第1讲 (学生4份) 实数(提高)知识讲解
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的概念实数，这个在数学世界中极为基础且重要的概念，是我们理解数量关系和解决数学问题的关键。
简单来说，实数就是包括有理数和无理数的数集。
有理数，我们都很熟悉，像整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）都属于有理数。
而无理数呢，则是那些无限不循环小数，比如大家熟知的圆周率π，还有根号 2 等等。
实数可以直观地理解为在数轴上能找到对应点的数。
也就是说，数轴上的每一个点都代表着一个实数，反之，每一个实数也都能在数轴上找到对应的点。
二、有理数有理数是实数的重要组成部分。
整数，像－3、0、5 这样的数，它们没有小数部分，清晰明了。
分数呢，比如 1/2、3/4 ，可以表示为两个整数的比值。
有理数具有一些很重要的性质。
比如，两个有理数相加、相减、相乘或相除（除数不为 0），结果仍然是有理数。
而且，有理数是可以用有限小数或无限循环小数来表示的。
我们在日常生活中，很多常见的数量关系都可以用有理数来描述。
比如购物时的价格、物品的数量等等。
三、无理数无理数虽然不像有理数那样“规矩”，但在数学中同样不可或缺。
像根号 2 ，它的值约为 141421356……，这个小数无限且不循环。
圆周率π，约为31415926……，也是一个无限不循环小数。
无理数的发现，让人们对数学的认识更加深入和丰富。
虽然它们的数值看起来没有规律，但通过数学方法和计算，我们可以对它们进行近似和研究。
四、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法、除法和乘方等。
加法和减法：实数的加法和减法遵循相同的规则，即将对应位上的数字相加或相减，并考虑进位和借位。
乘法：两个实数相乘，先将它们按照整数乘法的规则相乘，然后确定积的符号（同号得正，异号得负），最后根据小数位数确定积的小数点位置。
除法：将除数变为倒数，然后与被除数相乘。
乘方：一个实数的 n 次幂，就是将这个实数乘以自身 n 次。
在进行实数运算时，要特别注意运算顺序，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。
2024年《实数》实数教学课件
2024年《实数》实数教学课件一、教学内容本节课选自2024年教材《数学》七年级下册，第十章实数部分。
详细内容包括：实数的定义与性质、无理数的概念、实数的分类、实数与数轴的关系以及实数的四则运算。
二、教学目标1. 让学生理解实数的定义，掌握实数的性质，能够区分有理数与无理数。
2. 培养学生运用实数解决实际问题的能力，提高数学运算技巧。
3. 通过实数的学习，培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
三、教学难点与重点教学难点：无理数的理解与运算，实数与数轴的关系。
教学重点：实数的定义与性质，实数的分类，实数的四则运算。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备，实数教学课件，数轴模型。
2. 学具：练习本，铅笔，直尺。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示生活中的实例，如测量物体长度、计算面积等，引出实数的概念。
2. 知识讲解：(1) 实数的定义与性质：介绍实数的概念，分析实数的性质，如封闭性、有序性等。
(2) 无理数的概念：讲解无理数的定义，举例说明无理数的特点。
(4) 实数与数轴的关系：讲解实数在数轴上的表示方法，分析实数与数轴的关系。
(5) 实数的四则运算：介绍实数的四则运算规则，分析运算过程中的注意事项。
3. 例题讲解：选取典型例题，讲解解题思路，分析解题方法。
4. 随堂练习：布置实数相关练习题，让学生巩固所学知识，及时发现问题并进行解答。
六、板书设计1. 实数的定义与性质2. 无理数的概念3. 实数的分类4. 实数与数轴的关系5. 实数的四则运算6. 典型例题与解题方法七、作业设计1. 作业题目：2. 答案：(1) 是实数：5，3/2，π；不是实数：√2。
(2) 结果为实数。
(3) 见作业本。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对实数的概念和性质掌握情况良好，但对无理数的理解与运算还需加强练习。
2. 拓展延伸：引入复数的概念，让学生了解实数与复数的关系，为后续学习打下基础。
重点和难点解析1. 教学难点：无理数的理解与运算。
第1讲 实数初步(学生版)
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
2在
，，
，， ， ， ，
，
个．
，，
中无理数有
例题7
如图， 流．
，数轴上点 对应的数是什么？你能在数轴上找到 对应的点吗？与同伴进行交
例题8 1 如图，在数轴上点 和点 之间表示整数的点共有
个．
2 如果 的小数部分为 ， 的整数部分为 ，则
的值为
．
3 已知
的小数部分为 ，
接下来，希帕索斯利用毕达哥拉斯学派常用的方法——反证法，证明出了这个数字无法表示为两个 整数之比：假设数为a=q/p，假设q、p是化为最简分数比后的整数，即q、p互素，根据勾股定理， 12+22=a2=(q/p)2，化简为2p2=q2，从这个算式可以看出，q2是偶数，那么q也是偶数，q、p互素，所以p 肯定是奇数。
平方根 求一个数的平方根的运算，叫做开平方(开方)，平方运算和开方运算互为逆运算．
的计算
易错点： 1、注意区分“×是×的平方根”与“×的平方根是×”． 2、注意求算术平方根的平方根，应该先求出算术平方根再算它的平方根．
经典例题
例题1
1 求下列各数的平方根与算术平方根：
(1) (2) (3) (4) (5)
④如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等；⑤算术平方根一定是正
数．
A.
