(完整版)浙江高二下数学试卷及答案,推荐文档
浙江高二下数学试卷及答案注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．当时，复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知全集，集合，，则集合( )A ．B ．C ．D ．3．函数的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．1m <()21i m +-U =R4．已知向量、的夹角为，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知双曲线C 的中心在坐标原点，一个焦点到渐近线的距离等于2，则C 的渐近线方程为（ ） A ．B ．C ．D ． 7．在中，内角的对边分别为，已知，，，则（ ） A ．B ．C ．D ．或8．《数书九章》是我国宋代数学家秦九韶的著作，其中给出了求多项式的值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了一个利用秦九韶算法求某多项式值的实例，若输入的，输出的，则判断框“”中应填入的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面 都相切，则球与圆锥的表面积之比为（ ）a b 2=a 1=b -=a b 112512251325142512y x =±23y x =±32y x =±2y x =±ABC △π3A =3π4π6π4π43π4A ．B ．C D ．10．把函数的图像向左平移个单位长度，再把所得的图像上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数的图像，并且的图像如图所示，则的表达式可以为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知椭圆C 的方程为，焦距为，直线与 椭圆C 相交于A ，B 两点，若，则椭圆C 的离心率为（ ）A B ．C ．D ．12．已知函数为上的奇函数，且图象关于点对称，且当时，，则函数在区间上的（ ）A ．最小值为B ．最小值为C ．最大值为0D ．最大值为234926827()y f x =2π3()g x ()g x ()f x ()2sin π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()222210x y a b a b+=>>2:4l y x =3341214R ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭34-78-78第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．设曲线在点处的切线方程为，则____．14．若，满足约束条件，则的最小值为_______．15．已知，_______．16．圆锥的底面半径为，母线长为．正四棱柱的上底面的顶点均在圆锥的侧面上，棱柱下底面在圆锥的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为_____．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）记公差不为零的等差数列的前n 项和为，已知，是与的等比中项．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n 项和．x y 220100x y x y y --≤-+≥≤⎧⎪⎨⎪⎩15y z x -=+tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭2sin2cos αα+=则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭18．（12分）某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取6个家庭，得到数据如下：家庭编号 1 2 3 4 5 6 月收入x （千元） 20 30 35 40 48 55 月支出y （千元）4568811参考公式：回归直线的方程是：，其中，，．（1）据题中数据，求月支出（千元）关于月收入（千元）的线性回归方程（保留一位小数）；（2）从这个家庭中随机抽取个，记月支出超过千家庭个数为，求的分布列与数学期望．()()()1122211ˆnniii i i i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑19．（12分）如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，，，，分别是线段，的中点．GF∥（1）求证：平面；（1）求平面与平面所成角的余弦值．20．（12分）已知抛物线经过点，其焦点为F ．M 为抛物线上除了原点外的任一点，过M 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B ． （1）求抛物线C 的方程以及焦点坐标；（2）若△BMF 与△ABF 的面积相等，求证：直线l 是抛物线C 的切线．()1,2P21．（12分）设函数． （1）若，求的单调区间； （2）若当时，恒成立，求实数a 的取值范围．()()2e 1x f x x ax =--12a =()f x 0x >()0f x ≥请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程； （2）已知曲线的极坐标方程为，，，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且，均异于原点，且，求实数的值．2cos 22sin x y ϕϕ==+⎧⎨⎩ϕρ∈R23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为实数集，求实数的取值范围．()2221f x x x a =+-+R答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】∵，∴，∴复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选D ． 2．【答案】A 【解析】由，可得或，故，由，解得，∴，∴，故选A ．3．【答案】C 【解析】当时，，故排除选项B ；，故排除D ；，令，得或，则当变化时，的变化情况如下表：x0 (0，+∞)f ′(x) − 0 + 0 + f(x) 单调递减极小值单调递增单调递增又因为，故在的切线为轴，故排除选项A ，所以选C ．4．【答案】A 【解析】A ．5．【答案】C【解析】甲乙两人猜数字时互不影响，故各有5种可能，故基本事件是种，“心1m <10m -<()21i m +-()2,1m -()1e 1f =>()()323e x f x x x =+'3x =-(),3-∞-3-()3,0-()3f -()222242cos6013-=--⋅+-⋅︒+a b a b a a b b a b有灵犀”的情况包括：，，，，，，，，，，，，共13种，故他们“心有灵犀”概率为，故选． 6．【答案】D【解析】设双曲线的方程为，其渐近线方程为，依题意可知，解得，∴双曲线C 的渐近线方程为，故选D ．7．【答案】C【解析】，，， 由余弦定理可得：，由正弦定理可得：，为锐角，．故选C ． 8．【答案】C【解析】模拟程序的运行过程如下， 输入，，， ， 此时不满足循环条件，输出， 则判断框中应填入的是．故选C ．9．【答案】B132522221x y a b-=b y x a =±2222552a b ba b ⎧+==+⎪⎨⎪⎩31c Q 2b =π3A =∴∴32sin 22sin 6b AB a⋅===π4B ∴=114111333x k y ===⨯+=，，411321339k y ==⨯+=，131********k y ==⨯+=，4011214127381k y ==⨯+=，12181y =【解析】设圆锥底面圆半径为R ，球的半径为r ，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R 的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，所以，， ，所以球与圆锥的表面积之比为，故选B ． 10．【答案】B【解析】∵，即， ∴或,（舍去），则， 又，，，当，， 即，把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到，再把纵坐标缩短到原来的，得到，再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数的图象， 即，故选B ． 11．【答案】A【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为，则，3r =22234π4π4π3S r R ⎫=⋅=⎪⎪⎝=⎭球的表面积22π2π3πS R R R R =⋅+=圆锥表面积224π4393πRR=()02sin 1g ϕ==1sin 2ϕ=5π2π6k ϕ=+2ππ6k ϕ=+k ∈Z ()5π2sin 6g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7π5π2π126k ω+=k ∈Z 512267k ω⎛⎫∴=-⨯ ⎪⎝⎭1k =2ω=()5π2sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()g x 125π2sin 46y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭125πsin 46y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2π3()f x ()2π5π8π5π11ππsin 4sin 4sin 4sin 4363666f x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦24y =由，可知，解得， 所以，把点代入椭圆方程得到， 整理得，即，因，所以可得，故选A 项． 12．【答案】A 【解析】因为函数的图象关于点对称，所以．又函数为奇函数，所以，所以函数是周期为6的周期函数，又函数的定义域为，且为奇函数，故，，依次类推，．作出函数的大致图象，如图所示，根据周期性可知，函数在区间上的图象与在区间上的图象完全一样， 可知函数在上单调递减，且，所以函数在区间上的最小值为．选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】 【解析】因为曲线，所以，2224x x c ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭22x =221,3A c ⎫⎪⎪⎝⎭222222131c a b ⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=3e =R ()()330f f -==()30f -=34-1-()11af x x =-+'因为曲线在点处的切线方程为，所以，． 14．【答案】【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数其几何意义表示点与可行域内的点连线的斜率， 据此可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程，可得点的坐标为，据此可知目标函数的最小值为，故答案为． 15．【答案】【解析】， 所以． 16．【答案【解析】设正四棱柱的底面边长为x ，设棱柱的高h ，()01121af a =-=-='1a =-4-()5,1P -22010x y x y --=-+=⎧⎨⎩()4,3A --min 31445z --==--+4-710tan tan2144tan tan 344121tan tan 44ππππππαααα⎛⎫+- ⎪⎡⎤--⎛⎫⎝⎭=+-=== ⎪⎢⎥-⎛⎫⎝⎭⎣⎦++ ⎪⎝⎭2222222sin cos cos 2tan 12317sin2cos =10sin cos tan 131ααααααααα++⨯++===+++643根据相似性可得：，解得（其中． ∴此正四棱柱体积为，，令，解得， 易得：在上递增，在上递减， ． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由已知，得，又，解得，．（2）由（1）得，，， ． 18．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1），，， ，所以月支出关于月收入的线性回归方程是：． （2）的可能取值为，，， 2232223h -=436x h -=022x <<22436x V x h x -==28336x x V -'=0V '=42x =2436xV x -=42⎛ ⎝⎭42,22⎝6431n nT n =+()()12212n n n S n n n -⨯=+=+()111111n S n n n n ∴==-++11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 0.2.6ˆ0y x =-203035404855386x +++++==456881176y +++++==()2222222204305356408488551163870.2203035404855638ˆb⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=≈+++++-⨯0.2.6ˆ0yx =-()303336C C 1020C P ξ⋅===()213336C C 9120C P ξ⋅===，，故的分布列为：ξ0123P数学期望．19．【答案】（1）见证明；（2）．【解析】（1）如图，取的中点连接，，又是的中点，所以，且，又是中点，所以，由四边形是矩形得，，，所以且．从而四边形是平行四边形，所以，∵DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，∴GF∥平面ADE．（2）如图，在平面内，过点作，()123336C C9220CPξ⋅===()033336C C1320PCξ⋅===120920920120 ()19910123 1.520202020Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=23HG AB∥12HG AB=12DF CD=AB CD∥GH DF∥GF DH∥BQ EC∥因为，所以． 又平面，所以，．以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，，，．因为平面，所以为平面的法向量，设为平面的法向量．又，， ，即，取， ， 所以平面与平面所成角的余弦值为．20．【答案】（1）抛物线C 的方程为，焦点F 点坐标为；（2）见解析． 【解析】（1）因为抛物线经过点，所以．所以抛物线C 的方程为，焦点F 点坐标为．（2）证明：因为△BMF 与△ABF 的面积相等， 所以，所以B 为AM 的中点． 设（），则．BE u u u r BQ u u u r BA u u u r()0,0,4BA =u u u r(),,x y z =n ()4,0,4AE =-u u u r ()4,4,2AF =-u u u r 0n AE n AF ⎧⎪⎨⎪⋅=⋅=⎩u u u ru u ur 4404420x z x y z -=+-=⎧⎨⎩()2,1,2=-n 242cos 43,3BA BA BA 〉⋅⨯∴〈===⨯u u u ru u u r u u u rn n n 23()1,0()1,2P ()1,0BM AB =()00,M x y 000x y ≠()00,A x -所以直线l 的方程为， 与抛物线联立得， ，所以直线l 是抛物线C 的切线．21．【答案】（1）在，上单调递增，在上单调递减；（2）． 【解析】（1）时，，， 当时，； 当时，； 当时，．故在，上单调递增，在上单调递减． （2）．令，则，若，则当时，，为增函数，而，从而当时，，即．若，则当时，，为减函数，而， 从而当时，，即． 综上可得a 的取值范围是．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；()0002y y x x x =+2000840x y y x y -+=2200002006464161604x x Δx x x y =-=-=()f x (),1-∞-()0,+∞()1,0-(],1-∞12a =()()2112e x f x x x =--()()()111e e e x x x f x x x x '=-+-=-+(),1x ∈-∞-()0f x '>()1,0x ∈-()0f x '<()0,x ∈+∞()0f x '>()f x (),1-∞-()0,+∞()1,0-()()()2e 11e x x f x x ax x ax =--=--()e 1x g x ax =--()e xg x a '=-()0,x ∈+∞()0g x '>()g x ()00g =()0g x ≥()0f x ≥1a >()0,ln x a ∈()0g x '<()g x ()00g =()0,ln x a ∈()0g x <()0f x <(],1-∞（2）． 【解析】（1）由曲线的参数方程为（为参数），消去参数得曲线的普通方程为，因为曲线的极坐标方程为，所以，所以的直角坐标方程为，整理得．（2）：化为极坐标方程，所以，所以，所以，即， 又因为，所以． 23．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）当时，，当时，由得，得，或，所以． 当时，由，得，解得或，所以； 当时，由得，解得或，所以， 综上：当时，的解集为．（2）的解集为实数集，3π42cos 22sin x y ϕϕ==+⎧⎨⎩ϕ=4sin cos =422πn 4A B AB ρρααα⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭sin 14πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭()π42ππk k α-=+∈Z ()3ππ4k k α=+∈Z 3π4α=1171x x x ⎧-+⎪<->⎨⎪⎪⎩⎭或1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭102x <≤317x -<317x +>x ∈∅12x >117x --<117x -+>117x -+>1171x x x ⎧-+⎪<->⎨⎪⎪⎩⎭或()0f x ≥2221R a x x ⇔≥---第 21 页 共 21 页 当时，， 当时，， 的最大值为． 实数的取值范围为．12x ≥2221312212212222x x x x x ⎛⎫---=--+=-++≤- ⎪⎝⎭12x <2221112212212222x x x x x ⎛⎫---=-+-=---<- ⎪⎝⎭2221x x ∴---12-1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭。
