公式法(一)_2.PPT课件
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《公式法》PPT课件(人教版)
相等的实数根.
例（ 2 4）x2 17 8x
解：原方程可化为x2 8x 17 0
a 1,b 8,c 17
这里的a、 b、c的值 分别是什
么？
△ b2 4ac (8)2 4117 4＜0
∴方程无实数根。
结论：当 △ b2 4ac＜0 时，一元二次方程没有 实数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
由上可知当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程 无实数根。
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当 时，方程有 实数根吗
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
学习是件很愉快的事
公式法
a 5, b 4, c 1
这里的a、b、 c的值分别是
什么？
△ b2 4ac (4)2 4 5 (1) 36＞0
则：方程有两个不相等的实数根
b b2 4ac (4) 36 4 6
x
2a
25
10
即结：论x1：当4106△1b, x2 24a4c1＞060 时 ，15一元二次方程有两个不
4
3 3x2 6x 2 0; 4 4x2 6x 0; 5 x2 4x 8 4x 11 ; 6 x2x 4 5 8x.
解：（1）
2 x2 3x 1 0
4
解：
3 3x2 6x 2 0
解：
4 4x2 6x 0
解：
5 x2 4x 8 4x 11
1. 将方程化成一般情势，并写出a，b，c 的值。
2. 求出 ∆ 的值。 3. (a)当 ∆ >0 时，代入求根公式 : x b b2 4ac
例（ 2 4）x2 17 8x
解：原方程可化为x2 8x 17 0
a 1,b 8,c 17
这里的a、 b、c的值 分别是什
么？
△ b2 4ac (8)2 4117 4＜0
∴方程无实数根。
结论：当 △ b2 4ac＜0 时，一元二次方程没有 实数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
由上可知当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程 无实数根。
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当 时，方程有 实数根吗
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
学习是件很愉快的事
公式法
a 5, b 4, c 1
这里的a、b、 c的值分别是
什么？
△ b2 4ac (4)2 4 5 (1) 36＞0
则：方程有两个不相等的实数根
b b2 4ac (4) 36 4 6
x
2a
25
10
即结：论x1：当4106△1b, x2 24a4c1＞060 时 ，15一元二次方程有两个不
4
3 3x2 6x 2 0; 4 4x2 6x 0; 5 x2 4x 8 4x 11 ; 6 x2x 4 5 8x.
解：（1）
2 x2 3x 1 0
4
解：
3 3x2 6x 2 0
解：
4 4x2 6x 0
解：
5 x2 4x 8 4x 11
1. 将方程化成一般情势，并写出a，b，c 的值。
2. 求出 ∆ 的值。 3. (a)当 ∆ >0 时，代入求根公式 : x b b2 4ac
公式法PPT课件(北师大版)
2
2 92 − 4 2
4 −4 +16
3. 已知 + 2 = 3， 2 -4 2 =-15,求 − 2，，的值.
同学们，再见！
课题：公式法——平方差公式
复习引入
问题：什么叫因式分解?
把一个多项式化成几个整式的积的情势，这样的变
形叫做因式分解.
问题：我们已学过哪一种分解因式的方法?
提公因式法
复习引入
问题：整式乘法中的平方差公式是什么？
平方差公式：
(a+b)(a－b)=a2－b2
整式乘法
(a+b)(a－b) =a2－b2
a2－b2 =(a+b)(a－b)
－ =( + )( − )
公式左边：1.多项式有两项；
2.这两项异号；
3.两项是平方差.
公式右边： 两个数的和与两个数的差的乘积的情势。
练习：判断下列各式能否用平方差公式因式分解？
(1)
m 81
2
(2) 1 16b 2
√
=2 − 92
√
=12 − (4)2
×
不能转化为平方差情势
3.两项是平方差.
注：公式中的字母a，b可以代表数、字母，也可以代
表一个式子；分解因式时要把式子看作一个整体.
