二次型判断曲线形状
2chapter5(5)二次曲面与二次型小结
从而有标准形方程， 从而有标准形方程，2 x ′2 + ( 3 − a ) y′2 + ( 3 + a ) z ′2 = a
当3 + a = 0, 即a = −3时, 2 x ′2 + 6 y′2 = −3 (舍去 舍去) 舍去 当3 − a = 0, 即a = 3时, 2 x ′2 + 6 z ′2 = 3 为椭圆柱面
ex1.将xoy坐标面上的双曲线 4 x 2 − 9 y 2 = 36分别绕 x轴 及y轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的 方程.
Solution.
绕x轴旋转 : 4 x 2 − 9( y 2 + z 2 ) = 36
绕y轴旋转 : 4( x 2 + z 2 ) − 9 y 2 = 36
ex 2.分别求母线平行于 x轴及y轴而且通过 2 x 2 + y 2 + z 2 = 16 曲线 的柱面方程 . 2 2 2 x − y + z = 0
2 2 2
x y z 椭球面: 2 + 2 + 2 = 1 (a, b, c > 0) a b c
x 2 y2 椭圆抛物面 : + = z ( pq > 0) 2 p 2q x 2 y2 双曲抛物面 : − + = z ( pq > 0) 2 p 2q
单叶双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面: 双叶双曲面
2 2 2 (2) f ( y1, y2,L, yn ) = k1 y1 + k2 y2 +L+ kn yn
k1 0 = ( y1 , y 2 , L , y n ) L 0
0
L L L L
第六章 二次型与二次曲面(2)
代 入 f 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3 ,
得 f 2y122y224y1y38y2y3
2y124y1y32y322y322y228y2y3
2(y1y3)22(y224y2y34y32)6y32
f 2 y1 y3 2 2 y2 2 y3 2 6 y32.
证:
f X T AX 为负定的
f 为 正 定 的 X T ( A)X 为 正 定 的 A的 各 阶 顺 序 主 子 式
a11 a12 a21 a22
a1k
a2k ( 1) k k 0 (1 k n )
ak1 ak2
akk
判 断 二 次 型 为 正 定 (负 定 )的 方 法 ： 1 . 通 过 A的 特 征 值 2 . 通 过 A的 顺 序 主 子 式 3 . 定 义
p1 p1
d
pq
y
2 pq
其中： p q R( A) r， d j 0 ( j 1, 2, , p q)
再令
yj
1 dj zj
( j 1, 2, , p q)
得二次型 f 惟一的的规范形 ：
f z1 z p z p1 z pq
定义2.1 二次型 f (x1, x2, , xn ) X T AX，
x2 ( a21 x1 a22 x2 a2n xn )
xn ( an1 x1 an 2 x2 ann xn )
( x1, x2 ,
a11x1 a12 x2
,
xn
)
a 21x1
a 22 x2
a n1x1 a n2 x2
a1n xn
a 2n xn
ann xn
a11 a12
( x1, x2 ,
西北工业大学《线性代数》课件-第六章 二次型
4
4
x y
2 2
2 2
2 2
2 2
x y
Q
q1，q2
q1 q2
x y
cos sin
4
4
sin cos
4
4
x y
2 2
2 2
2 2
2 2
x y
Q
x y
(x, y) (x, y)QT 易验证 QTQ E,即 Q 是正交矩阵.
令 X x x0 ,Y y y0 , Z z z0（坐标系平移）
则可得
Z c d1X 2 d2Y 2
此类方程可表示椭圆抛物面、或双曲抛物面（马鞍面）
可利用可逆线性变换和平移变换，
将二次曲面的一般方程化为标准方程。 目标：求变换 x Cx, 化二次型 f 为“标准型”.
