高考数学复习小题专项练习(九)点、线、面的位置关系文
高考数学二轮复习第一部分专题九点、线、面之间的位置关系学案理解析版
专题九点、线、面之间的位置关系[题组全练]1.在如图所示的正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱B 1B ，AD 的中点，则直线BF 与平面AD 1E 的位置关系是( )A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．异面解析：选A 如图，取AD 1的中点O ，连接OE ，OF ，则OF 平行且等于BE ， ∴四边形BFOE 是平行四边形， ∴BF ∥OE ，∵BF ⊄平面AD 1E ，OE ⊂平面AD 1E ， ∴BF ∥平面AD 1E .2．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ；②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若α∩β＝n ，m ∥n ，m ∥α，则m ∥β； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β. 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B ①，m ∥n 或m ，n 异面，故①错误；易知②正确；③，m ∥β或m ⊂β，故③错误；④，α∥β或α与β相交，故④错误．3．(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( )A.22B.32C.52D.72解析：选C 如图，连接BE ，因为AB ∥CD ，所以AE 与CD 所成的角为∠EAB.在Rt △ABE 中，设AB ＝2，则BE ＝5，则tan ∠EAB ＝BE AB ＝52，所以异面直线AE 与CD 所成角的正切值为52. 4．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．解析：如图，∵SA 与底面成45°角， ∴△SAO 为等腰直角三角形． 设OA ＝r ，则SO ＝r ，SA ＝SB ＝2r . 在△SAB 中，cos ∠ASB ＝78，∴sin ∠ASB ＝158， ∴S △SAB ＝12SA ·SB ·sin ∠ASB＝12×(2r )2×158＝515， 解得r ＝210，∴SA ＝2r ＝45，即母线长l ＝45， ∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×210×45＝402π. 答案：402π[系统方法]1．判定空间位置关系的方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行判断．2．当线线角、线面角出现在客观题中时，多用定义法求解．若出现在解答题中多用向量法求解．空间平行、垂直关系的证明[由题知法][典例] (2018·石家庄摸底)如图，在多面体ABCDPE 中，四边形ABCD 和CDPE 都是直角梯形，AB ∥DC ，PE ∥DC ，AD ⊥DC ，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝PD ＝DA ＝2PE ，CD ＝3PE ，F 是CE 的中点．(1)求证：BF ∥平面ADP ；(2)已知O 是BD 的中点，求证：BD ⊥平面AOF .[证明] (1)取PD的中点为G，连接FG，AG，∵F是CE的中点，∴FG是梯形CDPE的中位线，∵CD＝3PE，∴FG＝2PE，FG∥CD，∵CD∥AB，AB＝2PE，∴AB∥FG，AB＝FG，即四边形ABFG是平行四边形，∴BF∥AG，又BF⊄平面ADP，AG⊂平面ADP，∴BF∥平面ADP.(2)延长AO交CD于M，连接BM，FM，∵BA⊥AD，CD⊥DA，AB＝AD，O为BD的中点，∴四边形ABMD是正方形，则BD⊥AM，MD＝2PE.∴MD綊FG.∴四边形DMFG为平行四边形．∴FM∥PD，∵PD⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，∴FM⊥BD，∵AM∩FM＝M，∴BD⊥平面AMF，即BD⊥平面AOF.[类题通法]1．垂直、平行关系中的转化与化归思想(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行．(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直．(3)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直．2．垂直、平行关系的常用证明方法[应用通关]1.如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，∠ABC ＝60°，AA 1＝AC ＝2，A 1B ＝A 1D ＝22，点E 在A 1D 上．(1)证明：AA 1⊥平面ABCD ； (2)当A 1EED为何值时，A 1B ∥平面EAC ，并求出此时直线A 1B 与平面EAC 之间的距离． 解：(1)证明：因为四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，所以AB ＝AD ＝AC ＝2. 在△AA 1B 中，由AA 21＋AB 2＝A 1B 2，得AA 1⊥AB ， 同理可知AA 1⊥AD.又AB ∩AD ＝A ，所以AA 1⊥平面ABCD. (2)当A 1EED＝1时，A 1B ∥平面EAC . 证明如下：连接BD 交AC 于点O ，则O 为BD 的中点， 连接OE ，因为A 1EED＝1， 所以点E 为A 1D 的中点，所以OE ∥A 1B ，又A 1B ⊄平面EAC ，EO ⊂平面EAC ， 所以A 1B ∥平面EAC .所以直线A 1B 与平面EAC 之间的距离等于点A 1到平面EAC 的距离，因为E 为A 1D 的中点，所以可转化为点D 到平面EAC 的距离，设AD 的中点为F ，连接EF ，则EF ∥AA 1， 所以EF ⊥平面ACD ，且EF ＝1，可求得S △ACD ＝3，所以V E ACD ＝13×3×1＝33.易知AE ＝2，AC ＝2，CE ＝2，所以S △EAC ＝72， 又因为V D AEC ＝V E ACD ，所以13S △EAC ·d ＝33(d 表示点D 到平面EAC 的距离)，解得d ＝2217，所以直线A 1B 与平面EAC 之间的距离为2217.2．(2018·长春模拟)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝BB 1，AB 1∩A 1B ＝E ，D 为AC 上的点，B 1C ∥平面A 1BD.(1)求证：BD ⊥平面A 1ACC 1；(2)若AB ＝1，且AC ·AD ＝1，求三棱锥A BCB 1的体积． 解：(1)证明：连接ED ，∵平面AB 1C ∩平面A 1BD ＝ED ，B 1C ∥平面A 1BD ，B 1C ⊂平面AB 1C ，∴B 1C ∥ED. ∵E 为AB 1的中点， ∴D 为AC 的中点， ∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC .∵A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴A 1A ⊥BD. ∵A 1A ，AC 是平面A 1ACC 1内的两条相交直线， ∴BD ⊥平面A 1ACC 1.(2)由AB ＝1，得BC ＝BB 1＝1，由(1)知AD ＝12AC ，又AC ·AD ＝1，∴AC 2＝2，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，∴AB ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，∴VA BCB 1＝VB 1ABC ＝13S △ABC ·BB 1＝13×12×1＝16.[由题知法][典例] (2019届高三·武汉调研)如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 是CD 的中点，将△ADE 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥D 1ABCE ，其中平面D 1AE ⊥平面ABCE .(1)证明：BE ⊥平面D 1AE ；(2)设F 为CD 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使得MF ∥平面D 1AE ，若存在，求出AMAB的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：∵四边形ABCD 为矩形且AD ＝DE ＝EC ＝BC ＝2，∴AE ＝BE ＝2 2. 又AB ＝4，∴AE 2＋BE 2＝AB 2， ∴∠AEB ＝90°，即BE ⊥AE .又平面D 1AE ⊥平面ABCE ，平面D 1AE ∩平面ABCE ＝AE ，BE ⊂平面ABCE ，∴BE ⊥平面D 1AE .(2)AM AB ＝14，理由如下： 取D 1E 的中点L ，连接FL ，AL ， ∴FL ∥EC ，FL ＝12EC ＝1.又EC ∥AB ，∴FL ∥AB ，且FL ＝14AB ，∴M ，F ，L ，A 四点共面． 若MF ∥平面AD 1E ，则MF ∥AL . ∴四边形AMFL 为平行四边形， ∴AM ＝FL ＝14AB ，即AM AB ＝14.[类题通法]1．求解平面图形折叠问题的关键和方法2．探索性问题求解的途径和方法 (1)对命题条件探索的三种途径：①先猜后证，即先观察，尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性； ③将几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件． (2)对命题结论的探索方法：从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论．[应用通关]1．(2019届高三·西安八校联考)如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝12AB ＝2，E 为AC 的中点，将△ACD 沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直，得到如图2所示的三棱锥D ABC .(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)点F 在棱CD 上，且满足AD ∥平面BEF ，求几何体F BCE 的体积． 解：(1)证明：∵AC ＝AD 2＋CD 2＝22， ∠BAC ＝∠ACD ＝45°，AB ＝4，∴在△ABC 中，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ×AB ×cos 45°＝8，∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝16， ∴AC ⊥BC ，∵平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面ABC ＝AC ， ∴BC ⊥平面ACD.(2)∵AD ∥平面BEF ，AD ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面BEF ＝EF ，∴AD ∥EF ， ∵E 为AC 的中点， ∴EF 为△ACD 的中位线，由(1)知，V F BCE ＝V B CEF ＝13×S △CEF ×BC .∵S △CEF ＝14S △ACD ＝14×12×2×2＝12，∴V F BCE ＝13×12×22＝23.2.如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝30°，PD ⊥平面ABCD ，AD ＝2，点E 为AB 上一点，且AE AB＝m ，点F 为PD 中点．(1)若m ＝12，证明：AF ∥平面PEC ；(2)是否存在一个常数m ，使得平面PED ⊥平面PAB ，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解：(1)证明：作FM ∥CD ，交PC 于点M ，连接EM ， 因为点F 为PD 的中点，所以FM ＝12CD.因为m ＝12，所以AE ＝12AB ＝FM ，又FM ∥CD ∥AE ，所以四边形AEMF 为平行四边形，所以AF ∥EM ， 因为AF ⊄平面PEC ，EM ⊂平面PEC ， 所以AF ∥平面PEC . (2)存在一个常数m ＝32，使得平面PED ⊥平面PAB ，理由如下： 要使平面PED ⊥平面PAB ，只需AB ⊥DE ， 因为AB ＝AD ＝2，∠DAB ＝30°， 所以AE ＝AD cos 30°＝ 3. 因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AB.又PD ∩DE ＝D ，所以AB ⊥平面PDE ，因为AB ⊂平面PAB ，所以平面PDE ⊥平面PAB ， 所以m ＝AE AB ＝32.[典例细解][例1] (2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A.334 B.233 C.324D.32[解析] 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1与棱A 1A ，A 1B 1，A 1D 1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A 1A ，A 1B 1，A 1D 1平行，故正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的每条棱所在直线与平面AB 1D 1所成的角都相等．如图所示，取棱AB ，BB 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1D ，DA 的中点E ，F ，G ，H ，M ，N ，则正六边形EFGHMN 所在平面与平面AB 1D 1平行且面积最大，此截面面积为S 正六边形EFGHMN ＝6×12×22×22×sin 60°＝334.故选A.[答案] A[启思维] 本题考查了空间几何体的截面问题以及直线与平面所成角的概念，本题体现的“动态几何”问题有一定的探究性，采用极端原理、考虑特殊位置、特殊情况、运用“大胆猜想，小心求证”的方法，往往能将问题快速、有效地解决．[例2] 如图，ABCD A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于P Q ，Q 在CD 上，则P Q ＝________.[解析] ∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面ABCD ∩平面PMN Q ＝P Q ，平面A 1B 1C 1D 1∩平面PMN Q ＝MN ，∴MN ∥P Q.∵M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点， ∴MN ∥A 1C 1∥AC .∴P Q ∥AC .又AP ＝13a ，∴C Q ＝a 3，从而DP ＝D Q ＝23a .∴P Q ＝D Q 2＋DP 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＝223a . [答案]223a[启思维] 本题考查了平面与平面平行的性质，是立体几何中面面平行的基本题型，但对定理的灵活应用要求较高．[增分集训]1.如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是________(填序号)．①当0＜C Q ＜12时，S 为四边形；②当C Q ＝12时，S 为等腰梯形；③当C Q ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝13；④当34＜C Q ＜1时，S 为六边形；⑤当C Q ＝1时，S 的面积为62. 解析：过A 作AM ∥P Q 交DD 1或A 1D 1于M .当0＜C Q ＜12时，M 在DD 1上，连接M Q ，则截面为AM Q P ，故①正确；当C Q ＝12时，M 与D 1重合，截面为AD 1Q P ，显然为等腰梯形，故②正确；当C Q ＝34时，M 在A 1D 1上，且D 1M ＝13.过M 作MR ∥AP 交C 1D 1于R ， 则△MD 1R ∽△PBA ，从而D 1R ＝23，即C 1R ＝13，故③正确；当34＜C Q ＜1时，截面与A 1D 1交于M ，与C 1D 1交于R ，则截面为AMR Q P 为五边形，故④错误；当C Q ＝1时，M 为A 1D 1的中点，截面AMC 1P 为菱形，而AC 1＝3，PM ＝2，故面积为12×3×2＝62，故⑤正确． 答案：①②③⑤2.(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示． (2)作EM ⊥AB ，垂足为M ， 则AM ＝A 1E ＝4，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形， 所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6， 所以AH ＝10.以D 为坐标原点， DA ―→的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ， 则A (10,0,0)，H (10,10,0)，E (10,4,8)，F (0,4,8)， FE ―→＝(10,0,0)， HE ―→＝(0，－6,8)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面EHGF 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE ―→＝0，n ·HE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧10x ＝0，－6y ＋8z ＝0，所以可取n ＝(0,4,3)． 