高考数学二轮集合与常用逻辑用语、函数与导数课时作业4附解析新人教A版
2024年高考指导数学(人教A版理科第一轮复习)目录
课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。
高考数学二轮复第习一阶段专题一第一节集合与常用逻辑用语课件理43页PPT
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(3)“CAo的py充ri分gh不t必20要1条9-件2是01B9”A是s指poBs能e推P出tyAL，td且.A不能
推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不
能推出A.
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函数这C个op中y心rig，h抓t 2住0导19数-2的0工19具A性s，p以os函e 数Pt、y不L等td式. 、
导数等几个方面围绕它们的定义、运算、性质、图像和
应用展开复习．
定义是学好集合与常用逻辑用语的关键，必须准确掌握各
个基本概念，把握定义的实质和各个概念之间的关系．
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不等式的性质是不等式的核心，是不等式的求解与证明、
利用基本不等式求解最值问题的重要依据．解不等式时要注意
不等式的等价变形，而利用基本不等式求最值应构造“定积求
和”或“定和求积”的形E式v，al从ua而ti求on得o最n值ly，. 而解决线性规划问题 eate的d关w键it是h 正A确sp做os出e.可S行lid域e．s for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0
高中数学(新人教A版)必修第一册：第1章章末 集合与常用逻辑用语【精品课件】
达标检测
1.已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有
A.2个
√B.4个
C.6个
D.8个
2.命题p：“对任意一个实数x，均有x2≥0”，则 命题 的否定p为( C ) (A)存在x0∈R，使得x02 ≤0 (B)对任意x∈R，均有x2≤0 (C)存在x0∈R，使得 x02 <0 (D)对任意x∈R，均有x2<0
解题技巧： 1.若已知集合是用描述法给出的,则读懂集合的代表元 素及其属性是解题的关键. 2.若已知集合是用列举法给出的,则整体把握元素的共 同特征是解题的关键. 3.对集合中的元素要进行验证,保证集合内的元素不重 复.
【跟踪训练1】 设集合A={x∈Z|0<x<4},B={x|(x4)(x-5)=0},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则集合M中元素 的个数为( )
解：CU B x x 1或x>2 可画数轴如下：
1
12
1
数形结合的思想 x 1 1 2数轴法 x
A B=x 1 x 2 A B=x x>-1
A (CU B) x x 2 A (CU B) x x 1或x 1
点评 (I),画数轴上方的线时，同一集合画同一高度，
不同的集合画不同的高度。
3 2
或
a≥32
解题技巧：
1.若所给集合是有限集,则首先把集合中的元素一一列举 出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.另外,针对 此类问题,在解答过程中也常常借助Venn图来求解.这样处 理起来比较直观、形象,且解答时不易出错.
分析： 画出韦恩图，形 象地表示出各数 量关系的联系
方法归纳：解决这一类问题一般借用数形结合，借 助于Venn 图，把抽象的数学语言与直观 的图形结合起来
高考数学二轮滚动检测集合常用逻辑用语不等式函数与导数试卷理含解析试题
集合、常用逻辑(luó jí)用语、不等式、函数与导数本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部，一共150分，考试(kǎoshì)时间是是120分钟．第一卷一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目(tímù)要求的)1．(2021·高考(ɡāo kǎo))函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，那么f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2【解析】 当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，∴f (1)＝12＋11＝2.∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2. 【答案】 A2．(2021·高考)“φ＝π〞是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点〞的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，此时曲线y ＝sin(2x ＋φ)必过原点，但曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点时，φ可以取其他值，如φ“φ＝π〞是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点〞的充分而不必要条件．【答案】 A3．(2021·模拟)设a ＝log2，b ＝log3，c ＝2，d 2，那么这四个数的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c ＜d B ．b ＜a ＜d ＜c C ．b ＜a ＜c ＜dD ．d ＜c ＜a ＜b【解析(jiě xī)】 由函数(hánshù)y ＝log x 是减函数(hánshù)知， log3＜log2＜0.又22＜1，所以(suǒyǐ)b ＜a ＜d ＜c . 【答案】 B4．以下函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos 2x ，x ∈R B ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0 C ．y ＝e x －e －x 2，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R【解析】 A 中，y ＝cos 2x 在(0，π2)上递减，A 不满足题意．C 中函数为奇函数，D 中函数非奇非偶．对于B ：y ＝log 2|x |(x ≠0)是偶函数，在(1,2)内是增函数． 【答案】 B5．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，那么目的函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )A ．11B ．10【解析】 作出不等式组表示的可行域，如图阴影局部所示．又z ＝2x ＋3y ＋1可化为y ＝－23x ＋z 3－13，结合图形可知z ＝2x ＋3y ＋1在点A 处获得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5＝0，x －y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，故A (3,1)． 此时z ＝2×3＋3×1＋1＝10. 【答案(dá àn)】 B6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1， x ＜2，log 3(x 2－1)，x ≥2，那么(nà me)不等式f (x )＜2的解集为( ) A ．(10，＋∞) B ．(－∞，1)∪[2，10) C ．(1,2]∪(10，＋∞)D ．(1，10)【解析(jiě xī)】 原不等式等价(děngjià)于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，log 3(x 2－1)＜2，或者⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，2e x －1＜2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，0＜x 2－1＜9，或者⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，x －1＜0，解得2≤x ＜10或者x ＜1. 【答案】 B7．(2021·模拟)符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，那么函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 的零点个数为( )A ．1B ．2C．3 D．4【解析】当x>1时，ln x>0，sgn(ln x)＝1，∴f(x)＝1－ln2x，令f(x)＝0，得x＝e.当x＝1时，ln x＝0，sgn(ln x)＝0，∴f(x)＝－ln2x，令f(x)＝0，得x＝1满足．当0<x<1时，ln x<0，sgn(ln x)＝－1，∴f(x)＝－1－ln2x<0，f(x)＝0无解．∴函数f(x)的零点为x＝1与x＝e.【答案】 B8．(2021·高考)函数y＝x cos x＋sin x的图象大致为()【解析(jiě xī)】函数(hánshù)y＝x cos x＋sin x为奇函数，那么(nàme)排除B；当x 时，y＝1＞0，排除(páichú)C；当x＝π时，y＝－π＜0，排除A，应选D.＝π2【答案】 D9．(2021·模拟)定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x＋1)是偶函数，(x－1)f′(xx1＜x2，且x1＋x2＞2，那么f(x1)与f(x2)的大小关系是()A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)＞f (x 2)D ．不确定【解析】 由(x －1)f ′(x )＜0可知，当x ＞1时，f ′(x )＜0函数递减，当x ＜1时，f ′(x )＞0函数递增，因为函数f (x ＋1)是偶函数，所以f (x ＋1)＝f (1－x )，f (x )＝f (2－x )，即函数的对称轴为x ＝1.所以假设1＜x 1＜x 2，那么f (x 1)＞f (x 2)．假设x 1＜1，那么必有x 2＞1，那么x 2＞2－x 1＞1，此时由f (x 2)＜f (2－x 1)，即f (x 2)＜f (2－x 1)＝f (x 1)，综上f (x 1)＞f (x 2)，选C.【答案】 C10．(2021·高考)假设S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，那么S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1【解析(jiě xī)】 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝13×23－13＝73，S 2＝⎠⎛121xd x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e(e －1)，ln 2<ln e ＝1，且73<2.5<e(e －1)，所以(suǒyǐ)ln 2<73<e(e－1)，即S 2<S 1<S 3.【答案(dá àn)】 B11．小王从甲地到乙地往返的时速(shí sù)分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，那么( )A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2【解析】 设甲、乙两地之间的间隔 为s .∵a <b ，∴v ＝2ss a ＋s b ＝2sab (a ＋b )s ＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab . 又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v >a .【答案】 A12．(2021·高考)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图1－1所示，那么以下结论中一定成立的是( )图1－1A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数(hánshù)f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数(hánshù)f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)【解析(jiě xī)】 当x ＜－2时，y ＝(1－x )f ′(x )＞0，得f ′(x )＞0； 当－2＜x ＜1时，y ＝(1－x )f ′(x )＜0，得f ′(x )＜0； 当1＜x ＜2时，y ＝(1－x )f ′(x )＞0，得f ′(x )＜0； 当x ＞2时，y ＝(1－x )f ′(x )＜0，得f ′(x )＞0，∴f (x )在(－∞，－2)上是增函数(hánshù)，在(－2,1)上是减函数，在(1,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，∴函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)． 【答案】 D第二卷二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在题中横线上)13．(2021·模拟)第一象限的点(a ，b )在直线2x ＋3y －1＝0上，那么代数式2a ＋3b 的最小值为________．【解析】 由题意知2a ＋3b ＝1，a ＞0，b ＞0，那么2a ＋3b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋3b (2a ＋3b )＝4＋9＋6b a ＋6ab≥13＋26b a ·6a b ＝25，当且仅当a ＝b ＝15时取等号，即2a ＋3b的最小值为25. 【答案】 2514．y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1，假设g (x )＝f (x )＋2，那么g (－1)＝________. 【解析】 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1， ∴f (－1)＋(－1)2＝－[f (1)＋12]，∴f (－1)＝－3. 因此g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 【答案】 －115．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x ＞0，那么(nà me)f (2 013)＝________.【解析(jiě xī)】 当x ＞0时，∵f (x )＝f (x －1)－f (x －2)， ∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －2)，即f (x ＋3)＝－f (x )，∴f(x＋6)＝f(x)，即当x＞0时，函数(hánshù)f(x)的周期(zhōuqī)是6.又∵f(2 013)＝f(335×6＋3)＝f(3)，由得f(－1)＝log22＝1，f(0)＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝0－1＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1－0＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0，∴f(2 013)＝0.【答案】016．函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，假设f(x)在x＝a处获得极大值，那么a 的取值范围是________．【解析】假设a＝0，那么f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；假设a＝－1，那么f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；假设a＞0，当x∈(－1，a)时，f′(x)＜0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝a处获得极小值；假设－1＜a＜0，当x∈(－1，a)时，f′(x)＞0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在x＝a处获得极大值；假设a＜－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)＜0，当x∈(a，－1)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝a处获得极小值，所以a∈(－1,0)．【答案】(－1,0)三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤)17．(本小题满分(mǎn fēn)是10分)集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)＞0}，B＝{y |y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3}．(1)假设(jiǎshè)A ∩B ＝∅，求a 的取值范围(fànwéi)；(2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立(chénglì)的a 的最小值时，求(∁R A )∩B . 