2. 二次型化简问题
a11
(
x,
y,
z)
a12 a13
a12 a22 a23
a13 x
x
a23 a33
y z
(b1,
b2
,
b3
)
y z
c
A
xT Ax bT x c 0
x
x
求变换x
Cx(
xT
xTC
T
), 其中x
y z
,
x
y z
使
xT
Ax
xTC
T
ACx
xT
d1
d2
x d3
Λ
d1x2 d2 y2 d3z2 无混合乘积项
an1,n1xn21 2an1,n xn1xn ann xn2
a11x1x1 a12x1x2 a13x1x3 a21x2x1 a22x2x2 a23x2x3 a31x3x1 a32x3x2 a33x3x3
【圆锥曲线】二次曲线方程与形状的关系
【圆锥曲线】二次曲线方程与形状的关系锐腾君又来啦，这周双更是不是很意外很惊喜呀？锐腾君的闲话群已经创好了，以及锐腾君的个人专栏也创好了。
（文末有小彩蛋不要错过哦）引言：锐腾君一贯的作风是尽量地在初等范围内解释地通俗。
但是有些地方好像不得不绕出来一下。
所以这篇文章的一部分可能会涉及到一些高中范围之外的知识和之前芮腾骏提到的一些知识。
我们默认读者已经知道：1.二阶、三阶行列式及其计算方法2.矩阵乘法的计算方法3.矩阵乘法的性质： |AB|=|A|\cdot|B| ，即\det AB=\det A \cdot \det B4.分块矩阵及其运算5.过四点的二次曲线系6.旋转变换及其矩阵表示（即转轴公式）另有一些阅读建议：对于没有高等代数基础且暂时不愿意接触的读者跳过“二次曲线的矩阵表示”、“正交变换与正交矩阵”、“特征值与特征向量”部分；建议了解不变量 I_1,I_2 （在“二次曲线的不变量之一 AC-B^2 ”部分）在旋转和平移变换下是不发生改变的。
对于基础较为薄弱的普通初高中生，建议只阅读“二次曲线方程的化简”、“二次曲线形状的判定”和文末“二次型的线性规划”部分。
二次曲线方程的化简在本文，我们要对一文中的二次曲线方程略作修改。
二次曲线我们也可以表示为(a_1x+b_1y+c_1)(a_2x+b_2y+c_2)=\lambda为了使系数具有更好的对称性，我们将二次曲线的方程修改为Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0\ \ \ \ \ (*)我们期望能够将(*)化为标准方程，从而可以判定（*）代表的二次曲线的形状我们知道一次项影响的只是该曲线的中心所在的位置。
所以我们忽略一次项，先考虑二次项的问题。
对于曲线 Ax^2+2Bxy+Cy^2+F=0我们希望能够通过旋转来获得它的形状。
将坐标轴顺时针旋转角度 \theta则 \begin{cases} x=x_*\cos\theta-y_*\sin\theta\\y=x_*\sin\theta+y_*\cos\theta\end{cases}代入，得 x_*^2 的系数是(A\cos^2\theta+2B\sin\theta\cos\theta+C\sin^2\theta)x_*y_* 的系数是 (2C\sin\theta\cos\theta-2A\sin\theta\cos\theta+2B(\cos^2\theta-\sin^2\theta))y_*^2 的系数是 (A\sin^2\theta-2B\sin\theta\cos\theta+C\cos^2\theta)我们期望交叉项的系数2C\sin\theta\cos\theta-2A\sin\theta\cos\theta+2B(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=0也就是(C-A)\sin 2\theta+2B\cos2\theta=0即 \tan 2\theta=\frac{2B}{A-C}化简以后，即\tan^2\theta+\frac{A-C}{B}\tan \theta-1=0到这里，我们发现有两个不同的旋转角可以使我们消去交叉项。
二次型及其标准型
含有n个变量x1, x2 , , xn的二次齐次多项式
f (x1, x2, , xn ) a11x12 2a12 x1x2 2a13x1x3 2a1n x1xn
a22 x22 2a23x2x3 2a2n x2xn
a33x32 2a3n x3xn
阵B CT AC且r(A) r(B).
