厚壁圆筒在隧道里的应用

厚壁圆筒在隧道里的应用圆筒是构成压力容器和管道的最基本元件。

在使用R6方法的压力容器和管道结构完整性评估过程中，含缺陷圆筒的极限载荷是一个非常重要的输入参量。

目前，复合载荷作用下含周向缺陷薄壁圆筒的极限载荷解已经较为完善。

然而，在内压和其它载荷作用下含周向缺陷厚壁圆筒的极限载荷解却仍然非常的缺少。

本文为了发展内压和轴向力联合作用下含周向整圈等深裂纹厚壁圆筒的极限载荷解，主要研究内容如下：⒈考虑了厚壁圆筒应力分布的不均匀性以及厚壁圆筒的几何特性，基于V o nM i se s屈服准则，给出了内压和轴向力共同作用下的厚壁圆筒极限载荷表达式。

所给出的理论解与各种径比和载荷比例下的有限元解符合的非常好。

同时，还与现有的一些理论解做了比较，结果表明，本文所给出的理论表达式是最精确的。

⒉考虑了厚壁圆筒应力分布的不均匀性以及厚壁圆筒的几何特性，基于M i se s屈服准则给出了含周向内表面等深裂纹(密封和开口)厚壁圆筒在内压和轴向力共同作用下的极限载荷计算公式。

所给出的理论解与各种径比、裂纹深度以及载荷比例下的有限元解经过比较，结果表明，两种情况下理论解与有限元解的误差都在-20％以内且偏于保守，可为工程应用提供依据。

⒊考虑了厚壁圆筒应力分布的不均匀性以及厚壁圆筒的几何特性，基于V o nM i se s屈服准则，提出了内压和轴向力共同作用下的含周向等深外表面裂纹厚壁圆筒极限载荷表达式。

所给出的理论解与各种径比、裂纹深度以及载荷比例下的有限元解经过比较，结果表明，其理论解与有限元解的误差在-30％以内，给出偏保守的理论结果，具有一定的工程应用价值。

