第六章二次型2013

若使二次型f经过可逆变换x=Py变成标准型,即有
定理2.1
T 设A为n阶对称矩阵.二次型能用 f ( x ) = x Ax
y ( P AP ) y = k 1 y + k 2 y + L + k n y
T T 2 1 2 2
2 n
⎛ k1 ⎜ ⎜ = ( y 1 , y 2 , L , y n )⎜ ⎜ ⎜ ⎝
0 ⎞ ⎛1 2 ⎜ ⎟ 故A = ⎜ 2 2 − 3 ⎟ . ⎜ 0 − 3 − 3⎟ ⎝ ⎠
f = x T Ax .
1
T 二次型的矩阵及秩 f = x Ax
定义 1.2 P168
设
⎧ x1 = p11 y1 + p12 y2 + L + p1n yn , ⎪x = p y + p y +L+ p y , ⎪ 2 21 1 22 2 2n n ⎨ L L L L L L L L L L L L L ⎪ ⎪ = + + + x p y p y L p n1 1 n2 2 nn y n ⎩ n
+ 2a 12 x 1 x 2 + 2 a 13 x 1 x 3 + L + 2a n −1,n x n −1 x n
取 a ji = a ij , 则2 a ij x i x j = a ij x i x j + a ji x j x i ,
= x1 ( a11 x1 + a12 x 2 + L + a1 n x n ) + x 2 ( a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n )
a1n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ a 2 n ⎟ ⎜ x2 ⎟ L⎟⎜ M ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ann ⎟ ⎠ ⎝ xn ⎠
a
ji
= a ij ,
例１ 写出二次型的矩阵表示.
⎛ a11 a12 ⎜ ⎜ a21 a22 记 A=⎜ L L ⎜ ⎜a ⎝ n1 an 2
L a1n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ L a2 n ⎟ ⎜ x2 ⎟ , x = ⎜ ⎟, ⎟ L L M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎟ L ann ⎠ ⎝ n⎠
P T AP = B , 则称矩阵A,B合同(或相合),
~ B . P称为合同因子或合同变换矩阵. 记做 A −
这样的变换称为对A所做的合同变换.
合同关系的不变量
P T AP = B
~ B ,则 R( A) = R( B ). 1)若A −
证明: 由于存在可逆矩阵P,使PTAP=B,
~ B, 则 若A −
k2 O
⎞⎛ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ k n ⎠⎝
y1 ⎞ ⎟ y2 ⎟ , M ⎟ ⎟ yn ⎟ ⎠
可逆变换x=Py化为标准型的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵P,使 P T AP = B = diag ( b1 , b2 , L , bn ).
可见要使二次型f经过可逆变换x=Py变成标准型, 也就是要使PTAP成为对角矩阵.
通过正交变换 x = Qy ,化成标准形. 解: 1.写出对应的二次型矩阵,并求其特征值
η 1 ,η 2 , L , η n , 记 Q = (η 1 ,η 2 , L , η n ) ;
2 f = λ 1 y12 + L + λ n y n .
5. 作正交变换 x = Qy ,则得f的标准形
λ − 17 2 2 ⎛ 17 − 2 − 2 ⎞ ⎜ ⎟ λ − 14 4 A = ⎜ − 2 14 − 4 ⎟, λE − A = 2 ⎜ − 2 − 4 14 ⎟ 2 4 λ 14 − ⎝ ⎠ 2 = −(λ − 18) (λ − 9)
故有相同的特征值. 于是有正交矩阵 Q1 , Q2 ,
使Q1 AQ1 = Q2 BQ2 = diag (λ1 , λ 2 , L , λ n ).
T T
从而 (Q2 ) −1 Q1 AQ1 (Q2 ) −1 = B , 即(Q2 )T Q1 AQ1Q2 = B .
T 令Q = Q1Q2 , 则Q可逆 , 且Q T AQ = B . 故 A ~ − B. T T T
相似和合同矩阵必然是等价矩阵,所以具有反身性, 对称性,传递性.
⇔ BT
= ( P T AP )T = P T AT P
= P T AP
= B.
P169
~ B )与相似 ( A ~ C )的比较 合同 ( A − ↓ P T AP = B , ↓ P −1 AP = C
重要结论 A5. (教程P142例3)
§1 二次型及其矩阵
第六章 二次型与对称矩阵
定义 1 含有 n 个变量 x 1 , x 2 ,L , x n的二次齐次函数
2 2 2 f ( x1 , x 2 , L , x n ) = a11 x1 + a 22 x 2 + L + a nn x n
+ 2a12 x1 x 2 + 2 a13 x1 x 3 + L + 2a n − 1, n x n − 1 x n
从而特征值为 λ1 = λ 2 = 18, λ 3 = 9.