浙江宁波市2024年高二下学期期末考试数学试题+答案 (1)
宁波市2023学年第二学期期末考试高二数学试题卷本试卷共4页，19小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、准考证号填涂在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡的“贴条形码区”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠、不要弄破。
选择题部分(共58分)一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，B ={1，5}，则∁U A ∩B =()A.⌀B.{1}C.{5}D.{1，5}2.已知复数z =1+2i ，则1z 的虚部为()A.25B.25iC.-25i D.-253.已知角α的终边过点-4，3 ，则sin α+cos αsin α=()A.-12B.-13C.14D.734.已知a ，b 为单位向量，则“a ⊥b ”是“a -2b =2a +b”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.对于直线m ，n 和平面α，β，下列说法错误的是()A.若m ⎳α，n ⎳α，m ，n 共面，则m ⎳nB.若m ⊂α，n ⎳α，m ，n 共面，则m ⎳nC.若m ⊥β，且α⎳β，则m ⊥αD.若m ⊥α，且m ⎳β，则α⊥β6.若ln x -ln y >y 2-x 2，则()A.ex -y>1 B.e x -y<1 C.ln x -y >0 D.ln x -y <07.袋子中有n 个大小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为16，则两次摸到的球颜色不相同的概率为()\A.518B.49C.59D.13188.颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，修建于清同治7年.这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特.胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为cosh x =e x +e -x 2，相应的双曲正弦函数的表达式为sinh x =e x -e -x2.若关于x 的不等式4m cosh 2x -4sinh 2x -1>0对任意的x >0恒成立，则实数m 的取值范围为()A.2，+∞B.[2，+∞)C.14，+∞ D.14，+∞ 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。
浙江杭州2024年高二下学期6月期末考试数学试题+答案
2023学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，并用2B 铅笔将准考证号所对应的数字涂黑。
3．答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数11i =+z ，22i =−z （i 为虚数单位，2i 1=−），则复数21=−z z z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．命题“0∃>x ，23100−−>x x ”的否定是（ ） A ．0∀>x ，23100−−>x x B ．0∃>x ，23100−−≤x x C ．0∀≤x ，23100−−≤x xD ．0∀>x ，23100−−≤x x3．下列函数中，以π为最小正周期的奇函数是（ ） A ．sin 2=y xB ．cos =y xC ．2sin =y xD ．2cos =y x4．若甲、乙、丙三人排成一行拍照，则甲不在中间的概率是（ ） A ．14B ．13C ．23D ．345．在正方体1111−ABCD A B C D 中，P ，Q 分别是棱1AA 和1CC 上的点，113=PA AA ，113=BQ BB ，那么正方体中过点D ，P ，Q 的截面形状为（ ） A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形6．在同一个坐标系中，函数()log =a f x x ，()=−g x a x ，()=ah x x 的图象可能．．是（ ） A ． B ． C ． D ．7．已知()sin 23sin 2γβα=+，则tan()tan()αβγαβγ++=−+（ ）A ．2−B ．14 C ．32D ．12−8．已知经过圆锥SO 的轴的截面是顶角为θ的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO 分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则cos θ=（ ）A ．13B C ．79D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。
浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷(含解析)
浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（ ）{}{}31,1e M x x N x x =-<=<≤M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}23x x <≤{}24x x <<{}2e x x <≤{}1e x x <≤2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）i 31i z -=-z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．样本数据的中位数和平均数分别为（ ）27,30,28,34,35,35,43,40A ．34，35B ．34，34C ．34.5，35D ．34.5，344．已知直线与圆有公共点，则的可能取值为（ ）30kx y k --=22:1O x y +=k A ．1B ．C ．D ．131-2-5．在中，角的对边分别是，且，则ABC ,,A B C ,,a b c ()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C=+++（ ）cos A =A ．B ．C ．D ．12-1312236．已知正方体的棱长为为棱的中点，则四面体的体积为1111ABCD A B C D -2,P 1BB 1ACPD （ ）A ．2B C ．D ．837．已知，则（ ）4sin25α=-tan2πtan 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．4B ．2C ．D ．2-4-8．已知双曲线的上焦点为，圆的圆心位于，且与的22:1C y x -=F A x C 上支交于两点，则的最小值为（ ）,BD BF DF+A．B CD21-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，设函数()(),f x g x R ()()e xf xg x +=，则（ ）()()()g x G x f x =()G x A ．是奇函数B ．是偶函数C ．在上单调递减D ．在上单调递增R R 10．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π3y 对称，则（ ）A ．的图象关于直线对称B ．的最小值为()f x π3x =ω12C ．的最小正周期可以为D ．的图象关于原点对称()f x 4π52π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭11．如图，有一个棱台形的容器（上底面无盖），其四条侧棱均相1111ABCD A B C D -1111D C B A 等，底面为矩形，，容器的深度为，容器壁的厚度忽略11111111m 224AB BC A B B C====1m不计，则下列说法正确的是（ ）A ．1AA =B ．该四棱台的侧面积为(2mC ．若将一个半径为的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面0.9m D ．若一只蚂蚁从点出发沿着容器外壁爬到点A 1C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 13．已知椭圆的左、右焦点分别为为上一动点，则的取22224:1(0)3x y C a a a +=>12,,F F A C 12AF AF 值范围是．14．已知两个不同的正数满足，则的取值范围是．,a b 33(1)(1)a b a b ++=ab 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数()1e 4xf x =(1)求曲线在点处的切线在轴上的截距；()y f x=()()1,1f l y (2)探究的零点个数．()f x 16．如图，在直三棱柱中，为棱上一点，111ABC A BC -12,1,AB BC AC AA M ====1CC 且．1AM BA ⊥(1)证明：平面平面；AMB ⊥1A BC (2)求二面角的大小．B AM C --17．设数列满足，且．{}n a ()122n n na n a +=+14a=(1)求的通项公式；{}n a(2)求的前项和．{}n a n n S 18．在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机Q R k 构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事A B 件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数()Q P A B =()R P B A =，其中．1o ee p p k p -=-()()()()()(),o e p P AB P AB p P A P B P A P B =+=+(1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率．Q R 实际有雷实际无雷总计检测到有雷402464检测到无雷102636总计5050100(2)对任意一次测试，证明：．()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-(3)若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若0.61k <≤0.20.6k <≤，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果．00.2k ≤≤k 19．已知抛物线的焦点为，以点为圆心作圆，该圆与轴的正、负半轴分别2:4C y x =F F x 交于点，与在第一象限的交点为．,H G C P (1)证明：直线与相切．PG C (2)若直线与的另一交点分别为，直线与直线交于点．,PH PF C ,M N MN PG T （ⅰ）证明：；4TM TN=（ⅱ）求的面积的最小值．PNT【分析】求得集合，可求{}24M x x =<<M N⋂【详解】因为，{}{}{}3124,1e M x x x x N x x =-<=<<=<≤所以．{}2e M N x x ⋂=<≤故选：C ．2．B【分析】根据复数的四则运算和共轭复数的概念，以及复数的几何意义即可求解.【详解】因为，()()()()3i 1i i 342i 2i 1i 1i 1i 2z -++---====----+所以，2i z =-+故在复平面内对应的点为位于第二象限．z (2,1)-故选：B.3．D【分析】先将样本数据按从小到大进行排列，再根据样本数据的中位数、平均数概念公式进行计算即可.【详解】将样本数据按照从小到大的顺序排列可得，27,28,30,34,35,35,40,43故中位数为，343534.52+=平均数为．()12728303435354043348⨯+++++++=故选：D.4．B，求解即可.1≤【详解】由直线与圆有公共点，30kx y k --=22:1O x y +=可得圆心到直线的距离为，()0,0O 30kx y k--=1d =≤解得，所以的取值范围为．k ≤≤k ⎡⎢⎣故选：B.【分析】根据题意，利用正弦定理化简得，结合余弦定理，即可求解.222b c a bc +-=-【详解】因为，()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++由正弦定理得，即，()()2222a b c b c b c=+++222b c a bc +-=-又由余弦定理得.2221cos 22b c a A bc +-==-故选：C.6．A【分析】设与交于点，证得平面，得到，且AC BD O AC ⊥11BDD B 113OPD V S AC =⨯中，结合，即可求解.AC =11BDD B 111111BDD B BOP B OP D P D ODD S S S S S =--- 【详解】设与交于点，在正方形中，，AC BD O ABCD AC BD ⊥又由正方体中，平面，1111ABCD A B C D -1DD ⊥ABCD 因为平面，可得，AC ⊂ABCD 1AC DD ⊥又因为且平面，所以平面，1BD DD D = 1,BD DD ⊂11BDD B AC ⊥11BDD B所以四面体的体积为，且，1ACPD 113OPD V S AC =⨯ AC =在对角面中，可得，11BDD B 111111BDD B BOP B D P OPD ODD S S S S S =-=--所以四面体的体积为．1ACPD 123V =⨯=故选：A.7．D【分析】由已知可得，利用，可求值.251tan tan 2αα+=-tan2tan 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭22tan 1tan 2tan ααα=++【详解】因为，所以，2222sin cos 2tan 4sin2sin cos tan 15ααααααα===-++251tan tan 2αα+=-所以．2tan22tan 1tan tan 4ααπαα=⨯-⎛⎫+ ⎪⎝⎭221tan 2tan 2tan 41tan (1tan )1tan 2tan ααααααα-===-++++故选：D.8．B【分析】设出圆的方程与双曲线方程联立，可得，进而可得，利用两点1212,x x xx +22121x x +=间距离公式求出，并利用不等式方法求出其最小值.BF DF+【详解】由题可知．设圆，，.(F 22:()2A x a y -+=()11,B x y ()22,D x y 联立，得，则，22221()2y x x a y ⎧-=⎨-+=⎩222210x ax a -+-=212121,2a x x a x x -+==因此，故.()22212121221x x x x x x +=+-=222222121212112213y y x x x x +=+++=++=+=因为，所以，同理可得22111y x -=11BF===-.21DF =-故.)122BF DF yy +=+-又，且，故，从而22123y y +=12,1yy≥1y =≤=2y=≤=.())22121y y -≤所以)122BF DF y y +=+-2=2=2=2≥2==当时，有，，此时1a =()0,1B (D 11BF DF +=-+=所以的最小值是BF DF+故选：B.关键点睛：本题解题关键是由圆的方程与双曲线方程联立得到，再用不等式方法求22121x x +=其最小值.9．AD【分析】根据奇、偶性得到方程组求出、的解析式，从而得到的解析式，再()f x ()g x ()G x 由奇偶性的定义判断的奇偶性，利用导数判断函数的单调性.()G x 【详解】因为①，所以，()()e xf xg x +=()()e xf xg x --+-=即②，联立①②，解得，()()e xf xg x --=()()e e e e ,22x x x xf xg x --+-==所以，定义域为，又，()e e e e x x x x G x ---=+R ()()e e e e x xx xG x G x ----==-+所以是奇函数，又，()G x ()()()()()2222ee e e 40eeeexx x x xx xx G x ----+--=+'=>+所以在上单调递增，故A ，D 正确，B 、C 错误．()G x R 故选：AD10．ABD【分析】根据图象平移判断A ，根据关于直线对称可得判断B ，由周π3x =()132k k ω=+∈Z 期计算可判断C ，可先证明函数关于点对称，再由图象平移判断D.ω()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】对于A ，将的图象向左平移个单位长度后，关于轴对称，所以的图()f x π3y ()f x 象关于直线对称，故A 正确；π3x =对于B ，由题可知，解得，又，所以的最小()ππππ332k k ω+=+∈Z ()132k k ω=+∈Z 0ω>ω值为，故B 正确；12对于C ，若最小正周期，则，由B 项可知，不存在满足条件的，故C 错4π5T =2π52T ω==ω误；对于D ，因为，代入，得2π2ππsin 333f ω⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()132k k ω=+∈Z ，()2πsin 2π03f k ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭所以的图象关于点对称，将的图象向右平移个单位长度可以得到()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 2π3的图象，2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭则对称中心对应平移到坐标原点，故的图象关于原点对称，故D 正确．2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：ABD 11．