【解】 A ＝{y |y ＜a 或者y ＞a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．(1)当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4，a ≤2，∴3≤a ≤2或者a ≤－ 3.∴a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，2]． (2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0， 依题意Δ＝a 2－4≤0， ∴－2≤a ≤2. ∴a 的最小值为－2.当a ＝－2时，A ＝{y |y ＜－2或者y ＞5}． ∴∁R A ＝{y |－2≤y ≤5}． ∴(∁R A )∩B ＝{y |2≤y ≤4}．18．(本小题满分是12分)函数f (x )＝2x ＋k ·2－x ，k ∈R . (1)假设函数f (x )为奇函数，务实数k 的值；(2)假设对任意的x ∈[0，＋∞)都有f (x )＞2－x 成立，务实数k 的取值范围． 【解】 (1)∵f (x )＝2x ＋k ·2－x 是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，即2－x ＋k ·2x ＝－(2x ＋k ·2－x )，∴(1＋k )＋(k ＋1)·22x ＝0对一切x ∈R 恒成立， ∴k ＝－1.(2)∵x ∈[0，＋∞)，均有f (x )＞2－x ， 即2x ＋k ·2－x ＞2－x 成立(chénglì)， ∴1－k ＜22x 对x ≥0恒成立(chénglì)， ∴1－k ＜(22x )min ，∵y ＝22x 在[0，＋∞)上单调(dāndiào)递增， ∴(22x )min ＝1， ∴k ＞0.∴实数(shìshù)k 的取值范围是(0，＋∞)．19．(本小题满分是12分)(2021·高考)设L 为曲线C ：y ＝ln x x 在点(1,0)处的切线．(1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方． 【解】 (1)设f (x )＝ln xx ，那么f ′(x )＝1－ln x x 2.所以f ′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g (x )＝x －1－f (x )，那么除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )>0(∀x >0，x ≠1)．g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln x x 2. 当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减；当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增．所以，g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．20．(本小题满分是12分)(2021·模拟)函数f (x )＝13ax 3＋(a －2)x ＋c 的图象如图1－2所示．图1－2(1)求函数y ＝f (x )的解析(jiě xī)式；(2)假设(jiǎshè)g (x )＝kf ′(x )x－2ln x 在其定义域内为增函数，务实(wù shí)数k 的取值范围(fànwéi)．【解】 (1)∵f ′(x )＝ax 2＋a －2，由图可知函数f (x )的图象过点(0,3)，且f ′(1)＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝3，2a －2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，a ＝1.∴f (x )＝13x 3－x ＋3. (2)∵g (x )＝kf ′(x )x －2ln x ＝kx －k x －2ln x ，∴g ′(x )＝k ＋k x 2－2x ＝kx 2＋k －2x x 2. ∵函数y ＝g (x )的定义域为(0，＋∞)，∴假设函数y ＝g (x )在其定义域内为单调增函数，那么函数g ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，即kx 2＋k －2x ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立．即k ≥2x x 2＋1在区间(0，＋∞)上恒成立． 令h (x )＝2x x 2＋1，x ∈(0，＋∞)， 那么h (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤1(当且仅当x ＝1时取等号)． ∴k ≥1.∴实数k 的取值范围是[1，＋∞)．21．(本小题满分是12分)(2021·模拟)某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(128x ＋20)x 25k 元．假设座位等距分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y 元．(1)试写出y 关于(guānyú)x 的函数(hánshù)关系式，并写出定义域；(2)当k ＝50米时，试确定座位的个数，使得(shǐ de)总造价最低？【解】 (1)设转盘(zhuànpán)上总一共有n 个座位，那么x ＝k n 即n ＝k x，y ＝3k 2x ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(128x ＋20)x 25k 2x ， 定义域⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0＜x ≤k 2，k x ∈Z . (2)y ＝f (x )＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋(128x ＋20)25， y ′＝－125＋64x 3225x 2k 2，令y ′＝0得x ＝2516. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2516时，f ′(x )＜0，即f (x )在x ∈⎝⎛⎭⎫0，2516上单调递减， 当x ∈⎝⎛⎭⎫2516，25时，f ′(x )＞0，即f (x )在x ∈⎝⎛⎭⎫2516，25上单调递增， y 的最小值在x ＝2516时取到，此时座位个数为502516＝32个． 22．(本小题满分是12分)(2021·模拟)函数f (x )＝13x 3－ax ＋1. (1)求x ＝1时，f (x )获得极值，求a 的值；(2)求f (x )在[0,1]上的最小值；(3)假设对任意m ∈R ，直线y ＝－x ＋m 都不是曲线y ＝f (x )的切线，求a 的取值范围．【解】 (1)因为f ′(x )＝x 2－a ，当x ＝1时，f (x )获得极值(jí zhí)，所以f ′(1)＝1－a ＝0，a ＝1.又当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以(suǒyǐ)f (x )在x ＝1处获得(huòdé)极小值，即a ＝1符合(fúhé)题意．(2)当a ≤0时，f ′(x )＞0对x ∈(0,1)成立，所以f(x)在[0,1]上单调递增，f(x)在x＝0处取最小值f(0)＝1，当a＞0时，令f′(x)＝x2－a＝0，x1＝－a，x2＝a，当0＜a＜1时，a＜1，x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，x∈(a，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝a处获得最小值f(a)＝1－2a a3.当a≥1时，a≥1，x∈[0,1]时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)在x＝1处获得最小值f(1)＝4－a.3综上所述，当a≤0时，f(x)在x＝0处取最小值f(0)＝1；当0＜a＜1时，f(x)在x＝a处获得最小值f(a)＝1－2a a；3－a.当a≥1时，f(x)在x＝1处获得最小值f(1)＝43(3)因为∀m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f(x)的切线，所以f′(x)＝x2－a≠－1对x∈R成立，只要f′(x)＝x2－a的最小值大于－1即可，而f′(x)＝x2－a的最小值为f(0)＝－a，所以－a＞－1，即a＜1.所以(suǒyǐ)a的取值范围(fànwéi)是(－∞，－1)．内容总结。
高考数学考前刷题大卷练4 集合、常用逻辑用语、函数与导数(文)(含解析)-人教版高三全册数学试题
大卷练4 集合、常用逻辑用语、函数与导数大卷练一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.[2019·东北三省四市模拟]已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，B ＝{x |－2≤x ≤3}，那么阴影部分表示的集合为( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤3} 答案：D解析：由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁U A )∩B ＝{x |－1≤x ≤3}，故选D. 2．[2017·卷，6]设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：由存在负数λ，使得m ＝λn ，可得m 、n 共线且反向，夹角为180°，则m ·n ＝－|m |·|n |<0，故充分性成立．由m ·n <0，可得m ，n 的夹角为钝角或180°，故必要性不成立．故选A.3．[2019·某某马某某第一次教学质量检测]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f ( 2 018)＝( )A ．44B ．45C ．1 009D ．2 018 答案：A解析：由442＝1 936,452＝2 025可得1，2，3，…， 2 018中的有理数共有44个，其余均为无理数，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f ( 2 018)＝44.4．[2019·某某模拟]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x＋log 2x ，则f (2 015)＝( )A ．5 B.12C ．2D ．－2 答案：D解析：由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2，故选D.5．[2019·某某某某五校联考]下列函数中既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．f (x )＝2x －2－xB ．f (x )＝x 2－1 C ．f (x )＝log 12|x | D ．f (x )＝x sin x答案：B解析：f (x )＝2x－2－x是奇函数，故不满足条件；f (x )＝x 2－1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故满足条件；f (x )＝log 12|x |是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件；f (x )＝x sin x 是偶函数，但是在(0，＋∞)上不单调．故选B.6．[2019·某某第一中学一诊模拟]设a ＝213，b ＝log 43，c ＝log 85，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >b >a 答案：A解析：由指数函数的性质知a >1，由对数函数的性质得0<b <1,0<c <1.c 可化为log 235；b 可化为log 23，∵(35)6<(3)6，∴b >c ，∴a >b >c ，故选A.7．已知函数f (x )＝x 2－4x ＋2的定义域为[1，t ]，f (x )的最大值与最小值之和为－3，则实数t 的取值X 围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．(2,3) 答案：B解析：f (x )＝x 2－4x ＋2的图象开口向上，对称轴为x ＝2，f (1)＝－1，f (2)＝－2.当1<t <2时，f (x )max ＝f (1)＝－1，f (x )min >f (2)＝－2，则f (x )max ＋f (x )min >－3，不符合题意；当t ≥2时，f (x )min ＝f (2)＝－2，则f (x )max ＝－3－f (2)＝－1，令f (x )＝－1，则x 2－4x ＋2＝－1，解得x ＝1或x ＝3，∴2≤t ≤3.故选B.8．[2019·某某某某第一次大联考]若函数f (x )＝a x－k ·a －x(a >0且a ≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g (x )＝log a (x ＋k )的大致图象是( )答案：B解析：由题意得f (0)＝0，得k ＝1，a >1，所以g (x )＝log a (x ＋1)为(－1，＋∞)上的单调递增函数，且g (0)＝0，故选B.9．[2019·某某大卷练]已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( )A ．(－3,3)B ．(－11,4)C ．(4，－11)D ．(－3,3)或(4，－11) 答案：C解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝0，f1＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，消去b 可得a2－a －12＝0，解得a ＝－3或a ＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，这时f (x )无极值，不合题意，舍去，故选C.10．[2019·某某某某郊联体模拟]如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(2,3) 答案：C解析：由函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象得0<b <1，f (1)＝0，即有a ＝－1－b ，从而－2<a <－1.而g (x )＝ln x ＋2x ＋a ，在定义域内单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋1＋a <0，g (1)＝ln1＋2＋a ＝2＋a >0，∴函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故选C. 11．[2019·某某某某第一中学模拟]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋6，x ≥0，3x ＋4，x <0，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3，满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1＋x 2＋x 3的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤113，6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫203，263C.⎝⎛⎦⎥⎤203，263 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫113，6答案：D解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋6，x ≥0，3x ＋4，x <0的图象如图，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 2，x 3关于直线x ＝3对称，故x 2＋x 3＝6，且x 1满足－73<x 1<0，则－73＋6<x 1＋x 2＋x 3<0＋6，即x 1＋x 2＋x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫113，6.故选D. 12．[2019·某某某某一中质检]已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax .若g (x )＝1ex ，且对任意x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，存在x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使f ′(x 1)≤g (x 2)成立，则实数a 的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，e e －8 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e e －8，＋∞ C ．[2，e) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－33，e 2 答案：A解析：对任意x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，存在x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使f ′(x 1)≤g (x 2)，∴[f ′(x )]max ≤[g (x )]max . 