函数的微分
函数的微分
练习： (1)求函数y cos x在x
6 2 (2)求函数y x 当x由1变到1.01 时的微分.
处的微分.
二、微分的几何意义
如图，设M ( x0 , y0 ) 和点N ( x0 x, y0 y ) 是曲线上y f ( x )的两点。 由图可知， MQ x, QN y。 设切线MP的倾斜角是， 则
y , x 0 x 根据无穷小与函数极限的关系，上式可写成
这表明，当f '( x0 ) 0时，函数的增量 可以分为两个部分： 把它叫做y的线性主部； 另一部分是x, 当x 0时，它是比 x高阶的无穷小.
一部分是f '( x0 ) x, 它是y的主要部分，
所以当 x 很小时，可以认为y f '( x0 )x.
2、 微分的四则运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv
(C 为常数)
vdu udv
3. 复合函数的微分
分别可微 ,
则复合函数
的微分为
f (u ) ( x) dx
du
d y f (u ) du
若yf(u) u(x) 则dyf (u)du
dy
x2 x 0.02
3 x 2 x
x2 x 0.02
0.24.
பைடு நூலகம்
例3 求函数 y x 3 当 x 1, 和x 3时的微分 .
解 dy ( x 3 )x 3 x 2 x .
dy x1 3 x 2x x1 3x dy x3 3 x 2x x3 27x
dy f ' ( x)x
当 y x时，dy dx x
于是函数的微分又可以 记为 dy f ' ( x)dx 从而
函数的微分
例
求隐函数 e
xy
xy
2 x y 的微分
3
3
解： 对方程两边分别求微分，得
d (e ) d ( 2 x y )
e d ( xy) d (2 x) d ( y )
xy
3
e
xy
( xdy ydx) 2dx 3 y dy
2
移项整理求得
xy 2
xy
d (e ) d ( 2 x y )
3
y ( x x) x 3 3 1.01 1 0.030301
3
3
dy x x 0.03
3
dy
几何意义：
y y0
f ( x0 )x
y
M 0 ( x0 , y0 )
y f ( x)
M ( x0 x, y0 y)
函数 y f ( x)在 x
sin xdx x cos xdx sin xdx
x cos xdx
函数的微分
5、dy
arctan xd e e d arctan x
x x
arctan x
x x
2
e arctan xe dx dx 2 1 x 2 arctan x e arctan xe 2 1 x dx 2 arctan x
法则可直接得到微分的基本公式和
运算法则。
1.微分的基本公式
1、d (C ) 0
2、d ( x ) x
x
x
1
dx( R)
3、d (a ) a ln adx(a 0且a 1)
1 dx(a 0且a 1) 4、d (log a x) x ln a 1 d (ln x) dx x
函数的微分
dy f ( x)dx. ——微分计算公式 dy 此时, 定理可重述为: dy f ( x)dx f ( x). dx
10
dy dy dx. 故导数也称为“微商”. dx 导数的这种定义在某些场合下应用会很方便 .
求函数导数或微分的方法也称为“微分法”. 可微、可导、连续的关系
2
第五节
函数的微分
一、微分的定义 设有函数 y f ( x) , 当 x 在 x0 处有增量 x 时, 函数 y 有对应的增量 y f ( x0 x) f ( x0 ) .
当函数 f ( x ) 较为复杂时, y 的计算就比较麻烦.
例如 y arctan x , 在 x0 1 处有增量 x 0.02 , 求 y .
（保留3位小数）
y arctan1.02 arctan1 计算困难
任务： 为 y 寻求一个既简单（容易计算）又满足一定精度 要求的近似表达式.
3
实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由 x0变到x0 x,
x0
x
( x ) 2
x
正方形面积 A x ,
2 0
2 A ( x0 x)2 x0
y f ( x0 ) , (2) 充分性 设 函数f ( x)在点x0可导, 则 lim x 0 x y f ( x 0 ) x lim 0 , 于是 y f ( x0 )x o(x) , x 0 x
即 y Ax o(x ) , 函数 f ( x )在点x0可微 .
3
求函数的改变量 y .
3 y ( x 0 x ) 3 x 0 2 3 x0 x 3 x 0 ( x ) 2 ( x ) 3 .
