二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做
二次函数与几何综合07年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的代数几何综合题，计算量较大。
几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。
因此，课改之后，武汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。
要做好这最后一题，主要是要在有限的时间里面找到的简便的计算方法。
要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐心，做到计算又快又准。
题目分析及对考生要求（1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系数法求函数解析式，属于送分题。
（2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。
解题偏代数，要求学生能够熟练掌握函数的平移，左加右减，上加下减。
要求学生有较好的计算能力，能够把题目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。
（3）第三问为几何代数综合，题型不固定。
解题偏几何，要求学生能够对题目所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系，再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用，这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种常见的条件转化思想。
1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底，根据面积公式转化为线段条件。
2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
二次函数与三角形综合【例1】.（2012武汉中考）如图1，点A为抛物线C1：y=x2﹣2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C1于另一点C（1）求点C的坐标；（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE=4：3，求a的值；（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N．NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ 时，求m的值．考点：二次函数综合题。
解答：解：（1）当x=0时，y=﹣2；∴A（0，﹣2）．设直线AB的解析式为y=kx+b，则：，解得∴直线AB解析式为y=2x﹣2．∵点C为直线y=2x﹣2与抛物线y=x2﹣2的交点，则点C的横、纵坐标满足：，解得、（舍）∴点C的坐标为（4，6）．（2）直线x=3分别交直线AB和抛物线C1于D．E两点．∴y D=4，y E=，∴DE=．∵FG=DE=4：3，∴FG=2．∵直线x=a分别交直线AB和抛物线C1于F、G两点．∴y F=2a﹣2，y G=a2﹣2∴FG=|2a﹣a2|=2，解得：a1=2，a2=﹣2+2，a3=2﹣2．（3）设直线MN交y轴于T，过点N做NH⊥y轴于点H；设点M的坐标为（t，0），抛物线C2的解析式为y=x2﹣2﹣m；∴0=﹣t2﹣2﹣m，∴﹣2﹣m=﹣t2．∴y=x2﹣t2，∴点P坐标为（0，﹣t2）．∵点N是直线AB与抛物线y=x2﹣t2的交点，则点N的横、纵坐标满足：，解得、（舍）∴N（2﹣t，2﹣2t）．NQ=2﹣2t，MQ=2﹣2t，∴MQ=NQ，∴∠MNQ=45°．∴△MOT、△NHT均为等腰直角三角形，∴MO=OT，HT=HN∴OT=4，NT=﹣，NH=（2﹣t），PT=﹣t+t2．∵PN平分∠MNQ，∴PT=NT，∴﹣t+t2=（2﹣t），∴t1=﹣2，t2=2（舍）﹣2﹣m=﹣t2=﹣（﹣2）2，∴m=2．【例2】.（2011武汉中考）如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM 交于点 D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【例3】. （2010武汉中考）如图，拋物线y 1=ax 2-2ax +b 经过A(-1，0)，C(2，23)两点，与x 轴交于另一点B ； (1) 求此拋物线的解析式；(2) 若拋物线的顶点为M ，点P 为线段OB 上一动点(不与点B 重合)，点Q 在线段MB 上移动，且∠MPQ=45︒，设线段OP=x ，MQ=22y 2，求y 2与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；(3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m ，x=n 分别与拋物线交于点E ，G ，与(2)中的函数图像交于点F ，H 。
问四边形EFHG 能否为平行四边形？若能，求m ，n 之间的数量关系；若不能，请说明理由。
25. 解：(1) ∵拋物线y 1=ax 2-2ax +b 经过A(-1，0)，C(0，23)两点，∴⎪⎩⎪⎨⎧==++2302b b a a ，∴a= -21， b=23，∴拋物线的解析式为y 1= -21x 2+x +23。
(2) 作MN ⊥AB ，垂足为N 。
由y 1= -21x 2+x +23易得M(1，2)，N(1，0)，A(-1，0)，B(3，0)，∴AB=4，MN=BN=2，MB=22， ∠MBN=45︒。
根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM 2-PN 2。
∴(22)2-22=PM 2= -(1-x)2… ，又∠MPQ=45︒=∠MBP ， ∴△MPQ~△MBP，∴PM 2=MQ ⨯MB=22y 2⨯22… 。
由 、 得y 2=21x 2-x +25。
∵0≤x<3，∴y 2与x 的函数关系式为y 2=21x 2-x +25(0≤x<3)。
(3) 四边形EFHG 可以为平行四边形，m 、n 之间的数量关系是 m +n=2(0≤m ≤2，且m ≠1)。
∵点E 、G 是抛物线y 1= -21x 2+x +23分别与直线x=m ，x=n 的交点，∴点E 、G 坐标为E(m ，-21m 2+m +23)，G(n ，-21n 2+n +23)。
同理，点F 、H 坐标为F(m ，21m 2-m +25)，H(n ，21n 2-n +25)。
∴EF=21m 2-m +25-(-21m 2+m +23)=m 2-2m +1，GH=21n 2-n +25-(-21n 2+n +23)=n 2-2n +1。
∵四边形EFHG 是平行四边形，EF=GH 。
∴m 2-2m +1=n 2-2n +1，∴(m +n -2)(m -n)=0。
由题意知m ≠n ，∴m +n=2 (0≤m ≤2，且m ≠1)。
因此，四边形EFHG 可以为平行四边形，m 、n 之间的数量关系是m +n=2 (0≤m ≤2，且m ≠1)。
【例4】. （2009武汉中考）如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，、(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式；（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且45DBP ∠=°，求点P 的坐标．25．解：（1）抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，，(0C 404 4.a b a a --=⎧∴⎨-=⎩，解得13.a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为234y x x =-++．（2）点(1)D m m +，在抛物线上，2134m m m ∴+=-++，即2230m m --=，1m ∴=-或3m =．点D 在第一象限，∴点D 的坐标为(34)，． 由（1）知45OA OB CBA =∴∠=，°． 设点D 关于直线BC 的对称点为点E ．(04)C ，，CD AB ∴∥，且3CD =，45ECB DCB ∴∠=∠=°， E ∴点在y 轴上，且3CE CD ==． 1OE ∴=，(01)E ∴，． 即点D 关于直线BC 对称的点的坐标为（0，1）．（3）方法一：作PF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ． 由（1）有：445OB OC OBC ==∴∠=，°， 45DBP CBD PBA ∠=∴∠=∠°，．(04)(34)C D ，，，，CD OB ∴∥且3CD =．45DCE CBO ∴∠=∠=°，2DE CE ∴==4OB OC ==，BC ∴=BE BC CE ∴=-=3tan tan 5DE PBF CBD BE ∴∠=∠==． 设3PF t =，则5BF t =，54OF t ∴=-，(543)P t t ∴-+，．P 点在抛物线上，∴23(54)3(54)4t t t =--++-++，0t ∴=（舍去）或2225t =，266525P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，． 方法二：过点D 作BD 的垂线交直线PB 于点Q ，过点D 作DH x ⊥轴于H ．过Q 点作QG DH ⊥于G ．45PBD QD DB ∠=∴=°，． QDG BDH ∴∠+∠90=°，又90DQG QDG ∠+∠=°，DQG BDH ∴∠=∠．QDG DBH ∴△≌△，4QG DH ∴==，1DG BH ==． 由（2）知(34)D ，，(13)Q ∴-，． (40)B ，，∴直线BP 的解析式为31255y x =-+．解方程组23431255y x x y x ⎧=-++⎪⎨=-+⎪⎩，，得1140x y =⎧⎨=⎩，；222566.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点P 的坐标为266525⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【例5】.（2011年四调）如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，那么，我们称抛物线C1与C2关联．（1）已知抛物线①y=x2+2x﹣1，判断下列抛物线②y=﹣x2+2x+1；③y=x2+2x+1与已知抛物线①是否关联，并说明理由．（2）抛物线C1：y=（x+1）2﹣2，动点P的坐标为（t，2），将抛物线绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C2，若抛物线C1与C2关联，求抛物线C2的解析式．（3）A为抛物线C1：y=（x+1）2﹣2的顶点，B为与抛物线C1关联的抛物线顶点，是否存在以AB为斜边的等腰直角△ABC，使其直角顶点C在y轴上？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题。
(新)中考数学二次函数与几何综合典型试题(附答案解析)
解：（1）当x=0时，y=3，即A（0，3），
设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-1），
把A（0，3）入得：3=-3a，
a=-1，
∴y=-（x+3）（x-1）=-x2-2x+3，
1．（1）m2；（2）m1=-3，m2=1；（3） 或 ；（4）-3＜m≤-1或m＞1
【分析】
（1）根据平行线的性质知，点B与点A的横坐标相同，所以把x=m代入抛物线解析式，即可求得点B的纵坐标；
（2）把点A代入二次函数解析式，列出方程，然后解方程即可；
（3）根据等量关系AB=2和两点间的距离公式列出方程，解方程即可求得m的值；
∴线段AB的长度随m的增大而增大时，-3＜m≤-1．
当m＞1时，根据题意知，线段AB的长度随m的增大而增大时，m＞1．
综上所述，m的取值范围是-3＜m≤-1或m＞1．
【点睛】
本题主要考查了二次函数综合题，注重培养二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
所以方程组的解为： 或 ，
∴
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，旋转的性质，求解一次函数与二次函数的交点坐标，作出适当的辅助线构建全等三角形，再利用全等三角形的性质证明相等的线段，再得到点的坐标是解本题的关键.
4．（1） （2）P（4，5）（3）（-2，5）或（4，5）．
【详解】
解：（1）将A（－1，0），B（3，0）代入抛物线解析式得
解得
∴抛物线的解析式为
（2）∵抛物线的解析式为 ，A（－1，0），B（3，0）
几何综合(解析版)--中考数学抢分压轴题秘籍(全国通用)
几何综合--中考数学抢分秘籍（全国通用）几何综合问题在中考中以填空题和解答题的形式出现，考查难度较大.此类问题在中考中多考查面积平分、面积最值和几何变换的综合问题，一般要用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、圆、锐角三角函数、勾股定理、图形变换的性质和二次函数的最值等相关知识，以及分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①几何图形中的线段最值问题②探究图形面积的分割问题；③探究图形面积的最值问题.右图为几何综合问题中各题型的考查热度.题型1：线段最值问题①动点路径问题②“胡不归”问题③“将军饮马”问题④“造桥选址”问题解题模板：1.（2021秋•白云区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出符合题意的图形，当⊙O与BC，CD相切时，点A到⊙O上的点的距离取得最大值，利用勾股定理即可求得结论．【解答】解：由题意，当⊙O与BC，CD相切时，点A到⊙O上的点的距离取得最大值，如图，由对称性可知：圆心O在AC上．AC＝＝4．∵BC与⊙O相切于点E，∴OE⊥EC．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°．∴△OEC为等腰直角三角形．∴OC＝OE＝．∴CG＝OC﹣OG＝﹣1．∴AG＝AC﹣CG＝4﹣（﹣1）＝3+1．故选：C．【点评】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，直线和圆的位置关系，勾股定理，连接OE，利用切线的性质得到OE⊥EC是解题的关键．【变式1-1】（2020•遵义）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．（1）求证：EF＝DE；（2）当AF＝2时，求GE的长．【分析】（1）要证明EF＝DE，只要证明△DME≌△ENF即可，然后根据题目中的条件和正方形的性质，可以得到△DME≌△ENF的条件，从而可以证明结论成立；（2）根据勾股定理和三角形相似，可以得到AG和CG、CE的长，然后即可得到GE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ECM＝45°，∵MN∥BC，∠BCM＝90°，∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，∴MC＝ME，∵CD＝MN，∴DM＝EN，∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠DEF＝90°，∴∠DEM+∠FEN＝90°，∴∠EDM＝∠FEN，在△DME和△ENF中，∴△DME≌△ENF（ASA），∴EF＝DE；（2）解：如图1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，∴ME＝NF，∵四边形MNBC是矩形，∴MC＝BN，又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，∴BN＝MC＝NF＝1，∵∠EMC＝90°，∴CE＝，∵AF∥CD，∴△DGC∽△FGA，∴，∴，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AC＝AG+GC，∴AG＝，CG＝，∴GE＝GC﹣CE＝＝；如图2所示，同理可得，FN＝BN，∵AF＝2，AB＝4，∴AN＝1，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AF∥CD，∴△GAF∽△GCD，∴，即，解得，AG＝4，∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，∴AE＝，∴GE＝GA+AE＝5．综上所述：GE的长为：，5．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2.（2022春•广陵区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝2，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是4．【分析】过P点作PH⊥BC于H，过M点作MN⊥BC于N，如图，根据菱形的性质得到AB＝BC，BO 平分∠ABC，AO⊥BD，再判断△ABC为等边三角形得到∠ABC＝∠ACB＝60°，则∠OBC＝30°，所以PH＝BP，则MP+PB＝MP+PH，所以MP+PH的最小值为MN的长，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出MN即可．【解答】解：过P点作PH⊥BC于H，过M点作MN⊥BC于N，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，BO平分∠ABC，AO⊥BD，∵AB＝AC＝10，∴AB＝AC＝BC＝10，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠OBC＝30°，∴PH＝BP，∴MP+PB＝MP+PH，当M、P、H共线时，MP+PH的值最小，即MP+PH的最小值为MN的长，∵AM＝2，∴CM＝10﹣2＝8，在Rt△MNC中，∵∠MCN＝60°，∴CN＝CM＝4，∴MN＝CN＝4，即MP+PB的最小值为4．故答案为：．【点评】本题考查了胡不归问题：利用垂线段最短解决最短路径问题，把PB转化为PH是解决问题的关键．也考查了菱形的性质和等边三角形的性质．【变式2-1】（2021•郴州）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sin A＝，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为．【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CH⊥AB于点H，首先得出BD＝4，AD＝3，根据sin∠ABD＝，得EP＝，则PC+PB的最小值为PC+PE的最小值，即求CH的长，再通过等积法即可解决问题．【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CH⊥AB于点H，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵sin A＝＝，AB＝5，∴BD＝4，由勾股定理得AD＝，∴sin∠ABD＝，∴EP＝，∴PC+PB＝PC+PE，即点C、P、E三点共线时，PC+PB最小，∴PC+PB的最小值为CH的长，＝，∵S△ABC∴4×4＝5×CH，∴CH＝．∴PC+PB的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了锐角三角函数，垂线段最短、勾股定理等知识，将PC+PB的最小值转化为求CH的长，是解题的关键．3.（2022秋•朝阳区校级月考）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的纵坐标为．【分析】根据已知条件得到AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，求得BC＝3，OD＝BD＝2，得到D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E （0，2），求得直线EC的解析式为y＝x+2，解方程组即可得到结论．【解答】解：∵∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵＝，点D为OB的中点，∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），∵直线OA的解析式为y＝x，设直线EC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线EC的解析式为y＝x+2，解，得，∴P（，），故答案为：．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等腰直角三角形的性质，正确的找到P点的位置是解题的关键．【变式3-1】（2021•聊城）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x 轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为（﹣，0）．【分析】在BC上截取BH＝3，可证四边形BHEF是平行四边形，可得BF＝EH，由对称性可得DE＝D'E，则四边形BDEF的周长＝EH+ED'+BD+EF，由EF和BD是定值，则当EH+D'E有最小值时，四边形BDEF 的周长有最小值，即当点E，点H，点D'共线时，EH+D'E有最小值，利用待定系数法可求HD'解析式，即可求解．【解答】解：在BC上截取BH＝3，作点D关于x轴的对称点D'，连接D'H交AO于点E，∴BH＝EF＝3，BC∥AO，∴四边形BHEF是平行四边形，∴BF＝EH，∵点D与点D'关于x轴对称，∴DE＝D'E，点D'坐标为（0，﹣4），∵四边形BDEF的周长＝EF+BF+BD+DE，∴四边形BDEF的周长＝EH+ED'+BD+EF，∵EF和BD是定值，∴当EH+D'E有最小值时，四边形BDEF的周长有最小值，∴当点E，点H，点D'共线时，EH+D'E有最小值，∵点B（﹣4，6），∴点H（﹣1，6），设直线D'H的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线D'H的解析式为y＝﹣10x﹣4，∴当y＝0时，x＝﹣，∴点E（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，坐标与图形，平行四边形的判定和性质，一次函数的性质等知识，确定点E的位置是解题的关键．4.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE＝1，长为的线段MN在AC上运动，当四边形BMNE的周长最小时，则tan∠MBC的值是．【分析】根据题意得出作EF∥AC且EF＝，连接DF交AC于M，在AC上截取MN＝，此时四边形BMNE的周长最小，进而利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：作EF∥AC且EF＝，连接DF交AC于M，在AC上截取MN＝，延长DF交BC于P，作FQ⊥BC于Q，作出点E关于AC的对称点E′，则CE′＝CE＝1，将MN平移至E′F′处，则四边形MNE′F′为平行四边形，则当BM+EN＝BM+FM＝BF′时四边形BMNE的周长最小，由∠FEQ＝∠ACB＝45°，可求得FQ＝EQ＝1，∵∠DPC＝∠FPQ，∠DCP＝∠FQP，∴△PFQ∽△PDC，∴＝，∴＝，解得：PQ＝，∴PC＝，由对称性可求得tan∠MBC＝tan∠PDC＝＝．故答案为．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出M，N的位置是解题关键．【变式4-1】如图，已知四边形ABCD四个顶点的坐标为A（1，3），B（m，0），C（m+2，0），D（5，1），当四边形ABCD的周长最小时，m的值为．【分析】因为AD，BC的长度都是固定的，所以求出AB+CD的长度就行了．问题就是AB+CD什么时候最短．把D点向左平移2个单位到D′点；作D′关于x轴的对称点D″，连接AD″，交x轴于P，从而确定C点位置，此时AB+CD最短．设直线AD″的解析式为y＝kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得m的值．【解答】解：将C点向左平移2单位与B重合，点D向左平移2单位到D′（3，1），作D′关于x轴的对称点D″，根据作法知点D″（3，﹣1），设直线AD″的解析式为y＝kx+b，则，解得k＝﹣2，b＝5．∴直线AD″的解析式为y＝﹣2x+5．当y＝0时，x＝，即B（，0），m＝．故答案为：．【点评】考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是熟悉关于x轴的对称点，两点之间线段最短等知识．题型2：面积平分问题解题模板：技巧精讲1：利用中线平分图形面积的方法2.利用对称性平分图形面积的方法5.（1）问题提出：如图（1），在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为AC上一点且AD＝2，过点D作直线DE交△ABC于点E，使得△ABC被分成面积相等的两部分，则DE的长为2．（2）类比发现：如图（2），五边形ABOCD，各顶点坐标为：A（3，4），B（0，2），O（0，0），C （4，0），D（4，2）请你找出一条经过顶点A的直线，将五边形ABOCD分为面积相等的两部分，求出该直线对应的函数表达式．（3）如图（3），王叔叔家有一块四边形菜地ABCD，他打算过D点修一条笔直的小路把四边形菜地ABCD 分成面积相等的两部分，分别种植不同的农作物，已知AB＝AD＝200米，BC＝DC＝200米，∠BAD ＝90°过点D是否存在一条直线将四边形ABCD的面积平分？若存在，求出平分该四边形面积的线段长：若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图1中，取AC的中点F，连接BF，BD，作FE∥BD交BC于E，连接DE交BF于O．证明DE平分△ABC的面积，利用平行线分线段成比例定理求出CE即可解决问题．（2）如图2中，连接AO、AC，作BE∥AO交x轴于E，DF∥AC交x轴于F，EF的中点为M，则直线AM平分五边形ABCOD的面积，求出点M的坐标即可解决问题．（3）先求出四边形ABCD的面积，即可得出四边形ABQD的面积，从而求出QM，再用平行线分线段成比例定理求出BM，即可得出DM，最后用勾股定理即可．【解答】解：（1）如图1中，取AC的中点F，连接BF，BD，作FE∥BD交BC于E，连接DE交BF 于O．∵AF＝FC，＝S△BFC，∴S△AFB∵BD∥EF，＝S△BDF，∴S△BDE＝S△BOE，∴S△DFO＝S四边形ABED，∴S△ECD∴DE平分△ABC的面积，∵AC＝8，AD＝2，∴AF＝CF＝4，DF＝2，∵EF∥BD，∴＝，∴＝，∴CE＝4，∴DE＝＝＝2，故答案为2．（2）如图2中，连接AO、AC，作BE∥AO交x轴于E，DF∥AC交x轴于F，EF的中点为M，则直线AM平分五边形ABCOD的面积，∵直线AO的解析式为y＝x，∴直线BE解析式为y＝x+2，∴点E坐标（﹣，0），∵直线AC的解析式为y＝﹣4x+16，∴直线DF的解析式为y＝﹣4x+18，∴点F坐标为（，0）∴EF的中点M坐标为（，0），∴直线AM的解析式为：y＝x﹣4．（3）如图3中，连接BD，AC交于点O．在BC上取一点Q，过Q作QM⊥BD，∵AB＝AD＝200、BC＝CD＝200，∴AC是BD的垂直平分线，在Rt△ABD中，BD＝AB＝200，∴DO＝BO＝OA＝100，在Rt△BCO中，OC＝＝300，＝S△ABD+S△CBD＝BD×（AO+CO）＝×200×（100+300）＝80000，∴S四边形ABCD∵在一条过点D的直线将筝形ABCD的面积二等分，＝S四边形ABCD＝40000，∴S四边形ABQD＝×BD×OA＝20000，∵S△ABD＝BD×QM＝×200×QM＝100QM＝S四边形ABQD﹣S△ABD＝20000，∴S△QBD∴QM＝100，∵QM∥CO．∴＝，∴＝，∴BM＝，∴DM＝BD﹣BM＝，在Rt△MQD中，DQ＝＝＝．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的中线，几何作图，勾股定理，等积问题等知识，解题的关键是把多边形转化为三角形是解决问题的关键，记住三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形．【变式5-1】（2022•江北区模拟）新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条线段叫做该平面图形的二分线．解决问题：（1）①三角形的中线、高线、角平分线中，一定是三角形的二分线的是三角形的中线；②如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，DC上，连接EF，与AD交于＝S△DGF，则EF是（填“是”或“不是”）△ABC的一条二分线．点G．若S△AEG（2）如图2，四边形ABCD中，CD平行于AB，点G是AD的中点，射线CG交射线BA于点E，取EB 的中点F，连接CF．求证：CF是四边形ABCD的二分线．（3）如图3，在△ABC中，AB＝CB＝CE＝7，∠A＝∠C，∠CBE＝∠CEB，D，E分别是线段BC，AC上的点，且∠BED＝∠A，EF是四边形ABDE的一条二分线，求DF的长．【分析】（1）①由平面图形的二分线定义可求解；②由面积的和差关系可得S△BEF＝S△ABD＝S△ABC，可得EF是△ABC的一条二分线；＝S△CEF，由AB∥DC，G是AD的中点，证明△CDG≌△EAG，所（2）根据EB的中点F，所以S△CBF＝S△CEF，所以S四边形AFCD＝S△CBF，可得CF是四边形ABCD的二分线；以S四边形AFCD＝S△DEC＝S△ABE，可得S△HED＝（3）延长CB使BH＝CD，连接EH，通过全等三角形的判定可得S△BEHS四边形ABDE，即可得DF＝DH＝．【解答】解：（1）∵三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；∴三角形的中线是三角形的二分线，故答案为三角形的中线②∵AD是BC边上的中线＝S△ACD＝S△ABC，∴S△ABD＝S△DGF，∵S△AEG+S△AEG＝S四边形BDGE+S△DGF，∴S四边形BDGE＝S△ABD＝S△ABC，∴S△BEF∴EF是△ABC的一条二分线故答案为：是（2）∵EB的中点F，＝S△CEF，∴S△CBF∵AB∥DC，∴∠E＝∠DCG，∵G是AD的中点，∴DG＝AG，在△CDG和△EAG中，∴△CDG≌△EAG（AAS），＝S△DCG，∴S△AEG＝S△CEF，∴S四边形AFCD＝S△CBF，∴S四边形AFCD∴CF是四边形ABCD的二分线．（3）如图，延长CB使BH＝CD，连接EH，AB＝CB＝CE＝7，∠A＝∠C，∠CBE＝∠CEB，D，E分别是线段BC，AC上的点，且∠BED＝∠A，∵BC＝7∴BD+CD＝7∴BD+BH＝7＝HD∵∠BED＝∠A，∠BED+∠DEC＝∠A+∠ABE∴∠ABE＝∠CED，且AB＝CE＝7，∠A＝∠C∴△ABE≌△CED（ASA）＝S△EDC，∴AE＝CD，BE＝DE，∠AEB＝∠EDC，S△ABE∴AE＝BH，∵∠CBE＝∠CEB∴∠AEB＝∠EBH∴∠EBH＝∠EDC，且BE＝DE，BH＝CD∴△BEH≌△DEC（SAS）、＝S△DEC，∴S△BEH＝S△DEC＝S△ABE，∴S△BEH＝S四边形ABDE，∴S△HED∵EF是四边形ABDE的一条二分线，＝S四边形ABDE＝S△HED，∴S△DEF∴DF＝DH＝【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，平行线的性质，理解新定义是本题的关键．【变式5-2】（2021•西安一模）问题提出（1）如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一点D，使得AD将△ABC分成面积相等的两部分，作出线段AD，并求出AD的长度；问题探究（2）如图②，点A、B在直线a上，点M、N在直线b上，且a∥b，连接AN、BM交于点O，连接AM、BN，试判断△AOM与△BON的面积关系，并说明你的理由；解决问题（3）如图③，刘老伯有一个形状为筝形OACB的养鸡场，在平面直角坐标系中，O（0，0）、A（4，0）、B（0，4）、C（6，6），是否在边AC上存在一点P，使得过B、P两点修一道笔直的墙（墙的宽度不计），将这个养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP的表达式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）当点D是BC的中点时，AD将△ABC分成面积相等的两部分，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一般，可求出AD的长度；（2）根据同底等高的三角形面积相等，再减去相等的部分，就可以得出△AOM与△BON的面积相等；（3）连接AB，过点O作AB的平行线，交CA的延长线于点F，交OA于点G，则△OBG的面积等于△AFG的面积，则四边形OACB的面积转化为△BCF的面积，取CF的中点P，求出点P的坐标，即可求出直线BP的表达式．