又f ′(x )＝(x ＋1)2＋a －1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，∴[f ′(x )]max ＝f ′(2)＝8＋a .而g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，则[g (x )]max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e e ，∴8＋a ≤e e ，则a ≤ee－8.故选A. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．log 327－log 33＋(5－1)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫9412＋cos 4π3＝________.答案：0解析：原式＝log 3(27÷3)＋1－32－12＝1＋1－32－12＝0.14．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若命题p 且q 是真命题，则实数a 的取值X 围是__________．答案：{a |a ≤－2或a ＝1}解析：由x 2－a ≥0，得a ≤x 2，因为x ∈[1,2]，所以a ≤1.要使q 成立，则有Δ＝4a2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0，解得a ≥1或a ≤－2.因为命题p 且q 是真命题，所以p ，q同时为真，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1a ≥1或a ≤－2，故a ≤－2或a ＝1.15．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋1，x <1，3－5x ，x ≥1，则f (f (0))＝________.答案：－2解析：因为f (0)＝1，所以f (f (0))＝f (1)＝－2.16．[2019·某某八校联考]曲线y ＝x 3上一点B 处的切线l 交x 轴于点A ，△OAB (O 为原点)是以∠A 为顶角的等腰三角形，则切线l 的倾斜角为________．答案：60°解析：解法一 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2.设点B (x 0，x 30)(x 0≠0)，则k l ＝3x 20，所以切线l 的方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)．取y ＝0，则x ＝23x 0，所以点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 0，0.易知线段OB 的垂直平分线方程为y －x 302＝－1x 20x －x 02，根据线段OB 的垂直平分线过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 0，0可得－x 302＝－1x 20⎝⎛⎭⎪⎫23x 0－x 02，解得x 20＝33，所以k l ＝3x 20＝3，故切线l 的倾斜角为60°.解法二 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2.设点B (x 0，x 30)(x 0≠0)，则k l ＝3x 20，所以切线l 的方程为y －x 3＝3x 20(x －x 0)．取y ＝0，则x ＝23x 0，所以点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 0，0.由|OA |＝|AB |，得4x 209＝x 209＋x 60，又x 0≠0，所以x 20＝33，所以k l ＝3x 20＝3，故切线l 的倾斜角为60°. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋nx 2＋1的定义域为R ，值域为[]0，2，求m ，n 的值．解析：由y ＝f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋n x 2＋1，得3y ＝mx 2＋8x ＋n x 2＋1，即()3y －m ·x 2－8x ＋3y－n ＝0∵x ∈R ，∴Δ＝64－4(3y －m )(3y －n )≥0，即32y －(m ＋n )·3y＋mn －16≤0 由0≤y ≤2，得1≤3y≤9，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1＋9mn －16＝1×9，解得m ＝n ＝5.18．(本小题满分12分)[2019·某某调研测试(二诊)]已知曲线f (x )＝ln 2x ＋a ln x ＋ax在点(e ，f (e))处的切线与直线2x ＋e 2y ＝0平行，a ∈R .(1)求a 的值； (2)求证：f x x >aex . 解析：(1)f ′(x )＝－ln 2x ＋2－a ln xx2，由f ′(e)＝－1＋2－a e 2＝－2e 2，解得a ＝3.(2)证明：f (x )＝ln 2x ＋3ln x ＋3x，f ′(x )＝－ln x ln x ＋1x 2.由f ′(x )>0，得1e<x <1，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 和(1，＋∞)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上单调递增． ①当x ∈(0,1)时，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫3x e x ′＝31－x e x，∴3xex 在(0,1)上单调递增， ∴3x e x <3e <e ，∴f (x )>3x e x ，即f x x >3ex . ②当x ∈[1，＋∞)时，ln 2x ＋3ln x ＋3≥0＋0＋3＝3. 令g (x )＝3x 2ex ，则g ′(x )＝32x －x 2ex .∴g (x )在[1,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减， ∴g (x )≤g (2)＝12e2<3，∴ln 2x ＋3ln x ＋3>3x 2e x ，即f x x >3ex .综上，对任意x >0，均有f x x >3ex . 19．(本小题满分12分)定义在R 上的函数f (x )对任意a ，b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )＋k (k 为常数)． (1)判断k 为何值时，f (x )为奇函数，并证明；(2)设k ＝－1，f (x )是R 上的增函数，且f (4)＝5，若不等式f (mx 2－2mx ＋3)>3对任意x ∈R 恒成立，某某数m 的取值X 围．解析：(1)k ＝0时，f (x )为R 上的奇函数，证明如下： 令a ＝x ，b ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为R 上的奇函数．(2)k ＝－1时，令a ＝b ＝2，则f (4)＝2f (2)－1，f (2)＝3 ∴f (mx 2－2mx ＋3)>f (2)恒成立，又f (x )是R 上的增函数，∴mx 2－2mx ＋3>2恒成立 即mx 2－2mx ＋1>0m ＝0时，3>2恒成立m ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0得0<m <1综上m 的取值X 围为[0,1)． 20．(本小题满分12分)[2019·某某馆陶县一中月考]设函数f (x )＝ln x －(a ＋1)x ，a ∈R . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当函数f (x )有最大值且最大值大于3a －1时，求a 的取值X 围． 解析：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－(a ＋1)＝1－a ＋1xx.①当a ＋1≤0，即a ≤－1时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ＋1>0，即a >－1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1a ＋1， (ⅰ)当0<x <1a ＋1时，f ′(x )>0，函数单调递增； (ⅱ)当x >1a ＋1时，f ′(x )<0，函数单调递减． 综上所述，当a ≤－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a >－1时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ＋1上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1，＋∞上单调递减．(2)由(1)得，若f (x )有最大值，则a >－1，且f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＝ln 1a ＋1－1.∵函数f (x )的最大值大于3a －1. ∴ln1a ＋1－1>3a －1，即ln(a ＋1)＋3a <0(a >－1)． 令g (a )＝ln(a ＋1)＋3a (a >－1)，∵g (0)＝0且g (a )在(－1，＋∞)上单调递增， ∴－1<a <0.故a 的取值X 围为(－1,0)．21.(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2＋bx －1(b ∈R )．(1)当b ＝1时证明：函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在唯一零点； (2)若当x ∈[1,2]，不等式f (x )<1有解．某某数b 的取值X 围． 解析：(1)由b ＝1，得f (x )＝x 2＋x －1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12－1＝－14<0，f (1)＝12＋1－1＝1>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (1)<0，所以函数f (x )在区间(12，1)内存在零点．又由二次函数的图象，可知f (x )＝x 2＋x －1在(12，1)上单调递增，从而函数f (x )在区间(12，1)内存在唯一零点．(2)方法1：由题意可知x 2＋bx －1<1在区间[1,2]上有解， 所以b <2－x 2x ＝2x－x 在区间[1,2]上有解．令g (x )＝2x－x ，可得g (x )在区间[1,2]上递减，所以b <g (x )max ＝g (1)＝2－1＝1 ，从而实数b 的取值X 围为(－∞，1)． 方法2：由题意可知x 2＋bx －2<0在区间[1,2]上有解．令g (x )＝x 2＋bx －2，则等价于g (x )在区间[1,2]上的最小值小于0. 当－b2≥2即b ≤－4时，g (x )在[1,2]上递减，∴g (x )min ＝g (2)＝2b ＋2<0，即b <－1，所以b ≤－4；当1<－b 2<2即－4<b <－2时，g (x )在[1，－b2]上递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－b2，2上递增，∴g (x )min ＝g (－b 2)＝(b2)2－b 22－2＝－b 24－2<0恒成立．所以－4<b <－2；当－b2≤1即b ≥－2时，g (x )在[1,2]上递增，∴g (x )min ＝g (1)＝b －1<0 即b <1，所以－2≤b <1. 综上可得b ≤－4或－4<b <－2或－2≤b <1，所以b <1， 从而实数b 的取值X 围为(－∞，1) 22．(本小题满分12分)[2018·全国卷Ⅱ]已知函数f (x )＝e x －ax 2. (1)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1； (2)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a .解析：(1)证明：当a ＝1时，f (x )≥1等价于(x 2＋1)e －x－1≤0.设函数g (x )＝(x 2＋1)e －x－1，则g ′(x )＝－(x 2－2x ＋1)·e －x＝－(x －1)2e －x. 当x ≠1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，＋∞)单调递减． 而g (0)＝0，故当x ≥0时，g (x )≤0，即f (x )≥1. (2)设函数h (x )＝1－ax 2e －x.f (x )在(0，＋∞)只有一个零点等价于h (x )在(0，＋∞)只有一个零点．(i)当a ≤0时，h (x )>0，h (x )没有零点； (ii)当a >0时，h ′(x )＝ax (x －2)e －x.当x ∈(0,2)时，h ′(x )<0; 当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0. 所以h (x )在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增． 故h (2)＝1－4ae 2是h (x )在(0，＋∞)的最小值．①若h (2)>0，即a <e24，h (x )在(0，＋∞)没有零点．②若h (2)＝0，即a ＝e24，h (x )在(0，＋∞)只有一个零点．③若h (2)<0，即a >e24，因为h (0)＝1，所以h (x )在(0,2)有一个零点；由(1)知，当x >0时，e x>x 2，所以h (4a )＝1－16a 3e 4a ＝1－16a3e2a2>1－16a32a4＝1－1a>0，故h (x )在(2,4a )有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)有两个零点．综上，当f (x )在(0，＋∞)只有一个零点时，a ＝e24.。
高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第四讲 不等式教案 理-人教版高三
第四讲不等式年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅰ卷线性规划求最值·T131.选择、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式性质为主，重点求目标函数的最值，有时也与其他知识交汇考查．2.基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，很少考查．3.不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数交汇考查.Ⅱ卷线性规划求最值·T142017Ⅰ卷线性规划求最值·T14Ⅱ卷线性规划求最值·T5Ⅲ卷线性规划求最值·T132016Ⅰ卷一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1不等式比较大小、函数的单调性·T8线性规划的实际应用·T16Ⅱ卷一元二次不等式的解法、集合的并集运算·T2Ⅲ卷一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1不等式比较大小、函数的单调性·T6线性规划求最值·T13不等式性质及解法授课提示：对应学生用书第9页[悟通——方法结论]1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c 同号，那么其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，那么其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．2．解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．3．解含参数不等式要正确分类讨论．[全练——快速解答]1．(2018·某某一模)a >b >0，c <0，以下不等关系中正确的是( ) A ．ac >bcB ．a c>b cC ．log a (a －c )>log b (b －c )D.aa －c >bb －c解析：法一：(性质推理法)A 项，因为a >b ，c <0，由不等式的性质可知ac <bc ，故A 不正确；B 项，因为c <0，所以－c >0，又a >b >0，由不等式的性质可得a －c >b －c>0，即1a c >1bc >0，再由反比例函数的性质可得a c <b c，故B 不正确； C 项，假设a ＝12，b ＝14，c ＝－12，那么log a (a －c )＝1＝0，log b (b －c )＝34>1＝0，即log a (a －c )<log b (b －c )，故C 不正确；D 项，a a －c －bb －c ＝a (b －c )－b (a －c )(a －c )(b －c )＝c (b －a )(a －c )(b －c )，因为a >b >0，c <0，所以a －c >b －c >0，b －a <0，所以c (b －a )(a －c )(b －c )>0，即a a －c －b b －c>0，所以aa －c >bb －c，故D 正确．综上，选D.法二：(特值验证法)由题意，不妨取a ＝4，b ＝2，c ＝－2. 那么A 项，ac ＝－8，bc ＝－4，所以ac <bc ，排除A ； B 项，a c ＝4－2＝116，b c ＝2－2＝14，所以a c <b c，排除B ；C 项，log a (a －c )＝log 4(4＋2)＝log 4 6，log b (b －c )＝log 2(2＋2)＝2，显然log 4 6<2，即log a (a －c )<log b (b －c )，排除C.综上，选D. 答案：D2．