（整体思想）
归纳总结
۞2.利用平方差公式分解因式的步骤：
（1）若多项式中有公因式，应先提取公因式；
（2）剩余因式若有两项、异号，两项是平方差，
则用平方差公式继续分解因式；
۞3.分解因式一定要分解到每个因式都不能再分
=( + 1)( − 1)
先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用平方差公式
公式法ppt课件
=36y - x
2
2
=(6y+ x)(6y- x).
(3)(2a-3b)2-16b2
=(2a-3b+4b)(2a-3b-4b)
=(2a+b)(2a-7b).
2
2
(3)(2a-3b) -16b .
提公因式法与平方差公式因式分解的综合应用
[例2-1] 把下列各式因式分解:
(1)a3-9a;
2
2
A.x +2x-1
B.x -x
2
C.x +xy+y
2
2
D.64+x -16x
2.若9x2+2mx+4是完全平方式,则m的值为( C )
A.6 B.±3
C.±6 D.12
3.已知正方形的面积是(x 2 -8x+16) cm 2 (x<4 cm),则正方形的边长是
(4-x) cm.
4.若2a-3b=6,ab=7,则代数式4a3b-12a2b2+9ab3的值为 252 .
3
第1课时
公式法
用平方差公式因式分解
用平方差公式因式分解
把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来,就得到a2-b2=(a+b)(a-b),利用公
2
2
式 a -b =(a+b)(a-b) 可以把a2-b2因式分解.
[例1-1] 把下列各式因式分解:
(1)4a2-9b2;
解:(1)4a2-9b2
B.b(a-b)2
C.(ab+b)(a-b)
D.b(a+b)(a-b)
《公式法》优质ppt课件
a 2 + 2 a b + b 2 = （ a + b ） 2 a 2 - 2 a b + b 2 = （ a - b ） 2 （1）完全平方式的结构特征是什么？ （2）两个平方项的符号有什么特点？ （3）中间的一项是什么形式？
《公式法》优质实用课件（PPT优秀课 件）
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例6 分解因式： （1）3 a x 2 + 6 a x y + 3 a y 2 ； （ 2）（ a + b ） 2 - 1 （ 2 a + b ） + 3 6 ．
解：（1） 3 a x 2 + 6 a x y + 3 a y 2 = 3 （a x 2 + 2 x y + y 2） = 3 （a x y）2；
a 2 2 a b + b 2 = （ a b ） 2
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理解完全平方式
我们把 a2+2ab+b和2 a2-2ab这+b样2 的式子叫做完 全平方式．
利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式 因式分解．
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理解完全平方式
a 2 + 2 a b + b 2 = （ a + b ） 2 a 2 - 2 a b + b 2 = （ a - b ） 2 完全平方式必须是三项式，其中两项为平方项，并 且两个平方项的符号同为正，中间项是首尾两项乘积的 二倍，符号不限．
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例6 分解因式： （1）3 a x 2 + 6 a x y + 3 a y 2 ； （ 2）（ a + b ） 2 - 1 （ 2 a + b ） + 3 6 ．
解：（1） 3 a x 2 + 6 a x y + 3 a y 2 = 3 （a x 2 + 2 x y + y 2） = 3 （a x y）2；
a 2 2 a b + b 2 = （ a b ） 2
