物理竞赛光学试题
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P点光线的切线斜率 kp : k p tan b x
1 4qx d
bx
P(x, y) A
曲线 y = f(x)与斜率 kp： k dy p dx x 2 光线轨迹方程：y q
O
X
n0 A点的条件：nA sin 90 b A sin 和 sin b A n A sin sin 2 2 d 结论： y A 和 xA nA n0 sin 2 2 10 2n0 q 4n0 q
R
n
1 ic arcsin n
发光区
O
4
第二步：反射光的几何性质 考察任意一点 A 发出的 光线在球面上任意一点P 反 射后的光线
P 点的法线沿 PO 方向
P’
P
A
O
B B’
反射线、折射线、法线三者共面 因此反射光线一定在 APO 平面内，与发光面交点 B 在 AO 延长线上，即AO所在的直径上 A点发出的其它光线反射后都与 AO所在的直径相交
X
n0 sin 0 n sin
由初始条件 求出0:
n y n0 qy
sin 30 n0 sin 90 0
o o
ymax
n0 n 1
2 0
4
11
q
例5、图示三棱镜的顶角 ＝60o，在三棱镜两侧对称位置放置焦距
均为 f = 30cm的两个完全相同的凸透镜 L1和 L2，若在 L1 的前焦面
OF f
CC’曲线方程：
2
f x
2 2
2
y
C’
n' n x
n'2 y 2 2n' n n' fx 0
椭圆方程
n’ = - n’ 时：
y 2 4 fx
抛物型反射镜
3
例1 有一半导体发光管，发光区为半径为 r 的圆盘，发 光面上覆盖一折射率为 n、半径为 R 的半球型介质，如 图所示。问：要使发光区发出的全部光线在球面上不发 生全反射，介质半球的半径 R 至少应多大？（第11届全 国中学生物理竞赛题） 解： 第一步：全反射条件
sin iF sin FOP sin EOP r FP FP
iF
max
r arcsin R
max
EP FP
不发生全反射: iF
1 ic arcsin n
R nr
6
例2 图示一个盛有折射率为 n 的一体的槽，槽中的中部 扣着一个对称屋脊形的薄璧透明罩ADB,顶角为2q，罩内 为空气，整个罩子浸没在液体中，槽底 AB 的中点有一亮 点 C。 试求出：位于液体上方图示平面内的眼睛从侧面观 察可看到亮点的条件（液槽有足够的宽度；罩璧极薄，可 不计它对光线产生折射的影响） （第13届全国中学生物理竞赛予赛题） 解：
L1 i1 F f y S
i2 i3
b
L2 i4
n=?
S’
选取一条特征光线－－通过透镜光心的光线 几何关系：
i1 i4
i1 i2 b
i2 i3
i2 i3
计算得：
y tan b f
sin i1 n 1.65 sin i2
13
例7、两透镜组合系统如图，已知一个物经整个系统成 像位置和大小如图中所示。试用作图法求物经 L1 成像位 置与大小，作出 L1 及透镜组合系统的焦点位置（画出物 方或像方中的一个即可），说明 L1 和 L2 的凹凸性。
o
例4、 一个透明光学材料，折射率在 y 方向向两侧对称地 n 降低： y n0 qy ，在xoy 平面内有一光线以入射角 qo=30o 射向O点，求此光线能到达离 X 轴最远的距离。
解: 从上题可知，光线进入折射率非均匀介质后弯曲， 而且是倾向于向折射率大的方向偏折。
从图可知：光线 X 轴最远点 Y 为切线在水平方向时的切点处。 0 沿Y 方向分割成一系列薄层， O 应用折射定律。 q0
解：
n=1.5 45o
分析－－
AB经过棱境全反射后，再分别经L1和L2成像； 棱镜不仅起反射作用，两个直角面上的折射也必须考虑； 棱镜反射相当于反射镜，两次折射等效于平板玻璃的作用。
19
全反射条件 ： 1
iC arcsin
n
42o
A B 6cm
n=1.5
6cm
近轴成像 A A’ B B’ 45o
解：
物点P发出的光线1 L1 L2
通过 L1 光心；
的延长线通过像点P’；
像P’
物P
P”
光线1经过 L2 后的光线1’ 通过像点P’并经过 L2光心的光线2’ ； 在 L2 上对应于2’ 的入射光线为2 ； 1 和 2 交点是物点 P 经 L1 所成的中间像点；
2 1
2’ 1’
14
L1
L2
3’
3 2 F’ 像 物 F’ 1 1 2’ 1’
上距主光轴下方 y =14.3cm 处放一单色点光源 S，已知其像 S’ 与 S 对该光学系统时左右对称的，试求该三棱镜的折射率。(第19届全国
中学生物理预赛题）
解： F f y S
L1
L2
n=?
