人教版九年级数学上册第24章圆24.1.4圆周角PPT课件
O
练一练
1．如图，在⊙O中，∠ABC=50°， 则∠AOC等于（ D ） B A、50°； B、80°； C、90°； D、100° 2．如图，△ABC是等边三角形， 动点P在圆周的劣弧AB上，且不 与A、B重合，则∠BPC等于（ B ） A A、30°； B、60°； C、90°； D、45°
A
2、定理的证明思路：
我们根据圆周角相对于圆心的位置把圆周角分 成三类，先解决一类特殊问题，再把其他两类 转化成特殊问题。
近代伟大的科学家爱因斯坦在谈成功 的密秘时，写下了一个公式：Ａ＝Ｘ＋Ｙ ＋Ｚ，他解释道：Ａ代表成功，Ｘ代表艰 苦的劳动，Ｙ代表正确的方法，Ｚ代表少 说空话。
分层次作业：
必做：87-88页 习题21.4 第4题、第5题
分析论证
你能证明第3种情况吗？
证明：作射线CO交⊙O于D．
O B D A C
1 1 ∴∠BCD－∠ACD＝ ∠ BOD－ ∠AOD 2 2 1 即∠ACB= ∠AOB 2
1 ∠ACD＝ ∠ AOD 2
由第1种情况得 1 ∠BCD＝ ∠ BOD 2
问题解决
综上所述我们得到：在同圆或等圆中，同弧 或等弧所对的圆周角度数都等于这条弧所对 的圆心角度数的一半． 1 即∠ACB= ∠AOB 2
问题探讨
圆周角与 圆心角.gsp
问题解决
你能证明你的发现（即同弧所对的圆周角度 数等于这条弧所对的圆心角度数的一半）吗？
分析论证
1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的一边(BC) 上时,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关 系.
∵ OA=OC ∴∠A=∠C 又 ∠AOB=∠A＋∠C ∴∠AOB=2∠C
B
练一练
5.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C， 使DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合. （1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？ （2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形， 并说明理由. A 解：（1）AB=AC. 证明：连接AD O · F ∵AB是直径，∴∠ADB=90°， 又∵DC=BD，∴AB=AC. C B D （2）△ABC是锐角三角形.
问题２ 如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置 D和E，他们的视角(∠ADB和∠AEB)和同学乙 的视角相同吗？
相同.都等于∠AOB的一半.
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 练习： 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四 边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这 些角中哪些是相等的角？
由（1）知，∠B=∠C＜90 °
连接BF，则∠AFB=90 °，∴∠A＜90 ° ∴△ABC是锐角三角形
1.概念的引入和定理的发现： 定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于该弧所对的圆心角的一半。 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径.
D A
8 7 1 2
解： ∠1＝∠4 ∠3＝∠6
∠2＝∠7 ∠5＝∠8
B
34
5
6
C
探究与思考：
问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问： ∠C1、∠C2、∠C3的度数是 90° .
C1 A C2 C3 B
问题2： 若∠C1、∠C2、∠C3是 直角，那么∠AOB是 180°. 推论：半圆（或直径）所对的 圆周角是直角；90°的圆周角 所对的弦是直径.
·
B
E
问题探讨
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由.
P P P
P 不是 顶点不 在圆上 是 顶点在圆上， 两边和圆相 交 不是 两边不和 圆相交
不是 有一边和圆 不相交
问题1 如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着 玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有 什么关系？
O C
C
B
P
练一练
3.如图，∠A=50°， ∠ABC=60 ° BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ B ） A、70°； B、110°； C、90°； D、120° 4.如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
A
E D
O B C
C O A
则⊙O的半径是
2
.
解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
观察思考
在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆 弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物．
问题1 如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着 玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有 什么关系？
问题探讨
圆周角 与圆心角.gsp
一、概念
什么叫做圆周角？
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
D A C O
选做：88页 第12题
共同进步！
欢迎批评指导！！
2019
ppt资料
24
1 即∠C= ∠AOB 2 Nhomakorabea分析论证
你能证明第2种情况吗？
提示：作射线CO交⊙O于点D. 转化为第1种情况 C O A D B
1 1 ∴∠ACD＋∠BCD＝ ∠ AOD＋ ∠BOD 2 2 1 即∠ACB= ∠AOB 2
1 ∠ACD＝ ∠ AOD 2 1 ∠BCD＝ ∠ BOD 2
证明：由第1种情况得
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新人教版九年级数学上册24.1.4 圆周角课件(共19张PPT)
O
B A
提示:能否也转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得:
C
B
●
O
归纳总结：
在同圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对 的圆周角都相等，并且都等于这条弧所对的圆心 角的一半。
四回归生活实践：当球员在 B 、 D 、E三处射门时,他所处的位置对 球门 AC 分别形成三个角∠ABC、 ∠ADC、∠AEC这三个角的大小有 什么关系?那么在B、D、E处射门 有没有影响？.