BD【分析】由勾股定理即可判断A ，由梯形的面积公式代入计算，即可判断B ，做出轴截面图形代入计算，即可判断C ，将四棱台展开，然后代入计算，即可判断D 【详解】对于A ，由题意可得，故A错误；132AA ==对于B ，梯形11ADD A =所以梯形的面积为11ADD A 242+=梯形，11ABB A=所以梯形的面积为，11ABB A 122+=故该四棱台的侧面积为，故B正确；2⨯=对于C ，若放入容器内的球可以接触到容器的底面，则当球的半径最大时，球恰好与面、面、面均相切，11ADD A 11BCC B ABCD 过三个切点的截面如图（1）所示，由题意可知棱台的截面为等腰梯形，较长的底边上的底角的正切值为，则，12212=-tan 2MPN ∠=-由于互补，故，,MPN MON ∠∠tan 2MON ∠=则，所以，从而球的半径为22tan 21tan MOPMOP ∠=-∠tanMOP ∠=，0.9=<所以将半径为的球放入该容器中不能接触到容器的底面，故C 错误；0.9cm对于D ，将平面与平面展开至同一平面，ABCD 11DCC D 如图（2），则，1AC ==将平面与平面展开至同一平面，如图（3），ABCD 11BCC B 则，145333044AC ⎛=+=< ⎝D 正确．故选：BD难点点睛：解答本题的难点在于选项D 的判断，解答时要将空间问题转化为平面问题，将几何体侧面展开，将折线长转化为线段长，即可求解.12．672【分析】利用二项式定理，求得二项展开式中的通项，把含x 的进行幂运算合并，然后令指数等于3，即可求解.【详解】因为通项为，令，得，712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭77721771C (2)2C rr r r r rr T x x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭72r 3-=2r =所以的系数为．3x 72272C 672-=故672.13．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据椭圆、、之间的关系，求出，再根据椭圆的定义，把换成a b c 12c a=1AF ，最后根据，代入即可.22a AF -[]2,AF a c a c ∈-+【详解】设椭圆的半焦距为，则，C (0)c c >12c a==，12222221AF a AF aAF AF AF -==-因为，即，[]2,AF a c a c ∈-+213,22AF a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，即.2211,33a AF ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦121,33AF AF ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为.1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．10,4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】本题将条件式化简后结合基本不等式得出关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性求解即可.【详解】将两边展开，33(1)(1)a b a b ++=得到，22113333a a b b a b +++=+++从而，()()221130ab a b a b ⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭故，而，()130a b a b ab ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭a b¹故，又，130a b ab ++-=00a b ＞，＞故，133a b ab =++>从而．321+<设函数，则，()3223g x x x=+112gg ⎛⎫<= ⎪⎝⎭观察易得在，()g x ()0,∞+12<又，所以．0,0a b >>104ab <<故答案为.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，其关键是利用均值不等式构造关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性解决问题.321+<()3223g x x x =+15．(1)12-(2)有两个零点()f x【分析】（1）求得，，利用导数的几何意()1e 4x f x '=()e 1142f ='-()e 114f =-义，求得切线方程，进而求得其在轴上的截距；y（2）得到在上递增，结合，得到，()1e 4x f x '=()0,∞+()10,104f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭''01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得，进而求得单调性，结合零点的存在性定理，即可求解.()00f x '=()f x【详解】（1）解析：由函数，可得，()1e 4x f x =()1e 4x f x '=()e 1142f ='-又，所以的方程为，即，()e 114f =-l ()e 1e 11424y x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭e 11422y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令，可得，所以直线在轴上的截距为．0x =12y =-l y 12-（2）解：因为和上均单调递增，1e 4x y =y =()0,∞+所以在上单调递增，()1e 4x f x '=()0,∞+又因为，所以，使得，()141111e 10,1e 04442f f ⎛⎫=-=''- ⎪⎝⎭01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00f x '=所以，当时，，在单调递减；()00,x x ∈()0f x '<()f x ()00,x 当时，，在单调递增，()0,x x ∞∈+()0f x '>()f x ()0,x ∞+又因为，()()14100111e 1e 0,110,4e 2010041044f f f ⎛⎫=->=-=- ⎪⎝⎭所以有两个零点．()f x 方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型e xln x①，构造函数或；e ln e ln e ln a a a a b b b b ≤⇔≤()lnf x x x =()e xg x x =②，构造函数或；e e ln ln e ln a a a b b a b b <⇔<()ln x f x x =()e x g x x =③，构造函数或.e ln e ln e ln a a a a b b b b ±>±⇔±>±()lnf x x x =±()e xg x x =±16．(1)证明见解析(2)4π【分析】（1）由线面垂直得到，结合勾股定理逆定理得到，证明出1AA BC ⊥BC AC ⊥平面，得到，结合题目条件证明出平面，得到面面垂直；BC⊥11AA C C AMBC ⊥AM ⊥1A BC （2）建立空间直角坐标系，设点，根据向量垂直得到方程，求出()0,0,M a ，进而求出平面的法向量，得到二面角的余弦值，得到答案.a M ⎛=⎝【详解】（1）在直三棱柱中，平面，111ABC A B C -1AA ⊥ABC ∵平面，BC ⊂ABC ∴，1AA BC ⊥∵2,1,AB BC AC ===∴，222AB AC BC =+∴，BC AC ⊥，平面，1AC AA A⋂=1,AC AA ⊂11AA C C ∴平面．BC ⊥11AA C C 平面，AM ⊂ 11AA C C ∴，AM BC ⊥，平面，11,AM A B A B BC B ⊥= 1,A B BC ⊂1A BC ∴平面．AM ⊥1A BC 又平面，AM ⊂AMB平面平面．∴AMB ⊥1A BC （2）由（1）可知两两垂直，1,,CA CB CC 如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标C 1,,CA CB CC x y z 系，Cxyz 则．())()10,0,0,,,0,1,0C AAB设点，()0,0,M a 则．()()()1,,0,1,0,AM a BA CB AB ==-==，解得．11,30AM BA AM BA ⊥∴⋅=-+=a M ⎛=∴ ⎝设平面的法向量为，AMB (),,m x y z =则可取．0,0,m AM z m AB y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩(m = 易知为平面的一个法向量．()0,1,0n CB ==AMCcos ,m n m n m n ⋅〈〉===⋅故由图可知二面角的大小为．B AM C --4π17．(1)()12nn a n n =+⋅(2)()21224+=-+⋅-n n S n n【分析】（1）由已知可得，累乘法可求的通项公式；()122n n n a a n ++={}n a （2）由（1）可得，利用错位相减法可求的前()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ {}n a 项和.n n S 【详解】（1）由题易知，且，0n a ≠()122n n n a a n ++=所以，()2341231212324251231n n n a a a a a a a a n -+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯- 所以，()()121121212n n n n n a n n a --+⋅==+⋅⨯所以也满足该式，()112,n n a n n a =+⋅所以．()12nn a n n =+⋅（2），①()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ ，②()()2121221212n n n S n n n n +=⨯⨯++-⋅++⋅ ②-①，得．()()11212212222n n n S n n n +=+⋅-⨯⨯+⨯++⋅ 设，③1212222nn T n =⨯+⨯++⋅ 则，④()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ④-③，得，()()()1121112222222122n n n n n n T n n n ++++=⋅-+++=⋅--=-+ 所以．()()()1121122124224n n n n S n n n n n +++=+⋅--⋅-=-+⋅-18．(1)；．0.625=Q 0.8R =(2)证明见解析(3)0.32【分析】（1）利用条件概率的计算公式计算即可；（2）由条件概率与互斥事件的概率公式证明即可；（3）由（2）计算出的值，判断机器人的检测效果即可.k 【详解】（1），()()()400.62564P AB Q P A B P B ====．()()()400.850P AB R P B A P A ====（2），()()()()()()1111111o e oe e P AB P AB p p p k p p P A P B P A P B ----==-=-----要证明，()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-需证明．()()()()()()()1221P AB P AB Q R QR Q R P AB P A P B P A P B --+-=+---等式右边：()()()()()()()()||2||22||2P A B P B A P A B P B A Q R QR Q R P AB P A B P B A P AB +-+-=+-+-．()()()()()()()()()()()()()22P AB P AB P AB P AB P B P A P B P A P AB P AB P AB P B P A +-⨯⨯=+-()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左边：因为，()()()()()1P A B P AB P A P B P AB ⋃=-=+-所以()()()()()()()()()()()()()121111P AB P AB P A P B P AB P A P B P A P B P A P B P A P B --+-=⎡⎤⎡⎤------⎣⎦⎣⎦．()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左右两边相等，因此成立．()212Q R QRk Q R P AB +-=-+-（3）由（2）得，因为，0.6250.820.6250.810.320.6250.820.4k +-⨯⨯=-=+-⨯0.20.320.6<<所以（1）中机器人的检测效果一般．19．(1)证明见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）163【分析】（1）根据题意，表示出直线的方程，然后与抛物线方程联立，由即可证明；PG Δ0=（2）（ⅰ）根据题意，设直线的方程为，与抛物线方程联立，即可得到点的PF 1x ty =+,N H 坐标，从而得到直线的方程，再与抛物线方程联立，即可得到点的坐标，再结合相似PH M 三角形即可证明；（ⅱ）由条件可得，再由代入计算，即可43PNTPNES S =△△12PNES EP EN = 证明.【详解】（1）由题意知，()1,0F 设，则，()2,2(0)P n n n >21PF n =+所以，所以，21GF FH n ==+()2,0G n -所以直线的斜率为，方程为．PG 1n ()21y x n n =+联立方程得，()221,4,y x n n y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩22440y ny n-+=因为，所以直线与相切．Δ0=PG C （2）（ⅰ）设直线的方程为，PF 1x ty =+由可得，则，又因为，所以．24,1,y x x ty ⎧=⎨=+⎩2440y ty --=4P N y y =-()2,2P n n 212,N n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭由（1）知，点，直线的斜率为，方程为，()22,0H n +PH n -()22y n x n=---由得，由，()224,2,y x y n x n ⎧=⎪⎨=---⎪⎩224480y y n n +--=248P M y y n =--得．22444,2M n n n n ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭作，垂足为，则，直线的方程为，NE PG ⊥E EN PM ∥EN 212y n x n n ⎛⎫=---⎪⎝⎭将直线与的方程联立，得解得．EN PG ()2212,1,y n x n n y x n n ⎧⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩11,E n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以，所以，2211441,,4,4EN n PM n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4PM EN =由相似三角形的性质可得．4TM TN=（ⅱ）由（ⅰ）知，所以，故，4TM TN=4TP TE=43PNT PNES S =△△因为，221111,,1,EP n n EN n n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以（当且仅当时等号成立），()323311114222PNEn S EP EN n n n +⎛⎫===+≥ ⎪⎝⎭ 1n =故，即的面积的最小值为．41633PNT PNES S =≥△△PNT 163方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。
高中数学：2022-2023学年浙江省名校联盟高二(下)期末数学试卷(含参考答案)
2022-2023学年浙江省名校联盟高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）集合A ＝{x |ax ＝1}，B ={y|y =√x −1}且A ∩B ＝A ，则a 的取值范围为（ ） A ．[0，+∞）B ．（0，1]C ．[1，+∞）D ．（0，1）2．（5分）若直线a 在平面α内，直线b 在平面α外，则“b ⊥a ”是“b ⊥α”的（ ） A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件3．（5分）数列{a n }首项为1，接下来3项为13，再接下来5项为15，再后面7项为17，以此类推a 100＝（ ）A ．115B ．117C ．119D ．1214．（5分）已知一组成对数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，6）中y 关于x 的一元非线性回归方程y ＝bx 2+1，已知∑x i 2=126i=1，∑ 6i=1x i =4，∑ 6i=1y i =18，则b ＝（ ）A ．3B ．1C ．﹣1D ．﹣35．（5分）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．足球由32块黑白相间的皮革缝制而成，其中，黑色的皮块呈正五边形，每一块黑皮的周围都5块白皮相连；而白色的皮块呈正六边形，每一块白皮的周围分别连着3块黑皮、3块白皮．若制作一个半径为10 cm 的足球（正多边形近似看作平面正多边形），则一块黑皮面积约为_____cm 2．（注：边长为a 的正五边形面积≈1.7a 2，边长为a 的正六边形面积≈2.6a 2，取3.14）（ ） A ．32.44B ．31.92C ．30.51D ．29.496．（5分）复数z 满足|z ﹣1|+|z +1|＝4，则|z |的取值范围是（ ） A ．[√3，2]B ．[1，2]C ．[2，3]D ．[1，√3]7．（5分）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）右焦点为F ，离心率为e ，PO →=kFO →（k ＞1），以P 为圆心，|PF |长为半径的圆与双曲线有公共点，则k ﹣8e 最小值为（ ） A ．﹣9B ．﹣7C ．﹣5D ．﹣38．（5分）已知a =sin√32，b =2√55，c =cos 12，则（ ）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省杭州市2021-2022高二数学下学期期末考试试题(含解析).doc
浙江省杭州市2021-2022高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选，错选均不得分 1.设集合{}1,2,4A =，{}3,4B =，则集合A B =（ ）A. {}4B. {}1,4C. {}2,3D.{}1,2,3,4【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的运算律可得出集合AB 。
