高一数学函数的零点
高一数学函数的零点
方程f(x)=0有实数根
零点是一个点吗?
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
二次函数零点的个数
△=b2-4ac ax2+bx+c=0 y=ax2+bx+c(a≠0)的
的根
图象与x轴的交点
△>0
两个不相 等的实根
两个零点
△=0
两个相等 的实根
二重零点
△<0
顶点坐标为( b , 4ac b2 ) 对称轴为
2a
4a
x b 2a
观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的 二次函数的图象：
一元二次方程 方程的根
x2-2x-3=0 x2-2x+1=0
x= 3或 x=-1
x=1
二次函数
y=x2-2x-3
图象与x轴的 交点
（-1，0） （3，0）
y=x2-2x+1 （1，0）
2, 4上是否也具有这种特点呢？
-2 -3
-4
（1）当函数的图像通过零点且穿过x轴时，函数值变 号。 （2）两个零点把x轴分为三个区间。 可以推广到任意函数，只要它的图像是连续的，上述 性质同样成立。
例一：判断函数零点的个数
（1）f (x) x2 x 6 (2) f (x) x2 1 x
晚上六点才到达金川县观音桥镇，原本计划是五点到达。除了巴车遭遇的小意外，一路上还遇到数次堵车。并不宽阔的国道因为车辆太多而堵 塞，车辆缓慢擦身而过，平日里见到的嚣张的大货车也变得缓慢有礼。幸好耽搁的时间都不长，不然还不知道几时能到。
无实根
无零点
探究
观 察 二 次 函 数 f (x) x2 2x 3 的 图 y 5
函数的零点与方程的解课件高一上学期数学人必修第一册
对未来学习的展望
深入学习函数和方程的概念，理解其本质和联系 掌握求解函数零点和方程解的方法和技巧，提高解题能力 培养逻辑思维能力和抽象思维能力，为后续学习打下坚实基础 激发学习兴趣，培养良好的学习习惯和态度，为未来的数学学习做好准备
THANK YOU
汇报人：
步骤：找出两个因式，使它们的乘积等于一元二次方程
例子：求解方程x^2-4x+4=0 注意事项：因式分解法适用于二次项系数为1的情况，如果二次项系数不为 1，需要先提取公因式
04
函数零点与方程解的关系
函数零点与方程解的等价关系
函数零点：函数值为0的点 方程解：满足方程的未知数的值 等价关系：函数零点与方程解之间存在一一对应关系 证明方法：利用函数图像和方程的解进行证明
一元二次方程的 判别式：b² - 4ac
一元二次方程的 根：x1, x2
配方法求解一元二次方程
配方法的基本思 想：将一元二次 方程转化为二次 函数，通过配方 法求解
配方法的步骤： 首先将一元二次 方程转化为二次 函数，然后利用 二次函数的性质 求解
配方法的应用： 求解一元二次方 程，如求解 x^2+2x+1=0
通过函数图像求方程的解
介绍函数图像的概念和作用
举例说明如何通过函数图像求解 方程
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
讲解如何通过函数图像找到函数 的零点
总结通过函数图像求方程解的方 法和步骤
通过方程解求函数的零点
函数零点的定义：函数在某 一点的值等于0
关系：方程的解就是函数的 零点
方程解的定义：方程的解是 指满足方程的未知数的值
函数的零点与方程的解课件高 一上学期数学人必修第一册
高一数学新人教A版必修1课件：第3章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点
阅读教材 P86～P87“探究”以上部分，完成下列问题． 1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与根的关系
Δ>0
Δ＝0
二次函数y＝ax2 ＋bx＋c(a>0)的 图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
Δ<0 无交点
2.函数的零点
对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
法二 由x2－1x＝0，得x2＝1x. 令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x. 在同一坐标系中分别画出h(x)和g(x)的图象，如图所示．可知两函数图象只有 一个交点，故函数f(x)＝x2－1x只有一个零点．
判断函数存在零点的 3 种方法 1．方程法：若方程 f(x)＝0 的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判
函数零点个数的判断
判断下列函数零点的个数． (1)f(x)＝x2－7x＋12；(2)f(x)＝x2－1x. 【精彩点拨】 (1)中f(x)为二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程 的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法或转化为两个熟知的基本初等函数y＝ x2与y＝1x的图象交点的个数．
【自主解答】 (1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f(x)有两个零点． (2)法一 令f(x)＝0，即x2－1x＝0. ∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0. ∴x＝1或x2＋x＋1＝0. ∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0， ∴方程x2＋x＋1＝0无实数根． ∴函数f(x)只有一个零点．
【答案】 B
高一 数学 函数的零点与二分法课件
二分法在寻找函数零点中的应用
二分法是一种通过不断将区间 一分为二来逼近函数零点的数 值方法。
在给定一个连续函数和一个闭 区间，不知道零点所在的大致 位置时，可以使用二分法来找 到零点。
二分法的基本思想是，如果函 数在区间两端取值异号，则该 区间内必定存在一个零点。
二分法在解决函数零点问题中的优势
实例
以 $f(x) = x^2 - 2x - 3$ 为例， 其零点为 $x = -1, x = 3$。
高次函数的零点问题
高次函数零点定义
高次函数 $f(x)$ 的零点是满足 $f(x) = 0$ 的 $x$ 值。
零点求解方法
通过解高次方程来找到零点。
实例
以 $f(x) = x^3 - x - 1$ 为例，其零点为 $x = 1, x = -1, x = frac{1}{3}$。
以 $f(x) = x - 3$ 为例，其零点为 $x = 3$。
零点求解方法
通过解方程 $ax + b = 0$ 来找到零 点。
二次函数的零点问题
二次函数零点定义
二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的零点是满足 $f(x) = 0$ 的
$x$ 值。
零点求解方法
通过解二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 来找到零点。
导数法
通过判断导数的正负来判 断函数的单调性，进而找 到函数的零点。
03 二分法原理
二分法的定义
二分法定义