3.求圆中角X的度数
O A
D
C 120°
70° x
.
C A
B
O X
.
B
4、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 则⊙O的半径是 。
C O A B
六、小结本节课主要所学内容和 上面练习题所应用的主要知识点
选做题：
1、已知⊙O中弦AB的等于半径，
求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
上,结果会怎样?
A
C
●
过点B作直径BD.由1可得:
当圆心 O 在圆周角(∠ABC)的内部时 , 圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会 怎样?
O
B A D O C
●
B
第三种情况：如果圆心不在圆周角的
A C
●
一边上,结果会怎样? 当圆心 O 在圆周角(∠ABC)的外部 时 ,圆周角∠ ABC 与圆心角∠ AOC的大小 关系会怎样?
A
E
C
A E
●
B
D
O
B
D
C
五练一练： 1、如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四 边形ABCD的对角线把4个内角分成 8个角，这些角中哪些是相等的角？ D
B A
提示:能否也转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得:
C
B
●
O
归纳总结：
在同圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对 的圆周角都相等，并且都等于这条弧所对的圆心 角的一半。
四回归生活实践：当球员在 B 、 D 、E三处射门时,他所处的位置对 球门 AC 分别形成三个角∠ABC、 ∠ADC、∠AEC这三个角的大小有 什么关系?那么在B、D、E处射门 有没有影响？.
3.求圆中角X的度数
O A
D
C 120°
70° x
.
C A
B
O X
.
B
4、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 则⊙O的半径是 。
C O A B
六、小结本节课主要所学内容和 上面练习题所应用的主要知识点
选做题：
1、已知⊙O中弦AB的等于半径，
求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
上,结果会怎样?
A
C
●
过点B作直径BD.由1可得:
当圆心 O 在圆周角(∠ABC)的内部时 , 圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会 怎样?
O
B A D O C
●
B
第三种情况：如果圆心不在圆周角的
A C
●
一边上,结果会怎样? 当圆心 O 在圆周角(∠ABC)的外部 时 ,圆周角∠ ABC 与圆心角∠ AOC的大小 关系会怎样?
A
E
C
A E
●
B
D
O
B
D
C
五练一练： 1、如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四 边形ABCD的对角线把4个内角分成 8个角，这些角中哪些是相等的角？ D
人教版九年级上册 数学 课件 24.1.4圆周角(共29张PPT)
人教版《数学》（九年级·上册）
课标分析 教材分析 学情分析 教学重难点 教学设计
教学板书
教学评价 教学得失
课标与教材双向关联表
说明：第三学段 7——9 年级
人民教育出版社九年级数学上册
课标分析
教材分析
课
课标具体要求
完成的内容
行为 其它重要 维度 学习 教材
考核点 教学后
标
动词 信息 目标 水平 章节
技能 运用 24.1 圆 同弧或等弧 所对圆周角
运用
上的圆心角度数的一半；直径所 心角度数的一半；直径所对的 证明
几 对的圆周角是直角；90°的圆周 圆周角是直角；90°的圆周角
等于圆心角 的一半
角所对的弦是直径；圆内接四边 所对的弦是直径；圆内接四边
何 形的对角互补。
形的对角互补。
教材分析
圆心角、弧、弦
❖ ❖
。 ❖ 4、若符合其中的某一个条件，这样的角是否是圆周角呢？试着举例说明。（评
价+2分）
❖ ❖
❖ 5、预习检测：完成自主探究的第3题。（评价+1分）
