寒假作业(二十七) 小题限时保分练——大连一模试题节选(注意命题点分布)

寒假作业(二十七) 小题限时保分练——大连一模试题节选(注意命题点分布)(时间：40分钟 满分：80分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.i7＋3i＝( ) A.316－716i B.316＋716i C ．－316＋716i D ．－316－716i 解析：选Bi 7＋3i ＝i (7－3i )(7＋3i )(7－3i )＝316＋716i. 2．已知集合A ＝{x |(2x －5)(x ＋3)>0}，B ＝{1,2,3,4,5}，则(∁R A )∩B ＝( ) A ．{1,2,3} B ．{2,3} C ．{1,2}D ．{1}解析：选C 根据题意，由(2x －5)(x ＋3)＞0，得x ＜－3或x ＞52，即A ＝{x |(2x －5)(x ＋3)＞0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＜－3或x ＞52，则∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －3≤x ≤52，又由B ＝{1,2,3,4,5}，得(∁R A )∩B ＝{1,2}．3．某公司为了解该公司800名员工参加运动的情况，对公司员工半年来的运动时间进行统计得到如图所示的频率分布直方图，则运动时间超过100小时的员工有( )A ．360人B ．480人C ．600人D ．240人解析：选B 根据频率分布直方图，运动时间超过100小时的频率是(0.016＋0.008)×25＝0.6，所求的频数为800×0.6＝480(人)．4．《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其主体部分的三视图如图所示，则该量器的容积为( )A ．252B ．189C ．126D ．63解析：选A 由三视图，可得直观图为长、宽、高分别为12,7,3的长方体，体积为12×7×3＝252，故选A.5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝－11π24B ．x ＝π8C ．x ＝π4D ．x ＝11π24解析：选D 对于函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3，令4x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，求得x ＝k π4＋5π24，k ∈Z ，故函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象的对称轴方程为x ＝k π4＋5π24，k ∈Z ，令k ＝1，可得函数的一条对称轴方程为x ＝11π24.6．已知单位向量a 与b 的夹角为120°，则|a －3b |＝( ) A. 3B ．2 3C.13D.15解析：选C 由题得，a ·b ＝1×1×cos 120°＝－12，∴(a －3b )2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝1＋3＋9＝13，∴|a －3b |＝13.7．已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若log 2a 3＋log 2a 7＝2，则T 9的值为( ) A ．±512 B ．512 C ．±1 024D ．1 024 解析：选B 由log 2a 3＋log 2a 7＝2，可得log 2(a 3a 7)＝2，即a 3a 7＝4，则a 5＝2或a 5＝－2(负值舍去)，所以等比数列{a n }的前9项积T 9＝a 1a 2·…·a 8a 9＝(a 5)9＝512.8．运行如图所示的程序框图，若输出的k 的值为13，则判断框中可以填( )A ．m ＞7?B ．m ≥7?C ．m ＞8?D ．m ＞9?解析：选A 由程序框图知n ＝2m ，k ＝2m －1，∵输出的k 的值为13，∴k ＝2m －1＝13，解得m ＝7，∴判断框中可以填“m ＞7？”，故选A.9．已知过原点的直线l 1与直线l 2：x ＋3y ＋1＝0垂直，圆C 的方程为x 2＋y 2－2ax －2ay ＝1－2a 2(a ＞0)，若直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，则当△CMN 的面积最大时，圆心C 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫52，52 B.⎝⎛⎭⎫32，32C.⎝⎛⎭⎫12，12D ．(1,1)解析：选A 由题意，直线l 1的方程为3x －y ＝0，圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝1，圆心坐标为(a ，a )，半径为1，而S △CMN ＝12×CM ×CN ×sin ∠MCN ＝12sin ∠MCN ，则当∠MCN ＝90°，即CM ⊥CN 时，△CMN 的面积最大，此时圆心C 到直线l 1的距离为|3a －a |9＋1＝22，∵a ＞0，∴a ＝52，∴圆心C 的坐标为⎝⎛⎭⎫52，52. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，－2≤x ≤0，f (x －1)＋1，0<x ≤2，则关于x 的方程x －f (x )＝0在[－2,2]上的根的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B ①当－2≤x ≤0时，令f (x )＝x 得x 2＋2x ＝x ，解得x ＝0或x ＝－1. ②当x ∈(0,1]时，f (x )＝f (x －1)＋1＝(x －1)2＋2(x －1)＋1＝x 2，令f (x )＝x 得x 2＝x ，解得x ＝0(舍)或x ＝1.③当x ∈(1,2]时，f (x )＝f (x －1)＋1＝f (x －2)＋2＝(x －2)2＋2(x －2)＋2＝x 2－2x ＋2，令f (x )＝x 得x 2－2x ＋2＝x ，解得x ＝1(舍)或x ＝2.