物理竞赛光学试题

BF
OF f
CC’曲线方程：
2
f x
2 2
2
y
C’
n' n x
n'2 y 2 2n' n n' fx 0
椭圆方程
n’ = - n’ 时：
y 2 4 fx
抛物型反射镜
3
例1 有一半导体发光管，发光区为半径为 r 的圆盘，发 光面上覆盖一折射率为 n、半径为 R 的半球型介质，如 图所示。问：要使发光区发出的全部光线在球面上不发 生全反射，介质半球的半径 R 至少应多大？（第11届全 国中学生物理竞赛题） 解： 第一步：全反射条件
sin iF sin FOP sin EOP r FP FP
iF
max
r arcsin R
max
EP FP
不发生全反射: iF
1 ic arcsin n
R nr
6
例2 图示一个盛有折射率为 n 的一体的槽，槽中的中部 扣着一个对称屋脊形的薄璧透明罩ADB,顶角为2q，罩内 为空气，整个罩子浸没在液体中，槽底 AB 的中点有一亮 点 C。 试求出：位于液体上方图示平面内的眼睛从侧面观 察可看到亮点的条件（液槽有足够的宽度；罩璧极薄，可 不计它对光线产生折射的影响） （第13届全国中学生物理竞赛予赛题） 解： 在液面上折射时，所 有光线都发生全反射时 ， 则光线出不来。 n
2
C点发出光线 CD的 最大
tan q n 1 1
max
q 2
8
例3： 一块平行平板，其厚度为 d，光线 从O点垂直入射， 若平板折射率按 n0 1 4qx 变化，q 为常数，并在 A 点以 角出射，求 光线轨迹、A 点的位置和平板的厚度。 Y 解： 介质折射率连续变化，可将平 板沿 X 方向切成一系列薄片，对 每层薄片应用折射定律。 折射定律决定光线在每一点的 方向，从而确定光线的轨迹； 折射定律的级联形式：
A Y B X O
射定律求曲面法线方程的
方法，再结合已知条件， f n n’
C’
F
可求得CC’曲线方程。
用等光程原理求解本题更简单
2
选取一条入射光线AB
和一条沿 X 轴入射
的光线; 等光程：
A
Y
C
B ( x, y)
X
n AB n'BF n'OF
几何关系：
O n n’
2
f
F
AB x
n’ = 1 A
D
q
C
B
7
全反射条件：g arcsin 1 C n 只要 g 的最小值小于临界角， 则总会有光线出来 三角几何关系
sin n sin b
D
F
q
b
E
g
g b q 2
g 最小
n E点和F点法线的夹角 ＝ n’ = 1 DB和水平方向的夹角： A
C
B
b 最大
例1、证明：入射到光纤一端的光线锥的最大夹角为 证明：
arcsin n n
2 1
2 2
两次折射关系：
2
i2 i1 n1 n2
sin n1 cos i1 n1 sin i1 n2 sin i2
角越大，i1 越小，
n2 i1 必须大于临界角 i1 ic arcsin n 1
5
第二步：数学推导 EO区内E点光线的入射角 iE最大，同样FO区内F点的 光线的入射角iF最大; R
E
O iE
P iF
n
F
r 如果 P 点在右半边，则有 iF > iE , P 点在左边,则反之; 求 F点光线的最大入射角 sin OFP sin iF r R
sin iE sin EOP r EP
P点光线的切线斜率 kp : k p tan b x
1 4qx d
bx
P(x, y) A
曲线 y = f(x)与斜率 kp： k dy p dx x 2 光线轨迹方程：y q
O
X
n0 A点的条件：n A sin 90 b A sin 和 sin b A n A sin sin 2 2 2 d yA 结论： 和 xA n n sin 2 A 0 10 2n0 q 4n0 q
o


例4、 一个透明光学材料，折射率在 y 方向向两侧对称地 n y n0 qy ，在xoy 平面内有一光线以入射角 降低： qo=30o 射向O点，求此光线能到达离 X 轴最远的距离。
解: 从上题可知，光线进入折射率非均匀介质后弯曲， 而且是倾向于向折射率大的方向偏折。
从图可知：光线 X 轴最远点 Y 为切线在水平方向时的切点处。 0 沿Y 方向分割成一系列薄层， O 应用折射定律。 q0
结果得证
1
例2、设曲面 S 是有曲线 CC’ 绕 X 轴旋转而成的。曲面两 侧的折射率分别为 n 和 n’，如果所有平行于X 轴的平行光 线经曲面折射后都相交于X 轴上一点 F，则曲面成为无像 差曲面，已知OF = f，求曲线所满足的方程。如果 n ’ = n ’ ， C 结果如何？ 解： 分析－－解本题可用折
R
n
1 ic arcsin n
发光区
O
4
第二步：反射光的几何性质 考察任意一点 A 发出的 光线在球面上任意一点P 反 射后的光线
P 点的法线沿 PO 方向
P’PAOFra bibliotekB B’
反射线、折射线、法线三者共面 因此反射光线一定在 APO 平面内，与发光面交点 B 在 AO 延长线上，即AO所在的直径上 A点发出的其它光线反射后都与 AO所在的直径相交
X

n0 sin 0 n sin
由初始条件 求出0:
n y n0 qy
sin 30 n0 sin 90 0
o o


ymax
n0 n 1
2 0
4
11
q
例5、图示三棱镜的顶角 ＝60o，在三棱镜两侧对称位置放置焦距
O X
bx
A
d
nx n0 1 4qx
n0 n1 sin b1 nx sin b x n A sin b A
9
n0 n1 sin b1 nx sin b x n A sin b A P点光线的方向由bx 决定: nx n0 1 4qx n0 1 Y sin b x nx 1 4qx