广东省肇庆市2018-2019学年高一数学上册期末考试题

2018-2019学年度第一学期期末考试 高一数学试题 2018年1月（考试时间120分钟，试卷满分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,4U A B ===，则()U A B =ðA .{}1,2,4B .{}2,3,4C .{}2,4,5D .{}2,3,4,5 2.已知31sin()25θ-π+=，则cos θ=A .15B .15-C .25D .25- 3.23(log 27)(log 4)⋅=A .16B .2C .3D .6 4.函数1lg(1)y x =-的定义域为 A .(,1)-∞ B .(1,)+∞ C .(1,2)(2,)+∞ D .(1,3)(3,)+∞ 5.已知0.32a =，0.41()2b -=，52log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A .c b a << B .c a b << C .b a c << D .b c a << 6.函数21()()2x f x x =-的零点个数为A .0B .1C .2D .3 7.已知集合{}1,2,3A =则{,}B x y x A y A =-∈∈中的元素个数为 A .9 B .5 C .3 D .18.若,αβ为锐角，1cos(),cos()43423βαππ+=+=，则cos()2βα-=A .3 B .3- C .9- D .99.已知函数()tan 1f x x x =++，若()2f a =，则()f a -的值为A .0B .1-C .2-D .310.已知cos()4θπ+=sin 2θ= A .79- B .79 C .89- D .8911.设02αβπ∈，（，）且1tan tan cos αββ-=，则 A .3=2αβπ+ B .2=2αβπ+ C .3=2αβπ- D .2=2αβπ- 12.已知方程22240x ax a -+-=的一个实根在区间()1,0-内，另一个实根大于2，则实 数a 的取值范围是A .04a <<B .12a <<C .22a -<<D .3a <-或1a >二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.13.设实数12,1,,1,32α⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭，如果函数y x α=是定义域为R 的奇函数，则α的值的集 合为 . 14.若1tan 2α=，则2sin cos 4sin cos αααα+=- .15.已知22()sin cos,,33f x x x xππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x的值域为 .16.下列叙述正确的有（将你认为所有可能出现的情况的代号填入横线上）.①集合{}0,1,2的非空真子集有6个；②集合{}1,2,3,4,5,6A=，集合{}*5,B y y y=≤∈N，若:1f x y x→=-，则对应关系f是从集合A到集合B的映射；③函数tany x=的对称中心为(,0)()k kπ∈Z；④函数()f x对任意实数x都有1()(2)f xf x=--恒成立，则函数()f x是周期为4的周期函数.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知集合{}28120A x x x=-+≤，{}521B x m x m=-≤≤+.（1）当=3m时，求集合A B，A B；（2）若B A⊆，求实数m的取值范围.18.（本小题满分12分）已知函数2()=sin cos(f x x x x x∈R).（1）求函数()f x 的最小正周期与对称轴方程； （2）求函数()f x 的单调递增区间.19.（本小题满分12分）已知函数(f x 是定义在(11)-，上的奇函数，且12()=25f . （1）求实数a b ，的值；（2）判断并证明()f x 在(11)-，上的单调性.20.（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,)f x x ωϕωϕ=+><π图像的一个最高点坐标是(1)12π，，相邻的两对称中心的距离为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图像可由sin y x =的图像经过怎样的变化得到.21.（本小题满分12分）为振兴苏区发展，赣州市2016年计划投入专项资金加强红色文化基础设施改造.据调查，改造后预计该市在一个月内（以30天记），红色文化旅游人数()f x （万人）与日期x （日）的函数关系近似满足：1()320f x x =-，人均消费()g x （元）与日期x （日）的函数关系近似满足：()6020g x x =--.（1）求该市旅游日收入()p x （万元）与日期x （*130,x x ≤≤∈N ）的函数关系式；（2）当x 取何值时，该市旅游日收入()p x 最大.22.（本小题满分12分）已知函数()log )a f x x =. （1）判断并证明()f x 的奇偶性；（2）若两个函数()F x 与()G x 在闭区间[,]p q 上恒满足()()2F x G x ->，则称函数()F x 与()G x 在闭区间[,]p q 上是分离的. 是否存在实数a 使得()y f x =的反函数1()y f x -=与()x g x a =在闭区间[1,2]上分离？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.2018-2019学年度第一学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题二、填空题13.{}1,3；14.2；15.15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦；16.①④.三、解答题17.解：（1）当3m=时，[]1,4B=-………………………………………………………1分因为{}26A x x=≤≤………………………………………………………………………3分所以[]2, A B=……………………………………………………………………………4分[]1,6A B=-………………………………………………………………………………5分（2）因为B A⊆，所以当B=∅时，52m m->+……………………………………6分所以43m <……………………………………………………………………………………7分 当B ≠∅时，则52152216m m m m -≤+⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩……………………………………………………………8分 解得4332m ≤≤………………………………………………………………………………9分 综上所述：实数m的取值范围为32m ≤……………………………………………………10分 18.