活动探究画一画：请同学们动手画出⊙O中BC所
对的圆周角．观察BC所对的圆周角与圆心O有几种
位置关系？
学生动手在纸上操作，得出结论 圆周角与圆心的位置关系：
应达到
分
（方法、
内容
的水平
项
数量、
内
条件等）
容
图 二．.圆
圆周角与圆心角及其所对弧 探索
技能 运用 24.1 圆 圆周角与圆 了解
（3）探索圆周角与圆心角及其 的关系
心角及其所
形 所对弧的关系
对弧的关系
了解并证明圆周角定理及其推 圆周角定理及其推论：圆周角 了解
课标分析 教材分析 学情分析 教学重难点 教学设计
教学板书
教学评价 教学得失
课标与教材双向关联表
说明：第三学段 7——9 年级
人民教育出版社九年级数学上册
课标分析
教材分析
课
课标具体要求
完成的内容
行为 其它重要 维度 学习 教材
考核点 教学后
标
动词 信息 目标 水平 章节
技能 运用 24.1 圆 同弧或等弧 所对圆周角
运用
上的圆心角度数的一半；直径所 心角度数的一半；直径所对的 证明
几 对的圆周角是直角；90°的圆周 圆周角是直角；90°的圆周角
等于圆心角 的一半
角所对的弦是直径；圆内接四边 所对的弦是直径；圆内接四边
何 形的对角互补。
形的对角互补。
教材分析
圆心角、弧、弦
❖ ❖
。 ❖ 4、若符合其中的某一个条件，这样的角是否是圆周角呢？试着举例说明。（评
价+2分）
❖ ❖
❖ 5、预习检测：完成自主探究的第3题。（评价+1分）
活动探究画一画：请同学们动手画出⊙O中BC所
对的圆周角．观察BC所对的圆周角与圆心O有几种
位置关系？
学生动手在纸上操作，得出结论 圆周角与圆心的位置关系：
应达到
分
（方法、
内容
的水平
项
数量、
内
条件等）
容
图 二．.圆
圆周角与圆心角及其所对弧 探索
技能 运用 24.1 圆 圆周角与圆 了解
（3）探索圆周角与圆心角及其 的关系
心角及其所
形 所对弧的关系
对弧的关系
了解并证明圆周角定理及其推 圆周角定理及其推论：圆周角 了解
24.1.4圆周角-人教版九年级数学上册课件
归纳：一般地，如果题目中有直径出现时，常作辅助线得 到直径所对的圆周角---- ___.当圆中要证明垂直或得到 90°的角时，常作出___
能力提升
如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是 劣弧AC 上一动点，连接PB分别交AD、AC于 点E，F． （1）当AP=AB时，求证AE=BE （2）在（1）中，当点P在什么位置时， AF=EF,证明你的结论。
在同圆或等圆 中，同弧或等 弧所对的圆周角相等都等于这 条弧所对的圆心角的一半。
思考: 在同圆或等圆中，
相等的圆周角所对的弧相等吗?
预习自测
1.试找出下图中所有相等的圆周角。
D
∠2=∠7
A1
2Байду номын сангаас
87
3 4
B
6
5
C
∠1=∠4 ∠3=∠6 ∠5=∠8
2. 图，AB是直径，则∠ACB=＿＿9＿0＿度
C
A
24.1.4 圆周角
温故知新
1.圆心角的定义?
答:顶点在圆心的角叫圆心角
O.
2.上节课我们学习了一个反映圆
心角、弧、弦三个量之间关系的 B
C
一个结论，这个结论是什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、
弦有一组量相等，那么它们所对应的其余
两个量都分别相等。
学习目标
•1．理解圆周角的定义，能分清 圆周角和圆心角． •2．能说出圆周角定理及其两个 推论，并会熟练的应用它们解决 相关问题．
猜想: 同弧所对的圆周角相等 同弧所对的圆周角等于它 所对圆心角的一半。
圆周角和圆心角的关系
圆心角与圆周角的位置关系有几种？
（1） 折痕是圆周角的一条边， （2） 折痕在圆周角的内部， （3） 折痕在圆周角的外部。
能力提升
如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是 劣弧AC 上一动点，连接PB分别交AD、AC于 点E，F． （1）当AP=AB时，求证AE=BE （2）在（1）中，当点P在什么位置时， AF=EF,证明你的结论。
在同圆或等圆 中，同弧或等 弧所对的圆周角相等都等于这 条弧所对的圆心角的一半。
思考: 在同圆或等圆中，
相等的圆周角所对的弧相等吗?
