黑龙江省哈尔滨市第三中学校2018届高三数学一模考试试题文(含解析)

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2018届高三一模考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵集合，集合∴故选C.2. 下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于，是偶函数，在区间单调递增，故排除；对于，是偶函数，在区间单调递减，故正确；对于，是非奇非偶函数，在区间单调递增，故排除；对于，是非奇非偶函数，在区间单调递减，故排除.故选B.3. 在等差数列中，若,公差，那么等于（）A. 4B. 5C. 9D. 18【答案】B【解析】∵,公差∴∴∴故选B.4. 已知，，则（）A. 2B.C.D. 1【答案】D【解析】∵，∴故选D5. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（）A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】，即。

依题意可得，直线方程为，则圆心到直线的距离，所以直线被圆所截得的弦长为，故选D6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列条件，其中能够推出的是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】B【解析】由，，可推出与平行、相交或异面，由可推出∥.故选B7. 函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵由得∴函数（且）的图像恒过定点∵点在直线上∴∵，当且仅当时取等号∴∴最大值为故选D.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．8. 设是数列的前项和，若,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，，解得.当时，，，则，即.∴数列是首项为，公比为的等比数列∴故选C.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. 2 C. D. 4【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥（如图所示），其中，到平面的距离为1，故所求的三棱锥的体积为. 故选：A10. 已知、为双曲线：的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意作图如下：设.∵∴∵由双曲线焦半径公式知，∴∴故选C.点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．11. 千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：根据上表可得回归方程中的为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖以上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为（）A. 111B. 115C. 117D. 123【答案】C【解析】由题意得，.∵数据的样本中心点在线性回归直线上，中的为1.35∴，即∴线性回归方程是∵我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖以上学生人数为63人∴我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为故选C.点睛：本题考查的知识是线性回归方程.回归直线方程中系数的两种求法①公式法：利用公式，求出回归系数；②待定系数法：利用回归直线过样本点中心求系数.12. 设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵∴∵是函数是极大值点∴∴∴∴∴当时，，当时，∴当时取极小值为故选A.点睛：本题主要考查函数的极值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知正方形边长为2，是的中点，则______.【答案】2【解析】根据题意.故正确答案为.14. 若实数满足，则的最大值为_______.【答案】5【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部：其中，，，设，将直线进行平移，当经过点时，目标函数达到最大值，此时.故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 直线与抛物线相交于不同两点，若是中点，则直线的斜率_______. 【答案】【解析】设，∵直线与抛物线相交于不同两点∴，，则两式相减得∵是中点∴∴故答案为.16. 钝角中，若，，则的最大值为_______.【答案】【解析】在钝角中，若，，由正弦定理可得. ∴，∴，其中∵∴∴当时，的最大值为故答案为.点睛：本题求最值利用三角函数辅助角公式将函数化为的形式，利用求最值，其中的取值需结合数值以及符号确定.三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知函数.（1）当时，求的值域；（2）已知的内角的对边分别为，，，求的面积. 【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合，即可求得的值域；（2）由求得的值，利用余弦定理求得的值，可得的面积.试题解析：（1）由题意知，由.∵∴∴∴（2）∵∴∵∴∵，∴由余弦定理可得∴∴18. 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均课外体育锻炼时间在的学生评价为“课外体育达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表；（2）通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？参考格式：，其中【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据所给数据，可得列联表；（2）根据关联表，代入公式计算，与临界值比较即可得出结论.试题解析：(1)(2)所以在犯错误的概率不超过的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.19. 如图，直三棱柱中，且，是棱中点，是的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）取中点，连结，则∥且，根据为中点，可推出四边形为平行四边形，即可得证平面；（2）根据及是的中点，可得，即可得到到的距离，从而得到到的距离，再根据，即可求出点到平面的距离......................试题解析：（1）取中点，连结，则∥且.∵当为中点时，∥且，∴∥且.∴四边形为平行四边形，则∥又∵，，∴平面；（2）∵中，，是中点∴.又∵直三棱柱中，，，∴，且到的距离为.∵平面∴到的距离等于到的距离等于.设点到平面的距离为.∵∴，易求，，解得.∴点到平面的距离为.点睛：本题主要是利用等体积法来求解几何体的高，特别是在求三棱锥的高时，等体积法回避了通过具体作图得到三棱锥的高，而通过直接计算得到高的数值，本题解答的关键是通过，进而求出点到平面的距离.20. 已知是椭圆的右焦点，过的直线与椭圆相交于，两点.（1）若，求弦长；（2）为坐标原点，，满足，求直线的方程.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由题意可知过的直线斜率存在，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，得关于的一元二次方程，由及韦达定理可得的值，从而求出弦长；（2）由可得，即，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理即可求出的值，从而求出直线的方程. 试题解析：(1)由题意可知过的直线斜率存在，设直线的方程为联立，得∵∴，则∴(2)∵∴∴，即设直线的方程为，联立，得∴，∴，即∴或∴直线的方程为点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21. 已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性.【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线方程、利用导数求函数的单调性等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，先将代入得到表达式，对求导，将切点的横坐标2代入中得到切线的斜率k，再将切点的横坐标2代入到中，得到切点的纵坐标，最后利用点斜式写出切线方程；第二问，讨论的单调性即讨论的正负，即讨论导数表达式分子的正负，所以构造函数，通过分析题意，将分成、、、多种情况，分类讨论，判断的正负，从而得到的单调性.试题解析：（1）当时，6分（2）因为，所以，令8分（i）当a=0时，所以当时g(x)>0,此时函数单调递减，x∈（1，∞）时，g(x)<0,此时函数f,(x)单调递增。

（ii）当时，由，解得：10分①若,函数f(x)在上单调递减， 11分②若，在单调递减，在上单调递增.③ 当a<0时，由于1/a-1<0,x∈(0,1)时，g(x)>0,此时,函数f(x)单调递减；x∈（1，∞）时，g(x)<0 ,,此时函数单调递增。

综上所述：当a≤ 0 时，函数f(x)在（0,1）上单调递减;函数f(x)在(1, +∞) 上单调递增当时,函数f(x)在(0, + ∞)上单调递减当时，函数f(x)在上单调递减；函数 f(x)在上单调递增； 14分考点：导数的运算、利用导数求曲线的切线方程、利用导数求函数的单调性.视频22. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的方程为（为参数）.（1）求曲线的参数方程和曲线的普通方程；（2）求曲线上的点到曲线的距离的最大值.【答案】(1) （为参数）， (2)【解析】试题分析：（1）由题意利用转化公式可得曲线的参数方程和曲线的普通方程；（2）将原问题转化为三角函数问题可得曲线上的点到曲线的距离的最大值.试题解析：（1）由，得，则，即∴曲线的参数方程为（为参数）由（为参数）消去参数，整理得曲线的普通方程为.（2）设曲线上任意一点，点到的距离∵∴∴曲线上的点到曲线的距离的最大值为23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，函数的最小值为，（），求的最小值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）当时，不等式等价于，两边平方即可求得解集；（2）对分类讨论，去掉绝对值符号得函数的解析式，可得函数的最小值为，再结合基本不等式即可求出的最小值.试题解析：（1）当时，不等式为两边平方得，解得或∴的解集为（2）当时，，可得，∴∴，当且仅当，即，时取等号.。