B.
C.
D.
3 一个正数的两个相异的平方根是
和 ，则
.
例题3
求下列各式中 的值： (1) (2) (3)
二、立方根的定义和性质
知识导航
定义
示例剖析
⑴概念：如果一个数的立方等于 ，则这个数叫做
实数ppt课件
原点
数轴上的零点，表示0。
正半轴
数轴上右边的点表示正实数。
负半轴
数轴上左边的点表示负实数。
实数在数轴上的表示
实数
在数轴上有唯一确定的点与之对 应。
相反数
在数轴上与原点对称的点表示相反 数。
绝对值
在数轴上到原点的距离表示绝对值 。
数轴上的点与实数的关系
点与实数一一对应
数轴上的每一个点都表示一个唯一的实数。
实数的四则运算
01
总结词：实数的四则运算是加 法、减法、乘法和除法的统称
。
02
详细描述
03
04
1. 加法和减法：实数的加法 和减法满足交换律、结合律和
相反律。
2. 乘法和除法：实数的乘法 和除法满足交换律、结合律和
分配律。
03
实数与数轴
数轴的定义
01
02
03
04
数轴
一条水平的直线，用来表示实 数的连续范围。
实数还可以根据其正 负性分为正实数、负 实数和零。
无理数：无限不循环 小数，如π、根号2 等。
02
实数的运算
加法与减法
详细描述
2. 结合律：加法或减法的结合律 是指括号如何结合不会影响结果 。例如，a+(b+c)=(a+b)+c和a(b+c)=a-(b+c)。
总结词：实数的加法与减法是基 础运算，它们具有交换律、结合 律和相反律。
2. 结合律：乘法或除法的结合律是指括 号如何结合不会影响结果。例如， a(bc)=(ab)c。
详细描述
1. 交换律：乘法或除法的交换律是指改 变运算顺序不会影响结果。例如， ab=ba和a/b=b/a。
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的概念在数学的世界里，实数是我们经常接触和运用的一个重要概念。
那什么是实数呢？简单来说，实数就是有理数和无理数的统称。
有理数包括整数和分数。
整数像－3、－2、－1、0、1、2、3 等等，分数则是可以表示为两个整数之比的数，比如 1/2、3/4 等。
而无理数则是那些不能表示为两个整数之比的数，最常见的就是圆周率π和开方开不尽的数，如√2 等。
二、实数的分类为了更好地理解和研究实数，我们对其进行分类。
1、按定义分类有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。
无理数：无限不循环小数。
2、按正负分类正实数：包括正有理数（正整数和正分数）和正无理数。
零：既不是正数也不是负数。
负实数：包括负有理数（负整数和负分数）和负无理数。
实数具有许多重要的性质，这些性质是我们进行数学运算和解决问题的基础。
1、有序性任意两个实数 a 和 b，要么 a ＜ b，要么 a ＝ b，要么 a ＞ b，这三种关系必有一种成立。
2、稠密性在任意两个不同的实数之间，都存在着无穷多个实数。
3、四则运算封闭性两个实数进行加、减、乘、除（除数不为 0）运算，其结果仍然是实数。
四、实数的数轴表示实数与数轴上的点是一一对应的关系。
也就是说，数轴上的每一个点都对应着一个唯一的实数，反过来，每一个实数也都可以在数轴上找到对应的点。
我们以 0 为原点，向右为正方向，单位长度为 1。
比如，数字 2 就在原点右边 2 个单位长度的位置，－3 就在原点左边 3 个单位长度的位置。
通过数轴，我们可以直观地比较实数的大小。
数轴上右边的点所表示的实数总是大于左边的点所表示的实数。
1、加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
一个数与 0 相加，仍得这个数。
例如：3 ＋ 5 ＝ 8，－3 ＋（－5) ＝－8，3 ＋（－5) ＝－2。
2、减法减去一个数，等于加上这个数的相反数。
《实数》数学教学PPT课件(3篇)
| 3 | 3 , | 0 | 0 , | - | .