又AF ―→＝(－10,4,8)，所以|cos 〈n ，AF ―→〉|＝|n ·AF ―→||n ||AF ―→|＝4515.所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4515.[专题跟踪检测](对应配套卷P186)一、全练保分考法——保大分1．下面四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，则能得出AB ∥平面MNP 的图形是( )A ．③④B ．①②C ．②③D ．①④解析：选D 对于题图①，假设上底面与A 相对的顶点为C ，则平面ABC ∥平面MNP .又AB ⊂平面ABC ，故AB ∥平面MNP .对于题图④，因为AB ∥NP ，所以由线面平行的判定定理可知AB ∥平面MNP .题图②③均不满足题意．2．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∥γ⇒β∥γ；②⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β；③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ∥β⇒α⊥β；④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n ⊂α⇒m ∥α，其中正确的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④解析：选B 若α∥β，α∥γ，则根据面面平行的性质定理和判定定理可证得β∥γ，故①正确；若m ∥α，α⊥β，则m ∥β或m 与β相交或m 在平面β内，故②不正确；∵m ∥β，∴β内有一直线l 与m 平行．而m ⊥α，则l ⊥α，根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故③正确；若m ∥n ，n ⊂α，则m ⊂α或m ∥α，故④不正确．3．用a ，b ，c 表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；②若a ∥b ，a ∥c ，则b ∥c ； ③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b. 其中真命题的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④D ．②④解析：选D 若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c 或a 与c 相交或a 与c 异面，所以①是假命题；由平行于同一直线的两条直线平行，可知②是真命题；若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面，所以③是假命题；若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以④是真命题．4．在正四面体P ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则下面四个结论不成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDE ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC解析：选C 如图．由题意知DF ∥BC ，由此可得BC ∥平面PDF ，故A 正确；若PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，则O 在AE 上，则DF ⊥PO .又DF ⊥AE ，PO ∩AE ＝O ，故DF ⊥平面PAE ，故B 正确；由DF ⊥平面PAE ，可得平面PAE ⊥平面ABC ，故D 正确．选C.5.如图，在四棱锥P ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形， AB ＝2BC ，E 是CD 上一点．若AE ⊥平面PBD ，则CE ED的值为( )A.32 B.52 C ．3D ．4解析：选C ∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥AE .当AE ⊥BD 时，AE ⊥平面PBD ，此时△ABD ∽△DAE ，则AB AD ＝AD DE .∵AB ＝2BC ，∴DE ＝14AB ＝14CD ，∴CEED＝3.6.如图所示，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AC ，则下列命题正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC解析：选D 由题意知，在四边形ABCD 中，CD ⊥B D.在三棱锥A BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，两平面的交线为BD ，∴CD ⊥平面ABD ，因此有AB ⊥C D.又∵AB ⊥AD ，AD ∩DC ＝D ，∴AB ⊥平面ADC ，于是得到平面ADC ⊥平面ABC .7.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①直线BM 与ED 平行；②直线CN 与BE 是异面直线；③直线CN 与BM 成60°角；④直线DM 与BN 是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：由题意得到正方体的直观图如图所示，由正方体的结构特征可得，直线BM 与ED 是异面直线，故①不正确；直线CN 与BE 平行，故②不正确；连接AN ，则AN ∥BM ，所以直线CN 与BM 所成的角就是∠ANC ，且∠ANC ＝60°，故③正确；直线DM 与BN 是异面直线，故④正确．所以正确命题的序号是③④.答案：③④8．已知直线a ，b ，平面α，且满足a ⊥α，b ∥α，有下列四个命题： ①对任意直线c ⊂α，有c ⊥a ； ②存在直线c ⊄α，使c ⊥b 且c ⊥a ； ③对满足a ⊂β的任意平面β，有β∥α； ④存在平面β⊥α，使b ⊥β. 其中正确的命题有________．(填序号)解析：因为a ⊥α，所以a 垂直于α内任一直线，所以①正确；由b ∥α得α内存在一直线l 与b 平行，在α内作直线m ⊥l ，则m ⊥b ，m ⊥a ，再将m 平移得到直线c ，使c ⊄α即可，所以②正确；由面面垂直的判定定理可得③不正确；若b ⊥β，则由b ∥α得α内存在一条直线l 与b 平行，必有l ⊥β，即有α⊥β，而b ⊥β的平面β有无数个，所以④正确．答案：①②④9.如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF . 由已知可以得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×2＝22＋22h ，得h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66. 由面积相等得66× x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫222＝22x ，解得x ＝12. 即线段B 1F 的长为12.答案：1210.(2019届高三·重庆六校联考)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ＝2，E ，F 分别为AB 和PD 的中点．(1)求证：AF ∥平面PEC ； (2)求点F 到平面PEC 的距离．解：(1)证明：设PC 的中点为Q ，连接E Q ，F Q ， 由题意，得F Q ∥DC 且F Q ＝12CD ，AE ∥CD 且AE ＝12CD ，故AE ∥F Q 且AE ＝F Q ，所以四边形AE Q F 为平行四边形，所以AF ∥E Q ，又E Q ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， 所以AF ∥平面PEC .(2)由(1)，知点F 到平面PEC 的距离等于点A 到平面PEC 的距离，设为D. 连接AC ，由题给条件易求得EC ＝7，PE ＝7，PC ＝22，AC ＝23，又Q 为PC 的中点，则E Q ＝5， 故S △PEC ＝12×22×5＝10，S △AEC ＝12×1×3＝32， 由V A PEC ＝V P AEC ，得13×10×d ＝13×32×2，解得d ＝3010，即点F 到平面PEC 的距离为3010. 11．(2018·柳州模拟)如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°.(1)求证：BC 1⊥平面ABC ；(2)E 是棱CC 1上的一点，若三棱锥E ABC 的体积为312，求线段CE 的长． 解：(1)证明：∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，BC 1⊂平面BB 1C 1C ，∴AB ⊥BC 1，在△CBC 1中，BC ＝1，CC 1＝BB 1＝2，∠BCC 1＝60°， 由余弦定理得BC 21＝BC 2＋CC 21－2BC ·CC 1·cos∠BCC 1＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，∴BC 1＝3， ∴BC 2＋BC 21＝CC 21，∴BC ⊥BC 1，又AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC ∩AB ＝B ， ∴BC 1⊥平面ABC . (2)∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴V E ABC ＝V A EBC ＝13S △BCE ·AB ＝13×12×1×CE ×sin 60°×1＝312，∴CE ＝1.12．如图，四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF 是矩形，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，∠BAD ＝∠CDA ＝90°，AB ＝AD ＝DE ＝12CD ＝2，M 是线段AE 上的动点．(1)试确定点M 的位置，使AC ∥平面MDF ，并说明理由；(2)在(1)的条件下，求平面MDF 将几何体ADE BCF 分成的上、下两部分的体积之比． 解：(1)当M 是线段AE 的中点时，AC ∥平面MDF . 理由如下：连接CE ，交DF 于点N ，连接MN ， 因为M ，N 分别是AE ，CE 的中点， 所以MN ∥AC ，又MN ⊂平面MDF ，AC ⊄平面MDF ， 所以AC ∥平面MDF .(2)将几何体ADE BCF 补成三棱柱ADE B 1CF ，由题意可得ED ⊥CD ，AD ⊥CD ， 又AD ∩ED ＝D ， 所以CD ⊥平面ADE .又平面ABCD ⊥平面CDEF ，平面ABCD ∩平面CDEF ＝CD ，ED ⊥CD ，所以ED ⊥平面ABCD ，则ED ⊥AD. 故三棱柱ADE B 1CF 的体积为VADE B 1CF ＝S △ADE ·CD ＝12×2×2×4＝8，则几何体ADE BCF 的体积V ADE BCF ＝VADE B 1CF －VF BB 1C ＝8－13×12×2×2×2＝203.三棱锥F DEM 的体积V F DEM ＝V M DEF ＝13×12×2×4×1＝43，故平面MDF 将几何体ADE BCF 分成的上、下两部分的体积之比为43∶⎝ ⎛⎭⎪⎫203－43＝1∶4.二、强化压轴考法——拉开分1．在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△PAC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面被三棱锥截得的图形的周长为( )A ．8B ．6C ．10D ．9解析：选A 如图，过点G 作EF ∥AC 分别交AP ，CP 于点E ，F ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，可得EN ∥FM ，即E ，F ，M ，N 四点共面，连接MN ，则平面EFMN 即为所求的截面．可得MN∥AC ∥EF ，EN ∥FM ∥PB ，而G 为△PAC 的重心，所以EF AC ＝MN AC ＝23，因为AC ＝3，所以EF ＝MN ＝2，同理可得EN ＝FM ＝2，所以EFMN 的周长为8.2．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E ，F 分别是棱D 1C 1，B 1C 1的中点，过E ，F 作一平面α，使得平面α∥平面AB 1D 1，则平面α截正方体的表面所得平面图形为( )A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形解析：选D 如图，分别取BB 1，AB ，AD ，DD 1的中点G ，H ，M ，N ，连接FG ，GH ，MH ，MN ，EN .∵点E ，F 分别是棱D 1C 1，B 1C 1的中点，∴EF ∥MH ∥B 1D 1，MN ∥FG ∥AD 1，GH ∥EN ∥AB 1.∵MH ∩GH ＝H ，AB 1∩B 1D 1＝B 1，∴平面EFGHMN ∥平面AB 1D 1.∵过E ，F 作一平面α，使得平面α∥平面AB 1D 1， ∴平面α截正方体的表面所得平面图形为六边形．3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折的过程中，下面四个命题不正确的是( )A ．BM 是定值B ．点M 在某个球面上运动C ．存在某个位置，使DE ⊥A 1CD ．存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE解析：选C 如图，取CD 的中点F ，连接MF ，BF ，则MF ∥DA 1，BF ∥DE ，∴平面MBF ∥平面A 1DE ，∴MB ∥平面A 1DE ，故D 正确；∵∠A 1DE ＝∠MFB ，MF ＝12A 1D 为定值，FB ＝DE 为定值，由余弦定理，得MB 2＝MF 2＋FB 2－2MF ·FB ·cos ∠MFB ，∴MB 是定值，故A 正确；∵点B 是定点，∴点M 在以B 为球心，MB 为半径的球面上，故B 正确；∵A 1C 在平面ABCD 中的射影为AC ，AC 与DE 不垂直，∴存在某个位置，使DE ⊥A 1C 不正确，故选C.4.如图，在棱长为3的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱AB ，CC 1，DD 1的中点，过点G 作平面D 1EF 的平行截面，则正方体被截面截得的较小部分的几何体的体积为( )A ．6B ．3 C.94D.32解析：选D 如图，连接GC ，则GC ∥D 1F ，延长D 1F 交DC 的延长线于M ，连接EM ，作CN ∥EM 交AD 于N ，连接GN ，则平面GCN 为平行于平面D 1EF 的截面，正方体被截面截得的较小部分的几何体为D GCN ，由题给条件得DG ＝32，CD ＝CM ＝3，由tan ∠DCN ＝tan ∠DME ＝23，得DN ＝CD tan ∠DCN ＝3×23＝2，所以V D GCN ＝V G CDN ＝13×12×3×2×32＝32.5.如图，在四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，∠DCB ＝90°，AB ＝AD ＝AA 1＝2DC ，Q 为棱CC 1上一动点，过直线A Q 的平面分别与棱BB 1，DD 1交于点P ，R ，则下列结论错误的是( )A ．对于任意的点Q ，都有AP ∥Q RB ．对于任意的点Q ，四边形AP Q R 不可能为平行四边形C ．存在点Q ，使得△ARP 为等腰直角三角形D ．存在点Q ，使得直线BC ∥平面AP Q R解析：选C 由AB ∥CD ，AA 1∥DD 1，得平面ABB 1A 1∥平面CDD 1C 1.∵平面AP Q R ∩平面ABB 1A 1＝AP ，平面AP Q R ∩平面CDD 1C 1＝R Q ，∴AP ∥Q R ，故A 选项正确；∵四边形ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∴平面BCC 1B 1与平面ADD 1A 1不平行．∵平面AP Q R ∩平面BCC 1B 1＝P Q ，平面AP Q R ∩平面ADD 1A 1＝AR ，∴P Q 与AR 不平行，∴四边形AP Q R 不可能为平行四边形，故B 选项正确；如图，延长CD 至M ，使得DM ＝CD ，则四边形ABCM 是矩形，∴BC ∥AM .当R ，Q ，M 三点共线时，AM ⊂平面AP Q R ，∴BC ∥平面AP Q R ，故D 选项正确．选C.6.如图，棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论错误的是( )A．DC1⊥D1PB．平面D1A1P⊥平面A1APC．∠APD1的最大值为90°D．AP＋PD1的最小值为2＋ 2解析：选C 由题意知A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1.又∵A1D1∩A1B＝A1，∴DC1⊥平面A1BCD1.∵D1P ⊂平面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，故A选项正确；∵平面D1A1P即为平面A1BCD1，平面A1AP即为平面A1ABB1，且D1A1⊥平面A1ABB1，∴平面A1BCD1⊥平面A1ABB1，即平面D1A1P⊥平面A1AP，故B选项正确．当0<A1P<22时，∠APD1为钝角，故C选项错误；将平面AA1B与平面A1BCD1沿A1B展成平面图形，如图，则线段AD1即为AP＋PD1的最小值．在△D1A1A中，∠D1A1A＝135°，利用余弦定理，得AD1＝2＋2，故AP＋PD1的最小值为2＋2，故D选项正确．。