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理解完全平方式
我们把 a2+2ab+b和2 a2-2ab这+b样2 的式子叫做完 全平方式．
利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式 因式分解．
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理解完全平方式
a 2 + 2 a b + b 2 = （ a + b ） 2 a 2 - 2 a b + b 2 = （ a - b ） 2 完全平方式必须是三项式，其中两项为平方项，并 且两个平方项的符号同为正，中间项是首尾两项乘积的 二倍，符号不限．
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公式法ppt课件
度。
数值稳定
在推导和求解公式时，要注意 数值的稳定性，防止计算过程
中的误差积累。
自适应算法
根据问题的特性，设计自适应 的算法，以更好地求解问题。
03
公式法的实际应用
公式法在科学计算中的应用
数学建模
公式法在科学计算中常用于建立 数学模型，通过公式表达自然规 律和现象，为科学研究提供基础
。
物理定律表达
衍生品定价涉及复杂的数学模型 ，公式法为衍生品定价提供了有
效的解决方案。
风险管理
风险管理需要利用公式法进行量 化分析和预测，以识别和降低潜
在风险。
04
公式法的优缺点分析
公式法的优点
明确性
公式法通过明确的数学公式和符号， 能够精确地表达复杂的概念和关系， 避免歧义和误解。
简洁性
公式法通常以简洁的形式呈现，能够 快速传达核心信息，提高信息传递效 率。
控制系统设计涉及数学模型的建立和 优化，公式法在此过程中发挥了重要 作用。
流体动力学计算
在航空、航海和流体机械等领域，公 式法用于计算流体动力学参数，如压 力、速度和阻力等。
公式法在金融分析中的应用
投资组合优化
金融分析中，投资组合优化需要 利用公式法进行风险评估和资产
配置，以实现收益最大化。
衍生品定价
可复制性
公式法具有高度的可复制性，方便在 不同场合和情境下重复使用，提高工 作效率。
科学性
公式法基于数学原理和逻辑推理，具 有高度的科学性和严谨性，能够客观 地反映事物的本质和规律。
公式法的缺点
技术门槛高
适用范围有限
公式法需要使用者具备一定的数学基础和 公式推导能力，技术门槛较高，不易被广 泛掌握。
数值稳定
在推导和求解公式时，要注意 数值的稳定性，防止计算过程
中的误差积累。
自适应算法
根据问题的特性，设计自适应 的算法，以更好地求解问题。
03
公式法的实际应用
公式法在科学计算中的应用
数学建模
公式法在科学计算中常用于建立 数学模型，通过公式表达自然规 律和现象，为科学研究提供基础
。
物理定律表达
衍生品定价涉及复杂的数学模型 ，公式法为衍生品定价提供了有
效的解决方案。
风险管理
风险管理需要利用公式法进行量 化分析和预测，以识别和降低潜
在风险。
04
公式法的优缺点分析
公式法的优点
明确性
公式法通过明确的数学公式和符号， 能够精确地表达复杂的概念和关系， 避免歧义和误解。
简洁性
公式法通常以简洁的形式呈现，能够 快速传达核心信息，提高信息传递效 率。
控制系统设计涉及数学模型的建立和 优化，公式法在此过程中发挥了重要 作用。
流体动力学计算
在航空、航海和流体机械等领域，公 式法用于计算流体动力学参数，如压 力、速度和阻力等。
公式法在金融分析中的应用
投资组合优化
金融分析中，投资组合优化需要 利用公式法进行风险评估和资产
配置，以实现收益最大化。
衍生品定价
可复制性
公式法具有高度的可复制性，方便在 不同场合和情境下重复使用，提高工 作效率。
科学性
公式法基于数学原理和逻辑推理，具 有高度的科学性和严谨性，能够客观 地反映事物的本质和规律。
公式法的缺点
技术门槛高
适用范围有限
公式法需要使用者具备一定的数学基础和 公式推导能力，技术门槛较高，不易被广 泛掌握。
公式法—完全平方公式 ppt课件
首2 2首尾 尾2
口诀： “首” 平方, “尾” 平方, “首” “尾”两倍中间放.