【解答】解：（1）如图①，取BC边的中点D，连接AD，则线段AD即为所求．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝，∵点D为BC的中点，∴AD＝BC＝．＝S△BON，理由如下：（2）S△AOM＝S△ABM﹣S△AOB，S△BON＝S△ABN﹣S△AOB，由图可知，S△AOM如图②，过点M作MD⊥AB于点D，过点N作NE⊥AB于点E，∴MD∥NE，∠MDE＝90°，又∵MN∥DE，∴四边形MDEN是矩形，∴MD＝NE，＝，S△ABN＝，∵S△ABM＝S△ABN，∴S△ABM＝S△BON．∴S△AOM（3）存在，直线BP的表达式为：y＝x+4．如图③，连接AB，过点O作OF∥AB，交CA的延长线于点F，交OA于点G，＝S△AFG，由（2）的结论可知，S△OBG＝S△BCF，∴S四边形OACB取CF的中点P，作直线BP，直线BP即为所求．∵A（4，0），B（0，4），C（6，6），∴线段AB所在直线表达式为：y＝﹣x+4，线段AC所在直线的表达式为：y＝3x﹣12，∴直线OF的表达式为：y＝﹣x，联立，解得，∴F（3，﹣3），∵点P是CF的中点，∴P（，），∴直线BP的表达式为：y＝x+4．【点评】主要考查了勾股定理，中点的性质，面积转化以及待定系数法求一次函数表达式等内容，熟练掌握勾股定理的内容，中点性质的应用，作出辅助线，进行面积的转化是解答本题的关键．题型3：面积最值问题6.（2019•无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为8．得到BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，求得GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG，EH＝DG＝8﹣x，所以S△BDE＝＝＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．【解答】解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴△AMB∽△CGB，∴，∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，∵ED＝DC，∠EHD＝∠DGC，∠HED＝∠GDC，∴△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，＝＝＝，∴S△BDE当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．故答案为8．【点评】本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质与相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．；【变式6-1】（1）如图①，若BC＝6，AC＝4，∠C＝60°，求△ABC的面积S△ABC；（2）如图②，若BC＝a，AC＝b，∠C＝α，求△ABC的面积S△ABC（3）如图③，四边形ABCD，AC＝m，BD＝n，对角线AC交于O点，他们所成锐角为β，求四边形ABCD ．的面积S四边形ABCD【分析】（1）过A作AM⊥BC于M，解直角三角形求出AM，再根据三角形面积公式求出即可；（2）过A作AM⊥BC于M，解直角三角形求出AM，再根据三角形面积公式求出即可；（3）过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥BD于F，解直角三角形求出AE、CF，根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：（1）如图①，过A作AM⊥BC于M，则∠AMC＝90°，∵∠C＝60°，AC＝4，∴AM＝AC×sin60°＝4×＝2，∵BC＝6，＝×BC×AM＝×6×2＝6；∴△ABC的面积S△ABC（2）如图②，过A作AM⊥BC于M，则∠AMC＝90°，∵∠C＝α，AC＝b，∴AM＝AC×sinα＝b×sinα＝b sinα，∵BC＝a，＝×BC×AM＝×a×b sinα＝ab sinα；∴△ABC的面积S△ABC（3）如图3，过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥BD于F，BD＝n，OA+OC＝m，∵AC、BD夹角为β，∴AE＝OA•sinβ，CF＝OC•sinβ，＝S△ABD+S△BDC∴S四边形ABCD＝BD•AE+BD•CF＝BD•（AE+CF）＝BD•（OA•sinβ+OC•sinβ）＝BD•AC•sinβ＝mn sinβ．＝mn sinβ．即四边形ABCD的面积S四边形ABCD【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的面积的应用，此题比较难，解题时关键要找对思路，即原四边形的高已经发生了变化，只要把高求出来，一切将迎刃而解．【变式6-2】如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿边AB﹣BC向终点C运动，以DE为边作正方形DEFG（点D、E、F、G按顺时针方向排列）．设点E运动的速度为每秒1个单位，运动的时间为x秒．（1）如图1，当点E在AB上时，求证：点G在直线BC上；（2）设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式；（3）直接写出整个运动过程中，点F经过的路径长．【分析】（1）由正方形的性质得出AD＝CD，DE＝DG，∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，证出∠ADE＝∠CDG，由SAS证明△ADE≌△CDG，得出∠DCG＝∠DAE＝90°，证出∠DCG+∠DCB＝180°，即可得出结论；（2）分情况讨论：①当点E在AB边上时，过点E作EK∥AD，交CD于点K，则AC∥EK∥AD，证明△ADE∽△BEH，由相似三角形的性质得出＝，求出BH＝，S＝正方形ABCD的面积﹣△ADE的面积﹣△BEH的面积，即可得出结果；②当点E在BC边上时，S＝△DEC的面积＝4﹣x；（3）由（1）知，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F的位置如图2所示：点F运动的路径为BF；同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；由勾股定理求出BD，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠DCG＝∠DAE＝90°，∵∠DCB＝90°，∴∠DCG+∠DCB＝180°，∴点G在直线BC上；（2）解：①当点E在AB边上时，过点E作EK∥AD，交CD于点K，如图1所示：则AC∥EK∥AD，∴∠HEK＝∠EHB，∠DEK＝∠EDA，∵∠EHB+∠BEH＝90°，∠EDA+∠AED＝90°，∠HEK+∠DEK＝90°，∴∠EDA＝∠BEH，∠AED＝∠EHB，∴△ADE∽△BEH，∴＝，即＝，∴BH＝，S＝正方形ABCD的面积﹣△ADE的面积﹣△BEH的面积＝2×2﹣×2×x﹣×（2﹣x）×＝；②当点E在BC边上时，S＝△DEC的面积＝×2×（4﹣x）＝4﹣x；（3）解：由（1）知，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F的位置如图2所示：点F运动的路径为BF；同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；∵BD＝＝＝2，∴BF+FG＝2BD＝4，∴点F运动的路径长为4．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、平行线的判定与性质、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．1．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BCD＝60°，连接BD，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且AE＝BF，连接DE、DP、EF．（1）如图①，当点E是边AB的中点时，求∠EDF的度数；（2）如图②，当点E是边AB上任意一点时，∠EDF的度数是否发生改变？若不改变，请证明；若发生改变，请说明理由；（3）若点P是线段BD上一动点，求PF+DP的最小值．【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝60°，可证△ABD，△BCD 是等边三角形，由等边三角形的性质可证DE＝DF，∠EDF＝60°，可得结论；（2）证明△ADE≌△BDF（SAS），根据全等三角形的性质得∠ADE＝∠BDF，由角的和差即可得∠EDF ＝∠ADB＝60°；（3）过点P作PG⊥AD于点G，连接PF，过点F作FG′⊥AD于点G′，交BD于点P′，可得GP＝DP•sin60°＝DP，则PF+DP＝PF+GP，当点F、P、G三点共銭，且FG⊥AD时，PF+GP有最小值，最小值为FG′的长，过点D作DH⊥BC于点H，则DH＝FG'，PF+DP的最小值即为DH的长，由△BDC是等边三角形可得DH＝CD•sin60°＝3，即可求得PF+DP的最小值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，边长为6，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD，△BCD是等边三角形，∵点E是边AB的中点，AE＝BF，∴点F是边BC的中点，∴∠ADE＝∠BDE＝∠BDF＝∠CDF＝30°，∴∠EDF＝∠BDE+∠BDF＝60°；（2）∠EDF的度数不改变，证明：△ABD，△BCD是等边三角形，∴AD＝BD，∠DAB＝∠DBC＝60°，∵AE＝BF，∴△ADE≌△BDF（SAS），∴∠ADE＝∠BDF，∴∠EDF＝∠ADB＝60°；（3）如图，过点P作PG⊥AD于点G，连接PF，过点F作FG′⊥AD于点G′，交BD于点P′，∵∠ADB＝60°，∴GP＝DP•sin60°＝DP，∴PF+DP＝PF+GP，∴当点F、P、G三点共銭，且FG⊥AD时，PF+GP有最小值，最小值为FG′的长，过点D作DH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴DH＝FG'，∴PF+DP的最小值即为DH的长，∵DH⊥BC，△BDC是等边三角形，∴DH＝CD•sin60°＝3，∴PF+DP的最小值为3．【点评】本题考查了四边形的综合应用，掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，最短路径等知识，添加恰当辅助线构造构造在直角三角形是解本题的关键．2．（2022•连云港）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC．（1）求证：四边形DBCE为菱形；（2）若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最小值．【分析】（1）先证明四边形DBCE是平行四边形，再由BE⊥DC，得四边形DBCE是菱形；（2）作N关于BE的对称点N'，过D作DH⊥BC于H，由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N'在DE上，可得PM+PN＝PM+PN'，即知MN'的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，在Rt△DBH中，可得DH＝DB•sin∠DBC＝，即可得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DE＝AD，∴DE＝BC，∵E在AD的延长线上，∴DE∥BC，∴四边形DBCE是平行四边形，∵BE⊥DC，∴四边形DBCE是菱形；（2）解：作N关于BE的对称点N'，过D作DH⊥BC于H，如图：由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N'在DE上，∴PM+PN＝PM+PN'，∴当P、M、N'共线时，PM+PN'＝MN'＝PM+PN，∵DE∥BC，∴MN'的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，在Rt△DBH中，∠DBC＝60°，DB＝2，∴DH＝DB•sin∠DBC＝2×＝，∴PM+PN的最小值为．【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及菱形的判定，等边三角形性质及应用，对称变换等，解题的关键是掌握解决“将军饮马”模型的方法．3．（2014•海南）如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a＝1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出四边形MEFP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最值及点P坐标；（3）四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3所示，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x 轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF＝PM2最小．【解答】方法一：解：（1）∵对称轴为直线x＝2，∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k．将A（﹣1，0），C（0，5）代入得：，解得，∴y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5．（2）当a＝1时，E（1，0），F（2，0），OE＝1，OF＝2．设P（x，﹣x2+4x+5），如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN＝x，ON＝﹣x2+4x+5，∴MN＝ON﹣OM＝﹣x2+4x+4．S四边形MEFP＝S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME＝（PN+OF）•ON﹣PN•MN﹣OM•OE＝（x+2）（﹣x2+4x+5）﹣x•（﹣x2+4x+4）﹣×1×1＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣）2+∴当x＝时，四边形MEFP的面积有最大值为，把x＝时，y＝﹣（﹣2）2+9＝．此时点P坐标为（，）．（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3．令y＝﹣x2+4x+5＝3，解得x＝2±．∵点P在第一象限，∴P（2+，3）．四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF＝PM2最小．设直线PM2的解析式为y＝mx+n，将P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得：，解得：m＝，n＝﹣，∴y＝x﹣．当y＝0时，解得x＝．∴F（，0）．∵a+1＝，∴a＝．∴a＝时，四边形PMEF周长最小．方法二：（1）略．（2）连接MF，过点P作x轴垂线，交MF于点H，有最大值时，四边形MEFP面积最大．显然当S△PMF当a＝1时，E（1，0），F（2，0），∵M（0，1），∴l MF：y＝﹣x+1，设P（t，﹣t2+4t+5），H（t，﹣t+1），＝（P Y﹣H Y）（F X﹣M X），∴S△PMF＝（﹣t2+4t+5+t﹣1）（2﹣0）＝﹣t2+t+4，∴S△PMF最大值为，∴当t＝时，S△PMF＝EF×MY＝×1×1＝，∵S△MEF的最大值为+＝，∴S四边形MEFP∴P（，）．（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3，∴﹣x2+4x+5＝0，解得：x＝2±，∵点P在第一象限，∴P（2+，3），PM、EF长度固定，当ME+PF最小时，PMEF的周长取得最小值，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1），∵四边形MEFM1为平行四边形，∴ME＝M1F，作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1），∴M2F＝M1F＝ME，当且仅当P，F，M2三点共线时，此时ME+PF＝PM2最小，∵P（2+，3），M2（1，﹣1），F（a+1，0），∴K PF＝K M1F，∴，∴a＝．【点评】本题是二次函数综合题，第（1）问考查了待定系数法；第（2）问考查了图形面积计算以及二次函数的最值；第（3）问主要考查了轴对称﹣最短路线的性质．试题计算量偏大，注意认真计算．4．（2021•靖江市校级一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，若AE＝2，则求EF的长．（请从“线段的长度或线段的位置关系”的方向设计条件及问题，并解答）【分析】过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，可得BG＝3，AG＝3＝EH，由题意可得，FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，进而根据勾股定理可得EF的长．【解答】若AE＝2．则求EF的长．解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，得矩形AGHE，∴GH＝AE＝2，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，∴BG＝3，AG＝3＝EH，∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，∵EF平分菱形面积，EF经过菱形对角线交点，∴FC＝AE＝2，∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，在Rt△EFH中，根据勾股定理，得：EF＝＝＝2．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．5．（2012•新密市自主招生）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，点E是AD上一动点（不与A、D重合），点F是CD上一动点，且AE+CF＝4，则△DEF面积的最大值为．【分析】首先过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，由菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，即＝DE•FG）＝﹣（x﹣2）2+，可求得AD＝CD＝4，∠FDG＝60°，然后设AE＝x，即可得S△DEF然后根据二次函数的性质，即可求得答案．【解答】解：过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，∵菱形ABCD边长为4，∠BAD＝60°，∴AD＝CD＝4，∠ADC＝180°﹣∠BAD＝120°，∴∠FDG＝180°﹣∠ADB＝60°，设AE＝x，∵AE+CF＝4，∴CF＝4﹣x；∴DE＝AD﹣AE＝4﹣x，DF＝CD﹣CF＝4﹣（4﹣x）＝x，在Rt△DFG中，FG＝DF•sin∠GDF＝x，＝DE•FG＝×（4﹣x）×x＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣4x）＝﹣（x﹣2）2+，∴S△DEF∴当x＝2时，△DEF面积的最大，最大值为．故答案为：．【点评】此题考查了菱形的性质、三角函数的性质以及二次函数的最值问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与函数思想的应用．6．（2022•杭州模拟）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为等腰直角三角形，连接BD，BB′与CE的数量关系是BB'＝CE．（2）当0°＜α＜360°且a≠90°时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点E，C，D，B′为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BE与B′E的数量关系．。
二次函数与几何综合压轴题(原卷版)-2024年中考数学
二次函数与几何综合压轴题几乎所有的地方都把二次函数与几何综合压轴题作为中考压轴题。
1．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =−++的图象与x 轴相交于点A 和点()1,0C ，交y 轴于点()0,3B ．(1)求此二次函数的解析式；(2)设二次函数图象的顶点为P ，对称轴与x 轴交于点Q ，求四边形AOBP 的面积（请在图1中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M ，使得△AMB 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴的交点分别为A 和()10B ,（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点()0,3C ，点P 是直线AC 上方抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点P 作x 轴平行线交AC 于点E ，过点P 作y 轴平行线交x 轴于点D ，求PE PD +的最大值及点P 的坐标；(3)如图2，设点M 为抛物线对称轴上一动点，当点P ，点M 运动时，在坐标轴上确定点N ，使四边形PMCN 为矩形，求出所有符合条件的点N 的坐标．3．（2023·海南·中考真题）如图1，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A ，()3,0B 两点，交y 轴于点()0,3C −．点P 是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P 的坐标为()1,4−时，求四边形BACP 的面积；(3)当动点P 在直线BC 上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q ，使得以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如图2，点D 是抛物线的顶点，过点D 作直线DH y ∥轴，交x 轴于点H ，当点P 在第二象限时，作直线PA ，PB 分别与直线DH 交于点G 和点I ，求证：点D 是线段IG 的中点．4．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于()30A −,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图甲，在y 轴上找一点D ，使ACD 为等腰三角形，请直接写出点D 的坐标；(3)如图乙，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在P 、Q 两点使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P 、Q 两点的坐标，若不存在，请说明理由．5．（2023·四川甘孜·中考真题）已知抛物线2y x bx c =++与x 轴相交于()10A −，，B 两点，与y 轴相交于点()03C −，．(1)求b ，c 的值；(2)P 为第一象限抛物线上一点，PBC 的面积与ABC 的面积相等，求直线AP 的解析式；(3)在（2）的条件下，设E 是直线BC 上一点，点P 关于AE 的对称点为点P ′，试探究，是否存在满足条件的点E ，使得点P ′恰好落在直线BC 上，如果存在，求出点P ′的坐标；如果不存在，请说明理由．6．（2023·四川达州·中考真题）如图，抛物线2y ax bx c ++过点()()()1,0,3,,00,3A B C −．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B C M N 、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a ++≠经过点(1,0)A −和(0,3)B ，其顶点的横坐标为1．(1)求抛物线的表达式．(2)若直线x m =与x 轴交于点N ，在第一象限内与抛物线交于点M ，当m 取何值时，使得AN MN +有最大值，并求出最大值．(3)若点P 为抛物线2(0)y ax bx c a ++≠的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q 为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M ，是否能与A 、P 、Q 构成平行四边形？若能构成，求出Q 点坐标；若不能构成，请说明理由．8．（2023·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c ++与x 轴交于点()()3,0,1,0A B −两点，与y 轴交于点()0,3C ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时，连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PD DB的值最大时，求点P 的坐标及PD DB 的最大值； (3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将PCM △沿直线PC 翻折，当点M 的对应点'M 恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐标．9．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c ++与x 轴交于()4,0B ，()2,0C −两点．与y 轴交于点()0,2A −．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK PD +的最大值及此时点P 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得MAB △是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．10．（2023·湖北黄冈·中考真题）已知抛物线212y x bx c =−++与x 轴交于,(4,0)A B 两点，与y 轴交于点(0,2)C ，点P 为第一象限抛物线上的点，连接,,,CA CB PB PC ．(1)直接写出结果；b =_____，c =_____，点A 的坐标为_____，tan ABC ∠=______；(2)如图1，当2PCB OCA ∠=∠时，求点P 的坐标； (3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD OB =，点Q 为抛物线上一点，90QBD ∠=°，点E ，F 分别为BDQ △的边,DQ DB 上的动点，QE DF =，记BE QF +的最小值为m ． ①求m 的值；②设PCB 的面积为S ，若214S m k =−，请直接写出k 的取值范围．11．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线21:28=−−C y x x 交x 轴于,A B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于点C ．(1)直接写出,,A B C 三点的坐标；(2)如图（1），作直线()04=<<x t t ，分别交x 轴，线段BC ，抛物线1C 于,,D E F 三点，连接CF ．若BDE 与CEF △相似，求t 的值；(3)如图（2），将抛物线1C 平移得到抛物线2C ，其顶点为原点．直线2y x =与抛物线2C 交于,O G 两点，过OG 的中点H 作直线MN （异于直线OG ）交抛物线2C 于,M N 两点，直线MO 与直线GN 交于点P ．问点P 是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．12．（2023·湖南郴州·中考真题）已知抛物线24y ax bx ++与x 轴相交于点 1,0A ，()4,0B ，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P 是抛物线的对称轴l 上的一个动点，当PAC △的周长最小时，求PAPC的值； (3)如图2，取线段OC 的中点D ，在抛物线上是否存在点Q ，使1tan 2QDB ∠=若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．且与直线:1l y x =−−交于D E 、两点（点D 在点E 的右侧），点M 为直线l 上的一动点，设点M 的横坐标为t ．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M 作x 轴的垂线，与拋物线交于点N ．若04t <<，求NED 面积的最大值．(3)抛物线与y 轴交于点C ，点R 为平面直角坐标系上一点，若以B C M R 、、、为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R 的坐标．在此抛物线上，其横坐标分别为,2(0)m m m >，连接AP ，AQ ．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q 与此抛物线的顶点重合时，求m 的值．(3)当PAQ ∠的边与x 轴平行时，求点P 与点Q 的纵坐标的差．(4)设此抛物线在点A 与点P 之间部分（包括点A 和点P ）的最高点与最低点的纵坐标的差为1h ，在点A 与点Q 之间部分（包括点A 和点Q ）的最高点与最低点的纵坐标的差为2h ．当21h h m −=时，直接写出m 的值．15．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点()6,0A ，与y 轴交于点()0,6B −，抛物线经过点A ，B ，且对称轴是直线1x =．(1)求直线l 的解析式； (2)求抛物线的解析式；(3)点P 是直线l 下方抛物线上的一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，交直线l 于点D ，过点P 作PM l ⊥，垂足为M ．求PM 的最大值及此时P 点的坐标．16．（2023·湖南·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，其中()10B ,，()0,3C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P ，使得PAC ABC S S =△△？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点Q 是对称轴l 上一点，且点Q 的纵坐标为a ，当QAC △是锐角三角形时，求a 的取值范围．17．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线()210y ax bx a +−≠与x 轴交于点 1,0A 和点B ，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点()3,0D ，过点B 作直线l x ⊥轴，过点D 作DE CD ⊥，交直线l 于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 为第三象限内抛物线上的点，连接CE 和BP 交于点Q ，当57BQ PQ =时．求点P 的坐标； (3)在（2）的条件下，连接AC ，在直线BP 上是否存在点F ，使得DEF ACD BED ∠=∠+∠？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2023·湖南湘西·中考真题）如图（1），二次函数25y ax x c =−+的图像与x 轴交于()4,0A −，(),0B b 两点，与y 轴交于点()0,4C −．(1)求二次函数的解析式和b 的值．(2)在二次函数位于x 轴上方的图像上是否存在点M ，使13BOM ABC S S =△△？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图（2），作点A 关于原点O 的对称点E ，连接CE ，作以CE 为直径的圆．点E ′是圆在x 轴上方圆弧上的动点（点E ′不与圆弧的端点E 重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE ，使点E 移动到点E ′，线段AE 的对应线段为A E ′′，连接E C ′，A A ′，A A ′的延长线交直线E C ′于点N ，求AA CN′的值．19．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，抛物线23y ax bx ++与x 轴交于点()10A −，，()30B ，，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，点Q 是x 轴上方抛物线上一点，射线QM x ⊥轴于点N ，若QM BM =，且4tan 3MBN ∠=，请直接写出点Q 的坐标．