综上，方程x －f (x )＝0在[－2,2]上有4个根．11．已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，l 1，l 2为C 的两条渐近线，点A 在l 1上，且FA ⊥l 1，点B 在l 2上，且FB ∥l 1，若|FA |＝45|FB |，则双曲线C 的离心率为( )A.52或 5B.52或352C.52D. 5 解析：选A 由题意，l 1：y ＝b a x ，l 2：y ＝－ba x ，F (c,0)．∴|FA |＝bc a b 2a 2＋1＝b .FB 的方程为y ＝ba (x －c )， 与l 2：y ＝－ba x 联立，可得B ⎝⎛⎭⎫c 2，－bc 2a ， ∴|FB |＝⎝⎛⎭⎫c 2－c 2＋b 2c 24a 2＝c 22a，∵|FA |＝45|FB |，∴b ＝45·c 22a ，∴2c 2＝5ab ，∴4c 4＝25a 2(c 2－a 2)，∴4e 4－25e 2＋25＝0， 解得e ＝52或 5. 12．已知函数f (x )＝x e x －m2x 2－mx (m >0)，则函数f (x )在[1,2]上的最小值不可能为( )A ．e －32mB ．－12m ln 2mC ．2e 2－4mD ．e 2－2m解析：选D f ′(x )＝e x ＋x e x －m (x ＋1)＝(x ＋1)(e x －m )，令f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝ln m .①当ln m ≤－1，即m ≤1e 时，由x ∈[1,2]可得f ′(x )>0，此时f (x )单调递增，∴当x ＝1时，函数f (x )取得最小值f (1)＝e －32m ；②当－1<ln m ≤1，即1e <m ≤e 时，由x ∈[1,2]可得f ′(x )>0，此时f (x )单调递增，∴当x＝1时，函数f (x )取得最小值f (1)＝e －32m ；③当1<ln m <2，即e<m <e 2时，由x ∈[1,2]可知，当1≤x <ln m 时，f ′(x )<0，当ln m <x ≤ 2时，f ′(x )>0，即函数f (x )在[1，ln m )上递减，在(ln m,2]上递增，∴当x ＝ln m 时，函数f (x )取得极小值(即最小值)f (ln m )＝－m2ln 2m ；④当ln m ≥2，即m ≥e 2时，由x ∈[1,2]可知f ′(x )≤0，此时函数f (x )单调递减，∴当x ＝2时，函数f (x )取得最小值f (2)＝2e 2－4m .综上所述，函数f (x )在[1,2]上的最小值不可能为e 2－2m ，故选D. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分) 13．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥3，x ＋2y ≥6，x ≤8，则z ＝x －2y 的最小值为________．解析：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z ，平移直线y ＝12x －12z ，可知当直线y ＝12x －12z 过点B 时，直线y ＝12x －12z 在y 轴上的截距最大，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝3，x ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝5，即B (8,5)， 代入目标函数得z ＝8－2×5＝－2，即z ＝x －2y 的最小值为－2. 答案：－214．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若3，a 7，a 5也成等差数列，则S 17＝________. 解析：∵3，a 7，a 5成等差数列，∴2a 7＝3＋a 5，即2(a 1＋6d )＝3＋(a 1＋4d )，a 1＋8d ＝3.则S 17＝17a 1＋17×162d ＝17(a 1＋8d )＝51. 答案：5115．从1,2,3,4,5这5个数字中随机抽取3个，则所抽取的数字中有且仅有1个数能被2整除的概率为________．解析：从1,2,3,4,5这5个数字中随机抽取3个，基本事件总数n ＝10，所抽取的数字中有且仅有1个数能被2整除包含的基本事件有：123,125,134,145,235,345，共6个，∴所抽取的数字中有且仅有1个数能被2整除的概率为P ＝610＝35. 答案：3516.如图所示，三棱锥P -ABC 中，△ABC 是边长为3的等边三角形，D 是线段AB 的中点，DE ∩PB ＝E ，且DE ⊥AB ，若∠EDC ＝120°，PA ＝32，PB ＝332，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为________． 解析：∵△ABC 为等边三角形，D 为AB 中点，∴CD ⊥AB . 由⎩⎪⎨⎪⎧AB ⊥DE ，AB ⊥DC ，DE ∩DC ＝D ，知AD ⊥平面DEC ，∵AD ⊂平面PAB ，AD ⊂平面ABC ，∴平面PAB ⊥平面DEC ，平面ABC ⊥平面DEC ，在CD上取点O1，使O1为等边三角形ABC的中心，由题可得，PA2＋PB2＝AB2，则AP⊥BP，△PAB为直角三角形，∵D为Rt△PAB的斜边中点，∴在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O1作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心．∵∠EDO＝90°，∴∠ODO1＝30°，∵DO1＝13CD＝32，∴OO1＝12，又CO1＝23CD＝3，∴三棱锥P-ABC的外接球的半径R＝OO21＋CO21＝132，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4πR2＝13π.答案：13π。