2009年华中科技大学考研真题数学分析答案真题
1 n （2）证明：利用均值不等式 ai ai (ai 0, i 1, 2,..., n) n i 1 i 1
n
n
令 a1 x, a2 a3
y z abc 6 , a4 a5 a6 ，带入上式可得 ab2c3 108( ) 2 3 6
1 0
单调且 x y b 1, x [1, )，故由阿贝尔判别法可知， x y a x a f ( x)dx 在
y [a, b] 上一致收敛。
因此广义积分 J ( y)
0
x y f ( x)dx 关于参量 y [a, b] 一致收敛。
2
1
0
gn ( x)dx 2M
1
0
nxn dx 2M (1 ) n 0, n
则 N 0 ，当 n N 时，
1
0
nx n 1 f ( x) f (1) dx
2
1
1
0
nx
n 1
f ( x) f (1) dx
xn
lim
九、设 f ( x) C[0,1] ，证明 lim nx n1 f ( x)dx f (1) 。 0
n
1
证明：由 f ( x) C[0,1] ， （1） M 0 ， f ( x) M , x [0,1] （2）对 0 ，存在 0 ，当 x [1 ,1] 时， f ( x) f (1) （3）令 gn ( x) nxn1 f ( x) f (1) , x [0,1 ] ，于是
五 、（ 1 ） 求 函 数 f ( x, y, z) ln x 2ln y 3ln z （ 其 中 x, y, z 0 ） 在 球 面
x2 y 2 z 2 6R2 的最大值。
（ 2）设 a, b, c 为正数，证明不等式 ab2c3 108(
abc 6 ) 6
（1）解：应用拉格朗日乘数法，令
调 且 x y a 1, x ( 0, 1] ，故由 阿贝尔 判别 法可 知，
y [a, b] 上一致收敛。
1
0
x y a x a f ( x)dx 在
（2） 对
1
x y b xb f ( x)dx ， 由于
0
xb f ( x)dx 收敛， 故
1
xb f ( x)dx 收敛。 而 x y b
利用柯西准则或者余项 Rn ( x) Sn ( x) S ( x) 就可以知道 Sn ( x) 一致收敛
x 七、设 f ( x) 在区间 (0,1] 上有连续的右导数，极限 lim
x 0
df ( x) 存在且有限。证 dx
明函数 f ( x) 在区间 (0,1] 上一致连续。 证明：感觉这道题有点问题，因为由连续的右导数推不出函数连续，可以举出如
2
则
P Q x 2 8 xy 4 y 2 y x x2 4 y 2
记 L : x 2 4 y 2 2 （顺时针方向） ，则
I P( x, y )dx Q( x, y )dy
C
C L
P( x, y )dx Q( x, y )dy P ( x, y )dx Q ( x, y )dy
3
（ 任意小）
由 g ( x) x 在 [0, ] 上连续可知 g ( x) x 在 [0, ] 上一致连续。 则 x1 x2 时，
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) g ( x1 ) f ( x2 ) g ( x2 ) g ( x1 ) g ( x2 )
1 是函数的间断点 2 但是将条件改为导函数连续即可。
但是 x
一方面由 lim x
x 0
df ( x) df ( x) k 1 存在有限可知， O( ), x (0, ) ，积分有 dx dx x x
f ( x) x O( x ), x (0, ) ，即 f ( x) x
1 J ( x, y , z ) 1 1 J (u, v, w) 1 1 1 1 1 4 1
1 1 J ( x, y , z ) 4
从而
I uvwdudvdw
D
1 1 1 1 uvwdudvdw 4 0 0 0
1 2 2 2 1 uvw 32 32 0
1 , x R , y 2 R , z 3R 2R2
由 x, y, z 0 ，解得
从而 ( R , 2R , 3R ) 是 L 的稳定点，且所求得条件极值点必在其中取得。
3 故函数的最大值为 f ( R , 2 R , 3R ) 3ln R ln 2 ln 3 2
十、设 f ( x) 在区间 (0, ) 上连续，又设广义积分 收敛，其中 a b ，证明含参变量广义积分 J ( y) 一致收敛。 证明： J ( y)
1 0 0 0
0
x a f ( x)dx 和
0
xb f ( x)dx 均
x y f ( x)dx 关于参量 y [a, b]
L( x, y, z, ) ln x 2ln y 3ln z ( x 2 y 2 z 2 6R 2 )
对 L 求一阶偏导，并令它们为 0，则有
Lx L y Lx L 1 2 x 0 x 2 2 y 0 y 3 2 z 0 z x2 y 2 z 2 6R2 0
n
由 Stoltz 公式，有
lim an a a a a lim n n 1 lim n n 1 0 n A n A A n an n n n 1
an 1 ，即幂级数 an x n 的收敛半径 R 1 。 n a n 1 n 1
注：均值不等式的证明可以采用凸函数性质（ f ( x) ln x ） 六、讨论函数项级数 解：
x2 在区间 (, ) 上的一致收敛性。 2 n n 0 (1 x )
x2 1 x2 1 1 1 1 x2 2 n 2 n 2 n 2 n n 0 (1 x ) n 0 (1 x ) n 1 (1 x ) n 0 (1 x )
2
2
从而 f ( x) 在 (0,1] 上一致连续。 八、设正项级数 an 发散，且 lim
n 1 n an 0 ，其中 An ak 。证明幂级数 an x n n A k 1 n 1 n
的收敛半径 R 1 。 证明：显然 An 单调递增且无界，则 lim An
3
3
3
另一方面，由 f ( x) 在 [ ,1] 上连续可知 f ( x) 在 [ ,1] 上一致连续。
, x2 [ ,1], x1 x2 时， 当 x1 (0, ）
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( ) f ( x2 ) f ( )
下反例：
1 x,0 x 4 1 1 ,0 x 1 df ( x) 1 4 2 x 1 1 f ( x ) x , x ， f ( x ) ， lim x x 0 2 dx 2 2 4 1, 1 x 1 1 4 x, 2 x 1
即函数项级数 注： Sn ( x)
n
x2 在区间 (, ) 上一致收敛。 2 n n 0 (1 x )
n 1 n x2 1 1 1 1 x2 2 k 2 k 2 k (1 x 2 )n k 0 (1 x ) k 1 (1 x ) k 0 (1 x )
z z b 。 x y
G z G z (c a ) b 0 s x t x G z G z a (c b ) 0 s y t y
由a
G G b 0 及上式解得 s t
zx
cGs cGt , zy aGs bGt aGs bGt
L
L
P( x, y)dx Q( x, y)dy
1 令 x cos , y sin ，则 2
I
L
P( x, y)dx Q( x, y)dy
2
0
1 d 2
三 、 计 算 三 重 积 分 I ( x y z )( x y z )( y z x)dxdydz ， 其 中
2009 年华中科技大学招收攻读硕士研究生
入学考试自命题数学分析试题 G G 一、设 G( s, t ) 是二元连续可微函数满足 a b 0 ，又设 z f ( x, y) 是由方 s t 程 G(cx za, cy bz ) 0 所确定的隐函数， 其中 a, b, c 为非零常数， 求a 解： G(cx za, cy bz) 0 分别对 x, y 求导，得
1
四、 将函数 f ( x) x( x) 在区间 [0, ] 上展成余弦级数并求该级数在区间 [ , ] 上的和函数。 解：展式见 08 年第八题 由于延拓后的函数在 (, ) 上连续，故级数在 [ , ] 上收敛到延拓的函数， 即：
x( x), x [0, ] g ( x) x( x), x [ , 0]
x y f (Biblioteka x)dx x y a x a f ( x)dx
2009年考研数学(二)真题及解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）（科目代码：302）（考试时间：上午8:30-11:30）考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
1()f x O23x-1122009年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）函数3()sin πx x f x x-=的可去间断点的个数为（A ）1．（B ）2．（C ）3．（D ）无穷多个．（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小量，则（A ）11,6a b ==-．（B ）11,6a b ==．（C ）11,6a b =-=-．（D ）11,6a b =-=．（3）设函数(,)z f x y =的全微分为d d d z x x y y =+，则点(0,0)（A ）不是(,)f x y 的连续点．（B ）不是(,)f x y 的极值点．（C ）是(,)f x y 的极大值点．（D ）是(,)f x y 的极小值点．（4）设函数(,)f x y 连续，则222411d (,)d d (,)d y xy x f x y y y f x y x -+=⎰⎰⎰⎰（A ）2411d (,)d xx f x y y -⎰⎰．（B ）241d (,)d x x x f x y y -⎰⎰．（C ）2411d (,)d yy f x y x -⎰⎰．（D ）221d (,)d yy f x y x ⎰⎰．（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点(1,1)处的曲率圆为222x y +=，则函数()f x 在区间(1,2)内（A ）有极值点，无零点．（B ）无极值点，有零点．（C ）有极值点，有零点．（D ）无极值点，无零点．（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形如图所示，则函数()()d xF x f t t =⎰的图形为()F x O23x1-1-11()F x O23x1-11()F x O23x1-1-11（A ）（B ）（C ）（D ）（7）设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3==A B ，则分块矩阵⎛⎫ ⎪⎝⎭O A B O 的伴随矩阵为（A ）**32⎛⎫ ⎪⎝⎭O B A O ．（B ）**23⎛⎫⎪⎝⎭OB AO ．（C ）**32⎛⎫ ⎪⎝⎭O A B O ．（D ）**23⎛⎫⎪⎝⎭O A BO ．