典例精析 例4 把下列各式因式分解 （1）3ax2＋6axy＋3ay2 解：(1)原式=3a(x2 ＋2xy ＋y2)
= 3a(x＋y) 2
若多项式中有公因式，应 先提取公因式，然后再进
一步分解因式。
（2） -x2-4y2＋4xy 解：(2)原式=-（x2+4y2-4xy ）
当堂检测
1、下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( D )
A．x2＋x＋1
B．x2＋2x－1
C．x2－1
D．x2－6x＋9
2、已知4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值为( D )
A．8
B．±8
C．24
D．±24
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是____1____． 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为____±__4_____ ．
归纳总结
完全平方式首末有两项能写成两个数或两个式子的平方的形式， 且符号相同，中间项为这两个数或两个式子积的2倍．
典例精析
例3 把下列完全平方式因式分解：
(1)x2＋14x＋49；
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
解：(1)x2＋14x＋49 ＝ x2＋2×7x＋72 ＝ (x＋7) 2 ；
乘法公式
①平方差公式 ②完全平方公式
新课讲授 把乘法公式 (a+b)2= a2+2ab+b2 ， (a-b)2=a2-2ab+b2 反过来，就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2 ， a2-2ab+b2=(a-b)2
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全平方式.
口诀： “首” 平方, “尾” 平方, “首” “尾”两倍中间放.
典例精析 例4 把下列各式因式分解 （1）3ax2＋6axy＋3ay2 解：(1)原式=3a(x2 ＋2xy ＋y2)
= 3a(x＋y) 2
若多项式中有公因式，应 先提取公因式，然后再进
一步分解因式。
（2） -x2-4y2＋4xy 解：(2)原式=-（x2+4y2-4xy ）
当堂检测
1、下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( D )
A．x2＋x＋1
B．x2＋2x－1
C．x2－1
D．x2－6x＋9
2、已知4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值为( D )
A．8
B．±8
C．24
D．±24
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是____1____． 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为____±__4_____ ．
归纳总结
完全平方式首末有两项能写成两个数或两个式子的平方的形式， 且符号相同，中间项为这两个数或两个式子积的2倍．
典例精析
例3 把下列完全平方式因式分解：
(1)x2＋14x＋49；
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
解：(1)x2＋14x＋49 ＝ x2＋2×7x＋72 ＝ (x＋7) 2 ；
乘法公式
①平方差公式 ②完全平方公式
新课讲授 把乘法公式 (a+b)2= a2+2ab+b2 ， (a-b)2=a2-2ab+b2 反过来，就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2 ， a2-2ab+b2=(a-b)2
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全平方式.
人教八年级数学上册《公式法》课件
公式法(1)
一、情景导入 问题情景1：
看谁算得最快：①982-22 ②已知x+y=4，x-y=2，则x2-y2=______
问题情景2： 你能将多项式x2-4与多项式y2-25分解因
式吗？这两个多项式有什么共同的特点吗?
这两个多项式都可写成两个数的 平方差的形式。
二、回顾与思考
1、什么叫因式分解？ 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这
整式乘法
因式分解两个数ຫໍສະໝຸດ 平方差,等于这两个数的和 与这两个数的差的积。
a2-b2 =(a+b)(a-b)
这就是用平方差公式进行因式分解。
四、应用新知，尝试练习
例1、因式分解（口答）： ① x2-4=_(_x_+_2_)(_x_-_2) ②9-t2=_(_3_+_t)_(_3_-t_)_
例2、下列多项式能用平方差公式因式分解吗？
例4 分解因式:
(1)x4-y4; (2) a3b – ab.
分析:(1)x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式,这样 就可以利用平方差公式进行因式分解了。
解:(1) x4-y4
(2) a3b-ab=ab(a2-1)
= (x2+y2)(x2-y2) = (x2+y2)(x+y)(x-y)
=ab(a+1)(a-1).
比如：①a3b – ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1) ②x(x-y)2-x=x[(x-y)2-1]=x(x-y+1)(x-y-1)
3、因式分解应分解到每一个因式都不能分解 为止。 比如：x3-x=x(x2-1)，做完了吗？
=x(x+1)(x-1)
一、情景导入 问题情景1：
看谁算得最快：①982-22 ②已知x+y=4，x-y=2，则x2-y2=______
问题情景2： 你能将多项式x2-4与多项式y2-25分解因
式吗？这两个多项式有什么共同的特点吗?
