高考数学复习全套课件(理) 第四章 第三节 平面向量的数量积及应用举例

已知|a|＝ ， ＝ ， 与 的夹角为 已知 ＝3，|b|＝4，a与b的夹角为 (1)(3a－2b)·(a－2b)； － － ； (2)|a＋b|. ＋ [思路点拨 思路点拨] 思路点拨
，求：
[课堂笔记 (1)a·b＝|a|·|b|·cos 课堂笔记] 课堂笔记 ＝ ＝3×4×(－ × ×－ )＝－ ＝－6 ＝－ ，
a2＝32＝9，b2＝16， ， ， ∴(3a－2b)·(a－2b)＝3a2－8a·b＋4b2 － － ＝ ＋ ＝3×9－8×(－6 × － ×－ )＋64＝91＋48 ＋ ＝ ＋ .
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 ＋ ＋ ＋ ＝9＋2×(－6 ＋ ×－ ∴|a＋b|＝ ＋ ＝ )＋16＝25－12 ＋ ＝ － .
(3)cos〈a，b〉＝ 〈 ， 〉
4．向量数量积的坐标表示 ． 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ＝ ， ＝ ， (1)a·b＝ (1)a·b＝ x1x2＋y1y2 ； (2)a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0 ； ⊥ ⇔ (3)|a|＝ ＝ (4)cos〈a，b〉＝ 〈 ， 〉 ； .
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量 ．能运用数量积表示两个向量的夹角， 积判断两个平面向量的垂直关系． 积判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． ．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一 ． 些实际问题． 些实际问题．
1．向量数量积的概念 ． 〈 ， 〉 (1)向量的数量积：a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉 向量的数量积： ＝ 向量的数量积 ． (2)向量的投影：|b|cos〈a，b〉即 向量的投影： 向量的投影 〈 ， 〉 向上的 投影 ． (3)向量数量积的几何意义：两向量的数量积等于其中一 向量数量积的几何意义： 向量数量积的几何意义 个向量的长度与另一个向量在这个向量方向上的投影 的乘积． 的乘积． 叫做b在a的方 叫做 在 的方
，－14)·(－1，－ ，－6) ∴(3a－2b)·(a－2b)＝(5，－ － － ＝ ，－ － ，－ ＝5×(－1)＋(－14)×(－6) ×－ ＋－ ×－ ＝－5＋84 ＝－ ＋ ＝79. (2)∵a＋b＝(3，－ ＋(2,1)＝(5，－ ， ∵ ＋ ＝ ，－ ，－4)＋ ，－3)， ＝ ，－ ∴|a＋b|＝ ＋ ＝
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2．体会平面向量的数量积与向量射影的关系． ．体会平面向量的数量积与向量射影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 ．掌握数量积的坐标表达式， 积的运算． 积的运算．
证明： 解：(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB， 证明 ∥ ， ＝ ， 即a· ∴a＝b. ＝ 为等腰三角形. ∴△ABC为等腰三角形 为等腰三角形 (2)由题意可知 由题意可知m·p＝0， 由题意可知 ＝ ， 即a(b－2)＋b(a－2)＝0. － ＋ － ＝ ∴a＋b＝ab. ＋ ＝ ＝b· 是三角形ABC外接圆半径， 外接圆半径， ，其中R是三角形 其中 是三角形 外接圆半径
【解】
(1)因为 ∥b，所以 因为a∥ ，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是 因为 ＝ － ， ┄┄┄┄(4分 ┄┄┄┄ 分)
4sinθ＝cosθ，故tanθ＝ ＝ ， ＝
(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5， 由 ＝ 知 ＋ － ， θ＋ θ＝ 所以1－ 所以 －2sin2θ＋4sin2θ＝5. 从而－ ＝－1， 从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－ ，于是 ＋ － ＝ ， ＋ ＝－ sin(2θ＋ ＋ )＝ ＝ .┄┄┄┄┄┄┄ 分) ┄┄┄┄┄┄┄(8分 ┄┄┄┄┄┄┄ ＜ ，所以2θ＋ 所以 ＋ .┄┄┄ 分) ┄┄┄(12分 ┄┄┄ ＝ ，或2θ
2．向量数量积的运算律 ． (1)交换律：a·b＝ b·a ； 交换律： ＝ 交换律 ∈ (2)结合律：(λa)·b＝ λ(a·b)(λ∈R) 结合律： 结合律 ＝ ＋ (3)分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . 分配律： ＋ 分配律 ＝ ；
3．向量数量积的性质 ． (1)a⊥b⇔a·b＝0 ； ⊥ ⇔ ＝ (2)|a|＝ ＝ ； (0°≤〈a，b〉≤180°)． ° 〈 ， 〉 °．
4.已知向量 ＝(3,2)，b＝(－2,1)，则向量 在b方向上的 已知向量a＝ 已知向量 ， ＝－ ，则向量a在 方向上的 投影为 .