（8）设,A P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且T100=010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，若1231223(,,),(,,)==+P Q ααααααα，则T Q AQ 为（A ）210110002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．（B ）110120002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．（C ）200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．（D ）100020002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．()F x O23x1-11（9）曲线21022e d ,ln(2)t u x u y t t --⎧=⎪⎨⎪=-⎩⎰在(0,0)处的切线方程为．（10）已知+e d 1k xx ∞-∞=⎰,则k =．（11）1n limesin d xnx x -→∞=⎰．（12）设()y y x =是由方程e 1yxy x +=+确定的隐函数，则22d d x yx==．（13）函数2xy x=在区间(0,1]上的最小值为．（14）设,αβ为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵Tαβ相似于200000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则T=βα．三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分9分）求极限[]40(1cos )ln(1tan )limsin x x x x x→--+．（16）（本题满分10分）计算不定积分ln(1x +⎰(0)x >．（17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有二阶连续偏导数，求d z 与2zx y∂∂∂．（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x =(0)x 满足微分方程20xy y '''-+=．当曲线()y y x =过原点时，其与直线1x =及0y =围成的平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积．（19）（本题满分10分）计算二重积分()d d Dx y x y -⎰⎰，其中{}22(,)(1)(1)2,D x y x y y x =-+- ．（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间(π,π)-内过(的光滑曲线．当π0x -<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0πx < 时，函数()y x 满足0y y x ''++=．求函数()y x 的表达式．（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，则存在(,)a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在(0,)(0)δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=．（22）（本题满分11分）设111111042--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，1112-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ，（Ⅰ）求满足21=A ξξ，231=A ξξ的所有向量23,ξξ；（Ⅱ）对（I ）中的任意向量23,ξξ，证明123,,ξξξ线性无关．（23）（本题满分11分）设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-．（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值．2009年考研数学（二）试卷答案速查一、选择题（1）C （2）A （3）D （4）C （5）B （6）D（7）B （8）A二、填空题（9）2y x =（10）2-（11）0（12）3-（13）2ee-（14）2三、解答题（15）14．（16）1ln(12x C ++-+．（17）123123d ()d ()d z f f yf x f f xf y ''''''=+++-+，211223313233()()zf f xyf x y f x y f f x y∂'''''''''''=-++++-+∂∂．（18）17π6．（19）83-．（20）π0,πcos sin ,0π.x y x x x x -<<=+-<⎪⎩（21）略．（22）（Ⅰ）21101021k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξ，其中1k 为任意常数．323101/2100010k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξ，其中23,k k 为任意常数.（Ⅱ）略．（23）（Ⅰ）特征值为1232,,1a a a λλλ=-==+.（Ⅱ）2a =．2009年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）【答案】C ．【解答】当x 取任何整数时，sin π0x =，()f x 均无意义，所以()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点．由30x x -=解得0,1,1x =-．因为3200131lim lim sin ππcos ππx x x x x x x →→--==，3211132lim lim sin ππcos ππx x x x x x x →→--==，3211132lim lim sin ππcos ππx x x x x x x →-→---==，故可去间断点为3个，即0,1,1x =-．故选C ．（2）【答案】A ．【解答】2220000()sin sin 1cos limlim lim lim 1()ln(1)()3x x x x f x x ax x axa ax g x x bx x bx bx→→→→---====-⋅--，因为2lim(3)0x bx →-=，所以0lim(1cos )0x a ax →-=，从而 1.a =再有，2220001()1cos 12lim lim lim 1()336x x x x f x x g x bx bx b→→→-===-=--，得16b =-．故选A ．（3）【答案】D ．【解答】因为d d d z x x y y =+，所以,z z x y x y ∂∂==∂∂.因为，2221,0z z A B x x y ∂∂====∂∂∂，221zC y∂==∂，所以20,0B AC A -<>，故，(0,0)是(,)f x y 的极小值点．故选D ．（4）【答案】C ．【解答】222411d (,)d d (,)d y xyx f x y y y f x y x -+⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y = ，{}2(,)12,4D x y y y x y =- ，合并可得，{}(,)12,14D x y y x y =- ，故二重积分可以表示为2411d (,)d yy f x y x -⎰⎰．故选C ．（5）【答案】B ．【解答】因为曲率圆为222x y +=在点(1,1)处有()0f x ''<，而()f x ''不变号，所以曲线()y f x =是一个凸函数，于是()f x '单调递减.又因为在(1,2) 内，()(1)10f x f ''<=-<，所以()f x 单调减少，故没有极值点．对()f x 在[1,2] 上应用拉格朗日中值定理，得(2)(1)'()1(1,2)f f f ξξ-=<- , ∈ ，因为(1)10f =>，(2)0f <，由零点定理()f x 在(1,2) 内有零点，故选B ．（6）【答案】D ．【解答】0()()d xF x f t t =⎰，0()F x 表示()y f x =与x 轴、y 轴及0x x =所围的图形的代数面积．由()y f x =的图形可知，①因为()y f x =只有有限个第一类间断点，所以()F x 连续．②当[]1,0x ∈-时，()0F x ．③当[]0,1x ∈时，()0F x，且单调递减．④[]1,2x ∈时，()F x 单调递增，且(1)0,(2)0F F <>．⑤[]2,3x ∈时，()F x 为常函数．故选D ．（7）【答案】B ．【解答】因为当A 可逆时，1*-=A A A ，所以112211*--⨯-⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）O A O A O A O B A B B O B O B O AO 1123-**-**⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭O A B B OA B O B A B A O B A O AO ，故选B ．（8）【答案】A ．【解答】因为1223123100100(,,)(,,)110110001001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q P ααααααα，所以TTT T 100100100100110110110110001001001001⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦Q AQ P AP P AP110100100210010010110110001002001002⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选A ．二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）【答案】2y x =．【解答】当0x y ==时，1t =．2(1)11d e 1d t t t xt --===-=-，22211d 22ln(2)2d 2t t y tt t t t t ===--⋅=--，所以(0,0)d 2d yx =，切线方程为2y x =．（10）【答案】2-．【解答】022e d 2e d e lim e 1)k xkx kxkx x x x kk +∞+∞+∞-∞→+∞===-⎰⎰，因为极限存在，所以0k <，从而22(lim e 1)1kx x k k→+∞-=-=，2k =-．（11）【答案】0．