人教A版必修四第二章2.3.1平面向量基本定理及2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
A
e2
e1
O
OM 1 e1
ON 2 e 2
N
B
a OM ON 1 e1 2 e 2
想一想
确定一对不共线向量 任意一个向量都可以用
1
e ，e 后，是否平面内
1 2
e e 来表示呢
1 2 2
？
⑴
当 a 与 e1或 e 2 共 线 时 .
a
e1 e2
b
A i
a
A1
x
b 2 i 3 j ( 2 ,3 )
j
c 2i 3 j ( 2, 3)
O c
d 2i 3 j ( 2, 3)
d
a AB ( 4 , 5 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 )
小结
1.平面向量基本定理: a 1 e1 2 e 2 2.向量的夹角: ( 0 1 8 0 ) 3.平面向量的坐标表示: a x i + y j 4.一个重要结论: 若 O P m O A n O B ,
'
C
0
C
注意:同起点
120
A
60
B
一个重要结论
、 OB 不共线, 且 AP t AB 例3. 如图, OA ( t R ), 用 OA, OB 表示 OP .
OP (1 t ) OA t OB
已知O、A、B三点不共线， 结论： 若点 P 在直线 AB 上， 则 OP m OA nOB, 且 m n 1.
i xi
O
x
a (x, y)
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标， y叫做 a 在y轴上的坐标， (x,y)叫做向量的坐标表示.
y
三、平面向量的坐标表示
a
y
A
a xi +y j
O A xi +y j
j
O
i
x
x
当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标
就是向量终点的坐标.
向量 a
一一对应
坐标(x,y)
a 1 e1 2 e 2
其 中 e1，e 2 叫 做 表 示 这 一 平 面 内 所有向量的 一组基底 .
说明： 1、把不共线的非零向量 e , e 叫做表示 这一平面内所有向量的一组基底.
1 2
2、基底不唯一，关键是不共线.
3、由定理可将任一向量 e , e 的条件下进行分解.
1 2
两个向量相等，利用坐标如何表示？ a b x1 x 2 且 y 1 y 2
例5. 如图，用基底 i ，j 分别表示向量a 、 b 、c 、d , 并求出它们的坐标 .
解： a AA 1 AA 2 2 i 3 j
a (2, 3)
y
A2
B
e1 e2
a
a 0 e1 2 e 2
a 1 e1 0 e 2
⑵
改变a 的位置如下图两种情 况时， 怎样构造平行四边形 ？
A
C
e1
M
O
a
M
e2
B
a
N
N
e1
O
A B
e2
C
a 1 e1 2 e 2 ( 1 0 , 2 0 )
a 1 e1 2 e 2 ( 1 0 , 2 0 )
a
在给出基底
4、基底给定时，分解形式唯一.
练习：下列说法是否正确？
1.在平面内只有一对基底. ×
2.在平面内有无数对基底. 3.零向量不可作为基底. 4.平面内不共线的任意一 对向量,都可作为基底.
√ √ √
例1.如图梯形ABCD中，AB // CD，AB 2CD， M 、N 是DC，BA中点， AD a ， AB b , 试以a , b 为基底表示 DC , BC , MN
D
a
M
C
A
P
N b
B
二、向量的夹角:
两个非零向量 a ， b
AOB
B
b
叫做向量
O
B
b
a
a 和 b 的夹角． 注意:同起点
夹角的范围：( 0 1 8 0 )
a
a
A
O
b
B
A
B
b
O
A
O
a
A
0
180
90
例2:如图，等边三角形中，求
(1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。
⑵
改变a 的位置如下图两种情 况时， 怎样构造平行四边形 ？
N A
C
a
e1
O
e2
B
a 1 e1 2 e 2 ( 1 0 , 2 0 )
M
一、平面向量基本定理:
如果 e1、 e 2 是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 a 有且只有一对实数 1、 2 ,使
AB AB a 1 2 1 2 1 2 b BC AD
b
D
AN AD DN
AD b 1 2 1 2 a DC AD 1 2 AB
设 e1 , e 2 是同一平面内的两个不共线的向量，
a
是这一平面内的任一向量，
M
a
问：与 a e1 , e 2 之间有怎样的关系？
复习:共线向量基本定理： 向量 b 与向量 a ( a 0 )
共线
当且仅当有唯一一个实数 使得
b a
a
0 0
b b b
已知平行四边形ABCD中,M,N分别是
BC,DC的中点且
AB a , AD b
B
，用 a , b
M N C
表示 AM
, AN
.
a
A
解： AM AB BM
P B
O
A
三、平面向量的坐标表示
思考？
在平面里直角坐标系中，每 一个点都可用一对有序实数（它 的坐标）表示。对直角坐标平面 内的每一个向量，如何表示呢？
2.2.3平面向量的正角分解及坐标表示.