高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.3 空间点、线、面的位置关系练习 文-人教版高三全册数学试题
§8.3空间点、线、面的位置关系考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度空间点、线、面的位置关系1.理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解四个公理及推论2.会用平面的基本性质证明点共线、线共点以及点线共面等问题3.理解空间两直线的位置关系及判定,了解等角定理和推论Ⅱ2016某某,2;2016某某,6;2015某某,6;2015某某,18选择题、填空题★★★分析解读高考对本节内容的考查主要体现在两个方面:一是以三个公理和推论为基础,考查点、线、面之间的位置关系;二是考查两直线的位置关系.考查形式以选择题和填空题为主,也可能在解答题中出现,本节内容主要考查学生的空间想象能力,所以在备考复习时应加强训练.五年高考考点空间点、线、面的位置关系1.(2016某某,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n答案 C2.(2016某某,6,5分)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A3.(2015某某,6,5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交答案 D4.(2014某某,9,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定答案 D5.(2015某某,18,12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论;(3)证明:直线DF⊥平面BEG.解析(1)点F,G,H的位置如图所示.(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下:因为ABCD-EFGH为正方体,所以B C∥FG,BC=FG,又FG∥EH,FG=EH,所以BC∥EH,BC=EH,于是BCHE为平行四边形.所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH,所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明:连接FH.因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH⊥平面EFGH,因为EG⊂平面EFGH,所以DH⊥EG.又EG⊥FH,EG∩FH=O,所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD,所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩B G=G,所以DF⊥平面BEG.教师用书专用(6—9)6.(2013某某,4,5分)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,m∥β,则α∥βC.若m∥n,m⊥α,则n⊥αD.若m∥α,α⊥β,则m⊥β答案 C7.(2013某某,15,5分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为.答案 48.(2013某某,15,5分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).①当0<CQ<时,S为四边形②当CQ=时,S为等腰梯形③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=④当<CQ<1时,S为六边形⑤当CQ=1时,S的面积为答案①②③⑤9.(2014某某,17,12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(1)求四面体ABCD的体积;(2)证明:四边形EFGH是矩形.解析(1)由该四面体的三视图可知,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,∴AD⊥平面BDC,∴四面体ABCD的体积V=××2×2×1=.(2)证明:∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH.同理,EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形.又∵AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG,∴四边形EFGH是矩形.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点空间点、线、面的位置关系1.(2018某某某某期中,5)设a,b是不同的直线,α,β是不同的平面,则下列四个命题中错误的是( )A.若a⊥b,a⊥α,b⊄α则b∥αB.若a∥α,a⊥β,则α⊥βC.若a⊥β,α⊥β,则a∥αD.若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β答案 C2.(2017某某部分重点中学联考,7)已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n,有下列四个命题:①若m∥n,m⊥α,则n⊥α;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;③若m⊥α,m∥n,n⊂β,则α⊥β;④若m∥α,α∩β=n,则m∥n.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案 D3.(2017某某六盘水二模,4)α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m⊄α,n⊂α,且A∈m,A∈α,则m,n 的位置关系不可能是( )A.垂直B.相交C.异面D.平行答案 D4.(2016某某某某三中期中,5)已知a,b,c是空间中的三条不同直线,命题p:若a⊥b,a⊥c,则b∥c;命题q:若直线a,b,c两两相交,则a,b,c共面,则下列命题中为真命题的是( )A.p∧qB.p∨qC.( p)∧qD.p∨( q)答案 DB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:25分时间:20分钟)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2018某某部分重点中学12月联考,5)设m,n是平面α内的两条不同直线,l1,l2是平面β内两条相交直线,则α⊥β的一个充分不必要条件是( )A.l1⊥m,l1⊥nB.m⊥l1,m⊥l2C.m⊥l1,n⊥l2D.m∥n,l1⊥n答案 B2.(2018某某某某、某某两市联考,10)如图,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN 是异面直线的图形有( )A.①③B.②③C.②④D.②③④答案 C3.(2017某某某某三模,4)已知平面α及直线a,b,则下列说法正确的是( )A.若直线a,b与平面α所成角都是30°,则这两条直线平行B.若直线a,b与平面α所成角都是30°,则这两条直线不可能垂直C.若直线a,b平行,则这两条直线中至少有一条与平面α平行D.若直线a,b垂直,则这两条直线与平面α不可能都垂直答案 D4.(2016某某某某二模,4)已知a,b为异面直线,下列结论不正确的是( )A.必存在平面α,使得a∥α,b∥αB.必存在平面α,使得a,b与α所成角相等C.必存在平面α,使得a⊂α,b⊥αD.必存在平面α,使得a,b与α的距离相等答案 C二、填空题(共5分)5.(2017某某某某武昌调研,16)在矩形ABCD中,AB<BC,现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中,给出下列结论:①存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直;②存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直;③存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)答案②C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 判断空间点、线、面位置关系的方法1.(2018某某某某重点中学摸底考试,11)已知平面α∩平面β=a,平面β∩平面γ=b,平面γ∩平面α=c,则下列命题:①若a∥b,则a∥c,b∥c;②若a∩b=O,则O∈c;③若a⊥b,b⊥c,则a⊥c.其中正确的命题是( )A.①②③B.②③C.①③D.①②答案 D2.(2016某某某某二模,5)下列命题中,正确的是( )A.若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线B.若a,b是两条直线,且a∥b,则直线a平行于经过直线b的所有平面C.若直线a与平面α不平行,则此直线与平面内的所有直线都不平行D.若直线a∥平面α,点P∈α,则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条答案 D方法2 证明点共线、线共点及点线共面的方法3.(2018某某某某一高10月月考,18)如图所示,空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB、BC、CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E、F、G的平面交AD于H,连接EH.(1)求AH∶HD;(2)求证:EH、FG、BD三线共点.解析(1)∵==2,∴EF∥AC,又EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,∴EF∥平面ACD,又∵EF⊂面EFGH,面EFGH∩面ACD=GH,∴EF∥GH.而EF∥AC,∴AC∥GH,∴==3.∴AH∶HD=3∶1.(2)证明:∵EF∥GH,且=,=,∴EF≠GH,∴四边形EFGH为梯形,∴直线EH,FG必相交.设EH∩FG=P,则P∈EH,而EH⊂面ABD,∴P∈面ABD,同理,P∈面BCD,而面ABD∩面BCD=BD,∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.4.(2017某某某某联考,18)如图所示,已知l1,l2,l3,l4四条直线两两相交且不过同一点,交点分别为A,B,C,D,E,F.求证:四条直线l1,l2,l3,l4共面.证明证法一:∵A、C、E不共线,∴它们确定一个平面α,又A∈l1,C∈l1,∴l1⊂α,同理,l2⊂α,又B∈l1,D∈l2,∴B∈α,D∈α,∴l3⊂α,同理,l4⊂α,故l1,l2,l3,l4四条直线共面.证法二:∵点A、C、E不共线,∴它们确定一个平面α,又∵A∈l1,C∈l1,∴l1⊂α,同理,l2⊂α,又∵F、D、E不共线,∴它们确定一个平面β.又D∈l3,F∈l3,E∈l4,F∈l4,∴l3⊂β,l4⊂β.而不共线的三点B、C、D可确定一个平面, 又B、C、D既在α内又在β内,故平面α与平面β重合.∴l1,l2,l3,l4四条直线共面.。
2020年高考数学(理)复习【空间点、线、面的位置关系】小题精练卷附答案解析
2020年高考数学（理）复习【空间点、线、面的位置关系】小题精练卷刷题增分练○27一、选择题1．下列说法正确的是()A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面答案：D解析：由异面直线的定义可知D正确．2．如图，正方体或四面体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四点不共面的是()答案：D解析：A选项中，在正方体中，连接PS，QR，则PS∥QR，所以这四点共面；B选项中，在正方体中，连接PS，QR，则PS∥QR，所以这四点共面；C选项中，在四面体中，连接PS，QR，则PS∥QR，所以这四点共面；D选项中，在四面体中，连接PS，QR，则PS，QR异面，所以这四点不共面．故选D.3．[2019·益阳市、湘潭市调研]下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有()A．①③B．②③C．②④D．②③④答案：C解析：由题意，可知题图①中，GH∥MN，因此直线GH与MN共面；题图②中，连接GN，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图③中，连接MG，则GM∥HN，因此直线GH与MN共面；题图④中，连接GN，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，所以直线GH与MN 异面．故选C.4．[2019·银川模拟]已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，n⊥β，且β⊥α，则下列结论一定正确的是()A．m⊥n B．m∥n C．m与n相交D．m与n异面答案：A解析：若β⊥α，m⊥α，则直线m与平面β的位置关系有两种：m⊂β或m∥β.当m⊂β时，又n⊥β，所以m⊥n；当m∥β时，又n⊥β，所以m⊥n.故m⊥n，选A.5．[2019·山西临汾模拟]已知平面α及直线a，b，下列说法正确的是()A．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行B．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直C．若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行D．若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直答案：D解析：若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不一定平行；若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线可能垂直；若直线a，b平行，这两条直线可能都和平面α相交(不平行)；若直线a，b垂直，则直线a，b不平行，而这两条直线与平面α都垂直等价于直线a，b平行，因此若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直．故选D.6．设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；②若m⊂β，n是l在平面β内的射影，l⊥m，则n⊥m；③若m⊂α，n∥m，则n∥α；④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β.其中真命题为()A．①②B．①②③C．②③④D．①③④答案：A解析：由直线与平面垂直的性质定理可得，垂直于同一个平面的两条直线相互平行，所以①为真命题；易得②为真命题；根据直线与平面平行的判定定理，平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行，③中缺少条件n⊄α，所以得到的结论可能为n∥α，也可能为n⊂α，所以③为假命题；若α⊥γ，β⊥γ，则得到的结论可能为β∥α，也可能为β，α相交，所以④为假命题．7．[2019·成都市高中毕业班诊断性检测]已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是()A．若m⊂α，则m⊥βB．若m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若m⊄α，m⊥β，则m∥αD．若α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α答案：C解析：选项A中，若m⊂α，则直线m和平面β可能垂直，也可能平行或相交，故选项A不正确；选项B中，直线m与直线n的关系不确定，可能平行，也可能相交或异面，故选项B不正确；选项C 中，若m⊥β，则m∥α或m⊂α，又m⊄α，故m∥α，选项C正确；选项D中，缺少条件n⊂β，故选项D 不正确，故选C.8．[2019·宁夏银川一中模拟]已知P是△ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝43，则异面直线PA与MN所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：A解析：如图．取AC中点D，连接DN，DM，由已知条件可得DN＝23，DM＝2.在△MND中，∠DNM为异面直线PA与MN所成的角，则cos∠DNM＝16＋12－42×4×23＝32，∴∠DNM＝30°.二、非选择题9．[2019·湖南联考]已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是________．答案：①④解析：对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确；对于②，若α⊥β，则m∥l或m⊥l或m 与l异面，故②错误；对于③，若m⊥l，则α⊥β或α与β相交，故③错误；对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β，故④正确．10．[2019·陕西西安模拟]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________．答案：③④解析：A ，M ，C 1三点共面，且在平面AD 1C 1B 中，但C ∉平面AD 1C 1B ，C 1∉AM ，因此直线AM 与CC 1是异面直线，同理，AM 与BN 也是异面直线，AM 与DD 1也是异面直线，①②错，④正确；M ，B ，B 1三点共面，且在平面MBB 1中，但N ∉平面MBB 1，B ∉MB 1，因此直线BN 与MB 1是异面直线，③正确．