这两个多项式都可写成两个数的 平方差的形式。
二、回顾与思考
1、什么叫因式分解？ 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这
整式乘法
因式分解两个数ຫໍສະໝຸດ 平方差,等于这两个数的和 与这两个数的差的积。
a2-b2 =(a+b)(a-b)
这就是用平方差公式进行因式分解。
四、应用新知，尝试练习
例1、因式分解（口答）： ① x2-4=_(_x_+_2_)(_x_-_2) ②9-t2=_(_3_+_t)_(_3_-t_)_
例2、下列多项式能用平方差公式因式分解吗？
例4 分解因式:
(1)x4-y4; (2) a3b – ab.
分析:(1)x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式,这样 就可以利用平方差公式进行因式分解了。
解:(1) x4-y4
(2) a3b-ab=ab(a2-1)
= (x2+y2)(x2-y2) = (x2+y2)(x+y)(x-y)
=ab(a+1)(a-1).
比如：①a3b – ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1) ②x(x-y)2-x=x[(x-y)2-1]=x(x-y+1)(x-y-1)
3、因式分解应分解到每一个因式都不能分解 为止。 比如：x3-x=x(x2-1)，做完了吗？
=x(x+1)(x-1)
《公式法》因式分解PPT课件(第2课时)
B. + −
C. − +
D. − + +
D
）
课堂检测
基础巩固题
3.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
A . 11
B. 9
C. -11
)
B
D. -9
4.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
±8
课堂检测
∴＋＋＝(＋) ＝112＝121.
连接中考
（2020•眉山）已知 + = − − ，则 −
. 4
的值为
解析：由 +
得
+
= − − ，
− + + = ，
即 − + + + + = ，
∵ − = , = ，
∴原式=2.
巩固练习
变式训练
已知－＋－＋＝，求＋＋的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(－)＋(－)＝.
∵(－) ≥ ，(－) ≥ ，
∴－＝，－＝，∴＝，＝，
是.
巩固练习
变式训练
将前面例题的（2）（3）（4）变为完全平方式？
（2） + ²;
+ ² + ；
（3） + − ；
+ + ；
（4） + + .
+ + .
探究新知
知识点 2
用完全平方公式因式分解
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第四章 因式分解
4.3 公式法（一）
复习回顾
填空：
（1）（x+5）（x-5） = x 2–25；
（2）（3x+y）（3x-y）= 9x2 –2y ； （3）（3m+2n）（3m–2n）= 9m 2–4n2 ．
□－△ 2 2
它们的结果有什么共同特征？
(a b)(a b) a2 b2
尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：
பைடு நூலகம்
2.分解因式：
(1) 9 4x2 (2x 3)(2x 3)
(2)x2 y2 1 z 2 4
(xy 1 z)(xy 1 z)
2
2
(3)0.25q2 121p2 (0.5q 11p)(0.5q 11p)
(4) p4 1 ( p2 1)( p2 1) ( p2 1)( p 1)( p 1)
先确定a和b
2
2
落实基础
1.判断正误：
(1)x2 y2 (x y)(x y); （ × ）
(2)x2 y2 (x y)(x y); （ √ ）
(3) x2 y2 (x y)(x y);（ × ）
(4) x2 y2 (x y)(x y).（ × ）
a2和b2的符号相反
你知道992-1能否被100整除吗？
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
19
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
(3)4x3 9xy2 不信难不倒你！
解：原式 x(4x2 9y2 )
x(2x 3y)(2x 3y)
方法：