【解答】设1esin d xn I nx x -=⎰，因为1110sin de e sin e cos d xxx n I nx nx n nx x---=-=-+⎰⎰1110e sin (e cos e sin d )x x n n nx n nx x ---=--+⎰112e sin e cos ,n n n n n n I --=--+-所以，22sin cos (1)e 1n n n n nI n n +=-+++．故22sin cos lim lim 0(1)e 1n n n n n n n I n n →∞→∞⎡⎤+=-+=⎢⎥++⎣⎦．（12）【答案】3-．【解答】由题设方程两边对x 求导得，e 1yy xy y ''++=，①再次对x 求导得，22e ()e 0yyy xy y y ''''''+++=，②由已知0x =，0y =，代入①式得1y '=，进而可得(0)3y ''=-（13）【答案】2ee-．【解答】由22ln e xx x y x==可得()22ln 2x y x x '=+，令0y '=，得唯一驻点1ex =．又()22222ln 2xxy x x x x ''=++⋅，得21e 1()2e 0ey -+''=>，故1e x =为2xy x =的极小值点.又因为0(1)1,(0)lim 1x y y ++→===，所以最小值为2e 1()e ey -=．（14）【答案】2．【解答】因为T αβ相似于200000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以Tαβ的特征值为2,0,0，因此T T ()2tr ==βααβ．三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分9分）解：原式[]242001ln(1tan )ln(1tan )2lim lim 2x x x x x x x x x →→-+-+==222000sec 11tan sec tan tan 1tan lim lim lim44(1tan )4x x x xx x x x x x x x x →→→-+--+===+0tan (1tan )1lim44x x x x →-==.（16）（本题满分10分）t =，得211x t =-，则原式2221ln(1)11ln(1)d()d 1111t t t t t t t +=+=----+⎰⎰2ln(1)111ln 1412(1)t t C t t t ++=+-+--+1ln(12x C =++-+．（17）（本题满分10分）解：因为，123123,z z f f yf f f xf x y∂∂''''''=++=-+∂∂，所以，123123d ()d ()d z f f yf x f f xf y ''''''=+++-+．故，21112132122233132333()z f f xf f f xf y f f xf f x y∂'''''''''''''''''''=-++-++-++∂∂11223313233()()f f xyf x y f x y f f '''''''''''=-++++-+．（18）（本题满分10分）解：由题可令p y '=，原方程可化为20xp p '-+=，解得2p Cx =+.则原方程通解为2122y C x x C =++，其中12,C C 为任意常数．因为，()y y x =过原点，所以20C =．又因为，111232111000()d (2)d ()1233C C D y x x C x x x x x ==+=+==⎰⎰，从而13C =．于是可得非负函数为23(0)y x x x =+2 ≥．D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积为11124300032172πd 2π(3)d 2π()π436V xy x x x x x x ==+2=+=⎰⎰．（19）（本题满分10分）解：在极坐标系下积分区域可化为2(sin cos )r θθ≤+，则3π2(sin cos )4π04()d d d (cos sin )d D x y x y r r r rθθθθθ+-=-⎰⎰⎰⎰3π34π48(cos sin )(sin cos )d 3θθθθθ=-+⎰334π48(sin cos )d(sin cos )3θθθθ=++⎰3π44π4818(sin cos ).343θθ=⋅+=-（20）(本题满分12分)解：当π0x -<<时，曲线上任一点(,)x y 处的法线得斜率为d d x k y=-，又法线过原点，则有d d x y k y x=-=，即d d y y x x =-.解方程可得得22y x C =-+.由于曲线过点(，可得2πC =，带入可得y =．当0πx <时，()y x 满足二阶微分方程0y y x ''++=，其对应的齐次方程0y y ''+=的通解为12cos sin y C x C x =+.设y y x ''+=-的特解为*y Ax B =+，解得，1,0A B =-=，从而0y y x ''++=的通解为12cos sin y C x C x x =+-．由于()y y x =是(π,π)-内的光滑曲线，故()y x 和()y x '在0x =处连续．于是100lim ()π,lim ()x x y x y x C -+→→= = ，得1πC =．(0)0y -'=，2(0)1y C +'=-，得21C =．所以()y y x =的表达式为π0πcos sin ,0πx y x x x x -<<=+-<⎪⎩．（21）（本题满分11分）证明：（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a F x f x f a x a b a-=----，有()()F a F b =，且()()()()f b f a F x f x b a -''=--．由罗尔定理存在(,)a b ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()()()f b f a F b a ξ'-=-，结论成立．（Ⅱ）由拉格朗日中值定理，得()000()0()(0)lim lim lim ()x x x f x f f x f f xx ξξ++++→→→-'''===，0x ξ<<.因为()0lim x f x A +→'=，所以0lim ()x f A ξ+→'=，故'(0)f +存在，且'(0)f A +=．（22）(本题满分11分)解：（Ⅰ）因为111111100(|)1111021104220000---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A ξ，解得21101021k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξ，其中1k 为任意常数．因为2220220440⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A ，有2122012201(|)2201000044020000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ξ，解得3231102100010k k ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭ξ，其中23,k k 为任意常数．（Ⅱ）由于1212131121102221k k k k k k ----=-≠--+，故123,,ξξξ线性无关．（23）（本题满分11分）解：（Ⅰ）二次型f 的矩阵为0101111a a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，由01||01()(2)(1)111a a a a a a λλλλλλλ---=-=--+----+E A ，解得A 的特征值为1232,,1a a a λλλ=-==+．（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +时，可知二次型相似于矩阵100010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则该二次型必有一个特征值为0，其余均大于0，故20a -=，2a =．。
2009年考研数学试题详解及评分参考
=
lim
n®0
an2
|
bn
|=
0
,
2009 年 • 第 2 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2009 年数学试题详解及评分参考
¥
å 于是根据正项级数比较判别法的极限形式，知 an2bn2 收敛，因此应选 (C) .
n=1
注：取 an = bn = (-1)n
1 n
，可排除(A)和(D)；取 an
F ¢(x) = 0 ，即 F (x) 恒为常数. 再结合 F (x) 的连续性，即知选项(D)是正确的.
(4)
设有两个数列 {an } , {bn } ，
若
lim
n®¥
an
= 0 ，则
¥
¥
å å (A) 当 bn 收敛时， anbn 收敛.
n=1
n=1
¥
¥
å å (B) 当 bn 发散时， anbn 发散.
a)x
+
a3 6
x3
- o(x3)
，
g(x) = x2 ln(1- bx) = x2[(-bx) + o(x)] = -bx3 + o(x3) ，
因此有 lim x®0
(1 -
a)x
+
a3 6
x3
- o(x3)
-bx3 + o(x3 )
=
1 ，于是1-
a
=
0
，且
1 6
a3
=
-b
，即
a
=
1 ，b
=
-
1 6
= 6A-1
=
6
A* A
= 3A*, X4
=
中科大历年考研数学真题
直线 l1, l2 平行，且 π 与 l1 的距离是 91, 求 π 的方程。
3. 设 A : U → V 为数域 F 上的线性空间 U 到 V 上线性映射. 证明：
dim KerA + dim Im A = dim U
2 −1 1 4. 设 A = 2 2 −1 , 求方阵 P , 使得 P −1AP 为 A 的 Jordan 标准形。
··· ···
(α1, αn)
(α2, αn) ...
,
其中 (αi, αj) 是 V 的内积.
(αn, α1) (αn, α2) · · · (αn, αn)
求证:G 正定的充分必要条件是 α1, · · · , αn 线性无关。
5. 设 A 是无限维线性空间 V 的线性变换，B 是 A 在 ImA 上的限制变换. 求证：
.
a2x1 + x2 + x3 = 1
5.
使线性方程组
x1 + ax2 + x3 = a x1 + x2 + x3 =a2
有解的实数 a 的取值范围是
.
6.
已知实方阵 A 的伴随矩阵 A∗
2.
以曲线
y = x2 z=2
为准线，原点为顶点的锥面方程为
.
3. 以 xOy 平面上的权限 f (x, y) = 0 绕 x 轴旋转所得的旋转面的方程是
.如
果曲线方程是 x2 − y2 − 1 = 0, 由此得到的曲面类型是
.
