集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式.专题测试题及详细答案

集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式[时间120分钟，满分150分]一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·吉安模拟)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2,4}，集合B ＝{1,5}，则A ∩(∁U B )等于A ．{2,4}B ．{1,2,4}C ．{2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析 ∁U B ＝{2,3,4}，所以A ∩(∁U B )＝{2,4}，选A. 答案 A2．(2013·潮州一模)集合A ＝{x ||x －2|≤2}，B ＝{y |y ＝－x 2，－1≤x ≤2}，则A ∩B 等于 A ．RB ．{x |x ≠0}C ．{0}D ．∅解析 A ＝[0,4]，B ＝[－4,0]，所以A ∩B ＝{0}． 答案 C3．(2013·烟台一模)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 2f (2)的值为A.12B ．－12C ．2D ．－2解析 设幂函数为f (x )＝x a ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝22，解得a ＝12，所以f (x )＝x ，所以f (2)＝2，即log 2f (2)＝log 22＝12，选A. 答案 A4．函数f (x )＝log 2(x －1＋1)的值域为 A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．(－∞，1)∪(0，＋∞)解析 x －1＋1＝1x ＋1≠1，所以f (x )＝log 2(x －1＋1)≠log 21＝0，即y ≠0，所以f (x )＝log 2(x －1＋1)的值域是 (－∞，0)∪(0，＋∞)，选C. 答案 C5．(2013·青浦模拟)对于原命题“周期函数不是单调函数”，下列陈述正确的是 A ．逆命题为“单调函数不是周期函数” B ．否命题为“周期函数是单调函数” C ．逆否命题为“单调函数是周期函数” D ．以上三者都不对解析 周期函数不是单调函数得逆命题为“不是单调函数的函数，就是周期函数”，A 错．否命题为“不是周期函数的函数是单调函数”，B 错．逆否命题为“单调函数不是周期函数”，C 错，所以选D.答案 D6．(2013·铁岭模拟)若1a ＜1b ＜0，则下列结论不正确的是 A ．a 2＜b 2 B ．ab ＜b 2 C.b a ＋ab ＞2D.b a ＜1解析 由1a ＜1b ＜0可知，b ＜a ＜0，所以ba ＞1，选D. 答案 D7．设a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则A ＝30°是B ＝60°的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 若a ＝1，b ＝3，A ＝30°，由正弦定理得sin B ＝b a sin A ＝32，a ＜b ，B ＝60°或B ＝120°，反之，a ＝1，b ＝3，B ＝60°，则sin A ＝a b sin B ＝12，a ＜b ，A ＝30°，故选B.答案 B8．在坐标平面内，点的纵、横坐标都是整数时，称该点为整点．则由不等式⎩⎨⎧x ＋y ≤2x －y ≥－2y ≥0所表示的区域内整点的个数是A ．1B ．3C ．9D ．6解析 本题考查了线性规划的基本知识，根据线性约束条件画出可行域是关键． 答案 C9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧kx ＋2，x ≤0，ln x ， x ＞0，若k ＞0，则函数y ＝|f (x )|－1的零点个数是A ．1B ．4C ．3D ．2解析 由y ＝|f (x )|－1＝0，得|f (x )|＝1.若x ＞0， 则|f (x )|＝|ln x |＝1，所以ln x ＝1或ln x ＝－1，解得x ＝e 或x ＝1e .若x ≤0，则|f (x )|＝|kx ＋2|＝1，所以kx ＋2＝1或kx ＋2＝－1，解得x ＝－1k ＜0或x ＝－3k ＜0成立，所以函数y ＝|f (x )|－1的零点个数是4个，选B.答案 B10．(2013·济南一模)设a ＝⎠⎛121x d x ，b ＝⎠⎛131x d x ，c ＝⎠⎛151x d x ，则下列关系式成立的是A.a 2＜b 3＜c5 B.b 3＜a 2＜c 5 C.c 5＜a 2＜b 3D.a 2＜c 5＜b 3解析 a ＝⎠⎛121x d x ＝ln x |21＝ln 2，b ＝⎠⎛131x d x ＝ln x |31＝ln 3，c ＝⎠⎛151x d x ＝ln x |51＝ln 5，所以a 2＝ln 22＝ln 2，b 3＝ln 33＝ln 33，c 5＝ln 55＝ln 55.因为(2)6＝23＝8，(33)6＝32＝9，所以2＜33.(2)10＝25＝32，(55)10＝52＝25，所以55＜2，即55＜2＜33，所以c 5＜a 2＜b3，选C.答案 C11．(2013·黄浦模拟)若f (x )是R 上的奇函数，且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则下列结论： ①y ＝|f (x )|是偶函数；②对任意的x ∈R 都有f (－x )＋|f (x )|＝0；③y ＝f (－x )在(－∞，0]上单调递增；④y ＝f (x )f (－x )在(－∞，0]上单调递增．其中正确结论的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．4解析 取f (x )＝x 3，x ＝－1，则f (－x )＋|f (x )|＝f (1)＋|f (－1)|＝2≠0，故②错．又f (－x )＝－x 3在(－∞，0]上单调递减，故③错．对于①，设x ∈R ，则|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|⇒y ＝|f (x )|是偶函数，所以①对；对于④，设x 1＜x 2≤0，则－x 1＞－x 2≥0，∵f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴f (－x 1)＞f (－x 2)≥f (0)＝0⇒f 2(－x 1)＞f 2(－x 2)⇒f 2(x 1)＞f 2(x 2)，∴f (x 1)f (－x 1)＝－f 2(x 1)＜－f 2(x 2)＝f (x 2)f (－x 2)⇒y ＝f (x )f (－x )在(－∞，0]上单调递增，故④对．所以选B.答案 B12．