(3)如图2，点E 是第一象限内一点，连接AE 交y 轴于点D ，AE 的延长线交抛物线于点P ，点F 在线段CD 上，且CF OD =，连接FA FE BE BP ，，，，若AFE ABE S S =△△，求PAB 面积．20．（2023·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx ++过点()1,3，且交x 轴于点()1,0A −，B 两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，求PDE △周长的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PDE △周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N ，使得以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．21．（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点A B ，，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()1,0，对称轴是直线=1x −，点P 是x 轴上一动点，PM x ⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P 在线段AO 上运动（点P 与点A 、点O 不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M 、N C Q 、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2023·湖北十堰·中考真题）已知抛物线28y ax bx ++过点()4,8B 和点()8,4C ，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接,AB BC ，点D 在线段AB 上（与点,A B 不重合），点F 是OA 的中点，连接FD ，过点D 作DE FD ⊥交BC 于点E ，连接EF ，当DEF 面积是ADF △面积的3倍时，求点D 的坐标；(3)如图2，点P 是抛物线上对称轴右侧的点，(),0H m 是x 轴正半轴上的动点，若线段OB 上存在点G （与点,O B 不重合），使得GBP HGP BOH ∠=∠=∠，求m 的取值范围．23．（2023·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数24y ax bx ++的图象与x 轴交于点()2,0A −，()4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴l 上一点，以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=°，求出点F 的坐标； (3)如图2，P 为第一象限内抛物线上一点，连接AP 交y 轴于点M ，连接BP 并延长交y 轴于点N ，在点P 运动过程中，12OM ON +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．24．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线21y ax bx c =++的图象经过(6,0)A −，(2,0)B −，(0,6)C 三点，且一次函数6y kx =+的图象经过点B ．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E ，F 为平面内两点，若以E 、F 、B 、C 为顶点的四边形是正方形，且点E 在点F 的左侧．这样的E ，F 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线21y ax bx c =++的图象向右平移8个单位长度得到抛物线2y ，此抛物线的图象与x 轴交于M ，N 两点（M 点在N 点左侧）．点P 是抛物线2y 上的一个动点且在直线NC 下方．已知点P 的横坐标为m ．过点P 作PD NC ⊥于点D ．求m 为何值时，12CD PD +有最大值，最大值是多少？25．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点(4,0)A −，(2,0)B ，与y 轴交于点(0,4)C −．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果把抛物线x 轴下方的部分沿x 轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线6y kx =+与新图象有三个公共点时，求k 的值； (3)如图2，如果把直线AB 沿y 轴向上平移至经过点D ，与抛物线的交点分别是E ，F ，直线BC 交EF 于点H ，过点F 作FG CH ⊥于点G ，若DF HG=F 的坐标．26．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，抛物线2y bx c ++交x 轴于点()1,0A −和B ，交y 轴于点(C ，顶点为D ．(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB 的面积为E 的坐标；(3)在（2）的条件下，若点F 是对称轴上一点，点H 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G ，使以E ，F ，G ，H 为顶点的四边形是菱形，且60EFG ∠=°，如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．27．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图1，抛物线253y ax x c =++经过点()3,1，与y 轴交于点()0,5B ，点E 为第一象限内抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式．(2)直线243y x =−与x 轴交于点A ，与y 轴交于点D ，过点E 作直线EF x ⊥轴，交AD 于点F ，连接BE ．当BE DF =时，求点E 的横坐标．(3)如图2，点N 为x 轴正半轴上一点，OE 与BN 交于点M ．若OE BN =，3tan 4BME ∠=，求点E 的坐标．28．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线24y ax bx +−与x 轴交于点()4,0A −，()2,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，点D 是抛物线上的一个动点，设点D 的横坐标是()42m m −<<，过点D 作直线DE x ⊥轴，垂足为点E ，交直线AC 于点F ．当D ，E ，F 三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段DF 的长；(3)若点P 是抛物线上的一个动点（点P 不与顶点重合），点M 是抛物线对称轴上的一个点，点N 在坐标平面内，当四边形CMPN 是矩形邻边之比为1:2时，请直接写出点P 的横坐标．。
解答题压轴题二次函数与几何图形综合(学生版)
周日解答题压轴题二次函数与几何图形综合一模块一2022中考真题集训类型一二次函数中的最值问题(1)自变量范围与最值问题1.(2022•绍兴)已知函数y =-x 2+bx +c (b ，c 为常数)的图象经过点(0，-3)，(-6，-3)．(1)求b ，c 的值．(2)当-4≤x ≤0时，求y 的最大值．(3)当m ≤x ≤0时，若y 的最大值与最小值之和为2，求m 的值．2.(2022•安顺)在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如：点(1，1)，12，12 ，(-2，-2)，⋯⋯都是和谐点．(1)判断函数y =2x +1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；(2)若二次函数y =ax 2+6x +c (a ≠0)的图象上有且只有一个和谐点52，52．①求a ，c 的值；②若1≤x ≤m 时，函数y =ax 2+6x +c +14(a ≠0)的最小值为-1，最大值为3，求实数m 的取值范围．周日(2)胡不归问题3.(2022•淮安)如图(1)，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)，直线l经过B、C两点．(1)求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；(2)点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM=12MN时，求点P的横坐标；(3)如图(2)，点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．周日4.(2022•梧州)如图，在平面直角坐标系中，直线y =-43x -4分别与x ，y 轴交于点A ，B ，抛物线y =518x 2+bx +c 恰好经过这两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点C 的坐标是(0，6)，将△ACO 绕着点C 逆时针旋转90°得到△ECF ，点A 的对应点是点E ．①写出点E 的坐标，并判断点E 是否在此抛物线上；②若点P 是y 轴上的任一点，求35BP +EP 取最小值时，点P 的坐标．周日5.(2022•济南)抛物线y=ax2+114x-6与x轴交于A(t，0)，B(8，0)两点，与y轴交于点C，直线y=kx-6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的表达式和t，k的值；(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；PQ的最大(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+12值．周日类型二二次函数中的面积问题两点，与x轴的另一个交点1.(2022•内蒙古)如图，抛物线y=ax2+x+c经过B(3，0)，D-2，-52为A，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；(2)若点M在直线BC上方的抛物线上运动(与点B，C不重合)，求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；(请在图1中探索)(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．(请在图2中探索)周日2.(2022•淄博)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，顶点Dx+t上，动点P(m，n)在x轴上方的抛物线上．(1，4)在直线l：y=43(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1<m<3时，求PM+PN的最大值；(3)设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G(G是点E关于x轴的对称点)为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．周日类型三二次函数与角度问题1.(2022•菏泽)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-2，0)、B(8，0)两点，与y轴交于点C(0，4)，连接AC、BC．(1)求抛物线的表达式；(2)将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标，并求出四边形OADC的面积；(3)点P是抛物线上的一动点，当∠PCB=∠ABC时，求点P的坐标．周日2.(2022•鞍山)如图，抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A (-1，0)，B 两点，与y 轴交于点C (0，2)，连接BC ．(1)求抛物线的解析式．(2)点P 是第三象限抛物线上一点，直线PB 与y 轴交于点D ，△BCD 的面积为12，求点P 的坐标．(3)在(2)的条件下，若点E 是线段BC 上点，连接OE ，将△OEB 沿直线OE 翻折得到△OEB '，当直线EB '与直线BP 相交所成锐角为45°，时，求点B '的坐标．类型四二次函数与圆综合1.(2022•扬州)如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB 在x 轴上，且AB =8dm ，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y 轴，高度OC =8dm ．现计划将此余料进行切割：(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB 上且面积最大，求此正方形的面积；(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB 上且周长最大，求此矩形的周长；(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm 的圆，请说明理由．周日2.(2022•盐城)【发现问题】小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为．【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立．【深度思考】小明继续思考：设点P(0，m)，m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．周日类型五二次函数中的定值问题1.(2022•巴中)如图1，抛物线y=ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，-1≤x≤3．(1)求抛物线的表达式；(2)点P是线段BE上的动点(除B、E外)，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．周日类型六二次函数中几何图形的存在性问题1.(2022•枣庄)如图①，已知抛物线L：y=x2+bx+c经过点A(0，3)，B(1，0)，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的关系式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内(包括△OAE的边界)，求h的取值范围；(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．周日2.(2022•攀枝花)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于O(O为坐标原点)，A两点，且二次函数的最小值为-1，点M(1，m)是其对称轴上一点，y轴上一点B(0，1)．(1)求二次函数的表达式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．周日3.(2022•阜新)如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象交x轴于点A(-1，0)，B(5，0)，交y轴于点C．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒(0<t< 5)．当t为何值时，△BMN的面积最大？最大面积是多少？(3)已知P是抛物线上一点，在直线BC上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．周日4.(2022•朝阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，-3)，连接BC．(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．(2)如图，点P为线段BC上的一个动点(点P不与点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．(3)动点P以每秒2个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．周日5.(2022•黔西南州)如图，在平面直角坐标系中，经过点A(4，0)的直线AB与y轴交于点B(0，4)．经过原点O的抛物线y=-x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．(1)求抛物线y=-x2+bx+c的表达式；(2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN=2时，求点M的坐标；(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．周日6.(2022•鄂尔多斯)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +2经过A -12，0 ，B 3，72 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在抛物线上，过P 作PD ⊥x 轴，交直线BC 于点D ，若以P 、D 、O 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标；(3)抛物线上是否存在点Q ，使∠QCB =45°？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．周日7.(2022•黄石)如图，抛物线y =-23x 2+23x +4与坐标轴分别交于A ，B ，C 三点，P 是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m ．(1)A ，B ，C 三点的坐标为，，．(2)连接AP ，交线段BC 于点D ，①当CP 与x 轴平行时，求PDDA 的值；②当CP 与x 轴不平行时，求PDDA的最大值；(3)连接CP ，是否存在点P ，使得∠BCO +2∠PCB =90°，若存在，求m 的值，若不存在，请说明理由．周日类型七抛物线的平移、翻折与旋转1.(2022•德州)如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为y=x2-4x+1．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(0，1)，B(1，-2)，．求该二次函数的解析式．(1)请根据已有信息添加一个适当的条件：；(2)当函数值y<6时，自变量x的取值范围：；(3)如图1，将函数y=x2-4x+1(x<0)的图象向右平移4个单位长度，与y=x2-4x+1(x≥4)的图象组成一个新的函数图象，记为L．若点P(3，m)在L上，求m的值；(4)如图2，在(3)的条件下，点A的坐标为(2，0)，在L上是否存在点Q，使得S△OAQ=9．若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．周日2.(2022•大庆)已知二次函数y=x2+bx+m图象的对称轴为直线x=2，将二次函数y=x2+bx+m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．(1)求b的值；(2)①当m<0时，图C与x轴交于点M，N(M在N的左侧)，与y轴交于点P．当△MNP为直角三角形时，求m的值；②在①的条件下，当图象C中-4≤y<0时，结合图象求x的取值范围；(3)已知两点A(-1，-1)，B(5，-1)，当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．周日3.(2022•岳阳)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y=x2+bx+c经过点A(-3，0)和点B(1，0)．(1)求抛物线F1的解析式；(2)如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；(3)如图3，将(2)中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点(点C在点D的左侧)．①求点C和点D的坐标；②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点(点M，N与点C，D不重合)，试求四边形CMDN面积的最大值．。
2020年中考数学二轮专题——二次函数与几何图形综合(压轴)题型(含详细解答)
2020年中考数学二轮专题——二次函数与几何图形综合（压轴）题型一、基础过关1. (2019宿迁)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为(1，0)，与y轴交于点C(0，－3)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠P AB＝2∠ACO.求点P的坐标；(3)如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N.请问DM＋DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．第1题图2. (2019贺州)如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(－1，0)，且OA＝OC＝4OB，抛物线y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象经过A，B，C三点．(1)求A，C两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P 的坐标及PD的最大值．第2题图二、能力提升1. (2019菏泽)如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C (0，－2)，点A 的坐标是(2，0)，P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点E ，抛物线的对称轴是直线x ＝－1.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 在第二象限内，且PE ＝14OD ，求△PBE 的面积；(3)在(2)的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的上方，是否存在点M ，使△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图三、满分冲关1. (2019襄阳)如图，在直角坐标系中，直线y ＝－12x ＋3与x 轴，y 轴分别交于点B ，点C ，对称轴为x＝1的抛物线过B , C 两点，且交x 轴于另一点A ，连接A C.(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标和抛物线的解析式；(2)已知点P 为第一象限内抛物线上一点，当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标； (3)抛物线上是否存在一点Q (点C 除外)，使以点Q ，A ，B 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图2、(2019滨州)如图①，抛物线y ＝－18x 2＋12x ＋4与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D .(1)求直线AD 的函数解析式；(2)如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点． ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离； ②当点P 到直线AD 的距离为524时，求sin ∠P AD 的值．3、(2019金牛区一诊)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴的两个交点分别为A (－3，0)、B (1，0)，与y 轴交于点D (0，3)，过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H .(1)求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；(2)连接AD 、CD ，若点E 为抛物线上一动点(点E 与顶点C 不重合)，当△ADE 与△ACD 面积相等时，求点E 的坐标；(3)若点P 为抛物线上一动点(点P 与顶点C 不重合)，过点P 向CD 所在的直线作垂线，垂足为点Q ，以P 、C 、Q 为顶点的三角形与△ACH 相似时，求点P 的坐标．第1题图备用图参考答案一、基础过关1. 解：(1)把A (1，0)，C (0，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得，⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝－3， ∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2＋2x －3；(2)如解图，作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′C ，作AD ⊥A ′C 于点D ， ∴点A ′的坐标为(－1，0)， 则AA ′＝2，OC ＝3，A ′C ＝10， ∵S △A ′AC ＝12AA ′·OC ＝12A ′C ·AD ，∴AD ＝AA ′·OC A ′C ＝3105，在Rt △A ′AD 中，∵A ′D 2＋AD 2＝A ′A 2， ∴A ′D 2＋(3105)2＝22.解得A ′D ＝105(负值已舍去)， ∴DC ＝4105，∴tan ∠ACA ′＝AD DC ＝34. 由对称可得∠ACD ＝2∠ACO ，则∠P AB ＝∠ACA ′， 设P (a ，a 2＋2a －3)，①如解图，当点P 在x 轴的上方时，作P 1H 1⊥x 轴于点H 1， ∴tan ∠P 1AB ＝P 1H 1AH 1＝a 2＋2a －31－a ＝34，解得a 1＝1(舍)，a 2＝－154，把a ＝－154代入得P (－154，5716)；②如解图，当点P 在x 轴的下方时，作P 2H 2⊥x 轴于点H 2， ∴tan ∠P 2AB ＝P 2H 2AH 2＝－a 2－2a ＋31－a ＝34，解得a 3＝1(舍)，a 4＝－94，把a ＝－94代入得P (－94，－3916)，综上所述，点P 的坐标为(－154，5716)或(－94，－3916)；第1题解图(3)是．设Q (m ，m 2＋2m －3)，则－3＜m ＜1. 设直线AQ 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，把A (1，0)，Q (m ，m 2＋2m －3)，代入解析式解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝m ＋3b 1＝m －3， ∴y ＝(m ＋3)x －m －3， 当x ＝－1时，y ＝－2m －6， 设直线BQ 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2，把B (－3，0)，Q (m ，m 2＋2m －3)代入y ＝k 2x ＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝m －1b 2＝3m －3，∴y ＝(m －1)x ＋3m －3， 当x ＝－1时，y ＝2m －2， ∴DM ＝2m ＋6，DN ＝－2m ＋2， ∴DM ＋DN ＝2m ＋6－2m ＋2＝8. 2. 解：(1)∵B (－1，0)， ∴OB ＝1.又∵OA ＝OC ＝4OB ， ∴OA ＝OC ＝4， ∴A (4，0)，C (0，－4)；(2)将A 、B 、C 三点坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得，⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋c ＝0a －b ＋c ＝0c ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3c ＝－4， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－3x －4；(3)如解图，过点P 作PE ⊥x 轴交AC 于点E ， ∴PE ∥y 轴． ∵OA ＝OC ，∴∠PED ＝∠OCA ＝45°， ∴△DEP 为等腰直角三角形， ∴PD ＝22PE ， ∴当PE 取得最大值时，PD 取得最大值， 易得直线AC 的解析式为y ＝x －4， 设P (x ，x 2－3x －4)，则E (x ，x －4)，则PE ＝(x －4)－(x 2－3x －4)＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4， ∵0＜x ＜4，∴当x ＝2时，PE 取得最大值，最大值为4， 此时PD 取得最大值，最大值为4×22＝22，∴点P 的坐标为(2，－6)．第2题解图二、能力提升1. 解：(1)∵抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 的坐标为(2，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝－1， ∴点B 的坐标为(－4，0)．∴设抛物线的函数表达式为y ＝a (x ＋4)(x －2)，将点C (0，－2)代入得－8a ＝－2，解得a ＝14.∴抛物线的函数表达式为y ＝14(x ＋4)(x －2)＝14x 2＋12x －2；(2)设点P 的坐标为(x ，14x 2＋12x －2)，则点D 的坐标为(x ，0)，设BC 所在直线的表达式为y ＝kx ＋b ， 将B (－4，0)，C (0，－2)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝0b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12b ＝－2， ∴BC 所在直线的表达式为y ＝－12x －2.∴点E 的坐标为(x ，－12x －2)．∴PE ＝14x 2＋x .∵PE ＝14OD ，∴14x 2＋x ＝－14x ，即14x 2＋54x ＝0， 解得x ＝－5或x ＝0(舍)． ∴PE ＝54，BD ＝1，∴S △PBE ＝12PE ·BD ＝12×54×1＝58；(3)存在．①当DM ＝DB ＝1时，如解图①，过点M 作MF ⊥x 轴于点F ， 设M (m ，－12m －2)，则MF ＝－12m －2，DF ＝－m －5，∵MF 2＋DF 2＝DM 2，∴(－12m －2)2＋(－m －5)2＝1，解得m ＝－285或m ＝－4(舍去)．∴点M 的坐标为(－285，45)；第1题解图①②当BD ＝BM ＝1时，如解图②，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ， ∵DE ⊥x 轴， ∴DE ∥MN ，∴BN ∶BD ＝BM ∶BE ，∴BN ∶1＝1∶BE . ∵E (－5，12)，∴DE ＝12，∴BE ＝52， ∴BN ∶1＝1∶52，解得BN ＝255. ∴点M 的横坐标为－4－255，将x ＝－4－255代入y ＝－12x －2，得y ＝55，即点M 的坐标为(－4－255，55)．综上所述，点M 的坐标为(－285，45)或(－4－255，55)．第1题解图②三、满分冲关1. 解：(1)A (－4，0)，B (6，0)，C (0，3)，抛物线的解析式为y ＝－18x 2＋14x ＋3；【解法提示】令y ＝－12x ＋3＝0，解得x ＝6，令x ＝0，得y ＝3，∴B (6，0)，C (0，3)．∵抛物线的对称轴为x ＝1，且过点B 、A ，∴抛物线与x 轴的另一交点A 坐标为(－4，0)，设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋4)(x －6)，将点C (0，3)代入得－24a ＝3，解得a ＝－18.∴y ＝－18(x ＋4)(x －6)＝－18x 2＋14x ＋3(2)如解图①，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，交BC 于点Q ，过点P 作PH ⊥BC 于点H . ∵OC ＝3，OB ＝6， ∴BC ＝OC 2＋OB 2＝3 5. 又∵∠HQP ＝∠GQB ， ∴∠HPQ ＝∠CBO ， ∴sin ∠HPQ ＝sin ∠CBO ＝55. 故点P 到直线BC 的距离最大，即PQ 最大． 设P (m ，－18m 2＋14m ＋3)，Q (m ，－12m ＋3)，∴PQ ＝－18m 2＋14m ＋3－(－12m ＋3)＝－18(m －3)2＋98.