S’
分析：光路系统及物像左右对称，考虑到光线的可逆性原理，
因此在棱镜内部分的光线一定是平行于棱镜底边
12
A Y B
射定律求曲面法线方程的
方法，再结合已知条件，
O
X
f n n’
F
可求得CC’曲线方程。
用等光程原理求解本题更简单
C’
2
选取一条入射光线AB
和一条沿 X 轴入射
的光线; 等光程：
A
Y
C
B (x, y)
X O n n’
2
n AB n'BF n'OF
几何关系：
f
F
AB x
BF
L1
L2
l
6cm
棱镜的等效成像:
10cm
5cm f1=20cm f2=10cm
6cm
反射像
平板折射像A’B’
n 1 d 2cm A’B’与AB等高，在AB右侧 l
n
最后的像成在L2的焦点上，即L2左侧10cm处，像高2mm
20
作图 A’ A” F’2 B” L1 L2
B’ F1
21
中间像S”相对于O2的物距为 s2 S’相对于O2的像距: s2 ns d n
'
wenku.baidu.com' 1
d l 求解两次成像过程
ns d
n 1 d l s' s
1
S’相对于O1的像距: s ns d n d 例如 n=1.5，l= d/3
n
18
例10、长度为 h=4mm 的物体由图示的光学系统成像。光学系统由 一个直角棱镜、一个会聚透镜和一个发散透镜组成，各有关参数和 几何尺寸均标于图中。求：1）像的位置；2）像的大小，并作图说 明是实像还是虚像，是正立还是倒立的。 （第13届全国物理竞赛复赛 A B 题） 6cm L1 6cm 10cm 5cm f1=20cm f2=10cm L2
结果得证
1
例2、设曲面 S 是有曲线 CC’ 绕 X 轴旋转而成的。曲面两 侧的折射率分别为 n 和 n’，如果所有平行于X 轴的平行光 线经曲面折射后都相交于X 轴上一点 F，则曲面成为无像 差曲面，已知OF = f，求曲线所满足的方程。如果 n’ = - n’， C 结果如何？ 解： 分析－－解本题可用折
D
在液面上折射时，所 有光线都发生全反射时 ， 则光线出不来。 n
n’ = 1 A
q
C
B
7
全反射条件：g arcsin 1 C n 只要 g 的最小值小于临界角， 则总会有光线出来 三角几何关系
sin n sin b
D
F
q
b
E
g
n E点和F点法线的夹角 ＝ n’ = 1 DB和水平方向的夹角： A
g b
g 最小
2
q
b 最大
2
C
B
C点发出光线 CD的 最大
tan q n 1 1
max
2
q
8
例3： 一块平行平板，其厚度为 d，光线 从O点垂直入射， 若平板折射率按 n0 1 4qx 变化，q 为常数，并在 A 点以 角出射，求 光线轨迹、A 点的位置和平板的厚度。 Y 解： 介质折射率连续变化，可将平 板沿 X 方向切成一系列薄片，对 每层薄片应用折射定律。 d 折射定律决定光线在每一点的 方向，从而确定光线的轨迹； 折射定律的级联形式：
并且 s’A1 > s’A2
lR n 1.6 2aa l
17
例9、一块玻璃台板厚度为 d，折射率为 n，看到压在台板下的报 纸上的字相对于真实位置要上移一个距离 l，试求 l。 n
解：
S” S S’ O1 O2
n n' 分析－－利用公式 s s' S相对于O1的物距 为 s 其像S”相对于O1的像距 s1" ns
例1、证明：入射到光纤一端的光线锥的最大夹角为 证明：
arcsin n n
2 1
2 2
两次折射关系：
2 i1 n1 n2
i2
sin n1 cos i1 n1 sin i1 n2 sin i2
角越大，i1 越小，
n2 i1 必须大于临界角 i1 ic arcsin n 1