例2 比较下列各组数中两个数的大小：
（1）3.14与π；
3
（2）-√3与√-3.
解：（1）∵π≈3.141，
∴3.14<π.
（2）∵ -√3 ≈-1.732，
3
√-3
≈-1.442
3
∴ -√3< √-3
例3 求下列各数的相反数和绝对值：
随堂测试
1 3
1．在实数− 5 , −27, 2 , 16, 8, 0中，无理数的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【详解】
1 3
5
2
解：在实数− , −27, , 16, 8, 0中，无理
数有 2 , 8这2个，
故选：B．
随堂测试
2．下列说法不正确的是(
)
A．如果数轴上的点表示的数不是有理数，那么就一定是无理数
（）
2 3 2．
（）
1 5π ；
解: （1） 5 π 2.236 3.142 5.38；
（2） 3 2 1.732 1.414 2.45 .
探究
问题1.能在直角坐标系中描示出点( ,1)吗？
2
y
直角坐标系中
的点和有序实数对
是一一对应的.
－2
－1
有序实数对
( 2,1)
A．点A
B．点B
C．点C
）
D．点D
【答案】B
【详解】
解：∵ 1＜ 3＜ 4，即1＜ 3＜2，
∴﹣2＜− 3＜﹣1，
∴由数轴知，与− 3对应的点距离最近的是点B，
(中考复习)第1讲 实数的有关概念 公开课获奖课件
对接点一：有理数与无理数
常考角度：1.实数的分类，无理数的定义； 2．算术平方根、零指数、负整数指数的直接计算； 3．特殊角的三角函数值．
【例题 1】 (2013·湖州)实数π ，15，0，－1 中，无理数
是
()
A．π
1 B.5
Hale Waihona Puke C．0D．－1解析 根据常见的无理数的三种形式判断，只有π
是无理数．
－1，∴a2 013＝(－1)2 013＝－1.
答案 B
对接点三：科学记数法、近似数与有效数字
常考角度：1.用科学记数法表示一个数及单位换算；
2．根据要求取近似数和保留有效数字；
3．近似数精确到的位数．
【例题3】 (2013·嘉兴)据统计，1959年南湖革命纪念馆成
立以来，约有2 500万人次参观了南湖红船(中共一大会
－1 在 3 和 4 之间．
答案 C
【名师课堂】
1．两边逼近法：用能开的尽方的两个正数的算术平方根逼 近：如(1) 9＜ 13＜ 16，即 3＜ 13＜4；(2) 2.42＜ 6＜
2.52，2.4＜ 6＜2.5. 2．要特别注意算术平方根和平方根的区别和联系．
【预测4】 实数－27的立方根是____________． 解析 ∵(－3)3＝－27，∴－27的立方根是－3. 答案 －3
第一板块 基础知识梳理
第一部分 数与式 第一讲 实数的有关概念
考纲要求
1.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数； b 2.理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数、 b
倒数和绝对值(绝对值符号内不含字母)； 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点的 a
一一对应关系； 4.了解平方根、算术平方根、立方根的概念；知道开方 a
人教版实数知识点总结PPT
人教版实数知识点总结PPT一、实数的概念及分类1. 实数的概念实数是包括有理数和无理数在内的数的集合。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，无理数是不能表示为两个整数的比值的数。
2. 实数的分类实数可以分为有理数和无理数两大类。
有理数包括整数、分数和纯循环小数等，而无理数包括无限不循环小数等。
二、实数的运算1. 实数的加法实数的加法遵循结合律、交换律和分配律，无论是相同性质的数相加，还是不同性质的数相加，都能得到正确的结果。
2. 实数的减法实数的减法可以转换为加法运算，例如a-b可以转换为a+(-b)来进行计算。
3. 实数的乘法实数的乘法同样遵循结合律、交换律和分配律，任何两个实数相乘都能得到一个实数。
4. 实数的除法实数的除法也可以转换为乘法运算，例如a÷b可以转换为a×(1/b)进行计算。
5. 实数的乘方实数的乘方包括正整数次方、负整数次方和零次方等，实数的乘方满足一些特殊的性质。
6. 实数的开方实数的开方包括二次根、三次根、四次根等，开方的结果可能是有理数也可能是无理数。