∵－18＜0，∴当m ＝3时，PQ 有最大值为98.∴P (3，218)；第1题解图①(3)存在．由(1)得A (－4，0)、B (6，0)、C (0，3)， ∴AB ＝10，AC ＝32＋42＝5. 分为两种情况分类讨论：①当△ABC ∽△AQB 时，如解图②所示． ∴AC AB ＝ABAQ，∠CAB ＝∠BAQ . ∴AQ ＝AB 2AC ＝1025＝20，过点Q 作QD ⊥x 轴，垂足为点D ， ∴QD ＝AQ ·sin ∠BAQ ＝20×35＝12，AD ＝AQ ·cos ∠BAQ ＝20×45＝16.∴Q (12，－12)．第1题解图②②当△ABC ∽△BQA 时，如解图③所示， ∴AB BQ ＝ACAB，∠CAB ＝∠ABQ . ∴BQ ＝AB 2AC＝20，过点Q 作QE ⊥x 轴，垂足为E ，同理可得QE ＝BQ ·sin ∠ABQ ＝20×35＝12，BE ＝BQ ·cos ∠ABQ ＝20×45＝16， ∴Q (－10，－12)．综上所述，点Q 的坐标是(12，－12)或(－10，－12)．第1题解图③2、解：(1)抛物线y ＝－18x 2＋12x ＋4， 令x ＝0，可得A 点的坐标为(0，4)，令y ＝0，可得B 点的坐标为(－4，0)，C 点的坐标为(8，0)．易得直线AB 的函数解析式为y ＝x ＋4，∵OA ＝OB ，∴∠BAO ＝45°.又∵直线AD 由直线AB 逆时针旋转90°而来，∴∠BAD ＝90°，∴∠OAD ＝45°，△OAD 为等腰直角三角形，∴OD ＝OA ＝4，D (4，0)，易得直线AD 的函数解析式为y ＝－x ＋4；(2)①如解图①，过点P 作PE ⊥x 轴交AD 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，第1题解图①易得△PEF 为等腰直角三角形，∴PF ＝22PE ， ∴当PE 取得最大值时，PF 取得最大值，设P (x ，－18x 2＋12x ＋4)， 则E (x ，－x ＋4)，∴PE ＝－18x 2＋12x ＋4－(－x ＋4)＝－18x 2＋32x ＝－18(x －6)2＋92， ∴当x ＝6时，PE 有最大值92， 此时PF 有最大值924， ∴当x ＝6时，－18x 2＋12x ＋4＝52， ∴当点P 到直线AD 的距离最大时，点P 的坐标为(6，52)，最大距离为924； ②如解图②，连接AP ，过点P 作PE ⊥x 轴，交AD 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，当点P 到AD 的距离为524时，PF ＝524， 则此时PE ＝2PF ＝52， 将PE ＝52代入PE ＝－18(x －6)2＋92中， 解得x 1＝10，x 2＝2，∴此时点P 的坐标为(10，－72)或(2，92)， 当点P 的坐标为(2，92)时，AP ＝22＋（92－4）2＝172， ∴sin ∠P AD ＝524172＝53434； 当点P 的坐标为(10，－72)时， AP ＝102＋（－72－4）2＝252， ∴sin ∠P AD ＝PF AP ＝524252＝210. 综上，sin ∠P AD 的值是53434或210.3、1. 解：(1)把点A 、B 、D 的坐标分别代入抛物线的解析式中得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝09a －3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3，∴抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a＝－1， ∴点C 的坐标为(－1，4)；(2)如解图①，过点C 作CE ∥AD 交抛物线于点E ，交y 轴于点T ，则△ADE 与△ACD 面积相等，直线AD 过点D ，设其解析式为y ＝mx ＋3，将点A 的坐标代入得：0＝－3m ＋3，解得m ＝1，则直线AD 的解析式为y ＝x ＋3，∵CE ∥AD ，设直线CE 的解析式为y ＝x ＋n ，将点C 的坐标代入上式得：4＝－1＋n ，解得n ＝5，则直线CE 的解析式为y ＝x ＋5，则点T 的坐标为(0，5)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3y ＝x ＋5， 解得x ＝－1或x ＝－2(x ＝－1为点C 的横坐标)，即点E 的坐标为(－2，3)；在y 轴取一点H ′，使DT ＝DH ′＝2，过点H ′作直线E ′E ″∥AD ，则△ADE ′和△ADE ″都与△ACD 面积相等，同理可得直线E ′E ″的解析式为y ＝x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3y ＝x ＋1， 解得x ＝－3±172， ∴点E ″、E ′的坐标分别为(－3＋172，－1＋172)、(－3－172，－1－172)， 综上，满足要求的点E 的坐标为(－2，3)或(－3＋172，－1＋172)或(－3－172，－1－172)；第1题解图①(3)如解图②，设点P 的坐标为(m ，n )，则n ＝－m 2－2m ＋3，把点C 、D 的坐标代入一次函数的解析式y ＝kx ＋b 得：⎩⎪⎨⎪⎧4＝－k ＋b b ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝3， 即直线CD 的解析式为y ＝－x ＋3，由(1)得，直线AD 的解析式为y ＝x ＋3，∴AD ⊥CD ，而直线PQ ⊥CD ，故直线PQ 的解析式中的k 值与直线AD 的解析式中的k 值相同， 同理可得直线PQ 的解析式为y ＝x ＋(n －m )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3y ＝x ＋（n －m ）， 解得x ＝3＋m －n 2，即点Q 的坐标为(3＋m －n 2，3－m ＋n 2)， 则PQ 2＝(m －3＋m －n 2)2＋(n －3－m ＋n 2)2＝（m ＋n －3）22＝12(m ＋1)2·m 2， 同理可得：PC 2＝(m ＋1)2[1＋(m ＋1)2]，AH ＝2，CH ＝4，则AC ＝25，当△ACH ∽△CPQ 时，PC PQ ＝AC CH ＝52， 即4PC 2＝5PQ 2，整理得3m 2＋16m ＋16＝0，解得m ＝－4或m ＝－43， ∴点P 的坐标为(－4，－5)或(－43，359)； 当△ACH ∽△PCQ 时，同理可得，点P 的坐标为(－23，359)或(2，－5)， 综上所述，点P 的坐标为(－4，－5)或(－43，359)或(－23，359)或(2，－5)．第1题解图②。
中考数学考点17二次函数综合题总复习(解析版)
二次函数综合题【命题趋势】在中考中.二次函数综合题每年必考点.特别是跟几何结合.经常在压轴题中出现。
【中考考查重点】一、线段问题二、面积问题三、等腰、直角三角形问题四、特殊四边形问题五、相似三角形问题六、与角度有关问题考点一：线段问题1．（2021秋•龙沙区期末）如图.抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1.0）.B（3.0）两点.与y轴交于点C（0.3）.抛物线的顶点为D.连接BC.P为线段BC上的一个动点（P不与B、C重合）.过点P作PF∥y轴.交抛物线于点F.交x轴于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）当PG＝2PF时.求点P的坐标；【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 （2）P（.）【解答】解：（1）将A（﹣1.0）.B（3.0）.C（0.3）代入y＝ax2+bx+c.∴.∴.∴y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b'.∴.∴.∴y＝﹣x+3.设P（t.﹣t+3）.则F（t.﹣t2+2t+3）.G（t.0）.∴PG＝﹣t+3.PF＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t.∵PG＝2PF.∴﹣t+3＝﹣2t2+6t.∴t＝或t＝3（舍）.∴P（.）；考点二：面积问题2．（2021秋•梅里斯区期末节选）如图.在平面直角坐标系中.已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A.与y轴交于点B.过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1.0）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）探究：在抛物线上直线AB下方是否存在一点P.使△ABP面积最大？若存在.请求出点P的坐标.若不存在.请说明理由；【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2 .（.﹣）（2）P（2.﹣3）【解答】解：（1）直线y＝x﹣2与x轴交于点A.与y轴交于点B.∴A（4.0）、B（0.﹣2）.将A、B、C点坐标分别代入二次函数解析式y＝ax2+bx+c.∴.∴.∴二次函数解析式为：y＝x2﹣x﹣2.化成顶点式为：y＝（x﹣）2﹣.∴抛物线的顶点坐标为（.﹣）；（2）存在.理由如下：设P点坐标为（x.x2﹣x﹣2）（0＜x＜4）.过点P作PD⊥AC于点D.交AB于点E.则E的坐标表示为（x.x﹣2）.∴S△ABP＝＝×4×（x﹣2﹣x2+x+2）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4.∵a＝﹣1＜0.∴当x＝2时S△ABP有最大值.求得P（2.﹣3）；考点三：等腰、直角三角形问题3．（2021秋•龙凤区校级期末）如图.已知抛物线y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A（2.0）和B（﹣8.0）.与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点.当△BCF的面积最大时.在抛物线的对称轴上找一点P.使得△BFP的周长最小.请求出点F的坐标和点P的坐标；（3）在（2）的条件下.是否存在这样的点Q（0.m）.使得△BFQ为等腰三角形？如果有.请直接写出点Q的坐标；如果没有.请说明理由．【答案】（1）（2）F（﹣4.﹣12）.P（﹣3.﹣10）（3）Q1（0.﹣4）或或或Q4（0.0）．【解答】解：（1）将A（2.0）、B（﹣8.0）代入解析式.得.解得：.∴．（2）当x＝0时.y＝﹣8.∴C（0.﹣8）.设直线BC的解析式为y＝kx+b.则.解得：.∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8.设.如图1.作FG垂直于x轴交BC于G.则G（n.﹣n﹣8）.∴.∵＝4FG.∴当FG取得最大值时.S△BCF取得最大值.∴当时.FG取得最大值8.S△BCF取得最大值32.∴F（﹣4.﹣12）.作F关于对称轴对称的点F'.∴F'（﹣2.﹣12）.当F'、B、P共线时.PB+PF有最小值.此时C△BFP有最小值.设y BF'＝ax+b.则.解得：.∴y BF'＝﹣2x﹣16.又∵x p＝﹣3.∴P（﹣3.﹣10）.综上所述.F（﹣4.﹣12）.P（﹣3.﹣10）.（3）存在.理由如下.①如图2.以BF为底边时.点Q1在BF的中垂线上.∴BF的中垂线与y轴交点即为所求.连接BQ1.FQ1.作FN垂直于y轴.∵Q1B＝Q1F.设OQ1＝t.则Q1N＝12﹣t.∵FN＝4.BO＝8..∴42+（12﹣t）2＝82+t2.解得：t＝4.∴Q1（0.﹣4）；②以BF为腰时..（i）当BF＝BQ2时.设OQ2＝s.则.∴160＝82+s2.解得：.当时..当时.；（ii）当BF＝FQ4时：∵B（﹣8.0）.F（﹣4.﹣12）.O（0.0）.∴F在线段BO的中垂线上.∴FB＝FO.∴Q4（0.0）；由Q4关于N点对称得Q5（0.﹣24）.∵FN⊥y轴.∴FO＝BF＝FQ5.但此时B、F、Q5三点共线.不合题意；综上所述.点Q的坐标为Q1（0.﹣4）或或或Q4（0.0）．4．（2021秋•黄埔区期末）如图.抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A、B两点.与y轴交于C点．（1）求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示）.A.B两点的坐标；（2）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在.请求出；若不存在.请说明理由．【答案】（1）A.B两点的坐标为（﹣1.0）、（5.0）（2）和【解答】解：（1）∵y＝m（x﹣2）2﹣9m.∴抛物线顶点M的坐标为（2.﹣9m）.∵抛物线与x轴交于A、B两点.∴当y＝0时.mx2﹣4mx﹣5m＝0.∵m＞0.∴x2﹣4x﹣5＝0.解得x1＝﹣1.x2＝5.∴A.B两点的坐标为（﹣1.0）、（5.0）.（2）存在使△BCM为直角三角形的抛物线．过点C作CN⊥DM于点N.则△CMN为直角三角形.CN＝OD＝2.DN＝OC＝5m.∴MN＝DM﹣DN＝4m.∴CM2＝CN2+MN2＝4+16m2.在Rt△OBC中.BC2＝OB2+OC2＝25+25m2.在Rt△BDM中.BM2＝BD2+DM2＝9+81m2．①如果△BCM是直角三角形.且∠BMC＝90°时.CM2+BM2＝BC2.即4+16m2+9+81m2＝25+25m2.解得.∵m＞0.∴．∴存在抛物线使得△BCM是直角三角形；②如果△BCM是直角三角形.且∠BCM＝90°时.BC2+CM2＝BM2．即25+25m2+4+16m2＝9+81m2.解得.∵m＞0.∴．∴存在抛物线使得△BCM是Rt△；③∵25+25m2＞4+16m2.9+81m2＞4+16m2.∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在.综上.存在抛物线和使△BCM是直角三角形．特考点四：特殊四边形问题5．（2021秋•龙江县期末节选）已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B（1.0）.与y轴交于点C.连接AC.有一动点D在线段AC上运动.过点D作x轴的垂线.交抛物线于点E.交x轴于点F.AB＝4.设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当m＝﹣2时.在平面内是否存在点Q.使以B.C.E.Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在.请直接写出点Q的坐标；若不存在.请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3 （2）Q点为（3.0）或（﹣1.0）或（﹣3.6）【解答】解：（1）∵点B（1.0）.AB＝4.∴A（﹣3.0）.将B（1.0）.A（﹣3.0）代入y＝ax2+bx+3.∴.∴.∴y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在.理由如下：∵m＝﹣2.∴E（﹣2.3）.设Q（n.t）.①当BC为平行四边形的对角线时..解得.∴Q（3.0）；②当BE为平行四边形的对角线时..解得.∴Q（﹣1.0）；③当BQ为平行四边形的对角线时..解得.∴Q（﹣3.6）；综上所述：当Q点为（3.0）或（﹣1.0）或（﹣3.6）时.以B.C.E.Q为顶点的四边形为平行四边形．6．（2021秋•江西月考）如图.抛物线y＝﹣x2+3x+m与x轴的一个交点为A（4.0）.另一交点为B.且与y轴交于点C.连接AC．（1）求m的值及该抛物线的对称轴；（2）若点P在直线AC上.点Q是平面内一点.是否存在点Q.使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为正方形？若存在.请直接写出Q点的坐标；若不存在.请说明理由．【答案】（1）m＝4 y＝﹣（x﹣）2+（2）（4.5）或（.﹣）．【解答】解：（1）把A（4.0）代入二次函数y＝﹣x2+3x+m得：∴﹣16+12+m＝0.解得：m＝4.∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+.∴二次函数对称轴为直线x＝；（2）存在.理由：①当AB是正方形的边时.此时.对应的正方形为ABP′Q′.∵A（4.0）.AB＝5.∴点Q′的坐标为（4.5）；②当AB是正方形的对角线时.此时.对应的矩形为APBQ.∵AB、PQ是正方形对角线.∴线段AB和线段PQ互相垂直平分.∴点Q在抛物线对称轴上.且到x轴的距离为.∴点Q的坐标为（.﹣）.故点Q的坐标为（4.5）或（.﹣）．考点五：相似三角形问题7．（2021秋•建华区期末节选）抛物线y＝x2+bx+c经过A、B（1.0）、C（0.﹣3）三点．点D 为抛物线的顶点.连接AD、AC、BC、DC．（1）求抛物线的解析式；（2）在线段AC上找一点M.使△AOM∽△ABC.请你直接写出点M的坐标；【答案】（1）y＝x2+2x﹣3 （2）（.）【解答】解（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过B（1.0）、C（0.﹣3）.∴.解得.∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3．（2）∵△AOM∽△ABC.∴∠AOM＝∠ABC.∴OM∥BC.设直线BC的解析式为y＝mx+n.直线OM的解析式为y＝mx.∴.解得.∴直线BC的解析式为y＝3x﹣3.直线OM的解析式为y＝3x.联立.解得.∴点M的坐标为（.）；考点六：与角度有关的问题8．（2021秋•郧西县期末）如图.抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（1.0）、B（3.0）.与y 轴交于点C.连接AC.BC．（1）求抛物线的函数解析式；（2）Q为抛物线上一点.若∠ACQ＝45°.求点Q的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3 （2）Q（.）【解答】（1）把A（1.0）、B（3.0）代入y＝ax2+bx﹣3.得.解得.∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+4x﹣3．（2）如图2.点Q在抛物线上.且∠ACQ＝45°.过点A作AD⊥CQ于点D.过点D作DF⊥x轴于点F.过点C作CE⊥DF于点E.∵∠ADC＝90°.∴∠DAC＝∠DCA＝45°.∴CD＝AD.∵∠E＝∠AFD＝90°.∴∠ADF＝90°﹣∠CDE＝∠DCE.∴△CDE≌△DAF（AAS）.∴DE＝AF.CE＝DF.∵∠E＝∠OFE＝∠COF＝90°.∴四边形OCEF是矩形.∴OF＝CE.EF＝OC＝3.设DE＝AF＝n.∵OA＝1.∴CE＝DF＝OF＝n+1.∵DF＝3﹣n.∴n+1＝3﹣n.解得n＝1.∴DE＝AF＝1.∴CE＝DF＝OF＝2.∴D（2.﹣2）.设直线CQ的函数解析式为y＝px﹣3.则2p﹣3＝﹣2.解得p＝.∴直线CD的函数解析式为y＝x﹣3.由.得.（不符合题意.舍去）.∴点Q的坐标为（.）3．（2021•郴州）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位.再向上平移4个单位后.得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A.B.与y轴交于点C．已知A（﹣3.0）.点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1.点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A.C重合）.过点P作PD⊥AB.垂足为D.PD交AC于点E．作PF⊥AC.垂足为F.求△PEF的面积的最大值；（3）如图2.点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点.在抛物线H上.是否存在点P.使得以点A.P.C.Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在.求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在.说明理由．【答案】（1）y＝﹣（x+1）2+4 （2）m＝﹣时.S△PEF最大值＝×（）2＝（3）P的坐标为（2.﹣5）或（﹣4.﹣5）或（﹣2.3）【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1.4）.∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4.将A（﹣3.0）代入.得：a（﹣3+1）2+4＝0.解得：a＝﹣1.∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；（2）如图1.由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3.令x＝0.得y＝3.∴C（0.3）.设直线AC的解析式为y＝mx+n.∵A（﹣3.0）.C（0.3）.∴.解得：.∴直线AC的解析式为y＝x+3.设P（m.﹣m2﹣2m+3）.则E（m.m+3）.∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+.∵﹣1＜0.∴当m＝﹣时.PE有最大值.∵OA＝OC＝3.∠AOC＝90°.∴△AOC是等腰直角三角形.∴∠ACO＝45°.∵PD⊥AB.∴∠ADP＝90°.∴∠ADP＝∠AOC.∴PD∥OC.∴∠PEF＝∠ACO＝45°.∵PF⊥AC.∴△PEF是等腰直角三角形.∴PF＝EF＝PE.∴S△PEF＝PF•EF＝PE2.∴当m＝﹣时.S△PEF最大值＝×（）2＝；（3）①当AC为平行四边形的边时.则有PQ∥AC.且PQ＝AC.如图2.过点P作对称轴的垂线.垂足为G.设AC交对称轴于点H.则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG.在△PQG和△ACO中..∴△PQG≌△ACO（AAS）.∴PG＝AO＝3.∴点P到对称轴的距离为3.又∵y＝﹣（x+1）2+4.∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1.设点P（x.y）.则|x+1|＝3.解得：x＝2或x＝﹣4.当x＝2时.y＝﹣5.当x＝﹣4时.y＝﹣5.∴点P坐标为（2.﹣5）或（﹣4.﹣5）；②当AC为平行四边形的对角线时.如图3.设AC的中点为M.∵A（﹣3.0）.C（0.3）.∴M（﹣.）.∵点Q在对称轴上.∴点Q的横坐标为﹣1.设点P的横坐标为x.根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3.∴x＝﹣2.此时y＝3.∴P（﹣2.3）；综上所述.点P的坐标为（2.﹣5）或（﹣4.﹣5）或（﹣2.3）．1．（2021秋•长兴县月考）如图.在平面直角坐标系xOy中.抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1.0）和B（3.0）.点D为线段BC上一点.过点D作y轴的平行线交抛物线于点E.连结BE．（1）求抛物线的解析式；（2）当△BDE为直角三角形时.求线段DE的长度；（3）在抛物线上是否存在这样的点P.使得∠ACP＝45°.若存在.求出点P的坐标；若不存在.请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3 （2）DE的长度为2 （3）P（.﹣）【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1.0）和B（3.0）.∴.解得：．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3．（2）令x＝0.则y＝﹣3.∴C（0.﹣3）．设直线BC的解析式为y＝kx+n.∴.解得：．∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．∵点D为线段BC上一点.∴设D（m.m﹣3）.则点E（m.﹣m2+4m﹣3）.∴DE＝（﹣m2+4m﹣3）﹣（m﹣3）＝﹣m2+3m．∵B（3.0）.C（0.﹣3）.∴OB＝OC＝3．∴∠OBC＝∠OCB＝45°．∵DE∥y轴.∴∠EDB＝∠OCB＝45°.∴点D不可能是直角的顶点．①当点B为直角的顶点时.设DE交x轴于点F.∵∠BDE＝45°.∠EBD＝90°.∴∠DEB＝45°．∴△BED为等腰直角三角形．∴EF＝FD＝DE．∵DF＝3﹣m．∴3﹣m＝（﹣m2+3m）．解得：m＝2或3（m＝3不合题意.舍去）．∴m＝2．∴DE＝﹣22+3×2＝﹣4+6＝2．②当点E为直角顶点时.此时边EB在x轴上.点E与点A重合.∴m＝1．∴DE＝﹣12+3×1＝﹣1+3＝2．综上.当△BDE为直角三角形时.线段DE的长度为2．（3）在抛物线上存在点P.使得∠ACP＝45°.理由：∵A（1.0）.∴OA＝1．∴ABOB﹣OA＝2．∴AC＝＝．延长CP交x轴于点F.如图.由（2）知：∠OBC＝∠OCB＝45°.∴∠AFC+∠FCB＝45°．∵∠ACP＝45°.∴∠ACB+∠FCB＝∠ACP＝45°．∴∠AFC＝∠ACB．∵∠F AC＝∠CAB.∴△AFC∽△ACB．∴．∴．∴AF＝5．∴OF＝OA+AF＝6.∴F（6.0）．设直线CF的解析式为y＝dx+e.∴.解得：．∴直线FC的解析式为y＝x﹣3．∴.解得：.．∴点P的坐标为（.﹣）．2．（2021秋•新荣区月考）如图1.在平面直角坐标系中.二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1.0）.B（4.0）.与y轴交于C（0.4）．（1）求该二次函数的解析式．（2）二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点P.使得S△BOP＝6S△AOC？如果存在.请求出点P的坐标；若不存在.请说明理由．（3）如图2.D为线段BC上的一个动点.过点D作DE∥y轴.交二次函数的图象于点E.求线段DE长度的最大值．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4 （2）P（1.6）或P（2.6）（3）当m＝2时.ED有最大值4【解答】解：（1）将点A（﹣1.0）.B（4.0）.C（0.4）代入y＝ax2+bx+c.得.解得.∴y＝﹣x2+3x+4；（2）存在.理由如下：∵A（﹣1.0）.B（4.0）.C（0.4）.∴OB＝4.AO＝1.CO＝4.∴S△ACO＝×1×4＝2.∵S△BOP＝6S△AOC.∴S△BOP＝12.设P（t.﹣t2+3t+4）.∴S△BOP＝12＝×4×（﹣t2+3t+4）.解得t＝1或t＝2.∴P（1.6）或P（2.6）；（3）设直线BC的解析式为y＝kx+b.∴.解得.∴y＝﹣x+4.设D（m.﹣m+4）.则E（m.﹣m2+3m+4）.∴ED＝﹣m2+3m+4+m﹣4＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4.∵D为线段BC上的一个动点.∴0≤m≤4.∴当m＝2时.ED有最大值41．（2021•内江）如图.抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2.0）、B（6.0）两点.与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点.与y轴交于点E.点D的坐标为（4.3）．（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方.连接P A、PD.求当△P AD面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值；（3）若点Q是y轴上的点.且∠ADQ＝45°.求点Q的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+x+3,y＝x+1 （2）△P AD的面积的最大值为.P（1.）（3）Q的坐标为（0.）或（0.﹣9）【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2.0）、B（6.0）两点.∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6）.∵D（4.3）在抛物线上.∴3＝a（4+2）×（4﹣6）.解得a＝﹣.∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+x+3.∵直线l经过A（﹣2.0）、D（4.3）.设直线l的解析式为y＝kx+m（k≠0）.则.解得..∴直线l的解析式为y＝x+1；（2）如图1中.过点P作PK∥y轴交AD于点K．设P（m.﹣m2+m+3）.则K（m.m+1）．∵S△P AD＝•（x D﹣x A）•PK＝3PK.∴PK的值最大值时.△P AD的面积最大.∵PK＝﹣m2+m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣1）2+.∵﹣＜0.∴m＝1时.PK的值最大.最大值为.此时△P AD的面积的最大值为.P（1.）．（3）如图2中.将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT.则T（﹣5.6）.设DT交y轴于点Q.则∠ADQ＝45°.∵D（4.3）.∴直线DT的解析式为y＝﹣x+.∴Q（0.）.作点T关于AD的对称点T′（1.﹣6）.则直线DT′的解析式为y＝3x﹣9.设DQ′交y轴于点Q′.则∠ADQ′＝45°.∴Q′（0.﹣9）.综上所述.满足条件的点Q的坐标为（0.）或（0.﹣9）．2．（2021•西藏）在平面直角坐标系中.抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A.B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1.0）.点C的坐标为（0.5）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时.求点P的坐标；（3）图（乙）中.若点M是抛物线上一点.点N是抛物线对称轴上一点.是否存在点M使得以B.C.M.N为顶点的四边形是平行四边形？若存在.请求出点M的坐标；若不存在.请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5 （2）P（.）（3）M的坐标为：（3.8）或（﹣3.﹣16）或（7.﹣16）【解答】解：（1）将A的坐标（﹣1.0）.点C的坐（0.5）代入y＝﹣x2+bx+c得：.解得.∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；（2）过P作PD⊥x轴于D.交BC于Q.过P作PH⊥BC于H.如图：在y＝﹣x2+4x+5中.令y＝0得﹣x2+4x+5＝0.解得x＝5或x＝﹣1.∴B（5.0）.∴OB＝OC.△BOC是等腰直角三角形.∴∠CBO＝45°.∵PD⊥x轴.∴∠BQD＝45°＝∠PQH.∴△PHQ是等腰直角三角形.∴PH＝.∴当PQ最大时.PH最大.设直线BC解析式为y＝kx+5.将B（5.0）代入得0＝5k+5.∴k＝﹣1.∴直线BC解析式为y＝﹣x+5.设P（m.﹣m2+4m+5）.（0＜m＜5）.则Q（m.﹣m+5）.∴PQ＝（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m﹣）2+.∵a＝﹣1＜0.∴当m＝时.PQ最大为.∴m＝时.PH最大.即点P到直线BC的距离最大.此时P（.）；（3）存在.理由如下：抛物线y＝﹣x2+4x+5对称轴为直线x＝2.设M（s.﹣s2+4s+5）.N（2.t）.而B（5.0）.C（0.5）.①以MN、BC为对角线.则MN、BC的中点重合.如图：∴.解得.∴M（3.8）.②以MB、NC为对角线.则MB、NC的中点重合.如图：∴.解得.∴M（﹣3.﹣16）.③以MC、NB为对角线.则MC、NB中点重合.如图：.解得.综上所述.M的坐标为：（3.8）或（﹣3.﹣16）或（7.﹣16）．3．（2021•湘潭）如图.一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B.二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C.点P是对称轴上一动点.在抛物线上是否存在点Q.使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在.求出Q点坐标；若不存在.请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣（2）Q的坐标为：（1.﹣）或（﹣1.0）或（3.0）【解答】解：（1）在y＝x﹣中.令x＝0得y＝﹣.令y＝0得x＝3.∴A（3.0）.B（0.﹣）.∵二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点.∴.解得.∴二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣；（2）存在.理由如下：由二次函数y＝x2﹣x﹣可得其对称轴为直线x＝＝1.设P（1.m）.Q（n.n2﹣n﹣）.而B（0.﹣）.∵C与B关于直线x＝1对称.①当BC、PQ为对角线时.如图：此时BC的中点即是PQ的中点.即.解得.∴当P（1.﹣）.Q（1.﹣）时.四边形BQCP是平行四边形.由P（1.﹣）.B（0.﹣）.C（2.﹣）可得PB2＝＝PC2.∴PB＝PC.∴四边形BQCP是菱形.