微分公式大全24个
微分公式大全24个微分公式是微积分中非常重要的一部分，下面我将列举24个常见的微分公式：1. 常数函数微分，(k)' = 0。
2. 幂函数微分，(x^n)' = nx^(n-1)。
3. 指数函数微分，(e^x)' = e^x.4. 对数函数微分，(ln(x))' = 1/x.5. 三角函数微分，(sin(x))' = cos(x)，(cos(x))' = -sin(x)，(tan(x))' = sec^2(x)。
6. 反三角函数微分，(arcsin(x))' = 1/√(1-x^2)，(arccos(x))' = -1/√(1-x^2)，(arctan(x))' = 1/(1+x^2)。
7. 和差函数微分，(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)。
8. 积函数微分，(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
9. 商函数微分，(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x)f(x)g'(x))/g(x)^2。
10. 复合函数微分，(f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x)。
11. 反函数微分，如果y = f(x)和x = g(y)是互为反函数的函数，那么有dy/dx = 1/(dx/dy)。
12. 参数方程的微分，如果x = f(t)和y = g(t)是参数方程，那么dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)。
13. 隐函数微分，如果F(x, y) = 0定义了y作为x的隐函数，那么dy/dx = (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
14. 对数微分，d(ln(x)) = 1/x dx.15. 指数微分，d(e^x) = e^x dx.16. 对数函数微分，d(log_a(x)) = (1/xln(a)) dx.17. 幂函数微分，d(x^n) = nx^(n-1) dx.18. 三角函数微分，d(sin(x)) = cos(x) dx，d(cos(x)) = -sin(x) dx，d(tan(x)) = sec^2(x) dx.19. 反三角函数微分，d(arcsin(x)) = 1/√(1-x^2) dx，d(arccos(x)) = -1/√(1-x^2) dx，d(arctan(x)) = 1/(1+x^2) dx.20. 对数函数的微分，d(log_b(x)) = (1/xln(b)) dx.21. 反双曲函数微分，d(arcsinh(x)) = 1/√(x^2+1) dx，d(arccosh(x)) = 1/√(x^2-1) dx，d(arctanh(x)) = 1/(1-x^2) dx.22. 反双曲函数微分，d(arccsch(x)) = -1/|x|√(1+x^2) dx，d(arccoth(x)) = -1/(1-x^2) dx.23. 反双曲函数微分，d(arccsech(x)) = -1/(x√(1-x^2)) dx.24. 反双曲函数微分，d(arccoth(x)) = -1/(1-x^2) dx.这些是常见的微分公式，它们在求导过程中经常被使用。
函数的微分(精)
Jlin Institute of Chemical Technology
上页 下页 返回 退出
求函数增量的近似公式 f(x0Dx)f(x0)f (x0)Dx
例7 有一批半径为 1cm 的球 为了提高球面的光洁 度 要镀上一层铜 厚度定为0.01cm. 估计一下每只球需 用铜多少 g (铜的密度是8.9g/cm3)?
dxDx. 因此 函数yf(x)的微分又可记作
dyf (x)dx.
Jlin Institute of Chemical Technology
上页 下页 返回 退出
•增量与微分的关系
当f (x0)0时 有
lim Dy Dx0 dy
lim
Dx0
Dy f (x0)Dx
f
1 (x0)
解 函数yx3在x1处的微分为
dy(x3)|x1Dx3Dx 函数yx3在x2处的微分为
dy(x3)|x2Dx6Dx.
例2 求函数 yx2当x1 Dx 0.02时的微分.
解 先求函数在任意点x 的微分
dy(x2)Dx2xDx. 再求函数当x1 Dx0.02时的微分
)cos w t dt.
解 (1)因为d(x3)3x2dx 所以
x2dx 1 d(x3) d(1 x3)
3
3
即 d(1 x3) x2dx . 3
一般地 有 d(2 x3 C) 2x2dx (C为任意常数).