预习自测
1.试找出下图中所有相等的圆周角。
D
∠2=∠7
A1
2Байду номын сангаас
87
3 4
B
6
5
C
∠1=∠4 ∠3=∠6 ∠5=∠8
2. 图，AB是直径，则∠ACB=＿＿9＿0＿度
C
A
24.1.4 圆周角
温故知新
1.圆心角的定义?
答:顶点在圆心的角叫圆心角
O.
2.上节课我们学习了一个反映圆
心角、弧、弦三个量之间关系的 B
C
一个结论，这个结论是什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、
弦有一组量相等，那么它们所对应的其余
两个量都分别相等。
学习目标
•1．理解圆周角的定义，能分清 圆周角和圆心角． •2．能说出圆周角定理及其两个 推论，并会熟练的应用它们解决 相关问题．
猜想: 同弧所对的圆周角相等 同弧所对的圆周角等于它 所对圆心角的一半。
圆周角和圆心角的关系
圆心角与圆周角的位置关系有几种？
（1） 折痕是圆周角的一条边， （2） 折痕在圆周角的内部， （3） 折痕在圆周角的外部。
人教版九年级数学上册24.1.4 圆周角课件(共27张PPT)
三、圆内接四边形的性质
观察图中三角形与圆的位置关系。
答：如图，我们把△ABC叫做圆内接三角形；而
圆叫做三角形的外接圆。
A
O
B
C
圆内接多边形：
若一个多边形各顶点都在同一个圆上，
那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这
个圆叫做这个多边形的外接圆。
D E
B
C
C
O
A
B
A
OD
F
E
如图，四边形ABCD为圆内接四边形； ⊙O为四边形ABCD外接圆。
圆周角定理
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
互动探究
问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ,D 是上
任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC 相等吗？请说明理由.
相等。理由如下：
D
BDC 1 BOC, 2
∴∠BAC=∠BDC
知识要点
圆周角定理的推论
∠DCB的对角，我们把∠A叫做
∠DCE的内对角。
D
A
O
E
圆内接四边形的一个 B
C
外角等于它的内对角。
圆的内接四边形性质定理：
圆的内接四边形的对角互补，并且任何 一个外角都等于它的内对角。
巩固练习：
1、如图，四边形ABCD为⊙O 的内 接四边形，已知∠BOD＝100°， 求∠BAD及∠BCD的度数。A
同弧或等弧所对的圆周角相等.
A2
A
A1
3
知识要点
圆周角和直径的关系
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径.
课堂能力提升
1 ． 如 图 ， 已 知 圆 心 角 ∠BOC=76° ， 则 圆 周 角 ∠BAC的度数是__3_8_°_．
人教版数学九年级上册 24.1.4圆周角(共21张PPT)
和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？
1、什么叫做圆心角？
定 义
顶点在圆心的角叫做加圆心角。如图（1）
学 习
B
B
O
O
C
（1）
C A
（2）
2、圆周角的定义：
如图（2），∠BAC的顶点在圆上，它的两边分别与圆相交，像这样的角， 叫做圆周角。
3、圆心角与圆周角的差别：
定
义
B
B
学
习
O
O
C
C
A
（1）
（2）
一是对角的顶点的位置的规定，圆心角的顶点在圆心处， 而圆周角的顶点在圆周上；
运
AP
用
连结OD，
直径AB CD
COB DOB 1 COD 2
CPD是圆周角， 对的弧是CBD
O
C
D
B
CPD 1 COD 2
CPD COB
1、本节课的主要内容是什么？
课
圆周角的定义和性质
堂
小
结
2、本节课你学到了什么数学方法来证明圆周角的性质？
分类法 ，数形结合法
[推论] 半圆（或直径）所对的圆周角是
直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
C2 C1
C3
知
识
探
探究与思考
A
O
B
索
（1）如图，弧AB是⊙O半圆（AB是⊙O的直
径），那么∠C1、∠C2、∠C3的度数 是_9_0_°_
（2） 若∠C1、∠C2、∠C3是直角，那么∠AOB
是180° 。点O在_A_B_上，弦AB是 直__径_
2
2
BAC 1 BOC
2
知 识 探 索
九年级数学上册 24.1.4 圆周角课件 (新版)新人教版.ppt
A2
推论1：
同弧所对的圆周角相等.
A1
A
3
13
课堂探究
如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四
边形ABCD的对角线.
D
(1)完成下列填空 ∠1=∠4 .