∴此时Q（1.﹣）；②BP、CQ为对角线时.如图：同理BP、CQ中点重合.可得.解得.∴当P（1.0）.Q（﹣1.0）时.四边形BCPQ是平行四边形.由P（1.0）.B（0.﹣）.C（2.﹣）可得BC2＝4＝PC2.∴四边形BCPQ是菱形.∴此时Q（﹣1.0）；③以BQ、CP为对角线.如图：BQ、CP中点重合.可得.解得.∴P（1.0）.Q（3.0）时.四边形BCQP是平行四边形.由P（1.0）.B（0.﹣）.C（2.﹣）可得BC2＝4＝PC2.∴四边形BCQP是菱形.∴此时Q（3.0）；综上所述.Q的坐标为：（1.﹣）或（﹣1.0）或（3.0）．4．（2021•济南）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1.0）.点B（3.0）.顶点为C．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）如图1.点P在抛物线上.连接CP并延长交x轴于点D.连接AC.若△DAC是以AC为底的等腰三角形.求点P的坐标；（3）如图2.在（2）的条件下.点E是线段AC上（与点A.C不重合）的动点.连接PE.作∠PEF＝∠CAB.边EF交x轴于点F.设点F的横坐标为m.求m的取值范围．【答案】（1）y= ﹣（x﹣1）2+4 ,C（1.4）（2）P（）（3）﹣1＜m≤【解答】解：（1）将点A（﹣1.0）.点B（3.0）代入y＝ax2+bx+3得：.解得：．∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4.∴顶点C（1.4）．（2）设AC交y轴于点F.连接DF.过点C作CE⊥x轴于点E.如图.∵A（﹣1.0）.C（1.4）.∴OA＝1.OE＝1.CE＝4．∴OA＝OE.AC＝＝2．∵FO⊥AB.CE⊥AB.∴FO∥CE.∴OF＝CE＝2.F为AC的中点．∵△DAC是以AC为底的等腰三角形.∴DF⊥AC．∵FO⊥AD.∴△AFO∽△FDO．∴．∴．∴OD＝4．∴D（4.0）．设直线CD的解析式为y＝kx+m.∴.解得：．∴直线CD的解析式为y＝﹣．∴.解得：.．∴P（）．（3）过点P作PH⊥AB于点H.如下图.则OH＝.PH＝.∵OD＝4.∴HD＝OD﹣OH＝.∴PD＝＝．∴PC＝CD﹣PD＝5﹣＝．由（2）知：AC＝2．设AF＝x.AE＝y.则CE＝2﹣y．∵DA＝DC.∴∠DAC＝∠C．∵∠CAB+∠AEF+∠AFE＝180°.∠AEF+∠PEF+∠CEP＝180°.又∵∠PEF＝∠CAB.∴∠CEP＝∠AFE．∴△CEP∽△AFE．∴．∴．∴x＝﹣+y＝﹣+．∴当y＝时.x即AF有最大值．∵OA＝1.∴OF的最大值为﹣1＝．∵点F在线段AD上.∴点F的横坐标m的取值范围为﹣1＜m≤．1．（2021•宝鸡模拟）如图.已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1.0）和B.与y轴交于点C（0.3）．（1）求此抛物线的解析式及点B的坐标；（2）设抛物线的顶点为D.连接CD、DB、CB、AC．①求证：△AOC∽△DCB；②在坐标轴上是否存在与原点O不重合的点P.使以P、A、C为顶点的三角形与△DCB 相似？若存在.请直接写出点P的坐标；若不存在.请说明理由．【答案】（1）B（3.0）（2）①略.②点P的坐标为（9.0）或（0.﹣）．【解答】解：（1）把A（﹣1.0）、C（0.3）代入y＝﹣x2+bx+c.得.解得.∴此抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3.当y＝0时.则﹣x2+2x+3＝0.解得x1＝﹣1.x2＝3.∴B（3.0）．（2）①如图1.∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4.∴抛物线的顶点D的坐标为（1.4）.∵B（3.0）.C（0.3）.∴CD2＝12+（4﹣3）2＝2.CB2＝32+32＝18.BD2＝（3﹣1）2+42＝20.∴CD2+CB2＝BD2＝20.∴△DCB是直角三角形.且∠DCB＝90°.∴∠AOC＝∠DCB＝90°.∵CD＝.CB＝＝3.OA＝1.OC＝3.∴＝＝.＝＝.∴＝.∴△AOC∽△DCB．②存在.如图2.点P在x轴上.△COP∽△DCB.且∠COP＝∠DCB＝90°.∠OPC＝∠CBD.∴＝.∴OP＝＝＝9.∴P（9.0）；如图3.点P在y轴上.△P AC∽△DCB.且∠P AC＝∠DCB＝90°.∠ACP＝∠CBD.∴.∵AC＝＝＝.BD＝＝.∴CP＝＝＝.∴OP＝﹣3＝.∴P（0.﹣）.综上所述.点P的坐标为（9.0）或（0.﹣）．2．（2021•中山市模拟）如图.抛物线y＝﹣x﹣3与x轴交于A.B两点（点A在点B的左侧）.与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A.D两点.与y轴交于点E.点D的坐标为（4.﹣3）．（1）请直接写出A.B两点的坐标及直线l的函数表达式；（2）若点P是抛物线上的点.点P的横坐标为m（m≥0）.过点P作PM⊥x轴.垂足为M．PM 与直线l交于点N.当点N是线段PM的三等分点时.求点P的坐标；（3）若点Q是y轴上的点.且∠ADQ＝45°.求点Q的坐标．【答案】（1）y＝﹣x﹣1 （2）P的坐标为（3.﹣）或（0.﹣3）（3）点Q的坐标为（0.9）或（0.﹣）【解答】解：（1）令y＝0.得y＝x2﹣x﹣3＝0.解得.x＝﹣2.或x＝6.∴A（﹣2.0）.B（6.0）.设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0）.则.解得..∴直线l的解析式为y＝﹣x﹣1；（2）如图1.根据题意可知.点P与点N的坐标分别为P（m.m2﹣m﹣3）.N（m.﹣m ﹣1）.∴PM＝﹣m2+m+3.MN＝m+1.NP＝﹣m2+m+2.分两种情况：①当PM＝3MN时.得﹣m2+m+3＝3（m+1）.解得.m＝0.或m＝﹣2（舍）.∴P（0.﹣3）；②当PM＝3NP时.得﹣m2+m+3＝3（﹣m2+m+2）.解得.m＝3.或m＝﹣2（舍）.∴P（3.﹣）；∴综上所述：P的坐标为（3.﹣）或（0.﹣3）；（3）∵直线l：y＝﹣x﹣1与y轴交于点E.∴点E的坐标为（0.﹣1）.分两种情况：①如图2.当点Q在y轴的正半轴上时.记为点Q1.过Q1作Q1H⊥AD于点H.则∠Q1HE＝∠AOE＝90°.∵∠Q1EH＝∠AEO.∴△Q1EH∽△AEO.∴.即.∴Q1H＝2HE.∵∠Q1DH＝45°.∠Q1HD＝90°.∴Q1H＝DH.∴DH＝2EH.∴HE＝ED.连接CD.∵C（0.﹣3）.D（4.﹣3）.∴CD⊥y轴.∴ED＝＝＝2.∴HE＝ED＝2.Q1H＝2EG＝4.∴Q1E＝＝10.∴Q1O＝Q1E﹣OE＝9.∴Q1（0.9）；②如图3.当点Q在y轴的负半轴上时.记为点Q2.过Q2作Q2G⊥AD于G.则∠Q2GE＝∠AOE＝90°.∵∠Q2EG＝∠AEO.∴△Q2GE∽△AOE.∴.即.∴Q2G＝2EG.∵∠Q2DG＝45°.∠Q2GD＝90°.∴∠DQ2G＝∠Q2DG＝45°.∴DG＝Q2G＝2EG.∴ED＝EG+DG＝3EG.由①可知.ED＝2.∴3EG＝2.∴EG＝.∴Q2G＝.∴EQ2＝＝.∴OQ2＝OE+EQ2＝.∴Q2（0.﹣）.综上.点Q的坐标为（0.9）或（0.﹣）．3．（2020•长春模拟）如图.抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1.0）、B（3.0）（点A在点B的左边）.与y轴交于点C.过点C作CD∥x轴.交抛物线于点D.过点D作DE∥y轴.交直线BC于点E.点P在抛物线上.过点P作PQ∥y轴交直线CE于点Q.连接PB.设点P 的横坐标为m.PQ的长为d．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）当0＜m＜4时.求d关于m的函数关系式；（4）当△PQB是等腰三角形时.直接写出m的值．【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3 （2）y＝x﹣3（3）当0＜m＜3时.PQ＝﹣m2+3m.当3≤m＜4时.PQ＝m2﹣3m；（4）m＝1或2或±【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1.0）、B（3.0）.∴解得：∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；（2）∵抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与y轴交于点C.∴点C（0.﹣3）设直线BC解析式为：y＝kx﹣3.∴0＝3k﹣3∴k＝1.∴直线BC解析式为：y＝x﹣3；（3）∵设点P的横坐标为m.PQ∥y轴.∴点P（m.﹣m2+4m﹣3）.点Q（m.m﹣3）.当0＜m＜3时.PQ＝d＝﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）＝﹣m2+3m.当3≤m＜4时.PQ＝d＝（m﹣3）﹣（﹣m2+4m﹣3）＝m2﹣3m；（4）B（3.0）.点C（0.﹣3）.∴OB＝OC＝3.∴∠OCB＝∠OBC＝45°.∵PQ∥OC.∴∠PQB＝45°.若BP＝PQ.∴∠PQB＝∠PBQ＝45°.∴∠BPQ＝90°.即点P与点A重合.∴m＝1.若BP＝QB.∴∠BQP＝∠BPQ＝45°.∴∠QBP＝90°.∴BP解析式为：y＝﹣x+3.∴解得：.∴m＝2；若PQ＝QB.∴（3﹣m）2+（m﹣3﹣0）2＝（﹣m2+3m）2.或（3﹣m）2+（m﹣3﹣0）2＝（m2﹣3m）2.∴m＝±.综上所述：m＝1或2或±4．（2021•黄冈二模）如图.抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0）与x轴交于点A（﹣1.0）和点B（2.0）.与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）如图1.连接BC.点D是直线BC上方抛物线上的点.连接OD、CD.OD交BC于点F.当S△COF：S△CDF＝2：1时.求点D的坐标；（3）如图2.点E的坐标为（0.﹣1）.在抛物线上是否存在点P.使∠OBP＝2∠OBE？若存在.请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在.请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2 （2）D（1.2）（3）点P的坐标为（）或（﹣）【解答】解：（1）∵A（﹣1.0）.B（2.0）.∴把A（﹣1.0）.B（2.0）代入y＝ax2+bx+2得..解得..∴该抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）如图1.过点D作DH∥y轴交BC于点H.交x轴于点G.∵抛物线y＝﹣x2+x+2与y轴交于点C.设直线BC解析式为y＝kx+b.则.解得.∴直线BC解析式为y＝﹣x+2.∵S△COF：S△CDF＝2：1.∴OF：DF＝2：1.∵DH∥OC.∴△OFC∽△DFH.∴＝2.∴OC＝2DH.设D（a.﹣a2+a+2）.则H（a.﹣a+2）.∴DH＝﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）＝﹣a2+2a.∴2＝2（﹣a2+2a）.解得a＝1.∴D（1.2）．（3）①当点P在x轴上方时.在y轴上取点G（0.1）.连接BG.则∠OBG＝∠OBE.过点B作直线PB交抛物线于点P.交y轴于点M.使∠GBM＝∠GBO.则∠OBP＝2∠OBE.过点G作GH⊥BM.∵E（0.﹣1）.∴OE＝OG＝GH＝1.设MH＝x.则MG＝.在Rt△OBM中.OB2+OM2＝MB2.∴（+1）2+4＝（x+2）2.解得：x＝.故MG＝＝＝.∴OM＝OG+MG＝1+＝.∴点M（0.）.将点B（2.0）、M（0.）的坐标代入一次函数表达式y＝mx+n..解得：.∴直线BM的表达式为：y＝﹣x+.∴.解得：x＝或x＝2（舍去）.∴点P（.）；②当点P在x轴下方时.作点M（0.）关于x轴的对称点N（0.﹣）.求得直线BN的解析式为y＝x﹣.∴.解得.x＝﹣或x＝2（舍去）.∴点P（﹣.﹣）；综合以上可得.点P的坐标为（）或（﹣）．5．（2021•阳东区模拟）如图.已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1.0）.与y轴相交于点N（0.3）.抛物线的顶点为D.经过点A的直线y＝kx+1与抛物线y＝﹣x2+bx+c 相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点.设点P的横坐标为t.过点P作y轴的平行线交AC于M.当t为何值时.线段PM的长最大.并求其最大值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B.E为直线AC上的任意一点.过点E作EF ∥BD交抛物线于点F.以B.D.E.F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能.请直接写出点E的坐标；若不能.请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 （2）t＝时.线段PM的长最大.PM最大值＝（3）E的坐标为（0.1）或（.）或（.）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线相交于A（﹣1.0）.N（0.3）两点.∴.解得.∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1.将A（﹣1.0）代入直线AC的解析式为y＝kx+1.得﹣k+1＝0.解得k＝1.∴直线AC：y＝x+1.∵点P的横坐标为t.且PM∥y轴.∴P（t.﹣t2+2t+3）.M（t.t+1）.∵点P在直线AC上方的抛物线上.∴﹣1＜t＜3.∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（t+1）＝﹣t2+t+2＝﹣（t﹣）2+.∵﹣1＜0.且﹣1＜＜3.∴当t＝时.线段PM的长最大.PM最大值＝；（3）能．设点E的横坐标为t.则点F的横坐标为t.当﹣1＜t＜3.如图2.由（2）得.EF＝﹣t2+t+2；∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4.∴该抛物线的对称轴为直线x＝1.顶点D的坐标为（1.4）.直线AC：y＝x+1.当x＝1时.y＝2.∴B（1.2）.∴BD＝4﹣2＝2.∵EF∥BD.∴当EF＝BD＝2时.四边形BDNG是平行四边形.∴﹣t2+t+2＝2.解得t1＝0.t2＝1（不符合题意.舍去）.对于直线y＝x+1.当x＝0时.y＝1.∴E（0.1）；当x＜﹣1或x＞3时.如图3.EF∥BD或E′F′∥BD.则EF＝（t+1）﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣2.∴t2﹣t﹣2＝2.解得t1＝.t2＝.直线y＝x+1.当x＝时.y＝；当x＝时.y＝.∴E（.）.E′（.）.综上所述.点E的坐标为（0.1）或（.）或（.）．。
中考压轴题-二次函数综合(八大题型+解题方法)——冲刺2024年中考数学考点押题(全国通用)(解析)
中考压轴题-二次函数综合 （八大题型+解题方法）1、求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K ,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离; 方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5、常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6、“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7、三角形周长的“最值最大值或最小值”问题：① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题：由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解;8、三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”：方法1：先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式= 12底×高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2：过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到）（）（左（定）右（定）下（动）上（动）动三角形x x y y 21−⋅−=S ,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;②“三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9、“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点,,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题： 有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11、“两个三角形相似”的问题： 两个定三角形是否相似：（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例 若成比例,则相似;否则不相似;（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似：（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;12、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况；若某边为腰,有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1 若为-1,则就说明所求交点合题；反之,舍去;17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口;18、“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或ｙ轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19、“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论：1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离：点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ; 3两点间的距离公式：若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=目录：题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：定值问题 题型4：定点问题题型5：动点问题综合 题型6：对称问题 题型7：新定义题 题型8：二次函数与圆题型1：存在性问题1．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于()4,0A −，B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求四边形AOCP 的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)234y x x =−−+；(2)四边形AOCP 的面积最大为16；(3)点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++，求出b 和c 的值，即可得出函数解析式； （2）易得182AOCSOA OC =⋅=，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，求出24PQ t t =−−，则()()212282ACP C A S PQ x x t =⋅−=−++，根据四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCS St =+=−++，结合二次函数的增减性，即可解答；（3）设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点之间距离公式得出232AC =，22254AM m =+，229(4)4CM m =+−，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】（1）解：把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++得：01644b c c =−−+⎧⎨=⎩，解得：34b c =−⎧⎨=⎩，∴该二次函数的解析式234y x x =−−+；（2）解：∵()4,0A −，()0,4C ，∴4,4OA OC ==，∴1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△，设直线AC 的解析式为4y kx =+， 代入()4,0A −得，044k =−+，解得1k =，∴直线AC 的解析式为4y x =+， 设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，∴()223444PQ t t t t t=−−+−+=−−∴()()()22114422822ACPC A SPQ x x t t t =⋅−=−−⨯=−++，∴四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCSSt =+=−++，∵20−<，∴当2t =−时，四边形AOCP 的面积最大为16； （3）解：设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，∵()4,0A −，()0,4C ，∴2224432AC =+=，2222325424AM m m ⎛⎫=−++=+ ⎪⎝⎭，()()2222394424CM m m ⎛⎫=−+−=+− ⎪⎝⎭，当斜边为AC 时，AM CM AC 222+=，即()2225943244m m +++−=，整理得：24150m m ++=，无解；当斜边为AM 时，222AC CM AM +=，即2292532(4)44m m ++−=+，解得：112m =；∴311,22M ⎛⎫− ⎪⎝⎭当斜边为CM 时，222AC AM CM +=，即2225932(4)44m m ++=+−， 解得：52m =−；∴35,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭综上：点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．2．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+−≠与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0−，且OC OB =，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a ，b 的值和直线AD 的解析式；(2)直线AD 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PH AD ⊥于点H ，作PM 平行于y 轴交直线AD 于点M ，交x 轴于点E ，求PHM 的周长的最大值；(3)在（2）的条件下，如图2，在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)1a =，3b =−，=1y x −−(2)4+(3)存在，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM 的长与a 的函数关系式是解题的关键．（1）先求得C 的坐标，从而得到点B 的坐标，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将点C 的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点()3,4D −，然后可求得直线AD 的解析式=1y x −−；（2）求得45BAD ∠=︒，接下来证明PMD △为等腰直角三角形，所当PM 有最大值时三角形的周长最大，设()2,34P a a a −−，()1M a −−，则223PM aa =−++，然后利用配方可求得PM 的最大值，最后根据MPH△的周长(1PM=求解即可；（3）当90EGN ∠=︒时，如果OA EG OC GN = 或OA GNOC EN =时，则AOC ∽EGN △，设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−，则1EG a =−，234NG aa =−++，然后根据题意列方程求解即可．【解析】（1）点A 的坐标为()1,0−，1OA ∴=．令0x =，则4y =−，()0,4C ∴−，4OC =，OC OB =Q ， 4OB ∴=，()4,0B ∴，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将0x =，4y =−代入得：44a −=−，解得1a =，∴抛物线的解析式为234y x x =−−；1a ∴=，3b =−； 抛物线的对称轴为33212x −=−=⨯，()0,4C −，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，()3,4D ∴−；设直线AD 的解析式为y kx b =+．将()1,0A −、()3,4D −代入得：034k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得1k =−，1b =-，∴直线AD 的解析式=1y x −−；（2）直线AD 的解析式=1y x −−，∴直线AD 的一次项系数1k =−，45BAD ∴∠=︒． PM 平行于y 轴，90AEP ∴∠=︒，45PMH AME ∴∠=∠=︒．MPH ∴的周长(122PM MH PH PM MP PM PM =++=++=． 设()2,34P a a a −−，则(),1M a a −−， 则()22213423(1)4PM a a a a a a =−−−−−=−++=−−+．∴当1a =时，PM 有最大值，最大值为4．MPH ∴的周长的最大值(414=⨯=+（3）在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似；理由如下：设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−①如图2.1，若OA EG OC GN = 时，AOC ∽EGN △． 则 211344a a a −=−++，整理得：280a a +−=．得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭； ②如图2.2，若OA GN OC EN =时，AOC ∽NGE ，则21434a a a −=−++，整理得：2411170a a −−=，得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭， 综上所述，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭． 3．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作PE x 轴交抛物线于点E，求4+PD PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)点C 关于抛物线对称轴对称的点为Q ，将抛物线沿射线CAy '，新抛物线y '与y 轴交于点M ，新抛物线y '的对称轴与x 轴交于点N ，连接AM ，MN ，点R 在直线BC 上，连接QR ．当QR 与AMN 一边平行时，直接写出点R 的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程．【答案】(1)2y x x =++(2)当154t =时，PE的最大值，15,416P ⎛ ⎝⎭， (3)R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求得2y x =2x =，过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，利用勾股定理求得BC ==DPF OBC ∽，得PF DP BC OB =即PF PD=，从而得PF =，求出设直线BC的解析式后，设2,P t ⎛+ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，从而2PF =+，当点P在E 点右侧时()424PE t t t =−−=−，从而得2154t ⎫=−⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求解；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，同理可求．然后比较4+PE 的最大值即可得出答案. （3）先求得1OA=，OC AC =设抛物线2y =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，得1OA OC AC WP HW PH ====，进而得平移后的抛物线2y x +'=，从而求得()1,0N，M ⎛ ⎝⎭，然后分QR AM ∥，QR MN ∥，QR AN ∥三种情况，利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解．【解析】（1）解：∵抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B 两点，代入坐标得：02550a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为255y x x =−++（2）解：∵)2225555y x x x =−+=−−+，∴2y x =2x=，顶点为⎛ ⎝⎭ 过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，当0x =时，200y =∴(C ∵()5,0B ∴BC ==∵PG x ⊥轴，PD BC ⊥，x 轴y ⊥轴，∴909090CBO BFG DPF PFD PDF BOC ∠∠∠∠∠∠+=︒+=︒==︒，，∵PFD BFG ∠∠=∴DPF CBO ∠∠=∴DPF OBC ∽，∴PF DP BC OB =即PF PD =，∴PF PD =∴44+PD PE =PF +PE ，设直线BC ：y kx b =+，把(C ，()5,0B 代入得：05k b b =+⎧⎪=，解得5k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC：y =设2,P t ⎛ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，∴22PF ⎛⎛=−+=+ ⎝⎝，∵2y x =2x =，PE x 轴，∴24,E t ⎛−+ ⎝当点P 在E 点右侧时：()424PE t t t =−−=−，当24PE t =−时：∴+PD PE =PF +()221524545416t t ⎛⎫=−+−=−−+ ⎪⎝⎭ ∴当154t =时，的最大值∴2151544⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴154P ⎛ ⎝⎭； 当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，∴+PD PE =PF +()225424t t ⎫=−=−⎪⎝⎭， ∴当54t =时，的最大值．2,55P t ⎛−+ ⎝∴25544⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5,416P ⎛ ⎝⎭，∵> 综上所诉，当点P 在E 点右侧时：即154t =时，的最大值，154P ⎛ ⎝⎭， （3）解：设直线AC ：y mx n =+，把()1,0A −，(C ， ∴1OA =，OC =∴AC ==设抛物线2y x =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ， 过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，∴1OA OC AC WP HW PH ====∴1PW =，HW=∴21,5P ⎛−⎝即1,5P ⎛ ⎝⎭，∴平移后的抛物线)22155555y x x x =−−+=−++'， ∴()1,0N令0x =，y '=，∴M ⎛ ⎝⎭ 如图，当QR AM ∥时，设直线AM 的解析式为：y px q =+，把M ⎛ ⎝⎭，()1,0A −代入得：0p q q =−+⎧=解得p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AM的解析式为：y =， ∴设直线QR的解析式为：y x n =∵(C ，Q 和C 关于2x =对称，∴(Q把(Q代入5y x n =+45n +，解得n =，∴直线QR的解析式为：y = 联立直线QR的解析式y =与直线BC：y x =+55y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴R ⎛ ⎝⎭ 同理可得：当QR MN ∥时，6,5R ⎛− ⎝⎭ 当QR AN ∥时，(R所有符合条件的R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，抛物线的性质，抛物线平移，一次函数的平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键．题型2：最值问题4．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作MP x ⊥轴于点P ，交抛物线于点N ． （ⅰ）如图1，当3PA PB=时，求线段MN 的长； （ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接AM ，QN ，QP ，使得PQN V 与APM △的面积相等，当线段NQ 的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．【答案】(1)1a =，2b =−(2)（ⅰ）2MN =；（ⅱ）m 的值为32或12【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）（ⅰ）先计算BC 的解析式，然后设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+，根据题意得到方程133m m +=−求出m 值，即可求出MN 的长；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，然后分为点Q 在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．【解析】（1）由题意得309330a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，解得12a b =⎧⎨=−⎩；（2）（ⅰ）当0x =时，3y =−，∴()0,3C −，设直线BC 为3y kx =−，∵点()3,0B ，∴330k −=，解得1k =，∴直线BC 为3y x =−，设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+， ∵3PA PB =， ∴133m m +=−，解得2m =，经检验2m =符合题意，当2m =时，222233y =−⨯−=−， ∴3PN =，31PM PB m ==−=，∴2MN =；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，PQN V 的面积为()21232m m QR −++⋅，APM △的面积为()()1312m m −+，∴()()()211233122m m QR m m −++⋅=−+，解得1QR =；当点Q 在PN 的左侧时，如图1，Q 点的横坐标为1m QR m −=−，纵坐标为()()2212134m m m m −−⨯−−=−，∴R 点的坐标为()2,4m mm−，∵N 点坐标为()2,23m mm −−，∴32RN m =−，∴()22231NQ m =−+，∴当32m =时，NQ 取最小值；当点Q 在PN 的右侧时，如图2，Q 点的横坐标为1m QR m +=+，纵坐标为()()2212134m m m +−⨯+−=−，∴R 点的坐标为()2,4m m−，∵N 点的坐标为()2,23m mm −−，∴21RN m =−， ∴()222211NQ m =−+，∴当12m =时，NQ 取最小值．综上，m 的值为32或12．。