正交变换化二次型为标准形：
d1
问题1：标准形的矩阵 = ？
dn
问题2：将二次型化为标准形实际上是什么问题？
找可逆阵 C, 使CT AC 为对角阵.
问题3：二次型能否化为标准形？
能！因为任意实对称阵都与对角阵正交合同。
x y
x,
y
2 0
0 8
x y
2x2 8y2
启示
1. 二次齐次多项式可以写成矩阵形式，其矩阵的主对角元恰是 平方项系数，关于主对角线的对称元恰是交叉项的系数的一半 ；
2. 通过一正交变换就将二次齐次多项式化简成只含有平方项的标 准形.
二次型（quadratic form ）的定义
例 求一个正交变换x =Qy，， 化二次型为标准形
f x12 2x22 2x32 4x1x2 4x1x3 8x2 x3
解 二次型的矩阵
1 2 2 A 2 2 4
2 4 2
特征多项式
1 2
2
A E 2 2 4 ( 7)( 2)2
2 4 5
单位化
2
2 2
1 5
2 1 0
3
二次型及曲面
( x1 , x2 ,
a11 x1 a12 x2 a x a x 22 2 , xn ) 21 1 an1 x1 an 2 x2
( x1 , x2 ,
a11 x1 a12 x2 a x a x 22 2 , xn ) 21 1 an1 x1 an 2 x2
2 1 1 【解】 二次型的矩阵 A 1 2 1 ; 1 1 2 1 1 6 2 2 由例 2 知, 取正交阵 P 0 6 12 1 6
1 3 1 3 1 3
:
正交变换 x Py 化二次型 f ( x )为正交标准形
a b 【例 1】 将实对称阵 A 正交对角化. b a 【解】 矩阵 A 的特征多项式
| E A|
a
b
b [ (a b)][ ( a b)] a
特征值为 1 a b, 2 a b.
解方程组 (1 E A) x 0 和 (2 E A) x 0 得到对 应特征值 1 , 2 的特征向量: 1 1 x1 , x2 . 1 1 x1 , x2 是正交的, 现在令 1 1 2 2 1 1 x , x P , || x1 || 1 || x2 || 2 1 1 2 2
(b1 , , br 0), 2 2 cq z q cq 1 z q 1
T 1 T 1
由于 1 , 2 不同, 故[ x1 , x2] 0 , 从而 x1 , x2 正交.
【定理6. 1】 若 A 为 n 阶实对称阵 , 则存在一个正交 阵 P 使得 T P AP diag(1 , , n ), 这里的 1 , , n 为 A的特征值.
高等代数讲义ppt第五章二次型
二次型
§4 正定二次型
例题 1、 判别二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定。
2、 当 t 取什么值时，二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
z12 z22 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
1
1
0
0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
§3 唯一性
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次型
§3 唯一性
实数域上的二次型
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性
行列式
§1 n阶行列式的定义
例题 1、 化下列二次型为标准型
（1） f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 （2） f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1x3
2、 化二次型
n
f (x1, x2 ,, xn ) xi2 xi x j
1
1
1
1
0
0
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。
