1985年高中数学竞赛
结缘奥林匹克数学
结缘奥林匹克数学陕西省丹凤中学李德葆一、数学奥林匹克的历史国际奥林匹克数学竞赛(International Mathematics Olympiad)是国际中学生数学大赛，是目前世界上影响最广、级别最高的中学生数学竞赛。
国际奥林匹克竞赛的目的是：发现鼓励世界上具有数学天份的青少年，为各国进行科学教育交流创造条件，增进各国师生间的友好关系。
这一竞赛1959年由东欧国家发起，得到联合国教科文组织的资助。
第一届竞赛由罗马尼亚主办，1959年7月22日至30日在布加勒斯特举行，保加利亚、捷克斯洛伐克、匈牙利、波兰、罗马尼亚和苏联共7个国家参加竞赛。
以后国际奥林匹克数学竞赛都是每年7月举行（中间只在1980年断过一次），参赛国从1967年开始逐渐从东欧扩展到西欧、亚洲、美洲，最后扩大到全世界。
目前参加这项赛事的代表队有80余支。
美国1974年参加竞赛，中国1985年参加竞赛。
经过40多年的发展，国际数学奥林匹克的运转逐步制度化、规范化，有了一整套约定俗成的常规，并为历届东道主所遵循。
国际奥林匹克数学竞赛由参赛国轮流主办，经费由东道国提供，但旅费由参赛国自理。
参赛选手必须是不超过20岁的中学生，每支代表队有学生6人，另派2名数学家为领队。
试题由各参赛国提供，然后由东道国精选后提交给主试委员会表决，产生6道试题。
东道国不提供试题。
试题确定之后，写成英、法、德、俄文等工作语言，由领队译成本国文字。
主试委员会由各国的领队及主办国指定的主席组成。
这个主席通常是该国的数学权威。
主试委员会的职责有7条：1）、选定试题；2）、确定评分标准；3）、用工作语言准确表达试题，并翻译、核准译成各参加国文字的试题；4）、比赛期间，确定如何回答学生用书面提出的关于试题的疑问；5）、解决个别领队与协调员之间在评分上的不同意见；6）、决定奖牌的个数与分数线。
考试分两天进行，每天连续进行4.5小时，考3道题目。
同一代表队的6名选手被分配到6个不同的考场，独立答题。
高中学科竞赛简介
题两部分，满分120分。其中填空题8道，0分。 加试（二试）考试时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解
答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平
面几何、代数、数论、组合数学等。 根据最新消息，2011年数学联赛的试题规则与2010年相同。
道题，每天三道，每个得分点三分，每题21分；第8天：阅卷（学生参观
考察），主试委员会根据分数确定一、二、三等奖获奖名单；前20至30 名选手进入国家集训队；第9天：闭幕式。 国家集训队3、4月份集训，通过考试选出6人进入国家队，国家队的 考试由平时测验和最后考试两部分组成；平时测验成绩和最后考试成绩 各占一半。六月份进行为期3周的集训，7月份参加IMO，过程同CMO。 中国数学奥林匹克（CMO）：省一和国家一二三等奖有保送高校资格。 省二有自主招生资格，通过自主招生后自动保送。
中国西部数学奥林匹克概述
简介 中国西部数学奥林匹克（Chinese Western Mathematical Olympiad，缩 写为CWMO），是为位于中国西部省份（包括江西）的中学生举办的数学 竞赛，由中国数学奥林匹克委员会举办，一般定于每年11月份举行。目的 是为了鼓励西部地区中学生学习数学的兴趣。自从2001年举办第一届竞赛
东道主。按IMO的规定，每一届的东道主必须向上一届的所有参赛国发出
邀请，而新参加的国家则应当向东道主表明参加的意愿，再由东道主发出 邀请。 1988年第29届，根据香港的建议，IMO首次设立了荣誉奖，奖给那些 虽然未得金、银、铜牌，但至少有一道题得满分的选手。这一措施，大大 调动了各参赛国及参赛选手的积极性。
三、国际数学奥林匹克（IMO）
（2）每个参赛团组织一个参赛队，成员不超过8人，其中队员不超
高中数学竞赛专题讲座竞赛讲座21应用题选讲
比赛讲座 21－应用题选讲应用题联系实质，生动地反应了现实世界的数目关系，可否从详细问题中概括出数目关系，反应了一个人剖析问题、解决问题的实质能力.列方程解应用题，一般应有审题、设未知元、列解方程、查验、作结论等几个步骤.下边从几个不一样的侧面选讲一部分比赛题，从中表现解应用题的技术和技巧.1.合理选择未知元例 1 （ 1983 年轻岛市初中数学比赛题）某人骑自行车从 A 地先以每小时 12 千米的速度下坡后，以每小时 9 千米的速度走平路到 B 地，共用 55 分钟 . 回来时，他以每小时 8 千米的速度经过平路后，以每小时 4 千米的速度上坡，从 B地到 A地共用小时，求 A、 B两地相距多少千米？解法 1（选间接元）设坡路长x 千米，则下坡需依题意列方程：解之，得 x=3.答： A、 B 两地相距9 千米.解法 2（选直接元辅以间接元）设坡路长为x 千米， A、B 两地相距y 千米，则犹如下方程组解法 3（选间接元）设下坡需x 小时，上坡需 y 小时，依题意列方程组：例 2 （ 1972 年美国中学数学比赛题）若一商人进货价便谊 8%，而售价保持不变，那么他的收益（按进货价而定）可由当前的 x%增添到 (x+10)%，x 等于多少？解此题若用直接元x 列方程十分不易，可引入协助元进货价M，则 0.92M 是打折扣的价钱， x 是收益，以百分比表示，那么写销售货价（固定不变）的等式，可得：M（1+0.01x ）=0.92M[1+0.01 （x+10）].