【详解】由题意可得{}4A B ⋂=，故选：A 。
【点睛】本题考查集合的交集运算，考查计算能力，属于基础题。
2.直线340x y ++=的斜率为（ ） A. 13- B.13C. 3-D. 3【答案】A 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式，可得出直线的斜率。
【详解】将直线方程化为斜截式可得1433y x =--，因此，该直线的斜率为13-，故选：A 。
【点睛】本题考查直线斜率的计算，计算直线斜率有如下几种方法： （1）若直线的倾斜角为α且α不是直角，则直线的斜率tan k α=； （2）已知直线上两点()11,A x y 、()()2212,B x y x x ≠，则该直线的斜率为1212y y k x x -=-；（3）直线y kx b =+的斜率为k ；（4）直线()00Ax By C B ++=≠的斜率为A k B=-.3.函数()22log 1y x =-的定义城是（ ） A. {}1x x > B. {}1x x <C. {}1x x ≠D. R【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零这一原则得出关于x 的不等式，解出可得出函数的定义域。
【详解】由题意可得()210x ->，解得1x ≠，因此，函数()22log 1y x =-的定义域为{}1x x ≠，故选：C 。
【点睛】本题考查对数型函数的定义域的求解，求解时应把握“真数大于零，底数大于零且不为1”，考查计算能力，属于基础题。
2024浙江省衢州市高二下学期期末考数学试题及答案
衢州市2024年6月高二年级教学质量检测试卷数学考生须知：1.全卷分试卷和答题卷.考试结束后，将答题卷上交.2.试卷共4页，有4大题，19小题.满分150分，考试时间120分钟.3.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求.1. 复数2(1i)+=（ ）A. 22i- B. 22i + C. 2i- D. 2i2. 设随机变量316,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则X 的数学期望为（ ）A. 3B. 6C. 9D. 123. 已知直线m 和平面α，则“m α⊄”是“直线m 与平面α无公共点”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某圆锥的轴截面是腰长为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）AB.π2C. πD.5.已知向量(a =- ，且()a ab ⊥+ ，则b 在a 上的投影向量为（ ）A.)1-B. 1⎫-⎪⎪⎭C. (1,D. 1,2⎛ ⎝6. 在ABC 中，π3B =，D 是AB的中点，CD =，则2AB BC +的取值范围为（ ）A.B. (C. (D. (0,7. 若曲线()1ln y ax x =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是（ ）A. 210,e ⎛⎫⎪⎝⎭B. ()20,eC. 21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭8. 已知曲线1C ：2y x =，曲线2C ：2231022x y x y ++-=，两曲线在第二象限交于点P ，1C ，2C 在P .处的切线倾斜角分别为α，β，则（ ）A. 2π3αβ+=B.3π4αβ+=C.5π4αβ+=D.π2αβ-=二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列论述正确的是（ ）A. 样本相关系数0r =时，表明成对样本数据间没有线性相关关系B. 由样本数据得到的经验回归直线y bx a =+$$$必过中心点(),x y C. 用决定系数2R 比较两个回归模型拟合效果时，2R 越大，表示残差平方和越大，模型拟合效果越差D. 研究某两个属性变量时，作出零假设0H 并得到2×2列联表，计算得20.05x χ≥，则有95%的把握能推断0H 不成立10. 已知F 是双曲线22145x y -=右焦点，P 为其左支上一点，点()0,6A -，则（ ）A. 双曲线焦距为6B. 点F 到渐近线的距离为2C. PA PF +的最小值为4+D. 若8PF =，则OPF △的面积为11. 已知函数()f x 的定义域为R ，若()()21322f x f x -+-=，且()2f x -为偶函数，()22f =，则（ ）A. ()()4f x f x +=B. ()20240f =C. ()()392f f += D.()25125i f i ==∑三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12. 5(2)x y -的展开式中23x y 的系数是______.(用数字作答)13. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一个人.则4次传球的不同方法总数为_________（用数字作答）；4次传球后球在甲手中的概率为_________.14. 如图，等腰直角三角形ABC 中，ACBC ⊥，4AB =，D 是边AC 上一动点（不包括端点）.将的的的ABD △沿BD 折起，使得二面角1A BD C --为直二面角，则三棱锥1A BCD -的外接球体积的取值范围是_________.四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.15. 已知数列{}n a 为等比数列，1a ，14，4a 成等差数列，且524a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n S .16. 如图，在棱长为1的正四面体A BCD -中，E 是AB 的中点，F ，G 分别在棱AD 和CD 上（不含端点），且//FG 平面ABC .（1）证明：//AC 平面EFG ；（2）若F 为AD 中点，求平面EFG 截该正四面体所得截面的面积；（3）当直线EG 与平面BCD 所成角为π6时，求DG .17. 已知函数()e xf x ax b =--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求ab 的最大值.18. 某学校的数学节活动中，其中有一项“抽幸运数字”擂台游戏，分甲乙双方，游戏开始时，甲方有2张互不相同的牌，乙方有3张互不相同的牌，其中的2张牌与甲方的牌相同，剩下一张为“幸运数字牌”.游戏规则为：①双方交替从对方抽取一张牌，甲方先从乙方中抽取；②若抽到对方的牌与自己的某张牌一致，则将这两张牌丢弃；③最后剩一张牌（幸运数字牌）时，持有幸运数字牌的那方获胜.假设每一次从对方抽到任一张牌概率都相同.奖励规则为：若甲方胜可获得200积分，乙方胜可获得100积分.（1）已知某一轮游戏中，乙最终获胜，记X 为甲乙两方抽牌次数之和.（ⅰ）求()2P X =；（ⅱ）求()2P X k =，*k ∈N ；（2）为使获得积分的期望最大，你会选择哪一方进行游戏？并说明理由.19. 已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>，斜率为12的直线l 与y 轴交于点P ，l 与C 交于A ，B 两点，T 是A 关于x 轴的对称点.当P 与原点O 重合时，ABT 面积为89.（1）求C 的方程；（2）当P 异于O 点时，记直线BT 与x 轴交于点Q ，求OPQ △周长的最小值.的衢州市2024年6月高二年级教学质量检测试卷数学考生须知：1.全卷分试卷和答题卷.考试结束后，将答题卷上交.2.试卷共4页，有4大题，19小题.满分150分，考试时间120分钟.3.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求.1. 复数2(1i)+=（ ）A. 22i - B. 22i + C. 2i- D. 2i【答案】D 【解析】【分析】根据复数乘法计算.【详解】22(1i)12i i 12i 12i +=++=+-=.故选：D2. 设随机变量316,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则X 的数学期望为（ ）A. 3 B. 6C. 9D. 12【答案】D 【解析】【分析】根据二项分布的变量的期望公式，代入运算得解.【详解】316,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭Q :，()316124E X np ∴==⨯=.故选：D.3. 已知直线m 和平面α，则“m α⊄”是“直线m 与平面α无公共点”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据直线与平面的位置关系，结合充分，必要条件关系判断.【详解】因为m α⊄包含m α∥和直线m 与平面α相交两种情况，因此若m α⊄，则直线m 可以与平面α无公共点也可以与平面α有一个公共点，因此“m α⊄”是“直线m 与平面α无公共点”的必要不充分条件. 故选：B ．4. 某圆锥的轴截面是腰长为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）A.B.π2C. πD.【答案】A 【解析】【分析】先求出该圆锥的底面半径和母线长，再求圆锥的侧面积得解.=，母线长为1，所以该圆锥的表面积为12π12⨯⨯=.故选：A.5.已知向量(a =- ，且()a ab ⊥+ ，则b 在a上投影向量为（ ）A.)1-B. 1⎫-⎪⎪⎭C. (1,D. 1,2⎛ ⎝【答案】C 【解析】【分析】先根据条件求出a b ⋅ ，再根据投影向量的概念计算b 在a上的投影向量.【详解】由(a =- ，得：2a =.又()a ab ⊥+ ⇒()0a a b ⋅+= ⇒24a b a ⋅=-=- .所以b 在a 上的投影向量为：(41,2a b a aa ⋅-⋅==.故选：C6. 在ABC 中，π3B =，D 是AB的中点，CD =，则2AB BC +的取值范围为（ ）的A.B. (C. (D. (0,【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由正弦定理可得2sin ,2sin BD BCD BC BDC =∠=∠，即可得到π26AB BC BCD ⎛⎫+=∠+ ⎪⎝⎭，再由正弦型函数的值域，代入计算，即可求解.【详解】因为π3B =，CD =，在BCD △中，由正弦定理可得2sin sin sin BD BC CDBCD BDC B====∠∠∠，则2sin ,2sin BD BCD BC BDC =∠=∠，且D 是AB 的中点，则2224sin 4sin AB BC BD BC BCD BDC +=+=∠+∠，又π3B =，则2π3BCD BDC ∠=-∠，则224sin π4sin 3AB BC BDC BDC ⎛⎫+=-∠+∠⎪⎝⎭14sin sin 2BCD BCD BCD ⎫=∠+∠+∠⎪⎪⎭34sin 2BCD BCD ⎛⎫=∠∠ ⎪ ⎪⎝⎭π6BCD ⎛⎫=∠+ ⎪⎝⎭，又20π3BCD ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，，则ππ5π666BCD ⎛⎫∠+∈ ⎪⎝⎭，，所以π1sin 162BCD ⎛⎫⎛⎤∠+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，，则(π6BCD ⎛⎫∠+∈ ⎪⎝⎭，即2AB BC +的取值范围为(.故选：C7. 若曲线()1ln y ax x =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是（ ）A. 210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()20,eC. 21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】先设切点()()000,1ln x ax x +，再根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式得到切线方程；再根据切线过点()0,0，得到0,x a 的关系，利用0x 有两解求a 的取值范围.【详解】设切点()()000,1ln x ax x +，又()11ln 1ln y a x ax a x a x x'=++⋅=++，所以切线斜率为：001ln k a x a x =++.由点斜式，切线方程为：()001ln y ax x -+=()0001ln a x a x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭.因为切线过点()0,0，所以()001ln ax x -+=()0001ln 0a x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭.所以：00ln 10ax x -+=.因为过原点的切线有两条，所以关于x 方程ln 10ax x -+=有两解.由ln 10ax x -+=（0x >）⇒ln 1x a x-=，设()ln 1x h x x-=，则()()221ln 12ln x x x x h x x x ⋅---'==，由()0h x '>得2ln 0x ->⇒2e x <，所以()h x 在()20,e单调递增，在()2e ,+∞单调递减，所以()221e e h =，且当e x >时，()0h x >.所以ln 1x a x -=有两解，则210ea <<.故选：A8. 已知曲线1C ：2y x =，曲线2C ：2231022x y x y ++-=，两曲线在第二象限交于点P ，1C ，2C 在P 处的切线倾斜角分别为α，β，则（ ）A. 2π3αβ+= B.3π4αβ+=C.5π4αβ+=D.π2αβ-=【答案】B 【解析】【分析】易知()1,1P -，利用导数的几何意义可求得tan 2α=-，再根据圆的切线求法可得1tan 3β=，再根据三角恒等变换可判断B 正确.【详解】联立22231022y x x y x y ⎧=⎪⎨++-=⎪⎩，得42230x x x ++=，即()3230x x x ++=，可得()()212230x x x x +-+=，解得10x =，21x =-，可得()1,1P -由1C ：2y x =可知2y x '=；所以曲线1C 在P 处的切线斜率为112tan x k y α=-'==-=|，π3π,24α⎛⎫∈⎪⎝⎭曲线2C 可化为22315448x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其圆心为31,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，()21143314PC k -==-⎛⎫--- ⎪⎝⎭，所以圆2C 在P 处的切线斜率为21tan 3k β==，π0,4β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π,π2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--⋅，即3π4αβ+=，故B 正确，A 、C 错误，()()()123tan tan 71123αβαβ---=-==-+-⨯，故D 错误，故选：B.二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列论述正确的是（ ）A. 样本相关系数0r =时，表明成对样本数据间没有线性相关关系B. 由样本数据得到的经验回归直线y bx a =+$$$必过中心点(),x y C. 用决定系数2R 比较两个回归模型的拟合效果时，2R 越大，表示残差平方和越大，模型拟合效果越差D. 研究某两个属性变量时，作出零假设0H 并得到2×2列联表，计算得20.05x χ≥，则有95%的把握能推断0H 不成立【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ：根据相关系数的性质分析判断；对于B ：根据经验回归方程过样本中心点分析判断；对于C ：根据决定系数的性质分析判断；对于D ：根据独立性检验思想分析判断.【详解】对于选项A ：样本相关系数r 的绝对值越大，线性相关性越强，所以样本相关系数0r =时，表明成对样本数据间没有线性相关关系，故A 正确；对于选项B ：经验回归直线y bx a =+$$$必过中心点(),x y ，故B 正确；对于选项C ：在回归分析中，2R 越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好，故C 错误；对于选项D ：因为20.05x χ≥，根据独立性检验的思想可知有95%的把握能推断0H 不成立，故D 正确；故选：ABD.10. 已知F 是双曲线22145x y -=的右焦点，P 为其左支上一点，点()0,6A -，则（ ）A. 双曲线的焦距为6B. 点F 到渐近线的距离为2C. PA PF +的最小值为4+D. 若8PF =，则OPF △的面积为【答案】AC 【解析】【分析】根据双曲线的性质判断A ，利用点到直线的距离公式判断B ，利用双曲线的定义判断C ，求焦点三角形的面积，可判断D.的【详解】如图：由双曲线的标准方程22145x y -=，可知2a =，b =，所以3c ==，所以双曲线的焦距为：26c =，故A 正确；双曲线的渐近线为y x =20y ±=，点()3,0F 到渐近线的距离为：d ==，故B 错误；设双曲线的左焦点为F ',根据双曲线的定义：4PF PF -'=，所以PA PF +4PA PF ='++4AF ≥'+44=+=+，故C 正确；在PFF ' 中，由8PF =，844PF '=-=，6FF '=，由余弦定理得：222cos 2PF PF FF FPF PF PF ''+-=⋅''∠641636284+-=⨯⨯641636284+-=⨯⨯1116=，所以sin FPF '∠=，所以1842FPF S '=⨯⨯= 12OPF FPF S S '== ，故D 错误.故选：AC 11. 已知函数()f x 的定义域为R ，若()()21322f x f x -+-=，且()2f x -为偶函数，()22f =，则（ ）A. ()()4f x f x += B. ()20240f =C. ()()392f f += D. ()25125i f i ==∑【答案】BCD【分析】首先根据函数既是中心对称又是轴对称，求得函数的周期，判断A ，再根据函数周期和对称性求值，并求函数值，判断BCD.