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适； ②残差平方和法：残差平方和 i ＝1n(y i －y ^i )2越小，模型的拟合效果越好；关于x 与y 有如下数据：x 2 4 5 6 8 y3040605070由(2)可得y i －y ^i 与y i －y －的关系如下表：y i －y ^i －1 －5 8 －9 －3 y i －y －－20－101020由于R 21＝0.845，R 22＝0.82，0.845＞0.82， 所以R 21＞R 22.所以(1)的拟合效果好于(2)的拟合效果． 探究点3 非线性回归分析某地今年上半年患某种传染病的人数y (人)与月份x (月)之间满足函数关系，模型为y ＝a e bx ，确定这个函数解析式．月份x /月 1 2 3 4 5 6 人数y /人526168747883【解】 设u ＝ln y ，c ＝ln a ， 得u ^＝c ^＋b ^x ，则u 与x 的数据关系如下表：x12 3 4 56u ＝ln y 3.95 4.114.224.3044.356 7 4.418 8非线性回归方程的步骤(1)确定变量，作出散点图．(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数．(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程． (4)分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果． (5)根据相应的变换，写出非线性回归方程．某种书每册的成本费y (元)与印刷册数x (千册)有关，经统计得到数据如下：x(千册)1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 y (元)10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15检验每册书的成本费y (元)与印刷册数的倒数1x之间是否具有线性相关关系，如有，求出y 对x 的回归方程，并画出其图形．解：首先作变量置换u ＝1x，题目中所给的数据变成如下表所示的10对数据．u i 1 0.5 0.33 0.2 0.1 0.05 0.03 0.02 0.01 0.005 y i10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15然后作相关性检测．经计算得r ≈0.999 8>0.75，从而认为u 与y 之间具有线性相关关系，由公式得a ^≈1.125，b ^≈8.973，所以y ^＝1.125＋8.973u ，最后回代u ＝1x ，可得y ^＝1.125＋8.973x.这就是题目要求的y 对x 的回归方程．回归方程的图形如图所示，它是经过平移的反比例函数图象的一个分支．1．关于回归分析，下列说法错误的是( ) A ．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法 B ．散点图中，解释变量在x 轴，预报变量在y 轴C ．回归模型中一定存在随机误差D ．散点图能明确反映变量间的关系解析：选D.用散点图反映两个变量间的关系时，存在误差． 2．下列关于统计的说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数，方差恒不变； ②回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必经过点(x ，y )； ③线性回归模型中，随机误差e ＝y i －y ^i ；④设回归方程为y ^＝－5x ＋3，若变量x 增加1个单位，则y 平均增加5个单位． 其中正确的为________(写出全部正确说法的序号)．解析：①正确；②正确；③线性回归模型中，随机误差的估计值应为e ^i ＝y i －y ^i ，故错误；④若变量x 增加1个单位，则y 平均减少5个单位，故错误． 答案：①②3．某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x (x 取整数)(元)与日销售量y (台)之间有如下关系：x 35 40 45 50 y56412811(1)画出散点图，并判断y 与x 是否具有线性相关关系；(2)求日销售量y 对销售单价x 的线性回归方程(方程的斜率保留一个有效数字)； (3)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据(2)写出P 关于x 的函数关系式，并预测当销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润．解：(1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量具有线性相关关系．(2)因为x －＝14×(35＋40＋45＋50)＝42.5，(3)依题意有P ＝(161.5－3x )(x －30) ＝－3x 2＋251.5x －4 845＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －251.562＋251.5212－4 845. 所以当x ＝251.56≈42时，P 有最大值，约为426元．故预测当销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．知识结构深化拓展线性回归模型的模拟效果(1)残差图法：观察残差图，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．(2)残差的平方和法：一般情况下，比较两个模型的残差比较困难(某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相反)，故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好．