约去 M，得1+0.01x=0.92[1+01.1（x+10）].解之，得x=15.例 3在三点和四点之间，时钟上的分针和时针在什么时候重合？剖析选直接元，设两针在 3 点 x 分钟时重合，则这时分针旋转了 x 分格，时针旋转了（ x-15 ）剖析，因为分针旋转的速度是每分钟 1 分格，旋转 x 分格需要分钟，时针旋转的速度是每分钟分格，旋转（ x-15 ）分格要例 4（1985 年江苏东台初中数学比赛题）从两个重为m千克和 n 千克，且含铜百分数不一样的合金上，切下重量相等的两块，把所切下的每一块和另一种节余的合金加在一同熔炼后，二者的含铜百分数相等，问切下的重量是多少千克？解采纳直接元并辅以间接元，设切下的重量为 x 千克，并设 m千克的铜合金中含铜百分数为 q ， n 千克的铜合金中含铜百分数为q ，则切下的两块中分别含铜xq 121千克和xq2千克，混淆熔炼后所得的两块合金中分别含铜[xq1+(n-x)q2]千克和[xq 2 +(m-x)q 1] 千克，依题意，有：2.多元方程和多元方程组例 5 （ 1986 年扬州市初一数学比赛题） A、B、C三人各有豆若干粒，要求相互赠予，先由 A 给 B、C，所给的豆数等于 B、C 本来各有的豆数，依同法再由 B 给 A、C 现有豆数，后由 C 给 A、 B 现有豆数，互送后每人恰巧各有 64 粒，问本来三人各有豆多少粒？解设A、B、C 三人本来各有x、 y、 z粒豆，可列出下表：则有：解得： x=104，y=56， z=32.答：本来 A 有豆 104 粒，B 有 56 粒， C有 32 粒.例 6（1985 年宁波市初中数学比赛题）某工厂有九个车间，每个车间原有相同多的成品，每个车间每日能生产相同多的成品，而每个查验员查验的速度也相同快，A组 8 个查验员在两天之间将两个车间的所有成品（所有成品指原有的和以后生产的成品）查验完成后，再去查验另两个车间的所有成品，又用了三天查验完成，在此五天内，B 组的查验员也查验完成余下的五个车间的所有成品，问B 组有几个查验员？解设每个车间原有成品 x 个，每日每个车间能生产 y 个成品；则一个车间生产两天的所有成品为（ x+2y）个，一个车间生产 5 天的所有成品为 (x+5y) 个，因为 A 组的 8 个查验员每日的查验速度相等，可得解得： x=4y一个查验员一天的查验速度为：又因为 B 组所查验的是 5 个车间，这 5 个车间生产 5 天的所有成品为 5(x+5y) 个，而这5(x+5y) 个建立要 B 组的人查验 5 天，因此 B 组的人一天能查验 (x+5y) 个 .因为所有查验员的查验速度都相等，因此，(x+5y) 个成品所需的查验员为：（人） .答： B 组有 12 个查验员 .3.对于不等式及不定方程的整数解例 7（1985 年武汉市初一数学比赛题）把若干颗花生疏给若干只猴子，假如每只猴子分 3 颗，就剩下 8 颗；假如每只猴子分 5 颗，那么最后一只猴子得不到 5 颗，求猴子的只数和花生的颗数 .解：设有 x 只猴子和 y 颗花生，则：y-3x=8,①5x-y ＜5，②由①得： y=8+3x,③③代入②得 5x-(8+3x) ＜5,∴x ＜ 6.5因为 y 与 x 都是正整数，因此 x 可能为 6，5，4，3，2，1，相应地求出 y 的值为 26，23，20， 17，14， 11.经查验知，只有x=5， y=23 和 x=6，y=26 这两组解切合题意 .答：有五只猴子， 23 颗花生，或许有六只猴子，26 颗花生 .例 8（1986 年上海初中数学比赛题）在一次射箭比赛中，已知小王与小张三次中靶环数的积都是 36，且总环数相等，还已知小王的最高环数比小张的最高环数多（中箭的环数是不超出 10 的自然数），则小王的三次射箭的环数从小到大摆列是多少？解设小王和小张三次中靶的环数分别是x、 y、 z 和 a、b、c, 不如设 x≤y≤z，a≤b≤c，由题意，有：因为环数为不超出10 的自然数，第一有z≠10，不然与①式矛盾.若设 z=9, 则由①知： xy=4,∴x=2,y=2, 或 x=1,y=4,∴x+y+z=13 或 x+y+z=14.又由②及 c＜ z 知， c|36 ，∴ c=6，这时， ab=6.∴a=2， b=3，或 a=1， b=6∴a+b+c=11 或 a+b+c=13又由③知： x+y+z=a+b+c=13∴取 x=2， y=2，z=9.答：小王的环数分别为2环，2环，9环.例 9（1980 年苏联全俄第 6 届中学生物理数学比赛题）一队游客乘坐汽车，要求每辆汽车的乘客人数相等，开初，每辆汽车乘了 22 人，结果剩下一人未上车；假如有一辆汽车空车开走，那么所有游客正好能均匀分乘到其他各车上，已知每辆汽车最多只好容纳 32 人，求开初有多少辆汽车？有多少名游客？解设开初有汽车k 辆，开走一辆空车后，均匀每辆车所乘的游客为k≥2，n≤32，由题意，知：22k+1=n(k-1) ，n 名，明显，∴k-1=1 ，或 k-1=23,即 k=2，或 k=24.当k=2 时，n=45 不合题意，当 k=24 时,n=23 合题意，这时游客人数为 n(k-1)=529.答：开初有 24 辆汽车，有 529 名游客4.应用题中的推理问题比赛中常有的应用题不必定是以求解的面目出现，而是一种逻辑推理型 . 解答这种题目不单需要具备较强的剖析综合能力，还要擅长用正确精练的语言来表述自己正确的逻辑思想.