3
(2)因为d(sin w t)w cos w tdt 所以
cosw
Dy
ADxo(Dx)
Dy Dx
A
o(Dx) Dx
lim Dx0
Dy Dx
f
函数的 微分
o x
lim x0 x
y lim x0 x
f ' x0
也就是说，如果函数y f x 在点 x0 处可微，那么函数在点 x0 处就可导， 且 A f ' x0 ；反之，如果函数 y f x 在点 x0处可导，即
lim y x0 x
f ' x0
存在，那么根据无穷小与函数极限的关系，有
高等数学
函数的微分
1.1 微分的概念
定义1.1 设函数 y f x在 点 x0 的某邻域内有定义，自变量 x 在点 x0 处
有一个改变量 Δx，如果相应的函数改变量 y f x0 x f x0
可以表示为
y Ax ox
其中，A 是不依赖于 Δx 的常数，ox 是比 Δx 高阶的无穷小 x 0时 那么称函数 y f x 在点 x0 处是可微的， Ax称为函数 y f x 在点
解 (1)先求函数的导数
y'
1
x2
1 '
2x 1 x2
2
因为 dy y' dx
所以
dy
2x 1 x2
2 dx
(2)
dy
x1
f ' 1dx
1 dx 2
(3)
dy
x1 x0.01
f ' 1
x
1 2
0.01 0.005
例1.2 求函数 y sinln的x 微分。
解法一 直接利用公式 dy y' dx ，得
dy sinlnx' dx 1 coslnxdx
x
解法二 利用微分形式不变性，得
dy dsinlnx coslnxd lnx 1 coslnxdx
微分公式大全高等数学
微分公式大全高等数学在高等数学中，微分是研究函数的变化率和导数的一门重要内容。
微分公式的正确掌握是学习和应用微分的重要基础。
下面将列举一些常见的微分公式，供大家参考。
1. 基本微分公式（1）常数函数微分：若y=C，C为常数，则dy/dx=0；（2）幂函数微分：若y=x^n，n为常数，则dy/dx=nx^(n-1)；（3）指数函数微分：若y=a^x，a>0且a≠1，则dy/dx=a^x*lna；（4）对数函数微分：若y=log_a x，a>0且a≠1，则dy/dx=1/(xlna)；（5）三角函数微分：若y=sin x，则dy/dx=cos x；若y=cos x，则dy/dx=-sin x；若y=tan x，则dy/dx=sec^2 x；（6）反三角函数微分：若y=arcsin x，则dy/dx=1/sqrt(1-x^2)；若y=arccos x，则dy/dx=-1/sqrt(1-x^2)；若y=arctan x，则dy/dx=1/(1+x^2)；（7）双曲函数微分：若y=sinh x，则dy/dx=cosh x；若y=cosh x，则dy/dx=sinh x；若y=tanh x，则dy/dx=sech^2 x；（8）反双曲函数微分：若y=arcsinh x，则dy/dx=1/sqrt(1+x^2)；若y=arccosh x，则dy/dx=1/sqrt(x^2-1)；若y=arctanh x，则dy/dx=1/(1-x^2)。
2. 复合函数微分法则（1）链式法则：若y=f(u)，u=g(x)，则dy/dx=dy/du*du/dx；（2）乘积法则：若y=u*v，u=g(x)，v=h(x)，则dy/dx=u*(dv/dx)+v*(du/dx)；（3）商积法则：若y=u/v，u=g(x)，v=h(x)，则dy/dx=(v*du/dx-u*dv/dx)/v^2。
3. 隐函数微分若方程F(x, y)=0表示一个隐函数，其中y是x的显含函数，则通过隐函数微分可以求出dy/dx。
(完整版)函数的微分及其应用
微分与导数的本质区别：
1. 导数是切线斜率，微分是切线对 x 的增量； 2. 导数只与 x 有关，而微分不仅与是切 x 有关，
也与 x 有关；
3.导数多用于理论研究，微分多用于近似计算。
利用 dy f ( x)dx 很容易求出基本初等函数的微分：
d(sin x) cos xdx ; d(C) 0 ;
§5 函数的微分及其应用
❖ 微分定义 ❖ 微分与导数 ❖ 微分的几何意义 ❖ 微分公式与运算法则 ❖ 微分的简单应用
一. 微分的概念
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由 x0 变到 x0 x,
正方形面积 A x02 ,
x0
x0x
x (x)2
x
A ( x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
d ln | x | 1 dx ; x
d(tan x) sec2 xdx ;
d( x ) x1dx ;
d(arcsin x) 1 dx. 1 x2
三. 微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T
当y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
N
P
o(x)
M
dy y
y f (x)
x
(5) 当 x 很小时, y dy (线性主部).