物理背景: 向量的
y j j
正交单位 a xi +y j 基底 a 我们把(x,y)叫做向量 a 的 (直角)坐标，记作
且 m n 1 .则 A , B , P 三点共线.
高中数学：专题231 平面向量基本定理 232 平面向量的正交分解与坐标表示(讲)
2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解与坐标表示【教学目标】1.知识与技能：(1).了解平面向量的基本定理及其意义；(2).理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示;(3).掌握平面向量正交分解。
2.过程与方法：(1).初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；(2).能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达。
3.情感态度价值观：通过平面向量的正交分解，揭示图形（向量）与代数（坐标）之间的联系。
【教法指导】1．教学重点 平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解；2．教学难点 平面向量基本定理的运用.【教学过程】 ☆情境引入☆ 1．在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？ 2.问题：如图，设1e 、2e 是同一平面内两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a 与1e 、2e 之间的关系.☆探索新知☆1.给定平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e ，请你作出向量b =31e +22e 、c =1e -22e .1e2e2.由1.可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e 来表示向量b ,c 那么平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e +λ22e 的向量表示呢?都可以3.平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=。
我们把不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
注意：1︒ 1e 、2e 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底；2︒ 这个定理也叫共面向量定理；3︒ λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量。
高中数学人教A版必修4：第二章 2.3 2.3.2 & 2.3(1).3 平面向量的正交分解及坐标表示
A．(5,3)
B．(4,3)
C．(8,3)
D．(0，－1)
答案：C
()
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
7
3．若向量 AB＝(1,2)， BC ＝(3,4)，则 AC ＝
()
A．(4,6)
B．(－4，－6)
C．(－2，－2)
D．(2,2)
答案：A
4．若点M(3,5)，点N(2,1)，用坐标表示向量 MN ＝______.
[活学活用]
1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝
A．(7,3)
B．(7,7)
C．(1,7)
D．(1,3)
解析：选A ∵2b＝2(－2,1)＝(－4,2)，
∴a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
()
16
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)， MP ＝12 MN ，则P点坐标 为______．
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
4
[点睛] (1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有 关，而与它们的具体位置无关．
(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因 此向量在平移前后，其坐标不变．
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
5
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
12
平面向量的坐标运算
[典例] (1)已知三点A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，则向
量3 AB＋2CA＝________，BC －2 AB＝________.
高中数学必修四2.3.2平面向量正交分解及坐标表示
(2)基底不惟一，关键是不共线；
[来源:www ]
(3)由定理可将任一向量 ａ在给出基底 ｅ１、 ｅ２ 的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一 . λ 1， λ 2 是被 a ， e1 ， e2 唯一确定的数量
二、讲解新课：
1．平面向量的坐标表示
(4) 基底给定时，分解形式
.
即 λ 1， λ 2 是被 a ， e1 ， e2 唯一确定的数量
二、提出疑惑：
[来源 :]
如果在平面直角坐标系中选定一组互相垂直的向量作为基低，向量分解情况又会如何 呢？
课内探究学案
一、探究学习
1．平面向量的坐标表示
32 x 0
即：
45 y 0
四、课堂练习 ：
x5
∴
y1
∴ F3 ( 5， 1)
1
1．若 M(3 ， -2) N(-5 ， -1) 且 MP
MN ， 求 P 点的坐标
2
2．若 A(0 ， 1)， B(1 ， 2)， C(3 ， 4) ， 则 AB 2 BC =
.
Байду номын сангаас
3．已知：四点 A(5 ， 1)， B(3 ， 4)， C(1 ， 3)， D(5 ， -3) ， 求证：四边形 ABCD 是梯形 .
