立体几何和平面解析几何知识点

必修2 数学基础知识

第1章立体几何初步

§1.1.1 棱柱、棱锥和棱台

§1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球

§1.1.3 中心投影和平行投影

三视图：主视图（从前向后）；左视图（从左向右）、俯视图（从上向下）

主视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；长对正俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；高平齐左视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度；宽相等

已知几何体的三视图时，通常以正方体为载体画出该几何体的直观图

§1.1.4 直观图画法

斜二测画法：①原来与x轴平行的线段仍然与x轴平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y轴平行且长度为原来的一半.

§1.2.1 平面的基本性质

1. 点与平面的关系：点A在平面α内，记作Aα

∈；点A不在平面α内，记作Aα

∉点与直线的关系：点A在直线l上，记作：A∈l；点A在直线l外，记作A∉l；

直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作α

⊂

l；直线l不在平面α内，记作α

⊄

l

2. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

（即直线在平面内，或者平面经过直线）

用符号语言表示公理1：,,,

A l

B l A B l

ααα

∈∈∈∈⇒⊂

3. 公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：①经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；

②经过两条相交直线，有且只有一个平面；

③经过两条平行直线，有且只有一个平面.

公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据；②它是证明平面重合的依据4. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线

若平面α和平面β相交，交线是l，记作l=

⋂β

α.

用符号语言表示公理3：P∈α, P∈β且l=

⋂β

α⇒P∈l.

公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法；

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系, 即交线必过公共点；

③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据.

§1.2.2 空间两条直线的位置关系

1. 平行关系 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这个两角相等 2. 异面直线

异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线. 它们既不平行，又不相交. 异面直线所成的角：直线a 、b 是异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ′∥a ，b ′∥b ，

则把直线a ′ 和b ′ 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成

的角.

两条异面直线所成角的取值范围是（0°，90°].

若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂

直.

§1.2.3 直线与平面的位置关系

1. 三种位置关系 直线在平面内――有无数个公共点．

直线不在平面内（即直线在平面外）：①相交――只有一个公共点；②

平行――没有公共点；

三种位置关系的符号表示：α⊂a ； A a =⋂α； a ∥α. 2. 直线与平面平行的判定定理和性质定理 判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行, 则该直线与此平面平行. 线线平行⇒线面平行

性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.

线面平行⇒线线平行

3. 直线与平面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面.

线线垂直⇒线面垂直

性质定理：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.

线面垂直⇒线线垂直

②如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 4. 直线和平面所成的角

平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 直线和平面所成角的取值范围是[0°，90°]. §1.2.4 平面与平面的位置关系

1. 两平面平行的判定定理和性质定理 判定定理：

①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（线面平行⇒面面平行）；

②如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行.（线线平行⇒面面平行）；

③垂直于同一条直线的两个平面平行；

性质定理： ①如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行；（面面平行⇒线面平行）

②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行；（面面平

行⇒线线平行）

2. 两平面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直⇒面面垂直）

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.

（面面垂直⇒线面垂直） 3. 二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：从一条直线l 出发的两个半平面βα,所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，

这两个半平面叫做二面角的面. 记作βα--l .

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，

这两条射线所成的角叫二面角的平面角.

③二面角的取值范围[ 0°, 180° ]， 平面角是直角的二面角叫直二面角. §1.3.1 空间几何体的表面积

空间几何体的表面积公式（c 为底面周长，h 为高，h ′为斜高，l 为母线）

ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '2

1ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积

')(2

1

21h c c S +=正棱台侧面积

l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 ()

22R Rl rl r S +++=π圆台表

§1.3.2 空间几何体的体积

1. 柱体、锥体、台体的体积公式

V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱

1

3V Sh =锥 h r V 23

1π=圆锥'1()3V S S h =台

'2211

()()33

V S S h r rR R h π==++圆台

2. 球体的表面积和体积公式V 球=343

R π ；S 球面=2

4R π

3. 若多面体的表面积为S ，内切球的半径为R , 则该多面体的体积SR V 3

1=

第2章 平面解析几何初步

§2.1.1 直线的斜率

1. 直线的倾斜角 x 轴正方向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 当直线与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 因此，直线倾斜角的取值范围是[0°,180°).

2. 直线的斜率

①定义：倾斜角α不是90°的直线，α的正切叫做这条直线的斜率.

直线的斜率通常用k 表示. 即tan k α=. 当α＝0°时，k ＝0；当α∈(0°, 90°)时，k ＞0；当α∈(90°, 180°)时，k ＜0；当α＝

90°时，k 不存在. ②经过两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)的直线的斜率公式：)(211

21

2x x x x y y k ≠--=

§2.1.2 直线的方程

1. 点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率为k ，且过点(x 1, y 1).