4. 设 α1, α2α3α4 是线性空间 V 中 4 个线性无关的向量,
为 α1 = (1, 0, −1), α2 = (?, ?, ?), 求矩阵 A 以及使 A 对角化的矩阵 P 7. A 是复方阵，线性变换 T → AX + XA, 证明：如果 A 可对角化，那么 T 也可以对
2009年考研数学二试题及答案解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 无穷多个 【答案】C【解析】由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义.故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个,即0,1±.(2) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则()A 11,6a b ==-()B 11,6a b == ()C 11,6a b =-=- ()D 11,6a b =-= 【答案】A 【解析】 22000()sin sin limlim lim ()ln(1)()x x x f x x ax x ax g x x bx x bx →→→--==-⋅- 22002301cos sin lim lim 36sin lim 1,66x x x a ax a ax bx bxa ax ab b axa→→→---==-=-⋅洛洛 36a b ∴=-,故排除,B C .另外,201cos lim3x a axbx →--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故 1.a =排除D .所以本题选A .(3) 设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0()A 不是(),f x y 的连续点 ()B 不是(),f x y 的极值点()C 是(),f x y 的极大值点 ()D 是(),f x y 的极小值点 【答案】D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂. 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂,又在()0,0处,0,0z zx y∂∂==∂∂,210AC B -=>, 故()0,0为函数(,)z f x y =的一个极小值点. (4) 设函数(),f x y 连续,则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰ ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰()D ()221,ydy f x y dx ⎰⎰ 【答案】C【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤,{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-,将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤-, 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰,故答案为C .(5) 若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=,则函数()f x 在区间()1,2内()A 有极值点,无零点 ()B 无极值点,有零点()C 有极值点,有零点 ()D 无极值点,无零点 【答案】B【解析】由题意可知,()f x 是一个凸函数,即()0f x ''<,且在点(1,1)处的曲率322||12(1())y y ρ''=='+,而(1)1f '=-,由此可得,(1)2f ''=-. 在[1,2] 上,()(1)10f x f ''≤=-<,即()f x 单调减少,没有极值点. 对于(2)(1)()1(1,2)f f f ξξ'-=<- , ∈ ,(拉格朗日中值定理)(2)0f ∴ <而(1)10f =>,由零点定理知,在[1,2] 上,()f x 有零点.故应选B .（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为()A ()B()C ()D【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。
2009年考研数学试题答案与解析(数学一)
2009年考研数学试题答案与解析（数学一）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则(A)11,6a b ==-. (B)11,6a b ==. (C)11,6a b =-=-. (D)11,6a b =-=.【答案】 A.【解析】2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除(B)、(C). 另外201cos lim3x a axbx →--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除(D).所以本题选（A ）. （2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max kk I ≤≤=(A)1I .(B)2I . (C)3I .(D)4I .【答案】 A.【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==;13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是关于x 的偶函数，所以{}1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≥≤≤=>⎰⎰； {}3(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≤-≤≤=<⎰⎰.所以正确答案为(A).x（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为(A)(B)(C)(D)【答案】D.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减. ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增. ③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数.④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为（D ）.（4）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则（A ）当1nn b∞=∑收敛时，1n nn a b∞=∑收敛. （B ）当1nn b∞=∑发散时，1n nn a b∞=∑发散.(C)当1nn b∞=∑收敛时，221n nn a b∞=∑收敛. (D)当1nn b∞=∑发散时，221n nn a b∞=∑发散.【答案】C. 【解析】方法一：举反例：（A）取(1)nn n a b ==- （B ）取1n n a b n ==（D ）取1n n a b n==故答案为（C ）.方法二：因为lim 0,n n a →∞=则由定义可知1,N ∃使得1n N >时，有1n a <又因为1nn b∞=∑收敛，可得lim 0,n n b →∞=则由定义可知2,N ∃使得2n N >时，有1n b <从而，当12n N N >+时，有22n nn a b b <，则由正项级数的比较判别法可知221n nn a b∞=∑收敛.（5）设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23ααα到基 122331,,αααααα+++的过渡矩阵为(A)101220033⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(D)111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 【答案】A.【解析】因为()()1212,,,,,,n n A ηηηααα=L L ，则A 称为基12,,,n αααL 到12,,,nηηηL 的过渡矩阵. 则由基12311,,23ααα到122331,,αααααα+++的过渡矩阵M 满足 ()12233112311,,,,23M ααααααααα⎛⎫+++= ⎪⎝⎭12310111,,22023033ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭所以此题选(A).（6）设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为()A **32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()B **23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭. ()C **32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.()D **23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭. 【答案】B.【解析】根据CC C E *=，若111,C C C CC C*--*==分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的行列式221236O A A B B O ⨯=-=⨯=（），即分块矩阵可逆11116601O B BO A O A O A OB B O B B O AO A O A **---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭1236132O BOB AO A O ****⎛⎫⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭故答案为（B ）.（7）设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX = (A)0.(B)0.3. (C)0.7.(D)1.【答案】C.【解析】因为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭， 所以()()0.710.322x F x x -⎛⎫'''=Φ+Φ ⎪⎝⎭， 所以()()10.30.352x EX xF x dx x x dx +∞+∞-∞-∞⎡-⎤⎛⎫'''==Φ+Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰()10.30.352x x x dx x dx +∞+∞-∞-∞-⎛⎫''=Φ+Φ ⎪⎝⎭⎰⎰而()0x x dx +∞-∞'Φ=⎰，()()11221222x x x dx u u u du +∞+∞-∞-∞--⎛⎫''Φ=+Φ= ⎪⎝⎭⎰⎰ 所以00.3520.7EX =+⨯=.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为 (A)0.(B)1.(C)2.(D)3.【答案】 B.