例11、在图示的费涅尔双棱镜实验中，已知狭缝光源S的波长为l、 棱镜折射率为n、棱角很小，设光源S到棱镜的距离为L1，（1）求 距棱镜L1处的屏上条纹的间距。（2）若用折射率为n’的肥皂膜遮住 棱镜的一半，发现条纹上下移动了a，求肥皂膜的厚度。 X 解： S1 S S2 L1 n L2 屏
Dx
物点 P 发出的水平光线经 L1 后与 P” 相交 确定 L1 的焦点 F1’ 出射光线 3’ 通过 P’ 与光轴相交于 F’ L1为负透镜，L2 为正透镜
15
例8、有一半径为R=0.128m的玻璃半球，过球心O并与其平面部 分相垂直的直线为其主轴，在主轴上沿主轴方向放置一细条形发 光体A1A2（如图示），其长度为l=0.020m。若人眼在主轴附近对 着平面部分向半球望去，可以看到条形发光体的两个不很亮的像 （此外可能还有亮度更暗的像不必考虑），当条形发光体在主轴 上前后移动时，这两个像也在主轴上跟着移动。现在调整条形发 光体的位置，使得它的两个像恰好头尾相接，连在一起，此时条 形发光体的近端A2距球心O的距离为a2=0.020m，试利用以上数据 求出此玻璃球的折射率 n（计算时只考虑近轴光线）。 解： 分析－－ O 两个像一为平面反射的像； 另一个为经过平面折射 A1 A2 球面反射 a2 n
分析－－采用等效的虚光源后，有类似于扬氏干涉的干涉条纹；
22
t
S1 d
X
q
O n L1
Dx
a
S S2
L2
屏
求等效光源S1和S2的间距d ： 棱镜角 很小 （1）条纹间距 Dx ： （2）肥皂膜厚度t ： 光程差的变化 偏向角 q n 1
d 2L1q 2L1 n 1
L1 L2 L1 L2 Dx l d 2 L1 n 1
n'1t
n'1t
l
a Dx
2 L1 n 1a t l L1 L2 n'1 23
例12、一块玻璃平板放置在边长为2cm的玻璃立方体上，两者之间 有一层平行的空气隙。波长在0.4mm到1.15um之间的电磁波初值垂 直入射到平板上，经空气隙两边表面反射而发生干涉。在此波段只 有两种波长获得极大增强，其一是l1=0.4mm。求空气隙的厚度。 (第3届国际奥林匹克题） 解： 下表面反射的光要比上表面反射的光多
O X
bx
A
nx n0 1 4qx
n0 n1 sin b1 nx sin b x nA sin b A
9
n0 n1 sin b1 nx sin b x nA sin b A P点光线的方向由bx 决定: nx n0 1 4qx n0 1 Y sin b x nx 1 4qx
R
平面折射
16
n n' n n' s s' r
注意点：半球的 r = -R 求光轴上一点A（在O左方a处）的A 经过三次所成的像，
n A1 A2 O A’2 A’1 A”2 A”1 a2 l
aR 计算可得，最后的像A’在O右边s’A处： s ' A 2na R
A 经平面反射的像 A” 在O右边 a 处，两 条形像头尾相接， A1’ 与A2” 重合 显然 s’A< a
5
第二步：数学推导 EO区内E点光线的入射角 iE最大，同样FO区内F点的 光线的入射角iF最大; R
E
O iE
P
iF
n
F
r 如果 P 点在右半边，则有 iF > iE , P 点在左边,则反之; 求 F点光线的最大入射角 sin OFP sin iF r R
sin iE sin EOP r EP
1 4qx d
bx
P(x, y) A
曲线 y = f(x)与斜率 kp： k dy p dx x 2 光线轨迹方程：y q
O
X
n0 A点的条件：nA sin 90 b A sin 和 sin b A n A sin sin 2 2 d 结论： y A 和 xA nA n0 sin 2 2 10 2n0 q 4n0 q
R
n
1 ic arcsin n
发光区
O
4
第二步：反射光的几何性质 考察任意一点 A 发出的 光线在球面上任意一点P 反 射后的光线
P 点的法线沿 PO 方向
P’
P
A
O