解析： 解析：设向量 a与b的夹角为 θ 与 的夹角为 ∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉， ＝ 〈 ， 〉 ∴|a|cos〈a，b〉＝ 〈 ， 〉
答案： 答案：
若将例题已知条件改为“已知 ＝ ，－ ，－4)， ＝ 若将例题已知条件改为 已知a＝(3，－ ，b＝(2,1)”， 已知 ， 试解决上述问题. 试解决上述问题 解：(1)∵a＝(3，－ ，b＝(2,1)， ，－4)， ＝ ∵ ＝ ，－ ， ，－12)－ ，－14)， ∴3a－2b＝(9，－ －(4,2)＝(5，－ ， － ＝ ，－ ＝ ，－ a－2b＝(3，－ －(4,2)＝(－1，－ － ＝ ，－ ，－4)－ ，－6). ＝ － ，－
1.已知 ＝(1，－ ，b＝(5,8)，c＝(2,3)，则a·(b·c)＝( 已知a＝ ，－ ，－2)， ＝ 已知 ， ＝ ， ＝ A.34 C.－68 － B.(34，－ ，－68) ，－ D.(－34,68) －
)
解析： ，－2)× × ＋ × ＝ ，－ ，－68). 解析：a·(b·c)＝(1，－ ×(5×2＋8×3)＝(34，－ ＝ ，－ 答案： 答案：B
已知平面内A、 、 三点在同一条直线上 三点在同一条直线上， 已知平面内 、B、C三点在同一条直线上， (－2，m)， － ， ， ＝(n,1)， ， ，－1)， ＝(5，－ ，且 ，－
＝
，求
实数m， 的值 的值. 实数 ，n的值 [思路点拨 思路点拨] 思路点拨
[课堂笔记 由于 、A、B三点在同一条直线上， 则 课堂笔记] 由于C、 、 三点在同一条直线上 三点在同一条直线上， 课堂笔记 而 ，－1－ ， ＝(7，－ －m)， ，－ ＝(n＋2,1－m)， ＋ － ， ∴7(1－m)－(－1－m)(n＋2)＝0， － －－ － ＋ ＝ ， 又∵ 联立①②解得 联立①②解得 ①② ∴－2n＋m＝0， ＋ ＝ ， ① ②
已知a与 为不共线向量 为不共线向量， 的夹角为θ 已知 与b为不共线向量，且a与b的夹角为 ，则 与 的夹角为 (1)a·b＞0⇔0°＜θ＜90°； ＞ ⇔ ° ＜ ° (2)a·b＝0⇔ θ ＝90°； ＝ ⇔ ° (3)a·b＜0⇔90°＜ θ ＜180°. ＜ ⇔ ° ° [特别警示 在利用两向量的夹角公式判断夹角的取值范 特别警示] 特别警示 围时，要注意两向量是否共线 围时，要注意两向量是否共线.
3.已知 ＝1，|b|＝ 已知|a|＝ ， ＝ 已知 b的夹角是 的夹角是 A.30° ° C.90° °
，且a⊥(a－b)，则向量 与向量 ⊥ － ，则向量a与向量 ( B.45° ° D.135° ° )
解析：设向量 与 的夹角为 的夹角为θ， 解析：设向量a与b的夹角为 ， 由a⊥(a－b)，得 ⊥ － ， a·(a－b)＝0，即|a|2－a·b＝0， － ＝ ， ＝ ， ∴|a||b|cos θ ＝|a|2， ∴cos θ ＝ ∴ θ ＝45°. ° 答案： 答案：B
已知|a|＝ ， ＝ 已知 ＝1，a·b＝ 的夹角； 求：(1－ ＋ ＝
，
(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值 － 与 ＋ 的夹角的余弦值 的夹角的余弦值. [思路点拨] [思路点拨] 思路点拨
[课堂笔记 (1)∵(a－b)·(a＋b)＝ 课堂笔记] 课堂笔记 ∵ － ＋ ＝ ∴|a|2－|b|2＝ ，
5.若b＝(1,1)，a·b＝2，(a－b)2＝3，则|a|＝ 若 ＝ ， ＝ ， － ， ＝ 解析： 解析：∵(a－b)2＝3， － ， ∴|a|2＋|b|2－2a·b＝3， ＝ ， ∴|a|2＋2－4＝3， － ＝ ， ∴|a|2＝5， ， ∴|a|＝ ＝ 答案： 答案： .
.
1.向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式a·b＝ 向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式 ＝ 向量的数量积有两种计算方法 |a|·|b|cosθ来计算，二是利用a·b＝x1x2＋y1y2来计算， 来计算，二是利用 ＝ 来计算， 来计算 具体应用时可根据已知条件的特征来选择， 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注 意数量积运算律的应用. 意数量积运算律的应用 2.利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握 利用数量积求长度问题是数量积的重要应用， 利用数量积求长度问题是数量积的重要应用 此类问题的处理方法： 此类问题的处理方法： (1)|a|2＝a2＝a·a； ； (2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. ± ± ＋
2.平面向量 与b的夹角为 °，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋ 平面向量a与 的夹角为 的夹角为60° ＝ 平面向量 ， ＝ ， ＋ 2b|＝ ＝ A. C.4 B. D.12 ( )
解析： 解析：∵|a|＝2，∴|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2 ＝ ， ＋ ＋ ＋ ＝4＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12， ＋ × × × ° × ， ∴|a＋2b|＝ ＋ ＝ 答案： 答案：B .
1.证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行 证明线段平行问题，包括相似问题， 证明线段平行问题 (共线 的充要条件： 共线)的充要条件 共线 的充要条件： a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0). ∥ ⇔ ＝ ⇔ 2.证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件： 证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件： 证明垂直问题 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. ⊥ ⇔ ＝ ⇔