例 10（1986 年加拿大数学比赛题）有一种体育比赛共含 M个项目，有运动员 A、B、C参加，在每个项目中，第一、二、三名分别得 p1、p2、 p3分，此中 p1、 p2、p3为正整数且 p1＞ p2＞ p3，最后 A 得 22 分， B 与 C 均得 9 分， B 在百米赛中获得第一，求 M 的值，并问在跳高中谁获得第二名？剖析考虑三个得的总分，有方程：M(p1 +p2+p3 )=22+9+9=40,①又p 1+p2+p3≥1+2+3=6，②∴6M≤M(p1+p2+p3)=40 ，进而 M≤6.由题设知起码有百米和跳高两个项目，进而M≥2，又 M|40，因此 M可取 2、4、5.考虑 M=2，则只有跳高和百米，而 B百米第一，但总分仅 9 分，故必有：9≥p1+p3, ∴≤8，这样 A不行能得 22 分.若 M=4，由 B 可知： 9≥p1+3p3，又p3≥1，因此p1≤6, 若p1≤5，那么四项最多得20分， A 就不行能得 22 分，故 p1=6.∵4（ p1+p2+p3）=40, ∴p2+p3=4.故有： p2=3,p 3=1,A 最多得三个第一，一个第二，一共得分3×6+3=21＜ 22，矛盾 .若 M=5，这时由 5(p 1+p2+p3)=40 ，得：p1+p2+p3=8. 若 p3≥2，则：p1+p2+p3≥4+3+2=9，矛盾，故p3 =1.又 p1一定大于或等于5, 不然 ,A 五次最高只好得20 分, 与题设矛盾 , 因此 p1≥5.若 p1≥6，则 p2+p3≤2，这也与题设矛盾，∴p1=5， p2+p3 =3，即 p2 =2， p3=1.A=22=4×5+2.故 A 得了四个第一，一个第二；B=9=5+4×1，故 B 得了一个第一，四个第三；C=9=4×2+1，故 C 得了四个第二，一个第三.练习五1.选择题（ 1）翻开 A、 B、C 每一个阀门，水就以各自不变的速度注入水槽 . 当所有三个阀门都翻开时，注满水槽需 1 小时；只翻开 A、C两个阀门，需要 1.5 小时；假如只翻开B、C 两个阀门，需要 2 小时，若只翻开 A、B 两个阀门时，注满水槽所需的小时数是（）.（ A） 1.1（B）1.1５（C）1.2（D）1.25(E)1.75（2）两个孩子在圆形跑道上从同一点 A 出发，按相反方向运动，他们的速度是每秒5 英尺和每秒 9 英尺，假如他们同时出发并当他们在 A 点第一次再相遇的时候结束，那么他们从出发到结束之间相遇的次数是（）.（ A）13（B）25（C）44（D）无量多（E）这些都不是（ 3）某超级市场有128 箱苹果，每箱起码120 只，至多 144 只，装苹果只数相同的箱子称为一组，问此中最大一组的箱子的个数n，最小是（）（A）4（B）5（C）6（D）24（E）25（ 4）两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的容积之比是 p:1 ，而在另一个瓶子中是 q:1 ，若把两瓶溶液混淆在一同，混淆液中的酒精与水的容积之比是（）.（ 5）汽车 A 和 B 行驶相同的距离，汽车 A 以每小时 u 千米行驶距离的一半并以每小时υ千米行驶另一半，汽车 B以每小时 u 千米行驶所行时间的一半并以每小时υ千米行驶另一半，汽车 A 的均匀速度是每小时 x 千米，汽车 B 的均匀速度是每小时 y 千米，那么我们总有（）（ A）x≤y(B)x ≥y(C)x＝y(D)x ＜ y(E)x＞y2. 填空题（ 1）已知闹钟每小时慢 4 分钟，且在 3 点半时瞄准，此刻正确时间是正确时间 ______分钟，闹钟才指到12 点上 .12 点，则过（ 2）若 b 个人 c 天砌 f 块砖，则 c 个人用相同的速度砌 b 块砖需要的天数是 ____.（ 3）某人上下班可乘火车或汽车，若他清晨上班乘火车则下午回家乘汽车；又倘若他下午回家乘火车则清晨上班乘汽车，在x 天中这个人乘火车9 次，清晨乘汽车次，下午乘汽车15 次，则 x=_______.8（ 4）一个年纪在13 至 19 岁之间的孩子把他自己的年纪写在他父亲年纪的后边，这个新的四位数中减去他们年纪差的绝对值获得4289，他们年纪的和为 ______.从（5）一个城镇的人口增添了 1200 人，而后这新的人口又减少了 11%，此刻镇上的人数比增添 1200 人从前还少 32 人，则原有人口为 _____人 .3.（1982-1983 年福建省初中数学比赛题）一个四位数是奇数，它的首位数字小于其他各位数字，而第二位数字大于其他各位数字，第三位数字等于首末两位数字之和的二倍，求此四位数 .4. （第 2 届《祖冲之杯》）甲乙两人合养了几头羊，而每头羊的卖价又恰为n 元，两人分钱方法以下：先由甲拿 10 元，再由乙拿 10 元，这样轮番，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去，为了均匀分派，甲应当分给乙多少钱？5. （1986 年湖北省荆州地域初中数学比赛题）达成同一工作，A独做所需时间为B 与 C 共同工作所需时间的 m倍，B 独做所需时间为 A 与 C 共同工作所需时间的 n 倍，C 独做所需时间为 A 与 B 共同工作所需时间的 x 倍，用 m， n 表示出 x 来 .6.（ 1988 年江苏省初中数学比赛题）今有一个三位数，其各位数字不尽相同，如将此三位数的各位数字从头摆列，必可得一个最大数和一个最小数（比如，427，经重新摆列得最大数 742，最小数 247），假如所得最大数与最小数之差就是本来的那个三位数，试求这个三位数 .7.