(2013·临沂一模)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪y ＝1x；②M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}；③M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }；④M ＝{(x ，y )|y＝e x －2}．其中是“垂直对点集”的序号是 A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④解析 ①y ＝1x 是以x ，y 轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，在同一支上，任意(x 1，y 1)∈M ，不存在(x 2，y 2)∈M ，满足“垂直对点集”的定义；对任意(x 1，y 1)∈M ，在另一支上也不存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．②M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}，如图在曲线上，两点构成的直角始终存在，所以M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}是“垂直对点集”．对于③M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }，如图取点(1,0)，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．对于④M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}，如图在曲线上两点构成的直角始终存在，满足“垂直对点集”的定义，故正确．答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．如果不等式5－x ＞7|x ＋1|和不等式ax 2＋bx －2＞0有相同的解集，则a ＋b ＝________. 解析 由不等式5－x ＞7|x ＋1|可知5－x ＞0，两边平方得(5－x )2＞49(x ＋1)2，整理得4x 2＋9x ＋2＜0，即－4x 2－9x －2＞0. 又两不等式的解集相同，所以可得a ＝－4，b ＝－9， 则a ＋b ＝－13. 答案 －1314．(2013·顺义模拟)已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，则不等式f (2x )＞2的解集为________．解析 因为函数为定义域为R 的偶函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，且函数在(0，＋∞)上递增．所以由f (2x )＞2得2x ＞12，即x ＞－1， 所以不等式f (2x )＞2的解集为(－1，＋∞)． 答案 (－1，＋∞)15．(2013·滨州一模)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0x ＋y －4≥02x －y －5≤0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为________．解析 由z ＝x ＋2y 得y ＝－12x ＋z 2.作出不等式组对应的平面区域，如图，平移直线y ＝－12x ＋z2，由图象可知，当直线y ＝－12x ＋z 2经过点F 时，直线y ＝－12x ＋z2的截距最大，此时z 最大．由⎩⎨⎧ x －y ＋2＝02x －y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝7y ＝9，即F (7,9)，代入z ＝x ＋2y 得z ＝x ＋2y ＝7＋2×9＝25.答案 2516．(2013·德州一模)已知锐角α，β满足3tan α＝tan(α＋β)，则tan β的最大值为________． 解析 tan β＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝2tan α1＋3tan 2α，即tan β＝21tan α＋3tan α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan α＞0.所以tan β＝21tan α＋3tan α≤221tan α·3tan α＝33，当且仅当1tan α＝3tan α，即tan 2α＝13，tan α＝33时，取等号，所以tan β的最大值是33. 答案 33三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)的定义域为集合A ，函数g (x )＝2x －a (x ≤2)的值域为集合B .(1)求集合A ，B ；(2)若集合A ，B 满足A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解析 (1)A ＝{x |x 2－2x －3＞0}＝{x |(x －3)(x ＋1)＞0}＝{x |x ＜－1，或x ＞3}， B ＝{y |y ＝2x －a ，x ≤2}＝{y |－a ＜y ≤4－a }．(5分) (2)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴4－a ＜－1或－a ≥3，∴a ≤－3或a ＞5，即a 的取值范围是(－∞，－3]∪(5，＋∞)．(10分)18．(12分)设命题p ：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2mx ＋1在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q ：x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈[－1,1]恒成立；若(綈p )∧q 为真，试求实数m 的取值范围．解析 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，＋∞)上单调递减，根据复合函数的单调性可知函数y ＝x 2－2mx ＋1在区间(1，＋∞)上是增函数，由于该函数是开口向上的二次函数，其对称轴为x ＝m ，所以m ≤1；因为a ∈[－1,1]，(3分)由根与系数关系知 |x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8≤3，所以m 2＋5m －3≥3，解得m ≥1，或m ≤－6，(6分) 若(綈p )∧q 为真命题，则p 是假命题，q 是真命题，(8分) 故⎩⎨⎧m ＞1m ≥1，或m ≤－6，即m ＞1.(11分) 所以使(綈p )∧q 为真的实数m 的取值范围是m ＞1.(12分)19．