【解析】()()(0)(0)(1)(1)1[(0)(1)]21[(00)(1)]2Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=≤==+≤===≤=+≤==⋅≤=+≤=,X Y Q 独立1()[(0)()]2Z F z P X z P X z ∴=⋅≤+≤（1）若0z <，则1()()2Z F z z =Φ（2）当0z ≥，则1()(1())2Z F z z =+Φ0z ∴=为间断点，故选（B ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则2zx y∂=∂∂ . 【答案】"'"12222xf f xyf ++.【解析】''12z f f y x∂=+⋅∂，2"'""'"1222212222z xf f yx f xf f xyf x y ∂=++⋅=++∂∂. （10）若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+，则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = . 【答案】2xy xe x =-++.【解析】由12()xy c c x e =+，得121λλ==，故2,1a b =-=微分方程为''2'y y y x -+=设特解*y Ax B =+代入，',1y A A ==220,2A AxB xB B -++=-+==∴ 特解 *2y x =+∴ 12()2xy c c x e x =+++把 (0)2y = ， '(0)0y =代入，得120,1c c ==- ∴ 所求2xy xe x =-++ （11）已知曲线(2:0L y x x =≤≤，则Lxds =⎰ .【答案】136【解析】由题意可知，2,,0x x y x x ==≤≤，则ds ==，所以()21148Lxds x ==+⎰11386==（12）设(){}222,,1x y z xy z Ω=++≤，则2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰ .【答案】415π. 【解析】 方法一：2122220sin cos z dxdydz d d d ππθϕρϕρϕρ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()21240cos cos d d d ππθϕϕρρ=-⎰⎰⎰30cos 1423515d πϕπϕπ=⋅-⋅=⎰方法二：由轮换对称性可知2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰2x dxdydz Ω=⎰⎰⎰2y dxdydz Ω⎰⎰⎰ 所以，()21222240011sin 33z dxdydz x y z dxdydz d d r dr ππϕθϕΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰14002214sin sin 33515d r dr d πππππϕϕϕϕ=⋅⋅=⎰⎰⎰（13）若3维列向量,αβ满足2Tαβ=，其中Tα为α的转置，则矩阵Tβα的非零特征值为 .【答案】2.【解析】2Tαβ=Q()2T T βαββαββ∴==⋅, T βα∴的非零特征值为2.(14)设12,,,m X X X L 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量，则k = . 【答案】1-.【解析】2X kS -+Q 为2np 的无偏估计 22()E X kX np -∴+=2(1)1(1)(1)11np knp p np k p pk p p k ∴+-=∴+-=∴-=-∴=-三、解答题：15~23小题，共94分. （15）（本题满分9分）求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. 【解析】2(,)2(2)0x f x y x y '=+= 2(,)2ln 10y f x y x y y '=++=故10,x y e= =2212(2),2,4xxyy xyf y f x f xy y''''''=+ =+ = 则12(0,)12(2)xxef e ''=+，1(0,)0xyef ''=，1(0,)yy ef e ''=.0xxf ''>Q 而2()0xy xx yy f f f ''''''-< ∴二元函数存在极小值11(0,)f e e=-.（16）（本题满分9分）设n a 为曲线ny x =与()11,2,.....n y x n +==所围成区域的面积，记122111,n n n n S a S a ∞∞-====∑∑，求1S 与2S 的值.【解析】由题意，n y x =与n+1y=x 在点0x =和1x =处相交，所以112111111a ()()001212n n n n n x x dx x x n n n n +++=-=-=-++++⎰， 从而1111111111S lim lim(-)lim()23122+22Nn nN N N n n a a N N N ∞→∞→∞→∞=====-++=-=++∑∑L 2211111111111111=)22+1232N 2N+123456n n n S a n n ∞∞-====--++-=-+-+∑∑L （）（ 由2(1)1(1)2n n x x n-++-+L L ln(1+x)=x- 取1x =得 22111ln(2)1()11ln 2234S S =--+=-⇒=-L .（17）（本题满分11分）椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成.（Ⅰ）求1S 及2S 的方程（Ⅱ）求1S 与2S 之间的立体体积.【解析】（I ）1S 的方程为222143x y z ++=， 过点()4,0与22143x y +=的切线为122y x ⎛⎫=±- ⎪⎝⎭， 所以2S 的方程为222122y z x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（II ）1S 与2S 之间的体积等于一个底面半径为32、高为3的锥体体积94π与部分椭球体体积V 之差，其中22135(4)44V x dx ππ=-=⎰.故所求体积为9544πππ-=.（18）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----，易验证()x ϕ满足：()()a b ϕϕ=；()x ϕ在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--.根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'()0ϕξ=，即'()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足：在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x ξδ∈⊂，使得()0'00()(0)x f x f f x ξ-=-……()*又由于()'lim x f x A +→=，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====- 故'(0)f +存在，且'(0)f A +=.（19）（本题满分10分）计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z++=∑++⎰⎰Ò，其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧.【解析】2223/2()xdydz ydxdz zdxdy I x y z ∑++=++⎰⎰Ò，其中222224x y z ++= 2222223/22225/22(),()()x y z x x x y z x y z ∂+-=∂++++Q ①2222223/22225/22(),()()y x z y y x y z x y z ∂+-=∂++++② 2222223/22225/22(),()()z x y z z x y z x y z ∂+-=∂++++③ ∴①+②+③=2223/22223/22223/2()()()0()()()x y zx x y z y x y z z x y z ∂∂∂++=∂++∂++∂++ 由于被积函数及其偏导数在点（0，0，0）处不连续，作封闭曲面（外侧）222211:.016x y z R R ∑++=<<有 1132223/233313434()3xdydz ydxdz zdxdy xdydz ydxdz zdxdy R dV x y z R R R ππ∑∑∑Ω++++====⋅=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰乙?（20）（本题满分11分）设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭ 1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（Ⅰ）求满足21A ξξ=的2ξ. 231A ξξ=的所有向量2ξ,3ξ.（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ证明1ξ,2ξ,3ξ无关. 【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =故21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1k 为任意常数.解方程231A ξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭故有两个自由变量，令21x =-，由20A x =得131,0x x ==求特解21200η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭ 故 321121000k ξ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，其中2k 为任意常数.（Ⅱ）证明：由于121212*********21112(21)()2()(21)22221k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠ 故123,,ξξξ 线性无关. （21）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+- （Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.【解析】（Ⅰ） 0101111a A aa ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭0110||01()1111111aaaE A aa a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--123,2,1a a a λλλ∴==-=+（Ⅱ） 若规范形为2212y y +，说明有两个特征值为正，一个为0.则1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意 2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意 综上所述，故2a =.（22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. （Ⅰ）求{}10p X Z ==；（Ⅱ）求二维随机变量(),X Y 概率分布.【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球12113324(10)9C P X Z C C ⨯∴====⋅.（Ⅱ）X ，Y 取值范围为0，1，2，故()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0461112,0,0,136311,1,2,10910,291,20,2,20C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======（23）（本题满分11 分） 设总体X 的概率密度为2,0()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他，其中参数(0)λλ>未知，1X ,2X ,…,n X 是来自总体X 的简单随机样本.(Ⅰ)求参数λ的矩估计量； （Ⅱ）求参数λ的最大似然估计量【解析】 （1）由EX X =而22022ˆx EX x e dx X Xλλλλ+∞-===⇒=⎰为总体的矩估计量 （2）构造似然函数()()12111L ,.....,;;nii nnx nn i i i i x x f x x eλλλλ=-==∑==⋅⋅∏∏取对数11ln 2ln ln n ni i i i L n x x λλ===+-∑∑令111ln 222001n i n n i i i i i d L n n x d x x n λλλ====⇒-=⇒==∑∑∑故其最大似然估计量为2Xλ''=。