11．如图所示，在三棱锥C －ABD 中，E ，F 分别是AC 和BD 的中点．若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是______________．答案：30°解析：如图，取CB 的中点G ，连接EG ，FG .则EG ∥AB ，FG ∥CD ，∴EF 与CD 所成的角为∠EFG .又∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥EG .在Rt △EFG 中，EG ＝12AB ＝1，FG ＝12CD ＝2，∴sin ∠EFG ＝12，∴∠EFG ＝30°，∴EF 与CD 所成的角为30°.12．[2019·日照模拟]如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，给出下列结论：①A、M、O三点共线；②A、M、O、A1不共面；③A、M、C、O共面；④B、B1、O、M共面．其中正确结论的序号为________．答案：①③解析：连接A1C1、AC，则A1C1∥AC，∴A1、C1、C、A四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1.∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O、A在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A、M、O三点共线，故①正确．由①易知②错误，③正确．易知OM与BB1为异面直线，故④错误．刷题课时增分练○27一、选择题1．经过两条异面直线a，b外的一点P作与a，b都平行的平面，则这样的平面()A．有且仅有一个B．恰有两个C．至多有一个D．至少有一个答案：C解析：(1)当点P所在位置使得a，P(或b，P)确定的平面平行b(或a)时，过点P作不出与a，b都平行的平面；(2)当点P所在位置使得a，P(或b，P)确定的平面与b(或a)不平行时，可过点P作a′∥a，b′∥b.因为a，b为异面直线，所以a′，b′不重合且相交于点P.因为a′∩b′＝P，a′，b′确定的平面与a，b都平行，所以可作出一个平面与a，b都平行．综上，选C.2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是()A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1答案：D解析：只有直线B1C1与直线EF在同一平面内，且两者是相交的，直线AA1，A1B1，A1D1与直线EF都是异面直线．3．将下面的平面图形(图中每个点是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个正四面体后，直线MN与PQ是异面直线的是()A．①②B．②④C．①④D．①③答案：C解析：图②翻折后N与Q重合，两直线相交；图③翻折后两直线平行，因此选C.4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；②若m∥α，α⊥β，则m⊥β；③若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，m⊥β，则α⊥β.其中正确命题的序号是()A．①④B．②③C．②④D．③④答案：D解析：①α与β可能相交，m，n都与α，β的交线平行即可，故该命题错误；②当α⊥β，m∥α时，m ⊂β也可能成立，故该命题错误；③当m⊥α，m⊥n时，n⊂α或n∥α，又n⊥β，所以α⊥β，故该命题正确；④显然该命题正确．综上，选D.5．[2019·衡阳模拟]若直线l与平面α相交，则()A．平面α内存在直线与l异面B．平面α内存在唯一一条直线与l平行C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直D．平面α内的直线与l都相交答案：A解析：当直线l与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A 正确；该平面内不存在与直线l平行的直线，故B错误；该平面内有无数条直线与直线l垂直，所以C 错误，平面α内的直线与l可能异面，故D错误，故选A.6．[2019·湖南常德模拟]一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()A．AB∥CD B．AB与CD相交C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°答案：D解析：如图，把展开图中的各正方形按图(1)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图(2)所示的直观图，可得选项A，B，C不正确．图(2)中，DE∥AB，∠CDE为AB与CD 所成的角，△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°.∴正确选项为D.7．如图，过正方体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面CB1D1平行的直线有()A．18条B．20条C．21条D．22条答案：C解析：设各棱的中点如图所示(各点连线略)，其中与D1B1平行的有F1G1，E1H1，FG，EH，NL，共5条；与CD1平行的有G1M，GN，LE1，KE，H1F，共5条；与CB1平行的有F1M，FL，HK，NH1，GE1，共5条．分别取CB1，B1D1，CD1的中点如图，连接CO，D1P，B1T，与CO平行的有GH1，FE1，共2条；与D1P平行的有H1L，NF，共2条；与B1T平行的有E1N，GL，共2条．故与平面CB1D1平行的直线共有5＋5＋5＋2＋2＋2＝21(条)．8．[2019·内蒙古赤峰模拟]已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB ．若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥nC ．若α∩β＝l ，m ∥α，m ∥β，则m ∥lD ．若α∩β＝m ，α∩γ＝n ，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α答案：C解析：对于选项A ，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 可能平行，可能相交，也可能异面，故A 错误．对于选项B ，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，设平面ABCD 为平面α，平面CDD ′C ′为平面β，直线BB ′为直线m ，直线A ′B 为直线n ，则m ⊥α，n ∥β，α⊥β，但直线n 与m 不垂直，故B 错误．对于选项C ，设过m 的平面γ与α交于a ，过m 的平面θ与β交于b ，∵m ∥α，m ⊂γ，α∩γ＝a ，∴m ∥a ，同理可得m ∥b .∴a ∥b .∵b ⊂β，a ⊄β，∴a ∥β.∵α∩β＝l ，a ⊂α，∴a ∥l ，∴l ∥m .故C 正确．对于选项D ，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，设平面ABCD 为平面α，平面ABB ′A ′为平面β，平面CDD ′C ′为平面γ，则α∩β＝AB ，α∩γ＝CD ，BC ⊥AB ，BC ⊥CD ，但BC ⊂平面ABCD ，故D 错误．故选C.二、非选择题9．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与BD 所成的角为________．答案：π3解析：如图，将原图补成正方体ABCD －QGHP ，连接GP ，AG ，则GP ∥BD ，所以∠APG 为异面直线AP 与BD 所成的角，在△AGP 中，AG ＝GP ＝AP ，所以∠APG ＝π3.10．[2019·宜昌调研]如图，在棱长均相等的四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论：①PC∥平面OMN；②平面PCD∥平面OMN；③OM⊥PA；④直线PD与MN所成角的大小为90°.其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)答案：①②③解析：如图，连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，结论①正确．同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，结论②正确．由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2＋BC2＝PA2＋PC2＝AC2，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以OM⊥PA，结论③正确．由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB，又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，又三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°，所以直线PD 与MN所成的角即∠PDC，故④错误．故正确的结论为①②③.11．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF ＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．证明：(1)如图所示．因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体AC1中，设A1CC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．(3)∵EF∥BD且EF<BD，∴DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，∴M∈CC1.∴DE，BF，CC1三线交于点M.。
高考数学二轮复习 小题专项练习(九)点、线、面的位置关系理
小题专项练习(九)点、线、面的位置关系一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·宁夏六盘山第三次模拟]已知直线m，n和平面α，β，则下列四个命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥αB．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若m∥α，n∥m，则n∥αD．若m∥α，m∥β，则α∥β2．[2019·合肥市第三次教学质量检测]若l，m是两条不同的直线，α为平面，直线l⊥平面α，则“m∥α”是“m⊥l”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件3．[2019·山东日照校际联合考试]已知α，β为两个平面，l为直线，若α⊥β，α∩β＝l，则下列结论正确的是()A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直4．[2019·青海西宁二模]已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，且m⊂α，n⊂β，有下列命题：①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β.其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．35．[2019·陕西渭南韩城质量检测]在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，且△AB1C1为等边三角形，B1C1＝2AA1＝2，则直线AB与平面B1C1CB所成角的正切值为()A.33 B.22C.64 D.626．[2019·4月优质错题重组卷]如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下列四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDE⊥平面ABC7．[2019·江西新余一中全真模拟]已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是线段BC的中点，点M是直线BD1上异于B，D1的点，则平面DEM可能经过下列点中的() A．A B．C1C ．A 1D ．C8．[2019·银川一中第二次模拟考试]在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝60°，则该棱锥的外接球的表面积是( )A ．12πB ．8πC ．83πD ．43π9．[2019·安徽省六安月考]在四面体ABCD 中，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，AB ＝4，AC ＝3，AD ＝1，E 为棱BC 上一点，且平面ADE ⊥平面BCD ，则DE ＝( )A.135B.125C.115D ．2 10．[2019·内蒙古北重三中第九次调研]已知平面α过正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 的顶点B ，D ，且平面α⊥平面BDC 1，设平面α∩平面ABB 1A 1＝m ，则异面直线m 与B 1D 1所成角的余弦值为( ) A.105 B.155C.12D ．0 11．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是( )A ．CC 1与B 1E 是异面直线语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章，还有不少名家名篇。
2015届高考数学一轮总复习 9-3空间点、直线、平面之间的位置关系
2015届高考数学一轮总复习9-3空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固强化一、选择题1．(文)已知E、F、G、H是空间内四个点，条件甲：E、F、G、H四点不共面，条件乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]点E、F、G、H四点不共面可以推出直线EF和GH不相交；但由直线EF和GH不相交不一定能推出E、F、G、H四点不共面，例如：EF和GH平行，这也是直线EF和GH不相交的一种情况，但E、F、G、H四点共面．故甲是乙成立的充分不必要条件．(理)在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF与GH交于点M，则()A．M一定在AC上B．M一定在BD上C．M可能在AC上也可能在BD上D．M不在AC上，也不在BD上[答案] A[解析]点M在平面ABC内，又在平面ADC内，故必在交线AC上．2．(文)若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交[答案] B[解析]由题意知直线l与平面α相交，不妨设直线l∩α＝M，对A，在α内过M点的直线与l 不异面，A错误；对B，假设存在与l平行的直线m，则由m∥l得l∥α，这与l∩α＝M矛盾，故B 正确，C错误；对D，α内存在与l异面的直线，故D错误．综上知选B.(理)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A．3B．4C．5D．6[答案] C[解析]如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面，也与CC1共面的棱为BC、C1D1、DC、AA1、BB1，共5条．3．(2014·汉沽一中检测)已知平面α和不重合的两条直线m、n，下列选项正确的是()A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α[答案] C[解析]如图(1)可知A错；如图(2)可知B错；如图(3)，m⊥α，n是α内的任意直线，都有n⊥m，故D错．∵n∥α，∴n与α无公共点，∵m⊂α，∴n与m无公共点，又m、n共面，∴m∥n，故选C.4．(文)正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有()A．3条B．4条C．6条D．8条[答案] C[解析]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1有公共点A的和有公共点C1的各有3条，其余6条所在正方体的面与AC1均相交，且交点不在这些棱上，由异面直线判定定理知，这6条与AC1都异面，故选C.(理)如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()[答案] D[解析] A 中，PS ∥QR ；B 中如图可知此四点共面；C 中PS ∥QR ；D 中RS 在经过平面PQS 内一点和平面PQS 外一点的直线上，故选D.5．(2013·南昌第一次模拟)设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a ⊂α，b ⊂β，且α⊥β”的平面α，β( )A ．不存在B ．有且只有一对C ．有且只有两对D ．有无数对[答案] D[解析] 过直线a 的平面α有无数个．当平面α与直线b 平行时，两直线的公垂线与b 确定的平面β⊥α；当平面α与b 相交时，过交点作平面α的的垂线与b 确定的平面β⊥α，∵平面α有无数个，∴满足条件的平面α、β有无数对，故选D.6．