二分法是一种求解实数近似值的方法，通过不断将区间一分 为二，使区间长度逐渐缩小，当区间长度小于给定的误差范 围时，区间内的任意实数近似值即可作为所求的近似解。
高一数学必修1第三章知识点
高一数学必修1第三章知识点第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。
2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。
即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．3、函数零点的求法：1（代数法）求方程f(x)0的实数根；○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，能够将它与函数yf(x)的图象联系起来，○并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数ykx(k0)仅有一个零点。
k(k0)没有零点。
x③一次函数ykxb(k0)仅有一个零点。
②反比例函数y④二次函数yax2bxc(a0)．（1）△＞０，方程ax2bxc0(a0)有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程ax2bxc0(a0)有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程ax2bxc0(a0)无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．⑤指数函数ya(a0,且a1)没有零点。
⑥对数函数ylogax(a0,且a1)仅有一个零点1.⑦幂函数yx，当n0时，仅有一个零点0，当n0时，没有零点。
5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把fx转化成，这另fx0，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数y1,y2（基本初等函数）个函数图像的交点个数就是函数fx零点的个数。
6、选择题判断区间a,b上是否含有零点，只需满足fafb0。
7、确定零点在某区间a,b个数是的条件是：①fx在区间上连续，且fafb0②在区间a,b上单调。
8、函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使f(x)0的实数；从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；x若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．9、二分法的定义对于在区间[a，b]上连续持续，且满足f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过持续地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．10、给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：（1）确定区间[a，b]，验证f(a)f(b)0，给定精度；（2）求区间(a，b)的中点x1；（3）计算f(x1)：①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；②若f(a)f(x1)14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：一次函数模型：f(x)kxb(k0);二次函数模型：g(x)ax2bxc(a0);幂函数模型：h(x)axb(a0);指数函数模型：l(x)abxc（a0,b＞0，b1）利用待定系数法求出各解析式，并对各模型实行分析评价，选出合适的函数模型12扩展阅读：高一数学必修1各章知识点总结金太阳新课标资源网高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合相关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性：如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
高一数学必修二第二章知识点归纳
高一数学必修二第二章知识点归纳（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高一数学 函数的零点
高一数学 函数的零点【学习目标】1、理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性。
2、会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系。
3、能通过零点画出函数的图象，并研究其性质。
4、在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．【自主学习】1、引入：已知二次函数○1函数26y x x =--，试求当y=0时的x 值，并画出其图象，由图象观察当x 在何区间上使得y>0？y<0？。
2、零点的定义：一般地，如果函数))((D x x f y ∈=在实数α处的值 ，即 ，则α叫做这个函数的 。
在坐标系中表示 。
3、二次函数的零点：（１）△＞０，方程02=++c bx ax 有 ，二次函数的图象与x 轴有 ，二次函数有 ．（２）△＝０，方程02=++c bx ax 有 ，二次函数的图象与x 轴有 ，二次函数有一个 ．（３）△＜０，方程02=++c bx ax 无 ，二次函数的图象与x 轴无 ，二次函数无 ．4、二次函数零点的性质：当函数图象通过零点且穿过x 轴时，函数值 ;两个零点把x 轴分成三个区间，在每个区间上所有函数值 ；如果一个二次函数有一个二重零点，那么它通过这个二重零点时，函数值的符号 。
跟踪1、分别求下列函数的零点：①122+-=x x y ；②223y x x =--+；③322+-=x x y 。
跟踪2、P72练习A1、①②③④⑤⑥跟踪3、P72 练习A2、①②跟踪4、P72练习B1、2、【合作探究】1、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的是否一定有零点，判断依据是什么2、函数的零点与方程的根、函数图象与x 轴交点的关系：函数)(x f y =有零点⇔方程0)(=x f 有 ⇔函数)(x f y =的图象与x 轴 ．3、函数零点的求法：求函数)(x f y =的零点即求 。
4、二次函数零点两侧的函数值有何变化？零点将x 轴分成几个区间，在每个区间上函数值有何特点？分别以下列函数为例说明①122+-=x x y ；②223y x x =--+；③322+-=x x y 。
高一数学重点：零点问题的解题方法