（ 1978 年四川省数学比赛题）某煤矿某一年产煤总量中，除每年以必定数目的煤作为民用、出口等非工业用途外，其他留作工业用煤，依据该年度某一工业城市的工业用煤总量为标准计算，可供这样的三个工业城市用六年，四个这样的城市用五年（自然每年都要除掉非工业用煤的那一个定量），问假如只供一个城市的工业用煤，能够用多少年？练习五１．Ａ．Ｃ．Ｅ．Ａ．２．①②③１６④５９岁⑤１０００３．设从首位起，各位数字按序为ａ，ｂ，ｃ，ｄ，则ａ＜ｂ，ａ＜ｃ，ａ＜ｄ，且ｃ＜ｄ，ｄ＜ｂ．又ｃ＝２（ａ＋ｄ）．且２≤ｃ≤８，故２≤２（ａ＋ｄ）≤８．∵ｄ为奇数，ａ≠０，∵ａ＝１，ｄ＝３．这时ｃ＝２（ａ＋ｄ）＝８，ｂ＝９．４．略．５．设Ａ、Ｂ、Ｃ独自达成同一工作所需时间分别为ａ、ｂ、ｃ，则单位时间他们可分别达成所有工作的、、，依题意有：由上边三式，可得：６．设三位数为，重排后最大数为则最小数为于是有因为Ｃ＜Ａ，由上式有１０＋Ｃ－Ａ＝ｚ，１０＋（Ｂ－１）－Ｂ＝ｙ，（Ａ－１）－Ｃ＝ｘ．可求得ｙ＝９，ｘ＝４，ｚ＝５．７．设该煤矿该年度产煤总量为ｘ，每年非工业用煤量为ｙ，该工业城市该年工业用煤量为ｚ，并设只供这样一个城市工业用煤可用ｐ年，由题意得方程组：①②③由①与②得ｙ＝２ｚ．④从①、③、④三式中消去ｘ、ｙ、ｚ，得。
高中数学联赛真题三角函数与解三角形A辑
备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题05三角函数与解三角形A 辑历年联赛真题汇编1．【2008高中数学联赛（第01试）】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 成等比数列，则sinAcotC+cosA sinBcotC+cosB的取值范围是( )A ．(0,+∞)B ．(0,√5+12) C ．(√5−12,√5+12) D ．(√5−12,+∞)2．【2007高中数学联赛（第01试）】设函数f (x )=3sinx +2cosx +1.若实数a ，b ，c 使得af (x )+bf (x －c )=1对任意实数x 恒成立，则bcosc a的值等于( )A ．−12B ．12C ．−1D ．13．【2006高中数学联赛（第01试）】已知△ABC ，若对任意t ∈R ，|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ −tBC ⃑⃑⃑⃑⃑ |≥|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |，则△ABC 一定为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．答案不确定4．【2005高中数学联赛（第01试）】△ABC 内接于单位圆，三个内角A ，B ，C 的平分线延长后分别交此圆于A1，B 1，C 1.则AA 1⋅cos A 2+BB 1⋅cos B 2+CC 1⋅cos C2sinA+sinB+sinC的值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．85．【2004高中数学联赛（第01试）】设锐角使关于x 的方程x 2+4xcosθ+cotθ=0有重根，则θ的弧度数为( )A ．π6B ．π12或5π12C ．π6或5π12D ．π126．【2003高中数学联赛（第01试）】若x ∈[−5π12,−π3]，则y =tan (x +2π3)−tan (x +π6)+cos (x +π6)的最大值是( )A ．125√2B ．116√2C ．116√3D ．125√37．【2001高中数学联赛（第01试）】在四个函数y =sin|x|，y =cos|x|，y =|cotx |，y =lg|sinx|中以π为周期，在(0,π2)上单调递增的偶函数是( )A ．y =sin|x|B ．y =cos|x|C ．y =|cotx|D ．y =lg|sinx|8．【2001高中数学联赛（第01试）】如果满足∠ABC =60°，AC =12，BC =k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是( ) A ．k =8√3B ．0<k ⩽12C ．k ≥12D ．0<k ≤12或k =89．【2000高中数学联赛（第01试）】设sinα>0,cosα<0，且sin α3>cos α3，则α3的取值范围是( )A ．(2kπ+π6,2kπ+π3),k ∈ZB ．(2kπ3+π6,2kπ3+π3),k ∈ZC ．(2kπ+5π6,2kπ+π),k ∈ZD ．(2kπ+π4,2kπ+π3)∪(2kπ+5π6,2kπ+π),k ∈Z10．【1999高中数学联赛（第01试）】已知点A (1，2)，过点(5，－2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B ，C ，那么，△ABC 是( ). A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．答案不确定11．【1997高中数学联赛（第01试）】设f(x)=x 2−πx,α=arcsin 13，β=arctan 54，γ=arccos (−13)，δ=arccot (−54)，则( )A．f(α)>f(β)>f(δ)>f(γ)B．f(α)>f(δ)>f(β)>f(γ)C．f(δ)>f(α)>f(β)>f(γ)D．f(δ)>f(α)>f(γ)>f(β)12．