问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的 的实数 c1, c2 ,, cn 都有 f (c1, c2 ,, cn ) 0 。 定理：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2 是正定二次型 的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。
二次型及其应用
滨江学院毕业论文题目二次型及其应用院系滨江学院理学系专业信息与计算科学学生姓名刘峰学号***********指导教师吴亚娟职称副教授二Ｏ一四年五月十日目录引言 (1)1、二次型的相关定义和定理 (1)1.1二次型的定义 (1)2、二次型在初等数学中的应用 (2)2.1不等式证明 (2)2.2多项式的因式分解 (4)2.3判断二次曲线的形状 (6)3、二次型在几何方面的应用 (7)3.1求平面线图形的面积 (8)4、多元函数极值方面的应用 (9)4.1条件极值 (9)4.2无条件极值 (10)5、求多元函数积分方面的应用 (11)5.1二次型的正交变换 (11)5.1重积分的计算 (12)5.2求曲面积分 (13)6、结束语 (14)7、参考文献 (14)二次型及其应用刘峰南京信息工程队大学滨江学院理学系专业：信息与计算科学 学号：20102314014摘要: 二次型是高等代数学中的内容之一，研究二次型是现代科学技术的需求，目前二次型的研究理论物理力学、环境工程、科学技术中都有重要的作用，对二次型简单的研究必须先写好二次型的矩阵，同时运用矩阵的一些理论能更好的应用于社会生活中的一般例子，随着我们人类生产生活的不断进步，不断现代化，二次型的运用也是一项不可或缺的研究。
关键字：极值；几何 ；重积分；引 言二次型是高等代数学中的一个重点内容，它的理论在自然科学，环境工程、工程技术之中广泛的应用，求出问题的最大值与最小值，多项式的因式分解，判别二次曲线图形的形状和计算曲面图形的面积等等内容在代数学中占有重要的地位。
目前在许多相关书籍和教材的资料中，对二次型和它的一些的应用归纳的越来越详细，还有在其他领域中的应用也越来越广泛，比如在数学建模中的应用，在教学中的应用也越来越多。
本文主要探讨常见的二次型最值问题，不等式问题，曲面积分问题，重积分问题,等等一些应用。
1、二次型的相关定义和定理1．1、二次型的概念和定义在《高等代数》中涉及的一些相关理论设P 是一个数域,P a ij ∈,一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式：()212111121213131122222323222,,,22222n n nn n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =++++=+++++=+11n niji j i j ax x ===∑∑，称为数域P 上的一个n 元二次型,在不影响混淆时简称二次型。
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二次型判断曲线形状
引言
二次型是高中数学中的一个重要内容，它是一种特殊的多项式函数形式。
在解析几何和微积分等学科中，我们经常需要判断曲线的形状。
而二次型正是一个有力的工具，可以帮助我们判断曲线的类型和性质。
本文将介绍二次型的定义、性质以及如何通过二次型来判断曲线的形状。
我们将从基础知识开始，逐步深入，并给出详细的推导和实例分析。
一、二次型的定义与性质
1.1 定义
在代数学中，一个关于n个变量x1, x2, …, xn 的多项式函数称为n元二次型。
一般地，我们可以将n元二次型表示为：
Q(x) = a11x1^2 + a22x2^2 + … + annxn^2 + 2a12x1x2 + … + 2an-1nxn-1xn，
其中aij (i ≠ j) 是常数系数。
1.2 矩阵表示
我们可以使用矩阵来表示二次型。
对于一个n元二次型Q(x)，可以定义一个n×n 的实对称矩阵A：
A = [a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … an1 an2 … ann]，
其中aij (i ≠ j) 是常数系数。
1.3 性质
二次型具有以下性质：
•二次型的矩阵A是实对称矩阵；
•二次型的值域为实数集；
•对于任意非零向量x，Q(x) > 0，则称Q(x)为正定二次型；
•对于任意非零向量x，Q(x) < 0，则称Q(x)为负定二次型；