【详解】∵()()21322f x f x -+-=，∴()f x 关于()1,1对称∵()2f x -为偶函数，∴()f x 关于2x =-对称∴()f x 的周期()41212T ⎡⎤=--=⎣⎦，故A 错；()()20244f f =-（∵()f x 的周期为12）()()40f f -=（∵()f x 关于2x =-对称）()()0220f f =-=（∵()f x 关于()1,1对称），故B 正确；()()93f f =-（∵()f x 的周期为12）()()31f f -=-（∵()f x 关于2x =-对称）()()123f f -=-（∵()f x 关于()1,1对称）()()132f f -+=，即()()932f f +=，故C 正确；∵()f x 的周期为12∴()()()()()()2313141525f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，()()312f f +-=，又()()111f f -=，所以()()3112f f +=，同理()()4102f f +=，()()592f f +=，()()682f f +=，()()752f f +-=，又()()57f f -=，所以()272f =，即()71f =，由()()21322f x f x -+-=，令1x =，得()212f =，()11f =，()()1200f f ==，所以()()()()123...1212f f f f ++++=，所以()()()1314...2412f f f +++=，()()2511f f ==，()25124125i f i ==+=∑，故D 正确.【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过对称性判断函数的周期.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12. 5(2)x y -的展开式中23x y 的系数是______.(用数字作答)【答案】40-【解析】【分析】写出二项展开式的通项，再根据通项赋值即可得展开式中23x y 的系数.【详解】5(2)x y -的展开式的通项()()()555155C 2C 21,0,1,2,5r r r r r r r r r T x y x y r ---+=-=⋅⋅-= 所以展开式中23x y 的系数是()3325C 2140⋅⋅-=-.故答案为：40-.13. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中任何一个人.则4次传球的不同方法总数为_________（用数字作答）；4次传球后球在甲手中的概率为_________.【答案】①. 81 ②. 727【解析】【分析】先求出4次传球的方法总数，再求出4次传球后球在甲手中的方法总数，设n A 表示经过第n 次传球后球在甲手中，设n 次传球后球在甲手中的概率为n P ，依题意利用全概率公式得到11133n n P P +=-，即可得到14n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以14-为首项，13-为公比的等比数列，从而求出n P ，再将4n =代入计算可得.【详解】由题意可知，4次传球总的传球路线种数为4381=种，设n A 表示经过第n 次传球后球在甲手中，设n 次传球后球在甲手中的概率为n P ，1,2,3,n = ，则有10P =，111n n n n n A A A A +++=+，所以()()()11111n n n n n n n n n P P A A A A P A A P A A +++++=+=+()()()()11||n n n n n n P A P A A P A P A A ++=⋅+()()1110133n n n P P P =-⨯+⨯=-，即11133n n P P +=-，所以1111434n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，的又111044P -=-≠，所以14n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以14-为首项，13-为公比的等比数列，所以1111443n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，即1111443n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭，当4n =时34111744327P ⎛⎫=-⨯-= ⎪⎝⎭.故答案为：81，727.14. 如图，等腰直角三角形ABC 中，AC BC ⊥，4AB =，D 是边AC 上一动点（不包括端点）.将ABD △沿BD 折起，使得二面角1A BD C --为直二面角，则三棱锥1A BCD -的外接球体积的取值范围是_________.【答案】32π3⎛⎝【解析】【分析】根据两平面互相垂直判断外接球球心的位置，再由已知条件计算出球半径表达式，即可求出体积取值范围.【详解】因为BCD △是直角三角形，所以其外接圆的圆心在Rt BCD 的斜边BD 上，即BD 是该圆的直径，又因为平面1A BD ⊥平面BCD ，所以平面1A BD 必过球心，外接球半径即为1A BD 外接圆的半径，设球的半径为r ，球的体积为V ，在1A BD中，根据正弦定理得，12πsin sin 4BD BD r BA D ===∠，又因为()4BD ∈，所以(124,sin sin BD BD r BA D A ===∈∠，所以3432ππ33V r ⎛=∈ ⎝.故答案为：32π3⎛ ⎝【点睛】关键点点睛：本题关键是通过两平面垂直关系以及三棱锥的底面为直角三角形判断出球心的位置，判断球心在平面1A BD 上，得出球心为1A BD 外接圆的圆心，再求出BD 的取值范围即可解决问题.四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.15. 已知数列{}n a 为等比数列，1a ，14，4a 成等差数列，且524a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n S .【答案】（1）13n na -= （2）()21314n nn S -⋅+=【解析】【分析】（1）根据1a ，14，4a 成等差数列，得1428a a +=，再结合524a a a =及等比数列的通项公式，可求1,a q ，从而得到等比数列的通项公式.（2）利用“错位相减求和法”求数列的前n 项和.【小问1详解】由题意可知1428a a +=，即31128a a q +=，又∵43111a q a q a q =⋅，即211a a =，∴11a =或10a =（舍），∴3q =，∴1113n n n a a q --==.【小问2详解】令13n n n b na n -==⋅，∴12n n S b b b =++⋅⋅⋅+，即()121123133n n n S n n --=+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅①∴()213323133n n n S n n -=+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅②①-②得：∴21133121333333132n n n nn nn S n n n ----=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅-∴()21311132444n n n n n S -⋅+⎛⎫=-⋅+= ⎪⎝⎭.16. 如图，在棱长为1的正四面体A BCD -中，E 是AB 的中点，F ，G 分别在棱AD 和CD 上（不含端点），且//FG 平面ABC .（1）证明：//AC 平面EFG ；（2）若F 为AD 中点，求平面EFG 截该正四面体所得截面的面积；（3）当直线EG 与平面BCD 所成角为π6时，求DG .【答案】（1）证明见解析（2）14（3）12DG =【解析】【分析】（1）线面平行的判定定理和性质定理证明即可；（2）取BC 中点H ，则平面EFGH 即为平面EFG 截正四面体A BCD -的截面，求解即可.（3）方法一：取CD 中点M ，连接BM ，过点E 作BM 的垂线，垂足为N ，连接NG ，由线面角的定义可知EGN ∠即为直线EG 与平面BCD 所成角，求解即可；方法二：如图，取CD 中点M ，连接BM ，以M 为坐标原点，MD ，MB 所在直线分别为x ，y 轴，由向量法求解即可.【小问1详解】证明：因为//FG 平面ABC ，FG ⊂平面ACD ，平面ACD 平面ABC AC =，所以//FG AC ，又FG ⊂面EFG ，AC ⊂/面EFG ，所以//AC 平面EFG ；【小问2详解】因为E，F，G为AB，AD，CD中点，取BC中点H，则平面EFGH即为平面EFG截正四面体A BCD-的截面，且EFGH为边长是12的正方形，所以14S=截面；【小问3详解】方法一：取CD中点M，连接BM，过点E作BM的垂线，垂足为N，连接NG 易知，EN⊥平面BCD，所以EGN∠即为直线EG与平面BCD所成角，又EN=，tanEN EGNNG ∠=，所以NG=MN=所以GM=12 DG=±方法二：如图，取CD中点M，连接BM，以M为坐标原点，MD，MB所在直线分别为x，y轴，过点M且与平面BCD垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，E ⎛⎝，设(),0,0DG DCλλ==-，所以1,0,02MG MD DGλ⎛⎫=+=-+⎪⎝⎭，即1,0,02Gλ⎛⎫-+⎪⎝⎭，所以1,2EG λ⎛=-+ ⎝ ，又平面BCD 的法向量为()0,0,1n =，所以1sin cos ,2EG n EG n EG n θ⋅====⋅ ，解得12λ=±12DG =±17. 已知函数()e xf x ax b =--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求ab 的最大值.【答案】（1）答案见解析（2）e2【解析】【分析】（1）求导，分0a ≤和0a >两种情况，利用导数判断()y f x =的单调性；（2）根据题意结合（1）中的单调性可得22ln ,0ab a a a a ≤->，令()()22ln 0g x x x x x =->，利用导数判断其单调性和最值.小问1详解】由题意可知：()e xf x a '=-，①当0a ≤时，()0f x '>，可知()y f x =在R 上单调递增；②当0a >时，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；可知()y f x =在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增；【综上所述：当0a ≤时，()y f x =在R 上单调递增；当0a >时，()y f x =在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增.【小问2详解】因为()0f x ≥，由（1）可得：①当0a ≤时，可知()y f x =在R 上单调递增，且x 趋近于-∞时，()f x 趋近于-∞，与题意不符；②当0a >时，可知()y f x =在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增，则()()ln ln 0f x f a a a a b ≥=--≥，可得ln b a a a ≤-，且0a >，则22ln ab a a a ≤-，令()()22ln 0g x x x x x =->，则()()12ln g x x x =-'，令()0g x '>，解得0x <<；令()0g x '<，解得x >可知()y g x =在(上单调递增，在)∞+上单调递减，则()e 2g x g ≤=，所以当a =b =时，ab 的最大值为e 2.18. 某学校的数学节活动中，其中有一项“抽幸运数字”擂台游戏，分甲乙双方，游戏开始时，甲方有2张互不相同的牌，乙方有3张互不相同的牌，其中的2张牌与甲方的牌相同，剩下一张为“幸运数字牌”.游戏规则为：①双方交替从对方抽取一张牌，甲方先从乙方中抽取；②若抽到对方的牌与自己的某张牌一致，则将这两张牌丢弃；③最后剩一张牌（幸运数字牌）时，持有幸运数字牌的那方获胜.假设每一次从对方抽到任一张牌的概率都相同.奖励规则为：若甲方胜可获得200积分，乙方胜可获得100积分.（1）已知某一轮游戏中，乙最终获胜，记X 为甲乙两方抽牌次数之和.（ⅰ）求()2P X =；（ⅱ）求()2P X k =，*k ∈N ；（2）为使获得积分的期望最大，你会选择哪一方进行游戏？并说明理由.【答案】（1）（ⅰ）23；（ⅱ）12139k -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，*k ∈N（2）乙方，理由见解析【解析】【分析】（1）（i ）分析得到甲方抽到的乙方的牌为与自己相同的牌，从而乙方会剩下“幸运数字牌”，求出概率；（ii ）前22k -次抽牌都只抽到对方手中的幸运数字牌，概率均为13，得到概率；（2）方法一：记乙方获胜为事件A ，利用等比数列求和公式和极限得到()34P A =，求出乙方获得积分的期望175E =，求出甲方获胜的概率和积分的期望250E =，根据12E E >选择乙方进行游戏.方法二：设乙方获胜为事件A ，由题意得到()()()21133P A P A =+-，求出()34P A =，求出乙方获得积分的期望175E =，求出甲方获胜的概率和积分的期望250E =，根据12E E >选择乙方进行游戏.【小问1详解】（i ）甲乙两方抽牌次数之和为2，则甲方抽到的乙方的牌为与自己相同的牌，从而乙方会剩下“幸运数字牌”，即乙获胜，()223P X ==；（ii ）前22k -次抽牌都只抽到对方手中的幸运数字牌，概率均为13，甲方在第()21k -次抽到的不是对方手中的幸运数字牌，从而乙方最后获胜，所以()221122123339k k P X k --⎛⎫⎛⎫==⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，*k ∈N ；【小问2详解】方法一：记乙方获胜为事件A ，则()()1211393132lim 1149419k k k k P A X k ∞∞+→+=⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭====⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-∑.乙方获得积分的期望为()110075E P A ==，则甲方获胜的概率为()()114P A P A =-=，甲方获得积分的期望为()220050E P A ==，因为12E E >，所以我会选择乙方进行游戏.方法二：记乙方获胜为事件A ，则乙方获胜的概率为()P A ，事件A 可分为甲第一次抽中的牌不是幸运数字牌和是幸运数字牌两种情况，其中若甲第一次抽中的牌不是幸运数字牌，则乙会获胜，概率为23，若甲第一次抽中的牌是幸运数字牌，此时甲乙手中的牌相当于进行了互换，则此时甲获胜的概率与乙获胜的概率相同，则甲不获胜的概率即为()1P A -，则()()()21133P A P A =+-，解得()34P A =，乙方获得积分的期望为()110075E P A ==，则甲方获胜的概率为()()114P A P A =-=，甲方获得积分的期望为()220050E P A ==，因为12E E >，所以我会选择乙方进行游戏.【点睛】关键点点睛：如图求解乙方获胜的概率，可使用等比数列求和公式和极限思想，也可以通过题意得到方程，求出答案.19. 已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>，斜率为12的直线l 与y 轴交于点P ，l 与C 交于A ，B 两点，T 是A 关于x 轴的对称点.当P 与原点O 重合时，ABT 面积为89.（1）求C 的方程；（2）当P 异于O 点时，记直线BT 与x 轴交于点Q ，求OPQ △周长的最小值.【答案】（1）2212y x +=（21+【解析】【分析】（1）设出各点坐标，表示出面积后，结合面积与离心率计算即可得；（2）要求OPQ △的周长，则需把各边长一一算出，即需把Q x 、P y 算出，设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理，借助韦达定理表示出Q x 、P y ，可得OPQ △各边边长，结合基本不等式即可求得最值.【小问1详解】当P 与原点O 重合时，可设()()000,0A x y x >，则有()00,B x y --、()00,T x y -，且002x y =，AT BT ⊥，则0011822229ABT S AT BT y x =⋅=⋅⋅= ，即20429y =，∴2029y =，则2089x =，即有2228199a b +=，由离心率，即c a =，则22222a c b c ==+，∴222a b =，即有2218199b b +=，解得21b =，∴22a =，即C 的方程为2212y x +=；【小问2详解】设直线l 方程为2x y t =+，令0x =，有2t y =-，即2P t y =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则()11,T x y -，联立直线与椭圆方程：22212x y t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 有2298220y ty t ++-=，有1289t y y +=-，212229t y y -=，()226436220t t =--> ，得33t -<<，BT l 为()212221y y y x x y x x +=-+-，为令0y =，1222122121212Q x y x y x y x y x x y y y y -+=+=++，由2x y t =+中，得()()212211221121212122242241989t y t y y t y x y x y y y t t t y y y y y y t-++++==+=+=-+++，即1Q x t=，则12OPQ P Q tC y x t =++=++1≥=，当且仅当t =时等号成立，故OPQ △1.【点睛】关键点睛：本题的关键点在于把OPQ △各边长一一算出，即需把Q x 、P y 算出，设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理，借助韦达定理表示出Q x 、P y ，可得OPQ△各边边长，结合基本不等式即可求得最值.。
浙江省杭州市高二下学期数学期末考试试卷(理科)
浙江省杭州市高二下学期数学期末考试试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）设则a0,a1,...,a8中奇数的个数为（）A . 2B . 3C . 4D . 52. （2分）且n<55,则乘积(55-n)(56-n)...(69-n)等于（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·河南模拟) 为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（）A .B .C .D .4. （2分）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且。
若，则称甲乙“心有灵犀”。