中考数学二次函数和几何综合汇编经典和答案解析1
中考数学二次函数和几何综合汇编经典和答案解析1一、二次函数压轴题1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =++>与x 轴相交于()()1, 0, 3, 0A B -两点，点C 为抛物线的顶点．点(0,)M m 为y 轴上的动点，将抛物线绕点M 旋转180︒，得到新的抛物线，其中B C 、旋转后的对应点分别记为’'B C 、．（1）若1a =，求原抛物线的函数表达式；（2）在（1）条件下，当四边形''BCB C 的面积为40时，求m 的值；（3）探究a 满足什么条件时，存在点M ，使得四边形' 'BCB C 为菱形?请说明理由．2．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，()2,0A -，()4,0B ，直线l 是抛物线的对称轴，在直线l 右侧的抛物线上有一动点D ，连接AD ，BD ，BC ，CD ．（1）求抛物线的函数表达式：（2）若点D 在x 轴的下方，当BCD △的面积是92时，求ABD △的面积；（3）在直线l 上有一点P ，连接AP ，CP ，则AP CP 的最小值为______；（4）在（2）的条件下，点M 是x 轴上一点，点N 是抛物线上一动点，是否存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于A （﹣12，0），B （2，0）两点，与y 轴交于点C （0，1）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第一象限内抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，求DEAE的最大值；（3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线l ∥BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点．试探究：在第四象限内是否存在这样的点P ，使△BPQ ∽△CAB ．若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣8与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ． （1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．5．小明结合自己的学习经验，对新函数y ＝21b kx +的解析式、图象、性质及应用进行探究：已知当x ＝0时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝1．（1）函数解析式探究：根据给定的条件，可以确定由该函数的解析式为： ． （2）函数图象探究：①根据解析式，补全如表，则m ＝ ，n ＝ ．②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象． x …… ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣12 0121 2 n 4 ……y……21715 25m85285 12515 217…… （3）函数性质探究：请你结合函数的解析式及所画图象，写出该函数的一条性质： ．（4）综合应用：已知函数y ＝|715x ﹣815|的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|715x ﹣815|≤21bkx +．6．如果抛物线C 1：2y ax bx c =++与抛物线C 2：2y ax dx e =-++的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C 2是C 1的“对顶”抛物线．（1）求抛物线247y x x =-+的“对顶”抛物线的表达式；（2）将抛物线247y x x =-+的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线247y x x =-+形成两个交点M 、N ，记平移前后两抛物线的顶点分别为A 、B ，当四边形AMBN 是正方形时，求正方形AMBN 的面积．（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C 1与C 2的顶点位于x 轴上，那么系数b 与d ，c 与e 之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系．7．某校九年级数学兴趣社团的同学们学习二次函数后，有兴趣的在一起探究“函数2||y x x =-的有关图象和性质”．探究过程如下：（1）列表：问m =______． x …3- 2- 1- 0 1 2 122…y (6)20 0 2 m…（2）请在平面直角坐标系中画出图象．（3）若方程2||x x p -=（p 为常数）有三个实数根，则p =______．（4）试写出方程2||x x p -=（p 为常数）有两个实数根时，p 的取值范围是______． 8．定义：如果一条直线把一个封闭的平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条中分线．如三角形的中线所在的直线是三角形的一条中分线．（1）按上述定义，分别作出图1，图2的一条中分线．（2）如图3，已知抛物线2132y x x m =-+与x 轴交于点(2,0)A 和点B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．①求m 的值和点D 的坐标；②探究在坐标平面内是否存在点P ，使得以A ，C ，D ，P 为顶点的平行四边形的一条中分线经过点O ．若存在，求出中分线的解析式；若不存在，请说明理由．9．已知抛物线()2n n n y x a b =--+（n 为正整数，且120n a a a ≤<<<）与x 轴的交点为(0,0)A 和()1,0,2n n nn A c c c -=+．当1n =时，第1条抛物线()2111=--+y x a b 与x 轴的交点为(0,0)A 和1(2,0)A ，其他以此类推． （1）求11,a b 的值及抛物 线2y 的解析式．（2）抛物线n y 的顶点n B 的坐标为（_______，_______）；以此类推，第(1)n +条抛物线1n y +的顶点1n B +的坐标为（______，_______）；所有抛物线的顶点坐标(,)x y 满足的函数关系式是_________． （3）探究以下结论：①是否存在抛物线n y ，使得△n n AA B 为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线n y 的解析式；若不存在，请说明理由．②若直线(0)=>x m m 与抛物线n y 分别交于点12,,,n C C C ，则线段12231,,,n n C C C C C C -的长有何规律？请用含有m 的代数式表示．10．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a x 2+b x+3经过A(1，0) 、B(－3，0)两点，与y 轴交于点C ．直线BC 经过B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1，请探究在平移的过程中是否存在点 O 1落在抛物线上的情形，若存在，求出点O 1的坐标，若不存在，说明理由；（3）如图2，设抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，连结AC ，请探究在抛物线上是否存在一点F ，使直线EF ∥AC ，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由．二、中考几何压轴题11．如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，,GE BC ⊥垂足为点,E GF CD ⊥，垂足为点F ．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形；②推断：AGBE的值为_ _； （2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转a 角)045(a ︒<<︒，如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：若24AB EC ==，正方形CEGF 在绕点C 旋转过程中，当A E G 、、三点在一条直线上时，则BE = ．12．我们定义：连结凸四边形一组对边中点的线段叫做四边形的“准中位线”．（1）概念理解：如图1，四边形ABCD 中，F 为CD 的中点，90ADB ∠=︒，E 是AB 边上一点，满足DE AE =，试判断EF 是否为四边形ABCD 的准中位线，并说明理由．（2）问题探究：如图2，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，动点E 以每秒1个单位的速度，从点A 出发向点C 运动，动点F 以每秒6个单位的速度，从点C 出发沿射线CB 运动，当点E 运动至点C 时，两点同时停止运动．D 为线段AB 上任意一点，连接并延长CD ，射线CD与点,,,A B E F 构成的四边形的两边分别相交于点,M N ，设运动时间为t ．问t 为何值时，MN 为点,,,A B E F 构成的四边形的准中位线．（3）应用拓展：如图3，EF 为四边形ABCD 的准中位线，AB CD =，延长FE 分别与BA ，CD 的延长线交于点,M N ，请找出图中与M ∠相等的角并证明． 13．几何探究： （问题发现）（1）如图1所示，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等边三角形，BD 、CE 的关系是_______（选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）（类比探究）（2）如图2所示，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的含有30角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说明理由； （拓展延伸）（3）如图3所示，△ADE 和△ABC 是有公共顶点且相似比为1 : 2的两个等腰直角三角形，将△ADE 绕点A 自由旋转，若22BC =，当B 、D 、E 三点共线时，直接写出BD 的长．14．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．（问题理解）(1)如图1，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，连接AD 、CD ． 求证：四边形ABCD 是等补四边形；（拓展探究）(2)如图2，在等补四边形ABCD 中，AB ＝AD ，连接AC ，AC 是否平分∠BCD ？请说明理由； （升华运用）(3)如图3，在等补四边形ABCD 中，AB ＝AD ，其外角∠EAD 的平分线交CD 的延长线于点F ．若CD ＝6，DF ＝2，求AF 的长． 15．综合与实践 操作探究（1）如图1，将矩形ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，AC 与EF 交于点G ．请回答下列问题：①与AEG △全等的三角形为______，与AEG △相似的三角形为______．并证明你的结论：（相似比不为1，只填一个即可）：②若连接AF 、CE ，请判断四边形AFCE 的形状：______．并证明你的结论； 拓展延伸（2）如图2，矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，点M 、N 分別在AB 、DC 边上，且AM NC =，将矩形折叠，使点M 与点N 重合，折痕为EF ，MN 与EF 交于点G ，连接ME ．①设22m AM AE =+，22n ED DN =+，则m 与n 的数量关系为______； ②设AE a =，AM b =，请用含a 的式子表示b ：______； ③ME 的最小值为______．16．综合与实践．特例感知．两块三角板△ADB 与△EFC 全等，∠ADB ＝∠EFC ＝90°，∠B ＝45°，AB ＝6．将直角边AD 和EF 重合摆放．点P 、Q 分别为BE 、AF 的中点，连接PQ ，如图1．则△APQ 的形状为 ．操作探究（1）若将△EFC 绕点C 顺时针旋转45°，点P 恰好落在AD 上，BE 与AC 交于点G ，连接PF ，如图2． ①FG ：GA ＝ ；②PF 与DC 的位置关系为 ； ③求PQ 的长； 开放拓展（2）若△EFC 绕点C 旋转一周，当AC ⊥CF 时，∠AEC 为 ． 17．综合与实践动手实践：一次数学兴趣活动，张老师将等腰Rt AEF 的直角顶点A 与正方形ABCD 的顶点A 重合（AE AD >），按如图（1）所示重叠在一起，使点E 在CD 边上，连接BF ．则可证：ADE ≌△△______，______三点共线；发现问题：（1）如图（2），已知正方形ABCD ，E 为DC 边上一动点，DC nDE =，AF AE ⊥交CB 的延长线于F ，连结EF 交AB 于点G ．若2n =，则AG BG =______，AGE BGFS S =△△______； 尝试探究：（2）如图（3），在（1）的条件下若3n =，求证：5AG GB =；拓展延伸：（3）如图（4），在（1）的条件下，当n =______时，AG 为GB 的6倍（直接写结果，不要求证明）． 18．综合与实践数学活动课上，老师让同学们结合下述情境，提出一个数学问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，四边形BEDF 是矩形．探究展示：“兴趣小组”提出的问题是：“如图2，连接CE ．求证：AE ⊥CE ．”并展示了如下的证明方法：证明：如图3，分别连接AC ，BD ，EF ，AF ．设AC 与BD 相交于点O ． ∵四边形ABCD 是正方形，∴OA =OC =12AC ，OB =OD =12BD ，且AC =BD ． 又∵四边形BEDF 是矩形，∴EF经过点O，∴OE=OF=1EF，且EF=BD．2∴OE=OF，OA=OC．∴四边形AECF是平行四边形．（依据1）∵AC=BD，EF=BD，∴AC=EF．∴四边形AECF是矩形．（依据2）∴∠CEA=90°，即AE⊥CE．反思交流：（1）上述证明过程中“依据1”“依据2”分别是什么？拓展再探：（2）“创新小组”受到“兴趣小组”的启发，提出的问题是：“如图4，分别延长AE，FB交于点P，求证：EB=PB．”请你帮助他们写出该问题的证明过程．（3）“智慧小组”提出的问题是：若∠BAP=30°，AE=31，求正方形ABCD的面积．请你解决“智慧小组”提出的问题．19．（1）问题发现如图1，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，直线BD，CE交于点F，直线BD，AC交于点G．则线段BD和CE的数量关系是，位置关系是；（2）类比探究如图2，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，直线BD，CE交于点F，AC与BD相交于点G．若AB＝kAC，试判断线段BD和CE的数量关系以及直线BD和CE相交所成的较小角的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3.0），点N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转90得到线段MP，连接NP，OP．请直接写出线段OP 长度的最小值及此时点N的坐标．20．如图，已知ABC和ADE均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当60ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠＝ °，线段BD 、CE 之间的数量关系是 ；（2）拓展探究：如图②，当90ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，请判断CEB ∠的度数及线段BD 、CE 之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，90ACB AED ∠∠︒＝＝，25AC ＝，AE ＝2，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、二次函数压轴题1．B解析：（1）2 23;y x x =--（2）416m m ==-或；（3）3a ≥M ，使得四边形''BCB C 为菱形，理由见解析【分析】（1）因为1a =，所以2y x bx c =++，将()()1, 0, 3, 0A B -代入得关于b 和c 的二元一次方程组，解方程组得到b 和c 即可求得原抛物线的解析式；（2）连接','CC BB ，延长BC 与y 轴交于点E ，根据题（1）可求出点B 、C 的坐标，继而求出直线BC 的解析式及点E 的坐标，根据题意易知四边形''BCB C 是平行四边形，继而可知()1312BCM MBE MCE S S S ME ME ∆∆∆=-=⨯-⨯=，由此可知ME ＝10，继而即可求解点M 的坐标；（3）如图，过点C 作CD y ⊥轴于点D ，当平行四边形''BCB C 为菱形时，应有MB MC ⊥，故点M 在,O D 之间，继而可证MOB CDM ∆∆，根据相似三角形的性质可得MO MD BO CD •=•代入数据即可求解．【详解】解：（1）∵1a =，∴2y x bx c =++将()()1, 0, 3, 0A B -代入得：10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩解得：23b c =-⎧⎨=-⎩∴原抛物线的函数表达式为：2 23y x x =--；（2）连接','CC BB ，并延长BC 与y 轴交于点E ，二次函数2 23y x x =--的项点为(1,4,)-()1,4,C ∴-()3, 0,B∴直线BC 的解析式为： 2 6.y x =--()0,6E ∴-抛物线绕点M 旋转180︒','MB MB MC MC ==∴四边形''BCB C 是平行四边形，()1312BCM MBE MCE S S S ME ME ∆∆∆∴=-=⨯-⨯= 10ME416m m ∴==-或（3）如图，过点C 作CD y ⊥轴于点D当平行四边形''BCB C 为菱形时，应有MB MC ⊥，故点M 在,O D 之间，当MB MC ⊥时，MOB CDM ∆∆，MO BO CD MD∴= 即MO MD BO CD •=•二次函数()()13y a x x =+-的顶点为()()()1,4,0,,3,0a M m B - 1,,4,3CD MO m MD m a ON ∴==-=+=，()43m m a ∴-+=，∴2430m am ，216120,0a a ∆-≥>a ∴≥所以a ≥M ，使得四边形''BCB C 为菱形．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到平行四边形的性质、菱形的性质，难度较大，解题的关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质及二次函数的性质，注意挖掘题目中的隐藏条件．2．A解析：（1）233642y x x =--；（2）454；（3）134）存在，点N 的坐标为：15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或151,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）把A 、B 两点坐标代入26y ax bx =+-可得关于a 、b 的二元一次方程组，解方程组求出a 、b 的值即可得答案；（2）过D 作DG x ⊥轴于G ，交BC 于H ，根据抛物线解析式可得点C 坐标，利用待定系数法可得直线BC 的解析式，设233,642D x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，根据BC 解析式可表示出点H 坐标，即可表示出DH 的长，根据△BCD 的面积列方程可求出x 的值，即可得点D 坐标，利用三角形面积公式即可得答案；（3）根据二次函数的对称性可得点A 与点B 关于直线l 对称，可得BC 为AP +CP 的最小值，根据两点间距离公式计算即可得答案；（4）根据平行四边形的性质得到MB //ND ，MB =ND ，分MB 为边和MB 为对角线两种情况，结合点D 坐标即可得点N 的坐标．【详解】（1）∵抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，()2,0A -，()4,0B ，∴426016460a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得：3432a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为：233642y x x =--． （2）如图，过D 作DG x ⊥轴于G ，交BC 于H ，当0x =时，6y =-，∴()0,6C -，设BC 的解析式为y kx b =+，则640b k b =-⎧⎨+=⎩， 解得326k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴BC 的解析式为：362y x =-， 设233,642D x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则3,62H x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴2233336632424DH x x x x x ⎛⎫=----=-+ ⎪⎝⎭， ∵BCD △的面积是92， ∴1922DH OB ⨯=， ∴213943242x x ⎛⎫⨯⨯-+= ⎪⎝⎭， 解得：1x =或3，∵点D 在直线l 右侧的抛物线上，∴153,4D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴ABD △的面积11154562244AB DG ⨯=⨯⨯=；（3）∵抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，∴点A 与点B 关于直线l 对称，∴BC 为AP +CP 的最小值，∵B （4，0），C （0，-6），∴AP +CP 的最小值=BC =2246+=213． 故答案为：213（4）①当MB 为对角线时，MN //BD ，MN =BD ，过点N 作NE ⊥x 轴于E ，过当D 作DF ⊥x 轴于F ，∵点D （3，154-）， ∴DF =154， 在△MNE 和△BDF 中，NEM DFB NMB DBF MN BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△MNE ≌△BDF ，∴DF =NE =154， ∵点D 在x 轴下方，MB 为对角线，∴点N 在x 轴上方，∴点N 纵坐标为154， 把y =154代入抛物线解析式得：215336442x x =--， 解得：1114x =-，2114x =+， ∴1N （114-，154），2N （114+，154）如图，当BM 为边时，MB //ND ，MB =ND ，∵点D （3，154-）， ∴点N 纵坐标为154-， ∴233156424x x --=-， 解得：11x =-，23x =（与点D 重合，舍去），∴3N （1-，154-），综上所述：存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的坐标为：15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或151,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合，首先要掌握待定系数法求解析式，其次要添加恰当的辅助线，灵活运用面积公式和平行四边形的判定和性质，应用数形结合的数学思想解题． 3．A解析：（1）2312y x x =-++；（2）DE AE 的最大值为45；（3）914511924145(P -+-+或9177317()P --+ 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；（2）构造出△AGE ∽△DEH ，可得DE DH AE AG=，而DE 和AG 都可以用含自变量的式子表示，最后用二次函数最大值的方法求值．（3）先发现△ABC 是两直角边比为2：1的直角三角形，由△BPQ ∽△CAB ，构造出△BPQ ，表示出Q 点的坐标，代入解析式求解即可．【详解】解：（1）分别将C （0，1）、A （﹣12，0）、B （2，0）代入y ＝ax 2+bx +c 中得110424201a b c a b c c ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩， 解得：1321a b c =-⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为2312y x x =-++． （2）过A 作AG ∥y 轴交BC 的延长线于点G ，过点D 作DH ∥y 轴交BC 于点H ，∵B （2，0）C （0，1），∴直线BC ：y ＝12x +1，∵A （-12，0），∴G （-12，54）， 设D （23,12m m m -++），则H （1,12m m -+）， ∴DH ＝（2312m m -++）﹣（112m -+）， ＝﹣m 2+2m ，∴AG=54， ∵AG ∥DH ， ∴()2224415554DE DH m m m AE AG -+===--+，∴当m ＝1时，DE AE 的最大值为45． （3）符合条件的点P 914511924145-+-+9177317--+ ∵l ∥BC ， ∴直线l 的解析式为：y ＝-12x ，设P （n ，-12n ），∵A （-12，0），B （2，0），C （0，1），∴AC 2＝54，BC 2＝5，AB 2＝254．∵AC 2+BC 2＝AB 2，∴∠ACB ＝90°．∵△BPQ ∽△CAB ， ∴12BP AC BQ BC ==， 分两种情况说明：①如图3，过点P 作PN ⊥x 轴于N ，过点Q 作QM ⊥x 轴于M ．∵∠PNB ＝∠BMQ ＝90°， ∠NBP +∠MBQ ＝90°，∠MQB +∠MBQ ＝90°，∴∠NBP ＝∠MQB ．∴△NBP ∽△MQB ，∴12PN NB BM MQ ==， ∵1,2P n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴1,2PN n ON n ==， ∴BN ＝2﹣n ，∴BM ＝2PN ＝n ，QM ＝2BN ＝4﹣2n ，∴OM ＝OB +BM ＝2+n ，∴Q （2+n ，2n ﹣4），将Q 的坐标代入抛物线的解析式得：()()23221242n n n -++++=-， 2n 2+9n ﹣8＝0， 解得：)1291459145n n -+--==舍∴P (914511924145,416-+-+)． ②如图4，过点P 作PN ⊥x 轴于N ，过点Q 作QM ⊥x 轴于M ．∵△PNB ∽△BMQ ，又∵△BPQ ∽△CAB ，∴2BC QM AC BN==， ∵1,2P n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴Q （2﹣n ，4﹣2n ），将Q 的坐标代入抛物线的解析式得：()()23221422n n n --+-+=-， 化简得：2n 2﹣9n +8＝0， 解得：)12917917n n -+==舍， ∴P 9177317--+． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，平行线分线段成比例，利用二次函数求线段比的最大值，勾股定理逆定理，相似三角形判定与性质，抛物线与一元二次方程，掌握待定系数法求抛物线解析式，平行线分线段成比例，利用二次函数求线段比的最大值，勾股定理逆定理，相似三角形判定与性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题关键．4．A 解析：（1）A （﹣2，0），B （4，0），C （0，﹣8）；（2）存在，Q 点坐标为124(85,858)55Q ，21722(,)77Q ． 【分析】(1)解方程2280x x --=，可求得A 、B 的坐标，令0x =，可求得点C 的坐标；(2)利用勾股定理计算出AC =BC 的解析式为28y x =-，可设Q （m ，2m ﹣8）（0＜m ＜4），分三种情况讨论：当CQ ＝AC 时，当AQ ＝AC 时，当AQ ＝QC 时，然后分别解方程求出m 即可得到对应的Q 点坐标．【详解】(1)当0y =，2280x x --=，解得x 1＝﹣2，x 2＝4，所以(2,0)A -，(4,0)B ，x ＝0时，y ＝﹣8，∴(0,8)C -；(2)设直线BC 的解析式为y kx b =+，把(4,0)B ，(0,8)C -代入解析式得：408k b b +=⎧⎨=-⎩，解得28k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的解析式为28y x =-，设Q （m ，2m ﹣8）（0＜m ＜4），当CQ ＝CA 时，22(288)68m m +-+=，解得，1m =2m =∴Q 8)， 当AQ ＝AC 时，22(2)(28)68m m ++-=，解得：128m 5=（舍去），m 2＝0（舍去）； 当QA ＝QC 时，2222(2)(28)(2)m m m m ++-=+，解得177m =， ∴Q 1722(,)77-．