B B’
反射线、折射线、法线三者共面 因此反射光线一定在 APO 平面内，与发光面交点 B 在 AO 延长线上，即AO所在的直径上 A点发出的其它光线反射后都与 AO所在的直径相交
X
n0 sin 0 n sin
由初始条件 求出0:
n y n0 qy
sin 30 n0 sin 90 0
o o
ymax
n0 n 1
2 0
4
11
q
例5、图示三棱镜的顶角 ＝60o，在三棱镜两侧对称位置放置焦距
均为 f = 30cm的两个完全相同的凸透镜 L1和 L2，若在 L1 的前焦面
OF f
CC’曲线方程：
2
f x
2 2
2
y
C’
n' n x
n'2 y 2 2n' n n' fx 0
椭圆方程
n’ = - n’ 时：
y 2 4 fx
抛物型反射镜
3
例1 有一半导体发光管，发光区为半径为 r 的圆盘，发 光面上覆盖一折射率为 n、半径为 R 的半球型介质，如 图所示。问：要使发光区发出的全部光线在球面上不发 生全反射，介质半球的半径 R 至少应多大？（第11届全 国中学生物理竞赛题） 解： 第一步：全反射条件
sin iF sin FOP sin EOP r FP FP
iF
max
r arcsin R
max
EP FP
不发生全反射: iF
1 ic arcsin n
R nr
6
例2 图示一个盛有折射率为 n 的一体的槽，槽中的中部 扣着一个对称屋脊形的薄璧透明罩ADB,顶角为2q，罩内 为空气，整个罩子浸没在液体中，槽底 AB 的中点有一亮 点 C。 试求出：位于液体上方图示平面内的眼睛从侧面观 察可看到亮点的条件（液槽有足够的宽度；罩璧极薄，可 不计它对光线产生折射的影响） （第13届全国中学生物理竞赛予赛题） 解：
L1 i1 F f y S
i2 i3
b
L2 i4
n=?
S’
选取一条特征光线－－通过透镜光心的光线 几何关系：
i1 i4
i1 i2 b
i2 i3
i2 i3
计算得：
y tan b f
sin i1 n 1.65 sin i2
13
例7、两透镜组合系统如图，已知一个物经整个系统成 像位置和大小如图中所示。试用作图法求物经 L1 成像位 置与大小，作出 L1 及透镜组合系统的焦点位置（画出物 方或像方中的一个即可），说明 L1 和 L2 的凹凸性。
o
例4、 一个透明光学材料，折射率在 y 方向向两侧对称地 n 降低： y n0 qy ，在xoy 平面内有一光线以入射角 qo=30o 射向O点，求此光线能到达离 X 轴最远的距离。
解: 从上题可知，光线进入折射率非均匀介质后弯曲， 而且是倾向于向折射率大的方向偏折。
从图可知：光线 X 轴最远点 Y 为切线在水平方向时的切点处。 0 沿Y 方向分割成一系列薄层， O 应用折射定律。 q0
解：
n=1.5 45o
分析－－
AB经过棱境全反射后，再分别经L1和L2成像； 棱镜不仅起反射作用，两个直角面上的折射也必须考虑； 棱镜反射相当于反射镜，两次折射等效于平板玻璃的作用。
19
全反射条件 ： 1
iC arcsin
n
42o
A B 6cm
n=1.5
6cm
近轴成像 A A’ B B’ 45o
解：
物点P发出的光线1 L1 L2
通过 L1 光心；
的延长线通过像点P’；
像P’
物P
P”
光线1经过 L2 后的光线1’ 通过像点P’并经过 L2光心的光线2’ ； 在 L2 上对应于2’ 的入射光线为2 ； 1 和 2 交点是物点 P 经 L1 所成的中间像点；
2 1
2’ 1’
14
L1
L2
3’
3 2 F’ 像 物 F’ 1 1 2’ 1’
上距主光轴下方 y =14.3cm 处放一单色点光源 S，已知其像 S’ 与 S 对该光学系统时左右对称的，试求该三棱镜的折射率。(第19届全国
中学生物理预赛题）
解： F f y S
L1
L2
n=?