(2018·某某四校联考)不等式mx 2＋nx －1m <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >2，那么m －n ＝( )A.12 B ．－52C.52D ．－1解析：由题意得，x ＝－12和x ＝2是方程mx 2＋nx －1m ＝0的两根，所以－12＋2＝－n m 且－12×2＝－1m 2(m <0)，解得m ＝－1，n ＝32，所以m －n ＝－52. 答案：B 3．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，所以x ≥4；②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，所以0≤x <2.综上，不等式的解集是[0,2)∪[4，＋∞)．答案：B4．x ∈(－∞，1]，不等式1＋2x ＋(a －a 2)·4x>0恒成立，那么实数a 的取值X 围为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－2，14B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32D.(]－∞，6解析：根据题意，由于1＋2x＋(a －a 2)·4x >0对于一切的x ∈(－∞，1]恒成立，令2x＝t(0<t≤2)，那么可知1＋t ＋(a －a 2)t 2>0⇔a －a 2>－1＋tt2，故只要求解h (t)＝－1＋tt 2(0<t≤2)的最大值即可，h (t)＝－1t 2－1t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122＋14，又1t ≥12，结合二次函数图象知，当1t ＝12，即t ＝2时，h (x )取得最大值－34，即a －a 2>－34，所以4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32，故实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案：C5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x ＋1)，x ≥0，－x 3，x <0，那么使得f (x )≤1成立的x 的取值X 围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，lg (x ＋1)≤1得0≤x ≤9，由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 3≤1得－1≤x <0，故使得f (x )≤1成立的x 的取值X 围是[－1,9]．答案：[－1,9]1．明确解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． 2．掌握不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x )>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )max <a . (2)f (x )>g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )的图象在g (x )的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的X 围，谁就是变量，求谁的X 围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．基本不等式授课提示：对应学生用书第10页[悟通——方法结论]求最值时要注意三点：“一正〞“二定〞“三相等〞．所谓“一正〞指正数，“二定〞是指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等〞是指等号成立．[全练——快速解答]1．(2018·某某模拟)x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，那么x ＋y 的最小值为( ) A ．8B ．9 C ．12 D ．16解析：由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x＝1，那么x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝〞，应选B.答案：B2．(2017·高考某某卷)假设a ，b ∈R ，ab >0，那么a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为ab >0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.答案：43．(2017·高考某某卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x 的值是________．解析：由题意，一年购买600x 次，那么总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30. 答案：30掌握基本不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：假设无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋Ag (x )＋Bg (x )(A >0，B >0)，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．简单的线性规划问题授课提示：对应学生用书第10页[悟通——方法结论] 平面区域的确定方法解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，那么z ＝x －y 的取值X 围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值X 围是[－3,2]．答案：B2．平面上的单位向量e 1与e 2 的起点均为坐标原点O ，它们的夹角为π3.平面区域D 由所有满足OP →＝λe 1＋μe 2的点P 组成，其中⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，0≤λ，0≤μ，那么平面区域D 的面积为( )A.12B. 3C.32D.34解析：建立如下图的平面直角坐标系，不妨令单位向量e 1＝(1,0)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，设向量OP →＝(x ，y )，因为OP →＝λe 1＋μe 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋μ2，y ＝3μ2，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝x －3y3，μ＝23y 3，因为⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，λ≥0，μ≥0，所以⎩⎨⎧3x ＋y ≤3，3x －y ≥0，y ≥0表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，所以平面区域D 的面积为34，应选D. 答案：D3．(2018·某某模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序．生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一X 桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1 500元，生产一X 桌子的利润为2 000元．该厂每个月木工最多完成8 000个工作时、漆工最多完成1 300个工作时．根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元．解析：设该厂每个月生产x 把椅子，y X 桌子，利润为z 元，那么得约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤8 000，2x ＋y ≤1 300，z ＝1 500x ＋2 000y .x ，y ∈N ，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2 000，2x ＋y ≤1 300，x ≥0，y ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示，画出直线3x ＋4y ＝0，平移该直线，可知当该直线经过点P 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2 000，2x ＋y ＝1 300，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200，y ＝900，即P (200,900)，所以z max ＝1 500×200＋2 000×900＝2 100 000.故每个月所获得的最大利润为2 100 000元．答案：2 100 000解决线性规划问题的3步骤[练通——即学即用]1．(2018·湘东五校联考)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，且z ＝x ＋y 的最大值为6，那么(x ＋5)2＋y 2的最小值为( )A ．5B ．3 C. 5D. 3解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ，由图形可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 的纵截距最大，此时z 最大，最大值为6，即x ＋y ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，x －y ＝0，得A (3,3)，∵直线y ＝k 过点A ，∴k ＝3.(x ＋5)2＋y 2的几何意义是可行域内的点与D(－5,0)的距离的平方，数形结合可知，(－5,0)到直线x ＋2y ＝0的距离最小，可得(x ＋5)2＋y 2的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫|－5＋2×0|12＋222＝5.应选A. 答案：A2．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，2x ＋y ≤1，记z ＝4x ＋y 的最大值是a ，那么a ＝________.解析：如下图，变量x ，y 满足的约束条件的可行域如图中阴影部分所示．作出直线4x ＋y ＝0，平移直线，知当直线经过点A 时，z取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1，x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，所以A (1，－1)，此时z ＝4×1－1＝3，故a ＝3.答案：33．(2018·高考全国卷Ⅰ)假设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，那么z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max＝3×2＋2×0＝6.答案：6授课提示：对应学生用书第118页一、选择题1．互不相等的正数a ，b ，c 满足a 2＋c 2＝2bc ，那么以下等式中可能成立的是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >aD ．c >a >b解析：假设a >b >0，那么a 2＋c 2>b 2＋c 2≥2bc ，不符合条件，排除A ，D ； 又由a 2－c 2＝2c (b －c )得a －c 与b －c 同号，排除C ；当b >a >c 时，a 2＋c 2＝2bc 有可能成立，例如：取a ＝3，b ＝5，c ＝1.应选B. 答案：B2．b >a >0，a ＋b ＝1，那么以下不等式中正确的是() A ．log 3a >0B ．3a －b<13C ．log 2a ＋log 2b <－2D ．3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥6解析：对于A ，由log 3a >0可得log 3a >log 31，所以a >1，这与b >a >0，a ＋b ＝1矛盾，所以A 不正确；对于B ，由3a －b<13可得3a －b <3－1，所以a －b <－1，可得a ＋1<b ，这与b >a >0，a ＋b ＝1矛盾，所以B 不正确；对于C ，由log 2a ＋log 2b <－2可得log 2(ab )<－2＝log 214，所以ab <14，又b >a >0，a ＋b ＝1>2ab ，所以ab <14，两者一致，所以C 正确；对于D ，因为b >a >0，a ＋b ＝1，所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b >3×2b a ×ab＝6, 所以D 不正确，应选C. 答案：C3．在R 上定义运算：x y ＝x (1－y )．假设不等式(x －a )(x －b )>0的解集是(2,3)，那么a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题知(x －a )(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]>0，即(x －a )[x －(b ＋1)]<0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.答案：C 4．a ∈R ，不等式x －3x ＋a≥1的解集为P ，且－2∉P ，那么a 的取值X 围为( ) A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：∵－2∉P ，∴－2－3－2＋a <1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.答案：D5．x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，那么z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最小值为( )A ．1 B.324C.116D.132解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＝2－3x －y，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x －y最小，最小值为132.应选D.答案：D6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，那么不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)，即f (xx <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0；当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．答案：A7．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝3x －2y 的最小值为0，那么实数m 等于( )A ．4B ．3C ．6D ．5解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝3x －2y 所对应的直线经过点A 时，z 取得最小值0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝m ，求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 3，2m －13.故z 的最小值为3×1＋m 3－2×2m －13＝－m 3＋53，由题意可知－m 3＋53＝0，解得m ＝5.答案：D8．假设对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax恒成立，那么实数a 的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.12 D.22解析：因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12.答案：C9．(2018·某某一模)实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，那么z ＝x 2＋y 2的取值X围为( )A ．[1,13]B ．[1,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，所以z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，所以z max ＝|OA |2＝13，应选C.答案：C10．(2018·某某二模)假设关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，那么x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( ) A.63 B.233 C.433D.263解析：∵关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2>0，又x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2， ∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a ≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号．