2.求特征向量 当λ1 = λ 2 = 18 时,解 (18 E − A) x = 0 ,得基础解系
2 1
2 + L + a n1 x n x1 + a n 2 x n x 2 + L + a nn x n
= ∑ ∑ a ij x i x j .
i =1 j = 1
n
n
⎛ a11 a12 ⎜ ⎜ a21 a22 = ( x1 , x2 ,L, xn ) ⎜ L L ⎜ ⎜a ⎝ n1 an 2
L L L L
4
定理2.2
T 任给二次型 f = x Ax ,总有正交变换 x = Qy ,使f化为标准型
将二次型化成标准形的方法有:
1)正交变换法 (定理2.2); 2)配方法; 3)合同法.
2 2 2 f = λ1 y1 + λ 2 y2 + L + λn yn ,
其中 λ1 , λ 2 , L , λ n 是f的矩阵A的特征值. 证明: 由于A为实对称矩阵,总有正交矩阵Q,使
~ B. 设A,B均为实对称矩阵,且A~B,则 A −
证明: 由于A,B均为实对称矩阵,且A~B,则
1.合同与相似是互相独立的两个概念, 即合同的矩阵未必相似,相似的矩阵未必合同. 2. 但对于实方阵A当合同因子是正交矩阵时, 合同变换与相似变换完全一致. (若Q为正交矩阵,有 Q T = Q −1 ,故 Q T AQ = Q −1 AQ ) .
⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 4 ⎟ 它的矩阵为对角型矩阵 ⎜ ⎜ 4⎟ ⎠ ⎝
记 P = ( pij ),则上述可逆线性变换可记为 x = Py, 将其代入 f = x T Ax ,有
f = x T Ax = ( Py )T A( Py ) = y T ( P T AP ) y .
f = x T Ax = ( Py )T A( Py ) = y T ( P T AP ) y .
称为由X到Y的线性变换. P可逆时为可逆变换,否则为不可逆变换.
复习 对于n阶矩阵A,B,如果有n阶可逆矩阵P,使得
定义1.3 对于n阶矩阵A,B,如果有n阶可逆矩阵P,使得
P −1 AP = B , 则称A,B相似. 记做A~B. P为相似因子.
性质1 若A~B,则R(A)=R(B). 性质2 若A~B,则|A|=|B|. 性质6 若A~B,则A与B有完全相同的特征值. (若A与B的特征值不同,则A与B必不相似)
T
T
教程P141例2 (1)
教程P141例2 (1)
⎛ 1 1 1⎞ ⎛3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 1 1 ⎟, B = ⎜ 0 ⎟ , A,B相似否 ?合同否? ⎜ 1 1 1⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
提示:
⎛ 1 1 1⎞ ⎛3 ⎞ A与B相似否? ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 1 1 ⎟, B = ⎜ 0 ⎟ , 合同否? ⎜ 1 1 1⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1) R(A)=R(B); 2) A是对称矩阵 B是对称矩阵;
易知PT也可逆.
故 R( A) = R( P T AP ) = R( B ).
(对称矩阵与不对称矩阵一定不合同)
2
~ B , 则 A是对称矩阵 ⇔ B是对称矩阵 . 2)若 A −
证明: P AP = B及 A = A
T T
比较概念
A ≅ B 等价 : A经过初等变换得到B. A ~ B相似 : P −1 AP = B , P可逆. ~ B合同 : P T AP = B , P可逆. A−
2 2 2 f = x1 + 2 x2 − 3 x3 + 4 x1 x2 − 6 x2 x3
解
a11 = 1 , a 22 = 2 , a 33 = −3 , a12 = a 21 = 2 , a13 = a 31 = 0 , a 23 = a 32 = −3.
看例 1.1,1.2
则二次型可记作 f = x T Ax , 其中 A为对称矩阵 .
例如 f ( x1 , x2 , x3 ) = x + 4 x + 4 x 为标准形的二次型.
2 1 2 2 2 3
对于二次型,我们讨论的主要问题是: 寻求可逆的线性变换,将二次型化为标准形.
设
⎧ x1 = p11 y1 + p12 y2 + L + p1n yn , ⎪x = p y + p y +L+ p y , ⎪ 2 21 1 22 2 2n n ⎨ L L L L L L L L L L L L L ⎪ ⎪ = + + + x p y p y L p n1 1 n2 2 nn y n ⎩ n