•对于任意非零向量x，Q(x) ≥ 0 或Q(x) ≤ 0，则称Q(x)为半正定或半负定二次型；
•对于任意非零向量x，若存在某个正数M，使得|Q(x)| ≤ M|x|^2，则称Q(x)为一致二次型。
二、曲线形状判断方法
通过分析二次型的符号和特征值，我们可以判断曲线的形状。
下面将介绍几种常见的曲线形状判断方法。
2.1 椭圆
对于一个二元二次型Q(x, y)，如果它是正定或半正定的，那么它所表示的曲线是一个椭圆。
具体判断方法如下：
1.计算该二次型对应的实对称矩阵A的特征值λ1和λ2；
2.若λ1 > 0 且λ2 > 0，则该二次型是正定的，曲线为椭圆；
3.若λ1 ≥ 0 且λ2 ≥ 0，则该二次型是半正定的，曲线为椭圆。
2.2 双曲线
对于一个二元二次型Q(x, y)，如果它是负定或半负定的，那么它所表示的曲线是一个双曲线。
具体判断方法如下：
1.计算该二次型对应的实对称矩阵A的特征值λ1和λ2；
2.若λ1 < 0 且λ2 < 0，则该二次型是负定的，曲线为双曲线；
3.若λ1 ≤ 0 且λ2 ≤ 0，则该二次型是半负定的，曲线为双曲线。
2.3 抛物线
对于一个二元二次型Q(x, y)，如果它既不是正定也不是负定，那么它所表示的曲线是一个抛物线。
具体判断方法如下：
1.计算该二次型对应的实对称矩阵A的特征值λ1和λ2；
2.若其中一个特征值为零，则该二次型不是正定也不是负定，曲线为抛物线。
2.4 圆
对于一个三元二次型Q(x, y, z)，如果它是正定或半正定的，那么它所表示的曲面是一个圆。
具体判断方法如下：
1.计算该二次型对应的实对称矩阵A的特征值λ1、λ2和λ3；
2.若λ1 > 0 且λ2 > 0 且λ3 > 0，则该二次型是正定的，曲面为圆；
3.若λ1 ≥ 0 且λ2 ≥ 0 且λ3 ≥ 0，则该二次型是半正定的，曲面为
圆。
2.5 双曲面
对于一个三元二次型Q(x, y, z)，如果它是负定或半负定的，那么它所表示的曲面是一个双曲面。
具体判断方法如下：
1.计算该二次型对应的实对称矩阵A的特征值λ1、λ2和λ3；
2.若其中有两个特征值异号，则该二次型是负定的，曲面为双曲面；
3.若其中有两个特征值非正，则该二次型是半负定的，曲面为双曲面。
2.6 抛物面
对于一个三元二次型Q(x, y, z)，如果它既不是正定也不是负定，那么它所表示
的曲面是一个抛物面。
具体判断方法如下：
1.计算该二次型对应的实对称矩阵A的特征值λ1、λ2和λ3；
2.若其中有一个特征值为零，则该二次型不是正定也不是负定，曲面为抛物面。
三、实例分析
为了更好地理解二次型判断曲线形状的方法，我们来看两个具体的实例。
3.1 实例一
考虑一个二元二次型Q(x, y) = 3x^2 + 2xy + y^2。
我们可以计算其对应的实对
称矩阵A：
A = [3 1 1 1]。
接下来，计算矩阵A的特征值λ1和λ2：
A - λI | = |3-λ 1| |1 1-λ|
(3-λ)(1-λ) - 1 = λ^2 -4λ +2 = (λ-2)^2 - 2
解得λ1 ≈ 3.732 和λ2 ≈ -0.732。
由于λ1 > 0 且λ2 < 0，所以该二次型是负定的，因此表示的曲线为双曲线。
3.2 实例二
考虑一个三元二次型Q(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 4xz - 4yz。
我们
可以计算其对应的实对称矩阵A：
A = [1 -1 -2 -1 1 -2 -2 -2 1]。
接下来，计算矩阵A的特征值λ1、λ2和λ3：
A - λI | = |1-λ -1 -2 | |-1 1-λ -2 | |-2 -2 1-λ |
(λ-3)(λ+3)(λ+3) + (λ+3)(λ+3) + (λ-3)(λ+3) = (λ-3)^2(λ+3) +
(λ+3)^2(5)
解得λ1 ≈ 6.416，λ2 ≈ 0.585，λ3 ≈ -9.001。
由于λ1 > 0，λ2 > 0，λ3 < 0，所以该二次型是负定的，因此表示的曲面为双曲面。
结论
通过分析二次型的符号和特征值，我们可以判断曲线或曲面的形状。
椭圆、双曲线、抛物线、圆、双曲面和抛物面都可以通过二次型来判断。
在实际问题中，我们可以利用这些方法来研究曲线或曲面的性质，从而更好地理解和应用数学知识。