壁厚对厚壁圆筒的极限载荷的影响厚壁圆筒是工程中一种重要的结构,对其进行极限分析,对工程应用具有重要的意义. 因为不仅为工程应用提供了理论依据,而且能更充分地发挥材料的潜力. 以前,对其进行极限分析主要是采用Tresca 屈服准则、Mises 屈服准则和双剪应力屈服准则,如文[1 ,2 ]等. 当采用Tresca 屈服准则进行塑性分析时,没有考虑中间主应力σ2对材料强度的影响;而采用Mises屈服准则进行塑性分析时,由于它的非线性带来了数学上的求解困难;而采用双剪应力屈服准则进行极限分析,没有考虑材料的SD 效应. 采用双剪统一强度理论对工程结构进行塑性极限分析具有许多优势,概括地说,主要有以下优点:(1) 因为双剪统一强度理论的条件式是各主应力的线性表达式,所以,克服了求解过程中的非线性问题;(2) 求得的解可以灵活地考虑材料的拉压异性和同性问题;(3) 考虑了第二主应力对强度的影响;(4) 按双剪统一强度理论求得的解可以用于适用于不同强度准则的材料. 因此,双剪统一强度理论的应用将越来越广泛. 从双剪应力屈服准则的提出到双剪统一强度理论的形成已经取得了很大的成就,如文[3～6 ]等. 本文采用双剪统一强度理论对厚壁圆筒进行塑性极限分析,得到了极限载荷之间的关系式,并且,进一步分析了厚壁圆筒的壁厚对塑性极限载荷的影响,从而获得了不同壁厚极限载荷曲线以及相对壁厚对极限载荷的影响曲线,为工程应用提供了分析计算的理论依据.1 双剪统一强度理论双剪统一强度理论是一种体现了材料的拉压异性和同性,不同中间主应力效应以及能够适用于不同屈服准则的一种强度理论. 其统一表达式为:式中: b ( (0 ≤b ≤1) ) 为反映中间主应力的系数. 当它取不同的值时, 双剪统一强度理论就成为了不同强度准则. 因此,双剪统一强度理论包含了不同的屈服准则.α为拉伸极限强度σs 与压缩极限强度σ c 之比.当α= 1 , b = 0 ,0. 5 和1 时,可分别得到Tresca 屈服准则,线性逼近的Mises 屈服准则和双剪应力屈服准则. 双剪统一强度理论在π平面上的屈服线图形如图(1)所示. 由图可知:双剪统一强度理论形成了一个外凸曲线. 从下限到上限覆盖了域内所有区域的系列化的理论. 因而,可以十分灵活地应用于各种不同的情况.2 厚壁圆筒的极限载荷计算式设厚壁圆筒的内、外半径分别为R0 、R ,当它受均匀内压q 及轴向载荷P 时,厚壁圆筒内的任意一点处于三维应力状态. 由于轴力允许是拉力或压力,故σz ,σθ和σr 的排列次序有下列:σz ≥σθ≥σr ,σθ≥σz ≥σr 、σθ≥σr ≥σz 三种情况以及介于σz ≥σθ≥σr 与σθ≥σz ≥σr 之间和介于σθ≥σz ≥σr 与σθ≥σr ≥σz 之间二种情况. 按以上五种情况,把双剪统一强度理论的条件式与应力平衡方程联立,并且利用边界条件,即可求得以上五种情况下极限载荷之间的关系式:2. 1 在σz ≥σθ≥σr 的情况下求其极限载荷之间的关系式2. 2 在σθ≥σ≥σr 的条件下求其极限载荷之间的关系式2. 3 当σz >(σθ) min和σz <(σθ) max时求其极限载荷之间的关系式因为σθ沿半径方向的值是随着r 的增大而逐渐增大的,故当r ≤r0时,三维应力之间存在关系:σ≥σθ≥σr ;当r ≥r0 时,σz ≥σv ≥σr . 按此条件,可求得其极限载荷之间的关系式为:2. 4 在σθ≥σr ≥σz 的条件下求其极限载荷之间的关系式如果σz = P/A< 0 ,此时,有两种情况:|σz| > q 和|σz | < q. 在第一种情况下,则有:σθ≥σr ≥σz . 在第二种情况下,厚壁圆筒中必存在有一个半径为r0 的圆柱面,σz =σr . 当r < r0 时,σθ≥σz ≥σr ;而r > r0 时,σθ≥σr ≥σz .2. 5 当σz = P/A< 0 , |σz| < q 时,求其极限载荷之间的关系式3 壁厚对厚壁圆筒相对塑性极限载荷线图的影响3. 1 厚壁圆筒的相对极限载荷之间的关系式以上给出了五种情况下的厚壁圆筒的塑性极限载荷q、P 之间的关系式. 为了更直观地表明塑性极限载荷q、P 之间的关系和分布情况,以及壁厚对极限载荷的影响, 将塑性极限载荷改变成无量纲的形式:取η 5 q/ Aσs ;同时,为了便于分析,取α= 1 , b = 0. 5 分别代入2、3、4、5、6、7、8 和9 等式,可得一组关于φ,η的方程,如下面的(10) 式～(17) 式:3. 2 厚壁圆筒的相对极限载荷线图在η、ξ直角坐标系下,分别画出每个方程所对应的曲线(分别取β= 1.5 ,2 ,2. 5) ,就可获得其屈服状态下,相对极限载荷η、ξ的三种线图如图(2) 所示. 图中所示的曲线1、2、3、4、5 和6 分别代表方程(10) 、(16) 、(12) 、(17) 、(14) 和(15) 的图像. 