综上所述，满足条件的Q 点坐标为18)Q ，21722(,)77Q -． 【点睛】 本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，会利用勾股定理表示线段之间的关系，会运用分类讨论的思想解决数学问题．5．(1) y=221x +;(2)m=1,n=3;(3) 函数存在最大值,当x=0是,y 取得最大值2.(4)-1≤x≤2 【分析】(1)待定系数法求解函数解析式(2)分别将m,n 代入函数解析式,求出对应的横纵坐标即可求解(3)观察图像即可,答案不唯一(4)观察图像选择曲线在上方的区域即可.【详解】解(1)将(0,2),(1,1)代入解析式得20111b b k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 解得:12k b =⎧⎨=⎩ ∴函数的解析式为y =221x + (2) ①令x =-1, 则y=1, ∴m =1令y =15,则x =±3,∵2＜n ＜4, ∴n =3②(3)函数存在最大值,当x =0是,y 取得最大值2. (4)直接观察图象可知,当|715x ﹣815|≤时,-1≤x ≤2 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的解析式,函数的图象和性质,根据函数图象求解不等式等问题,综合性强,熟悉函数的图象和性质是解题关键.6．C解析：（1）241y x x =-+-；（2）2；（3）b dc e =-⎧⎨=-⎩【分析】（1）先求出抛物线C 1的顶点坐标，进而得出抛物线C 2的顶点坐标，即可得出结论； （2）设正方形AMBN 的对角线长为2k ，得出B （2，3＋2k ），M （2＋k ，3＋k ），N （2−k ，3＋k ），再用点M （2＋k ，3＋k ）在抛物线y ＝（x −2）2＋3上，建立方程求出k 的值，即可得出结论；（3）先根据抛物线C 1，C 2的顶点相同，得出b ，d 的关系式，再由两抛物线的顶点在x 轴，求出c ，e 的关系，即可得出结论． 【详解】解：（1）解：（1）∵y ＝x 2−4x ＋7＝（x −2）2＋3， ∴顶点为（2，3），∴其“对顶”抛物线的解析式为y ＝−（x −2）2＋3， 即y ＝−x 2＋4x −1； （2）如图，由（1）知，A （2，3）， 设正方形AMBN 的对角线长为2k ，则点B （2，3＋2k ），M （2＋k ，3＋k ），N （2−k ，3＋k ）， ∵M （2＋k ，3＋k ）在抛物线y ＝（x −2）2＋3上， ∴3＋k ＝（2＋k −2）2＋3， 解得k ＝1或k ＝0（舍）；∴正方形AMBN 的面积为12×(2k )2＝2；（3）根据抛物线的顶点坐标公式得，抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为（2b a-，244ac b a-），抛物线C 2：y ＝−ax 2＋dx ＋e 的顶点为（2d a ，244ae d a---），∵抛物线C 2是C 1的“对顶”抛物线， ∴22b d a a-=， ∴=-b d ，∵抛物线C 1与C 2的顶点位于x 轴上，∴224444ac b ae d a a ---=-， ∴c e =-，即b d c e =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】此题主要考查了抛物线的顶点坐标公式，正方形的性质，理解新定义式解本题的关键． 7．（1）154m =；（2）见解析；（3）0p =；（4）14p =-或0p >．【分析】（1）把x=122代入解析式，计算即可；（2）按照画图像的基本步骤画图即可；（3）一个方程有两个不同实数根，另一个方程有两个相等的实数根和两个方程都有两个不同的实数根，但是有一个公共根；（4）结合函数的图像，分直线经过顶点和在x 轴上方两种情形解答即可． 【详解】（1）当x=122时，2||y x x =-=25)2|(|52- =154， ∴154m =； （2）画图像如下；（3）当x≥0时，函数为2y x x ；当x ＜0时，函数为2y x x =+；∵方程2||x x p -=（p 为常数）有三个实数根， ∴两个方程有一个公共根，设这个根为a ， 则22a a a a -=+， 解得a=0， 当a=0时，p=0， 故答案为：p=0；（4）∵方程2||x x p -=（p 为常数）有两个实数根， ∴p ＞0； 或△=0 即1+4p=0， 解得14p =-．综上所述，p 的取值范围是14p =-或0p >． 【点睛】本题考查了二次函数图像，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握抛物线与一元二次方程的关系，灵活运用分类思想，数形结合思想是解题的关键． 8．（1）见解析；（2）①4m =，1(3,)2D -；②存在，76y x =或2y x =或110y x =-【分析】（1）对角线所在的直线为平行四边形的中分线，直径所在的直线为圆的中分线； （2）①将(2,0)A 代入抛物线2132y x x m =-+，得143202m ⨯-⨯+=，解得4m =，抛物线解析式2211134(3)222y x x x =-+=--，顶点为1(3,)2D -；②根据抛物线解析式求出(2,0)A ，(4,0)B ，(0,4)C ，当A 、C 、D 、P 为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，所以平行四边形的中分线必过对角线的交点．Ⅰ．当CD 为对角线时，对角线交点坐标为37(,)24，中分线解析式为76y x =；Ⅱ．当AC 为对角线时，对角线交点坐标(1,2)．中分线解析式为2y x =；Ⅲ．当AD 为对角线时，对角线交点坐标为51(,)24-，中分线解析式为110y x =-． 【详解】解：（1）如图，对角线所在的直线为平行四边形的中分线， 直径所在的直线为圆的中分线，（2）①将(2,0)A 代入抛物线2132y x x m =-+，得 143202m ⨯-⨯+=， 解得4m =，∴抛物线解析式2211134(3)222y x x x =-+=--，∴顶点为1(3,)2D -；②将0y =代入抛物线解析式21342y x x =-+，得 234201x x -+=， 解得2x =或4，(2,0)A ∴，(4,0)B ， 令0x =，则4y =，(0,4)C ∴，当A 、C 、D 、P 为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分， 所以平行四边形的中分线必过对角线的交点． Ⅰ．当CD 为对角线时，对角线交点坐标为14032(,)22-+，即37(,)24，中分线经过点O ，∴中分线解析式为76y x =；Ⅱ．当AC 为对角线时，对角线交点坐标为2004(,)22++，即(1,2)． 中分线经过点O ，∴中分线解析式为2y x =；Ⅲ．当AD 为对角线时，对角线交点坐标为10232(,)22-+，即51(,)24-， 中分线经过点O ，∴中分线解析式为110y x =-， 综上，中分线的解析式为式为76y x =或为2y x =或为110y x =-．【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质与平行四边形的性质是解题的关键．9．C解析：（1）1111a b =⎧⎨=⎩ ；y 2 ＝−（x−2）2＋4；（2）（n ，n 2 ）；[（n ＋1），（n ＋1）2 ]；y ＝x 2；（3）①存在，理由见详解；②C 1n -C n ＝2m ． 【分析】（1）1(2,0)A ），则1c ＝2，则2c ＝2＋2＝4，将点A 、1A 的坐标代入抛物线表达式得：()2112110=-0(-2-)a b a b ⎧-+⎪⎨=-+⎪⎩，解得：1111a b =⎧⎨=⎩ ，则点2A （4，0），将点A 、2A 的坐标代入抛物线表达式，同理可得：2a ＝2，2b ＝4，即可求解；（2）同理可得：3a ＝3，3b ＝9，故点n B 的坐标为（n ，2n ），以此推出：点1n B +[（n ＋1），（n ＋1）2]，故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y ＝2x ，即可求解； （3）①△AAnBn 为等腰直角三角形，则AAn 2 ＝2ABn 2，即（2n ）2＝2（n 2＋4n ），即可求解；②y 1n c -＝−（m−n ＋1）2＋（n−1）2，y n c ＝−（m−n ）2＋n 2，C 1n -C n = y n c −y 1n c -，即可求解． 【详解】解：（1）1(2,0)A ，则1c ＝2，则2c ＝2＋2＝4，将点A 、1A 的坐标代入抛物线表达式得：2112110=()0(2)a b a b ⎧--+⎨=---+⎩，解得：1111a b =⎧⎨=⎩， 则点2A （4，0），将点A 、2A 的坐标代入抛物线表达式，同理可得：2a ＝2，2b ＝4； 故y 2 ＝−（x−2a ）2＋2b ＝−（x−2）2＋4；（2）同理可得：3a ＝3，3b ＝9，故点n B 的坐标为（n ，2n ），以此推出：点1n B + [（n ＋1），（n ＋1）2]，故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y ＝2x ； 故答案为：（n ，n 2 ）；[（n ＋1），（n ＋1）2]；y ＝x 2； （3）①存在，理由：点A （0，0），点An （2n ，0）、点n B （n ，n 2 ），△AAnBn 为等腰直角三角形，则AAn 2 ＝2ABn 2，即（2n ）2＝2（n 2 ＋n 4）， 解得：n ＝1（不合题意的值已舍去）， 抛物线的表达式为：y ＝−（x−1）2 ＋1； ②y 1n c -＝−（m−n ＋1）2＋（n−1）2， y n c ＝−（m−n ）2＋n 2，C 1n -C n ＝y n c −y 1n c -＝−（m−n ）2＋n 2 ＋（m−n ＋1）2−（n−1）2＝2m ． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，这种找规律类型题目，通常按照题设的顺序逐次求解，通常比较容易．10．F解析：（1）223y x x =--+，1x =-；（2）O 1)3）满足条件的点F 的坐标为F 1(-2，3)，F 2(3，-12)． 【分析】（1）把A （1，0），B （-3，0）代入y=ax 2+bx+3即可求解；（2）先求出直线OO 1的解析式为y x =，再根据223x x x --+=，求解即可或是根据23(23)3x x x +---+=得出x 的值，再根据直线OO 1的解析式为y x =求解；（3）先求出直线EF 解析式为 33y x =--，再根据22333x x x --+=--求解即可． 【详解】解：（1）将点A （1, 0），B （-3, 0）代入抛物线解析式y=a x 2+b x+3 得：{309330a b a b ++=-+=解得：{12a b =-=-∴抛物线解析式为 223y x x =--+ ∴2(1)4y x =++ ∴1x =-（2）∵点C 为223y x x =--+与y 轴的交点∴C （0，3） ∵B(－3，0)∴OB ＝OC ∴ ∠CBO=45° ∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1 ∴直线OO 1∥BC ∴ ∠O 1OA=45° ∴直线OO 1的解析式为y x = 根据题意 得 223x x x --+= 整理得 2330x x +-=解得 1x =2x =∴O 1 )或)解法2 ∵点C 为223y x x =--+与y 轴的交点∴C （0，3）∴OC=3 ∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1 01C 1=3 ∴23(23)3x x x +---+= 整理得 2330x x +-= 解得 13212x -+=23212x --= ∵B(－3，0)∴OB ＝OC ∴ ∠CBO=45° ∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1 ∴直线OO 1∥BC ∴ ∠O 1OA=45° ∴直线OO 1的解析式为y=x ∴O 1(3212-+,3212-+ )或（3212--，3212--）(3)∵抛物线对称轴与x 轴交于点E,则点E 的坐标为E(-1,0),过点C 作CF ∥x 轴 根据抛物线的对称性得F 的坐标为F(-2,3) ∴AE=CF=2 ∵CF ∥AE ∴四边形CFEA 为平行四边形 ∴EF ∥CA设直线EF 的解析式为y kx b =+ 得：{320k bk b =-+=-+ 解得：{33k b =-=-∴直线EF 解析式为 33y x =-- 根据题意 得 22333x x x --+=-- 解得12x =- 23x =满足条件的点F 的坐标为F 1(-2，3)，F 2(3，-12)． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会用转化的思想思考问题．二、中考几何压轴题11．（1）证明见解析；；（2）线段与之间的数量关系为；（3）或 【分析】（1）①由、结合可得四边形CEGF 是矩形，再由即可得证；②由正方形性质知、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得； （2解析：（1）①证明见解析；2）线段AG 与BE 之间的数量关系为AG =；（3【分析】（1）①由GE BC ⊥、GF CD ⊥结合BCD 90∠=可得四边形CEGF 是矩形，再由ECG 45∠=即可得证；②由正方形性质知CEG B 90∠∠==、ECG 45∠=，据此可得CGCE=GE //AB ，利用平行线分线段成比例定理可得； （2）连接CG ，只需证ACG BCE 即可得；（3）由（2）证出ACGBCE 就可得到BE AG =，再根据A E G 、、三点在同一直线上分在CD 左边和右边两种不同的情况求出AG 的长度，即可求出BE 的长度． 【详解】（1）①证明：四边形ABCD 是正方形，90,45BCD BCA ∴∠=︒∠=︒ ,,GE BC GF CD ⊥⊥90,CEG CFG ECF ∴∠=∠=∠=︒∴四边形CEGF 是矩形，45,CGE ECG ∠=∠=︒,EG EC ∴=∴四边形CEGF 是正方形；②解：由①知四边形CEGF 是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴CGCE=，GE ∥AB ，∴AG CGBE CE==（2）如下图所示连接,CG 由旋转性质知,BCE ACG a ∠=∠=在Rt CEG △和Rt CBA 中，45CE cos CG =︒=45CB cos CA =︒=CG CACE CB∴== ,ACGBCE ∴AG CABE CB∴==∴线段AG 与BE 之间的数量关系为2AG BE =；（3）解：①当正方形CEGF 在绕点C 旋转到如下图所示时： 当A E G 、、三点在一条直线上时， 由（2）可知ACG BCE ，2AG CABE CB∴==， 22BE AG ∴=∠CEG=∠CEA=∠ABC=90°，24AB EC ==，222224432AC AB BC ∴=+=+=42AC ∴=22222(42)228AE AC CE ∴=-=-=27AE ∴=272AG AE EG ∴=+=+22(272)14222BE AG ∴==⨯+=+②当正方形CEGF 在绕点C 旋转到如下图所示时：当A E G 、、三点在一条直线上时， 由（2）可知ACG BCE ，2AG CA BE CB∴==， 2BE AG ∴=∠CEA=∠ABC=90°，24AB EC ==，222224432AC AB BC ∴=+=+= 42AC ∴=22222(42)228AE AC CE ∴=-=-= 27AE ∴=272AG AE EG ∴=-=-22(272)14222BE AG ∴==⨯-=-142142【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．12．（1）是，理由见解析；（2）或或；（3），证明见解析．【分析】（1）证明，可得，又点F 为CD 中点,即可得出结论；（2）当为点构成的四边形的准中位线．则M 、N 一定是中点，再分两种情况讨论：和，根解析：（1）是，理由见解析；（2）1211t =或2t =或4t =；（3）M CNF ∠=∠，证明见解析．【分析】（1）证明EDB ABD ∠=∠，可得DE BE AE ==，又点F 为CD 中点,即可得出结论； （2）当MN 为点,,,A B E F 构成的四边形的准中位线．则M 、N 一定是中点，再分两种情况讨论：BE AF 和EF AB ∥，根据平行线分线段成比例列方程即可求解；（3）连接BD ，取BD 的中点H ，连接EH ，FH 得两条中位线，根据中位线定理，得平行，可找到相等角和线段，从而可得EFH △是等腰三角形，进而可得M HEF HFE CNF ∠=∠=∠=∠．【详解】解：（1）EF 是四边形ABCD 的准中位线，理由如下：∵DE AE =，。
2025中考数学二次函数压轴题专题练习18 二次函数与几何交点问题(学生版+解析版)
专题18二次函数与几何交点间题1.(2023·黑龙江大庆中考真题）如图，二次函数y = a:x.2+bx+c的图象与X轴交千A,B两点，且自变量X 的部分取值与对应函数值Y如下表：XL -]。
I2 34L yL。
-3-4-3。
5Ly y备用图备用图(I)求二次函数y=ax 2+bx+c的表达式；(3)若将线段A B 先向上平移3个单位长度，再向右平移l 个单位长度，得到的线段与二次函数y ＝一（釭2+bx+c)的图象只有一个交点，其中（为常数，请直接写出t的取值范围2.(2023四川德阳中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(-4，0)'B (2,0)，与y 轴交千点C (O,-4)．1付l(I)求抛物线的解析式；E -阳2(2)如图1，如果把抛物线x 轴下方的部分沿x 轴翻折180°,抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y＝妇＋6与新图象有三个公共点时，求k的值；3.(2023山东济南中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点A,B 在X轴上，C(2,3),D(-1,3) 抛物线y ＝成－2少＋c(a«))与X 轴交于点E(-2,0)和点Fy y(1)如图l ，若抛物线过点C,求抛物线的表达式和点F 的坐标；(2)如图2,在（I)的条件下，连接CF,作直线CE,平移线段CF,使点C 的对应点P落在直线CE 上，点F 的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标；(3)若抛物线y=ax 2-2ax+c(a<0)与正方形ABCD 恰有两个交点，求(1的取值范围，4.(2023山东日照中考真题）在平面百角坐标系xOy 内，抛物线y ＝动X江女仄＋2(a>0)交y轴于点C ，过点C作x轴的平行线交该抛物线千点D.l ｀一-x(1)求点C,D的坐标；(3)坐标平面内有两点£(�.a +1} F (5,a + I )，以线段EF 为边向上作正方形EFGH.＠若a=l,求正方形EFGH 的边与抛物线的所有交点坐标；＠当正方形EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x 轴的距离之差为－5时，求a的值5.(2022吉林长春中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y = x 1-bx (b是常数）经过点(2,0)点A在抛物线上，且点A的横坐标为m(m;1:0)以点A为中心，构造正方形PQMN, P Q=2|『111，且PQ.lx轴．(l)求该抛物线对应的函数表达式：(2若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线千另一点C,连按BC.当BC=4时，求点B的坐标：(3若m>O,当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围：3(4)当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为一时，且接写出m4的值6.(2022湖南永州中考真题）已知关于X的函数y= ax2 +bx+c(1)若a.=l,函数的图象经过点(1,-4)和点(2,I)，求该函数的表达式和最小值；(2)若a=l,b=-2, c=m十l时，函数的图象与X轴有交点，求m的取值范围．(3)阅读下面材料：设a>0,函数图象与X轴有两个不同的交点A,B,若A,8两点均在原点左侧，探究系数a, b, c应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面：＠因为函数的图象与X轴有两个不同的交点，所以6.=b2 -4ac> 0:＠因为A,8两点在原点左侧，所以x=O对应图象上的点在X轴上方，即c>O:＠上述两个条件还不能确保A,8两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来b进一步限制抛物线的位置：即需－一又0.2a综上所述，系数a,b, c应满足的条件可归纳为：请根据上面阅谅材料，类比解决下而问题：a>O tJ.=li-4ac>0c>Ob -—<02a若函数y= ax2 -2x+3的图象在直线x=1的右侧与人轴有且只有一个交点，求U的取值范围．7.(2022湖南衡阳中考真题）如图，已知抛物线y=x'-x-2交X轴千A、B两点，将该抛物线位千X轴下方的部分沿X轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W"，图象W交Y轴千点c.｀ ｀ ＼ ｀x， I I、一，，(］)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式：(2)若直线y=-x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直按写出b的值：(3)p为X轴正半轴上一动点，过点P作PM ff y轴交直线BC千点M,交图象W于点N,是否存在这样的点P,使..CMN与60BC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．专题18二次函数与几何交点间题1.(2023·黑龙江大庆中考真题）如图，二次函数y = a:x .2+bx+c的图象与X轴交千A,B两点，且自变量X 的部分取值与对应函数值Y如下表：X L -]。
【备考期末】唐山市中考数学二次函数和几何综合专题
【备考期末】唐山市中考数学二次函数和几何综合专题一、二次函数压轴题1．定义：若抛物线的顶点和与x轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时．则称此抛物线为正抛物线．概念理解：（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．试证明：以点A为顶点，且与x轴交于D、C两点的抛物线是正抛物线；问题探究：（2）已知一条抛物线经过x轴的两点E、F（E在F的左边），E（1，0）且EF＝2若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式；应用拓展：（3）将抛物线y1＝﹣x2+23x +9向下平移9个单位后得新的抛物线y2．抛物线y2的顶点为P，与x轴的两个交点分别为M、N（M在N左侧），把△PMN沿x轴正半轴无滑动翻滚，当边PN与x轴重合时记为第1次翻滚，当边PM与x轴重合时记为第2次翻滚，依此类推…，请求出当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标．2．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数()211(1)xy xx x⎧-≤-⎪=⎨⎪->-⎩的图象与性质．列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．()1如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；()2研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点()15,A y -，27,2B y ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，15,2C x ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,6D x 在函数图象上，则1y ______2y ，1x ______2x ；(填“>”，“=”或“<”)②当函数值2y =时，求自变量x 的值；③在直线1x =-的右侧的函数图象上有两个不同的点()33,P x y ，()44,Q x y ，且34y y =，求34x x +的值；④若直线y a =与函数图象有三个不同的交点，求a 的取值范围．3．某数学兴趣小组在探究函数y ＝x 2﹣2|x |+3的图象和性质时，经历了以下探究过程： （1）列表（完成下列表格）． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣12121 2 3 … y…632236…（2）描点并在图中画出函数的大致图象；（3）根据函数图象，完成以下问题：①观察函数y ＝x 2﹣2|x |+3的图象，以下说法正确的有 （填写正确的序号） A ．对称轴是直线x ＝1；B ．函数y ＝x 2﹣2|x |+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（﹣1，2）、（1，2）；C ．当﹣1＜x ＜1时，y 随x 的增大而增大；D ．当函数y ＝x 2﹣2|x |+3的图象向下平移3个单位时，图象与x 轴有三个公共点；E ．函数y ＝（x ﹣2）2﹣2|x ﹣2|+3的图象，可以看作是函数y ＝x 2﹣2|x |+3的图象向右平移2个单位得到．②结合图象探究发现，当m 满足 时，方程x 2﹣2|x |+3＝m 有四个解． ③设函数y ＝x 2﹣2|x |+3的图象与其对称轴相交于P 点，当直线y ＝n 和函数y ＝x 2﹣2|x |+3图象只有两个交点时，且这两个交点与点P 所构成的三角形是等腰直角三角形，求n 的值．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线W 1：y ＝14x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣4，0）、B 两点，且过点C （0，﹣2）．抛物线W 2与抛物线W 1关于原点对称，点C 在W 2上的对应点为C ′．（1）求抛物线W 1的表达式； （2）写出抛物线W 2的表达式；（3）若点P 在抛物线W 1上，试探究：在抛物线W 2上是否存在点Q ，使以C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，并且其面积等于24？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．5．某班“数学兴趣小组”对函数22y x x =-的图象和性质进行了探究，探究过程如下．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如下：x… -352--2 -1 0 1 252 3 …y (3)54m-1 0 -1 0 543 …m =（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分． （3）进一步探究函数图象发现：①方程220x x -=有______个实数根；②关于x 的方程22x x a -=有4个实数根时，a 的取值范围是______．6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于A （﹣12，0），B （2，0）两点，与y 轴交于点C （0，1）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第一象限内抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，求DEAE的最大值；（3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线l ∥BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点．试探究：在第四象限内是否存在这样的点P ，使△BPQ ∽△CAB ．若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣8与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ． （1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如果抛物线C 1：2y ax bx c =++与抛物线C 2：2y ax dx e =-++的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C 2是C 1的“对顶”抛物线．（1）求抛物线247y x x =-+的“对顶”抛物线的表达式；（2）将抛物线247y x x =-+的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线247y x x =-+形成两个交点M 、N ，记平移前后两抛物线的顶点分别为A 、B ，当四边形AMBN 是正方形时，求正方形AMBN 的面积．（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C 1与C 2的顶点位于x 轴上，那么系数b 与d ，c 与e 之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系．9．综合与探究如图，已知二次函数()220y ax bx a =++≠的图像与x 轴交于1,0A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线122y x =-+经过B ，C 两点 （1）求二次函数的解析式；（2）点P 是线段 BC 上一个动点，过点P 作x 轴的垂线于点Q ，交抛物线于点D ，当点Q 是线段PD 的中点时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若点M 是直线BC 上一点，N 是平面内一点，当以P ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点N 的坐标．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．（1）求此抛物线的表达式：（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m 为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由．二、中考几何压轴题11．（教材呈现）下图是华师版八年级下册教材第89页的部分内容．例6：如图18.2.12，G、H是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AG＝CH，E、F分别是边AB和CD的中点．图18.2.12求证：四边形EHFG是平行四边形．证明：连结EF交AC于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．又∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE ＝CF ． 又∵AB ∥CD ， ∴∠EAO ＝∠FCO ． 又∵∠AOE ＝∠COF , ∴AOE COF ≅．请补全上述问题的证明过程．．．．．．．．．．．．． （探究）如图①，在ABC 中，E ，O 分别是边AB 、AC 的中点，D 、F 分别是线段AO 、CO 的中点，连结DE 、EF ，将DEF 绕点O 旋转180°得到DGF △，若四边形DEFG 的面积为8，则ABC 的面积为 ．（拓展）如图②，GH 是正方形ABCD 对角线AC 上的两点，且AG ＝CH ，GH ＝AB ，E 、F 分别是AB 和CD 的中点．若正方形ABCD 的面积为16，则四边形EHFG 的面积为 ．12．如图1，在等腰三角形ABC 中，120,,A AB AC ∠==点D E 、分别在边AB AC 、上，,AD AE =连接,BE 点M N P 、、分别为DE BE BC 、、的中点．（1）观察猜想图1中，线段NM NP 、的数量关系是____，MNP ∠的大小为_____； （2）探究证明把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接,MP BD CE 、、判断MNP △的形状，并说明理由； （3）拓展延伸把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若1,3AD AB ==，请求出MNP △面积的最大值． 13．综合与实践：问题情境：在数学课上，以“等腰直角三角形为主体，以点的对称为基础，探究线段间的变化关系”．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 为ACB ∠的角平分线CD 上一动点但不与点C 重合，作点E 关于直线BC 的对称点为F ，连接AE 并延长交CB 延长线于点H ，连接FB 并延长交直线AH 于点G ．