2. 3.2 平面向量正交分解及坐标表示
一、复习引入：
平面向量基本定理：如果 e1 ， e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面
内的 任一向量 a ，有且只有一对实数 λ 1， λ 2使 a =λ 1 e1 +λ 2 e2
(1)我们把不共线向量 ｅ１ 、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
例 2 已知 a =(2 ，1)， b =(-3 ，4)，求 a + b ， a - b ，3 a +4 b 的坐
高中数学必修四《平面向量基本定理、正交分解及坐标表示PPT》
（3）平面向量的正交分解及坐标表示
思想方法总结：本节课主要应用数形结合的思想
B
a
b
b
O
a
A
新知探究3：
思考：互相垂直的两个向量能否作为平面内所有
向量的一组基底？
把一个向量分解为两个
F1
互相垂直的向量，叫做
把向量正交分解.
G
F2
新知探究3：
a x i y j （其中 x 和 y 是唯一确定的）
我们把有序数对（x, y）叫做向量 a 的坐标，
记作 a ( x, y) .
y
上式叫做向量的坐标表示.
y
思考：
i =（ 1 ，0 ）
j
1）
j =（ 0 ，
0 =（ 0 ，0 ）
O
i
a
x
x
例题讲演：
例1 如图，分别用基底 i , j 表示向量 a 、
b 、c 、
d，
y
并求出它们的坐标。
5
b
-4
-2
c
a
2
O
2
-2
d
-5
4
x
课堂小结：
知识总结：（1）平面向量基本定理.
那么对于这一平面内的任意向量 a ，有且只有一
对实数 1 、2，使
a 1 e1 2 e2
不共线的向量 e1 、e2 叫做表示这一平面内所有
向量的一组基底.
新知探究2：
规定：已知两个非零向量 a 和 b ，作 OA a，OB b
数学：2.3.2《平面向量的正交分解及坐标表示》课件(新人教a版必修4)
题意的角 的取值集合为 ；
则m的长度为 2
(2)两个向量相等的充要条 件是它们的 对应坐标相等。
设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) x1 x2 则a b y1 y2
例题1、已知向量a (2 x y 1, x y 2), b (2, 2).x, y为何值时， a与b共线？
例题2、已知 a 10, b (3, 4)且a // b， 求向量a.
解：设a ( x, y),则a x y 10
2 2
又 b (3,4), a // b
x y 10 x 6 x 6 解得： 或 4 x 3 y 0 y 8 y 8
解 (2 x y 1) (2) ( x y 2) 2 0 2 x y 1 ( x y 2)
1 x 解得： 3 y R
1 x 3 (2)解得： y 1 3
又问：x, y为何值时， a与b相等？
20 5 5 2 5 20 5 5 2 5 d ( , )或( , ) 5 5 5 5
向量坐标定义
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y 轴方向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量 a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y ,使得 a=x i+y j. 1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y)
新课标人教版课件系列
最新高中数学人教A必修4课件：2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
-6-
2.3.2 平面向量的 正交分解及坐标表示
1 2 3
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
3.向量与坐标的关系 设 ������������ = ������i+yj,则向量 ������������的坐标 ������, ������ 就是终点������的坐标 ; 反过来 , 终点������的坐标 ������, ������ 就是向量 ������������的坐标 . 因此 , 在平面直角 坐标系内 , 每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示, 即以 原点为起点的向量与实数对是一一对应的.
-3-
2.3.2 平面向量的 正交分解及坐标表示
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D典例透析
IANLI TOUXI
1.平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量 ,叫做平面向量的正 交分解.
【做一做 1】 如图,在矩形 ABCD 中 ,AC 与 BD 交于点 O,下列 是正交分解的是( ) A. ������������ = ������������ − ������������B. ������������ = ������������ − ������������ C. ������������ = ������������ + ������������ D. ������������ = ������������ + ������������ 解析 :由于������������ ⊥ ������������ , 则 ������������ = ������������ − ������������ 是正交分解. 答案 :B
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理、正交分解与坐标表示教案 新人教A版必修4(
高中数学第二章平面向量2.3.1 平面向量基本定理、正交分解与坐标表示教案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面向量2.3.1 平面向量基本定理、正交分解与坐标表示教案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第二章平面向量2.3.1 平面向量基本定理、正交分解与坐标表示教案新人教A版必修4的全部内容。
2.3.1 平面向量基本定理2。
3.2平面向量的正交分解及坐标表示教材分析本节内容是数学必修 4 第二章第三节的第一课,平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进一步研究向量问题的基础；是进行向量运算的基本工具，是解决向量或利用向量解决问题的基本手段. 掌握了平面向量基本定理及坐标表示，可以使向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题就转化为学生熟知的数量运算，这也是中学数学课中学习向量的目的之一,所以我认为对平面向量基本定理的应用是本节课的重点.另外对向量基本定理的理解这一点对于初学者来说有一定难度，所以是本节的难点.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解平面向量基本定理、向量的坐标表示．教学目标1.了解平面向量的基本定理及其意义,理解掌握平面向量的的正交分解及其坐标表示。
2.经历平面向量基本定理的形成探究过程，掌握正交分解下向量的坐标表示,认识平面向量基本定理是实现向量由几何形式过渡到代数形式的桥梁。
3.通过本节课的学习，了解先关数学知识的来龙去脉，认识其作用和价值,培养学生的探索研究能力。
重点: 正交分解下向量的坐标表示.难点：平面向量的基本定理,正交分解下向量的坐标表示。
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示(优秀经典公开课比赛课件).