(文)(2013·惠州调研)已知m 、n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，下列命题中正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n [答案] D[解析] 当m ∥α，n ∥α时，m 与n 可能相交、平行，也可能异面，故A 错；B 中α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交，如长方体交于同一个顶点的三个面，故B 错；α∩β＝l ，m ⊄α，m ⊄β，m ∥l 时，满足m ∥α，m ∥β，故C 错；由线面垂直的性质知，⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n . (理)(2013·广东)设l 为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β[答案] B[解析]画出一个长方体ABCD－A1B1C1D1.对于A，C1D1∥平面ABB1A1，C1D1∥平面ABCD，但平面ABB1A1与平面ABCD相交；对于C，BB1⊥平面ABCD，BB1∥平面ADD1A1，但平面ABCD 与平面ADD1A1相交；对于D，平面ABB1A1⊥平面ABCD，CD∥平面ABB1A1，但CD⊂平面ABCD.二、填空题7．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则使直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)[答案]②④[解析]图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点在三棱柱的侧面上，MG与这个侧面相交于G，∴M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．8．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝5，AA1＝3，M为线段BB1上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为________．[答案]3[解析] 将三棱柱的侧面A 1ABB 1和B 1BCC 1以BB 1为折痕展平到一个平面α上，在平面α内AC 1与BB 1相交，则交点即为M 点，易求BM ＝1，∴AM ＝2，MC 1＝22，又在棱柱中，AC 1＝14，∴cos ∠AMC 1＝AM 2＋MC 21－AC 212AM ·MC 1＝2＋8－142×2×22＝－12，∴∠AMC 1＝120°，∴S △AMC 1＝12AM ·MC 1·sin ∠AMC 1＝12×2×22×32＝ 3. 9．(文)如图所示，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．[答案] 90°[解析] 取BC 的中点N ，连接AN ，则AN ⊥平面BCC 1B 1， ∵BM ⊂平面BCC 1B 1，∴AN ⊥BM ，又在正方形BCC 1B 1中，M 、N 分别为CC 1与BC 的中点，∴B 1N ⊥BM ，又B 1N ∩AN ＝N ， ∴BM ⊥平面AB 1N ，∴BM ⊥AB 1， ∴AB 1与BM 所成的角是90°.(理)在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝BC ，则直线PC 与AB 所成角的大小是________．[答案] 60° [解析]分别取P A 、AC 、CB 的中点F 、D 、E 连接FD 、DE 、EF 、AE ，则∠FDE 是直线PC 与AB 所成角或其补角．设P A ＝AC ＝BC ＝2a ，在△FDE 中，易求得FD ＝2a ，DE ＝2a ，FE ＝6a ， 根据余弦定理，得cos ∠FDE ＝2a 2＋2a 2－6a 22×2a ×2a ＝－12，所以∠FDE ＝120°.所以PC 与AB 所成角的大小是60°. 三、解答题10．(文)已知在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 、N 分别是A ′D ′、A ′B ′的中点，在该正方体中是否存在过顶点且与平面AMN 平行的平面？若存在，试作出该平面，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．[分析] 假设存在经过B 点与平面AMN 平行的平面α，则平面A ′B ′C ′D ′与这两平行平面的交线应平行，由于M 、N 分别为A ′D ′、A ′B ′的中点，∴取C ′D ′的中点F ，B ′C ′的中点E ，则MN ∥EF ，可证明平面BDFE ∥平面AMN ，过其他点的截面同理可分析找出．[解析] 存在．与平面AMN 平行的平面有以下三种情况(E 、F 分别为所在棱的中点)：下面以图(1)为例进行证明．∵四边形ABEM 是平行四边形，∴BE ∥AM ， 又BE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDFE .∵MN 是△A ′B ′D ′的中位线，∴MN ∥B ′D ′， ∵四边形BDD ′B ′是平行四边形， ∴BD ∥B ′D ′，∴MN ∥BD ， 又BD ⊂平面BDE ，MN ⊄平面BDE ， ∴MN ∥平面BDFE ，又AM ⊂平面AMN ，MN ⊂平面AMN ，且AM ∩MN ＝M ， ∴由平面与平面平行的判定定理可得，平面AMN ∥平面BDFE . (理)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点． (1)求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； (2)证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M .[解析] 方法1：(1)如图，因为C 1D 1∥B 1A 1，所以∠MA 1B 1为异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角． 因为A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，所以∠A 1B 1M ＝90°，而A 1B 1＝1，B 1M ＝B 1C 21＋MC 21＝2，故tan ∠MA 1B 1＝B 1M A 1B 1＝ 2.即异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值为 2.(2)证明：由A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，BM ⊂平面平面BCC 1B 1，得A 1B 1⊥BM ① 由(1)知，B 1M ＝2，又BM ＝BC 2＋CM 2＝2，B 1B ＝2， 所以B 1M 2＋BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ②又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，而BM ⊂平面ABM ，因此平面ABM ⊥平面A 1B 1M . 方法2：以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别作为x 、y 、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，A 1(0,0,2)，B 1(1,0,2)，C 1(1,1,2)，D 1(0,1,2)，M (1,1,1)．(1)A 1M →＝(1,1，－1)，C 1D 1→＝(－1,0,0)， cos 〈A 1M →，C 1D 1→〉＝－13×1＝－33.设异面直线A 1M 与C 1D 1所成角为α，则cos α＝33， ∴tan α＝ 2.即异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值是 2.(2)证明：A 1B 1→＝(1,0,0)，BM →＝(0,1,1)，B 1M →＝(0,1，－1)，A 1B 1→·BM →＝0，BM →·B 1M →＝0， ∴A 1B 1→⊥BM →，BM →⊥B 1M →，即BM ⊥A 1B 1，BM ⊥B 1M ， 又B 1M ∩A 1B 1＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，而BM ⊂平面ABM ， 因此ABM ⊥平面A 1B 1M .能力拓展提升一、选择题11．(文)(2014·雅礼中学月考)l 1、l 2、l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1、l 2、l 3共面 D ．l 1、l 2、l 3共点⇒l 1、l 2、l 3共面 [答案] B[解析] 举反例，由教室内共点的三条墙角线可知A 、D 是错误的；由三棱柱的三条侧棱可知C 是错误的．故选B.(理)(2014·荆州中学月考)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1、CD 1的中点，则下列判断错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与A 1B 1平行 [答案] D[解析] 由于C 1D 1与A 1B 1平行，MN 与C 1D 1是异面直线，所以MN 与A 1B 1是异面直线，故选项D 错误．[点评] 取CD 中点Q ，BC 中点R ，则NQ 綊12D 1D ，MR 綊12CC 1，∵CC 1綊D 1D ，∴NQ 綊MR ，∴MN ∥QR ，∵QR ∥BD ，AC ⊥BD ，∴AC ⊥MN ，∴B 正确；∵MN ∥QR ，QR ∥BD ，∴MN ∥BD ，∴C 正确；∵CC 1⊥平面ABCD ，∴CC 1⊥PQ ，∴CC 1⊥MN ，∴A 正确．12．(2012·山西联考)已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题中正确的是( ) A ．m ∥β，α∥β，则m ∥αB ．平面α内不共线三点到平面β的距离相等，则α∥βC ．α∩β＝m ，n ⊥m 且α⊥β，则n ⊥αD ．m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n [答案] D[解析] 当m ⊂α时，也可满足m ∥β，α∥β，故①错；当α∩β＝l ，三点A 、B 、C 位于l 的两侧，AB ∥l ，直线AB 到l 的距离与点C 到l 的距离相等时，满足A 、B 、C 三点到平面β的距离相等，故②错；由面面垂直的性质知，C 错，因为只有在满足n ⊂β内时，才能由n ⊥m 得出n ⊥α的结论；⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βn ⊥β⇒n ∥α或n ⊂α m ⊥α⇒m ⊥n ，故D 正确．二、填空题13．(2013·武汉武昌区联考)已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列命题： ①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β.其中正确命题的序号是________． [答案] ①③[解析] ①正确，∵l ⊥α，α∥β，∴l ⊥β，又m ⊂β，∴l ⊥m ；②错误，l ，m 还可以垂直，斜交或异面；③正确，∵l ⊥α，l ∥m ，∴m ⊥α，又m ⊂β，∴α⊥β；④错误，α与β可能相交．14．(2013·贵阳一模)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为________．[答案] 25[解析] 如图，取AB 的中点E ，连接B 1E ，则AM ∥B 1E ，取EB 的中点F ，连接FN ，则B 1E ∥FN ，因此AM ∥FN ，则直线FN 与CN 所夹的锐角或直角为异面直线AM 与CN 所成的角．设AB ＝1，连接CF ， 在△CFN 中，CN ＝52，FN ＝54，CF ＝174. 由余弦定理得cos ∠CNF ＝CN 2＋FN 2－CF 22CN ·FN ＝25.三、解答题15．(2013·江苏)如图，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .[解析] (1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC，因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.考纲要求理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理．补充说明1．异面直线的判定主要用定理法、反证法(1)定理法：过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)．(2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．2．求异面直线所成的角主要用平移法，其一般步骤为(1)平移：选取适当的点，平移异面直线的一条(或两条)成相交直线．(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角．(3)求解：找出含有此角的三角形，并解之．(4)取舍：根据异面直线所成角的范围确定大小．3．共线与共面问题证明共线时，所共的直线一般定位为两个平面的交线；证明共面问题时，一般先由已知条件确定一个平面(有平行直线的先用平行直线确定平面)，再证其他元素在该平面内．4．求异面直线所成角异面直线所成角的大小，是用过空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角(或直角)来定义的．因此，平移直线是求异面直线所成角的关键．这里给出几种平移直线的途径．(1)在已知平面内平移直线构造可解的三角形，或根据实际情况构造辅助平面，在辅助平面内平移直线构造可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之一；这种方法常常是取两条异面直线中的一条和另一条上一点确定一个平面，在这个平面内过这个点作这条直线的平行线，或在两条异面直线上各选一点连线，构造两个辅助面过渡．[例1] 如图所示，在正方体AC 1中，M 、N 分别是A 1B 1、BB 1的中点，求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值．[解析] 在平面ABB 1A 1内作EN ∥AM 交AB 于E ，则EN 与CN 所成的锐角(或直角)即为AM 和CN 所成的角．设正方体棱长为a .在△CNE 中，可求得CN ＝52a ，NE ＝54a ，CE ＝174a ，由余弦定理得，cos ∠CNE ＝EN 2＋CN 2－CE 22EN ·CN ＝25. 即异面直角AM 与CN 所成角的余弦值为25. (2)利用平行平面平移直线构成可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之二；这种方法常见于两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可利用面面平行的性质，将一条直线平移到另一条所在的平面内．[例2] 如图所示，正方体AC 1中，B 1E 1＝D 1F 1＝A 1B 14，求BE 1与DF 1所成角的余弦值．[解析] ∵平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1，∴在A 1B 1上取H ，使A 1H ＝A 1B 14，即可得：AH ∥DF 1.引NH ∥BE 1，则锐角∠AHN 就是DF 1与BE 1所成的角．设正方体棱长为a ，在△AHN 中，易求得：AN ＝a 2，AH ＝NH ＝BE 1＝174a . 由余弦定理得，cos ∠AHN ＝AH 2＋HN 2－AN 22AH ·HN ＝1517. 即BE 1与DF 1所成的角的余弦值为1517. (3)整体平移几何体，构造可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之三．这种方法常常是将原有几何体上再拼接上同样的一个几何体(相当于将原几何体作了一个平移)创造平移直线的条件．[例3] 如下图长方体AC 1中，AB ＝12，BC ＝3，AA 1＝4，N 在A 1B 1上，且B 1N ＝4.求BD 1与C 1N 所成角的余弦值．[解析] 如图所示，将长方体AC 1平移到BCFE －B 1C 1F 1E 1的位置，则C 1E ∥BD 1，C 1E 与C 1N 所成的锐角(或直角)就是BD 1与C 1N 所成的角．在△NC 1E 中，根据已知条件可求B 1N ＝4，C 1N ＝5，C 1E ＝13，EN ＝E 1N 2＋EE 21＝417.由余弦定理，得cos ∠NC 1E ＝C 1N 2＋C 1E 2－EN 22C 1N ·C 1E ＝－35. ∴BD 1与C 1N 所成角的余弦值为35. 备选习题1．空间中一条线段AB 的三视图中，俯视图是长度为1的线段，侧视图是长度为2的线段，则线段AB 的长度的取值范围是( )A ．(0,2]B ．[2，5]C ．[2,3]D ．[2，10][答案] B[解析] 以线段AB 为体对角线构造长方体，设长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y 2＋z 2＝4.∴AB 2＝x 2＋y 2＋z 2＝5－y 2， ∵x 2>0，∴1－y 2>0，∴0<y 2<1，∴4<AB 2<5，∴2<AB < 5.特别地，当AB 为面对角线时，AB ＝2或5成立，∴2≤AB ≤ 5.2．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件[答案] A[解析] 若有三点共线于l ，当第四点在l 上时共面，当第四点不在l 上时，l 与该点确定一个平面α，这四点共面于α；若四点共面，则未必有三点共线．3．设直线m 与平面α相交但不．垂直，则下列说法中正确的是( ) A ．在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直B ．过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直C ．与直线m 垂直的直线不．可能与平面α平行 D ．与直线m 平行的平面不．可能与平面α垂直 [答案] B[解析] 如图，m 是α的斜线，P A ⊥α，l ⊂α，l ⊥AB ，则l ⊥m ，α内所有与l 平行的直线都垂直于m ，故A 错；即可知过m 有且仅有一个平面P AB 与α垂直，假设有两个平面都与α垂直，则这两个平面的交线m 应与α垂直，与条件矛盾，∴B 正确； 又l ′⊄α，l ′∥l ，∴l ′∥α，∵l ⊥m ，∴l ′⊥m ，∴C 错；又在平面α内取不在直线AB 上的一点D ，过D 可作平面与平面P AB 平行，∴m ∥β，∵平面P AB ⊥α，∴平面β⊥α.4．(2013·昆明调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，且BC ⊥平面P AB ，P A ⊥AB ，M 为PB 的中点，P A ＝AD ＝2，AB ＝1.(1)求证：PD ∥平面AMC ；(2)求三棱锥A －MBC 的高．[解析](1)如图，连接BD ，设BD 与AC 相交于点O ，连接OM ， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴点O 为BD 的中点．∵M 为PB 的中点，∴OM 为△PBD 的中位线，∴OM ∥PD ，∵OM ⊂平面AMC ，PD ⊄平面AMC ，∴PD ∥平面AMC .(2)∵BC ⊥平面P AB ，AD ∥BC ，∴AD ⊥平面P AB ，∴P A ⊥AD ，又P A ⊥AB ，且AD ∩AB ＝A ，∴P A ⊥平面ABCD .取AB 的中点F ，连接MF ，则MF ∥P A ，∴MF ⊥平面ABCD ，且MF ＝12P A ＝1.设三棱锥A －MBC 的高为h ，由V A －MBC ＝V M －ABC ，得13S △MBC ·h ＝13S △ABC ·MF ， 得h ＝S △ABC ·MF S △MBC ＝12·BC ·AB ·MF 12·BC ·BM ＝255.。