【1996高中数学联赛（第01试）】设x∈(−12,0)，以下三个数：α1=cos(sinxπ)，α2=sin(cosxπ)，α3= cos(x+1)π的大小关系是( )A．α3<α2<α1B．α1<α3<α2C．α3<α1<α2D．α2<α3<α113．【1995高中数学联赛（第01试）】log in 1cos1,log sin1tan1,log geos 1sin1,log cos 1 tan 1的大小关系是( ) A．log sin1cos1<log cos1sin1<log sin1tan1<log cos1tan1B．log cos1sin1<log cos1tan1<log sin1cos1<log sin1tan1C．log sin1tan1<log cos1tan1<log cos1sin1<log sin1cos1D．log cos1tan1<log sin1tan1<log sin1cos1<log cos1sin114．【1994高中数学联赛（第01试）】设a，b，c是实数.那么对任何实数x，不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要条件是( )A．a，b同时为0，且c>0B．√a2+b2=cC．√a2+b2<c D．√a2+b2>c15．【1994高中数学联赛（第01试）】已知0<b<1，0<a<π4，则下列三数：x=(sina)log b sina，y=(cosa)log b cosa,z=(sina)log b cosa的大小关系是( )A．x<z<y B．y<z<x C．z<x<y D．x<y<z16．【1993高中数学联赛（第01试）】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边边长分别是a，b，c，若c－a等于AC边上的高h，则sin C−A2+cos C+A2的值是( )A．1B．12C．13D．−117．【1992高中数学联赛（第01试）】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c(b≠1)，且CA ,sinB sinA都是方程log√bx=log b(4x−4)的根，则△ABC( ). A．是等腰三角形，但不是直角三角形B．是直角三角形，但不是等腰三角形C．是等腰直角三角形D．不是等腰三角形，也不是直角三角形18．【1990高中数学联赛（第01试）】设a∈(π4,π2)，则(cosa)cosa，(sina)cosa,(cosa)sina的大小顺序是( )A．(cosα)cosα<(sinα)cosα<(cosα)sinαB．(cosα)cosα<(cosα)sinα<(sinα)cosαC．(sinα)cosα<(cosα)cosα<(cosα)sinαD．(cosα)sinα<(cosα)cosα<(sinα)cosα19．【1989高中数学联赛（第01试）】若A，B是锐角△ABC的两个内角，则复数z=cosB−sinA+i(sinB −cosA)在复平面内所对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限20．【1989高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=arctanx+12arcsinx的值域是( ).A．(−π,π)B．[−3π4,3π4]C．(−3π4,3π4)D．[−π2,π2]21．【1987高中数学联赛（第01试）】边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是( )A．10√2B．14C．5√6D．1222．【1987高中数学联赛（第01试）】如图，△ABC的顶点B在单位圆的圆心上，A，C在圆周上，∠ABC=2a(0<a<π3).现将△ABC在圆内按逆时针方向依次作旋转，具体方法如下：第一次，以A为中心，使B落在圆周上；第二次，以B为中心，使C落到圆周上；第三次，以C为中心，使A落到圆周上，如此旋转直到第100次.那么，点A所走路程的总长度为( )A．22π(1+sina)−66a B．22π+683πsina−66aC．673πD．33π−66a23．【1986高中数学联赛（第01试）】设－1<a<0，θ=arcsina，那么不等式sinx<a的解集为( )A．{x|2nπ+θ<x<(2n+1)π−θ,n∈Z}B．{x|2nπ−θ<x<(2n+1)π−θ,n∈Z}C．{x|(2n−1)π+θ<x<2nπ−θ,n∈Z}D．{x|(2n−1)π−θ<x<2nπ+θ,n∈Z}24．【1985高中数学联赛（第01试）】已知方程arccos45−arccos(−45)=arcsinx，则( )A．x=2425B．x=−2425C．x=0D．这样的x不存在25．【1984高中数学联赛（第01试）】若动点P(x，y)以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点Q(－2xy，y2－x2)的运动方式是( )A．以角速度ω在单位圆上顺时针运动B．以角速度ω在单位圆上逆时针运动C．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动D．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动26．