华中科技大学数学分析部分考研真题PDF
b
x
5.设 f n ( x)( n = 1,2,...) 是区间 [a, b] 上的连续函数，当 n → +∞ 时， f n ( x) 在 [a, b] 上 一致收敛于函数 f ( x ) ，每个 f n ( x) 在 [a, b] 上均有零点，证明： f ( x) 在 [a, b] 上 至少有一个零点.
上一致收敛于 f ( x). 证明：至少存在一点 x0 ∈ [a, b], 使得 f ( x0 ) ≥ 0. 二.2005 年数学分析真题
eA − eA 1.设 an > 0 ( n = 1,2,...), ∑ an = 1, An = ∑ ak , 求极限 lim e . n →∞ A − Ae n =1 k =1 n n −1
∞ n
n n −1
2.设 f ( x) 在区间 [0,1] 上有二阶连续导数，f (0) = f (1) = 0, f ′( x) ≤
8 8 , f ′′( x) ≤ , 试给出 5 5
f ( x ) (0 ≤ x ≤ 1) 的一个估计.
3. 设 f ( x ) 在区间 [0，∞ ) 上可微且恒大于零， f (0) = 1,
2.设 f (t ) 为连续函数，证明： 3.设反常积分
1
∫
b
a
dy ∫ ( y − x) n f ( x) dx =
a x →∞
y
1 b (b − x ) n +1 f ( x ) dx. ∫ a n +1
∞ 0
∫
∞
0
f ( x) dx 绝对收敛且 lim f ( x ) = 0, 证明 ∫ f 2 ( x) dx 收敛. x df ( x) 存在且有限，证明： dx
2009考研数三 真题 答案及详解
1 1 0 (B) 1 2 0 . 0 0 2 1 0 0 (D) 0 2 0 . 0 0 2
(B) P ( AB ) P ( A) P ( B ) . (D) P ( A B ) 1 .
（7）设事件 A 与事件 B 互不相容，则
1 x )dx ( x 0) . x
2
（17） （本题满分 10 分） 计算二重积分
( x y)dxdy ，其中 D {( x, y ) ( x 1)
D
( y 1) 2 2, y x} .
（18） （本题满分 11 分） （Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数 f ( x ) 在 a,
（B） a 1 ， b
2
【解析】 f ( x) x sin ax, g ( x) x ln(1 bx) 为等价无穷小，则
lim
x 0
f ( x) x sin ax x sin ax 1 a cos ax a 2 sin ax lim 2 lim 2 洛 lim 洛 lim x 0 g ( x) x 0 x ln(1 bx) x 0 x ( bx) x 0 3bx 2 6bx
2
.
三、解答题：15～23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. （15） （本题满分 9 分） 求二元函数 f ( x, y ) x
2
2 y y ln y 的极值.
2
（16） （本题满分 10 分） 计算不定积分 ln(1
a 3 6b
故排除(B)、(C).
lim
a 2 sin ax a3 1 x 0 6b 6 b ax a
华中科技大学历年考研真题
华中科技大学数学系数学分析1997，2000——2007（2004有答案）数值分析1999，2001——2002高等代数1997——2002，2004——2007概率统计2001——2002综合课程（应用数学、计算数学、概率统计专业）2003C语言程序设计（数学系计算数学专业）2002常微分方程2001——2002数理方程与泛函分析2001——2002专业英语翻译（概率论与数理统计、应用数学、计算数学专业）2006物理系数学（含高等数学线性代数）（物理系各专业）2007数学（物理类）2001，2003——2006数学（工科）（单考）2005数学（工科各专业）2003数学（理、工科类）（单）2002数学（单考）（工科各专业）2004数学（理工科）2006数学(理工类)(单考)2007高等数学（物理系）2002量子力学2001，2002，2003，2004，2005，2006（第1种），2006（第2种），2007统计物理2001——2002电动力学2001力学与电磁学2001——2004化学系物理化学2000——2007（2000——2002有答案）化学综合2007化工基础2007生物化工基础2007有机化学（化学各专业、结构工程、环境工程、生物化工专业）2000（2000有答案）有机化学（化学各专业、生物化工、材料加工工程、结构工程等专业）2001（2001有答案）有机化学（化学系各专业、环境科学专业）2002（2002有答案）有机化学（化学各专业）2003（2003有答案）有机化学（化学各专业、材料加工、环境化学专业）2004（2004有答案）有机化学（化学各专业、生物化学与分子生物学、生物信息技术、生物制药工程专业）2005有机化学（B卷）（应用化学等专业）2002有机化学（含高分子化学）（化学各专业及其他相关专业）2006有机化学（环境科学专业）2005无机化学2001——2002，2004——2005无机及分析化学2006无机与分析化学2003分析化学（分析化学、高分子化学与物理专业）2005分析化学（分析化学、高分子化学专业）2004分析化学（化学类各专业）2002分析化学（环境科学专业）2002——2005分析化学（环境科学、能源与环境工程专业）2006分析化学（有机化学、高分子化学与物理、环境工程专业）2001高分子化学2002——2003，2005——2006高分子化学（二）2004——2005高分子化学（一）2004高分子化学及物理2001——2002机械科学与工程学院机械设计1997——2002（1997——2001有答案）机械设计基础2002——2007机械原理1999——2002机械原理及机械零件2001液压传动2000——2002液压流体力学2000——2001画法几何与机械制图2001机械工程控制基础2006信号与线性系统1996——2002，2006——2007（1997有答案）信号与系统2002——2006控制理论（化工过程机械专业）2001控制理论（经典控制理论、现代控制理论）（控制理论与控制工程、检测技术及自动化装置、系统工程、系统信息化技术、系统分析与集成、建筑技术科学、模式识别与智能系统、机械制造及其自动化、机械电子工程、机械设计及理论、精微制造工程、数字化设计及制造、设计艺术学专业）2005控制理论（经典控制理论、现代控制理论）（控制系所有专业、模式识别与智能系统、建筑技术科学专业）2006控制理论（控制理论与控制工程、检测技术及自动化装置、系统工程、机制、机电、车辆、材料加工、轮机工程、模式识别、导航、制导专业）2002（2002有答案）控制理论（控制系、图象所各专业及生物物理学、机械制造及自动化、机械电子工程等专业）2001（2001有答案）控制理论（自控系各专业、机电学院各专业、模式识别与智能控制、内燃机专业）1996（1996有答案）控制理论（自控系各专业、机械学院、交通学院有关专业、制冷及低温工程、模式识别与智能控制专业）1998（1998有答案）控制理论（自控系各专业、机械学院及其他有关专业）1997（1997有答案）控制理论（自控系各专业、机械学院有关专业、制冷及低温工程、生物医学工程、模式识别与智能系统、电力电子与电力传动、轮机工程、动力机械及工程专业）1999（1999有答案）控制理论（自控系各专业、机械制造、机械电子、材料加工、动力机械、模式识别、制冷、轮机工程、车辆工程等专业）2000（2000有答案）控制理论（自控系各专业、模式识别、机电控制等专业）1995（1995有答案）控制理论基础（船舶与海洋工程专业）2007自动控制理论（电机与电器、电力系统及其自动化、电力电子与电力传动专业）2001自动控制理论（电机与电器、电力系统及其自动化、高电压与绝缘技术、电力电子与电力传动、电工理论与新技术、脉冲功率与等离子体、动力工程及其自动化专业）2005自动控制理论（电机与电器、电力系统及其自动化专业）2000自动控制理论（电力系统及其自动化、水力发电工程专业）1998自动控制理论（电气工程所有专业、动力机械及工程专业）2004自动控制理论（电气工程所有专业、制冷及低温工程专业）2002自动控制理论（电气学院所有专业）2006自动控制理论（电气学院所有专业、能源学院部分专业）2003自动控制理论（水利水电工程、电机与电器、电力系统及其自动化专业）1999 自动控制理论（水利水电工程、系统分析与集成专业）2003自动控制理论（水利水电工程专业）2001，2004——2007自动控制原理（水文学及水资源、水利水电工程、系统分析与集成专业）2002 自动控制原理（系统分析与集成、控制科学与工程、机械工程、仪器科学与技术、建筑技术与科学专业）2007电子技术基础（测试计量技术及仪器专业）2001电子技术基础（电磁场与微波技术、电路与系统、电力电子与电力传动、微电子学与固体电子学、半导体芯片系统与工艺、软件工程、模式识别与智能系统、信息安全、光学工程、光电信息工程、物理电子学、机械工程、仪器科学与技术专业）2007电子技术基础（电机与电器、电力电子与电力传动、微电子学与固体电子学、动力机械及工程、轮机工程、车辆工程专业）2000电子技术基础（电机与电器、电力电子与电力传动专业）1999电子技术基础（电机与电器、电力系统及其自动化、电力电子与电力传动、电工理论与新技术、轮机工程等专业）2001电子技术基础（电机与电器、电力系统及其自动化、电力电子与电力传动、电工理论与新技术、轮机工程等专业）2001电子技术基础（电气学院各专业、模式识别、精密仪器、测试计量、光学工程、物理电子学、微电子学专业）2002电子技术基础（光学工程、物理电子学、固体力学、流体力学、微电子学与固体电子学、模式识别与智能系统专业）1999电子技术基础（光学工程、物理电子学、光电信息工程、机械学院各专业）2005 