2019高考数学二轮复习 小题专项练习(九)点、线、面的位置关系理-精选文档
小题专项练习(九) 点、线、面的位置关系一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·宁夏六盘山第三次模拟]已知直线m，n和平面α，β，则下列四个命题中正确的是( )A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥αB．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若m∥α，n∥m，则n∥αD．若m∥α，m∥β，则α∥β2．[2019·合肥市第三次教学质量检测]若l，m是两条不同的直线，α为平面，直线l ⊥平面α，则“m∥α”是“m⊥l”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件3．[2019·山东日照校际联合考试]已知α，β为两个平面，l为直线，若α⊥β，α∩β＝l，则下列结论正确的是( )A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直4．[2019·青海西宁二模]已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，且m⊂α，n⊂β，有下列命题：①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β.其中真命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．35．[2019·陕西渭南韩城质量检测]在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，且△AB1C1为等边三角形，B1C1＝2AA1＝2，则直线AB与平面B1C1CB所成角的正切值为( )A.33B.22C.64D.626．[2019·4月优质错题重组卷]如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下列四个结论不成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC7．[2019·江西新余一中全真模拟]已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是线段BC的中点，点M是直线BD1上异于B，D1的点，则平面DEM可能经过下列点中的( ) A．A B．C1C．A1 D．C8．[2019·银川一中第二次模拟考试]在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB ＝AC＝3，∠BAC＝60°，则该棱锥的外接球的表面积是( )A．12π B．8πC．83π D．43π9．[2019·安徽省六安月考]在四面体ABCD中，DA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝4，AC＝3，AD＝1，E为棱BC上一点，且平面ADE⊥平面BCD，则DE＝( )A.135B.125C.115D．210．[2019·内蒙古北重三中第九次调研]已知平面α过正方体A1B1C1D1－ABCD的顶点B，D，且平面α⊥平面BDC1，设平面α∩平面ABB1A1＝m，则异面直线m与B1D1所成角的余弦值为( )A.105B.155C.12D．011．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E12．[2019·学海大联考模拟]在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，E，F，H分别是棱PB、BC、PD的中点，则过E，F，H的平面分别交直线PA，CD 于M，N两点，则PM＋CN＝( )A．6 B．4C．3 D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；②若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；③若m∥α，n ∥β，m∥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n，其中所有正确命题的序号是________．14．[2019·江苏海门中学月考]如图，四棱锥P－ABCD，PA⊥底ABCD，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝3，点E为棱CD上一点，若三棱锥E－PAB的体积为4，则PA的长为________．15．[2019·山东沂水期中]已知三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC＝4，BC＝3，AB ＝5，PA＝3，则该三棱锥的内切球的体积为________．16．下列命题中错误的是________．①过异面直线a，b外一点P有且只有一个平面与a，b都平行；②直线a，b在平面α内的射影相互垂直，则a⊥b；③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三角棱锥；④直线a，b分别在平面α，β内，且a⊥b，则α⊥β.。
【导与练】-高考数学 试题汇编 第二节 点、线、面的位置关系 文(含解析)
第二节点、线、面的位置关系点、线、面的位置关系1.(2012年四川卷,文6,5分)下列命题正确的是( )(A)若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行(B)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行(C)若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行(D)若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行解析:A错误,如圆锥的母线与底面的夹角都相等但不平行;B不正确,当平面过三点所在三角形的中位线时,满足题干条件,但两平面不平行;由线面平行的性质定理可知C项正确;D项不正确,如教室的墙角,故选C.答案:C.本题主要考查空间点、线、面之间的位置关系,解题的关键是用好模型,记住一些常见的结论,难度不大.2.(2011年四川卷,文6)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )(A)l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3(B)l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3(C)l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面(D)l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面解析:当l1⊥l2,l2⊥l3时,l1也可能与l3相交或异面,故A不正确;l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3,故B正确;当l1∥l2∥l3时,l1,l2,l3未必共面,如三棱柱的三条侧棱,故C不正确;l1,l2,l3共点时,l1,l2,l3未必共面,如正方体中从同一顶点出发的三条棱,故D不正确,选B. 答案:B.3.(2010年大纲全国Ⅱ,文11)与正方体ABCD A 1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点( )(A)有且只有1个 (B)有且只有2个(C)有且只有3个 (D)有无数个解析:如图所示,建立空间直角坐标系,设空间任一点M(x,y,z),则M到AB、CC1、A1D1的距离为如图中所示ME、MG、MF的长度.设正方体棱长为1,则|ME|2=(1-x)2+z2,|MG|2=(1-y)2+x2,|MF|2=(1-z)2+y2.由|ME|2=|MG|2=|MF|2,得(1-x)2+z2=(1-y)2+x2=(1-z)2+y2,化简可得x=y=z.则M点有无数个,且都在正方体ABCD A 1B1C1D1体对角线B1D所在的直线上,故选D.答案:D.4.(2010年江西卷,文11)如图,M是正方体ABCD A 1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列四个命题:①过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交;②过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直;③过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交;④过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行.其中真命题是( )(A)②③④(B)①③④(C)①②④(D)①②③解析:对于①,取CC1的中点N.连接AM,BN并延长分别交底面A1B1C1D1于P,Q两点,则Q∈B1C1,NQ 与AB交于一点,因此①正确;对于②结合图形知,DD1符合要求,且只有DD1,故②正确;同理④正确;过点M可有无数个平面与直线AB,B1C1都相交,故③不正确,因此选C.答案:C.5.(2012年安徽卷,文15,5分)若四面体ABCD的三组对棱分别相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,则(写出所有正确结论的编号).①四面体ABCD每组对棱相互垂直②四面体ABCD每个面的面积相等③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长解析:设AB=CD=c,BC=AD=a,CA=BD=b,则四面体的每个面都是边长为a,b,c的三角形,所以四面体ABCD每个面的面积相等,每个顶点出发的三条棱长恰为a,b,c可作为一个三角形的三边长,而每个顶点出发的三条棱两两夹角也恰好等于三角形ABC的三个内角,其和等于180°,所以命题②⑤正确,命题③错误.如图,设E,F,G,H,为2组对棱中点,则四边形EFGH是平行四边形且EF=BD=AC=FG,四边形是菱形,从而EG 与FH 互相垂直平分,命题④正确.易见命题①不正确.答案:②④⑤异面直线所成的角6.(2010年大纲全国卷Ⅰ,文6)直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA 1,则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°解析:由原来的直三棱柱补成一个正方体ABCD A 1B 1C 1D 1,则AC 1∥BD 1,∴∠A 1BD 1即为异面直线BA 1与AC 1所成的角.∵△A 1BD 1为正三角形,∴∠A 1BD 1=60°.答案:C.异面直线所成的角是重点考查的一个内容,难点在于寻找异面直线的平行线,本题巧妙地构造一个正方体,借助于正方体的特点,很容易找出异面直线所成的角.7.(2012年四川卷,文14,4分)如图,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点,则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是 .解析:设立方体的棱长为2,以D 为坐标原点,分别以DA,DC,DD 1所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A 1(2,0,2),N(0,2,1),M(0,1,0),所以=(-2,1-2),=(0,2,1),·=-2×0+1×2+(-2)×1=0,所以A 1M ⊥DN,夹角为90°.答案:90°8.(2012年全国大纲卷,文16,5分)已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点,那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为 .解析:设正方体的棱长为2,连接DF,易证DF 与AE 平行,∴∠D 1FD 为两异面直线所成的角或其补角,在三角形DFD 1中,有D 1F=DF=,由余弦定理得cos ∠D1FD==.答案:9.(2011年大纲全国卷,文15)已知正方体ABCD A 1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE 与BC所成角的余弦值为.解析:取A1B1的中点F,连接EF,AF.∵在正方体ABCD A 1B1C1D1中,EF∥B1C1,B1C1∥BC,∴EF∥BC,∴∠AEF即为异面直线AE与BC所成的角.设正方体的棱长为a,则AF==a,EF=a.∵EF⊥平面ABB1A1,∴EF⊥AF,∴AE==a.∴cos∠AEF===.答案:本题主要考查了异面直线所成角的求法以及空间想象能力,找出异面直线所成的角是解决本题的关键.本题也可连接ED,则∠EAD为异面直线AE与BC所成的角,可在Rt△AED 中求解.。
点线面位置关系例题与练习(含答案)
点、线、面的位置关系● 知识梳理 （一）.平面公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理2：不共线．．．的三点确定一个平面. 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线 （二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；1.4异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈︒︒；（2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行） 1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.②判定定理：////a b a a b ααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭③性质定理：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ 2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。
范围：[]0,90θ∈︒︒ 3.面面平行：①定义：//αβαβ=∅⇒；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述：,,,//,////a b ab O a b ααααβ⊂=⇒判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥⇒.③面面平行的性质：（1）////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭；（2）////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
高考数学必考点专项第22练 点、线、面的位置关系(练习及答案)(全国通用)(新高考专用)
