2020届东北三省三校高三第一次联合模拟考试数学(文)试题(解析版)
2020届东北三省三校高三第一次联合模拟考试数学（文）试题一、单选题1．设{}1,2,3,4,5U =，{}1,2,3A =，{}2,4B =，则U A B =I ð（ ） A ．{}1 B ．{}2 C ．{}1,2,3 D ．{}1,3【答案】D【解析】先由题意求出{}1,3,5U B =ð，再与集合A 求交集，即可得出结果. 【详解】因为{}1,2,3,4,5U =，{}2,4B =，所以{}1,3,5U B =ð， 又{}1,2,3A =，所以{}1,3=U A B I ð. 故选：D 【点睛】本题主要考查集合的交集与补集的混合运算，熟记交集与补集的定义即可，属于基础题型.2．设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则//αβ的一个充分条件是（ ）A ．存在两条异面直线,a b ，,,//,//a b a b αββα⊂⊂.B ．存在一条直线a ，//,//a a αβ.C ．存在一条直线a ，,//β⊂a a a .D ．存在两条平行直线,a b ，,,//,//αββ⊂⊂a b a b a . 【答案】A【解析】根据面面平行的判定定理，以及线面，面面位置关系，逐项判断，即可得出结果. 【详解】对于A 选项，如图：,a b 为异面直线，且,,//,//a b a b αββα⊂⊂，在β内过b 上一点作//c a ，则β内有两相交直线平行于α，则有//αβ；故A 正确；对于B 选项，若//,//a a αβ，则a 可能平行于α与β的交线，因此α与β可能平行，也可能相交，故B 错；对于C 选项，若,//β⊂a a a ，则α与β可能平行，也可能相交，故C 错； 对于D 选项，若,,//,//αββ⊂⊂a b a b a ，则α与β可能平行，也可能相交，故D 错. 故选：A 【点睛】本题主要考查探求面面平行的充分条件，熟记面面平行的判定定理，以及线面，面面位置关系即可，属于常考题型.3．已知向量()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-= ，若()()a b c a λ+⊥-，则实数λ=（ ） A ．15B ．5C ．4D ．14【答案】A【解析】先由题意，得到()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，再根据向量垂直，即可列出方程求解，得出结果. 【详解】因为()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-=， 所以()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，又()()a b c a λ+⊥-，所以()()0λ+⋅-=a b c a ，即32210λλ-++=， 解得：15λ=. 故选：A【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型. 4．若sin 22a π⎛⎫+=⎪⎝⎭3sin 2a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．23- B ．13- C ．13 D ．23【答案】C【解析】先由题意，得到cos 23=a ，再根据二倍角公式，以及诱导公式，即可得出结果. 【详解】由sin 22a π⎛⎫+=⎪⎝⎭，得cos 2=a ，221cos 2cos 12123∴=-=⨯-=-⎝⎭a a ， 31sin cos 23πα⎛⎫∴+=-= ⎪⎝⎭a .故选:C 【点睛】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记公式即可，属于常考题型. 5．已知()f x 在R 上连续可导，()f x '为其导函数，且()(0)x x f x e f e '-=+⋅，则()1f =（ ）A ．2eB ．12e e+ C ．3 D ．103【答案】B【解析】先对函数求导，得出1(0)2'=f ，求出1()2-=+xx f x e e ，进而可求出结果. 【详解】由题意，()(0)-''=-⋅xxf x e f e ，所以0(0)(0)1(0)'''=-⋅=-f e f e f ， 因此1(0)2'=f ，所以1()2-=+xx f x e e ，故()112=+f e e. 故选：B 【点睛】本题主要考查由导数的方法求参数，以及求函数值的问题，熟记导数的计算公式即可，属于基础题型.6．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若101010112a a =，则111213120202222log log log log a a a a ++++的值为（ ）A ．2 021B ．-2021C ．1 010D ．-1010【答案】D【解析】根据题中数据，以及等比数列的性质，得到122201********* =a a a a a a =⋯=，再由对数的运算法则，得到111213120202222log log log log a a a a ++++112320202log =⋅⋅a a a a ，进而可求出结果.【详解】在各项均为正数的等比数列{a n }中，若101010112a a =，可得122201********* =a a a a a a =⋯=，则111213120202222log log log log a a a a ++++()101011232020122log log 21010a a a a =⋅⋅==-.故选D. 【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用，以及对数的运算，熟记等比数列的性质，以及对数运算法则即可，属于常考题型.7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（ ） A ．()()0.63(3)log 132f f f -<-<B ．()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C ．()()0.632log 13(3)ff f <-<- D ．()()0.632(3)log 13ff f <-<-【答案】C【解析】根据题意，由函数的奇偶性可得()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，又由0.63322log 13log 273<<<=，结合函数的单调性分析可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,∞+上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题． 8．数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究陌数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数2()()21xx f x -=-.的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】先由函数解析式，得到22()()()2121----==≠--xx x x f x f x ，推出()f x 不是偶函数，排除AC ，再由特殊值验证，排除B ，即可得出结果. 【详解】因为函数22()()2121-==--x x x x f x ，所以22()()()2121----==≠--xx x x f x f x ， 因此函数()f x 不是偶函数，图象不关于y 轴对称，故排除A 、C 选项； 又因为9(3)7=f ，16(4)15=f ，所以(3)(4)f f >，而选项B 在0x >时是递增的，故排除B.故选：D 【点睛】本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的基本性质，灵活运用排除法处理即可，属于常考题型.9．