【1983高中数学联赛（第01试）】已知等腰△ABC的底边BC及高AD的长都是整数，那么sinA和cosA中( )A．一个是有理数，另一个是无理数B．两个都是有理数C．两个都是无理数D．是有理数还是无理数要根据BC和AD的数值来确定27．【1983高中数学联赛（第01试）】任意△ABC，设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为l，R与r，那么( )A．l>R+r B．l⩽R+r<R+r<6l D．A，B，C三种关系都不对C．16)都有( )28．【1982高中数学联赛（第01试）】对任何φ∈(0,π2A．sinsinφ<cosφ<coscosφB．sinsinφ>cosφ>coscosφC．sincosφ>cosφ>cossinφD．sincosφ<cosφ<cossinφ29．【1981高中数学联赛（第01试）】条件甲:两个三角形的面积和两条边对应相等.条件乙:两个三角形全等( )A．甲是乙的充分必要条件B．甲是乙的必要条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必要条件，也不是充分条件30．【1981高中数学联赛（第01试）】条件甲:√1+sinθ=a.条件乙:sinθ2+cosθ2=aA．甲是乙的充分必要条件B．甲是乙的必要条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必要条件，也不是充分条件31．【1981高中数学联赛（第01试）】设α≠kπ2(k=0,±1,±2,⋯),T=sinα+tanαcosα+cotαA．T取负值B．T取非负值C．T取正值D．T取值可正可负优质模拟题强化训练1．△ABC的三边长分别为AB=a，BC=b，CA=c．若{c=√a2−2+√b2−2a=√b2−3+√c2−3b=√c2−4+√a2−4，则→AB⋅→BC，→BC⋅→CA，→CA⋅→AB中小于0的个数为（）．A．3B．2C．1D．02．arccos13+12arccos79=（）.A．3π8B．2π3C．π2D．arcsin893．设f(x)=cos(ωx)的最小正周期为6，则f(1)+f(2)+⋯+f(2018)的值是（）.A．0B．1C．12D．√324．函数y=(sinx−1)(cosx−1)2+sin2x(x∈R)的最大值为（）.A．√22B．1C．12+√22D．√25．设曲线f(x)=acosx+bsinx的一条对称轴为x=π5。
数学竞赛与高中数学学习的关系
数学竞赛（mathematical competition）以解答数 学问题为比赛内容的一种业余的学术活动，是一种 高水平的智力竞赛．因其最早的数学竞赛是意大利的两位数 学家塔尔塔利亚（Tartaglia， N.）和菲奥尔（Fior， A. M.）之间于1535年进行的：两人各给对方出30 道解三次方程的问题，解得最多最快者为优胜 者．现代数学竞赛主要在学生（尤其是中学生）之 间进行．最早举办中学生数学竞赛的国家是匈牙利， 自1894年开始，到今已有百余年的历史
㈡.参加数学竞赛学习与高考有冲突 吗？ 对我们的学习有什么帮助？
• 在座同学有可能思考这样的问题，参加数学竞赛学习与高 考有冲突吗？ 对我们的学习有影响吗？ • 我们知道高中数学竞赛有一试和二试，一试的考试所涵盖 的内容和难度指数跟高考差不多，略高于高考，因此，在 一试中如果有不错的成绩，高考也就没大问题了；二试命 题的基本原则是向国际数学奥林匹克靠拢，总的精神比高 中数学大纲的要求有提高，在知识方面略有扩展。 • 对于竞赛后的前景，也是很多家长和学生还不太了解 的，其实，数学竞赛是发现人才的一个有效手段，很多在 重要数学竞赛中成绩优异的学生，都是名牌大学争抢的对 象，早早的就被录取，他们中的很多人在后来的事业中都 卓有建树。今天参加数学兴趣小组的同学经过大约109周 的学习，我想会取得较好的成绩的，同学们一定要去掉畏 难思想为微山一中增光的
• 经过40多年的发展，国际数学奥林匹克的运转逐步制度化、规 范化，有了一整套约定俗成的常规，并为历届东道主所遵循。 • 1、目的 激发青年人的数学才能；引起青年对数学的兴趣；发 现科技人才的后备军；促进各国数学教育的交流与发展。 • 2、时间 每年举办一届，时间定于７月． • 3、主办 由参赛国轮流主办，经费由东道国提供。 • 4、对象 参赛选手为中学生，每支代表队有学生6人，另派2名 数学家为领队。
1985年全国高中数学联合竞赛一试试题解析
C. 奇数项是递增的，偶数项是递减的
D. 偶数项是递增的，奇数项是递减的
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解答 0 < a < 1 ⇒ y = ax 单调递减 ⇒ a1 < aa < a0 ⇒ x1 < x2 < 1 ⇒ a1 < ax2 < ax1 ⇒ x1 < x3 < x2 ⇒ ax2 < ax3 < ax1 ⇒ x3 < x4 < x2 ⇒ ax2 < ax4 < ax3 ⇒ x3 < x5 < x4 ⇒ ax4 < ax5 < ax3 ⇒ x5 < x6 < x4 ⇒ ax4 < ax6 < ax5 ⇒ x5 < x7 < x6 ⇒ · · · ， 于是 0 < x1 < x3 < x5 < · · · < x2n−1 < · · · < x2n < · · · < x6 < x4 < x2 < 1. 从而奇数项是递增的，偶数项是递减的，所以选 C.