现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二下·太原期中) 关于残差和残差图，下列说法正确的是（）⑴残差就是随机误差⑵残差图的纵坐标是残差⑶残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高⑷残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越低．A . （1）（2）B . （3）（4）C . （2）（3）D . （2）（4）6. （2分）设离散型随机变量ξ的概率分布如下：则表中的a的值为（）ξ1234P aA . 1B .C .D .7. （2分） (2017高二上·清城期末) 二项式（a＞0）的展开式的第二项的系数为﹣，则dx的值为（）A . 3或B .C . 3D . 3或8. （2分） (2016高二下·仙游期末) 某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门．其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门．则不同的分配方案有（）A . 36种B . 38种C . 108种D . 114种二、填空题 (共5题；共6分)9. （1分） (2019高二下·虹口期末) 用0，1，2，3，4可以组成________个无重复数字五位数.10. （1分）(2020·宝山模拟) 在的展开式中，的系数为________11. （1分）(2017·内江模拟) （x+y）（x﹣y）7点展开式中x4y4的系数为________（用数字填写答案）12. （2分）某园林局对1000株树木的生长情况进行调查，其中槐树600株，银杏树400株．现用分层抽样方法从这1000株树木中随机抽取100株，其中银杏树树干周长（单位：cm）的抽查结果如下表：树干周长（单位：cm）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）株数418x6则x的值为________；若已知树干周长在30cm至40cm之间的4株银杏树中有1株患有虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．则排查的树木恰好为2株的概率为________．13. （1分） (2017高二下·赣州期中) 3男3女共6名同学排成一排合影，要求女同学不站两头且不全相邻，则不同的排法种数为________．三、解答题 (共4题；共40分)14. （5分）证明：若n∈N + ，则3 2n+3﹣24n+37能被64整除．15. （20分） (2016高二下·晋江期中) 有4名男生，3名女生排成一排：（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若男生甲不站排头，女生乙不站在排尾，则有多少种不同的排法？（3）要求女生必须站在一起，则有多少种不同的排法？（4）若3名女生互不相邻，则有多少种不同的排法？16. （10分）新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据（x，y）（其中x（万元）表示购车价格，y（元）表示商业车险保费）：（8，2960），（13，3830），（17，4750），（22，5500），（（25，6370）），（33，8140），（（37，8950）），（45，10700），设由这8组数据得到的回归直线方程为 = x+1110，李先生2016年1月购买一辆价值20万元的新车．（1）试估计李先生买车时应缴纳的保费；（2）从2016年1月1日起，该地区纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如表：上一年的出险次数01234≥5下一年的保费倍率0.851 1.25 1.5 1.752连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000辆调查，得到一年中出险次数的频数公布如表（并用相应频率估计车辆在2016年度出险次数的概率）：一年中的出险次数01234≥5频数5003801001541根据以上信息，试估计该车辆在2017年1月续保时应缴纳的保费（精确到元），并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担，（假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保）17. （5分）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．求该射手恰好命中一次得的概率.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共5题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、三、解答题 (共4题；共40分)14-1、15-1、15-2、15-3、15-4、16-1、16-2、17-1、。
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浙江高二下数学试卷及答案注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．当时，复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知全集，集合，，则集合( )A ．B ．C ．D ．3．函数的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．1m <()21i m +-U =R4．已知向量、的夹角为，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知双曲线C 的中心在坐标原点，一个焦点到渐近线的距离等于2，则C 的渐近线方程为（ ） A ．B ．C ．D ． 7．在中，内角的对边分别为，已知，，，则（ ） A ．B ．C ．D ．或8．《数书九章》是我国宋代数学家秦九韶的著作，其中给出了求多项式的值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了一个利用秦九韶算法求某多项式值的实例，若输入的，输出的，则判断框“”中应填入的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面 都相切，则球与圆锥的表面积之比为（ ）a b 2=a 1=b -=a b 112512251325142512y x =±23y x =±32y x =±2y x =±ABC △π3A =3π4π6π4π43π4A ．B ．C D ．10．把函数的图像向左平移个单位长度，再把所得的图像上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数的图像，并且的图像如图所示，则的表达式可以为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知椭圆C 的方程为，焦距为，直线与 椭圆C 相交于A ，B 两点，若，则椭圆C 的离心率为（ ）A B ．C ．D ．12．已知函数为上的奇函数，且图象关于点对称，且当时，，则函数在区间上的（ ）A ．最小值为B ．最小值为C ．最大值为0D ．最大值为234926827()y f x =2π3()g x ()g x ()f x ()2sin π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()222210x y a b a b+=>>2:4l y x =3341214R ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭34-78-78第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．设曲线在点处的切线方程为，则____．14．若，满足约束条件，则的最小值为_______．15．已知，_______．16．圆锥的底面半径为，母线长为．正四棱柱的上底面的顶点均在圆锥的侧面上，棱柱下底面在圆锥的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为_____．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）记公差不为零的等差数列的前n 项和为，已知，是与的等比中项．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n 项和．x y 220100x y x y y --≤-+≥≤⎧⎪⎨⎪⎩15y z x -=+tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭2sin2cos αα+=则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭18．（12分）某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取6个家庭，得到数据如下：家庭编号 1 2 3 4 5 6 月收入x （千元） 20 30 35 40 48 55 月支出y （千元）4568811参考公式：回归直线的方程是：，其中，，．（1）据题中数据，求月支出（千元）关于月收入（千元）的线性回归方程（保留一位小数）；（2）从这个家庭中随机抽取个，记月支出超过千家庭个数为，求的分布列与数学期望．()()()1122211ˆnniii i i i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑19．（12分）如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，，，，分别是线段，的中点．GF∥（1）求证：平面；（1）求平面与平面所成角的余弦值．20．（12分）已知抛物线经过点，其焦点为F ．M 为抛物线上除了原点外的任一点，过M 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B ． （1）求抛物线C 的方程以及焦点坐标；（2）若△BMF 与△ABF 的面积相等，求证：直线l 是抛物线C 的切线．()1,2P21．（12分）设函数． （1）若，求的单调区间； （2）若当时，恒成立，求实数a 的取值范围．()()2e 1x f x x ax =--12a =()f x 0x >()0f x ≥请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程； （2）已知曲线的极坐标方程为，，，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且，均异于原点，且，求实数的值．2cos 22sin x y ϕϕ==+⎧⎨⎩ϕρ∈R23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为实数集，求实数的取值范围．()2221f x x x a =+-+R答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】∵，∴，∴复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选D ． 2．【答案】A 【解析】由，可得或，故，由，解得，∴，∴，故选A ．3．【答案】C 【解析】当时，，故排除选项B ；，故排除D ；，令，得或，则当变化时，的变化情况如下表：x0 (0，+∞)f ′(x) − 0 + 0 + f(x) 单调递减极小值单调递增单调递增又因为，故在的切线为轴，故排除选项A ，所以选C ．4．【答案】A 【解析】A ．5．【答案】C【解析】甲乙两人猜数字时互不影响，故各有5种可能，故基本事件是种，“心1m <10m -<()21i m +-()2,1m -()1e 1f =>()()323e x f x x x =+'3x =-(),3-∞-3-()3,0-()3f -()222242cos6013-=--⋅+-⋅︒+a b a b a a b b a b有灵犀”的情况包括：，，，，，，，，，，，，共13种，故他们“心有灵犀”概率为，故选． 6．【答案】D【解析】设双曲线的方程为，其渐近线方程为，依题意可知，解得，∴双曲线C 的渐近线方程为，故选D ．7．【答案】C【解析】，，， 由余弦定理可得：，由正弦定理可得：，为锐角，．故选C ． 8．【答案】C【解析】模拟程序的运行过程如下， 输入，，， ， 此时不满足循环条件，输出， 则判断框中应填入的是．故选C ．9．【答案】B132522221x y a b-=b y x a =±2222552a b ba b ⎧+==+⎪⎨⎪⎩31c Q 2b =π3A =∴∴32sin 22sin 6b AB a⋅===π4B ∴=114111333x k y ===⨯+=，，411321339k y ==⨯+=，131********k y ==⨯+=，4011214127381k y ==⨯+=，12181y =【解析】设圆锥底面圆半径为R ，球的半径为r ，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R 的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，所以，， ，所以球与圆锥的表面积之比为，故选B ． 10．【答案】B【解析】∵，即， ∴或,（舍去），则， 又，，，当，， 即，把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到，再把纵坐标缩短到原来的，得到，再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数的图象， 即，故选B ． 11．【答案】A【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为，则，3r =22234π4π4π3S r R ⎫=⋅=⎪⎪⎝=⎭球的表面积22π2π3πS R R R R =⋅+=圆锥表面积224π4393πRR=()02sin 1g ϕ==1sin 2ϕ=5π2π6k ϕ=+2ππ6k ϕ=+k ∈Z ()5π2sin 6g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7π5π2π126k ω+=k ∈Z 512267k ω⎛⎫∴=-⨯ ⎪⎝⎭1k =2ω=()5π2sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()g x 125π2sin 46y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭125πsin 46y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2π3()f x ()2π5π8π5π11ππsin 4sin 4sin 4sin 4363666f x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦24y =由，可知，解得， 所以，把点代入椭圆方程得到， 整理得，即，因，所以可得，故选A 项． 12．【答案】A 【解析】因为函数的图象关于点对称，所以．又函数为奇函数，所以，所以函数是周期为6的周期函数，又函数的定义域为，且为奇函数，故，，依次类推，．作出函数的大致图象，如图所示，根据周期性可知，函数在区间上的图象与在区间上的图象完全一样， 可知函数在上单调递减，且，所以函数在区间上的最小值为．选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】 【解析】因为曲线，所以，2224x x c ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭22x =221,3A c ⎫⎪⎪⎝⎭222222131c a b ⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=3e =R ()()330f f -==()30f -=34-1-()11af x x =-+'因为曲线在点处的切线方程为，所以，． 14．【答案】【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数其几何意义表示点与可行域内的点连线的斜率， 据此可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程，可得点的坐标为，据此可知目标函数的最小值为，故答案为． 15．【答案】【解析】， 所以． 16．【答案【解析】设正四棱柱的底面边长为x ，设棱柱的高h ，()01121af a =-=-='1a =-4-()5,1P -22010x y x y --=-+=⎧⎨⎩()4,3A --min 31445z --==--+4-710tan tan2144tan tan 344121tan tan 44ππππππαααα⎛⎫+- ⎪⎡⎤--⎛⎫⎝⎭=+-=== ⎪⎢⎥-⎛⎫⎝⎭⎣⎦++ ⎪⎝⎭2222222sin cos cos 2tan 12317sin2cos =10sin cos tan 131ααααααααα++⨯++===+++643根据相似性可得：，解得（其中． ∴此正四棱柱体积为，，令，解得， 易得：在上递增，在上递减， ． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由已知，得，又，解得，．（2）由（1）得，，， ． 18．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1），，， ，所以月支出关于月收入的线性回归方程是：． （2）的可能取值为，，， 2232223h -=436x h -=022x <<22436x V x h x -==28336x x V -'=0V '=42x =2436xV x -=42⎛ ⎝⎭42,22⎝6431n nT n =+()()12212n n n S n n n -⨯=+=+()111111n S n n n n ∴==-++11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 0.2.6ˆ0y x =-203035404855386x +++++==456881176y +++++==()2222222204305356408488551163870.2203035404855638ˆb⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=≈+++++-⨯0.2.6ˆ0yx =-()303336C C 1020C P ξ⋅===()213336C C 9120C P ξ⋅===，，故的分布列为：ξ0123P数学期望．