∴x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433. 答案：C11．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，那么租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，那么约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈N ，作出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．答案：C12．(2018·某某模拟)点P (x ，y )∈{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2}，x ≥－2M (2，－1)，那么OM →·OP→(O 为坐标原点)的最小值为( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由题意知OM →＝(2，－1)，OP →＝(x ，y )，设z ＝OM →·OP →＝2x －y ，显然集合{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2}x ≥－2对应不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2x ≥－2所表示的平面区域．作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝2x －y 对应的直线经过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x ＋2y －2＝0得A (－2,2)，所以目标函数的最小值z min ＝2×(－2)－2＝－6，即OM →·OP →的最小值为－6，应选C.答案：C二、填空题13．(2018·某某模拟)假设a >0，b >0，那么(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 的最小值是________．解析：(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝2＋2b a ＋a b ＋1＝3＋2b a ＋a b，因为a >0，b >0，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ≥3＋22b a ×a b ＝3＋22，当且仅当2b a ＝ab，即a ＝2b 时等号成立．所以所求最小值为3＋2 2.答案：3＋2 214．(2018·高考全国卷Ⅱ)假设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，那么z ＝x ＋y的最大值为________．解析：由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)，x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z (z 看做常数)的横截距最大，由图可得直线x ＋y ＝z 过点C 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点C (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9. 答案：915．(2018·某某模拟)假设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，那么z ＝y －2x ＋3的最小值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，那么有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125. 答案：－12516．a >b >1，且2log a b ＋3log b a ＝7，那么a ＋1b 2－1的最小值为________． 解析：令log a b ＝t ，由a >b >1得0<t<1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2(a －1)·1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号. 故a ＋1b 2－1的最小值为3. 答案：3。
专题02 常用逻辑用语解析版-2025版高中数学一轮复习讲义,知识梳理、考点突破和分层检测
专题02常用逻辑用语（新高考专用）【知识梳理】 (2)【真题自测】 (3)【考点突破】 (10)【考点1】充分、必要条件的判定 (10)【考点2】充分、必要条件的应用 (13)【考点3】全称量词与存在量词 (17)【分层检测】 (20)【基础篇】 (21)【能力篇】 (26)【培优篇】 (29)考试要求：1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定.1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.3.全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，¬p(x)∀x∈M，¬p(x)1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇏A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇏B)两者的不同.2.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)若A是B真子集，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.(3)若A＝B，则p是q的充要条件.3.p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件.4.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.5.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.6.命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假.一、单选题1．（2023·全国·高考真题）设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2．（2023·全国·高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3．（2023·北京·高考真题）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2023·天津·高考真题）已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．（2022·浙江·高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2022·北京·高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2021·全国·高考真题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．（2021·北京·高考真题）已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2021·天津·高考真题）已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件参考答案：1．B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.【详解】当22sin sin 1αβ+=时，例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠，即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B2．C【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+，因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d -=+，则11(1)222n S n d da d n a n -=+=+-，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}n S n 为等差数列，即11,(1)1n n n S S SD S n D n n n+-==+-+，即1(1)n S nS n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立，于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C3．C 【分析】解法一：由2x yyx +=-化简得到0x y +=即可判断；解法二：证明充分性可由0x y +=得到x y =-，代入x y y x+化简即可，证明必要性可由2xyyx +=-去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由x y y x+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入即可，证明必要性可由x yy x+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入，解方程即可.【详解】解法一：因为0xy ≠，且2x yy x+=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2xyyx+=-”的充要条件.解法二：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以x y =-，所以112x y y y yx y y-+=+=--=--，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2xyy x+=-”的充要条件.解法三：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以()2222222222x y xy x y x y x y xy xy xyy x xy xy xy xy+-+++--+=====-，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以()()22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy+-++++-+====-=-，所以()20x y xy+=，所以()20x y +=，所以0x y +=，所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2xyyx+=-”的充要条件.故选：C4．B 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【详解】由22a b =，则a b =±，当0a b =-≠时222a b ab +=不成立，充分性不成立；由222a b ab +=，则2()0a b -=，即a b =，显然22a b =成立，必要性成立；所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件.故选：B5．A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为22sin cos 1x x +=可得：当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立；当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立；所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件.故选：A.6．C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数.若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=，由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >，所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”；若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >，假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->，当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件.故选：C.7．B【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．8．B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====- ,当AB OC ⊥时，a b - 与c垂直，，所以成立，此时a b ≠ ，∴不是a b =的充分条件，当a b = 时，0a b -= ，∴()00a b c c -⋅=⋅=r r r r r ,∴成立，∴是a b =的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.9．A【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数()f x 在[]0,1上单调递增，则()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，若()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，比如()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，但()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，故()f x 在[]0,1上的最大值为()1f 推不出()f x 在[]0,1上单调递增，故“函数()f x 在[]0,1上单调递增”是“()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ”的充分不必要条件，故选：A.10．A【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若6a >，则236a >，故充分性成立；若236a >，则6a >或6a <-，推不出6a >，故必要性不成立；所以“6a >”是“236a >”的充分不必要条件.故选：A.【考点1】充分、必要条件的判定一、单选题1．（2024·北京海淀·一模）设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条直线，且,m l αα⊂⊥.则“l β⊥”是“//m β”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2024·全国·模拟预测）已知(21)(1)i()z a a a =-++∈R，则“||z 是“25a =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题3．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知ABC 中角A ，B 的对边分别为a ，b ，则可作为“a b >”的充要条件的是（）A ．sin sin A B>B ．cos cos A B<C ．tan tan A B >D ．sin 2sin 2A B>4．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数()2sin f x x x =+，设12,R x x ∈，则()()12f x f x >成立的一个充分条件是（）A ．12x x >B ．120x x +>C ．2212x x >D ．12x x >三、填空题5．（2024·全国·模拟预测）“函数tan y x =的图象关于()0,0x 中心对称”是“0sin20x =”的条件．6．（2021·陕西渭南·二模）下列四个命题是真命题的序号为.①命题“,cos 1x R x ∀∈≤”的否定是“,cos 1x R ∃∈>”.②曲线3y x =在0x =处的切线方程是0y =.③函数1,1,()23,1x ae x f x x x -⎧=⎨+>⎩为增函数的充要条件是05a <<.④根据最小二乘法，由一组样本点(,i i x y )(其中1,2,...,300i =)求得的线性回归方程是y bx a =+$$$，则至少有一个样本点落在回归直线y bx a =+$$$上.参考答案：1．A【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.【详解】l β⊥，且l α⊥，所以//αβ，又m α⊂，所以//m β，充分性满足，如图：满足//m β，,m l αα⊂⊥，但l β⊥不成立，故必要性不满足，所以“l β⊥”是“//m β”的充分而不必要条件.故选：A.2．B【分析】由||z a 的等量关系，求解a ，从而判断选项.【详解】因为z ==化简得2520a a -=，解得0a =或25a =，故“z =”是“25a =”的必要不充分条件.故选：B ．3．