高考数学必考点专项第22练 点、线、面的位置关系一、单选题1. 已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 如图已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则( )A. 直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCDB. 直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC. 直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD. 直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B3. 如图，四棱锥P ABCD -，AC BD O ⋂=，M 是PC 的中点，直线AM 交平面PBD于点N ，则下列结论正确的是( )A. ,,,O N P M 四点不共面B. ,,,O N M D 四点共面C. ,,O N M 三点共线D. ,,P N O 三点共线4. 已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，E 是PD中点，2PA AB =，则直线BD 与CE 所成角的余弦值为( )A.6B.6C.8D.85. 设A 、B 、C 、D 的空间四个不同的点，在下列结论中，不正确的是( ) A. 若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B. 若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线C. 若AB AC =，DB DC =，则AD BC =D. 若AB AC =，DB DC =，则AD BC ⊥6. 当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的体对角线1A C 上运动时，异面直线BP 与1AD 所成角的取值范围是( )A.B.C.D.7. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=1，1AD==2AA ，P 为BC 的中点，Q为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该长方体所得的截面记为.S 则下列命题正确的是( )①当0CQ 1<时，S 的形状为四边形，且当CQ=1时，S 的形状为等腰梯形；②当3CQ=2时，S 与11C D 的交点R ，满足11=3C R ；③当3CQ 22<<时，S 的形状为六边形； ④当CQ=2时，S 的面积为3.A. ①②③④B. ②③④C. ①②④D. ②③二、多选题8. 如图，下列正方体中，O 为底面的中点，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点，则满足MN OP ⊥的是( )A. B.C. D.9. 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D - 中， M ， N 分别为棱1C 1D ，1C C 的中点，其中正确的结论为( )A. 直线AM 与1C C 是相交直线B. 直线AM 与BN 是平行直线C. 直线BN 与1MB 是异面直线D. 直线MN 与AC 所成的角为60︒10. 如图，点M 在正方体1111ABCD A B C D -的棱1CC 上(不含端点)，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )A. 过M 点有且只有一条直线与直线AB ，1AD 都垂直B. 过M 点有且只有一条直线与直线AB ，1AD 都是异面直线C. 过M 点有无数个平面与直线AB ，1AD 都平行D. 过M 点有无数个平面与直线AB ，1AD 都相交11. 在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是11A B ，11B C ，1BB 的中点，下列四个推断中正确的是( )A. //FG 平面11AA D DB. //EF 平面11BC DC. //FG 平面11BC DD. 平面//EFG 平面11BC D三、填空题12. a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角； ②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与a 所成角的最小值为60︒；其中正确的是__________.(填写所有正确结论的编号)13. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，过E ，F ，G 三点作该正方体的截面，点M 为底面ABCD 内一动点．若1MD 与该截面平行，则直线1MD 与1CC 所成角的余弦值的最大值为__________. 四、解答题14. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60.︒求：1(1)AC 的长；1(2)BD 与AC 夹角的余弦值.15. 如图，在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，,G H 分别在,BC CD 上，且::1:2.BG GC DH HC ==(1)求证：,,,E F G H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：,,P A C 三点共线.16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，且22AB AD ==，2PA =，.3PAB PAD π∠=∠=(1)求线段PC 的长度；(2)求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值；17. 如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1D D 的中点，点F在棱1B B 上，且满足12.B F FB =(1)求证：11EF A C ⊥；(2)在棱1C C 上确定一点G ，使A ，E ，G ，F 四点共面，并求此时1C G 的长； (3)求几何体ABFED 的体积．18. 如图，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE中点，AE AD⊥， 2.===AD AE AP (1)求二面角A PE D--的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．答案和解析1.【答案】B解：空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，若m ，n ，l 在同一平面，则m ，n ，l 两两相交或m ，n ，l 有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行． 故充分性不成立；若m ，n ，l 两两相交，则m ，n ，l 在同一平面，故必要性成立. 故m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的必要不充分条件， 故选：.B2.【答案】A解：连1AD ，在正方体1111ABCD A B C D -中， M 是1A D 的中点，所以M 为1AD 中点， 又N 是1D B 的中点，所以//MN AB ，MN ⊂/平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面.ABCD因为AB 不垂直BD ，所以MN 不垂直BD ，则MN 不垂直平面11BDD B ，所以选项B ，D 不正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，11AD A D ⊥，AB ⊥平面11AA D D ，所以1AB A D ⊥，1AD AB A ⋂=，所以1A D ⊥平面1ABD ，1D B ⊂平面1ABD ，所以11A D D B ⊥，且直线11,A D D B 是异面直线，所以选项C 错误，选项A 正确. 故选.A3.【答案】D解：由题意可知O ，N ，P ，M 四点均在平面PAC 上，故O ，N ，P ，M 四点共面，故A 错. 若点D 与O ，M ，N 共面，则点D 在平面PAC 内，与题目矛盾，故B 错. O ，N ∈平面PBD ，M ∉平面PBD ，故O ，M ，N 三点不共线，故C 错.连接PO ，因为平面PAC ⋂平面PBD PO =，N AM ∈，AM ⊂平面PAC ，所以N ∈平面PAC ， 又N PBD ∈，所以N PO ∈，故D 正确. 故选.D4.【答案】B解：因为2PA AB =，设2PA =，则1AB AD ==，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1,0,0)B ，(0,0,2)P ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，1(0,,1)2E，设异面直线BD 与CE 所成角为θ，则故选.B5.【答案】C解：.A 若AC 与BD 共面，则A ，B ，C ，D 四点共面，则AD 与BC 共面，所以A 正确；B .假设AD 与BC 不是异面直线，则AD 与BC 共面，于是AC 与BD 共面，这与AC 与BD 是异面直线矛盾，故AD 与BC 也是异面直线，所以B 正确；D .若AB AC =，DB DC =，取BC 的中点E ，则BC AE ⊥，BC DE ⊥，AE DE E ⋂=，AE ，DE ⊂平面ADE ，故BC ⊥平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，则AD BC ⊥，所以D 正确.C .若AB AC =，DB DC =，由上图可知 AD 不一定等于BC ，所以C 不正确； 故选.C6.【答案】B解：设BP 与1AD 所成的角为θ，以B 为坐标原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，1BB 为z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，不妨设||1AB =，则(0,0,0)B ，(1,0,0)C ，1(0,1,1)A ，1(1,0,1)C ，11(1,0,1)AD BC ∴==，(1,0,0)BC =，1(1,1,1).CA =-设1CP CA λ=，01λ，则1(1,,)BP BC CA λλλλ=+=-，01λ，2212(1)2λλ=⨯-+2113[,]22146()33λ=∈-+，故选.B7.【答案】C解：如图当CQ=1时，即 Q 为1CC 中点，此时可得1PQ//AD ，1AP==2QD ，故可得截面1APQ D 为等腰梯形，由上图当点 Q 向 C 移动时，满足0CQ 1<<，只需在1DD 上取点 M 满足AM//PQ ，即可得截面为四边形 APQM ，故①正确；当3CQ=2时，延长1DD 至 N ，使1=1D N ，连接 AN 交11A D 于 E ，连接 NQ 交11C D 于 R ，连接 ER ，可证AN//PQ ，由1NR D ∽1QR C ，可得1C R ：11=D R C Q ：1=1D N ：2，故可得11=3C R ，故②正确； 由上可知当3CQ 22<<，只需点 Q 上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的 APQRE ，显然为五边形，故③错误；当CQ=2时， Q 与1C 重合，取11A D 的中点 F ，连接 AF ，可证1//AF PC ，且1PC1FC1AP C F 为平行四边形，故其面积为AFP =2=3S S ，故④正确.故选.C8.【答案】BC解：对于A ，设正方体棱长为2，设MN 与OP 所成角为θ， 则12tan 12442θ==+，∴不满足MN OP ⊥，故A 错误； 对于B ，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，则(2,0,0)N ，(0,0,2)M ，(2,0,1)P ，(1,1,0)O ，(2,0,2)MN =-，(1,1,1)OP =-，0MN OP ⋅=，∴满足MN OP ⊥，故B 正确；对于C ，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，则(2,2,2)M ，(0,2,0)N ，(1,1,0)O ，(0,0,1)P ，(2,0,2)MN =--，(1,1,1)OP =--，0MN OP ⋅=，∴满足MN OP ⊥，故C 正确；对于D ，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，则(0,2,2)M ，(0,0,0)N ，(2,1,2)P ，(1,1,0)O ，(0,2,2)MN =--，(1,0,2)OP =，4MN OP ⋅=-，∴不满足MN OP ⊥，故D 错误．故选：.BC9.【答案】CD解：1CC ⊂平面11CC D D ，AM ⋂平面11CC D D M =，1M CC ∉，∴直线AM 与直线1CC 异面，故A 不正确，同理可证：直线AM 与直线BN 异面，故B 不正确；直线BN 与直线1MB 异面，故C 正确， 利用平移法，可得直线MN 与AC 所成的角即为1D C 和AC 所成角，即为60︒，故D 正确， 故选.CD10.【答案】AD解：接1BC ，1AD ，由题意可得11//BC AD ，如图所示：所以A 、B 、1C 、1D 共面，1(M CC ∈不含端点)，所以M 不在面11ABC D ，过M 作面11ABC D 的垂线垂足为Q ，即仅有一条过M 点的直线与直线AB ，1AD 都垂直，故A 正确；在面11ABC D 任取一点E 不在直线AB ，1AD 上，得到的直线ME 与直线AB ，1AD 都是异面直线，故B 不正确；而过M 点仅有一个平面与面11ABC D 平行，所以过M 点有无数个平面与直线AB ，1AD 都平行不正确，故C 不正确；过M 有无数多个平面与面11ABC D 相交，所以过M 点有无数个平面与直线AB ，1AD 都相交，故D 正确.故选.AD11.【答案】AC解：A 项：在正方体中，，分别是，的中点， ，，， 平面，平面，平面，故A 正确； B 项：E ，F 分别是11A B ，11B C 的中点，11//EF A C ∴，与平面相交，与平面相交，故错误；C 项：1//FG BC ，FG ⊂/平面，平面， 平面，故C 正确；D 项：与平面相交，平面与平面相交，故D 错误．故选.AC12.【答案】②③解：由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体的棱长为1，故||1AC =，||2AB =， 斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，以C 为坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线a 的方向单位向量(0,1,0)a =，||1a =， 直线b 的方向单位向量(1,0,0)b =，||1b =，设B 点在运动过程中的坐标为(cos ,sin ,0)B θθ'，[0,360),θ︒︒∈ (cos ,sin ,1)AB θθ∴'=-，||2AB '=，设AB '与a 所成夹角为α，[0,90]α︒︒∈，则|(cos ,sin ,1)(0,1,0)|22cos |sin |[0,]22||||a AB θθαθ-⋅==∈⋅'， [45,90]α︒︒∴∈，∴③正确，④错误．设AB '与b 所成夹角为β，[0,90]β︒︒∈， |||(cos ,sin ,1)(1,0,0)|2cos |cos |2||||||||AB b AB b b AB θθβθ'⋅-⋅==='⋅⋅'， 当AB '与a 夹角为60︒时，即60α︒=时，2|sin |2cos 2cos 602θα︒===， 22cos sin 1θθ+=，21cos |cos |22βθ∴==， [0,90]β︒︒∈，60β︒∴=，此时AB '与b 的夹角为60︒，∴②正确，①错误．故答案为：②③．13.【答案】3解：由题意，补全戳面EFG 为正六边形EFGHQR ，如下图所示：1CC 1//DD ，故1DD M ∠即为直线1MD 与1CC 所成的角．由1CD //GH ，因为1CD ⊂/平面EFGHQR ，GH ⊂平面EFGHQR ，所以1CD //平面.EFGHQR由//AC EF ，因为AC ⊂/平面EFGHQR ，EF ⊂平面EFGHQR ，所以//AC 平面EFGHQR ，再由1CD AC C ⋂=，又1CD ，AC ⊂平面1ACD ，所以平面1ACD //平面.EFGHQR由1MD ⊂平面1ACD ，可得1MD //平面.EFGHQR易知点M 位于底面对角线AC 上，且当M 与底面中心O 重合时，1DD M ∠最小，其余弦值此时最大，且最大值为1112216cos .321()2D D DD O D O ∠===+ 故答案为6.314.【答案】解：设AB a =，AD b =，1AA c =，则两两夹角为60︒，且模均为2.111(1).AC AC CC AB AD AA a b c =+=++=++222221||()||||||222AC a b c a b c a b b c a c ∴=++=+++⋅+⋅+⋅112622242=+⨯⨯⨯=， 1||26AC ∴=，即1AC 的长为111(2).BD BD DD AD AB AA b a c =+=-+=-+1()()BD AC b a c a b ∴⋅=-+⋅+22 4.a b a a c b a b b c =⋅-+⋅+-⋅+⋅=21||()22BD b a c =-+=2||()23AC a b =+=，1cos BD ∴<，116||||2BD AC AC BD AC ⋅>===⋅ 1BD ∴与AC 夹角的余弦值为615.【答案】证明：(1)E 、F 分别是AB 和AD 的中点，EF ∴为ABD 的中位线，//EF BD ∴，又::1:2BG GC DH HC ==，在CBD 中//.BD GH ∴//EF GH ∴，所以，E 、F 、G 、H 四点共面．(2)EG FH P ⋂=，,,P EG P FH ∴∈∈由EG ⊂平面ABC ，,P EG ∈得P ∈平面ABC ，由FH ⊂平面ADC ，,P FH ∈得P ∈平面ADC ，又平面ABC ⋂平面ADC AC =，所以P AC ∈，所以,,P A C 三点共线.16.