解：（1）因为1o s 231()s i n 2si 2262x f x x x-π==-+……………………2分 所以()f x 的最小值正周期T =π (4)分由2,62x k k ππ-=+π∈Z 解得()f x 的对称轴方程为：,32k x k ππ=+∈Z …………………………………………7分 （2）当222262k x k πππ-+π≤-≤+π……………………………………………………9分即,63k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z 时，()f x 为增函数…………………………………11分 所以()f x 的增区间为,,63k k k ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ……………………………………12分 19.（1）因为()f x 是定义在(1,1)-上的奇函数 所以(f b ==…………………………………………………………………………2分 得()f x =…………………………………………………………………………3分而12()25f ==，1a = (5)分1a b =⎧⎨=⎩………………………………………………………………………………………6分（2）()f x 在(1,1)-上为增函数 证明如下：由（1）可知2()1xf x x=+…………………………………………………7分 任取12,(1,1)x x ∈-且12x x <……………………………………………………………8分则1212122212()(1)()()(1)(1)x x x x f x f x x x ---=++…………………………………………………9分 因为12x x <，所以120x x -<…………………………………………………………10分因为12(1,1)x x ∈-，所以1210x x ->…………………………………………………11分所以12()()0f x f x -< 即()f x 在(1,1)-上为增函数……………………………………………………………12分 20.（1）因为()f x 相邻的两对称中心的距离为2π， 所以22T π=，即T =π (1)分 所以22Tωπ==…………………………………………………………………………2分 所以()sin(2)f x x ϕ=+ 因为()sin ()126f ϕππ=+=，所以2,3k k ϕπ=+π∈Z ……………………………3分 因为ϕ<π，所以3ϕπ=………………………………………………………………4分 所以()sin(2)3f x x π=+………………………………………………………………6分 （2）解法一：将函数s i ny x =的图像纵坐标不变，横坐标向左平移3π个单位…………………8分 得到sin (3y x π=+的图像……………………………………………………………9分 然后将s i n ()3y x π=+的图像纵坐标不变横坐标缩短为原来的12…………………11分 得到s in (23y x π=+的图像…………………………………………………………12分解法二：将函数sin y x =的图像纵坐标不变横坐标缩短为原来的12……………8分 得到s y x=的图像………………………………………………………………9分 然后将sin 2y x =的图像纵坐标不变横坐标向左平移6π个单位…………………11分 得到sin (23y x π=+的图像…………………………………………………………12分 21.解：（1）40(120,)()80(2030,)x x x g x x x x + ≤<∈⎧=⎨- ≤≤∈⎩N N …………………………………3分 ()()()p x f x g x =⋅221120(120,20()17240(2030,20x x x x p x x x x x ⎧-++ ≤<∈⎪⎪=⎨⎪-+ ≤≤∈⎪⎩N)N)……………………………………6分（2）由（1）可知，()p x 在[1,10]上为增函数，在[10,20)上为减函数…………8分 当[1,20)x ∈时，m()(10p x p ==……………………………………………9分 因为()p x 在[]20,30上为减函数， 所以当[x ∈时，ma()(20)12p x p ==……………………………………10分 综上所述，当10x =时max ()125p x =………………………………………………12分22.解：（10x x >≥ 所以()f x 的定义域为R ………………………………………………………………1分()log )a f x x -=log log )()aa x f x ==-=-…………………………………2分 所以对任意x ∈R有()()f x f x -=-…………………………………………………3分所以()f x 为R上的奇函数……………………………………………………………4分 （2）因为x ∈R，所以y ∈R ………………………………………………………5分由log )a y x =得y a x =………………………………………6分y a x =-两边平方整理后得：11()2y yx a a =- 所以111()(),2x x f x a x a-=-∈R 所以111()()()2x x f x g x a a--=+……………………………………………………7分假设存在实数a 使得()y f x =的反函数1()y f x -=与()x g x a = 在闭区间[1,2]上分离.所以1()()2f x g x -->即14x xa a +>在闭区间[1,2]上恒成立……………………8分 令1()x x h x a a=+,xt a =,[1,2]x ∈ 当1a >时，x t a =在[]1,2上为增函数，2,t a a ⎡⎤∈⎣⎦，所以1()h t t t =+在2,a a ⎡⎤⎣⎦上为增函数，所以min 1()(1)h x h a a==+由14a a+>解得2a >2a <2a >9分当01a <<时同理可得1()x xh x a a =+在[]1,2上为增函数 所以min 1()(1)h x h a a==+…………………………………………………………10分由14a a+>解得2a >2a <所以02a <<11分综上所述：存在02a <<2a >()y f x =的反函数1()y f x -=与()x g x a =在闭区间[1上分离………………………………………12分。