三、解答题 (本题满分 60 分，每小题 20 分)
11. 在直角坐标系 xOy 中，点 A(x1, y1) 和点 B(x2, y2) 的坐标均为一位正整数， OA 与 x 轴正方向的夹角大于 45◦，OB 与 x 轴正方向的夹角小于 45◦，B 在 x
轴上的射影为 B′，A 在 y 轴上的射影为 A′，△OB′B 的面积比 △OA′A 的面
解答 √
设 |P F | = x, |QF | = y ⇒ |P Q| = x + y ⇒ |M N | = (x + y)2 − (x − y)2
= 2√xy ⇒ S1 = π(x + y)2, S2 = 4πxy，所以选 C.
奥数在中国的兴起变形历程是怎样的
奥数在中国的兴起变形历程是怎样的奥数在中国的兴起变形历程是怎样的起源1934年和1935年苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛并冠以数学奥林匹克的名称。
1959年罗马尼亚数学物理学会邀请东欧国家中学生参加，在布加勒斯特举办了第一届国际数学奥林匹克竞赛，从此每年举办一次，至今已举办超50届。
我国的数学竞赛始于1956年。
在著名数学家华罗庚、苏步青等人的倡导下，由中国数学理事会发起，北京、天津、上海、武汉四城市首先举办了高中数学竞赛。
兴起1986年，中国正式组队参加IMO。
为了让每年参加国家集训队的20多个学生安心备战，都给予其免试上大学的保证。
上世纪80年代，国家教委出台政策规定包括数学、化学、计算机等在内的5个学科高中联赛成绩好的可以免试上大学。
推荐保送和竞赛的关联由此确定下来。
近年来中国代表在数学奥林匹克上的成绩突飞猛进，从第40届到第43届，中国代表队连续四年总分第一。
绝大部分地区已办了业余数学奥林匹克学校，有关数学竞赛的书刊成为热门货。
失控小升初取消考试，真正引爆了全民化的市场化培训机构。
为了让孩子进一所好的初中，家长们不惜早早地就把孩子送进了各类所谓的`奥数培训机构。
1994年，中国教委基础教育司召开了各学科竞赛负责人及新闻媒体参加的会议，提出停办奥校。
这是相关部门第一次正式提出取缔奥校。
1995年底，教委在报纸上登了一则消息，限定以后所有国内的学科竞赛都要报教委批准之后才能开展。
然而，每次“fan奥”风潮一过，各种竞赛又相继开展。
1997年，中国数学学会恢复了小学数学竞赛。
此外，与奥数性质一样的比赛还有“华罗庚金杯少年数学邀请赛”及中小学数学教学报“迎春杯”赛等针对小学生的赛事。
奥数与“fan奥”无数次的陷入轮回。
到2009年，成都市公开宣布要“封杀”奥数教育。
历年全国高中数学竞赛试卷及答案(77套)
（5月14日下午14:30—16:30）
题目
一
二
三
总成绩
13
14
15
16
得分
评卷人
复核人
考生注意：1.本试卷共有三大题（16个小题），全卷满分140分
2.用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答。
3.计算器，通讯工具不准待入考场。
4.解题书写不要超过封线
一，单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
二，填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7.1008 8.0 9.2 10. 11.2 12.243
三，解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13.证明：（1）因为
所以，数列 成等比数列 ……5分
于是
即数列 的通项公式 ……10分
（2）法1：因为 对任意的正整数n都成立，故
由（1）知
∴共有C 种比赛方式．
三．(15分)长为 ，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积．
解：过轴所在对角线BD中点O作MN⊥BD交边AD、BC于M、N，作AE⊥BD于E，
则△ABD旋转所得旋转体为两个有公共底面的圆锥，底面半径AE= = ．其体积V= ( )2· = π．同样，
1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是( )
A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)
解：第二个函数是y=φ－1(x)．第三个函数是－x=φ－1(－y)，即y=－φ(－x)．选B．
1985年全国高中数学联合竞赛试题及解答
46 ．
而
B1EF
在平面
A1C1
上的射影面积为
1 4
．
∴ cos 3 ，即所求角为 arccos 3 ．
46
46
D A
CA
C1
B1 C
E B
又解：设平面
B1EF
与平面
AD1 交于
FG
，( G
在
AD
上)，则由平
F A1
H
D1
面 AD1 // 平面 BC1 ，得 FG // B1E ．于是，延长 GF 、 D1A1 交于 P ，P K
7
1985*8、 方程 2x1 x2 x3 x10 3 的非负整数解共有 ◆答案：174 ★解析：当 x1 1 时， x2 x3 x10 1，共有 9 解；
组．
x1 0 时， x2 x3 x10 3 ，共有 9 A92 C93 165 解． ∴ 共有174 解．
∴ S1 S2 ，当且仅当 900 时等号成立．选 C．
1985*3、已知方程 arccos 4 arccos 4 arcsin x ，则( )
5
5
A． x 24 25
B． x 24 25
C． x 0
D．这样的 x 不存在．
◆答案：D
★解析：即 arcsin x 2 arccos 4 ．设 arccos 4 ，则 cos 4 ， sin 3 ．
C1 B1