二. 微分与导数( differential & derivative )
定理：函数 y f ( x) 在 x0 可微 f ( x) 在 x0 可导。
可导 可微. 证: “必要性”
已知
在点 可微 , 则
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
例4. 设 u( x),v( x) 在 x 处可微，求 y arctan u 的微分;
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§5 函数的微分【目的要求】1、掌握函数、隐函数、复合函数的微分法则；2、熟练掌握一阶微分形式不变性求函数微分的方法． 【重点难点】微分概念、微分形式的不变性及其应用． 【教学内容】在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题：当自变量在点x 处有微小增量x ∆时，求函数()y f x =相应的微小增量()()y f x x f x ∆=+∆-。
这个问题初看起来简单，然而，对于较复杂的函数()f x ，增量y ∆的值不易求出。
这时我们可以考虑求y ∆的近似值，怎样求y ∆的近似值呢？微分就是在这种背景下产生的一个概念。
一、微分的定义先分析一个具体问题。
一个正方形的铁片，受热后均匀膨胀，边长由0x 变为x x ∆+0，问铁片的面积大体改变了多少？如图2-5所示,设正方形铁片的边长为x ，面积为A ，则2A x =，当边长x 由0x 变为x x ∆+0时，面积的改变量为222000()2()A x x x x x x ∆=+∆-=∆+∆。
上式包含两个部分，第一部分是02x x ∆，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，是x ∆的线性函数，是A ∆的主要部分；第二部分是2()x ∆，即图中带有交叉斜线图2-5的小正方形的面积，当0x ∆→时，2()x ∆是比x ∆高阶的无穷小，是A ∆的次要部分。
由此可见，如果边长有微小改变(即||x ∆很小)时，我们可以将第二部分2()x ∆忽略，而用第一部分02x x ∆近似地表示A ∆，即02A x x ∆≈∆。
因为00()2A x x '=，所以0()A A x x '∆≈∆，即面积的增量近似等于面积函数的导数与边长增量之积。
由此我们引入微分的定义。
定义5.1 设函数()y f x =在点0x 处可导，自变量x 由0x 变到0x x +∆，则把x x f ∆')(0叫做函数()y f x =在点0x 处相应于自变量增量x ∆的微分，记作0d x x y =或d ()x x f x =，即0d ()x x y f x x ='=∆或00d ()()x x f x f x x ='=∆.此时，也称函数()y f x =在点0x 处可微。
函数()y f x =在任意点x 的微分，叫做函数()y f x =的微分，记作dy 或()df x ，即d ()y f x x '=∆或d ()()f x f x x '=∆.例1 求函数2x y =当01.0,2=∆=x x 时的增量和微分。
解 函数的增量为0401.02)01.02(22=-+=∆y ，函数的微分为2d ()2y x x x x '=⋅∆=⋅∆，将01.0,2=∆=x x 代入，得d 220.010.04y =⨯⨯=.由上例结果可看出，d y y ∆≈，误差是0.0001. 对于函数x y =，它的微分是d d y x x x x '==⋅∆=∆，即d x x =∆.即自变量的微分等于自变量的增量。
于是函数的微分可以写成d ()y f x dx '=，即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。
从而有d ()d yf x x'=，即函数微分与自变量微分的商等于函数的导数，因此导数通常也叫做微商。
从上看到，若函数可导，则函数必可微；反之，若函数可微，则函数必可导。
因此，导数与微分是一致的，通常把导数和微分统称为微分。
二、 微分的几何意义如图2-6 ，设曲线()x f y =在点M 的坐标为))(,(00x f x ，过点M 作切线MT ，它的倾角为α，当自变量x 有微小的增量x ∆时，相应的曲线上纵坐标有增量y ∆，由图2-6可看出0d ()tan y f x x x QP α'=⋅∆=⋅∆=因此，函数()x f y =在点0x 处微分就是曲线()x f y = 在点()()00,x f x 的切线上纵坐标的增量。
由图2-5还可看出，当x ∆很小时，(1)d y y ∆≈；(2)在点M 的附近，可以用切线段来近似代替曲线段，即所谓的“以直代曲”。
三、 微分的基本公式与运算法则从微分的定义()d y f x dx '=可知，求函数的微分就是所给函数的导数乘以dx ，所以从导数的基本公式和运算法则就可以得到微分的基本公式和运算法则。