谈函数与方程(零点问题)的解题方法——解题技能篇从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．(2)零点存在性定理(函数零点的判定)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．也可以说：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[提醒] 此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．(3)几个等价关系函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与函数y＝0(即x轴)有交点．推广：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)－g(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)－g(x)的图象与y ＝0(即x轴)有交点．推广的变形：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)＝g(x)有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)有交点．1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)>0．3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)<0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？提示：不一定，可能有多个．(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点零点个数210对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有：1．函数零点的求解与所在区间的判断；2．判断函数零点个数；3．利用函数的零点求解参数及取值范围．考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1．(2015·温州十校联考)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )A．(0，1) B．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】法一：∵f (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，∴f (1)·f (2)＜0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，∴函数f (x )的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f (x )的零点所在的区间为(1，2)．【答案】B2．(2015·西安五校联考)函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x的图象交点的横坐标所在区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象交点的横坐标，即为函数f (x )＝ln(x ＋1)－1x的零点，∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝ln 2－1＜0，f (2)＝ln 3－12＞0，∴f (x )的零点所在区间为(1，2)．【答案】B3．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________．【解析】求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2，3)内，故n ＝2．【答案】24．(2015·长沙模拟)若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内【解析】本题考查零点的存在性定理．依题意得f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －b )(c －a )＞0，因此由零点的存在性定理知f (x )的零点位于区间(a ，b )和(b ，c )内．【答案】A5．(2014·高考湖北卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}【解析】令x ＜0，则－x ＞0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－3(－x )]＝－x 2－3x ．求函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点等价于求方程f (x )＝－3＋x 的解．当x ≥0时，x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 1＝3，x 2＝1；当x ＜0时，－x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 3＝－2－7．【答案】D确定函数f (x )零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0．若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．1．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)【解析】因为f (1)＝6－log 21＝6＞0，f (2)＝3－log 22＝2＞0，f (4)＝32－log 24＝－12＜0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2，4)．【答案】C2．方程log 3x ＋x ＝3的根所在的区间为( )。
【课件】函数的零点与方程的解课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
随着的增大
逐渐变缓
图象的变化
问题探究
问题探究
探究3-3
讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.
直线上升
增长速度不变，匀速上升.
对数增长
随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增
长速度平缓.
指数爆炸
随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增
长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.
种关系？
问题探究
结论
①二次函数 = 2 − 2 − 3在区间(2，4)
内有零点 = 3，它是方程 2 − 2 − 3 = 0的
一个根.
➢
在零点附近，函数图象是连续不断的，并
且“穿过”轴.
➢
函数在端点 = 2和和 = 4的取值异号，
即(2)(4) < 0.
问题探究
探究二
令ℎ = ln ， () = 6 − 2.
在同一个坐标系中作出ℎ ，()的图象.
由图可知ℎ 与()的图象只有一个交点，
则函数 = ln + 2 − 6仅有一个零点，
相应方程ln + 2 − 6 = 0只有一个实数解.
➢探究三：判断函数零点的个数
【变式训练】判断函数() = + − 的零点的个数．
数在区间(，)内有3个零点，
图（2）中函数在区间(，)内
（1）
（2）
仅有1个零点.