S’
分析：光路系统及物像左右对称，考虑到光线的可逆性原理，
因此在棱镜内部分的光线一定是平行于棱镜底边
12
A Y B
射定律求曲面法线方程的
方法，再结合已知条件，
O
X
f n n’
F
可求得CC’曲线方程。
用等光程原理求解本题更简单
C’
2
选取一条入射光线AB
和一条沿 X 轴入射
的光线; 等光程：
A
Y
C
B (x, y)
X O n n’
2
n AB n'BF n'OF
几何关系：
f
F
AB x
BF
L1
L2
l
6cm
棱镜的等效成像:
10cm
5cm f1=20cm f2=10cm
6cm
反射像
平板折射像A’B’
n 1 d 2cm A’B’与AB等高，在AB右侧 l
n
最后的像成在L2的焦点上，即L2左侧10cm处，像高2mm
20
作图 A’ A” F’2 B” L1 L2
B’ F1
21
中间像S”相对于O2的物距为 s2 S’相对于O2的像距: s2 ns d n
'
wenku.baidu.com' 1
d l 求解两次成像过程
ns d
n 1 d l s' s
1
S’相对于O1的像距: s ns d n d 例如 n=1.5，l= d/3
n
18
例10、长度为 h=4mm 的物体由图示的光学系统成像。光学系统由 一个直角棱镜、一个会聚透镜和一个发散透镜组成，各有关参数和 几何尺寸均标于图中。求：1）像的位置；2）像的大小，并作图说 明是实像还是虚像，是正立还是倒立的。 （第13届全国物理竞赛复赛 A B 题） 6cm L1 6cm 10cm 5cm f1=20cm f2=10cm L2
结果得证
1
例2、设曲面 S 是有曲线 CC’ 绕 X 轴旋转而成的。曲面两 侧的折射率分别为 n 和 n’，如果所有平行于X 轴的平行光 线经曲面折射后都相交于X 轴上一点 F，则曲面成为无像 差曲面，已知OF = f，求曲线所满足的方程。如果 n’ = - n’， C 结果如何？ 解： 分析－－解本题可用折
D
在液面上折射时，所 有光线都发生全反射时 ， 则光线出不来。 n
n’ = 1 A
q
C
B
7
全反射条件：g arcsin 1 C n 只要 g 的最小值小于临界角， 则总会有光线出来 三角几何关系
sin n sin b
D
F
q
b
E
g
n E点和F点法线的夹角 ＝ n’ = 1 DB和水平方向的夹角： A
g b
g 最小
2
q
b 最大
2
C
B
C点发出光线 CD的 最大
tan q n 1 1
max
2
q
8
例3： 一块平行平板，其厚度为 d，光线 从O点垂直入射， 若平板折射率按 n0 1 4qx 变化，q 为常数，并在 A 点以 角出射，求 光线轨迹、A 点的位置和平板的厚度。 Y 解： 介质折射率连续变化，可将平 板沿 X 方向切成一系列薄片，对 每层薄片应用折射定律。 d 折射定律决定光线在每一点的 方向，从而确定光线的轨迹； 折射定律的级联形式：
并且 s’A1 > s’A2
lR n 1.6 2aa l
17
例9、一块玻璃台板厚度为 d，折射率为 n，看到压在台板下的报 纸上的字相对于真实位置要上移一个距离 l，试求 l。 n
解：
S” S S’ O1 O2
n n' 分析－－利用公式 s s' S相对于O1的物距 为 s 其像S”相对于O1的像距 s1" ns
例1、证明：入射到光纤一端的光线锥的最大夹角为 证明：
arcsin n n
2 1
2 2
两次折射关系：
2 i1 n1 n2
i2