1. 微分基本公式：(1)d()0C =(C 为常数)； (2)1d()d x x x ααα-=； (3)d()ln d x x a a a x =； (4)d()d x x e e x =； (5)1d(log )d ln a x x x a =； (6)1d(ln )d x x x=； (7)d(sin )cos d x x x =； (8)d(cos )sin d x x x =-； (9)2d(tan )sec d x x x =； (10)2d(cot )csc d x x x =-； (11)d(sec )sec tan d x x x x =； (12)d(csc )csc cot d x x x x =-；(13)d(arcsin )x x =；(14)d(arccos )x x =；(15)21d(arctan )d 1x x x =+； (16)21d(arccot )d 1x x x =-+.图2-62. 微分的四则运算法则 设v u 、都是x 的可微函数，则有 (1)()d d d u v u v ±=±；(2)d()d d uv v u u v =+，特别地d()d C u C u =(C 是常数)；(3)2d d d u v u u v v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 3．复合函数的微分法则设()y f u =，()u x φ=均可导，按定义,复合函数)]([x f y ϕ=的微分为d d x y y x '=⋅()()d f u x x ϕ''=，即复合函数的微分等于复合函数的导数乘以自变量的微分。
因为()d d x x u φ'=，所以上式又可写成d d u y y u '=或()d d y f u u '=.即复合函数的微分等于函数对中间变量的导数乘以中间变量的微分,这就是复合函数的微分法则。
由此可见，无论u 是自变量还是中间变量，微分形式d ()d y f u u '=保持不变. 这一性质称为微分形式不变性.求导数与求微分的运算统称为微分运算。
例2 求下列函数的微分:(1)223y x x =+ (2)arcsin x y e =； (3)2ln(1)x y e =+； (4)ln sin y x x =⋅ 解 (1)利用微分的定义得2d (23d (43y x x x x x '=++=++.(2)解法1 ，利用微分的定义得d (arcsin )d ()d d x xxy e x e x x ''===.解法2，利用复合函数的微分法则得d d()()d d x xxy e e x x '===.(3)用公式()dx x f dy '=，得2222ln(1)1x x x xe dy e dx dx e'⎡⎤=+=⎣⎦+(4)利用乘积的微分法则得d d(ln sin )sin d(ln )ln d(sin )y x x x x x x =⋅=+sin sin d ln cos d (ln cos )d x xx x x x x x x x x=+⋅=+⋅. 例4 在括号里填上适当的函数，使下列等式成立： (1)d()2d x x =； (2)2d()csc d x x =；解 与d ()()d f x f x x '=比较可知，这是已知函数的导数，求原来的函数的问题。
(1)已知函数的导数为x ，因为2()2x x '=，所以2d()2d x x x =。
此外，2(1)2x x '+=，2(2)2x x '-=，……。
一般地， 有 2d()2d x C x x +=(C 为任意常数).(2)已知函数的导数为2csc x ，因为2(cot )csc x x '-=，所以2d(cot )csc d x x x -=。
此外，2d(cot 2)csc d x x x -+=，2d(cot 1)csc d x x x --=，……。
一般地，有 2d(cot )csc d x C x x -+=(C 为任意常数). 例5 在括号里填上适当的常数，使下列等式成立： (1)cos5d ()d(sin 5)x x x =； (2)23d ()d(5)x x a x =-；解 (1)因为d(sin 5)(sin 5)d 5cos5d x x x x x '==， 所以1cos5d ()d(sin 5)5x x x =。
(2)因为32d(5)15d a x x x -=-，所以231d ()d(5)15x x a x =--。
四、 微分在近似计算中的应用由微分的概念可知，当函数()f x 在点0x 的导数'0()0f x ≠且当x ∆很小时，有()0d y y f x x '∆≈=∆ (1) 即000()()()y f x x f x f x x '∆=+∆-≈∆，变形得 000()()()f x x f x f x x '+∆≈+∆ (2) 利用(1)式可以求函数增量y ∆的近似值，利用(2)式可以求函数)(x f 在0x 附近的近似值。
例6 计算的cos6030o '近似值解 设()cos f x x =，有()sin f x x '=-(x 为弧度)令03x π=，360x π∆=，有1()32f π=，()32f π'=-. 所以得cos6030cos()3360o ππ'=+3603sin 3cos πππ⋅-≈3602321π⋅-=.4924.0≈ 例7 一个半径为1厘米的球，为了提高表面的光洁度，需要镀上一层铜。
镀层厚度为0.01厘米。
估计每只球需要用铜多少克？(铜的密度为3/9.8cm g )解 需用铜的质量等于镀层的体积乘以铜的密度。
镀层的体积等于两个球体体积之差，由球的体积334r V π=得镀层的体积为334()3V r r r π⎡⎤∆=+∆-⎣⎦， 利用近似计算公式(1)，得r r r V V ∆=∆'≈∆24π，依题意，1=r ，01.0=∆r ，得32)(13.04cm r r V ≈∆≈∆π，因此每只球需要用铜约为16.19.813.0=⨯(克)。