电子技术基础（光学工程、物理电子学、机械制造及其自动化、机械电子工程、机械设计及理论、精微制造工程专业）2004电子技术基础（光学仪器、物理电子学与光电子学、固体力学、流体力学、电子材料与元器件、模式识别与智能控制、内燃机、汽车设计制造专业）1998电子技术基础（光学仪器、物理电子学与光电子学、固体力学、汽车设计制造、电子材料与元器件、模式识别与智能控制、内燃机专业）1997电子技术基础（化工过程机械专业）2005——2006电子技术基础（精密仪器及机械专业）2003电子技术基础（轮机工程、车辆工程、精密仪器及机械、测试计量技术及仪器专业）2005电子技术基础（生物医学工程、生物物理学、生物材料与组织工程专业）2005——2006电子技术基础（生物医学工程、生物物理学专业）2003——2004电子技术基础（生物医学工程专业）2002电子技术基础（微电子学与固体电子学、半导体芯片系统设计与工艺、电力电子与电力传动、模式识别与智能系统专业）2005电子技术基础（微电子学与固体电子学、半导体芯片系统设计与工艺、电力电子与电力传动、模式识别与智能系统专业）2006电子技术基础（微电子学与固体电子学、电力电子与电力传动、导航、制导与控制专业）2003电子技术基础（微电子学与固体电子学、电力电子与电力传动、导航、制导与控制专业）2004电子技术基础（物理电子学、光信息科学与技术、光学工程专业）2006电子技术基础（物理电子学、光学工程、模式识别与智能系统、流体力学专业）2000电子技术基础（物理电子学、光学工程、模式识别与智能系统专业）2001电子技术基础（物理电子学与光电子学专业）1995数据结构1999——2001，2006——2007数据结构及程序设计技术2004——2006数据结构与算法分析2006——2007数据库系统原理1996——2002，2004计算机组成原理（计算机科学与技术、模式识别与智能系统、机械工程、仪器科学与技术、建筑技术科学专业）1992——2002，2006——2007（另有模拟试题一份）计算机组成原理（生物医学工程、生物信息技术专业）2007C语言程序设计（计算机软件与理论专业）2001——2002操作系统1995——2002程序设计基础1995——2002程序设计语言及编译1999——2002互换性与技术测量2000——2007工业设计史2004——2005工业设计史论2006——2007工业设计综合考试2004——2007微机原理（8086）及应用（控制科学系各专业、模式识别与智能系统、力学各专业、材料加工工程专业）2000（2000有答案）微机原理（8086）及应用（控制科学与工程系各专业、模式识别与智能系统专业）2001（2001有答案）微机原理（8086）及应用（自动控制工程系各专业、模式识别与智能系统、流体力学、工程力学专业）1999（1999有答案）微机原理（电信系各专业、电子材料与元器件专业）1996（1996有答案）微机原理（电信系各专业、电子材料与元器件专业）1998微机原理（电信系各专业、微电子学与固体电子学专业）1999微机原理（二）（光学工程、物理电子学专业）2002微机原理（光学工程、物理电子学专业）1999——2002微机原理（光学仪器、物理电子学与光电子学专业）1997——1998（1997有答案）微机原理（软件工程专业）2007微机原理（三）（电路与系统专业）2002微机原理（通信与电子系统、信号与信息处理、电路与系统、电磁场与微波技术、电子材料与元器件专业）1997微机原理（一）（电机与电气、电力系统及其自动化、高电压与绝缘技术、电力电子与电力传动、电工理论与新技术专业）2002微机原理及微机控制技术（自动控制理论及应用、工业自动化、模式识别与智能控制专业）1996——1998（1997——1998有答案）微机原理及应用（材料加工工程、数字化材料成形专业）2005——2006微机原理及应用（材料加工工程专业）2003——2004微机原理及应用（电机与电器、电力系统及其自动化、电力电子与电力传动专业）2001微机原理及应用（二）（电力电子与电力传动、微电子学与固体电子学专业）2002 微机原理及应用（机械制造及其自动化、机械电子工程专业）2001微机原理及应用（控制科学与工程系各专业、模式识别与智能系统专业）2001 微机原理及应用（软件工程专业）2006微机原理及应用（三）（控制理论与控制工程、系统工程、固体力学、模式识别、检测技术及自动化装置、工程力学、导航、制导专业）2002（2002有答案）微机原理及应用（水利水电工程、轮机工程、微电子学与固体电子学、供热、供燃气通风及空调工程专业）2001微机原理三（电路与系统专业）2002微机原理与接口技术（生物医学工程专业）2004微机原理与应用（机械制造及其自动化、机械电子工程、车辆工程、精密仪器及机械、测试计算技术及仪器、材料加工工程、轮机工程专业）2002微机原理与应用（机械制造及其自动化、机械电子工程等专业）2001结构力学（固体力学、工程力学专业）2001——2002结构力学（结构工程、道路与桥梁工程专业）2004结构力学（结构工程、桥梁隧道工程、防灾减灾及防护工程专业）2005——2006 结构力学（结构工程、桥梁隧道与工程专业）2002——2003结构力学（结构工程、岩土工程专业）1997——2000（1999有答案）结构力学（结构工程专业）1996，2001结构力学（市政工程、道路与铁道工程专业）2001电动力学2001综合考试（含C语言程序设计、数据结构）（计算机应用技术专业）2001综合考试（含计算机系统结构、计算机网络、数据结构）（计算机系统结构专业）2002综合考试（计算机应用技术专业）（数据结构、C语言程序设计）1999——2001 通信原理（电路与系统、通信与信息系统、信号与信息处理专业）2001通信原理（通信与信息系统、信号与信息处理专业）2002通信原理（物理电子学、光学工程专业）2001汽车理论2004——2006汽车理论和设计2001——2002汽轮机原理2001——2002发动机原理2001综合考试（1）（脉冲与数字电路、微机、高频电路）（电信系各专业、模式识别与智能系统专业）2000综合考试（含程序设计技术、数据结构、计算机组成原理、离散数学）（计算机学院各专业、机械学院各专业、模式识别与智能系统专业）2003综合考试（含数字电路、微机原理）（通信与信息系统、信号与信息处理、模式识别与智能系统专业）2002综合考试二（含通信原理、高频电子线路）（电信系各专业、模式识别与智能系统专业）2000综合考试一（传感器原理、数字电子技术）（控制、机械各专业、建筑技术科学、模式识别专业）2005综合考试（含数据结构、计算机组成原理、离散数学）2004——2005光电检测技术2001——2003，2005综合考试（含信号与线性系统、数字信号处理）2005综合考试（一）（含信号与线性系统、数字信号处理）2003——2004（2004有答案）专业英语翻译（计算机体系结构、软件与理论、应用技术、信息安全专业）2006 专业英语翻译（模式识别与智能系统专业）2006英语专业翻译（机械工程、工业工程、仪器科学与技术、管理科学与工程专业）2006材料科学与工程学院量子力学2001，2002，2003，2004，2005，2006（第1种），2006（第2种），2007物理化学2000——2007（2000——2002有答案）计算机图形学2002化学综合2007化工基础2007生物化工基础2007塑性成形原理2002有机化学（化学各专业、结构工程、环境工程、生物化工专业）2000（2000有答案）有机化学（化学各专业、生物化工、材料加工工程、结构工程等专业）2001（2001有答案）有机化学（化学系各专业、环境科学专业）2002（2002有答案）有机化学（化学各专业）2003（2003有答案）有机化学（化学各专业、材料加工、环境化学专业）2004（2004有答案）有机化学（化学各专业、生物化学与分子生物学、生物信息技术、生物制药工程专业）2005有机化学（B卷）（应用化学等专业）2002有机化学（含高分子化学）（化学各专业及其他相关专业）2006有机化学（环境科学专业）2005无机化学2001——2002，2004——2005无机及分析化学2006无机与分析化学2003分析化学（分析化学、高分子化学与物理专业）2005分析化学（分析化学、高分子化学专业）2004分析化学（化学类各专业）2002分析化学（环境科学专业）2002——2005分析化学（环境科学、能源与环境工程专业）2006分析化学（有机化学、高分子化学与物理、环境工程专业）2001高分子化学2002——2003，2005——2006高分子化学（二）2004——2005高分子化学（一）2004高分子化学及物理2001——2002材料成形原理2003——2007材料科学基础2002——2003，2005——2007材料学基础2001微机原理及接口技术（材料加工工程、数字化材料成形、环境科学与工程专业）2007微机及接口技术（生物医学工程、生物物理学专业）2001微机接口与技术（生物医学工程专业）2003微机原理及接口技术（生物医学工程专业）2002微机原理（8086）及应用（控制科学系各专业、模式识别与智能系统、力学各专业、材料加工工程专业）2000（2000有答案）微机原理（8086）及应用（控制科学与工程系各专业、模式识别与智能系统专业）2001（2001有答案）微机原理（8086）及应用（自动控制工程系各专业、模式识别与智能系统、流体力学、工程力学专业）1999（1999有答案）微机原理（电信系各专业、电子材料与元器件专业）1996（1996有答案）微机原理（电信系各专业、电子材料与元器件专业）1998微机原理（电信系各专业、微电子学与固体电子学专业）1999微机原理（二）（光学工程、物理电子学专业）2002微机原理（光学工程、物理电子学专业）1999——2002微机原理（光学仪器、物理电子学与光电子学专业）1997——1998（1997有答案）微机原理（软件工程专业）2007微机原理（三）（电路与系统专业）2002微机原理（通信与电子系统、信号与信息处理、电路与系统、电磁场与微波技术、电子材料与元器件专业）1997微机原理（一）（电机与电气、电力系统及其自动化、高电压与绝缘技术、电力电子与电力传动、电工理论与新技术专业）2002微机原理及微机控制技术（自动控制理论及应用、工业自动化、模式识别与智能控制专业）1996——1998（1997——1998有答案）微机原理及应用（材料加工工程、数字化材料成形专业）2005——2006微机原理及应用（材料加工工程专业）2003——2004微机原理及应用（电机与电器、电力系统及其自动化、电力电子与电力传动专业）2001微机原理及应用（二）（电力电子与电力传动、微电子学与固体电子学专业）2002 微机原理及应用（机械制造及其自动化、机械电子工程专业）2001微机原理及应用（控制科学与工程系各专业、模式识别与智能系统专业）2001 微机原理及应用（软件工程专业）2006微机原理及应用（三）（控制理论与控制工程、系统工程、固体力学、模式识别、检测技术及自动化装置、工程力学、导航、制导专业）2002（2002有答案）微机原理及应用（水利水电工程、轮机工程、微电子学与固体电子学、供热、供燃气通风及空调工程专业）2001微机原理三（电路与系统专业）2002微机原理与接口技术（生物医学工程专业）2004微机原理与应用（机械制造及其自动化、机械电子工程、车辆工程、精密仪器及机械、测试计算技术及仪器、材料加工工程、轮机工程专业）2002微机原理与应用（机械制造及其自动化、机械电子工程等专业）2001结构力学（固体力学、工程力学专业）2001——2002结构力学（结构工程、道路与桥梁工程专业）2004结构力学（结构工程、桥梁隧道工程、防灾减灾及防护工程专业）2005——2006 