AB 【分析】由三角形中的大边对大角，利用正弦定理和三角函数的性质，结合充要条件的定义，判断各选项的正误【详解】ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=可知，sin sin A B >时有a b >，a b >时有sin sin A B >，A 选项正确；余弦函数在()0,π上单调递减，ABC 中，当a b >时有A B >，则有cos cos A B <；当cos cos A B <时有A B >，则有a b >，B 选项正确；ABC 中，当a b >时有A B >，当A 为钝角，B 为锐角时，tan 0tan A B <<，C 选项错误；ABC 中，当a b >时有A B >，当A 为钝角，B 为锐角时，sin 20sin 2A B <<，D 选项错误.故选：AB 4．CD【分析】根据给定函数，探讨函数的奇偶性，利用导数探讨函数的单调性，再利用性质即可判断作答.【详解】函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，22()||sin ()||sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=，即函数()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，2()sin f x x x =+，求导得()12sin cos 1sin 20f x x x x '=+=+≥，则函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，对于A ，取122,3x x ==-，满足12x x >，而(2)(3)(3)f f f <=-，A 不是；对于B ，取121,2x x ==，满足120x x +>，而(1)(2)f f <，B 不是；对于CD ，221212||||x x x x >⇔>，于是12(||)(||)f x f x >，由函数()f x 是偶函数得12()()f x f x >，CD 是.故选：CD 5．充分必要【分析】先由函数tan y x =的图象关于()0,0x 中心对称求得0x 的值，再解方程0sin20x =求得0x 的值，进而得到二者间的逻辑关系.【详解】函数tan y x =图象的对称中心为π,0,2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ，所以由“函数y =tan x 的图象关于(x 0,0)中心对称”等价于“0π,2k x k =∈Z ”．因为0sin20x =等价于02π,x k k =∈Z ，即0π,2k x k =∈Z ．所以“函数tan y x =的图象关于()0,0x 中心对称”是“0sin20x =”的是充分必要条件．故答案为：充分必要6．①②【分析】①由含有一个量词的命题的否定的定义判断；②利用导数的几何意义判断；③利用分段函数的单调性求解判断；④根据回归直线恒过样本中心，但样本点不一定在回归直线上判断；【详解】①由含有一个量词的命题的否定知：命题“,cos 1x R x ∀∈≤”的否定是“,cos 1x R ∃∈>”，故正确.②因为3y x =，所以()()2300,0,0y x y y ''===，所以曲线在0x =处的切线方程是0y =，故正确；③若函数1,1,()23,1x ae x f x x x -⎧=⎨+>⎩为增函数，则05a a >⎧⎨≤⎩，解得05a <≤，所以函数为增函数的充要条件是05a <≤，故错误；④回归方程y bx a =+$$$恒过样本点的中心，但样本点不一定落在回归直线上，故错误；故答案为：①②反思提升：充分条件、必要条件的两种判定方法：(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p ，q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.【考点2】充分、必要条件的应用一、单选题1．（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“[]2,1x ∃∈-，20x x a -->”为假命题的一个充分不必要条件是（）A ．14a -≤B ．0a ≤C ．6a ≥D ．8a ≥2．（22-23高二下·湖南·阶段练习）已知集合{}2|120A x x x =--≤，{22|3210}B x x mx m m =-++-<，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（）A ．[]3,2-B ．[]1,3-C ．51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题3．（2021·福建宁德·模拟预测）已知命题p ：关于x 的不等式220x ax a -->的解集为R ，那么命题p 的一个必要不充分条件是（）A ．112a -<<-B ．203a -<<C ．10a -≤≤D ．1a ≥-4．（2023·广东·模拟预测）已知函数()1e ln xf x x -=+，则过点(),(0)a b a >恰能作曲线()y f x =的两条切线的充分条件可以是（）A ．211b a =-<B ．211b a =->C ．()211f a a <-<D ．()211a f a ->>三、填空题5．（2022·吉林长春·模拟预测）设命题():0ln 2ln 3p x <-≤，命题()():2230q x m x m ---≤．若q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是．6．（2024·上海普陀·二模）设等比数列{}n a 的公比为(1,N)q n n ≥∈，则“212a ，4a ，32a 成等差数列”的一个充分非必要条件是.参考答案：1．D【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数a 的取值范围，再求其真子集，即可判断选项.【详解】若命题“[]2,1x ∃∈-，20x x a -->”为假命题，则命题的否定“[]2,1x ∀∈-，20x x a --≤”为真命题，即2a x x ≥-，[]2,1x ∈-恒成立，221124y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，[]2,1x ∈-，当2x =-，取得最大值6y =，所以6a ≥，选项中只有{}8a a ≥是{}6a a ≥的真子集，所以命题“[]2,1x ∃∈-，20x x a -->”为假命题的一个充分不必要条件为8a ≥.故选：D 2．C【分析】解不等式，确定集合A ，讨论m 的范围，确定B ，根据题意推出B A ，由此列出不等式组，即可求得答案.【详解】由题意集合{}2|120[3,4]A x x x =--≤=-，{22|3210}{|(1)(21)0}B x x mx m m x x m x m =-++-<=---+<，若m>2，则211m m ->+，此时(1,21)B m m =+-，因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故BA ,故214513,222m m m m -≤⎧⎪+≥-∴<≤⎨⎪>⎩；若2m <，则211m m -<+，此时(21,1)B m m =-+，因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故BA ,故14213,122m m m m +≤⎧⎪-≥-∴-≤<⎨⎪<⎩；若2m =，则211m m -=+，此时B =∅，满足BA ,综合以上可得51,2m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故选：C 3．CD【分析】求出命题p 成立时a 的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断即可．【详解】命题p ：关于x 的不等式220x ax a -->的解集为R ，则2440a a ∆=+<，解得10a -<<又()1,0-[]1,0-，()1,0-[)1,-+∞，故选：CD ．4．AB【分析】设切点坐标为0100(,e ln )x x x -+，则有00110001eln (e )()x x x b x a x --+-=+-，所以问题转化为方程010000e (1)ln 10(0)x a x a x b x x ----++-=>恰有两个解，令1()e (1)ln 1(0)x ag x x a x b x x-=---++->，然后利用导数求解其零点即可.【详解】由()1e ln x f x x -=+，得11()e (0)x f x x x-'=+>，设切点为0100(,e ln )x x x -+，则切线的斜率为0101e x k x -=+，所以有00110001eln (e )()x x x b x a x --+-=+-，整理可得：010000e(1)ln 10(0)x ax a x b x x ----++-=>，由题意可知：此方程有且恰有两个解，令1()e (1)ln 1(0)x a g x x a x b x x -=---++->，()()()112;0,;,;g b a x g x x g x =+-→→-∞→+∞→-∞，112211()e ()()(e 0)x x a g x x a x a x x x x--'=--+=-->，令121()e0)x F x x x -=->，则132()e 0(0)x F x x x -'=+>>，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增，因为11(1)e 10F -=-=，所以当01x <<时，()0F x '<；当1x >时，()0F x '>，①当1211a -<-<，即01a <<时，当0x a <<时，()0g x '>，则函数()g x 单调递增，当1<<a x 时，()()()()()()0,1,21,21g x g a g b f a b a f a a ->--<-'，函数()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 单调递增，所以只要()0g a =或(1)0g =，即()1e ln a b af a -=+=或21(1,1)b a =-∈-；②当211a ->，即1a >时，当01x <<时，()0g x '>，则函数()g x 单调递增，当1x a <<时，()()()()0,1,21,g x g g a f a a >-'函数()g x 单调递减，当x a >时，()0g x '>，则函数()g x 单调递增，当x a =时，1()e ln a g a b a -=--，所以只要(1)0g =或()0g a =，由(1)0g =可得：211b a =->，由()0g a =得1e ln ()a b a f a -=+=；③当1a =时，121()(1)(e )0x g x x x -'=-->，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数至多有一个零点，不合题意；综上：当01a <<时，()211b f a a =<-<或211b a =-<；当1a >时，211b a =->或()211b f a a =>->，所以选项A 正确，B 正确，C 错误，D 错误，故选：AB【点睛】关键点睛：解题的关键是根据题意将问题转化为方程010000e(1)ln 10(0)x ax a x b x x ----++-=>恰有两个解，构造函数1()e (1)ln 1(0)x a g x x a x b x x-=---++->，再次将问题转化为此函数有两个零点，然后利用导数通过分析其单调性可求得结果.5．312m ≤≤【分析】化简命题p 和q ，利用真子集关系列式可求出结果.【详解】由():0ln 2ln 3p x <-≤，得123x <-≤，即35x <≤；由()():2230q x m x m ---≤，得223m x m ≤≤+，因为q 是p 的必要不充分条件，所以5}|3{x x <≤是{|223}x m x m ≤≤+的真子集，所以23235m m ≤⎧⎨+≥⎩且两个等号不同时取，解得312m ≤≤.故答案为：312m ≤≤6．3q =（或2q =-,答案不唯一）【分析】根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解．【详解】212a ，4a ，32a 成等差数列，则4232122a a a =+，即26q q =+，解得3q =或2q =-，故“212a ，4a ，32a 成等差数列”的一个充分非必要条件是3q =（或2)q =-．故答案为：3q =（或2q =-,答案不唯一）反思提升：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.【考点3】全称量词与存在量词一、单选题1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）下列命题中，真命题是（）A ．“1,1a b >>”是“1ab >”的必要条件B ．0,e 2x x x ∀>>C ．20,2x x x >≥∀D ．0a b +=的充要条件是1ab=-2．（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）已知0a >，()212f x ax bx =-，则0x 是方程ax b =的解的充要条件是（）A ．()()0,x f x f x ∃∈≥R B ．()()0,x f x f x ∃∈≤RC ．()()0,x f x f x ∀∈≥RD ．()()0,x f x f x ∀∈≤R 二、多选题3．（2023·海南·模拟预测）已知命题p :“2,260x R x x a ∃∈-++=”，:q "2,10x R x mx ∀∈++>”，则下列正确的是（）A ．p 的否定是“2,260x R x x a ∀∈-++≠”B ．q 的否定是“2,10x R x mx ∃∈++>”C ．若p 为假命题，则a 的取值范围是5a <-D ．若q 为真命题，则m 的取值范围是22m -<<4．（2023·山西·模拟预测）下列结论正确的是（）A ．sin sin ()e e x x f x =+是偶函数B ．若命题“x ∃∈R ，2210x ax ++<”是假命题，则11a -≤≤C ．设x ，y ∈R ，则“1x ≥，且1y ≥”是“222x y +≥”的必要不充分条件D ．0ab ∃>，111a b b a-=-三、填空题5．（2024·陕西宝鸡·一模）命题“任意(1,3)x ∈，4≥+a x x”为假命题，则实数a 的取值范围是．6．（2024·辽宁·模拟预测）命题p ：存在[]1,1m ∈-，使得函数()22f x x mx =-在区间[),a +∞内单调，若p 的否定为真命题，则a 的取值范围是.参考答案：1．B【分析】举反例来判断ACD ，利用指数函数的性质判断B.【详解】对于A ，当2,1a b ==时，满足1ab >，但不满足1,1a b >>，故“1,1a b >>”不是“1ab >”的必要条件，故错误；对于B ，根据指数函数的性质可得，对于e 0,12xx ⎛⎫∀>> ⎪⎝⎭，即e 2x x >，故正确；对于C ，当3x =时，22x x <，故错误；对于D ，当0a b ==时，满足0a b +=，但1ab=-不成立，故错误.故选：B.2．C【分析】利用二次函数的图象和性质，理解全称量词命题和存在量词命题的真假以及充要条件的意义即可.【详解】因为0a >，所以函数()212f x ax bx =-的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为：122b bx a a -=-=⨯，函数的最小值为b f a ⎛⎫⎪⎝⎭.若“0x 是方程ax b =的解”，则0b x a =，那么()0b f x f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭就是函数()f x 的最小值，所以“x ∀∈R ，()()0f x f x ≥”，即“0x 是方程ax b =的解”是“x ∀∈R ，()()0f x f x ≥”的充分条件；若“x ∀∈R ，()()0f x f x ≥”，则()0f x 为函数()f x 的最小值，所以0bx a=，即0ax b =，所以“0x 是方程ax b =的解”，故“0x 是方程ax b =的解”是“R x ∀∈，()()0f x f x ≥”的必要条件.综上可知：“0x 是方程ax b =的解”的充要条件是“x ∀∈R ，()()0f x f x ≥”.故选：C 3．AD【分析】根据含有一个量词的命题的否定判断A 、B ；C 选项转化为一元二次方程无实数解，用判别式计算a 的取值范围；D 选项转化为二次不等式恒成立，计算参数的范围.【详解】含有一个量词的命题的否定，是把量词改写，再把结论否定，所以A 正确，B 不正确；C 选项，若p 为假命题，则p 的否定“2,260x R x x a ∀∈-++≠”是真命题，即方程2260x x a -++=在实数范围内无解，44(6)0a ∆=-+<，得5a >-，C 不正确；D 选项，2,10x R x mx ∀∈++>，等价于240m ∆=-<，解得22m -<<，D 正确；故选：AD.4．ABD【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断选项A ；根据特称命题的的真假判断选项B ；根据必要不充分条件的判断即可判断选项C ；根据等式的性质判断选项D .【详解】对于A ，函数sin sin ()e e x x f x =+的定义域为R ，且sin sin sin sin ()e e e e ()x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数为偶函数，故选项A 正确；对于B ，若命题“x ∃∈R ，2210x ax ++<”是假命题，则2210x ax ++≥恒成立，所以2(2)40a ∆=-≤，解得11a -≤≤，故选项B 正确；对于C ，若1x ≥，且1y ≥，则222x y +≥成立，反之不一定成立，例如：2,3x y =-=-满足222x y +≥，但是0,0x y <<，故“1x ≥，且1y ≥”是“222x y +≥”充分不必要条件，故选C 错误；对于D ，若111a b b a -=-，则2230a ab b -+=，当32b a =时方程有解，所以0ab ∃>，111a b b a -=-，故选项D 正确；故选：ABD .5．