三、实数的大小比较1. 实数的绝对值实数a的绝对值是a的非负数表示形式，规定|a|=a，当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a。
2. 实数的大小比较实数的大小比较包括同号数的比较和异号数的比较，同号数比较时绝对值大的数更大，异号数比较时正数大于负数。
3. 实数的大小关系在数轴上，实数的大小关系可以通过数轴上的点的位置来表示，可以方便的比较大小关系。
四、实数的运算性质1. 实数加法的性质实数的加法具有封闭性、结合性、交换性和可逆性等性质。
2. 实数乘法的性质实数的乘法具有封闭性、结合性、交换性和可逆性等性质。
3. 实数的分配律实数的加法和乘法具有分配律，即a(b+c)=ab+ac。
4. 实数的对称性实数具有对称性，即对于任意实数a和b，有-a=-b。
五、实数的应用1. 实数的应用范围实数的概念和运算性质在现实生活中有着广泛的应用，包括物体的长度、时间的计算、货币的计算等。
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中最基本的概念之一。
简单来说，实数就是有理数和无理数的统称。
有理数，包括整数和分数。
整数如－3、0、5 等，分数如 1/2、－3/4 等。
这些数都可以表示为两个整数的比值。
而无理数，则是无限不循环小数，比如圆周率π约等于 31415926，以及根号 2 约等于 14142135实数的概念让我们能够描述和处理各种数量关系，无论是在日常生活中的测量、计算，还是在科学研究中的复杂运算，实数都扮演着至关重要的角色。
二、实数的性质1、有序性实数具有有序性，即任意两个实数 a 和 b，要么 a ＜ b，要么 a ＝ b，要么 a ＞ b。
例如，3 ＜ 5，－25 ＞－3 等。
这种有序性让我们能够比较数的大小，从而进行排序和选择。
2、稠密性实数是稠密的，这意味着在任意两个不相等的实数之间，总是存在着无穷多个其他实数。
比如在 1 和 2 之间，有 11、12、125 等等无数个实数。
3、四则运算封闭性实数对四则运算（加、减、乘、除，除数不为 0）是封闭的。
也就是说，两个实数进行四则运算的结果仍然是实数。
例如，3 ＋ 5 ＝ 8，6 25 ＝ 35，4 × 2 ＝ 8，8 ÷ 2 ＝ 4 等。
三、实数的表示方法1、小数表示实数可以用小数来表示。
有限小数，如 025、314 等，能准确地表示为有理数。
无限循环小数，如 0333（1/3），也是有理数。
无限不循环小数，如π、根号 2 等，则是无理数。
2、数轴表示我们可以用数轴来直观地表示实数。
数轴上的每一个点都对应着一个唯一的实数，反之，每一个实数也都能在数轴上找到对应的点。
例如，0 对应的点在数轴的正中间，正数在 0 的右边，负数在 0 的左边。
四、实数的运算1、加法实数的加法遵循交换律和结合律。
交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a例如，2 ＋ 3 ＝ 3 ＋ 2 ＝ 5结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)例如，（1 ＋ 2) ＋ 3 ＝ 1 ＋（2 ＋ 3) ＝ 62、减法减法是加法的逆运算。
第1讲 实数
9.
常见运算
乘方
几个相同因数的积;负数的偶（奇）次方为正（负）
例：
（1）计算：1-2-6=_-7__;(-2)2=___4__;
3-1=_1/3_;π0=__1__;
(2)64的平方根是_±8__,算术平方根是__8_,立方根是__4__.
失分点警示：类似“的算术平方根”计算错误.例：相互对比填一填：16的算术平方根是4___,的算术平方根是___2__.
零次幂
a0=_1_(a≠0)
负指数幂
a-p=1/ap（a≠0，p为整数）
平方根、
算术平方根
若x2=a（a≥0）,则x= .其中 是算术平方根.
立方根
若x3=a,则x= .
10.混合运算
先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左
向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号一来自进行.计算时，可以结合运算律，
（3）失分点警示：开得尽方的含根号的数属于有理数，如=2，=-3，它们都属于有理数.