(3)R 2法：R 2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好．[注意] r 的绝对值越大说明变量间的相关性越强，通常认为r 的绝对值大于等于0.75时就是有较强的相关性，同样R 2也是如此，R 2越大拟合效果越好.[A 基础达标]1．废品率x %和每吨生铁成本y (元)之间的回归直线方程为y ^＝256＋3x ，表明( ) A ．废品率每增加1%，生铁成本增加259元 B ．废品率每增加1%，生铁成本增加3元 C ．废品率每增加1%，生铁成本平均每吨增加3元 D ．废品率不变，生铁成本为256元解析：选C.回归方程的系数b ^表示x 每增加一个单位，y ^平均增加b ^，当x 为1时，废品率应为1%，故当废品率增加1%时，生铁成本平均每吨增加3元．2．已知某产品连续4个月的广告费用为x i (i ＝1，2，3，4)千元，销售额为y i (i ＝1，2，3，4)万元，经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝18，y 1＋y 2＋y 3＋y 4＝14；②广告费用x 和销售额y 之间具有较强的线性相关关系；③回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝0.8(用最小二乘法求得)，那么当广告费用为6千元时，可预测销售额约为( )A ．3.5万元B ．4.7万元C ．4.9万元D ．6.5万元解析：选B.依题意得x ＝4.5，y ＝3.5，由回归直线必过样本点中心得a ^＝3.5－0.8×4.5＝－0.1，所以回归直线方程为y ^＝0.8x －0.1.当x ＝6时，y ^＝0.8×6－0.1＝4.7.3．某化工厂为预测某产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了8对观测值，计算得的线性回归方程是( )A.y ^＝11.47＋2.62xB.y ^＝－11.47＋2.62x C.y ^＝2.62＋11.47x D.y ^＝11.47－2.62x 解析：选A.由题中数据得x ＝6.5，y ＝28.5，a ^＝y －b ^x ＝28.5－2.62×6.5＝11.47，所以y 与x 的线性回归方程是y ^＝2.62x ＋11.47.故选A.4．若某地财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y ＝bx ＋a ＋e (单位：亿元)，其中b ＝0.8，a ＝2，|e |≤0.5.如果今年该地区财政收入10亿元，则年支出预计不会超过( )A ．10亿元B ．9亿元C ．10.5亿元D ．9.5 亿元解析：选C.代入数据y ＝10＋e ，因为|e |≤0.5， 所以9.5≤y ≤10.5，故不会超过10.5亿元．5．某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：万元)之间的关系如下表：y 与x 的线性回归方程为y ＝6.5x ＋17.5，当广告支出5万元时，随机误差的效应(残差)为________．解析：因为y 与x 的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5，当x ＝5时，y ^＝50，当广告支出5万元时，由表格得：y ＝60，故随机误差的效应(残差)为60－50＝10. 答案：106．若一组观测值(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )之间满足y i ＝bx i ＋a ＋e i (i ＝1，2，…，n )，且e i 恒为0，则R 2为________．解析：由e i 恒为0，知y i ＝y ^i ，即y i －y ^i ＝0， 故R 2＝1－∑ni ＝1 （y i －y ^i ）2∑n i ＝1 （y i －y ）2＝1－0＝1.答案：17．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y (元)与该周每天销售这种服装件数x 之间的一组数据关系见表：已知∑7i ＝1x 2i ＝280，∑7i ＝1x i y i ＝3 487. (1)求x ，y ；(2)已知纯利y 与每天销售件数x 线性相关，试求出其回归方程． 解：(1)x ＝3＋4＋5＋6＋7＋8＋97＝6，y ＝66＋69＋73＋81＋89＋90＋917＝5597.(2)因为y 与x 有线性相关关系，所以b ^＝∑7i ＝1x i y i－7x y ∑7i ＝1x 2i －7x 2＝3 487－7×6×5597280－7×36＝4.75，a ^＝5597－6×4.75＝71914≈51.36.故回归方程为y ^＝4.75 x ＋51.36.8．已知某校5个学生的数学和物理成绩如下表：(1)假设在对这5名学生成绩进行统计时，把这5名学生的物理成绩搞乱了，数学成绩没出现问题，问：恰有2名学生的物理成绩是自己的实际分数的概率是多少？(2)通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用x 表示数学成绩，用y 表示物理成绩，求y 与x 的回归方程； (3)利用残差分析回归方程的拟合效果，若残差和在(－0.1，0.1)范围内，则称回归方程为“优拟方程”，问：该回归方程是否为“优拟方程”？参考数据和公式：y ^＝b ^x ＋a ^，其中．解：(1)记事件A 为“恰有2名学生的物理成绩是自己的实际成绩”， 则P (A )＝2C 25A 55＝16.(2)因为x ＝80＋75＋70＋65＋605＝70，y ＝70＋66＋68＋64＋625＝66，学生的编号i 1 2 3 4 5 数学x i 80 75 70 65 60 物理y i7066686462[B 能力提升]9.