(12分)(2013·宝山模拟)已知函数f (x )＝log 2(4x ＋b ·2x ＋4)，g (x )＝x . (1)当b ＝－5时，求f (x )的定义域； (2)若f (x )＞g (x )恒成立，求b 的取值范围． 解析 (1)由4x －5·2x ＋4＞0，即(2x －1)(2x －4)＞0， 所以2x ＜1，或2x ＞4，解得f (x )的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(5分) (2)由f (x )＞g (x )得4x ＋b ·2x ＋4＞2x ， 即b ＞1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋42x .令h (x )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋42x ，因为2x＋42x ≥22x·42x ＝4，当且仅当2x ＝42x ，即x ＝1时等号成立，则h (x )≤－3，∴当b ＞－3时，f (x )＞g (x )恒成立．(12分)20．(12分)(2013·马鞍山模拟)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f (x )＋ax ，求函数y ＝g (x )的单调区间．解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝x －1x －2ln x ，则f ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x 2－2x ＋1x 2，f (1)＝0，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝0.(5分)(2)由条件知g (x )＝ax －2ln x ， 则函数y ＝g (x )的定义域为(0，＋∞)， 所以g ′(x )＝a －2x ＝ax －2x ，(i)当a ≤0时，g ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立， 所以函数y ＝g (x )的单调区间为(0，＋∞)； (ii)当a ＞0时，由g ′(x )＞0，得x ＞2a ， 由g ′(x )＜0，得0＜x ＜2a ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a .(12分)21．(12分)某工厂生产A 、B 两种配套产品，其中每天生产x 吨A 产品，需生产x ＋2吨B 产品，已知生产A 产品的成本与产量的平方成正比，经测算，生产1吨A 产品需要4万元，而B 产品的成本为每吨8万元．(1)求生产A 、B 两种配套产品的平均成本的最小值；(2)若原料供应商对这种小型工厂供货办法使得该工厂每天生产A 产品的产量x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[2,8]范围内，那么在这种情况下，该工厂应生产A 产品多少吨，才可使平均成本最低．解析 (1)因为生产A 产品的成本与产量的平方成正比，则生产x 吨A 产品需t ＝kx 2万元，又当x ＝1时，t ＝4，所以k ＝4，故t ＝4x 2，(2分)设生产A 、B 两种产品的平均成本为y ，据题意有 y ＝4x 2＋8(x ＋2)x ＋x ＋2＝4x 2＋8x ＋162x ＋2＝2x 2＋4x ＋8x ＋1＝(2x 2＋2x )＋(2x ＋2)＋6x ＋1＝2x ＋6x ＋1＋6＝2(x ＋1)＋6x ＋1＋4≥22(x ＋1)×6x ＋1＋4 ＝43＋4， 当且仅当2(x ＋1)＝6x ＋1，即x ＝3－1时，等号成立．(6分)(2)由(1)知，生产A 、B 两种产品的平均成本为 y ＝2x ＋6x ＋1＋6，则y ′＝2－6(x ＋1)2，(7分) 令y ′＞0，解得x ＞3－1，令y ′＜0，解得x ＜3－1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[2,8]，所以函数y ＝2x ＋6x ＋1＋6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上单调递减，在[2,8]上单调递增，当x ＝12时，y ＝11，当x ＝2时，y ＝12.(11分)所以该工厂应生产A 产品12吨，才可使平均成本最低，为11万元．(12分)22．(12分)(2012·山东)已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2. 解析 (1)由f (x )＝ln x ＋ke x ，得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)．由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行， 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(3分)(2)由(1)得f ′(x )＝1x e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)． 令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0. 又e x ＞0，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(8分) (3)证明 因为g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，所以g (x )＝x ＋1e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)． 因此，对任意x ＞0，g (x )＜1＋e－2等价于1－x －x ln x ＜e xx ＋1(1＋e －2)．由(2)知h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)，x∈(0，＋∞)．因此，当x∈(0，e－2)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增；当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减．所以h(x)的最大值为h(e－2)＝1＋e－2，故1－x－x ln x≤1＋e－2.设φ(x)＝e x－(x＋1)．因为φ′(x)＝e x－1＝e x－e0，所以当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增，φ(x)＞φ(0)＝0，故当x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝e x－(x＋1)＞0，即e xx＋1＞1.所以1－x－x ln x≤1＋e－2＜e xx＋1(1＋e－2)．因此对任意x＞0，g(x)＜1＋e－2.(12分)。