2020-2021学年人教A版数学选修4-5作业：第1讲 第2课时 基本不等式

第一讲 第2课时

A ．基础巩固

1．(2017年长春期末)已知x ，y 是正数且1x ＋9

y ＝1，则x ＋y 的最小值是( )

A ．6

B ．12

C ．16

D ．24

【答案】C 【解析】x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝1＋9＋y x ＋9x

y ≥10＋2y x ·9x

y

＝10＋6＝16，当且仅当x ＝4，y ＝12时取等号，故x ＋y 的最小值是16.故选C ．

2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 等于( )

A ．10

B ．15

C ．20

D ．25

【答案】C 【解析】一年的总运费与总存储费用之和为4x ＋400

x ×4＝4⎝⎛⎭⎫x ＋400x ，∵x ＞0，∴4⎝

⎛⎭⎫x ＋400

x ≥4×2x ·400

x

＝160⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝400x 即x ＝20时取“＝”. 3．(2017年昭通校级期末)已知a ＞b ＞0，则下列不等式中总成立的是( ) A ．b a ＞b ＋1

a ＋1

B ．a ＋1a ＞b ＋1

b

C ．a ＋1b ＞b ＋1

a

D ．2a ＋b a ＋2b ＞a

b

【答案】C 【解析】∵a ＞b ＞0，∴1a ＜1b ，∴a ＋1b ＞b ＋1

a

.故选C ．

4．(2016年太原校级二模)若0＜y ≤x ＜π

2且tan x ＝3tan y ，则x －y 的最大值为( )

A ．π

4

B ．π

6

C ．π

3

D ．π2

【答案】B 【解析】∵0＜y ≤x ＜π

2且tan x ＝3tan y ，x －y ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴tan(x －y )＝tan x －tan y 1＋tan x tan y ＝

2tan y 1＋3tan 2y

＝21tan y

＋3tan y ≤33＝tan π6，当且仅当3tan 2y ＝1时取等号，∴x －y 的最大值为π

6.故选B ．

5．(2017年山东)若直线x a ＋y

b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．

【答案】8 【解析】由直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,2)，可得1a ＋2

b ＝1，所以2a ＋b

＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝4＋b a ＋4a

b

≥4＋2b a ·4a b ＝8，当且仅当b a ＝4a

b

，即b ＝4，a ＝2时等号成立． 6．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫

1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为______． 【答案】4 【解析】∵不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax

y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，∴1＋a ＋y x ＋ax

y

≥1＋a ＋2a ≥9，解得a ≥4.

7．过点(2,1)的直线l 与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，求当S △AOB 最小时直线l 的方程．

【解析】设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a ＞2，b ＞1)，点(2,1)在直线l 上，所以2a ＋1

b ＝1.

从而S △AOB ＝12ab ＝12a ·1b ≥1

⎝ ⎛⎭⎪⎫

2a ＋1b 22

＝4，

当且仅当2a ＝1b 且2a ＋1

b ＝1，

即a ＝4，b ＝2时S △AOB 有最小值4. 所以直线l 的方程为x 4＋y

2＝1，

即x ＋2y －4＝0.

B ．能力提升

8.(2018年石家庄模拟)在实数集R 中定义一种运算“⊕”，具有以下性质： ①对任意a ，b ∈R ，a ⊕b ＝b ⊕a ； ②对任意a ∈R ，a ⊕0＝a ；

③对任意a ，b ，c ∈R ，(a ⊕b )⊕c ＝c ⊕(ab )＋(a ⊕c )＋(b ⊕c )－2c .

则函数f (x )＝x ⊕1

x

(x >0)的最小值为( )

A.3

B.1

C.22

D. 2

【答案】B 【解析】根据题意得f (x )＝x ⊕1

x ＝⎝⎛⎭

⎫x ⊕1x ⊕0＝0⊕⎝⎛⎭⎫x ·1x ＋(x ⊕0)＋⎝⎛⎭⎫1x ⊕0－2×0＝1＋x ＋1x ，即f (x )＝1＋x ＋1x .∵x >0，可得x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1

x ＝1，即x ＝1时等号成立，

∴1＋x ＋1x ≥1＋2＝3，故f (x )＝x ⊕1

x (x >0)的最小值为f (1)＝3.