结构力学（结构工程、桥梁隧道与工程专业）2002——2003结构力学（结构工程、岩土工程专业）1997——2000（1999有答案）结构力学（结构工程专业）1996，2001结构力学（市政工程、道路与铁道工程专业）2001电动力学2001综合考试（材料加工工程专业）2001——2002陶瓷材料2005——2006陶瓷材料学2001——2002，2004金属材料2004金属材料学2001——2002金属塑性成形原理1997，1999，2001金属学及热处理2001——2002铸件形成理论2002铸件形成理论基础1998，2001铸造金属学及热处理1998，2001专业英语（材料学、纳米材料及技术专业）2006能源与动力工程学院传热学1999，2000，2001（第1种），2001（第2种），2003——2007（1999，2000，2001（第1种）有答案）锅炉原理2001——2002，2005流体机械原理2002内燃机原理2001——2002离心压缩机原理2001工程流体力学2002，2007结构力学（固体力学、工程力学专业）2001——2002结构力学（结构工程、道路与桥梁工程专业）2004结构力学（结构工程、桥梁隧道工程、防灾减灾及防护工程专业）2005——2006 结构力学（结构工程、桥梁隧道与工程专业）2002——2003结构力学（结构工程、岩土工程专业）1997——2000（1999有答案）结构力学（结构工程专业）1996，2001结构力学（市政工程、道路与铁道工程专业）2001不可压缩流体力学2001——2006低温原理与设备2000——2002（2000有答案）电工电子技术2001，2003电站锅炉原理2004化工原理2001，2005制冷原理与设备2001——2002热工自动化2002工程热力学2001（第1种），2001（第2种），2002——2006专业英语翻译（动力机械及工程专业）2006电气与电子工程学院电路理论（电力系统及其自动化、高电压与绝缘技术、电机与电器、电工理论与新技术、电力电子与电力传动、环境工程专业）2001——2003电路理论（电气工程、环境科学与工程专业）2007电路理论（电气工程学科所有专业、环境工程、机械制造及自动化、精密制造、数字化设计专业）2005电路理论（电气工程学科所有专业、环境工程等专业）2006电路理论（电气工程学科所有专业、机械制造及自动化、环境工程、机械电子工程、机械设计及其理论、精微制造工业等专业）2004电路理论（光学工程、物理电子学、控制理论与控制工程、检测技术与自动化装置、系统工程、模式识别与智能系统专业）2002电路理论（光学工程、物理电子学专业）1999——2001电路理论（物理电子学与光电子学、光学仪器专业）1998电磁场2002，2007电磁场与电磁波2001——2006电磁学与热学2005电机学2001——2002电力电子技术2000——2001电力电子学2001——2002电力系统分析1999——2002发电厂及电力系统1998高电压技术2001——2002高压电器2001电子器件2002力学与电磁学2001——2004英语（电力系统及其自动化、电力电子与电力传动、电工理论与新技术、电气信息检测技术专业）2006交通科学与工程学院交通工程2001——2002，2004交通工程学2003，2005——2007综合考试（轮机工程专业）2004高级语言程序设计（C语言）2001——2002城市道路规划与设计2002，2006——2007城市道路设计2001——2005船舶力学基础2007船舶设计原理2001——2002船舶原理2001——2002控制理论（化工过程机械专业）2001控制理论（经典控制理论、现代控制理论）（控制理论与控制工程、检测技术及自动化装置、系统工程、系统信息化技术、系统分析与集成、建筑技术科学、模式识别与智能系统、机械制造及其自动化、机械电子工程、机械设计及理论、精微制造工程、数字化设计及制造、设计艺术学专业）2005控制理论（经典控制理论、现代控制理论）（控制系所有专业、模式识别与智能系统、建筑技术科学专业）2006控制理论（控制理论与控制工程、检测技术及自动化装置、系统工程、机制、机电、车辆、材料加工、轮机工程、模式识别、导航、制导专业）2002（2002有答案）控制理论（控制系、图象所各专业及生物物理学、机械制造及自动化、机械电子工程等专业）2001（2001有答案）控制理论（自控系各专业、机电学院各专业、模式识别与智能控制、内燃机专业）1996（1996有答案）控制理论（自控系各专业、机械学院、交通学院有关专业、制冷及低温工程、模式识别与智能控制专业）1998（1998有答案）控制理论（自控系各专业、机械学院及其他有关专业）1997（1997有答案）控制理论（自控系各专业、机械学院有关专业、制冷及低温工程、生物医学工程、模式识别与智能系统、电力电子与电力传动、轮机工程、动力机械及工程专业）1999（1999有答案）控制理论（自控系各专业、机械制造、机械电子、材料加工、动力机械、模式识别、制冷、轮机工程、车辆工程等专业）2000（2000有答案）控制理论（自控系各专业、模式识别、机电控制等专业）1995（1995有答案）控制理论基础（船舶与海洋工程专业）2007自动控制理论（电机与电器、电力系统及其自动化、电力电子与电力传动专业）2001自动控制理论（电机与电器、电力系统及其自动化、高电压与绝缘技术、电力电子与电力传动、电工理论与新技术、脉冲功率与等离子体、动力工程及其自动化专业）2005自动控制理论（电机与电器、电力系统及其自动化专业）2000自动控制理论（电力系统及其自动化、水力发电工程专业）1998自动控制理论（电气工程所有专业、动力机械及工程专业）2004自动控制理论（电气工程所有专业、制冷及低温工程专业）2002自动控制理论（电气学院所有专业）2006自动控制理论（电气学院所有专业、能源学院部分专业）2003自动控制理论（水利水电工程、电机与电器、电力系统及其自动化专业）1999 自动控制理论（水利水电工程、系统分析与集成专业）2003自动控制理论（水利水电工程专业）2001，2004——2007自动控制原理（水文学及水资源、水利水电工程、系统分析与集成专业）2002 自动控制原理（系统分析与集成、控制科学与工程、机械工程、仪器科学与技术、建筑技术与科学专业）2007结构力学（固体力学、工程力学专业）2001——2002结构力学（结构工程、道路与桥梁工程专业）2004结构力学（结构工程、桥梁隧道工程、防灾减灾及防护工程专业）2005——2006 结构力学（结构工程、桥梁隧道与工程专业）2002——2003结构力学（结构工程、岩土工程专业）1997——2000（1999有答案）结构力学（结构工程专业）1996，2001结构力学（市政工程、道路与铁道工程专业）2001专业英语翻译（船舶与海洋结构物设计制造、轮机工程、交通工程专业）2006力学系材料力学（船舶与海洋结构物设计制造专业）2003——2004材料力学（船舶与海洋结构物设计制造、化工过程机械专业）2001——2002材料力学（船舶与海洋结构物设计制造、水下工程专业）2005——2006材料力学（固体力学、工程力学、材料加工工程专业）2001——2002材料力学（力学系所有专业）2002，2005——2006材料力学（岩土工程、道路与铁道工程、化工过程机械专业）2005——2006材料力学（岩土工程、道路与铁道工程专业）2003——2004材料力学（岩土工程专业）2001——2002材料力学一（固体力学、工程力学、动力机械及工程专业）2004理论力学1997——2006（1997——2001有答案）（另有《理论力学》考研复习内部资料，含理论力学课程考研基本要求、考研试题内容及题型的分析，10元。
2009考研数学(一)试题及详细答案解析
2 B 0
（7）设随机变量 X 的分布函数为 F x 0.3 x 0.7 态分布函数，则 EX
x 1 ，其中 x 为标准正 2
A 0 .
【答案】 C
B 0.3 .
C 0.7 .
D 1.
n
A 当 bn 收敛时， anbn 收敛.
n 1 n 1
B 当 bn 发散时， anbn 发散.
n 1 n 1
C 当 bn
n 1
收敛时，
a b
n 1
2 2 n n
收敛.
D 当 bn
n 1
发散时，
a b
n 1
【答案】A 【解析】因为 1 ,2 , 的过渡矩阵。
1 2 0 B 0 2 3 . 1 0 3
1 6 1 . 6 1 6 1 2 1 D 4 1 6 1 2 1 4 1 6 1 2 1 . 4 1 6
① x 0,1 时， F ( x) 0 ，且单调递减。 ② x 1, 2 时， F ( x) 单调递增。
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③ x 2,3 时， F ( x) 为常函数。 ④ x 1,0 时， F ( x) 0 为线性函数，单调递增。 ⑤由于 F(x)为连续函数 结合这些特点，可见正确选项为 D 。 （4）设有两个数列 an , bn ，若 lim an 0 ，则
（2）如图，正方形
x, y x 1, y 1 被其对角线划分为
1
四个区域 Dk k 1, 2,3, 4 ， I k 则 max I k
考研数学一真题解析 2009
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当时,与等价无穷小,则(A) (B)(C)(D) 【考点分析】：等价无穷小，洛必达法则，泰勒公式 【求解过程】：⏹ 方法一：利用洛必达法则和等价无穷小0x →时，ln(1)~bx bx --2320000()sin sin 1cos limlim lim lim 1()ln(1)3x x x x f x x ax x ax a axJ g x x bx bx bx→→→→---=====--- 1a ⇒=否则，J =∞⇒2220011cos 12lim lim 1336x x x x J bx bx b→→-====---16b ⇒=-。
选A ⏹ 方法二：利用泰勒公式或者三角函数的幂级数展开式 由三角函数的幂级数展开式：357111sin 3!5!7x x x x x =-+-+ 所以，3331sin ()(0)6ax ax a x o x x =-+→ 由泰勒公式：3331sin ()(0)6ax ax a x o x x =-+→332301(1)()sin 6lim 1ln(1)x a x x o x x ax J x bx bx →-++-⇒===-- 1a ⇒=，否则J =∞⇒116J b ==-16b ⇒=-。
选A(2)如图，正方形{(,)|1,1}x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域(1,2,3,4)k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤=(A)(B)(C)(D)0x →()sin f x x ax =-()()2ln 1g x x bx =-11,6a b ==-11,6a b ==11,6a b =-=-11,6a b =-=1I 2I 3I 4I【考点分析】：利用对称性化简二重积分，二重积分的估值 【求解过程】：1234111222331444(,)cos ,cos ,(,)0,0cos ,(,)0,cos ,(,)0,0cos ,(,)0,A D D D D f x y y x I y xdxdy D f x y I I y xdxdy D x f x y y I I y xdxdy D f x y I I y xdxdy D x f x y y I ==≥≥===≤≤==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰记在上则，关于轴对称，且关于为奇函数，则在上则，关于轴对称，且关于为奇函数，则所以选择。