19．【答案】（1）见证明；（2）．【解析】（1）如图，取的中点连接，，又是的中点，所以，且，又是中点，所以，由四边形是矩形得，，，所以且．从而四边形是平行四边形，所以，∵DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，∴GF∥平面ADE．（2）如图，在平面内，过点作，()123336C C9220CPξ⋅===()033336C C1320PCξ⋅===120920920120 ()19910123 1.520202020Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=23HG AB∥12HG AB=12DF CD=AB CD∥GH DF∥GF DH∥BQ EC∥因为，所以． 又平面，所以，．以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，，，．因为平面，所以为平面的法向量，设为平面的法向量．又，， ，即，取， ， 所以平面与平面所成角的余弦值为．20．【答案】（1）抛物线C 的方程为，焦点F 点坐标为；（2）见解析． 【解析】（1）因为抛物线经过点，所以．所以抛物线C 的方程为，焦点F 点坐标为．（2）证明：因为△BMF 与△ABF 的面积相等， 所以，所以B 为AM 的中点． 设（），则．BE u u u r BQ u u u r BA u u u r()0,0,4BA =u u u r(),,x y z =n ()4,0,4AE =-u u u r ()4,4,2AF =-u u u r 0n AE n AF ⎧⎪⎨⎪⋅=⋅=⎩u u u ru u ur 4404420x z x y z -=+-=⎧⎨⎩()2,1,2=-n 242cos 43,3BA BA BA 〉⋅⨯∴〈===⨯u u u ru u u r u u u rn n n 23()1,0()1,2P ()1,0BM AB =()00,M x y 000x y ≠()00,A x -所以直线l 的方程为， 与抛物线联立得， ，所以直线l 是抛物线C 的切线．21．【答案】（1）在，上单调递增，在上单调递减；（2）． 【解析】（1）时，，， 当时，； 当时，； 当时，．故在，上单调递增，在上单调递减． （2）．令，则，若，则当时，，为增函数，而，从而当时，，即．若，则当时，，为减函数，而， 从而当时，，即． 综上可得a 的取值范围是．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；()0002y y x x x =+2000840x y y x y -+=2200002006464161604x x Δx x x y =-=-=()f x (),1-∞-()0,+∞()1,0-(],1-∞12a =()()2112e x f x x x =--()()()111e e e x x x f x x x x '=-+-=-+(),1x ∈-∞-()0f x '>()1,0x ∈-()0f x '<()0,x ∈+∞()0f x '>()f x (),1-∞-()0,+∞()1,0-()()()2e 11e x x f x x ax x ax =--=--()e 1x g x ax =--()e xg x a '=-()0,x ∈+∞()0g x '>()g x ()00g =()0g x ≥()0f x ≥1a >()0,ln x a ∈()0g x '<()g x ()00g =()0,ln x a ∈()0g x <()0f x <(],1-∞（2）． 【解析】（1）由曲线的参数方程为（为参数），消去参数得曲线的普通方程为，因为曲线的极坐标方程为，所以，所以的直角坐标方程为，整理得．（2）：化为极坐标方程，所以，所以，所以，即， 又因为，所以． 23．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）当时，，当时，由得，得，或，所以． 当时，由，得，解得或，所以； 当时，由得，解得或，所以， 综上：当时，的解集为．（2）的解集为实数集，3π42cos 22sin x y ϕϕ==+⎧⎨⎩ϕ=4sin cos =422πn 4A B AB ρρααα⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭sin 14πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭()π42ππk k α-=+∈Z ()3ππ4k k α=+∈Z 3π4α=1171x x x ⎧-+⎪<->⎨⎪⎪⎩⎭或1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭102x <≤317x -<317x +>x ∈∅12x >117x --<117x -+>117x -+>1171x x x ⎧-+⎪<->⎨⎪⎪⎩⎭或()0f x ≥2221R a x x ⇔≥---第 21 页 共 21 页 当时，， 当时，， 的最大值为． 实数的取值范围为．12x ≥2221312212212222x x x x x ⎛⎫---=--+=-++≤- ⎪⎝⎭12x <2221112212212222x x x x x ⎛⎫---=-+-=---<- ⎪⎝⎭2221x x ∴---12-1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭。
2020-2021学年浙江省嘉兴市高二(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年浙江省嘉兴市高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2，3}，集合B={x∈Z|x<2}，则A∩B=()A. {−1,0，1，2}B. {−1,0，1}C. {0,1，2}D. {0,1}2.已知a∈R，复数z=a2−2a+(a2−1)i(i是虚数单位)，则“a=0”是“z为纯虚数”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.将1，2，3，a，b这5个元素自左向右排成一行，要求字母a，b都不能排在两端，则不同的排法共有()A. 108种B. 72种C. 36种D. 18种4.甲乙两支篮球队进行篮球总决赛，比赛采用“七局四胜制”(即先赢四局者为胜，比赛结束)，若两队在一场比赛中获胜的概率均为12，则甲队以四比一战胜乙队的概率为()A. 532B. 132C. 516D. 185.函数f(x)=x2sin2x在区间[−π,π]上的图象可能是()A. B.C. D.6.若实数x，y满足(x−y)2+6=4(x+y)，则()A. x+y的最大值是32B. x+y的最大值是98C. xy的最小值是916D. xy的最小值是127.设实数a>0，随机变量ξ的分布列是：则E(ξ)、D(ξ)的值分别为( )A. E(ξ)=−13，D(ξ)=59 B. E(ξ)=−13，D(ξ)=1 C. E(ξ)=13，D(ξ)=59D. E(ξ)=13，D(ξ)=18. 设a =log 23，b =log 34，c =1.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a >b >cB. b >a >cC. c >a >bD. c >b >a9. 设函数f(x)=x 2+2ax +a 2−2a +3，若对于任意的x ∈R ，不等式f(f(x))≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. a ≥32B. a ≤2C. 32<a ≤2D. a ≤3210. 已知数列{a n }满足：λa n+1+μan+1=λ+2a n−2λ+μ(λ,μ∈R)，n ∈N ∗，且a 1=12，则下列判断错误的是( )A. 当λ=0，μ=2时，存在非零常数t ∈R ，使得{ta n }是等差数列 B. 当λ=0，μ=1时，存在非零常数t ∈R ，使得{ta n +1}是等比数列 C. 当λ=−1，μ=0时，存在非零常数t ∈R ，使得{t a n +3}是等差数列 D. 当λ=1，μ=0时，存在非零常数t ∈R ，使得{t a n +3+1}是等比数列二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 若一个等比数列{a n }有无穷多项，并且它的公比q 满足|q|<1，称{a n }为无穷递缩等比数列，规定：无穷递缩等比数列a 1，a 1q ，a 1q 2，…，a 1q n−1，…所有项的和S =a 11−q ，n ∈N ∗.《庄子⋅天下篇》中写道“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其中隐含了关系：12+14+18+⋯+12n−1+⋯= ______ ，类似可以将一个无限循环小数表示为分数：0.151515⋅⋅⋅= ______ ．12. 设复数z =a +bi(a,b ∈R)满足z −=i2+i (i 是虚数单位)，则ab = ______ ，|z|=______ ．13. 已知(x −2)7=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 7x 7，a i ∈R(i =0,1，⋯，7)，则a 0=______ ，a 4= ______ ．14.设函数f(x)=√3sin2x+2sin2x，则f(x)的最小正周期是______ ，在区间[π4,π2]上的值域是______ ．15.已知盒子中装有编号为1～4的4个红球、编号为1～3的3个绿球和编号为1～3的3个黄球共10个球，这些球除了编号和颜色外均相同.现从盒子中随机取出3个球，则取到的这3个球编号均不同且三种颜色齐全的概率是______ ．16.已知函数f(x)=ax2(a>0)与g(x)=1|x|+b(b∈R)的图象在交点处的切线互相垂直，则a(b−a)的最小值为______ ．17.已知a⃗，b⃗ 均为单位向量，与a⃗，b⃗ 共面的向量c⃗满足2|a⃗+c⃗|=|2a⃗−c⃗|，(c⃗−a⃗ )⋅b⃗ =0⃗，则b⃗ ⋅c⃗的最大值是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2a−c)cosB=bcosC．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若b=8，△ABC的面积为3√3，求△ABC的周长．19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，侧面BCC1B1是正方形，AC=BC=2，∠A1AC=60°，M是B1C1的中点．(Ⅰ)证明：AC⊥B1C1；(Ⅱ)求直线A1M与平面A1BC所成角的正弦值．20.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=2a n2+a n−1，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)数列{b n}满足b n=a n，记T n=b1+b2+⋯+b n，证明：T n<3．2n−121.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F(0,1)，过点F的直线交C于A，B两点(其中点A位于第一象限)，设点E是抛物线C上的一点，且满足OE⊥OA，连接EA，EB．(Ⅰ)求抛物线C的标准方程及其准线方程；(Ⅱ)记△ABE，△AOF的面积分别为S1，S2，求S1⋅S2的最小值及此时点A的坐标．22.已知函数f(x)=e x−ax−1在(0,+∞)上有零点x0，其中e=2.71828⋅⋅⋅是自然对数的底数．(Ⅰ)求实数a的取值范围；(Ⅱ)记g(x)是函数y=f(x)的导函数，证明：g(x0)<a(a−1)．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合A={−1,0，1，2，3}，集合B={x∈Z|x<2}，∴A∩B={−1,0，1}．故选：B．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵复数z=a2−2a+(a2−1)i(i是虚数单位)为纯虚数，∴{a2−2a=0，∴a=0或a=2，a2−1≠0∴a=0是z为纯虚数的充分不必要条件，故选：A．根据纯虚数的定义解得a，再利用充分必要条件的定义即可判断出结论．本题考查了纯虚数的定义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①将1、2、3三个数字排好，有A33=6种排法，②排好后，除去两端，有2个空位可用，在其中任选1个，安排字母a，有2种安排方法，a排好后，除去两端，有3个空位可用，在其中任选1个，安排字母b，有3种安排方法，则a、b的安排方法有6种，故a，b都不能排在两端的排法有6×6=36种；故选：C．根据题意，分2步分析数字1、2、3和字母a、b的排法，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：甲队以四比一战胜乙队的情况是前四局中甲三胜一负，第五局甲胜， ∴甲队以四比一战胜乙队的概率为：P =C 43(12)3(12)(12)=18．故选：D ．甲队以四比一战胜乙队的情况是前四局中甲三胜一负，第五局甲胜，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队以四比一战胜乙队的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：根据题意，f(x)=x 2sin2x ，其定义域为R ， 有f(−x)=−x 2sin2x =−f(x)，为奇函数，排除CD ， 在区间(π2,π)上，sin2x <0，f(x)<0，排除A ， 故选：B ．根据题意，先分析函数的奇偶性排除CD ，再分析区间(π2,π)上f(x)的符号，排除A ，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性、单调性的分析，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为(x −y)2+6=4(x +y)，则有(x +y)2−4(x +y)+6=4xy ， 所以4xy =(x +y −2)2+2≥2， 故xy ≥12，当x +y −2=0时，xy =12，此时x ，y 为方程t 2−2t +12=0，即2t 2−4t +1=0的两个根，因为△=(−4)2−2×4×1>0，方程有解，故当x+y=2时，xy有最小值12，所以选项A，B，C错误，选项D正确．故选：D．先利用完全平方式将已知的等式变形，转化为(x+y)2−4(x+y)+6=4xy，然后利用平方和大于等于0构造不等关系求解即可．本题考查了最值问题的研究，解题的关键是将已知的等式进行化简变形，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解；由题意可知：a2+13+a6=1，解得a=1，所以E(ξ)=−1×12+0×13+1×16=−13．D(ξ)=12×(−1+13)2+13×(0+13)2+16×(1+13)2=59．故选：A．利用分布列的性质求解a，然后求解期望与方程即可．本题考查离散型随机变量的分布列的性质，期望与方差的求法，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵a=log23>log22√2=1.5，b=log34<log33√3=1.5，∴a>b，∵28>35，∴(285)5>35，∵函数y=x5在(0,+∞)上为增函数，∴285>3，∴log2285>log23，即85>log23，∴c>a，∴c>a>b，故选：C．利用对数函数和幂函数的单调性，借助中间量判断即可比较a，b，c的大小．本题考查对数函数和幂函数的单调性和数值大小的比较，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：因为f(x)=x 2+2ax +a 2−2a +3=(x +a)2−2a +3，所以f(x)∈[−2a +3,+∞)，所以f(f(x))≥0恒成立等价于f(x)≥0在区间[−2a +3,+∞)上恒成立， (1)当−2a +3≥0，即a ≤32时，f(x)≥0显然成立； (2)当a >32时，y =f(x)有两个零点，只要满足{−a ≤−2a +3f(−2a +3)≥0，即{a ≤3a ≤2或 a ≥6，解得a ≤2，又a >32，所以32<a ≤2，综合(1)(2)可知，a 的取值范围是a ≤2． 故选：B ．由条件可知，f(x)≥0在区间[−2a +3,+∞)上恒成立，然后分a ≤32及a >32讨论即可． 本题考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解析： 当λ=0，μ=2时，1a n+1=1a n+1，∴{1a n}是等差数列，t =1，选项(A)正确；当λ=0，μ=1时，1an+1=2a n+1，1an+1+1=2(1a n+1)，∴{1a n+1}是首项为3，公比为2的等比数列，t =1，选项(B)正确； 当λ=−1，μ=0时，−a n+1=1an+2，即a n+1=−1a n−2，ta n+1+3−t a n +3=t−1a n+1−t a n +3=ta n a n −1−tan +3=t(a n +1)2(an −1)(a n +3)≠d(常数)，∴对任何非零常数t ∈R ，{tan +3}不可能是等差数列，选项(C)错误；当λ=1，μ=0时，a n+1=3a n−2，a n+1+t+3a n+1+3a n +t+3a n +3=3a n +t+13a n+1⋅a n +3an+t+3=(t+1)a n +3a n +t+3，当3t+1=t +3，即t 2+4t =0时，取t =−4，此时{a n−1a n+3}是公比为−3的等比数列，选项(D)正确．故选：C ．从等差、等比数列的定义出发，假设结论成立，通过待定系数的方法判断非零常数t 是否存在．本题考查等差、等比数列定义的应用，属于中档题．11.【答案】1 533【解析】解：数列12,14,18,⋯,12n−1,⋯是以a 1=12为首项，以q =12为公比的等比数列， 所以12+14+18+⋯+12n−1+⋯=121−12=1，0.151515⋯=0.15+0.0015+0.000015+⋯=15100+1510000+151000000+⋯=151001−1100=533，故答案为：1；533．数列12,14,18,⋯,12n−1,⋯是以a 1=12为首项，以q =12为公比的等比数列，所以第一空利用S =a 11−q ，n ∈N ∗可求答案，第二问把0.151515⋅⋅⋅看成15100+1510000+151000000+⋯，再结合新定义求解即可．本题考查数列的新定义，考查类比推理，属于基础题．12.【答案】25 √5【解析】解：z −=i2+i =i(2−i)(2+i)(2−i)=1+2i 5=15+25i ，∴z =15−25i =a +bi ， ∴a =15，b =−25，则ab =15×(−25)=−225， |z|=√(15)2+(−25)2=√55． 