探究实践：（1）勤奋小组的同学发现AE BF =，请写出证明； 探究发现：（2）智慧小组在勤奋小组的基础上继续探究，发现线段FG ，EG 与CE 存在数量关系，请写出他们的发现并证明； 探究拓展：（3）如图2，奇异小组的同学在前两个小组探究的基础上，连接GC ，得到三条线段GE ，GC 与GF 存在一定的数量关系，请直接写出．14．（1）问题发现如图1，ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，若∠ADE ＝60°，则AB ，CE ，BD ，DC 之间的数量关系是 ． （2）拓展探究如图2，ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，∠B ＝α，点D ，E 分别在边BC ，AC 上．若∠ADE ＝α，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． （3）解决问题如图3，在ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝AC ＝4cm ，点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿A→B 方向勾速运动，同时点M 从点B 出发，以3cm/s 的速度沿B→C 方向匀速运动，当其中一个点运动至终点时，另一个点随之停止运动，连接PM ，在PM 右侧作∠PMG ＝30°，该角的另一边交射线CA 于点G ，连接PC ．设运动时间为t （s ），当△APG 为等腰三角形时，直接写出t 的值．15．如图1，在菱形ABCD 中，4,120AD B ︒=∠=，点E ，F 分别是AC ，AB 上的点，且1,232AE AD AF ==①DECF的值是_______； ②直线DE 与直线CF 所成的角中较小的角的度数是_______．（2）类比探究：如图2，将绕AEF ∆点A 逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中结论是否成立，就图2的情形说明理由． （3）拓展延伸：在AEF ∆绕点A 旋转的过程中，当,,D E F 三点共线时，请直接写出CF 的长．16．问题发现：（1）如图1，ABC 与DCE 同为等边三角形，连接,BD AE 则BD 与AE 的数量关系为________；直线BD 与AE 所夹的锐角为_________；类比探究：（2）BC A △与DCE 同为等腰直角三角形，其他条件同（1），请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由；拓展延伸：（3）ABC 中90,30BAC C ∠=︒∠=︒，DE 为ABC ∆的中位线，将CDE △绕点C 逆时针自由旋转，已知2AB =，在自由旋转过程中，当ADE 、、在一条直线上时，请直接写出AD 的值．17．问题提出（1）如图（1），在等边三角形ABC 中，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连接AM ，以AM 为边作等边三角形AMN ，连接CN ，则∠ACN ＝ °． 类比探究（2）如图（2），在等边三角形ABC 中，点M 是BC 延长线上的任意一点（不含端点C ），其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 拓展延伸（3）如图（3），在等腰三角形ABC 中，BA ＝BC ，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连接AM ，以AM 为边作等腰三角形AMN ，使AM ＝MN ，连接CN ．添加一个条件，使得∠ABC ＝∠ACN 仍成立，写出你所添加的条件，并说明理由．18．如图(1)，在矩形ABCD中，AD＝nAB，点M，P分别在边AB，AD上(均不与端点重合)，且AP＝nAM，以AP和AM为邻边作矩形AMNP，连接AN，CN.（问题发现）（1）如图(2)，当n＝1时，BM与PD的数量关系为，CN与PD的数量关系为 .（类比探究）（2）如图(3)，当n＝2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD，则CN与PD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图(3)给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图(3)说明理由.（拓展延伸）（3）在(2)的条件下，已知AD＝4，AP＝2，当矩形AMVP旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段CN的长19．综合与实践数学活动课上，老师让同学们结合下述情境，提出一个数学问题：如图1，四边形ABCD是正方形，四边形BEDF是矩形．探究展示：“兴趣小组”提出的问题是：“如图2，连接CE．求证：AE⊥CE．”并展示了如下的证明方法：证明：如图3，分别连接AC，BD，EF，AF．设AC与BD相交于点O．∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，且AC=BD．又∵四边形BEDF是矩形，∴EF经过点O，∴OE=OF=12EF，且EF=BD．∴OE=OF，OA=OC．∴四边形AECF是平行四边形．（依据1）∵AC=BD，EF=BD，∴AC=EF．∴四边形AECF是矩形．（依据2）∴∠CEA=90°，即AE⊥CE．反思交流：（1）上述证明过程中“依据1”“依据2”分别是什么？拓展再探：（2）“创新小组”受到“兴趣小组”的启发，提出的问题是：“如图4，分别延长AE，FB交于点P，求证：EB=PB．”请你帮助他们写出该问题的证明过程．（3）“智慧小组”提出的问题是：若∠BAP=30°，AE=31，求正方形ABCD的面积．请你解决“智慧小组”提出的问题．20．（教材呈现）下面是华师版八年级下册教材第89页的部分内容．如图，G，H是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AG=CH，E，F分别是边AB和CD 的中点求证：四边形EHFG是平行四边形证明：连接EF交AC于点O∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AB∥CD又∵E，F分别是AB，CD的中点∴AE=CF又∵AB∥CD∴∠EAO=∠FCO又∵∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF请补全上述问题的证明过程．（探究）如图①，在△ABC中，E，O分别是边AB、AC的中点，D、F分别是线段AO、CO的中点，连结DE、EF，将△DEF绕点O旋转180°得到△DGF，若四边形DEFG的面积为8，则△ABC的面积为．（拓展）如图②，GH是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AG＝CH，GH＝AB，E、F分别是AB和CD的中点．若正方形ABCD的面积为16，则四边形EHFG的面积为．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、二次函数压轴题1．A解析：（1）详见解析；（2）y＝23(2)3--y2xx-3）当第20193(2)3次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标为（33）．【分析】（1）由Rt△ABC中AD是斜边BC的中线可得AD＝CD，由抛物线对称性可得AD＝AC，即证得△ACD是等边三角形．（2）设抛物线顶点为G，根据正抛物线定义得△EFG是等边三角形，又易求E、F坐标，即能求G点坐标．由于不确定点G纵坐标的正负号，故需分类讨论，再利用顶点式求抛物线解析式．（3）根据题意求出抛物线y2的解析式，并按题意求出P、M、N的坐标，得到等边△PMN，所以当△PMN翻滚时，每3次为一个周期，点P回到x轴上方，且横坐标每多一个周期即加3n能被33n3（2n+132019能被3整除，代入即能求此时点P坐标．【详解】解：（1）证明：∠BAC＝90°，点D是BC的中点∴AD＝BD＝CD＝1BC2∵抛物线以A为顶点与x轴交于D、C两点∴AD＝AC∴AD＝AC＝CD∴△ACD是等边三角形∴以A 为顶点与x 轴交于D 、C 两点的抛物线是正抛物线．（2）∵E （1，0）且EF ＝2，点F 在x 轴上且E 在F 的左边∴F （3，0）∵一条经过x 轴的两点E 、F 的抛物线为正抛物线，设顶点为G∴△EFG 是等边三角形∴xG ＝E F G x x 2,2y +==①当G （2y ＝a （x ﹣2）2把点E （1，0）代入得：a 0∴a∴y x ﹣2）2②当G （2y ＝a （x ﹣2）2把点E （1，0）代入得：a 0∴a∴y x ﹣2）2综上所述，这条抛物线的解析式为y x ﹣2）2y x ﹣2）2（3）∵抛物线y 1＝﹣x 2+9＝﹣（x 2+12∴y1向下平移9个单位后得抛物线y 2＝﹣（x 2+3∴P 3），M （0，0），N （0）∴PM ＝MN ＝PN ＝∴△PMN 是等边三角形∴第一次翻滚顶点P 的坐标变为P1（0），第二次翻滚得P 2与P 1相同，第三次翻滚得P 3（3）即每翻滚3次为一个周期，当翻滚次数n 能被3整除时，点P 纵坐标为3+n 2n +1∵2019÷3＝673∴（2×2019+1）∴当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P 的对应点坐标为（3）．【点睛】本题考查了新定义的理解、性质运用，二次函数的图象与性质，直角三角形和等边三角形的性质．第（3）题的解题关键是发现等边△PMN 每3次翻滚看作一个周期，点P 对应点坐标的特征，是规律探索的典型题．2．A解析：（1）见解析；（2）①<，<；②x=3或x=-1；③2；④02a <<【分析】（1）根据函数图像的画法，从左至右依次连接个点，即可解决；（2）①根据A 点与B 点的横坐标，判断两点所在的函数图像，然后根据函数的性质解决即可；根据C 点与D 点的纵坐标，判断两点所在的函数图像，然后结合函数图像解决即可. ②当2y =时，判断其所在的函数图像，然后结合函数解析式计算解决即可.③由图可知13x -≤≤时，所以两点在函数1y x =-的图像上，然后根据函数的对称性解决即可.④结合函数图像，y a =与函数图象有三个不同的交点，可知必须与两函数图像分别相交才可以，据此解决即可； 【详解】解：()1如图所示：()()125,A y -①，27,2B y ⎛-⎫ ⎪⎝⎭， A 与B 在1y x=-上，y 随x 的增大而增大， 12y y ∴<；15,2C x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,6D x ， C 与D 在1y x =-上，观察图象可得12x x <；②当2y =时，12x =-，1(2x ∴=-不符合)； 当2y =时，21x =-，3x ∴=或1x =-；()33,P x y ③，()44,Q x y 在1x =-的右侧，13x ∴-≤≤时，点关于1x =对称，34y y =，342x x ∴+=；④由图象可知，当y a =与分段函数分别相交时才会有三个不同的交点，观察函数图像y ＞0，且y ＜2，故a 的取值范围为02a <<.3．B解析：（1）详见解析；（2）详见解析；（3）①B 、D 、E ；②2＜m ＜3；③n ＝2或6．【分析】（1）把x ＝﹣12，0，12分别代入函数表达式即可求解；（2）描点确定函数图象；（3）①结合图象，根据二次函数的性质依次判断各项即可求解；②根据二次函数的图象即可解答；③如图，当直线y ＝n 处于直线m 或m ′的位置时，由此即可求解．【详解】（1）把x＝﹣12，0，12分别代入函数表达式得：y＝94，3，94；故答案为94，3，94；（2）描点确定函数图象如下：（3）①A．对称轴是直线x＝0，故错误；B．函数y＝x2﹣2|x|+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（﹣1，2）、（1，2），故正确；C．当﹣1＜x＜1时，函数在y轴右侧，y随x的增大而增大，故错误；D．当函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向下平移3个单位时，图象与x轴有三个公共点，正确；E．函数y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3的图象，可以看作是函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向右平移2个单位得到，正确；故答案为：B、D、E；②从图象看，2＜m＜3时，方程x2﹣2|x|+3＝m有四个解；③如图，当直线y＝n处于直线m或m′的位置时，点P 和图象上的点构成等腰直角三角形，即n ＝2或6．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象，利用数形结合思想是解决问题的关键．4．A解析：（1）y ＝211242x x +-；（2）y ＝211242x x -++；（3）存在，Q 点坐标为（﹣6，10）或（6，﹣4）．【分析】（1）待定系数法：把A 、C 两点的坐标分别代入抛物线的解析式中，解方程组即可； （2）两抛物线关于原点对称，则其大小和形状相同，开口方向相反，则只要求出W 1的顶点坐标，即可求出它关于原点对称的抛物线W 2的顶点坐标，从而求得W 2的解析式； （3）按CC '是对角线和边分类，根据面积确定点P 或Q 的横坐标，代入函数关系式，从而求得Q 的坐标．【详解】解（1）把点A 、点C 的坐标分别代入y ＝14x 2+bx +c 中， 得：4402b c c -+=⎧⎨=-⎩， ∴b ＝12，c =－2，∴y ＝211242x x +-； （2）∵抛物线w 1：y ＝211242x x +-＝14（x +1）2﹣94的顶点是（﹣1，﹣94），∴w 2的顶点是（1，94）， ∴w 2的解析式是：y ＝﹣14（x ﹣1）2+94＝﹣14x 2+12x +2； （3）存在． 由题意知，(02)C '，，则4CC '=． ①若CC ′是对角线，如图，∵W 1和W 2关于原点对称，∴P 、Q 也关于原点对称， 设点P 到y 轴的距离为h ，∵平行四边形PCQC '的面积=2PCC S '△∴122⨯CC ′•h ＝24， ∴4•h ＝24， ∴h ＝6，即P 点横坐标是6或﹣6，当x ＝6时，y ＝14×62+12×6﹣2＝10， ∴Q （﹣6，10），当x ＝﹣6时，y ＝14×（﹣6）2﹣12×6﹣2＝4， ∴Q （6，﹣4），②当CC ′是边时，PQ ∥CC ′，PQ ＝CC ′，如图，设点Q （x ，211242x x -++），P （x ，211242x x +-）， 由①知：x ＝6或﹣6，当P （6，10）时，∵y ＝﹣14×62+12×6+2＝﹣4， ∴Q （6，﹣4），∴PQ ＝14≠4，当x ＝﹣6时，y ＝﹣14×（﹣6）2+12×（﹣6）+2＝﹣10， ∴PQ ＝14，∴PQ ≠CC ′，∴CC ′不能为边，综上所述，当C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，并且其面积等于24时，点Q 的坐标是（﹣6，10）或（6，﹣4）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，用到了分类讨论思想，本题第三问的关键是根据已知两个点，按边和对角线分类．5．（1）0；（2）图见解析；（3）①3；②10a -<<【分析】（1）那x =-2代入解析式，即可求得m 的值；（2）利用描点法画函数图象即可；（3）①观察图象找出图象与x 轴的交点个数即可求解；②观察图象，找出图象与平行于x 轴直线的交点个数为4个时对应y 的取值范围即可．【详解】（1）x =-2时，m =（-2）2-22⨯- =0；故答案为：0；（2）如图所示（3）①观察图象，可知22y x x =-与x 轴有三个交点，所以22||=0x x -有三个根，分别是2-、0、2；即答案为3；②∵关于x 的方程22||x x a -=有四个根，∴函数22y x x =-的图象与y =a 有四个交点，由函数图象知：a 的取值范围是10a -<<．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程，其中观察函数图像的能力是解答本题的关键．6．A解析：（1）2312y x x =-++；（2）DE AE 的最大值为45；（3）914511924145(P -+-+或9177317()P --+ 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；（2）构造出△AGE ∽△DEH ，可得DE DH AE AG=，而DE 和AG 都可以用含自变量的式子表示，最后用二次函数最大值的方法求值．（3）先发现△ABC 是两直角边比为2：1的直角三角形，由△BPQ ∽△CAB ，构造出△BPQ ，表示出Q 点的坐标，代入解析式求解即可．【详解】解：（1）分别将C （0，1）、A （﹣12，0）、B （2，0）代入y ＝ax 2+bx +c 中得110424201a b c a b c c ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩， 解得：1321a b c =-⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的函数表达式为2312y x x =-++． （2）过A 作AG ∥y 轴交BC 的延长线于点G ，过点D 作DH ∥y 轴交BC 于点H ，∵B （2，0）C （0，1），∴直线BC ：y ＝12x +1，∵A （-12，0），∴G （-12，54）， 设D （23,12m m m -++），则H （1,12m m -+）， ∴DH ＝（2312m m -++）﹣（112m -+）， ＝﹣m 2+2m ，∴AG=54， ∵AG ∥DH ，∴()2224415554DE DH m m m AE AG -+===--+，∴当m ＝1时，DE AE 的最大值为45．（3）符合条件的点P 坐标为（914511924145,416-+-+）或（9177317,44--+）． ∵l ∥BC ， ∴直线l 的解析式为：y ＝-12x ，设P （n ，-12n ），∵A （-12，0），B （2，0），C （0，1），∴AC 2＝54，BC 2＝5，AB 2＝254． ∵AC 2+BC 2＝AB 2，∴∠ACB ＝90°．∵△BPQ ∽△CAB ，∴12BP AC BQ BC ==， 分两种情况说明：①如图3，过点P 作PN ⊥x 轴于N ，过点Q 作QM ⊥x 轴于M ．∵∠PNB ＝∠BMQ ＝90°，∠NBP +∠MBQ ＝90°，∠MQB +∠MBQ ＝90°，∴∠NBP ＝∠MQB ．∴△NBP ∽△MQB ，∴12PN NB BM MQ ==， ∵1,2P n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴1,2PN n ON n ==， ∴BN ＝2﹣n ，∴BM ＝2PN ＝n ，QM ＝2BN ＝4﹣2n ，∴OM ＝OB +BM ＝2+n ，∴Q （2+n ，2n ﹣4），将Q 的坐标代入抛物线的解析式得：()()23221242n n n -++++=-， 2n 2+9n ﹣8＝0， 解得：()1291459145,44n n -+--==舍 ∴P (914511924145,416-+-+)． ②如图4，过点P 作PN ⊥x 轴于N ，过点Q 作QM ⊥x 轴于M ．∵△PNB ∽△BMQ ，又∵△BPQ ∽△CAB ，∴2BC QM AC BN==， ∵1,2P n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴Q （2﹣n ，4﹣2n ），将Q 的坐标代入抛物线的解析式得：()()23221422n n n --+-+=-， 化简得：2n 2﹣9n +8＝0， 解得：)12917917n n -+==舍， ∴P 9177317--+． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，平行线分线段成比例，利用二次函数求线段比的最大值，勾股定理逆定理，相似三角形判定与性质，抛物线与一元二次方程，掌握待定系数法求抛物线解析式，平行线分线段成比例，利用二次函数求线段比的最大值，勾股定理逆定理，相似三角形判定与性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题关键．7．A解析：（1）A （﹣2，0），B （4，0），C （0，﹣8）；（2）存在，Q 点坐标为18)Q ，21722(,)77Q ． 【分析】(1)解方程2280x x --=，可求得A 、B 的坐标，令0x =，可求得点C 的坐标；(2)利用勾股定理计算出AC =BC 的解析式为28y x =-，可设Q （m ，2m ﹣8）（0＜m ＜4），分三种情况讨论：当CQ ＝AC 时，当AQ ＝AC 时，当AQ ＝QC 时，然后分别解方程求出m 即可得到对应的Q 点坐标．【详解】(1)当0y =，2280x x --=，解得x 1＝﹣2，x 2＝4，所以(2,0)A -，(4,0)B ，x ＝0时，y ＝﹣8，∴(0,8)C -；(2)设直线BC 的解析式为y kx b =+，把(4,0)B ，(0,8)C -代入解析式得：408k b b +=⎧⎨=-⎩，解得28k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的解析式为28y x =-，设Q （m ，2m ﹣8）（0＜m ＜4），当CQ ＝CA 时，22(288)68m m +-+=，解得，1m =2m =∴Q 8)， 当AQ ＝AC 时，22(2)(28)68m m ++-=，解得：128m 5=（舍去），m 2＝0（舍去）； 当QA ＝QC 时，2222(2)(28)(2)m m m m ++-=+，解得177m =， ∴Q 1722(,)77-．综上所述，满足条件的Q 点坐标为18)Q ，21722(,)77Q -． 【点睛】 本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，会利用勾股定理表示线段之间的关系，会运用分类讨论的思想解决数学问题．8．C解析：（1）241y x x =-+-；（2）2；（3）b d c e =-⎧⎨=-⎩【分析】（1）先求出抛物线C 1的顶点坐标，进而得出抛物线C 2的顶点坐标，即可得出结论； （2）设正方形AMBN 的对角线长为2k ，得出B （2，3＋2k ），M （2＋k ，3＋k ），N （2−k ，3＋k ），再用点M （2＋k ，3＋k ）在抛物线y ＝（x −2）2＋3上，建立方程求出k 的值，即可得出结论；（3）先根据抛物线C 1，C 2的顶点相同，得出b ，d 的关系式，再由两抛物线的顶点在x 轴，求出c ，e 的关系，即可得出结论．【详解】解：（1）解：（1）∵y ＝x 2−4x ＋7＝（x −2）2＋3，∴顶点为（2，3），∴其“对顶”抛物线的解析式为y ＝−（x −2）2＋3，即y ＝−x 2＋4x −1；（2）如图，由（1）知，A （2，3），设正方形AMBN 的对角线长为2k ，则点B （2，3＋2k ），M （2＋k ，3＋k ），N （2−k ，3＋k ），∵M （2＋k ，3＋k ）在抛物线y ＝（x −2）2＋3上，∴3＋k ＝（2＋k −2）2＋3，解得k ＝1或k ＝0（舍）；∴正方形AMBN 的面积为12×(2k )2＝2；（3）根据抛物线的顶点坐标公式得，抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为（2b a -，244ac b a -），抛物线C 2：y ＝−ax 2＋dx ＋e 的顶点为（2d a ，244ae d a---）， ∵抛物线C 2是C 1的“对顶”抛物线， ∴22b d a a-=， ∴=-b d ，∵抛物线C 1与C 2的顶点位于x 轴上， ∴224444ac b ae d a a---=-， ∴c e =-，即b d c e=-⎧⎨=-⎩． 【点睛】此题主要考查了抛物线的顶点坐标公式，正方形的性质，理解新定义式解本题的关键． 9．B解析：（1）215222y x x =-+；（2）P （2，1）；（3）21N ⎛- ⎝，1N ⎛- ⎝，()0,0N ，1811,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）求出点B ，带入求解即可；（2）设,22t P t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(),0Q t ，()215,20＜＜422D t t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，根据中点的性质列式计算即可； （3）根据菱形的性质分类讨论即可；【详解】（1）令1202x -+=，解得：4x =， ∴()4,0B ，令0x =，则2y =，∴()0,2C ，把1,0A ，()4,0B 代入()220y ax bx a =++≠中，∴2016420a b a b ++=⎧⎨++=⎩， ∴12a =，52b =-， ∴215222y x x =-+； （2）设,22t P t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(),0Q t ，()215,20＜＜422D t t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵Q 为PD 中点， ∴2115-2202222t t t ⎛⎫++-+=⨯ ⎪⎝⎭， ∴213402t t -+=， ∴12t =，24t =（舍），∴()2,1P ；（3）①如图，由题意可得：PD 为菱形的边，,PM DN 为菱形的对角线，//,PD MN 2,PD MN DM === 由（2）可得：()2,1P ，()2,1D -，2,PD ∴= 设22,1M m m -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,42N m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 由2DM =可得：()221234,2m m ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭ 整理得：()()51820,m m --=解得：1218,2,5m m == 检验：2m =不合题意舍去，取18,5m =1811811,,,.5555M N ⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭如图，PD 为菱形的边， //,PD MN 2,PD MN DN ===同理可得：4225,1555N ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭或45252,1.55N ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭②如图，当PD 为对角线时，由()2,1P ，()2,1D -，()()4,0,0,0,B O可得：,M B 重合，,N O 重合时，四边形PMDN 为菱形，()0,0.N ∴ 综上：4225,1555N ⎛- ⎝，425,1555N ⎛- ⎝，()0,0N ，1811,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合菱形的判定与性质、等腰三角形的性质和一元二次方程的求解是解题的关键．10．A解析：（1）211433y x x =-++；（2）)22222PN m =-m ＝2时，PN 的最大值为223；（3）Q (1，3)或(522，8522-) 【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解．（2）由PN ＝PQ sin ∠PQN 2（﹣13m 2+13 m +4+m ﹣4）即可求解． （3）分AC ＝AQ 、AC ＝CQ 、CQ ＝AQ 三种情况，当AC ＝AQ 时，构造直角三角形AMQ 利用勾股定理可求坐标，AC ＝CQ 时，先求BQ 再求MB ，即可得到坐标，CQ ＝AQ 时，联立解得不合题意．【详解】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y ＝a （x +3）（x ﹣4）＝a （x 2﹣x ﹣12）＝ax 2﹣ax ﹣12a ，即：﹣12a ＝4，解得：a ＝﹣13， 则抛物线的表达式为211433y x x =-++，（2）设点P （m ，﹣13m 2+13m +4），则点Q （m ，﹣m +4）， ∵OB ＝OC ，∴∠ABC ＝∠OCB ＝45°＝∠PQN ，PN ＝PQ sin ∠PQN（﹣13m 2+13m +4+m ﹣4（m ﹣2）2， ∵0， ∴PN 有最大值， 当m ＝2时，PN． （3）存在，理由：点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），则AC ＝5，AB ＝7，BC ＝∠OBC ＝∠OCB ＝45°，将点B （4，0）、C （0，4）的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b得044k b b =+⎧⎨=⎩ 解得14k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +4…①，设直线AC 的解析式为y=mx+n把点A （﹣3，0）、C （0，4）代入得034m n n =-+⎧⎨=⎩ 解得434m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AC 的表达式为：y ＝43x +4， 设直线AC 的中点为K （﹣32，2），过点M 与CA 垂直直线的表达式中的k 值为﹣34， 设过点K 与直线AC 垂直直线的表达式为y ＝﹣34x +q把K（﹣32，2）代入得2=﹣34×（﹣32）+q解得q=7 8∴y＝﹣34x+78…②，①当AC＝AQ时，如图1，则AC＝AQ＝5，设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），故点Q（1，3），②当AC＝CQ时，如图1，CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝2﹣5，则QM＝MB 852-，故点Q 52852-③当CQ＝AQ时，联立①②，43748y xy x=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得，x＝252（舍去），综上所述点Q的坐标为：Q（1，3）或Q（522，822-）．【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、一次函数的图像与性质、二次函数的图像与性质及等腰三角形的性质．二、中考几何压轴题11．教材呈现：见解析；探究：16；拓展：．【分析】教材呈现：先根据三角形全等的性质可得，再根据线段的和差可得，然后根据平行四边形的判定即可得证；探究：先根据旋转的性质可得，再根据等底同高可得，从而解析：教材呈现：见解析；探究：16；拓展：【分析】教材呈现：先根据三角形全等的性质可得,OE OF OA OC ==，再根据线段的和差可得OG OH =，然后根据平行四边形的判定即可得证；探究：先根据旋转的性质可得4DGF S =，再根据等底同高可得122ADE DOE EOF DEF S S S S ====，从而可得4AOE S =，然后根据三角形中位线定理即可得；拓展：先根据正方形的性质和面积可得4,90AB BC B ==∠=︒，从而可得4,2AC GH AE ===，再根据相似三角形的判定与性质可得OE AE BC AC =，从而可得OE =EGH S =得．【详解】教材呈现：补充完整证明过程如下：,OE OF OA OC ∴==，又∵AG CH =，∴ OA AG OC CH -=-，即OG OH =，∴四边形EHFG 是平行四边形；探究：如图，连接OE ，由旋转的性质得：118422DGF DEF DEFG S S S ===⨯=四边形， 点O 是AC 的中点，点D 是AO 的中点，点F 是CO 的中点，AD OD OF CF ∴===，由等底同高得：114222ADE DOE EOF DEF SS S S ====⨯=， 224AOE ADE DOE S S S ∴=+=+=，又点E 是AB 的中点，点O 是AC 的中点， OE ∴是ABC 的中位线，44416ABC AOE S S ∴==⨯=，故答案为：16；拓展：如图，过点E 作EO GH ⊥于点O ，四边形ABCD 是面积为16的正方形，4,90AB BC B ∴==∠=︒， 2242AC AB BC ∴=+=， GH AB =，4GH ∴=，点E 是AB 的中点，122AE AB ∴==， 在AOE △和ABC 中，90OAE BAC AOE ABC ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩， AOE ABC ∴~，OE AE BC AC ∴=，即2442OE =， 解得2OE =， 11422222EGHS GH OE ∴=⋅=⨯⨯=， 由教材呈现可知，四边形EHFG 是平行四边形，则四边形EHFG 的面积为222242EGH S=⨯=，故答案为：42．【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是拓展，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．12．（1）相等，；（2）是等边三角形，理由见解析；（3）面积的最大值为.【分析】（1）根据＂点分别为的中点＂，可得MNBD ，NPCE ，根据三角形外角和定。