函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能判断出零点
的个数.
函数零点存在定理
问题4
函数 = ()在区间(，)内有零点，是不是一定有()() < 0？
-高一数学人教A版必修第一册4.5.1函数的零点与方程的解课件
当堂达标
5. 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中，a·c<0，则函数有________个零点．
2 解析：由 Δ＝b2－4ac>0 得二次函数 y＝ax2＋bx＋c 有两个零点．
当堂达标
6.求方程 logax＋2x－6＝0 的实数解的个数．
解：由 logax＋2x－6＝0 得 logax＝－2x＋6 当 a＞1 时，作 y＝logax 与 y＝－2x＋6 的图象， y＝logax 为增函数，y＝－2x＋6 为减函数，有一个交点．
经典例题
题型三 函数零点个数的判断
总结
1.判断零点的个数时 由 fx＝gx－hx＝0，得 gx＝hx，在同一坐标
系中作出 y1＝gx和 y2＝hx的图象，利用图象判定方程根的个数. 2.已知零点个数求参数时 画出函数图象，将函数零点问题转化为图象 交点问题，从而确定参数的范围.
经典例题
题型三 函数零点个数的判断
当堂达标
3.函数 f(x)＝x－2＋log2x，则 f(x)的零点所在区间为(
)
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
B 解析：f(1)＝－1＋log21＝－1，f(2)＝log22＝1， ∴f(1)·f(2)<0，故选 B．
当堂达标
4.已知函数 f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下 x，f(x)的对应值表：
4.5 函数的应用（二） 4.5.1 函数的零点与方程的解
学习目标
素养目标
学科素养
1.理解零点的概念；
2.了解函数的零点与方程根的联系，能利用函数 零点与方程根的关系确定方程根的个数；
3.能够利用零点的存在解决含参问题．
1.数形结合 2.数学运算 3.逻辑推理
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y=ax2+bx+c(a≠0)的 图象与x轴的交点 两个零点 二重零点 无零点
△>0 △=0
△<0
探究
观 察 二 次 函 数 f ( x) x 2 2 x 3 的 图 象，如右图，我们发现函数 f ( x) x2 2 x 3在 区间 2,1 上有零点。计算 f (2) 和 f (1) 的乘 积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间
y 5 4
3
2 1
-2 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 x
2, 4 上是否也具有这种特点呢？
（1）当函数的图像通过零点且穿过x轴时，函数值变 号。 （2）两个零点把x轴分为三个区间。 可以推广到任意函数，只要它的图像是连续的，上述 性质同样成立。
例一：判断函数零点的个数
变式训练：
(1)求函数的零点 f ( x) ( x2 x 2)(x2 2x 8)
(2)讨论y (ax 1)(x 2)的零点。
思考与讨论 ：如何求函数的零 点？
规律方法：由于函数的零点是对应方 程的根，所以求函数的零点就是解与 函数相对应的方程，一元二次方程可 用求根公式，简单的高次方程可用因 式分解去求。
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫 做函数y=f(x)的零点。 注意：
零点指的是一个实数；
零点是一个点吗?