为基底？任一向量a ，用这组基底可表示为 有且只有一对实
数x、y，使得 a =xi + yj．
Hale Waihona Puke y a（x，y）叫做向量a的坐标，记作
j
a=xi + yj
那么i =（1 ，0）
j =( 0 ，1 )
O 0 =（ 0 ，0）
i
x
2.3.2 平面向量的坐标表示
概念理解
1．以原点O为起点作 OA a ，点A的位置由谁确定?
2.3.2 平面向量的正交分解 及坐标表示
2.3.2 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向 量，叫作把向量正交分解
2.3.2 平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示
1．在平面内有点A和点B，向量怎样 AB 表示？
2．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？
3．分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作
求它们的坐标．
A2
解：由图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3) 同理，
b 2i 3 j (2,3) c 2i 3 j (2,3)
A A1
d 2i 3 j (2,3)
作业
❖谢谢
由a 唯一确定
y
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？
a
A(x, y)
两者相同
a j
向量a 一 一 对 应 坐标（x ，y） O i
x
3．两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？ a b x1 x2且y1 y2
2.3.2 平面向量的坐标表示
例2 如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并
教学设计1：2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
必修四第二章 平面向量2.3.2 平面向量的坐标运算教学目的：知识目标：掌握平面向量的正交分解及坐标表示通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量. 能力目标：让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法.情感目标：通过本节课的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求.教学重点：平面向量的正交分解及坐标表示教学难点：平面向量的正交分解及坐标表示教学过程：导入新课一、复习提问：1．复习向量相等的概念 相等向量OA =BC ，方向相同，大小相等.2．平面向量的基本定理（基底）a =λ11e +λ22e ,其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.二、新课：1．正交分解的物理背景及其概念图2.3－6（P105），光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的F 1力的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F 2，G ＝F 1＋F 2，叫做把重力G 分解.由平面向量的基本定理，对平面上任意向量a ，均可以分解为不共线的两个向量a =λ11e +λ22e . 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.2．平面向量的坐标表示取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量a =x i +y j ，记作：a =(x, y) 称作向量a 的坐标，这就叫做向量的坐标表示.i ＝（1,0），j ＝（0,1），0＝（0,0）例2 如图，分别用基底i , j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标.解：由图可知：12AA AA =+a ＝2i ＋3j,所以，a ＝（2,3）,同理，有： b ＝－2i ＋3j ＝（－2,3）, c ＝－2i －3j ＝（－2,－3）, d ＝2i －3j ＝（2,－3）.3．平面向量的坐标运算（1）已知a (x 1, y 1)，b (x 2, y 2)，求a + b ，a - b 的坐标；（2）已知a (x, y)和实数λ,求λa 的坐标.解：a + b =(x 1 i +y 1 j )+( x 2 i +y 2 j )=(x 1+ x 2) i + (y 1+y 2) j即：a + b =(x 1+ x 2, y 1+y 2),同理：a - b =(x 1- x 2, y 1-y 2).应用示例例1 如图4,ABCD,AB =a ,AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中点,F 使BF=31BC,以a ,b 为基底分解向量HF AM 和.活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励. 解:由H 、M 、F 所在位置,有+=+=AD DM AD AM a b AB AD DC 212121+=+=AB 21=b +21a .AD AD AB AD BC AH BF AB AH AF HF 21312131-+=-+-+=-= =a 61-b . 点评:以a 、b 为基底分解向量AM 与HF ,实为用a 与b 表示向量AM 与HF . 变式训练已知向量e 1、e 2,求作向量-2.5e 1+3e 2.作法:(1)如图,任取一点O,作OA =-2.5e 1,OB =3e 2. (2)作OACB.故OC OC 就是求作的向量.变式训练i ,j 是两个不共线的向量,已知AB =3i +2j ,CB =i +λj ,CD =-2i +j ,若A 、B 、D 三点共线,试求实数λ的值. 解:∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j ,又∵A 、B 、D 三点共线,∵向量AB 与BD 共线.因此存在实数υ,使得AB =υBD ,即3i +2j =υ[-3i +(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j .∵i 与j 是两个不共线的向量,故⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v ∵⎩⎨⎧=-=.3,1λv ∵当A 、B 、D 三点共线时,λ=3. 