根据此极限应力线图,考虑三维应力之间的关系所构成的对q、P 之间的限定条件,就能根据q、P 之间的变化规律(或取的值) 判断厚壁圆筒是否达到屈服极限状态. 当极限载荷q、P 所对应的相对极限载荷η、ξ所构成的坐标点落在封闭区域内时,则表示厚壁圆筒没有整体达到屈服极限应力状态;当η、ξ所构成的坐标点落在曲线上或封闭区域外时,则表示厚壁圆筒已经整体达到屈服极限应力状态. 在极限应力线图中,2 所表示的曲线是四次曲线;4 所表示的曲线是二次曲线,其余曲线均为直线.3. 3 分析相对壁厚对极限载荷线图的影响由图(2) 可知:随着β的增大,极限曲线明显的向上移. 这就意味着在相同的相对轴向载荷下,要使厚壁圆筒整体达到屈服状态,随着壁厚的增加,需要的内压力将更大. 随着β的增大, 封闭区域的面积增大,厚壁圆筒整体达到屈服状态更难,这与厚壁圆筒屈服的实际情形是相吻合的. 随着β的增大, 曲线6 的斜率明显增大,这表示当ξ偏离- 1 相同量的情况下,η增长将更快. 如果保持厚壁圆筒处于塑性极限状态下, 当ξ< 0 , 并且接近于- 1 时,η的增大, 会减小厚壁圆筒承受轴向载荷的能力. 但是, 当ξ> 0 , 并且接近于1 时,η的增大, 会增大厚壁圆筒承受轴向载荷的能力,此时,ξ可以大于1 ;在极限载荷线图上,表现为三角形ABC 区域的面积的增大;随着相对壁厚β的增大,此区域的面积会增大. 相对壁厚β对极限载荷线图中ξ轴上左、右两端点的值没有影响,但与η轴上的交点的位置,随着β的增大而向上移动.3. 4 相对壁厚对相对载荷的影响图3 相对壁厚对相对载荷的影响曲线图4 相对壁厚对相对载荷的影响曲线为了分析公式(10) ～公式(17) 中,相对壁厚β对相对极限载荷的影响,根据极限应力线图中每段曲线所在的不同位置,先取定ξ的一个可能值. 在式(10) ～式(17) 中,ξ取的值分别为:1. 05 ,0. 5 ,0. 3 ,0. 3 ,- 0. 5 , - 0. 9 ,0. 9 , - 0. 3. 将其值分别代入相应的方程中,然后,考察β与η之间的关系. 为了更清楚地表明β与η之间的关系,将函数式(10) ～式(13) 的图像绘出在图(3) 中, 将函数式(14) ～式(17) 的图像绘出在图(4) 中. 这些曲线就反映了相对壁厚β对相对内压力η的影响程度.从图中可知:在厚壁圆筒整体处于屈服状态下,随着相对壁厚β的增大,相对内压力η也会增大.但是,增大的速度是各不相同的,增大最快的是式(10) ,式(12) ,式(13) ,式(14) 和式(17) ;增大比较快的是式(15) ;增大非常缓慢的是式(11) 和式(16) . 增大速度的快慢,说明了相对壁厚β对相对内压力η的影响程度. 因此,相对壁厚β对式(10) ,式(12) ,式(13) ,式(14) 和式(17) 影响最大;对式(15) 影响比较大;对式(11) 和式(16)影响比较小.4 结论a. 采用双剪统一强度理论与应力平衡方程相结合的方法,分析了三维应力状态下厚壁圆筒的极限载荷,获得了整个厚壁圆筒达到屈服极限状态时外载荷之间的关系式. 由此可知:利用双剪统一强度理论,在三维应力状态下,考虑第二主应力对塑性极限的影响以及材料的拉压异性和同性,能够获得极限载荷的精确解.b. 用相对载荷:η= q/σs ,ξ= P/ Aσs 代表外载荷,并且设α= 1 , b =0. 5 ,通过对整个厚壁圆筒达到屈服状态时外载荷之间的关系式进行分析,获得了相对载荷之间的关系式. 这些关系式在ξ、η直角坐标平面上形成了一个外凸的封闭的极限载荷线图. 按β= 2. 5 ,2 和1. 5 ,绘制了厚壁圆筒三种极限载荷线图. 由图可知:不管β取什么值,若η= 0 时,如果ξ> 0 ,则整个厚壁圆筒达到塑性极限状态时,ξ为- 1;如果ξ> 0 ,则整个厚壁圆筒达到塑性极限状态时,ξ为1. 这与材料屈服时的情况相符合. 但是,若β分别取2. 5 ,2 和1. 5 ,ξ为0 ,则η相应地为1. 071 6 ,0. 779 8 和0. 434 2. 若ξ、η的坐标点位于图(2) 中的ABC 区域内时,虽然ξ> 1 ,但整个厚壁圆筒并不一定进入塑性极限状态. 即在此区域内,η的增大,ξ可以大于1. 随着β的增大, ABC 区域增大;极限载荷线图的封闭区域增大.c 在相对极限载荷的关系式中,根据极限载荷线图,ξ取定一个可能值并将此值代入其中,即可得到η与β的关系式. 在η与β组成的直角坐标系下,绘出η与β的关系曲线,即为相对壁厚β对相对载荷(内压力η) 的影响曲线. 该曲线反映了相对壁厚β对相对载荷(内压力η) 的影响程度. 在整个厚壁圆筒达到屈服极限状态的条件下,相对壁厚β增大,相对内压力会增大.新奥法是一个具体应用岩体动态性质的完整的力学概念(或者说是一种隧道工程概念) , 是按科学制定的并已为实践所证明的原则和思想去修筑隧道。