∠2=∠8 . ∠3=∠6 .
∠5=∠7 .
78
A
1 2
34
O6
5
C
B
14
课堂探究
如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四 边形ABCD的对角线. （2）若A⌒B=A⌒D，则∠1与∠2是否相等，为什么？
22
随堂检测
2.如图，AB是⊙O的直径, C 、D是圆上的两点,∠ABD=40°, 则∠BCD=＿＿50＿°_.
C
D
O
O
A
B
C
A
B
第4题
第5题
3.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°
,则∠AOB= 166°．
23
随堂检测
4.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ACB=130° ， ∠ADB= 50° .
BAC1BOC 2
8
课堂探究
推导与验证
圆心O在∠BAC 的 内部
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O在 ∠BAC 的外部
9
课堂探究
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
BAC1BOC 2
10
课堂探究
圆心O在∠BAC的内部
A
A
A
O
OO
O
B
D
BAD1BOD 2
24.1.4圆周角 教学课件(共33张PPT)初中数学人教版(2012)九年级上册
∴△AOF 是等边三角形，
∴OF=OA=AF=2, ∵OG⊥AF,∴
2
∴OG=√2²-1²=√3Hale Waihona Puke 即它的内切圆半径为 √3,故选：D.
练 习5 如 图 ，oO 的半径为2,正六边形 ABCDEF 内接于⊙0,则这
个正六边形的边心距OG 的长为(D )
A.2
B.1
上
C.
D.√3
2
解析：∵六边形ABCDEF为正六边形，
A.6
B.6√3
C.6√5
D.4√ 13
解析：如图，连接OA、OB 由题意可得：∠AOB=360÷6=60°
∵OA=OB=2
∴△OAB 为等边三角形，∴AB=2 过 点 0 作OM⊥AB 于 点M, 则 AM=BM=1
在Rt△AOMR中 ，OM= √2²-1²= √3
∴OO 的面积约为6SAog=6 √3,故选：B.
△AOF 都是等边三角形，
∵O0 的周长为12π,∴⊙0的半径为
I
正六边形的边长是6.故选：B.
小结
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正 多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的每一边所对的圆心角叫做 正多边形的中心角. 中心到正多边形的一边的距离叫做正 多边形的边心距.
E D
F 中心角 半径R
正十六边形等.
练习1下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最大 的是( D )
B.
C.
D.
解析：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积 越来越接近圆周长和圆面积，
故选：D.
练 习2如图，点A、B、C、D 为一个正多边形的顶点，点0为正 多边形的中心，若∠ADB=18°, 则这个正多边形的边数为( B )
∴OF=OA=AF=2, ∵OG⊥AF,∴
2
∴OG=√2²-1²=√3Hale Waihona Puke 即它的内切圆半径为 √3,故选：D.
练 习5 如 图 ，oO 的半径为2,正六边形 ABCDEF 内接于⊙0,则这
个正六边形的边心距OG 的长为(D )
A.2
B.1
上
C.
D.√3
2
解析：∵六边形ABCDEF为正六边形，
A.6
B.6√3
C.6√5
D.4√ 13
解析：如图，连接OA、OB 由题意可得：∠AOB=360÷6=60°
∵OA=OB=2
∴△OAB 为等边三角形，∴AB=2 过 点 0 作OM⊥AB 于 点M, 则 AM=BM=1
在Rt△AOMR中 ，OM= √2²-1²= √3
∴OO 的面积约为6SAog=6 √3,故选：B.
△AOF 都是等边三角形，
∵O0 的周长为12π,∴⊙0的半径为
I
正六边形的边长是6.故选：B.
小结
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正 多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的每一边所对的圆心角叫做 正多边形的中心角. 中心到正多边形的一边的距离叫做正 多边形的边心距.
E D
F 中心角 半径R
正十六边形等.
练习1下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最大 的是( D )
B.
C.
D.
解析：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积 越来越接近圆周长和圆面积，
故选：D.
练 习2如图，点A、B、C、D 为一个正多边形的顶点，点0为正 多边形的中心，若∠ADB=18°, 则这个正多边形的边数为( B )
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角课件(31张PPT)
推论 2
半圆(或直径)所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径.
符号语言：
如图，在⊙O 中，若 AB 为⊙O 的直径， 则∠C1 = ∠C2 = ∠C3 = 90°. 若∠C1(或∠C2，∠C3 )= 90°， 则 AB 为 ⊙O 的直径.