sin n1 cos i1 n1 sin i1 n2 sin i2
角越大，i1 越小，
n2 i1 必须大于临界角 i1 ic arcsin n 1
例11、在图示的费涅尔双棱镜实验中，已知狭缝光源S的波长为l、 棱镜折射率为n、棱角很小，设光源S到棱镜的距离为L1，（1）求 距棱镜L1处的屏上条纹的间距。（2）若用折射率为n’的肥皂膜遮住 棱镜的一半，发现条纹上下移动了a，求肥皂膜的厚度。 X 解： S1 S S2 L1 n L2 屏
Dx
物点 P 发出的水平光线经 L1 后与 P” 相交 确定 L1 的焦点 F1’ 出射光线 3’ 通过 P’ 与光轴相交于 F’ L1为负透镜，L2 为正透镜
15
例8、有一半径为R=0.128m的玻璃半球，过球心O并与其平面部 分相垂直的直线为其主轴，在主轴上沿主轴方向放置一细条形发 光体A1A2（如图示），其长度为l=0.020m。若人眼在主轴附近对 着平面部分向半球望去，可以看到条形发光体的两个不很亮的像 （此外可能还有亮度更暗的像不必考虑），当条形发光体在主轴 上前后移动时，这两个像也在主轴上跟着移动。现在调整条形发 光体的位置，使得它的两个像恰好头尾相接，连在一起，此时条 形发光体的近端A2距球心O的距离为a2=0.020m，试利用以上数据 求出此玻璃球的折射率 n（计算时只考虑近轴光线）。 解： 分析－－ O 两个像一为平面反射的像； 另一个为经过平面折射 A1 A2 球面反射 a2 n
分析－－采用等效的虚光源后，有类似于扬氏干涉的干涉条纹；
22
t
S1 d
X
q
O n L1
Dx
a
S S2
L2
屏
求等效光源S1和S2的间距d ： 棱镜角 很小 （1）条纹间距 Dx ： （2）肥皂膜厚度t ： 光程差的变化 偏向角 q n 1
d 2L1q 2L1 n 1
L1 L2 L1 L2 Dx l d 2 L1 n 1
n'1t
n'1t
l
a Dx
2 L1 n 1a t l L1 L2 n'1 23
例12、一块玻璃平板放置在边长为2cm的玻璃立方体上，两者之间 有一层平行的空气隙。波长在0.4mm到1.15um之间的电磁波初值垂 直入射到平板上，经空气隙两边表面反射而发生干涉。在此波段只 有两种波长获得极大增强，其一是l1=0.4mm。求空气隙的厚度。 (第3届国际奥林匹克题） 解： 下表面反射的光要比上表面反射的光多
O X
bx
A
nx n0 1 4qx
n0 n1 sin b1 nx sin b x nA sin b A
9
n0 n1 sin b1 nx sin b x nA sin b A P点光线的方向由bx 决定: nx n0 1 4qx n0 1 Y sin b x nx 1 4qx
R
平面折射
16
n n' n n' s s' r
注意点：半球的 r = -R 求光轴上一点A（在O左方a处）的A 经过三次所成的像，
n A1 A2 O A’2 A’1 A”2 A”1 a2 l
aR 计算可得，最后的像A’在O右边s’A处： s ' A 2na R
A 经平面反射的像 A” 在O右边 a 处，两 条形像头尾相接， A1’ 与A2” 重合 显然 s’A< a
5
第二步：数学推导 EO区内E点光线的入射角 iE最大，同样FO区内F点的 光线的入射角iF最大; R
E
O iE
P
iF
n
F
r 如果 P 点在右半边，则有 iF > iE , P 点在左边,则反之; 求 F点光线的最大入射角 sin OFP sin iF r R
sin iE sin EOP r EP