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
二次函数零点的个数
△=b2-4ac
ax2+bx+c=0 的根
两个不相 等的实根 两个相等 的实根 无实根
2
-2
0
2 x
当堂检测
课本练习A
本堂小结： 一：函数零点的概念 二：函数零点与方程根的关系 三：求函数的零点及判断零点的 个数
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达着一路走来了。然而，并排挤坐在车前的耿正兄妹三人，都只顾了呆呆地望着车前出神，谁也没有注意到在他们的车后面竟然跟着 走来这么三个不速之客。晃晃悠悠走了一会儿，耿正兄妹三人几乎同时望见了远处的五道庙，耿英的眼泪再一次汹涌而出，哗哗地流 淌下来„„耿正伸出左臂抱住妹妹的肩膀，耿直用右手紧紧地攥住姐姐的左手。兄妹三人的心越抽越紧！五道爷啊，俺们父子四人当 年从你东侧的大道转弯南下创业之前，曾经跪在你的面前焚香许愿了啊！俺们满腔热血一身正气，为得是光宗耀祖造福乡里，你怎么 不保佑俺们父子四人全都平平安安地回来呢！五道庙近在咫尺了，耿英泪流满面地说：“哥，你停车！让俺下去！”耿正只好轻轻吆 喝大白骡，将骡车停在了五道庙的西侧。大骡车刚刚停稳，耿英就催促哥哥赶快下车。耿正吃惊地看到，自己的双脚刚一着地，妹妹 就推开他快速地自己跳下车来，并且脸色苍白，发疯似地朝五道庙跑去了！今儿个是三月初三，由于一早起来就有人来给五道爷敬香， 所以负责管理五道庙的人在前一天傍晚就已经把庙门敞开了。只见耿英跌跌撞撞地冲到庙门前，用颤抖的右手指着端坐在庙堂里的五 道爷塑像哭喊道：“五道爷啊，俺们走之前是给你烧香磕头许愿了的啊，可你为什么不保佑俺们啊！俺们的爹呢？你，你，你还俺爹 爹！你还俺爹„„”耿英声嘶力竭地哭喊着，一口气没有接上来，眼见着就要晕倒了，好在耿正和耿直此时已经跑了过来，一左一右 扶住了似乎失去知觉的耿英。耿正赶快使劲掐妹妹的人中，耿直吓坏了，大声哭喊起来：“姐，你醒醒！姐你快醒醒啊！俺害怕，你 快醒醒呀！”一刻，耿英慢慢苏醒过来，无力地由哥哥和弟弟搀扶着，再次大放悲声：“五道爷啊，你还俺爹爹„„”耿正和耿直也 都痛哭开了„„忽然，驾着骡车站在五道庙西侧的大白骡“嗬儿嗬儿”啸叫起来。只见它一边啸叫着，一边还不停地用一个前蹄子刨 着地面。耿正知道，辛辛苦苦为他们千里迢迢拉车回来的这头可爱的骡子是非常通人性的，于是停止了痛哭，对弟弟和妹妹说：“都 别哭了，看大白骡那是在干什么呢！”就在这个时候，忽然听到一阵颤颤巍巍的吟唱声由远渐进，但唱些什么却听不清楚。远远地看 到，一头棕色的高头大骡正拉着一挂大平车从五道庙东侧的大道上慢慢悠悠地走来。驾车的好像是一个年青人，他旁边坐着一位长者 正在吟唱呢！耿英和弟弟想起来那一年在五道庙前烧香磕头许愿之后，爹爹在东去南下的路上给他们即兴吟唱的情景，再次痛哭失 声„„耿英更是挣脱了哥哥和弟弟的搀扶，痛哭着扑倒在香炉前面。跪爬几步之后，她无力地拍打着供桌，再一次手指庙里的五道爷 塑像：“你，你还俺爹啊五道爷„„”而此时，通人性的大白骡却更
例三、求函数y=x3-2x2-x+2的零点，并画出它 的图像。
y
解：因为 x3-2x2-x+2=x2(x-2)-(x-2) =(x-2)(x2-1) =(x-2)(x-1)(x+1) 所以已知函数的零点为-1， 1，2. 3个零点把x轴分成4个区间： （-∞，-1）（-1，1）（1， 2）（2，+ ∞ ）
y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3
（-1，0） （3，0） （1，0） 无交点
一般一元二次方程与相应二次函数的关系 △=b2-4ac ax2+bx+c=0 y=ax2+bx+c(a≠0)的 图象与x轴的交点 的根
△>0 △=0 △<0
x1,x2 x1=x2 无实根
（x1,0），（x2，0） （x1，0） 无交点
（ 1 ）f ( x) x x 6 1 2 (2) f ( x) x x
2
答案（1）两个
（2）一个
（1）可直接解方程（2）可解方程也可数形结合
互动探究
例二：求函数的零点
(1) y x 1
4
(2) f ( x) 3x2 7 x 6
答案（1）1和-1
2 （2）-3和 3
b 顶点坐标为( 2a
2 b 4 ac b , ) 对称轴为 x 2a 4a
观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的 二次函数的图象：
一元二次方程 方程的根 二次函数 图象与x轴的 交点
x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0
x= 3或 x=-1 x=1 无实数 根
祝同学们天天进步
复习回顾： (1)一元二次方程是否有实根的判定方法. (2)二次函数的顶点坐标，对称轴方程。 一：利用一元二次方程根的判别式
Hale Waihona Puke b 4ac2
(1)△＞0,二次方程有两个不同的实数根
(2)△=0，二次方程有两个相同的实数根
(3)△＜0，二次方程没有实数根
二：二次函数 y ax2 bx c(a 0)