知识点二：实数的相关概念
2.数轴
（1）三要素：原点、正方向、单位长度
（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大
例：
数轴上-2.5表示的点到原点的距离是2.5.
3.相反数
（1）概念：只有符号不同的两个数
-a(a＜0).b-a(a＜b)
（3）非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0,则a=b=0.
（1）若|x|=a（a≥0），则x=±a.
（2）对绝对值等于它本身的数是非负数.
例：5的绝对值是5；|-2|=2；绝对值等于3的是±3;|1-|=-1.
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类型四、实数的综合运用 例 4、已知 (a 2b 1)2 b 3 0 ，且 3 c 4 ，求 3 a3 b3 c 的值．
举一反三： 【变式】已知
x 3 y | x2 9 | x 0 ，求 的值． 2 y ( x 3)
3
例 5、如图所示：在平行四边形 ABCO 中，点 A、C 的坐标分别是 A( 5, 5) ， C(2 5,0) ．
a a
8
7、下面 5 个数：3.1416, 2 个 D、3 个
1
, ,3.14, 1 ，其中是有理数的有（ ）A、0 个 B、1 个 C、
8、已知 x 0, y 0, 且x 2 xy 15 y 0, 求
2x+ xy 3 y 的值。 x xy y
9
、
已
1
3
1 5 20 4 ， 5 ，3 8 ， ，0，0.3737737773„„ 2 ， ， 7 ，π ， ， 2 ， 4 2 3 9
（相邻两个 3 之间 7 的个数逐次增加 1）
„
„
有理数集合
无理数集合
总结：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 常见的无理数有三种形式： ①含π 类.②看似循环而实质不循环的数， 如： 0.3737737773„„ ③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如 3 2 ， 7 ， 举一反三： 1．判断正误，在后面的括号里对的用 “√” ，错的记“×”表示，并说明理由. (1)无理数都是开方开不尽的数.( ) (2)无理数都是无限小数.( ) (3)无限小数都是无理数.( ) (4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( ) (5)不带根号的数都是有理数.( ) (6)带根号的数都是无理数.( ) (7)有理数都是有限小数.( ) (8)实数包括有限小数和无限小数.( ) 类型二、实数大小的比较 例 2、比较 2010 1 与 1949 1 的大小．
6
（3）△ABC 的三边长为 a、b、c，a 和 b 满足 a 1 b 4b 4 0 ，求 c 的取值范围。
2
（4）已知 x (
2a 4a
a 3 3 a 3 a
)1993 ，求 x 的个位数字。
训练题： 一、填空题
2 1、 (9) 的算术平方根是
。 米。
2、 已知一块长方形的地长与宽的比为 3： 2， 面积为 3174 平方米， 则这块地的长为 3、已知 a 1 (b 1)2 0, 则3 a b 4、已知 y 。
） C． 1 或 0
D． 1 或 0 或 1
B． 3 是 (3)2 的平方根
C． 102 能进行开平方运算 D． 2 是 8 的立方根 18. 在下列说法中，错误的是（ ） A．无限小数都是无理数 B．实数与数轴上的点一一对应 C．无理数都是无限小数 D．带有根号的数不都是无理数 3 19. 若底面为正方形的蓄水池容积是 4.86m ，水池的深为 1.5m ，则水池底面边长 是（ ） A． 3.24m B． 1.8m C． 0.324 m D． 0.18m 20．若 a 1 (b 2)2 c 3 0 ，则 a b2 c3 的值等于（ A． 0 B． 6 C． 24
） D． 9 3 D． 2 ）
C． 9 3
12. 立方根等于 8 的数是（ A． 512 B． 64
13. 在数轴上点 A 表示 3 ， 点 B 表示 3 2 ， 则 A、 （ B 两点之间的距离等于 A． 2 3 2
1 3
B． 2 2 3
C． 2 ）
D． 2
。
14、使式子
5 x2 有意义的 x 的取值范围是 x2
1 1 6, 则 a 的值为 a a
。
15、若 0 a 1, 且a
16、一个正数 x 的两个平方根分别是 a+1 和 a-3，则 a= ,x= . 17、写出一个只含有字母的代数式， 要求： （1）要使此代数式有意义，字母必须取全体实数； （2）此代数式的值恒为负数。 。 二、选择题：
7
8、 已知实数 a, b, c满足
1 1 c a-b 2b c c 2 c 0, 则 的算术平方根是 2 4 ab
。
。
9、已知 x、y 是有理数，且 x、y 满足 2x2 3 y y 2 23 3 2 ，则 x+y= 10、由下列等式：
3
2
2 2 3 3 3 4 4 23 , 3 3 33 , 4 4 3 , „„ 7 7 26 26 63 63
1 x2 x2 1 4 , 则( 3 2 ) x y = x 1
。