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如表的统计资料：使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.010．(选做题)某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表所示：身高x(cm)60708090100110体重y(kg) 6.137.909.9912.1515.0217.50身高x(cm)120130140150160170体重y(kg)20.9226.8631.1138.8547.2555.05 (1)(2)如果体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高175 cm 、体重82 kg 的在校男生体重是否正常？ 解：(1)根据题表中的数据画出散点图如图所示．由图可看出，样本点分布在某条指数函数曲线y ＝c 1e c 2x的周围， 于是令z ＝ln y ，得下表：x 60 70 80 90 100 110 z 1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 x 120 130 140 150 160 170 z3.043.293.443.663.864.01作出散点图如图所示：由表中数据可得z 与x 之间的回归直线方程为 z ^＝0.662 5＋0.020x ，则有y ^＝e 0.662 5＋0.020x .(2)当x ＝175时，预报平均体重为y ^＝e 0.662 5＋0.020×175≈64.23， 因为64.23×1.2≈77.08＜82，所以这个男生偏胖．。
线性统计模型知识点总结
线性统计模型知识点总结一、线性回归模型1. 线性回归模型的基本思想线性回归模型是一种用于建立自变量和因变量之间线性关系的统计模型。
它的基本思想是假设自变量与因变量之间存在线性关系，通过对数据进行拟合和预测，以找到最佳拟合直线来描述这种关系。
2. 线性回归模型的假设线性回归模型有一些假设条件，包括：自变量与因变量之间存在线性关系、误差项服从正态分布、误差项的方差是常数、自变量之间不存在多重共线性等。
3. 线性回归模型的公式线性回归模型可以用如下的数学公式来表示：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中Y 是因变量，X是自变量，β是模型的系数，ε是误差项。
4. 线性回归模型的参数估计线性回归模型的参数估计通常使用最小二乘法来进行。
最小二乘法的目标是通过最小化残差平方和来寻找到最佳的模型系数。
5. 线性回归模型的模型评估线性回归模型的好坏可以通过很多指标来进行评价，如R-squared（R^2）、调整后的R-squared、残差标准差、F统计量等。
6. 线性回归模型的应用线性回归模型广泛应用于经济学、金融学、市场营销、社会科学等领域，用以解释变量之间的关系并进行预测。
二、一般线性模型（GLM）1. 一般线性模型的基本概念一般线性模型是一种用于探索因变量与自变量之间关系的统计模型。
它是线性回归模型的一种推广形式，可以处理更为复杂的数据情况。
2. 一般线性模型的模型构建一般线性模型与线性回归模型相似，只是在因变量和自变量之间的联系上，进行了更为灵活的变化。
除了线性模型，一般线性模型还可以包括对数线性模型、逻辑斯蒂回归模型等。
3. 一般线性模型的假设一般线性模型与线性回归模型一样，也有一些假设条件需要满足，如误差项的正态分布、误差项方差的齐性等。
4. 一般线性模型的模型评估一般线性模型的模型评估通常涉及到对应的似然函数、AIC、BIC、残差分析等指标。
5. 一般线性模型的应用一般线性模型可以应用于各种不同的领域，包括医学、生物学、社会科学等，用以研究因变量与自变量之间的关系。
第2章：线性回归的基本思想：双变量模型
因此，给定收入X的值Xi，可得分数Y的条件均值 （ conditional mean ） 或 条 件 期 望 （ conditional
expectation）：
2-17
E(Y|X=Xi)
2.2 总体归函数（PRF）：假想一例
描出散点图发现：随着收入的增加，成绩“平均 地说”也在增加，且Y的条件均值均落在一根正斜 率的直线上。这条直线称为总体回归线。
皮尔逊收集过一些家庭群体的1千多名成员的身 高记录。他发现，对于一个父亲高的群体，儿 辈的平均身高低于他们父辈的身高，而对于一 个父亲矮的群体，儿辈的平均身高则高于其父 辈的身高。这样就把高的和矮的儿辈一同“回 归”到所有男子的平均身高。用加尔顿的话说， 这是“回归到中等”。
2-2
2.1 回归的含义
对变量间统计依赖关系的考察主要是通过相关分析 (correlation analysis) 和 回 归 分 析 (regression analysis)来完成的：
正相关
线性相关 不相关 相关系数：
统计依赖关系
2-4
负相关 1 XY 1
正相关 非线性相关 不相关
负相关
有因果关系 无因果关系
回归分析 相关分析
经济变量之间的关系，大体可分为两类： （1）确定性关系或函数关系：研究的是
确定现象非随机变量间的关系。
（2）统计依赖或相关关系：研究的是非确 定现象随机变量间的关系。
2-3
2.1 回归的含义
例如：
函数关系： 圆面积 f ,半径 半径2
统计依赖关系/统计相关关系：
农作物产量 f 气温, 降雨量, 阳光, 施肥量
2-23
2.3 总体回归函数的统计或随机设定
3[1].1.3 回归分析的基本思想及其初步应用(3)
高二数学 选修2-3
第三章
统计案例
一、复习回顾
1、线性回归模型： 、线性回归模型： y=bx+a+e， (3)
{
y=bx+a+e，
E(e)=0,D(e)=
σ.