例 2 下面三种说法:∵一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;∵一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;∵零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )A.∵∵B.∵∵C.∵∵D.∵∵∵活动:这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解,教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.解:平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,∵∵正确. 答案:B点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.例1 如图,M 是∵ABC 内一点,且满足条件=++CM BM AM 320,延长CM 交AB 于N,令CM =a ,试用a 表示CN .活动:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面两个推论:推论1:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1=λ2=0. 推论2:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数a 1,a 2,b 1,b 2,使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2,则⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a 解:∵,,NM BN BM NM AN AM +=+=∵由CM BM AM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0.∵CM BN NM AN 323+++=0.又∵A 、N 、B 三点共线,C 、M 、N 三点共线,由平行向量基本定理,设,,NM CM BN AN μλ==∵=+++NM BN NM BN μλ3230.∵(λ+2)BN +(3+3μ)NM =0.由于BN 和NM 不共线,∵⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∵⎩⎨⎧-=-=12μλ∵.MN NM CM =-=∵CM MN CM CN 2=+==2a .点评:这里选取NM BN ,作为基底,运用化归思想,把问题归结为λ1e 1+λ2e 2=0的形式来解决. 变式训练设e 1与e 2是两个不共线向量,a =3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值. 解:由题设λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理,知⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ解之,得λ=1,μ=-1. 例2 如图,∵ABC 中,AD 为∵ABC 边上的中线且AE=2EC,求GEBG GD AG 及的值.活动:教师让学生先仔细分析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后,然后结合向量的相等进行求解比值.解:设μλ==GEBG GD AG , ∵BD =DC ,即AD -AB =AC -AD , ∵AD =21(AB +AC ). 又∵AG =λGD =λ(AD -AG ), ∵AG =λλ+1AD =)1(2λλ+AB +)1(2λλ+AC . ∵ 又∵BG =μGE ,即AG -AB =μ(AE -AG ), ∵(1+μ)AG =AB +μAG AE ,=AE AB μμμ+++111 又AE =32AC ,∵AG =AB μ+11+)1(32μμ+AC . ∵ 比较∵∵,∵AB 、AC 不共线,∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ解之,得⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ∵.23,4==GE BG GD AG 点评:本例中,构造向量在同一基底下的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组,从而进一步求得结果.变式训练过∵OAB 的重心G 的直线与边OA 、OB 分别交于P 、Q,设OP =h OA ,OB k OQ =,试证:311=+kh 解:设OA =a ,OB =b ,OG 交AB 于D,则OD =21(OB OA +)=21(a +b )(图略). ∵OG =32OD =31(a +b ),OQ OG QG -==31(a +b )-kb=31a +331k -b , OQ OP QP -==h a -k b .∵P 、G 、Q 三点共线,∵QP QG λ=. ∵31a +331k -b =λha -λkb .∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ 两式相除,得.3311hk h k k h k =+⇒-=-, ∵kh 11+=3. 知能训练1.已知G 为∵ABC 的重心,设AB =a ,AC =b ,试用a 、b 表示向量AG .2.已知向量a =(x +3,x 2-3x -4)与AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),求x .解答:1.如图,AG =32AD ,而=+=+=BC AB BD AB AD 21a +21(b -a )=21a +21b , ∵3232==AD AG (21a +21b )=31a +31b .点评:利用向量加法、减法及数乘的几何意义. 2.∵A(1,2),B(3,2),∵AB =(2,0).∵a =AB ,∵(x +3,x 2-3x -4)=(2,0).∵⎩⎨⎧=--=+043,232x x x 解得⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或 ∵x =-1.点评:先将向量AB 用坐标表示出来,然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决.五、小结：取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量a =x i +y j ，记作：a =(x , y ) 称作向量a 的坐标，这就叫做向量的坐标表示.课后作业板书设计：。