先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用 平方差公式分解因式。
结论： 分解因式的一般步骤：一提二套 多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。
巩固练习 1.把下列各式分解因式：
(1)(m a)2 (n b)2 (2)49(a b)2 16(a b)2 (3)(x2 y2 )2 4x2 y2 (4)3ax4 3ay4
整式乘法
a2 b2 (a b)(a b)
因式分解
整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。 这种分解因式的方法称为运用公式法。
议一议 说说平方差公式的特点
a2−b2= (a+b)(a−b)
①左边 两个数的平方差；只有两项
②右边 两数的和与差相乘
形象地表示为
□2－△2＝(□＋△)(□－△)
☆2－○2＝(☆＋○)(☆－○)
2.简便计算：
(1)5652 4352
(2)(65 1 )2 (34 1 )2
2
2
利用因式分解计算
联系拓广
例3.如图，在一块长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长 为b的正方形．用a 与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6， b=0.8时的面积．
解:a2-4b2
=(a+2b)(a-2b)cm2 当a=3.6，b=0.8时, 原式=(3.6+2×0.8) (3.6-2×0.8)
=5.2×2
=10.4cm2
问题解决
• 如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别 是R cm和r cm，求它们所围成的环形的面积。如果
R=8.45cm,r=3.45cm呢？ ( 3.14)
解: R2- r2 = (R+r)(R-r)cm2
当R=8.45，r=3.45时, 原式=(8.45+3.45) ×(8.45-3.45) ×3.14
Ø牛刀小试
练习：下列多项式可不可以用平方差公 式分解因式？
x2 y2× x2 y√2
x2 y×2 x2 ( y)√2
试一试 写一写
下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的形式吗？如果 能，请将其转化成（ ）２－（ ）２的形式。
(1) m2 －81 = m2 －92 (2) 1 －16b2 = 12－(4b)2 (3) 4m2+9 不能转化为平方差形式
分解因式需“彻底”！
能力提升
例2.分解(1因) 式4 ： (2m n)2 25
解：原式 ( 2 )2 (2m n)2 5
2 5
(2m
n)
2 5
(2m
n)
( 2 2m n)( 2 2m n)
5
5
把括号看作一个整体
(2)9(m n)2 (m n)2
3(m n)2 (m n)2
(4) a2x2 －25y 2 ＝ (ax)2 －(5y)2 (5) －x2 －25y2 不能转化为平方差形式
范例学习
(1)25 16x2
例1.分解因式：
(1)25 16x2 (2)9a2 1 b2
52 (4x)2
(3a)2 (14b)2
(5 4x)(5 4x)
2
(3a 1 b)(3a 1 b)
解：原式
3(m n) (m n)3(m n) (m n)
(4m 2n)(2m 4n) 4(2m n)(m 2n)
a 2 b 2 ( a b )( a b )
结论： 公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多 项式，只要被分解的多项式能转化成平方差 的形式，就能用平方差公式因式分解。
=186.83cm2
自主小结
从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式； （2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系； （3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；
作业
• 完成课本习题 • 拓展作业：
你能尝试运用今天所学的知识解决下面 的问题吗
x2 25 ___（__x_+_5_）__（_x_-_5_）________;
9x2 y2 _（__3_x_+_y_）__（__3_x_-y_）_______; 9m2 4n2 （__3_m_+_2_n_）__（__3_m_–_2_n_）____ .