2
(4)
其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。 为模型的未知参数， 称为随机误差 称为随机误差。 其中 和 为模型的未知参数 2、数据点和它在回归直线上相应位置的差异(yi − $ i ) 、 y 是随机误差的效应， $ 残差。 是随机误差的效应，称 e i = y i − $ i 为残差。 y
若模型选择的正确， 若模型选择的正确，残差图中 的点应该分布在以横轴为中心 的带形区域。 的带形区域。
4
还可以用相关指数 来刻画回归的效果， 还可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其 相关指数 计算公式是： 计算公式是：
R =1−
2
$ )2 ∑( yi − yi
n
∑( y − y)
i=1 i
i=1 n
若由资料知,y对 呈线性相关关系 试求： 呈线性相关关系。 若由资料知 对x呈线性相关关系。试求： （1）线性回归方程 ）
ˆ ˆ ˆ y = bx + a
2
的回归系数
ˆ ˆ a、b ；
（2）求残差平方和； ）求残差平方和； （3）求相关系数 ）
R；
年时， （4）估计使用年限为 年时，维修费用是多少？ ）估计使用年限为10年时 维修费用是多少？
二、非线性回归问题
案例2 案例2
一只红铃虫的产卵数y和温度 有关 一只红铃虫的产卵数 和温度x有关。现 和温度 有关。 收集了7组观测数据列于表中 组观测数据列于表中： 收集了 组观测数据列于表中：
第2章习题
3. 美国各航空公司业绩的统计数据公布在《华尔街日报 1999 年年鉴》（The Wall Street Journal Almanac 1999）上。航班正点到达的比率和每 10 万名乘客投诉的次数的数据如下。
航空公司名称
航班正点率（%）
投诉率（次/10 万名乘客）
西南(Southwest)航空公司
D （X，Y）
16. 以 Y 表示实际观测值， Yˆ 表示 OLS 估计回归值，则用 OLS 得到的样本回归直线
Yˆ i＝βˆ0 + βˆ1Xi 满足（ ）
∑ A （Yi－Yˆ i）＝0 ∑ B （Yi－Yi）2＝0 ∑ C （Yi－Yˆ i）2＝0 ∑ D （Yˆ i－Yi）2＝0
17. 若一正常商品的市场需求曲线向下倾斜，则可断定（ ） A 它具有不变的价格弹性 B 随需求量增加，价格下降 C 随需求量增加，价格上升 D 需求无弹性
6. 在总体回归直线 E（Yˆ ）＝β0 + β1X 中， β1表示（ ） A 当 X 增加一个单位时，Y 增加 β1 个单位 B 当 X 增加一个单位时，Y 平均增加 β1 个单位 C 当 Y 增加一个单位时，X 增加 β1 个单位 D 当 Y 增加一个单位时，X 平均增加 β1 个单位
7. 最小二乘准则是指使（
C Yi＝βˆ0 + βˆ1Xi + ei
D Yˆ i＝βˆ0 + βˆ1Xi + ei
E E(Yi )＝βˆ0 + βˆ1Xi
4. Yˆ 表示 OLS 估计回归值，u 表示随机误差项。如果 Y 与 X 为线性相关关系，则下列哪些
是正确的（
）
A Yi＝β0 + β1Xi
B Yi＝β0 + β1Xi＋ui
第2章_线性回归的基本思想：双变量模型 (2)
200 35 31 30 28 26 22 20
225 36 34 31 29 27 26 23
250 38 36 33 30 28 25 23
275 40 37 32 30 29 27 25
300 42 39 34 31 30 29 26
325 43 35 31 30 29 33 32
350 375 45 39 33 30 27 30 28 46 40 34 31 28 32 30
2019/2/21
R 2 0.99
2
回归分析可以用来：
1、找到被解释变量(Y)与解释变 量(X)运动的相互关系，并检验 某些假设 如：固定其它条件不变，施肥 量每增加一单位, 收成变化多 少？是增收还是减产？ 2、在已知解释变量(X)的基础上， 估计或预测被解释变量(Y)的均 值 如：估计身高170的父亲，其 儿子的平均身高 3、综合分析、指导决策
随机干扰项的性质和意义 Yi B1 B2 X i ui
它是从模型中省略下来，但又集体地影
响着Y的全部变量的替代物。
博 彩 支 出
系统成分/定性：可支配收入（X） 其它变量的影响 如性格、年龄、 性别
B1＋B2 X i
非系统/随机成分:
ui
另外一些说不清的随机事件： 如某几天心情好，多买点
slope
Regression coefficients
12
2019/2/21
度量了X每变动一单位，Y（条件） 均值的变化率
2、总体回归函数（PRF）
（Population Regression Function）
条件回归分析
E（Y Xi ）＝B1＋B2 X i
E（ Y ）
B1