(四)高三数学寒假作业(梁丰)

2012届高三数学综合练习（ 四 ）姓名一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上． 1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}A =，{1,2}B =，则()U A B = ð__ _． {1,2,4,6}2．已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 .3.已知集合{}2,5A =,在A 中可重复的依次取出三个数,,a b c ，则“以,,a b c 为边恰好构成三角形”的概率是 .584． 设定义在区间()π02, 上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则t a n α的值为 .；5． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x>时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 . (01), ； 6． 已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a =，则168a =. 1；7． 若集合{}22011x x <()a ⊆-∞, ，则整数a 的最小值为 . 11；8． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 . 8 361，；9．已知函数()(2)2a f x x x x =+>-的图像过点(3,7)A ，则此函数的最小值是 __ ．6；10．当钝角ABC ∆的三边,,a b c 是三个连续整数时，则ABC ∆外接圆的半径为___ _．15；11．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式： 211122S n n =+，322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++，5434111152330S n n n n =++-，6542515212S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= .14；12．.以椭圆 22221x y ab+=（0a b >>）的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准线交与,A B 两点，已知AOB ∆是正三角形，则该椭圆的离心率是 ．36；13．已知A ：221x y +=，B ：22(3)(4)4x y -+-=，P 是平面内一动点，过P 作A 、B 的切线，切点分别为D 、E ，若P E P D =，则P 到坐标原点距离的最小值为 ．115；14．已知函数e x y =的图象在点(e )ka k a , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =， 则135a a a ++=．6-；二.解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且222b ac a c bc ==-+． （1）求sin b B c的值；（2）试判断ABC ∆的形状，并说明理由．（1）由222b a c bc =-+得2221cos 22b c a A bc +-==，在△ABC 中，A π=3， ………………………………………………………3分由2b ac =得sin sin b B a B cc=，由正弦定理得sin sin a B A c=，所以，sin b B c =……………………………………………………………7分（2）△ABC 为等边三角形，下证之：…………………………………………………9分由222b ac a c bc ==-+知 不失一般性，可设1c=，则221b a a b ==+-，消去a 得241b b b =+-，即32(1)(1)0b b b -++=， 所以1b=，1a =，即证． (14)分16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1BC BC ⊥，1AB BC =，E 、F 、G 分别是线段1AC 、11A C 、1B B 的中点． 求证：（1）//EF 平面11BCC B ；（2）平面EFGB ⊥平面11AB C ．(1)因为,E F 分别为线段,AC A C ⅱ 的中点，所以//EF AA ¢，又因为//BB AA ⅱ，所以//EF BB ¢，…………………………2分又因为E F Ë平面BC C B ⅱ，所以//EF 平面BC C B ⅱ…………………………6分 (2)因为,AB BC BC BC ¢^^，且AB BC B ¢=I 所以BC ^平面ABC ¢ ………………………8分 又因为BE Ì平面ABC ¢，所以BC BE ^又因为//BC B C ⅱ，所以BE B C ⅱ^…………………………10分 因为,AB BC E ¢=为AC ¢的中点，所以BE AC ¢^因为AC B C C ⅱⅱ=I ，所以B E ^平面AB C ⅱ…………………………12分又因为BE Ì平面EFGB ，所以平面EFGB ^平面AB C ⅱ…………………………14分GFEC 1B 1CBA 1A17．如图为河岸一段的示意图，一游泳者站在河岸的A点处，欲前往河对岸的C点处．若河宽BC为100m，A、B相距100m，他希望尽快到达C，准备从A步行到E（E为河岸A B上的点），再从E游到C．已知此人步行速度为v，游泳速度为0.5v．（1）设BECθ∠=，试将此人按上述路线从A到C所需时间T表示为θ的函数；并求自变量θ取值范围；（2）当θ为何值时，此人从A经E游到C所需时间T最小，其最小值是多少？18.如图，椭圆22143xy+=的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作直线A F 的垂线分别交椭圆、x 轴于,B C 两点.（1）若AB BC λ=,求实数λ的值；（2）设点P 为ACF △的外接圆上的任意一点，当PAB △的面积最大时，求点P 的坐标. 18解：（1）由条件得()(1,0,0,,F A-AF k =因为,AB AF ⊥所以3AB k =-:3A B y x =-+令0,y =得3,x =所以点C 的坐标为()3,0.由223143y x xy ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得213240,x x -=解得10x =（舍）224.13x =所以点B的坐标为241313⎛⎝⎭. 因为AB BC λ= ，所以0,λ>且24813.245313AB BC λ===-（2）因为ACF ∆是直角三角形，所以ACF ∆的外接圆的圆心为()1,0D ，半径为2. 所以圆D 的方程为()2214x y -+=.因为A B 为定值，所以当P A B ∆的面积最大时点P 到直线AC 的距离最大. 过D 作直线AC 的垂线m ，则点P 为直线m 与圆D 的交点 .直线):1m y x =-与()2214x y -+=联立得2x =（舍）或0,x =所以点P的坐标为(0,.19.已知数列{}n a 的前n 项和和为n S 满足2(n S n bn b =+为常数），且对于任意的*k N ∈，24,,k k k a a a 成等比数列，数列11{}n n a a +的前n 项和为*()n T n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求使不等式625n T <成立的n 人最大值；（3）若数列{}n T 中的2,,(2)m n T T T n m >>成等比数列，求,m n 的值. 19解：（1）221(1)(1)n n n a s s n bn n b n -=-=+---- ＝21n b +-，(2)n ≥ 当1n =时，111,a s b ==+故21n a n b =+-………………2分 由24,,k k k a a a 成等比数列可得：2(41)(21)(81)k b k b k b +-=+-+- 化简得：2(1)0k b -=，因为对于任意的k N *∈恒成立， 所以1b =，所以2n a n =………………5分 （2）由(1)得2n a n = 所以111111()(1)41223(1)414(1)n n T n nn n =+++=-=创?++L ……8分若625n T <，即6125nn <+，所以24n <，故23n =………………10分(3) 44n nT n =+ 所以21,,64444m n mnT T T m n ===++，若2,,m n T T T 成等比数列，则21()()44644m n m n =++ 即2232421mn m m n =+++．……………………………………………12分因为11111n n n=<++，故2231242mm m <++，即2420m m --<，……14分从而：22m -<<+m N ∈且2m >，所以3m =或4m =，当3m =时，不合题意，当4m =时，得24n =综上可知：当且仅当4m =，24n =可使数列{}n T 中的2,,m n T T T 成等比数列……16分20．若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ⊆，（其中ab<），使得当[] x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间．（1）已知12()f x x =是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间；（2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 20解： （1）因为()f x =是[)0 +∞，上的正函数，且()f x =在[)0 +∞，上单调递增，所以当[] x a b ∈，时，()() f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即 a b ==，，………………………………3分解得0 1a b ==，， 故函数()f x 的“等域区间”为[]0 1，；……………………………………………5分 （2）因为函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的减函数，所以当[] x a b ∈，时，()() g a b g b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即22 a m b b m a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，……………………………………7分两式相减得22a b b a -=-，即()1b a =-+， ……………………………………9分 代入2a m b +=得210a a m +++=， 由0ab <<，且()1b a =-+得112a -<<-， ……………………………………11分故关于a 的方程210a a m +++=在区间()11 2--，内有实数解，……………………13分 记()21h a a a m =+++，则()()10 10 2h h ->⎧⎪⎨-<⎪⎩，，解得()31 4m ∈--，． ………………………………………………16分。