探究新知
将多项式 a2 b2 进行因式分解 (a b)(a b) a2 b2
4.3 公式法（一）
复习回顾
填空：
（1）（x+5）（x-5） = x 2–25；
（2）（3x+y）（3x-y）= 9x2 –2y ； （3）（3m+2n）（3m–2n）= 9m 2–4n2 ．
□－△ 2 2
它们的结果有什么共同特征？
(a b)(a b) a2 b2
尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：
பைடு நூலகம்
2.分解因式：
(1) 9 4x2 (2x 3)(2x 3)
(2)x2 y2 1 z 2 4
(xy 1 z)(xy 1 z)
2
2
(3)0.25q2 121p2 (0.5q 11p)(0.5q 11p)
(4) p4 1 ( p2 1)( p2 1) ( p2 1)( p 1)( p 1)
先确定a和b
2
2
落实基础
1.判断正误：
(1)x2 y2 (x y)(x y); （ × ）
(2)x2 y2 (x y)(x y); （ √ ）
(3) x2 y2 (x y)(x y);（ × ）
(4) x2 y2 (x y)(x y).（ × ）
a2和b2的符号相反
你知道992-1能否被100整除吗？
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
19
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
(3)4x3 9xy2 不信难不倒你！
解：原式 x(4x2 9y2 )
x(2x 3y)(2x 3y)
方法：
先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用 平方差公式分解因式。
结论： 分解因式的一般步骤：一提二套 多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。
巩固练习 1.把下列各式分解因式：
(1)(m a)2 (n b)2 (2)49(a b)2 16(a b)2 (3)(x2 y2 )2 4x2 y2 (4)3ax4 3ay4
整式乘法
a2 b2 (a b)(a b)
因式分解
整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。 这种分解因式的方法称为运用公式法。
议一议 说说平方差公式的特点
a2−b2= (a+b)(a−b)
①左边 两个数的平方差；只有两项
②右边 两数的和与差相乘
形象地表示为
□2－△2＝(□＋△)(□－△)
☆2－○2＝(☆＋○)(☆－○)
2.简便计算：
(1)5652 4352
(2)(65 1 )2 (34 1 )2
2
2
利用因式分解计算
联系拓广
例3.如图，在一块长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长 为b的正方形．用a 与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6， b=0.8时的面积．
解:a2-4b2
=(a+2b)(a-2b)cm2 当a=3.6，b=0.8时, 原式=(3.6+2×0.8) (3.6-2×0.8)
=5.2×2
=10.4cm2
问题解决
• 如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别 是R cm和r cm，求它们所围成的环形的面积。如果
R=8.45cm,r=3.45cm呢？ ( 3.14)
解: R2- r2 = (R+r)(R-r)cm2
当R=8.45，r=3.45时, 原式=(8.45+3.45) ×(8.45-3.45) ×3.14
Ø牛刀小试
练习：下列多项式可不可以用平方差公 式分解因式？
x2 y2× x2 y√2
x2 y×2 x2 ( y)√2
试一试 写一写
下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的形式吗？如果 能，请将其转化成（ ）２－（ ）２的形式。
(1) m2 －81 = m2 －92 (2) 1 －16b2 = 12－(4b)2 (3) 4m2+9 不能转化为平方差形式
分解因式需“彻底”！
能力提升
例2.分解(1因) 式4 ： (2m n)2 25
解：原式 ( 2 )2 (2m n)2 5
2 5
(2m
n)
2 5
(2m
n)
( 2 2m n)( 2 2m n)
5
5
把括号看作一个整体
(2)9(m n)2 (m n)2
3(m n)2 (m n)2
(4) a2x2 －25y 2 ＝ (ax)2 －(5y)2 (5) －x2 －25y2 不能转化为平方差形式
范例学习
(1)25 16x2
例1.分解因式：
(1)25 16x2 (2)9a2 1 b2
52 (4x)2
(3a)2 (14b)2
(5 4x)(5 4x)
2
(3a 1 b)(3a 1 b)
解：原式
3(m n) (m n)3(m n) (m n)
(4m 2n)(2m 4n) 4(2m n)(m 2n)
a 2 b 2 ( a b )( a b )
结论： 公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多 项式，只要被分解的多项式能转化成平方差 的形式，就能用平方差公式因式分解。
=186.83cm2
自主小结
从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式； （2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系； （3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；
作业
• 完成课本习题 • 拓展作业：
你能尝试运用今天所学的知识解决下面 的问题吗
x2 25 ___（__x_+_5_）__（_x_-_5_）________;
9x2 y2 _（__3_x_+_y_）__（__3_x_-y_）_______; 9m2 4n2 （__3_m_+_2_n_）__（__3_m_–_2_n_）____ .
探究新知
将多项式 a2 b2 进行因式分解 (a b)(a b) a2 b2