【答案】解：(1)PC PA AC PA AB AD =+=++，所以22222224412221PC PA AB AD PA AB PA AD AB AD =+++⋅+⋅+⋅=++-⨯-⨯3=， 所以线段PC 的长度为 3. (2)()()PC BD PA AB AD AD AB ⋅=++-111201122220222=-⨯⨯++⨯+⨯⨯-⨯-=-， 所以，故异面直线PC 与BD 所成角的余弦值为215.15(3)因为E 为AB 的中点，所以AD AE =，又因为()AP DE AP AE AD AP AE AP AD ⋅=⋅-=⋅-⋅112121022=⨯⨯-⨯⨯=， 所以AP DE ⊥，即.PA ED ⊥17.【答案】(1)证明：连接11B D ，BD ，因为四边形1111A B C D 是正方形，所以1111.A C B D ⊥在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面1111A B C D ，11A C ⊂平面1111A B C D ， 所以111.A C DD ⊥因为1111B D DD D ⋂=，11B D ，1DD ⊂平面11BB D D ，所以11A C ⊥平面11.BB D D因为EF ⊂平面11BB D D ，所以11.EF AC ⊥(2)解：取1C C 的中点H ，连接BH ，则//.BH AE在平面11BB C C 中，过点F 作//FG BH ，则//.FG AE连接EG ，则A ，E ，G ，F 四点共面． 因为11122CH C C a ==，11133HG BF C C a ===， 所以111.6C G C C CH HG a =--=故当116C G a =时，A ，E ，G ，F 四点共面．(3)解：因为四边形EFBD 是直角梯形，所以几何体ABFED 为四棱锥.A EFBD - 因为211()2()52322212EFBD a a a BF DE BD S a +⨯+===， 点A 到平面EFBD 的距离为1222h AC a ==， 所以231152253312236A EFBD EFBD V S h a a a -==⨯⨯=， 故几何体ABFED 的体积为35.36a18. 【答案】解：PA ⊥平面ADE ，AD ，AB ⊂平面ADE ，PA AB ∴⊥，PA AD ⊥，AE AD ⊥，∴以{,,}AB AD AP 为正交基底建立空间直角坐标系A xyz -，则各点的坐标为(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P(1)AD AE ⊥，AD PA ⊥，AE ，PA ⊂平面PAE ，AE PA A ⋂=，AD ⊥平面PAE ，AD ∴是平面PAE 的一个法向量，(0,2,0).AD = (1,1,2)PC =-，(0,2,2).PD =- 设平面PED 的法向量为(,,)m x y z =， 则0m PC ⋅=，0m PD ⋅=，即20220.x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =，解得1z =， 1.x = (1,1,1)m ∴=是平面PED 的一个法向量， 可得cos AD <，33||||AD m m AD m ⋅>==，由图可知，二面角A PE D --为锐二面角， ∴二面角A PE D -- (2)(1,0,2)BP =-，设(,0,2)(01)BQ BP λλλλ==-， 又(0,1,0)CB =-，则(,1,2)CQ CB BQ λλ=+=--， 又(0,2,2)DP =-，cos CQ ∴<，1||||10CQ DP DP CQ DP ⋅>== 设12t λ+=，[1,3]t ∈，则2cos CQ <，2225109t DP t t >=-+ 2291520109()99t =-+， 当且仅当95t =，即25λ=时， 即|cos CQ <，|DP >的最大值为10 因为cos y x =在(0,)2π上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值，又1BP ==255BQ BP ∴==。
高考数学 点、线、面的位置关系
8.2 点、线、面的位置关系基础篇考点一点、线、面的位置关系1.(2023届江苏常州一中期初检测,3)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是( )A.若m⊥α,n⊂β,m⊥n,则α⊥βB.若m∥α,m∥n,则n∥αC.若m∥n,n⊥β,m⊂α,则α⊥βD.若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥β答案C2.(2022广东惠州一中月考,4)已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列说法正确的是( )A.若m∥n,n⊂α,则m∥αB.若m∥α,n⊂α,则m∥nC.若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥βD.若α∥β,m⊂α,则m∥β答案D3.(2022山东潍坊月考,6)若m、n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是( )A.若m⊂β,α⊥β,则m⊥αB.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥βC.若m⊥β,m∥α,则α⊥βD.若α⊥γ,α⊥β,则β⊥γ答案C4.(2022广东茂名一模,3)下面四个命题中,其中正确的命题是( ) p1:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行p2:两个平面垂直,如果有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与其中一个平面垂直p3:一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那该直线与交线平行p4:一条直线与一个平面内的一条直线平行,则这条直线就与这个平面平行A.p1与p2B.p2与p3C.p3与p4D.p1与p3答案D考点二异面直线所成的角1.(2022湖北部分学校质量检测,7)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1=2AB=2BC,P,Q分别为B1C1,BC的中点,则异面直线AQ与BP所成角的余弦值是( )A.√55B.2√1717C.√8585D.2√8585答案C2.(2022全国新高考月考一,5)正方体的平面展开图如图,下列命题正确的是( )A.AB与CF成45°角B.BD与EF成45°角C.AB与EF成60°角D.AB与CD成60°角答案D3.(2021河北张家口3月模考,4)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是正方形CDD1C1的中心,点Q在线段AA1上,且AQ=13AA1,E是BC的中点,则异面直线PQ,DE所成角的大小为( ) A.30° B.45° C.60° D.90°答案D综合篇考法一点、线、面位置关系的判定及其应用1.(2015广东,6,5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交答案D2.(多选)(2022福建莆田锦江中学期中,9)已知m,n为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,则( )A.若m∥α,n∥β,α∥β,则m∥nB.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥nC.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥βD.若m∥n,n⊥α,α⊥β,则m∥β答案BC3.(多选)(2023届湖北名校联盟联合测评,9)已知E、F、G、H分别是三棱锥A-BCD的棱AB、AD、CD、CB上的点(不是端点),则下列说法正确的是( )A.若直线EF、HG相交,则交点一定在直线BD上B.若直线EF、HG异面,则直线EF、HG中至少有一条与直线BD相交C.若直线EF、HG异面,则直线EF、HG中至少有一条与直线BD平行D.若直线EF、HG平行,则直线EF,HG与直线BD平行答案ABD4.(2023届广西柳州摸底,16)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为线段B1D1上的动点,现有下面四个命题:①直线DE与直线AC所成角为定值;②点E到直线AB的距离为定值;③三棱锥E-A1BD的体积为定值;④三棱锥E-A1BD外接球的体积为定值.其中所有真命题的序号是.答案①③考法二异面直线所成的角的求解方法考向一平移法求异面直线所成角1.(2022重庆一中检测,6)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )A.√22B.√32C.√52D.√72答案C2.(2017课标Ⅱ理,10,5分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )A.√32B.√155C.√105D.√33答案C3.(2022福建双十中学质检,7)三棱锥A-BCD的所有棱长都相等,M,N分别是棱AD,BC 的中点,则异面直线BM与AN所成角的余弦值为( )A.13B.24C.√33D.23答案D4.(2021全国乙理,5,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为( )A.π2B.π3C.π4D.π6答案D5.(2021山东泰安三模,6)如图,AB为圆锥底面直径,点C是底面圆O上异于A,B的动点,已知OA=√3,圆锥侧面展开图是圆心角为√3π的扇形,当PB与BC所成角为π3时,PB与AC所成角为( )A.π3B.π6C.π4D.5π6答案C6.(2015浙江,13,4分)如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N 分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是.答案78考向二 利用向量法求异面直线所成的角1.(2021山东滨州二模,7)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 是棱DD 1的中点,P 是底面ABCD (包括边界)内的一个动点,若MP ∥平面A 1BC 1,则异面直线MP 与A 1C 1所成角的取值范围是( )A.(0,π3] B.[π6,π3] C.[π3,π2] D.[π3,π) 答案 C2. (2021广东珠海综合测试,8)如图,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,以顶点A 为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°,则BD 1与AC 夹角的余弦值是( )A.√33 B.√66C.√217D.√213答案 B3.(2017课标Ⅲ理,16,5分)a ,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ,b 都垂直,斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转,有下列结论: ①当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成30°角; ②当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成60°角; ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°; ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是 .(填写所有正确结论的编号) 答案 ②③考法三 空间几何体的截面问题1.(2023届山西长治质量检测,3)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,用平行于A 1B 1的截面将正方体截成两部分,则所截得的两个几何体不可能是 ( )A.两个三棱柱B.两个四棱台C.两个四棱柱D.一个三棱柱和一个五棱柱 答案 B2.(2018课标Ⅰ理,12,5分)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A.3√34B.2√33C.3√24D.√32答案A3.(2022湖南衡阳联考,6)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,E,F分别是AB,AD,B1C1,C1D1的中点,则正方体过P,Q,E,F的截面图形的形状是( ) A.正方形 B.平行四边形C.正五边形D.正六边形答案D4.(2021山东青岛二模,7)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点P在矩形ACC1A1区域(包含边界)内运动,且∠PBD=45°,则动点P的轨迹长度为( ) A.π B.√2π C.2π D.2√2π答案B6.(多选)(2022江苏苏州外国语学校月考,9)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E为棱BC的中点,F为棱A1D1上的一动点,过点A,E,F作该正方体的截面,则该截面可能是( )A.平行四边形B.等腰梯形C.五边形D.六边形答案ABC6.(2020新高考Ⅰ,16,5分)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,√5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为.答案√2π27.(2022湖南张家界测试,14)已知在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,过A,E,F三点作该正方体的截面,则截面图形的周长为.答案6√13+3√2。
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小题专项练习(九) 点、线、面的位置关系
如图，在正四面体P
( )
中，侧棱AA1⊥底面A
的中点，则下列叙述正确的是( )
( )
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．
是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若
14．[2018·江苏海门中学月考]如图，四棱锥P－ABCD，PA⊥底ABCD，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝3，点E为棱CD上一点，若三棱锥E－PAB的体积为4，则PA的长为________．15．[2018·山东沂水期中]已知三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC＝4，BC＝3，AB ＝5，PA＝3，则该三棱锥的内切球的体积为________________________________________________________________________．16．下列命题中错误的是________．
①过异面直线a，b外一点P有且只有一个平面与a，b都平行；
②直线a，b在平面α内的射影相互垂直，则a⊥b；
③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三角棱锥；
④直线a，b分别在平面α，β内，且a⊥b，则α⊥β.
，若l∥n，则m不一定垂直
所成角或补角．
，不妨设正方体的边长为2，
的点，
ABC的圆心为
∵AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝60°，
∴△ABC 为等边三角形，
∴|AO 1|＝32AB ·23
＝1， ∴|OA |＝
|AO 1|2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AP |22＝12＋12＝2， ∴S 球＝4πOA 2＝8π，故选B.
9．A
如图，过A 作AH ⊥DE ，
∵平面ADE ⊥平面BCD ，且平面ADE ∩平面BCD ＝DE ，
∴AH ⊥平面BCD ，∴AH ⊥BC ，
又AD ⊥BC ，
∴BC ⊥平面ADE ，∴BC ⊥AE ，
∴AE ＝3×45＝125，AD ＝1，∴DE ＝DA 2＋AE 2＝135
，故选A. 10．D 若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，①错；②正确；③垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面，③错，④正确，故选D.
11．C CC 1与B 1E 都在平面CC 1B 1B 内，A 错；
AC 与BC 不垂直，故B 错；
E 为BC 的中点，△ABC 为正三角形，∴AE ⊥BC ，
又BC ∥B 1C 1，∴AE ⊥B 1C 1，C 正确；
A 1C 1∥AC ，AC 与平面AE
B 1相交，
∴A 1C 1与平面AEB 1相交，D 错，故选C.
12．C 由俯视图可知，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，
BD ＝2，DC ＝4，BC ＝23，
∵BD 2＋BC 2＝DC 2，
∴∠DBC ＝90°，∠CDB ＝60°，∴∠DBA ＝60°，
∴AD ＝DB sin60°＝2×32
＝3， ∵M 为PD 的四等分点，PD ＝4，∴MD ＝3，
∴tan ∠AMD ＝AD DM ＝33
， ∴∠AMD ＝π6
， ∴∠PMA ＝5π6
，故选C. 13．②④
解析：由平行与垂直的判定定理与性质定理可知②，④正确．
14．4
解析：由题可知S △PAB ＝12
×PA ×AB ＝PA ， ∴13×PA ×3＝4，∴PA ＝4.
α，b∥α时，找不到与
ABC内的射影为
AB＝BC＝CD＝
等边三角形，侧面都是等腰三角形，但三棱锥A－BCD。