(,5)-∞【分析】首先求命题为真命题时a 的取值范围，再求其补集，即可求解.【详解】若命题“任意(1,3)x ∈，4≥+a x x ”为真命题，则max 4a x x ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，设4y x x =+，(1,3)x ∈，44x x +≥=，当2x =时，等号成立，由对勾函数的性质可知，当()1,2x ∈时，函数单调递减，当()2,3x ∈单调递增，()15f =，()43353f =+<，所以445x x≤+<，即5a ≥，所以命题“任意(1,3)x ∈，4≥+a x x”为假命题，则a 的取值范围为(),5-∞.故答案为：(),5-∞6．(),1-∞-【分析】先给出命题p 的否定，由函数2()2f x x mx =-的单调性进行求解.【详解】命题p 的否定为：任意[]1,1m ∈-，使得函数2()2f x x mx =-在区间[,)a +∞内不单调，由函数2()2f x x mx =-在(),m -∞上单调递减，在(),m +∞上单调递增，则a m <，而[]1,1m ∈-，得1a <-，故答案为：(),1-∞-反思提升：(1)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.(2)判定全称量词命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判定存在量词命题“∃x ∈M ，p (x )”是真命题，只要在限定集合内找到一个x ，使p (x )成立即可.(3)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p 与¬p 的关系，转化成¬p 的真假求参数的范围.【基础篇】一、单选题1．（2024·四川成都·三模）已知圆C ：221x y +=，直线l ：0x y c -+=，则“2c =”是“圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于12”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要2．（2023·四川泸州·一模）已知命题:R p x ∀∈，2212x x +>，命题0:R q x ∃∈，0ln 2x =-，则下列命题是真命题的为（）A ．()p q⌝∧B ．p q∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝3．（2024·全国·模拟预测）已知向量(1,2)a = ，(2,)b x = ，则“()()a b a b +⊥- ”是“1x =”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2024·四川成都·模拟预测）设公差不为0的无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，当0n n >时，0n S <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题5．（2021·辽宁·模拟预测）已知命题p ：0x ∃∈R ，200440ax x --=，若p 为真命题，则a 的值可以为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．36．（2021·江苏·一模）下列选项中，关于x 的不等式()2120ax a x +-->有实数解的充分不必要条件的有（）A ．0a =B ．3a ≥-+C ．0a >D ．3a ≤--7．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）下列选项中，与“11x>”互为充要条件的是（）A ．1x <B ．20.50.5log log x x >C ．233x x<D ．()()11x x x x -=-三、填空题8．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）若命题“0a ∃<，1a b a+>”是假命题，则实数b 的取值范围为．9．（2024·辽宁大连·一模）“函数()2sin f x ax x =-是奇函数”的充要条件是实数=a ．10．（2022·全国·模拟预测）已知“321a x a -<<-”是“2560x x -+<”成立的必要不充分条件，请写出符合条件的整数a 的一个值.四、解答题11．（2023·河南南阳·模拟预测）设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，q ：实数x 满足2680x x -+≤．(1)若1a =，且p 和q 均为真命题，求实数x 的取值范围；(2)若0a >且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．12．（2023·重庆酉阳·一模）命题p ：任意x ∈R ，2230x mx m -->成立；命题q ：存在x ∈R ，2x +410mx +<成立.(1)若命题q 为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题p 和q 有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围.参考答案：1．A【分析】利用圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于12，等价于()0,0O 到直线l ：0x y c -+=的距离为12，从而利用点线距离公式与充分必要条件即可得解.【详解】因为圆C ：221x y +=的圆心()0,0O ，半径为1r =，当圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于12时，则()0,0O 到直线l ：0x y c -+=的距离为12，12=，解得c =当2c =时，由上可知()0,0O 到直线l ：0x y c -+=的距离为12，此时圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于12，即充分性成立；所以“2c =”是“圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于12”的充分不必要条件.故选：A.2．A【分析】判断两个命题的真假后逐项分析即可【详解】1x =时2212x x+=，故p 假20e x -=时0ln 2x =-，故q 真故()p q ⌝∧为真故选：A【分析】利用向量数量积的坐标表示，结合充分性和必要性的定义求解即可.【详解】由题意，得(3,2)a b x +=+ ，()1,2a b x -=-- ，若()()a b a b +⊥- ，则()()0a b a b +⋅-= ，即2340x -+-=，解得1x =±，所以“1x =”推得出“()()a b a b +⊥- ”，即必要性成立，但“()()a b a b +⊥- ”推不出“1x =”，即充分性不成立，所以“()()a b a b +⊥- ”是“1x =”的必要不充分条件．故选：B ．4．C【分析】根据等差数列的通项以及前n 项和的函数性质，即可结合充要条件的定义求解.【详解】因为{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，若“{}n a 为递减数列”，可得{}n a 的通项公式为一次函数且一次性系数小于0，一定存在正整数0n ，当0n n '>时,有0n a <，故存在0n ，当0n 远远大于0n '时，0n n >时，此时0n S <，故充分性成立，若存在正整数0n ，当0n n >时，21022n d d S n a n ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭+，故二次函数开口向下，因此0d <，故{}n a 为递减数列，故必要性成立.故选：C ．5．BCD【分析】将条件转化为对应方程有根问题，分0a =和0a ≠两种情况，进行求解即可．【详解】命题p ：0x ∃∈R ，200440ax x --=，p 为真命题，即2440ax x --=有根，当0a =时，=1x -成立，当0a ≠时，需满足2(4)4(4)0a ∆=--⨯⋅-≥，解得1a ≥-且0a ≠，a ∴的取值范围为[1,)-+∞，故选：BCD ．【分析】先找其充要条件，然后取它的子集.【详解】0a ≥时必有解，当a<0时，()21803a a a ∆=-+>⇒<--或30a -+<，故AC 符合题意.故选：AC7．BC【分析】求解各不等式判断即可.【详解】对A ，11x>则110x ->，即10x x ->，()10x x -<，解得01x <<，故A 错误；对B ，20.50.5log log x x >则20x x <<，故()10x x -<，解得01x <<，故B 正确；对C ，233x x <则2x x <，解得01x <<，故C 正确；对D ，()()11x x x x -=-，则()10x x -≤，解得01x ≤≤，故D 错误.故选：BC8．[)2,-+∞【分析】将问题转化命题“0a ∀<，1a b a +≤”是真命题求解.【详解】解：因为命题“0a ∃<，1a b a +>”是假命题，所以命题“0a ∀<，1a b a +≤”是真命题，又当0a <时，112a a a a ⎛⎫+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭，当且仅当1a a-=-，即1a =-时等号成立，所以max 12a a ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以2b ≥-，所以实数b 的取值范围为[)2,-+∞，故答案为：[)2,-+∞.9．0【分析】结合三角函数奇偶性、幂函数奇偶性以及奇偶性的定义即可运算求解.【详解】若函数()2sin f x ax x =-是奇函数，则当且仅当()()()()22sin sin f x ax x a x x f x ⎡⎤=-=----=--⎣⎦，也就是220ax =恒成立，从而只能0a =.故答案为：0.10．2【分析】先解出2560x x -+<的解集，然后根据必要不充分条件判断两集合的包含关系即可求解.【详解】由2560x x -+<，得23x <<,令{}|321A x a x a =-<<-，{}23|B x x =<<，“321a x a -<<-”是“2560x x -+<”成立的必要不充分条件，B A ∴.32132213a a a a -<-⎧⎪∴-≤⎨⎪-≥⎩（等号不同时成立），解得25a ≤≤，故整数a 的值可以为2,3,4,5.故答案为：2,3,4,5中任何一个均可.11．(1)[)2,3；(2)4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据一元二次不等式求解p ，q 为真命题时的范围，即可求解，（2）根据充分不必要条件，即可列不等式求解.【详解】（1）当1a =时，由22430x ax a -+<，得2430x x -+<，解得13x <<，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是()1,3由2680x x -+≤，解得24x ≤≤，即q 为真命题时，实数x 的取值范围是[]2,4．所以若p ，q 均为真命题，则实数x 的取值范围为[)2,3．（2）由22430x ax a -+<，得()()30x a x a --<，因为0a >，所以3a a <，故p ：3a x a <<．若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件，所以234a a <⎧⎨>⎩，解可得423a <<．故实数a 的取值范围是4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭。
+集合与常用逻辑用语、不等式、复数题型归纳与解题技巧——2025届高三数学二轮复习
03 题型练习
D 1.已知集合 A {x∣x2 3x 4 0}， B {4,1,3,5}，则 A B ( )
A.{4,1}
B. {1, 5}
C. {3, 5}
D. {1, 3}
解析：由 x2 3x 4 0 ，得 (x 4)(x 1) 0 ，解得 1 x 4， A {x∣1 x 4} ，又 B {4,1,3,5}， A B {1,3}，故选 D.
3.求解集合的基本运算问题的步骤 （1）确定元素：确定集合中的元素及其满足的条件. （2）化简集合：根据元素满足的条件解方程或不等式，得出元素 满足的最简条件，将集合清晰表示出来. （3）运算求解：利用交集、并集、补集的定义求解，必要时可应 用数轴或 Venn 图直观求解.
4.判断充分条件和必要条件的方法 （1）定义法：直接判断“若 p，则 q”与“若 q，则 p”的真假，并注意和图示相结合. （2）等价法：利用 p q 与 q p ， q p 与 p q ， p q 与 q p 的 等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法. （3）集合法：若 A B ，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A B ，则 A 是 B 的充要条件.
BC 6.【2022 新高考Ⅱ卷】（多选）若 x，y 满足 x2 y2 xy 1，则( )
A. x y 1
B. x y 2
C. x2 y2 2
D. x2 y2 1
解析：由基本不等式可得 xy x2 y2 ， (x y)2 x2 y2 ，从而
2
2
x2 y2 xy x2 y2 (x y)2 .结合题设条件 x2 y2 xy 1 ，可得 x2 y2 2 ，
题.因为 x3 x ，所以 x3 x 0 ，所以 x x2 1 0 ，即 x(x 1)(x 1) 0 ，解得
高二数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析
高二数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【答案】A【解析】解：首先“三段论”推理：大前提，小前提，然后是结论。
而该命题的大前提：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，是错误的，因此推理后的结论也是错误的。
只有大前提，小前提都正确，结论才是正确的。
函数的极值点2.命题p:若, 则，则下列结论正确的是（）A．是假命题,,B．是假命题,,C．是真命题,,D．是真命题,,【答案】C【解析】，结合指数函数单调性可知原命题正确，对全称命题的否定是特称命题，将满足的条件加以否定，的否定是【考点】全称命题与特称命题3.已知命题p：|x－1|≥2，命题q：x∈Z，若“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为（）A．{x|x≥3或x≤－1，x∈Z}B．{x|－1≤x≤3，x∈Z}C．{0,1,2}D．{－1,0,1,2,3}【答案】C【解析】由题意知q真，p假，∴|x－1|<2．∴－1<x<3且x∈Z．∴x＝0,1,2．选C．【考点】命题否定4.若命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】命题“，使”的否定是：““，使”即：，∴，故答案是.【考点】命题的真假判断与应用；一元二次不等式的应用．5.“直线与圆相交”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若“直线与圆相交”，则圆心到直线的距离为，即，不能退出；反过来，若，则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，故应选.【考点】1、直线与圆的位置关系；2、充分必要条件；6.成等差数列是成立的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】成等差数列，则,所以，而当x,z为负数时，由不能推出成等差数列，所以成等差数列是成立的充分不必要条件．选B．【考点】充分性、必要性判断．7.（本小题满分12分）已知 , , 若的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】【解析】充分性、必要性问题常常转化为集合的关系。
高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.4.1充分条件与必要条件课件新人教A版必修第一册
解:(1)由a<1不一定能得到 >1(如a=-1);
1
但当 >1时,有0<a<1,从而一定能推出a<1,
所以p是q的必要不充分条件.
(2)解不等式x(x+1)>0可得x>0或x<-1,
所以由“x>0”能推出“x>0或x<-1”;
由“x>0或x<-1”不能推出“x>0”,
所以p是q的充分不必要条件.
(3)p⇒q Biblioteka 含义是什么?提示:p⇒q说明命题“若p,则q”为真,即如果p成立,那
么q一定成立,如果“若p,则q”为假,那么应记作“p⇏q”.
[基础测试]
判断.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)“x>0”是“x>1”的充分条件. (
)
答案:×
(2)若x2=36,则x=6. (
)
答案:×
(3)“x>1”是“x>0”的充分条件. (
1
1
解得a=- 或a= .
2
3
1
1
综上可知,a=- 或a= .
2
3
5.拔高练若 p:-4<x-a<4,q:2<x<3,且 q 是 p 的充分不必
要条件,则求实数 a 的取值范围是 -1≤a≤6 .
解析:设q,p对应的不等式的解集为集合A,B,则A=
{x|2<x<3},B={x|a-4<x<a+4}.