思考 若将“同弧或等弧所对的圆周角相等”中的“同 弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论成立吗？
证明 3
你会证明吗？
定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
圆心在圆周角的 情况
一条边上
圆心在圆周角 的内部
圆心在圆周角 的外部
图示
结论
∠BAC = ∠BOC．
思考 AB 所对的两个圆周角，∠ACB 与∠ADB 之间 有什么关系？
同弧所对的圆周角相等．
思考 AB = BC ，∠ADB 与∠BEC 之间有什么关系？
解：∠1 = ∠4， ∠3 = ∠6， ∠2 = ∠7， ∠5 = ∠8.
理由：同弧所对的圆周角相等.
【教材P88练习 第3题】
3. 如图，OA，OB，OC 都是 ⊙O 的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.
证明：∵ ∠ACB = ∠AOB，
∠BAC = ∠BOC，
∠AOB = 2∠BOC，
不一定成立，因为 一条弦所对的圆周 角有两种情况.
例题4
如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm， ACB 的平分线交 ⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长．
解：连接 OD. ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ACB =ADB = 90°． 在 Rt△ABC 中， BC AB2 AC 2 102 62 8cm.
(初三数学课件)人教版初中九年级数学上册第24章圆24.1.4 圆周角教学课件
探究新知
■ 圆心0在∠BAC的一边上(特殊情形)
证明：
OA=0C →∠A=∠C
∠ BOC= ∠ A + ∠ C
∠BAC
∠一
OC
探究新知 ■圆 心O在 ∠BAC的内部
证 明：连 接AO并延长交⊙0于D.
0
B
C
D
探究新知
■圆 心O在∠BAC的外部 证明：连 接AO并延长交⊙0于点D.
∠BAC=∠DAC-∠DAB
∴∠ABF=∠D=20°,∠FBC=∠E=30° . ∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
< 巩 固练习 2.如图，正方形ABCD 的顶点都在⊙0上，P 是弧DC 上的一点，则∠BPC= 45°.
解析：连接BD,则BD 是直径， ∴△BCD是等腰直角三角形，
∴∠BDC=45°,∴∠BPC=∠BDC=45°.
2.掌握圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定 理解决简单的几何问题.
1. 理 解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理。
探究新知
知识点1 圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫 做 圆 周 角 (两个条件必须同时具备，缺一不可)
探究新知 练 一 练：下列各图中的∠BAC 是否为圆周角
并简述理由.
导入新知
问题1什么叫圆心角?指出图中的圆心角? 顶点在圆心的角叫圆心角，
∠BOC.
问题2如图，∠BAC 的顶点和边有哪些特点? ∠ BAC的 顶 点 在 ⊙ 0 上 ， 角 的 两 边 分 别 交 0 0 于 B 、C两点.
素养目标
4.掌 握圆内接多边形的概念及圆内接四边形的 性质并能运用其性质进行计算. 3. 理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程。
人教版九年级上册 24.1.4 圆周角 课件30张
五、思维拓展
与圆有关的角除了圆心角、圆周角还有其 它的角，比较∠A、∠D、∠E的大小关系，你 有什么发现？能说明你的结论吗？
D’
A
E’ E
D
B
C
练习. 如图，在⊙O中，BC=2DE,∠BOC=84°，求
∠A的度数.
C E
A
O
D
B
活动六：反思提升
目标检测
1.如左图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，
24.1.4圆周角
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
C
二、建立概念
圆周角
类 比 思
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
想
圆心角
B C
· · B 定义O 顶点A 在圆心 O
A
的角叫做圆心角.
C
（1）√
（2） ×
A O
B
C
A C
·O
B
（3）×
圆周角
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
四边形ABCD的对角线.填空：
(1)∠1=∠ 4 ; (2)∠2=∠ 7 ; (3)∠3=∠ 6 ; (4)∠5=∠ 8 .
1.如图，点A、B、C都在⊙O上. （1）若∠AOC=120°，则求∠ABC的度数. （2）写出∠AOC与∠ABC的数量关系.
O
C
A
B
2.如图，点A、B、C都在⊙O上. ∠AOB = 2∠BOC. 请说明∠ACB = 2∠BAC.
O
C
A
B
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角. 性质 弧的度数等于它所对圆心角的度数.
O
B