故答案为：−225，√55．利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】−128 −280【解析】解：令x =0，可得a 0=(−2)7=−128；二项式(x −2)7的展开式的通项公式为T r+1=C 7r x 7−r(−2)r ，所以a4=C73(−2)3=−280．故答案为：−128；−280．令x=0，即可求得a0；利用二项展开式的通项公式即可求得a4．本题主要考查二项式定理，考查特定项系数的求法，属于基础题．14.【答案】π[2,3]【解析】解：f(x)=√3sin2x+2sin2x=√3sin2x+1−cos2x=2(√32sin2x−1 2cos2x)+1=2sin(2x−π6)+1，∴f(x)的最小正周期为T=2π2=π，∵x∈[π4,π2 ]，∴2x−π6∈[π3,2π3]，∴12≤sin(2x−π6)≤1，∴2≤2sin(2x−π6)+1≤3，∴f(x)在区间[π4,π2]上的值域是[2,3]．故答案为：π，[2,3]．运用三角函数的二倍角公式和两角差公式，将原式化简为2sin(2x−π6)+1，再结合周期公式和值域求解的方法，即可求解．本题考查了三角函数的二倍角公式和两角差公式，以及值域的求解，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．15.【答案】110【解析】解：从盒子中随机取出3个球，基本事件总数n=C103=120，取到的这3个球编号均不同且三种颜色齐全包含的情况有两种：①取到4号红球包含的基本事件有：C11C31C21=6，②没有取到4号红球包含的基本事件有：C31C21C11=6，∴取到的这3个球编号均不同且三种颜色齐全的概率是：P =6+6120=110．故答案为：110．从盒子中随机取出3个球，基本事件总数n =C 103=120，取到的这3个球编号均不同且三种颜色齐全包含的情况有两种：①取到4号红球包含的基本事件有：C 11C 31C 21=6，②没有取到4号红球包含的基本事件有：C 31C 21C 11=6，由此能求出所求概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】−916【解析】解：因为f(x)和g(x)都是偶函数，不妨研究两图象在第一象限内的交点， 当x >0时，f(x)=ax 2,g(x)=1x +b,f′(x)=2ax,g′(x)=−1x 2， 设交点的横坐标为x 0，于是{f(x 0)=g(x 0)f′(x 0)⋅g′(x 0)=−1，消去x 0得b =4a 3−12a ，所以a(b −a)=a(4a 3−12a −a)=4a 4−a 2−12=4(a 2−18)−916⩽−916， 当a =√24时，不等式等号成立，所以a(b −a)的最小值为−916． 故答案为：−916．先结合题意建立方程得到a ，b 的关系，再把a(b −a)消元成一个变量，进而可求最小值．本题考查导数的几何意义，考查二次函数的性质，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于中档题．17.【答案】23【解析】解：将2|a ⃗ +c ⃗ |=|2a ⃗ −c ⃗ |两边平方，得c ⃗ ⋅(c ⃗ +4a ⃗ )=0，如图，作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a ⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则OC ⊥AC ，点C 的轨迹是M 为圆心2为半径的圆，再以A 为圆心作单位圆，由(c ⃗ −a ⃗ )⋅b ⃗ =0，得AB ⊥CN ，所以当点C 在大圆上运动时，点B 的轨迹是两段弧， 即弧BD 弧EF ，而b ⃗ ⋅c ⃗ 最大⇔a ⃗ ⋅b ⃗ 最大， 记∠NAB =θ，所以a ⃗ ⋅b ⃗ =cosθ， 当CN 与大圆相切时，θ最小，此时根据相似，∠NMC =θ，即cosθ=CM MN =23，所以b ⃗ ⋅c ⃗ 的最大值是23．故答案为：23．将2|a ⃗ +c ⃗ |=|2a ⃗ −c ⃗ |两边平方，得c ⃗ ⋅(c ⃗ +4a ⃗ )=0，如图，作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a ⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则OC ⊥AC ，点C 的轨迹是M 为圆心2为半径的圆，再以A 为圆心作单位圆，再结合相应图形和已知进行分析可解决此题．本题考查平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力，属于难题．18.【答案】解：(Ⅰ)(2a −c)cosB =bcosC ，由正弦定理，得(2sinA −sinC)cosB =sinBcosC ，即2sinAcosB =sin(B +C)=sinA ，且sinA ≠0， ∴cosB =12，又0<B <π，所以B =π3．(Ⅱ)∵△ABC 的面积为3√3，∴12acsinB =3√3，得ac =12， 又由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ，得64=(a +c)2−3ac ， 即a +c =10，所以△ABC 的周长为18．【解析】(Ⅰ)利用正弦定理，通过边化角，转化求解B 的余弦值，求解B 即可． (Ⅱ)结合三角形的面积公式以及余弦定理求解a +c ，然后求解周长即可． 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】(Ⅰ)证明：在平面ACC 1A 1内过点A 1作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，∵平面ACC 1A 1⊥平面ABC ， ∴A 1D ⊥平面ABC ，即A 1D ⊥BC ，又∵侧面BCC 1B 1是正方形，∴C 1C ⊥BC ，又C 1C ∩A 1D ， ∴BC ⊥平面ACC 1A 1，即BC ⊥AC ，而BC//B 1C 1，∴AC ⊥B 1C 1．(Ⅱ)解：(一)几何法：连AC 1交A 1C 于点E ，取A 1B 的中点F ，连EF ，MF ， 则EF//BC ，EF =12BC ，∴EFMC 1是平行四边形，∵AC =BC =CC 1=2，∠A 1AC =60°，∴四边形ACC 1A 1是菱形，AC 1⊥A 1C ， 又∵(Ⅰ)知，BC ⊥平面ACC 1A 1，∴BC ⊥AC 1， ∴AC 1⊥平面A 1BC ，而MF//AC 1，即MF ⊥平面A 1BC ， ∴∠MA 1F 就是直线A 1M 与平面A 1BC 所成的角，在Rt △MA 1F 中，A 1M =√5，MF =C 1E =√3，设∠MA 1F =θ，则sinθ=MFA 1M=√155， 所以直线A 1M 与平面A 1BC 所成角的正弦值是√155．(或者取BC 中点N ，通过A 1M//AN 转化，在Rt △ANE 中，同样可求．) (二)坐标法：根据(Ⅰ)，以点D 为原点，如图建立空间直角坐标系， ∵AC =BC =CC 1=2，∠A 1AC =60°，且侧面BCC 1B 1是正方形， ∴四边形ACC 1A 1是菱形，设G ，H 分别是C 1，M 在底面上的射影， 连GH ，DH ，则A 1MHD 为矩形，∵D(0,0，0)，C(0,1，0)，B(2,1，0)，A 1(0,0,√3)，M(1,2,√3)， ∴A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0)，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−√3)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√3)， 设平面A 1BC 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即{2x +y −√3z =0y −√3z =0，取n ⃗ =(0,√3,1)，设直线A 1M 与平面A 1BC 所成的角为θ，则sinθ=|A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=2√32√5=√155， 所以直线A 1M 与平面A 1BC 所成角的正弦值是√155．【解析】(Ⅰ)在平面ACC 1A 1内过点A 1作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，证明A 1D ⊥BC ，C 1C ⊥BC ，推出BC ⊥平面ACC 1A 1，然后证明AC ⊥B 1C 1．(Ⅱ)(一)几何法：连AC 1交A 1C 于点E ，取A 1B 的中点F ，连EF ，MF ，说明∠MA 1F 就是直线A 1M 与平面A 1BC 所成的角，通过求解三角形推出结果即可．(二)坐标法：以点D 为原点，如图建立空间直角坐标系，设G ，H 分别是C 1，M 在底面上的射影，连GH ，DH ，则A 1MHD 为矩形，求出平面A 1BC 的法向量，利用空间向量的数量积求解直线A 1M 与平面A 1BC 所成的正弦值．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)当n =1时，2S 1=2a 12+a 1−1，得a 1=1， 当n ≥2时，2S n−1=2a n−12+a n−1−1，两式相减得，2a n =2a n 2−2a n−12+a n −a n−1，a n +a n−1=2a n 2−2a n−12，∵a n +a n−1≠0，∴a n −a n−1=12，∴{a n }是首项为1公差为12的等差数列，即a n =n+12．(Ⅱ)证明：(一)错位相减法：∵b n =n+12n，∴T n =22+322+⋯+n+12n①，12T n =222+323+⋯+n+12n+1②两式①−②，相减得，12T n =1+122+123+⋯+12n −n+12n+1=1+12(1−12n−1)−n+12n+1，即T n=3−12n−1−n+12n=3−n+32n，所以，T n<3．(二)裂项法：∵b n=n+12n =n+22n−1−n+32n，∴T n=(320−42)+(42−522)+⋯+(n+22n−1−n+32n)=3−n+32n<3．【解析】(Ⅰ)利用已知条件推出a n−a n−1=12，即可判断数列是的等差数列，然后求解通项公式．(Ⅱ)(一)错位相减法，T n=22+322+⋯+n+12n①，12T n=222+323+⋯+n+12n+1②，两式①−②，结合等比数列求和公式，推出结果即可．(二)裂项法：化简b n=n+12n =n+22n−1−n+32n，然后求和推出结果即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)∵抛物线C的焦点为F(0,1)，∴p=2，即抛物线C的标准方程为x2=4y，准线方程为：y=−1．(Ⅱ)(一)设点法：设A(4t,4t2)(t>0)，则直线AF的方程为：y=4t2−14tx+1，联立{x2=4yy=4t2−14tx+1，得x2−4t2−1tx−4=0，则x B=−1t，所以|AB|=y A+y B+2=4t2+14t2+2=(4t2+1)24t2，又k OA=t，由OE⊥OA，得l OE：y=−1tx，联立{x2=4yy=−1tx，得E(−4t,4t2)，∴点E到直线AB的距离为d=|−4t2−1t2−4t2+1|√(4t2−14t)2+1=|3(t2+1)t2|4t2+14t=12(t2+1)t(4t2+1)，∴△ABE的面积S1=12|AB|d=3(4t2+1)(t2+1)2t3，而S2=2t，所以S1S2=3(4t2+1)(t2+1)t2=3(4t2+1t2+5)≥27，当且仅当t =√22时，取到等号，此时点A 的坐标为(2√2,2)．(二)设线法：设直线AB 的方程为：y =kx +1，联立{x 2=4y y =kx +1，得x 2−4kx −4=0，设A(x 1,y 1)(x 1>0)，B(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=4k x 1x 2=−4，∴|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=4(k 2+1)， 又k OA =y1x 1=x 14，由OE ⊥OA ，得l OE ：y =−4x 1x ， 联立{x 2=4y y =−4x 1x，得E(−16x 1,64x 12)，∴点E 到直线AB 的距离为d =|−16k x −6412+1|√k 2+1=121x 12⋅√k 2+1， 又∵x 12−4kx 1−4=0，得d =12x 12⋅√k 2+1，∴△ABE 的面积S 1=12|AB|d =6√k 2+1⋅(x 12+16)x 12，而由x 12−4kx 1−4=0，得k =14(x 1−4x1)，即√k 2+1=√116(x 1−4x 1)2+1=x 12+44x 1，∴S 1=6(x 12+4)4x 1⋅(x 12+16)x 12=3(x 12+4)(x 12+16)2x 13，而S 2=12x 1，所以S 1S 2=3(x 12+4)(x 12+16)4x 12=34(x 12+64x 12+20)≥27，当且仅当x 1=2√2时，取到等号，此时点A 的坐标为(2√2,2)．【解析】(Ⅰ)由抛物线C 的焦点为F(0,1)，得p ，进而可得抛物线C 的方程，准线方程． (Ⅱ)(一)设点法：设A(4t,4t 2)(t >0)，则直线AF 的方程为：y =4t 2−14tx +1，联立直线AF 与抛物线的方程，解得B 点坐标，计算|AB|，写出直线OE 的方程，联立抛物线的方程，解得E 点坐标，计算点E 到直线AB 的距离d ，进而计算S 1S 2，几何基本不等式，即可得出答案．(二)设线法：设直线AB 的方程为：y =kx +1，联立直线AB 与抛物线的方程，，设A(x 1,y 1)(x 1>0)，B(x 2,y 2)，结合韦达定理，可得|AB|，联立直线OE 与抛物线的方程，解得E 点坐标，计算点E 到直线AB 的距离d ，进而计算S 1S 2，几何基本不等式，即可得出答案．本题考查直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】(Ⅰ)解：函数f(x)=e x −ax −1，则f′(x)=e x −a ，①当a ≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以f(x)>f(0)=0，故函数无零点，不符合题意；②当a>0时，由f′(x)=e x−a=0，得x=lna，若lna≤0，即0<a≤1，此时f(x)在(0,+∞)上单调递增，不符合题意；若lna>0，即a>1，则f(x)在(0,lna)上单调递减，f(x)在(lna,+∞)上单调递增，又f(0)=0，故∃x1>0，使得f(x1)<f(0)=0，而当x→+∞时，f(x)→+∞时，故∃x2>x1，使得f(x2)>0，根据零点存在定理，∃x0∈[x1,x2]，使得f(x0)=0，符合题意；综上所述，实数a的取值范围是a>1；(Ⅱ)证明：g(x)=f′(x)=e x−a，所以g(x0)<a(a−1)，即x0<2lna，由(Ⅰ)知x0∈(lna,+∞)且f(x)在(0,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，故只要证明：f(2lna)>0，即f(2lna)=a2−2alna−1=a(a−2lna−1a)>0，a>1，设ℎ(x)=x−2lnx−1x(x>1)，则ℎ′(x)=1−2x +1x2=(x−1)2x2>0，故ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增，即ℎ(x)>ℎ(1)=0，所以f(2lna)>0成立；综上所述，g(x0)<a(a−1)成立．【解析】(Ⅰ)求出f′(x)，对a分情况讨论，①当a≤0，②当a>0，分别研究函数f(x)的导数，确定函数的性质，结合零点的存在性定理进行分析求解即可；(Ⅱ)将问题转化为x0<2lna，只需证明f(2lna)>0，即f(2lna)=a2−2alna−1=a(a−2lna−1a )>0，a>1，构造函数ℎ(x)=x−2lnx−1x(x>1)，利用导数研究函数ℎ(x)的性质，即可证明．本题考查了利用导数研究函数的单调性，导数与不等式的综合应用，在利用导数证明不等式时，一般会构造一个函数，转化为求解函数的取值情况进行研究，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于难题．。
浙江高二下数学试卷及答案
3.考试结束，只需上交答题卡。
1.设集合A 1,2,4 ，B 3,4 .则集合 A B （）B. 1, 4C. 2,33.函数y log x 1 的定义城是（）A. x x 1B. x x 1C. x x 14.在ABC中，a b c 3bc ，则 A （）a b R，则“a b8.设，D.既不充分也不必要条件D.若m/ / ，则x 3y的最小值是（）11.设实数，满足不等式组12.若是第四象限角，sinA. mx y m 0 C. mx y 1 0B. mx y m 0D. mx y 2 0.则下列说法错误的是（）．．B.若f x ，g x 都是减函数，则函数 F f x ,g x 为减函数C.若f x ，g x 都是奇菌数，则函数 F f x ,g x 为奇函数上一点，Q 是底面ABCD上一点，若1的渐近线与圆x 3a b，则向量，夹角的取值范围是_________.17.已知，是单位向量.若18.已知数列 a 是等差数列， b 是等比数列，数列 a b 的前项和为ABCD BC CD BD，3 AB AC AD 2 P Q ，，点，分21.如图，已知三棱柱ABC A B C ，A A 底面（I）证明： B C / / BA Dn N ，求数列 b 的前n 项和T .MN交于，两点，点为线段的中点。
Q时，求点的横坐标；，求点Q 横坐标的最小值，井求此时直线l 的方程.k（Ⅱ）若对于任意 a 0, ，函数至少有三个零点。
求实数的取值范围.2018学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题参考答案及评分标准17. 0, 18.a n 2n 1D ACDN / / B C ，又因为为的中点，所以因为在面BA D所以B 3,0,0m x, y,z ，4n n 1 4 n n 124.解（Ⅰ）当 a 1时， f xx x a k 1 , x a（Ⅱ）因为 f xx x a k 1 , x a, 上单调递减，在, a 上单调递增，在a, 上单调递减，，在f x的单调性及零点的存在性定, a 和a, 上无零点，由a 0, 恒成立，可知对任意0 或ff f x的单调性及零点的存在性定理1对任意a 0, 成立，x x a ka 0，所以x a ka x .kx x 0, （即线段）上运动，显然存在字图与抛物线y xB显然当点自点向点运动时，两个图象总有M N V，两个交点，故只需要字形图象y x x a 交点即可，。