“A∩{0,1}={0}”不能推出“A={0}”.故“A∩{0,1}={0}”
是“A={0}”的必要不充分条件
2.下列各题中,p 是 q 的什么条件?(请用“充分不
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2015高考数学二轮集合与常用逻辑用语、函数与导数课时作业4（附解析新人教A版）2015高考数学二轮集合与常用逻辑用语、函数与导数课时作业4（附解析新人教A版）一、选择题1．(文)函数f(x)＝－1x＋log2x的一个零点落在区间() A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[答案]B[解析]∵f(1)f(2)0，∴选B.(理)在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为()A．(1.4,2)B．(1.1,4)C．(1，32)D．(32，2)[答案]D[解析]令f(x)＝x3－2x－1，则f(1)＝－20，f(2)＝30，f(32)＝－580，∴选D.2．若x0是方程12x＝x13的解，则x0属于区间()A.23，1B.12，23C.13，12D.0，13[解析]令f(x)＝12x－x13，f(1)＝12－1＝－120，f12＝1212－12130，f13＝1213－13130，f23＝1223－2313＝1413－23130，∴f(x)在区间13，12内有零点．3．利民工厂某产品的年产量在150t至250t之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(t)之间的关系可近似地表示为y＝x210－30x＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为()A．240B．200C．180D．160[答案]B[解析]依题意得每吨的成本是yx＝x10＋4000x－30，则yx≥2x104000x－30＝10，当且仅当x10＝4000x，即x＝200时取等号，因此当每吨的成本最低时，相应的年产量是200t，选B.4．(2014山东理，8)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A．(0，12)B．(12，1)C．(1,2)D．(2，＋∞)[解析]作出函数y＝f(x)的图象如图，当y＝kx在l1位置时，过A(2,1)，∴k＝12，在l2位置时与l3平行，k＝1，∴12k1.5．(2014豫东、豫北十所名校联考)已知a、b∈[－1,1]，则函数f(x)＝ax＋b在区间(1,2)上存在一个零点的概率为()A.12B.14C.18D.116[答案]C[解析]如图，由图形可知点(a，b)所在区域的面积S＝4，满足函数f(x)＝ax＋b在区间(1,2)上存在一个零点的点(a，b)所在区域面积S′＝12×12×1×2＝12，故所求概率P＝124＝18.6．(2014新课标Ⅰ理，11)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围为()A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－1)[答案]C[解析]f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)，若a0，则f(x)在(－∞，0)和(2a，＋∞)上单调递增，在(0，2a)上单调递减，又f(0)＝1，∴f(x)不可能存在唯一零点；由选项知a＝0不必考虑；a0时，f(x)在(－∞，2a)和(0，＋∞)上单调递减，在(2a，0)上单调递增，欲使f(x)落在唯一零点x00，应有极小值f(2a)0，即a(2a)3－3(2a)2＋10，∴a－2.[点评]可以用验证法求解．7．(2013郑州市质检)已知函数f(x)＝12x－cosx，则方程f(x)＝π4所有根的和为()A．0B.π4C.π2D.3π2[答案]C[解析]依题意，方程f(x)＝π4，即cosx＝12x－π4，在同一坐标系下画出函数y＝cosx与y＝12x－π4的大致图象，注意到当x≥3π2时，y＝cosx≤1，y＝12x－π4≥π21，即此时，y＝cosx与y＝12x－π4的图象必无交点；当x－π2时，y＝cosx≥－1.y＝12x－π4≤－π2－1，即此时y＝cosx与y＝12x－π4的图象必无交点，结合图象可知，它们的图象只有唯一公共点(π2，0)，即方程cosx＝12x－π4有唯一解x＝π2，因此方程f(x)＝π4所有的实根和等于π2，故选C.二、填空题8．(2013济宁模拟)已知定义域为R的函数f(x)既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x∈(0，32)时，f(x)＝sinπx，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是________．[答案]7[解析]易知在(－32，32)内，有f(－1)＝0，f(0)＝0，f(1)＝0，即f(x)在一个周期内有3个零点，又区间[0,6]包含f(x)的2个周期，而两端点都是f(x)的零点，故f(x)在[0,6]内有7个零点．9．已知函数f(x)＝(15)x－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0x1x0，则f(x1)________0(填“”、“”、“≥”、“≤”)．[答案][解析]解法1：∵f(x)＝(15)x－log3x在(0，＋∞)上为减函数，且0x1x0，∴f(x1)f(x0)．解法2：如图知，f(x1)f(x0)．10．设函数y＝x3与y＝(12)x－2的图象的交点为(x0，y0)．若x0所在的区间是(n，n＋1)(n∈Z)，则n＝________.[答案]1[解析]由函数图象知，1x02，∴n＝1一、选择题11．(文)(2013四川内江市二模)若定义域为R的函数f(x)的周期为2，当x∈(－1,1]时，f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)的图象与y＝log3|x|的图象的交点个数为()A．8B．6C．4D．2[答案]C[解析]在同一坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝log3|x|的图象可见，当x0时，y＝f(x)与y＝log3x的图象有2个交点，又y＝log3|x|为偶函数，∴两函数图象交点有4个．(理)(2014银川市一中二模)现有四个函数：①y＝xsinx；②y＝xcosx；③y＝x|cosx|；④y＝x2x的图象(部分)如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是() A．①④②③B．①④③②C．④①②③D．③④②①[答案]A[解析]①y＝xsinx为偶函数，对应第一个图；②y＝xcosx为奇函数，且x0时，y可正可负，对应第三个图；③y＝x|cosx|为奇函数，且x0时，y0，对应第四个图；④y＝x2x为增函数，对应第二个图，故选A. 12．(2014百校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x＋1)为奇函数，f(0)＝0，当x∈(0,1]时，f(x)＝log2x，则在(8,10)内满足方程f(x)＋1＝f(1)的实数x为()A.192B．9C.172D.334[答案]C[解析]由条件知f(－x)＝f(x)①，f(－x＋1)＝－f(x＋1)②，在②式中给x赋值x＋1得f(－x)＝－f(x＋2)，将①代入得f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4.在②中令x＝0得f(1)＝0，∴方程f(x)＋1＝f(1)，化为f(x)＝－1，由于f(x)的图象关于点(1,0)对称，当0x1时，f(x)＝log2x0，∴当1x2时，f(x)0，令f(x)＝－1，(0x1)得x＝12，即f(12)＝－1，∴f(172)＝f(12＋8)＝f(12)＝－1，故选C.13．若函数f(x)＝x＋3x，x≤013x3－4x＋a，x0在其定义域上只有一个零点，则实数a的取值范围是()A．a163B．a≥163C．a163D．a≤163[答案]A[解析]当x≤0时，函数y＝－x与函数y＝3x的图象有一个交点，所以函数y＝f(x)有一个零点；而函数f(x)在其定义域上只有一个零点，所以当x0时，f(x)没有零点．当x0时，f′(x)＝x2－4，令f′(x)＝0得x＝2，所以f(x)在(0,2)上递减，在(2，＋∞)上递增，因此f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝a－1630，解得a163.故选A.14．(2013天津南开中学月考)已知定义域为(－1,1]的函数f(x)，对任意x∈(－1,0]，f(x＋1)＝11＋fx，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间(－1,1]内g(x)＝f(x)－mx－m有两个零点，则实数m的取值范围是()A．[0，12)B．[12，＋∞)C．[0，13)D．(0，12][答案]D[解析]∵x∈(－1,0]时，x＋1∈(0,1]，又x∈[0,1]时，f(x)＝x，∴f(x＋1)＝x＋1，又f(x＋1)＝11＋fx，∴x∈(－1,0]时，f(x)＝1x＋1－1，作出函数f(x)＝x，x∈[0，1]，1x＋1－1，x∈－1，0.的图象，由于y＝m(x＋1)过定点(－1,0)，∴要使y＝m(x＋1)与y＝f(x)的图象有两个交点，应有0m≤12，∴选D.15．(文)(2013黄浦区模拟)如果函数y＝|x|－2的图象与曲线C：x2＋λy2＝4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是()A．[－1,1)B．{－1,0}C．(－∞，－1]∪[0,1)D．[－1,0]∪(1，＋∞)[答案]A[解析]y＝x－2x≥0，－x－2x0.与圆x2＋y2＝4有三个不同公共点，当0λ1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，满足题设要求，当λ1时，不满足；当λ0时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线，其渐近线斜率k＝－1λ，由题意应有－1λ≥1，∴－1≤λ0，综上知－1≤λ 1.(理)(2013绍兴市模拟)已知函数f(x)＝|log2x|，0x≤4，x2－12x＋34，x4.若方程f(x)＝t(t∈R)有四个不同的实数根x1、x2、x3、x4，则x1x2x3x4的取值范围为() A．(30,34)B．(30,36)C．(32,34)D．(32,36)[答案]C[解析]设四个实数根满足x1x2x3x4，则易知0t2，∴x1＝2－t，x2＝2t，由(x－6)2－2＝t得x－6＝±2＋t，∴x＝6±2＋t，∴x3＝6－2＋t，x4＝6＋2＋t，∴x1x2x3x4＝2－t2t[6－2＋t][6＋2＋t]＝36－(2＋t)＝34－t∈(32,34)，故选C.二、填空题16．(2014天津理，14)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．[答案](0,1)∪(9，＋∞)[解析]解法一：显然有a0，(ⅰ)当y＝－a(x－1)与y＝－x2－3x相切时，a＝1，此时f(x)－a|x－1|＝0恰有3个互异的实数根．(ⅱ)当直线y＝a(x－1)与函数y＝x2＋3x相切时，a＝9，此时f(x)－a|x－1|＝0恰有2个互异的实数根．结合图象可知0a1或a9.解法二：显然x≠1，所以a＝|x2＋3xx－1|，令t＝x－1，则a＝|t＋4t＋5|.因为t＋4t∈(－∞，－4])∪[4，＋∞)，所以t＋4t＋5∈(－∞，1]∪[9，＋∞)．令t＋4t＝－5得t＝－1或－4，结合图象可得0a1或a9. 17．(文)函数f(x)对一切实数x都满足f(12＋x)＝f(12－x)，并且方程f(x)＝0有三个实根，则这三个实根的和为________．[答案]32[解析]函数图象关于直线x＝12对称，方程f(x)＝0有三个实根时，一定有一个是12，另外两个关于直线x＝12对称，其和为1，故方程f(x)＝0的三个实根之和为32.(理)(2013南开中学月考)已知f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a，b满足2a＝3,3b＝2，则n等于________．[答案]－1[解析]∵2a＝3,3b＝2，∴a＝log23，b＝log32，∴f(－1)＝a－1－1－b＝log32－1－log32＝－10，f(0)＝a0－b＝1－log320，∴f(x)在(－1,0)内存在零点，又f(x)为增函数，∴f(x)在(－1,0)内只有一个零点，∴n＝－1.三、解答题18．(文)(2013保定市一模)设函数f(x)＝13x3＋a－12x2－ax＋a，其中a0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若方程f(x)＝0在(0,2)内恰有两个实数根，求a的取值范围；(3)当a＝1时，设函数f(x)在[t，t＋3](t∈(－3，－2))上的最大值为H(t)，最小值为h(t)，记g(t)＝H(t)－h(t)，求函数g(t)的最小值．[解析](1)f′(x)＝x2＋(a－1)x－a＝(x＋a)(x－1)，令f′(x)＝0得，x1＝1，x2＝－a0，当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：x(－∞，－a)－a(－a,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋极大值极小值函数f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(1，＋∞)，单调减区间为(－a,1)．(2)由(1)知f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，从而方程f(x)＝0在区间(0,2)内恰有两个实数根等价于f(0)0，f(1)0，f(2)0，解得0a13，所以a的取值范围是(0，13)．(3)当a＝1时，f(x)＝13x3－x＋1，由(1)知f(x)在(－3，－1)上单调递增，(－1,1)上单调递减．所以，当t∈[－3，－2]时，t＋3∈[0,1]，－1∈[t，t＋3]，所以f(x)在[t，－1]上单调递增，[－1，t＋3]上单调递减，因此，f(x)在[t，t＋3]上的最大值H(t)＝f(－1)＝53，而最小值h(t)为f(t)与f(t＋3)中的较小者．∵f(t＋3)－f(t)＝3(t＋1)(t＋2)，当t∈[－3，－2]时，f(t)≤f(t＋3)，故h(t)＝f(t)，所以g(t)＝f(－1)－f(t)，而f(t)在[－3，－2]上单调递增，因此f(t)≤f(－2)＝13，所以g(t)在[－3，－2]上的最小值为g(－2)＝53－13＝43.即函数g(x)在区间[－3，－2]上的最小值为43. (理)(2013海淀期中)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋bx(其中a、b为常数且a≠0)在x＝1处取得极值．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0，e]上的最大值为1，求a的值．[解析](1)因为f(x)＝lnx＋ax2＋bx，所以f′(x)＝1x ＋2ax＋b.因为函数f(x)＝lnx＋ax2＋bx在x＝1处取得极值，f′(1)＝1＋2a＋b＝0.当a＝1时，b＝－3，f′(x)＝2x2－3x＋1x，f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：x(0，12)12(12，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋极大值极小值所以f(x)的单调递增区间为(0，12)和(1，＋∞)，单调递减区间为(12，1)．(2)因为f′(x)＝2ax2－2a＋1x＋1x ＝2ax－1x－1x，令f′(x)＝0得，x1＝1，x2＝12a，因为f(x)在x＝1处取得极值，所以x2＝12a≠x1＝1，当12a0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f(x)在区间(0，e]上的最大值为f(1)，令f(1)＝1，解得a＝－2，当a0时，x2＝12a0，当12a1时，f(x)在(0，12a)上单调递增，(12a，1)上单调递减，(1，e)上单调递增，所以最大值1可能在x＝12a或x＝e处取得，而f(12a)＝ln12a＋a(12a)2－(2a＋1)12a＝ln12a－14a－10，所以f(e)＝lne＋ae2－(2a＋1)e＝1，解得a＝1e－2；当1≤12ae时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，(1，12a)上单调递减，(12a，e)上单调递增，所以最大值1可能在x＝1或x＝e处取得，而f(1)＝ln1＋a－(2a＋1)0，所以f(e)＝lne＋ae2－(2a＋1)e＝1，解得a＝1e－2，与1x2＝12ae矛盾；当x2＝12a≥e时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，所以最大值1可能在x＝1处取得，而f(1)＝ln1＋a－(2a＋1)0，矛盾．综上所述，a＝1e－2或a＝－2.。