1985 年全国高中数学联合竞赛一试 第 4 页 共 6 页
则
P
为截面与平面
A1C1 的公共点，故
PB1 为所求二面角的棱．
AG
历届中国数学奥赛
历届中国数学奥赛
中国数学奥林匹克竞赛是一个全国性的数学竞赛，旨在发掘和培养数学人才，自1985年开始每年举办。
以下是历届中国数学奥赛的
简要回顾：
1985年：首届中国数学奥赛在上海举行，共有20个省市的88
名学生参加，比赛分为初赛和决赛两个阶段。
1992年：第八届中国数学奥赛在北京举办，吸引了来自全国24
个省市的200余名选手参加。
1999年：第十五届中国数学奥赛在重庆举行，共有来自全国31
个省市的340名学生参赛，同时也是历届中国数学奥赛中规模最大的一次。
2006年：第22届中国数学奥赛在广西南宁举行，共有来自全国29个省市和港澳台地区的近400名优秀学生参加。
2013年：第29届中国数学奥赛在广东梅州举行，共有来自全国31个省市的400多名学生参赛，比赛中涵盖了初中和高中两个阶段。
2019年：第35届中国数学奥赛在四川成都举行，共有来自全国31个省市的424名学生参赛，其中包括中国大陆、港澳台地区和海
外华人。
历届中国数学奥赛的题目难度逐年提高，内容也逐渐涵盖了数论、代数、几何、概率等多个数学领域，为数学爱好者们提供了一个锻炼自己的平台。
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中华数学竞赛
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1985年第5届全国高中数学联赛
第一试
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.假如有两个命题：甲：是大于零的实数；乙：且a a b >1a b 1−−>，那么（ ）.
A .甲是乙的充分而不必要条件
B .甲是乙的必要而不充分条件
C .甲是乙的充分必要条件
D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2.为经过抛物线PQ 22y px =焦点的任意一条弦，MN 为的准线l 上的射影，PQ 线l 转一周所
得的旋转面面积为.，以PQ 1S MN 为直径的球面面积为，则下面的结论中，正确的是（ ）.
2S A . B . C . D .有时，有时1S S >222221S S <1S S ≥1S S >1S S =，有时
12S S <3.已知方程44arccos arccos arcsin 55x ⎛⎞
−−=⎜⎟⎝⎠
，则（ ）.
A .2425x =
B .2425
x =− C .0x = D .这样的x 不存在 4.在下列四个图形中，已知有一个是方程20mx ny +=与221mx ny +=（，）在同一坐
标系中的示意图，它应是（ ）.
0m ≠0n
≠
A B C D
5.设Z ，W ，λ为复数，1λ≠，关于Z 的方程Z Z W λ−=有下面四个结论：
（1）2
1W W
Z N
λ+=
−是这个方程的解；（）这个方程只有一个解；（）这个方程有两个解；（）这
个方程有无穷多解.则（ ）.
234A .只有（1）和（）是正确的 B .只有（）和（）是正确的 213C .只有（1）和（）是正确的 D .以上ABC 都不正确
46.设，若01a <<1x a =，12x x a =，23x x a =，，"1n x n x a −=，"则数列{}n x （ ）.
A .是递增的
B .是递减的
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C .奇数项是递增的，偶数项是递减的
D .偶数项是递增的，奇数项是递减的
二、填空题（每小题6分，共24分）
1.在ABC Δ中，角A ，B ，的对边分别为，，.若角C a b c A ，B ，的大小成等比数列，且，则角C 22b a ac −=B 的孤度数等于 .
2.方程的非负整数解共有 1234567891023x x x x x x x x x x +++++++++=组.
3.在已知数列1，，，10，16，19，，25，30，43中，相领若干数之和能被11整除的数
组共有 4821.
4.对任意实数x ，，定义运算y x y ∗为x y ax by cxy ∗=++3，其中a ，b ，c 为常数，等式右端中
的运算是通常的实数加法、乘法运算，现已知12∗=234，∗=，并且有一个非零实数，使得对于任
意实数d x 都有x d ∗=x ，则 d =.
第二试
一、（15分）
在直角坐标系xOy 中，点A （1x ，1y ）和点B （2x ，2y ）的坐标均为一位正整数，OA 与x 轴正方
向的夹角大于，
与45D
OB x 轴正方向的夹角小于，45D
B 在x 轴上的射影为B ′，A 在y 轴上的射影为A ′，的面积比的面积大，由OB B ′ΔOA A ′Δ33.51x ，1y ，2x ，2y 组成四位数，并写出求解过程.
二、（15分）
如图，在正方体中，1111ABCD A B C D −E 是BC 的中点，在上，且，求平面
F 1AA 1:1:A F FA =21B EF 与底面所成的二面角.
11A B C 11D
三、（15分）
某足球邀请赛有十六个城市参加，每市派出甲、乙两个队.根据比赛规则，每两队之间至多赛一场，
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并且同一城市的两队之间不进行比赛；比赛若干天后进行统计，发现除A 市甲队外，其它各队已比赛过的场数各不相同.问A 市乙队已赛过多少场？请证明你的结论.
四、（15分）
的点，它们之间的最大距离与最小距离之比记为平面上任给五个相异λ，求证：，并讨等号成立的充要条件.
2sin 54λ≥D
论。