5、设等式 a( x a) a( y a)
x a a y 在实数范围内成立，其中 a、x、y 是
。
两两不相等的实数，则
3x 2 xy y 2 的值是 x 2 xy y 2
有理数：有限小数或无限循环小数 无理数：无限不循环小数
按性质的大小关系分：
正有理数 正数 正无理数 实数 0 负有理数 负数 负无理数
2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之 对应. 要点三、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于 0，负实数小于 0，两个负数，绝对值大的反而小. 要点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为 0） 、 乘方运算，而且正数及 0 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行 实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【典型例题】 类型一、实数概念 例 1、把下列各数分别填入相应的集合内：
42 32
． ． m．
．
； 442 332 55 ； 4442 3332
；„„
4
2 2 4 33 3 观察上面几道题的计算结果， 试猜想： 44 2008 个 2008 个
．
二、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 11. “ 9 的平方根是 3 ” ，用式子表示就是（ A． 9 3 B． 9 3 ） C． 2
6、已知 a、b 为正数，则下列命题成立的： 若 a b 2, 则 ab 1; 若a b 3, 则 ab
3 ；若a b 6, 则 ab 3. 2
。 。
根据以上 3 个命题所提供的规律，若 a+6=9，则 ab 7、已知实数 a 满足 1999 a a 2000 a, 则a 19992
第1讲
实 数
【学习目标】 1. 了解无理数和实数的意义； 2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 . 【要点梳理】 要点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 要点诠释： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环， 不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含π 类.②看似循环而实质不循环的数， 如：1.313113111„„.③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽， 如 5. 要点二、实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数
2，
20 ， 5 . 3
举一反三： 变式：已知实数 x 、 y 、 z 在数轴上的对应点如图所示，试化简：
| x y|| y z|| x z|
| xz| ． xz
2
类型三、实数的运算 例 3、求 m2 3 m3 的值．
举一反三： 【变式】若 a 的两个平方根是方程 3x 2 y 2 的一组解． （1）求 a 的值； （2）求 a 的算术平方根．
（4）设 a、b 是两个不相等的有理数，试判断实数 由。
a 3 是有理数还是无理数，并说明理 b 3
例 5 （1）已知 2m-3 和 m-12 是数 p 的平方根，试求 p 的值。
（2）已知 m，n 是有理数，且 ( 5 2)m (3 2 5)n 7 0 ，求 m，n 的值。
3 1、 ( 6) 的平方根是(
)A、-6
B、6
C、±6
D、± 6
2、下列命题：①（-3）2 的平方根是-3 ；②-8 的立方根是-2；③ 9 的算术平方根是 3；④ 平方根与立方根相等的数只有 0； 2个 C、3 个 D、4 个 其中正确的命题的个数有（ ） A、1 个 B、
3、若 3 5的小数部分是a，3- 5的小数部分是b, 则a b的值为（ A、0 B、 1 C、-1 ) D、2 A、
知
：
x, y, z适合关系式 3x y z 2 2x y z x y 2002 2002 x y , 试求x,y,z的值。
10、在实数范围内，设 a (
4x x 1
x 2 2 x 2 x
) 2006 ，求 a 的个位数字是什么？
2 2 2 11、已知 x、y 是实数，且 ( x y 1) 与 5 x 3 y 3互为相反数，求 x y 的值。
14. 在下列各对数中，互为相反数的是（ A． 与 3 15. B． 3 与 3 ） B． 9
C． 3 9 与 3 9
D． 3 8 与 (2)2
81 的平方根是（
A． 9
C． 3
D． 3
16. 算术平方根等于它本身的数是（ A． 0 B． 1 或 1 17. 在下列说法中，正确的是（ ） A． 1 的平方根是 1
。 。 。 ,y= .
所揭示的规律，可得出一般的结论是
2 3 3
11、已知实数 a 满足 a a a 0, 那么 a 1 a 1 12、设 A 6 2, B 5 3, 则 A、B 中数值较小的是 13、在实数范围内解方程