已知偶函数()f x 的图象经过点()1,3--，且当0a b ≤<时，不等式()()f b f a b a-<-恒成立，则使得(2)30f x -+<成立的x 的取值范围为（ ） A ．()3,+∞B ．()1,3C ．()(),13,-∞⋃+∞D ．[]1,3【答案】C【解析】先由题意，得到点()1,3-也在函数图象上，函数()f x 在[)0,+∞上为减函数，将不等式化为(|2|)(1)-<f x f ，根据函数单调性，即可得出结果. 【详解】根据题意，()f x 为偶函数， 且经过点()1,3--，则点()1,3-也在函数图象上， 又当0a b ≤<时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，则函数()f x 在[)0,+∞上为减函数，因为(2)30f x -+<，所以(2)3(|2|)(1)|2|1f x f x f x -<-⇒-<⇒-> 解得1x <或3x >. 故选：C 【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性的概念即可，属于常考题型.10．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，若b =ABC ∆的面积为)2224=-+-S a c b ，则a c +的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】根据余弦定理，以及题中三角形的面积，得到1sin cos 22ac B ac B =-，求出23B π=，再由(222222cos ()==+-=+-b a c ac B a c ac ，结合基本不等式，即可求出结果. 【详解】由余弦定理可得：2222cos a c b ac B =+-，又()2224=-+-S a c b ，1sin cos 2∴=ac B B ，因此tan B =23B π=. 所以(22222222()32cos ()()()44+==+-=+-+-=+a c b a c ac B a c ac a c a c …，即223()4a c +… 2()16a c ∴+…，即4a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，故a c +的最大值为4.故选：D 【点睛】本题主要考查解三角形，以及基本不等式求最值，熟记余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.11．如果定义在R 上的函数()f x 满足:对于任意12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+,则称()f x 为“M 函数”.给出下列函数:①221y x x =-++；②3112x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭；③xx y ee -=- ；④ln ,0()0,0x x f x x ⎧≠=⎨=⎩其中为“M 函数”的是（ ） A ．①② B ．②③C ．①②③D ．②④【答案】B【解析】先根据题中条件，得到函数()f x 是定义在R 上的减函数，逐项判断所给函数单调性，即可得出结果. 【详解】∵对于任意给定的不等实数12x x ，，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，∴不等式等价为()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦恒成立，即函数()f x 是定义在R 上的减函数.①2221(1)2y x x x =-++=--+，则函数在定义域上不单调.②函数3112x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭是由1,312ty t x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭复合而成，根据同增异减的原则，函数单调递减，满足条件.③根据指数函数单调性可得：x x y e e -=-为减函数，满足条件.④ln ,0()0,0x x f x x ⎧≠=⎨=⎩.当0x >时，函数单调递增，当0x <时，函数单调递减，不满足条件.综上满足“M 函数”的函数为②③， 故选:B 【点睛】本题主要考查函数单调性的判定，熟记函数单调性的定义，以及基本初等函数单调性即可，属于常考题型.二、填空题12．若()y f x =是偶函数，当0x >时，()31x f x =-，则31log 2f ⎛⎫⎪⎝⎭=.______. 【答案】1【解析】根据偶函数的性质，以及题中条件，结合对数运算，可直接得出结果. 【详解】因为0x >时，()31xf x =-，且函数()y f x =是偶函数，所以()()3log 23331log log 2log 23112⎛⎫=-==-= ⎪⎝⎭f f f . 故答案为：1 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记偶函数性质，以及对数运算法则即可，属于基础题型.13．若关于x 的不等式2250x x a a -++<的解集是()2,3，则a =_______. 【答案】3-或2【解析】先由题意得到关于x 的方程2250x x a a -++=的两根分别是2和3，进而可求出结果. 【详解】因为关于x 的不等式2250x x a a -++<的解集是()2,3， 所以关于x 的方程2250x x a a -++=的两根分别是2和3， 所以有2236a a +=⨯=，解得：3a =-或2a =. 故答案为：3-或2 【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题型. 14．设D 为ABC ∆所在平面内一点，4BC CD =，若24AD AB AC λμ=+，则λμ+=__________.【答案】92【解析】先由题意，作出图形，根据平面向量的基本定理，得到1544AD AB AC =-+，再由题意确定λμ，的值，即可得出结果. 【详解】如图所示，由4BC CD =，可知，B 、C 、D 三点在同一 直线上，图形如右:根据题意及图形，可得:1115()4444=+=+=+-=-+AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC ，24AD AB AC λμ=+，124544λμ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，解得: 125λμ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，则19522λμ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭故答案为：92【点睛】本题主要考查由平面向量基本定理求参数，熟记平面向量的基本定理即可，属于常考题型.15．则该圆柱体体积的最大值为_____．【答案】27【解析】找出正四面体中内接圆柱的最大值的临界条件，通过体积公式即可得到答案. 【详解】解：圆柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心'O ，圆柱的上底面与棱锥侧面的交点N 在侧面的中线AM 上．∵，∴32BM =，12O M '=，1BO '=，∴AO '=设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则102r <<．由三角形相似得：12r =h =，圆柱的体积()2212V r h r r π=-，∵()3212112327r r r r r ++-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12r r =-即13r =时取等号． ∴圆柱的最大体积为27．故答案为：27． 【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力,以及分析问题的能力，基本不等式的运用,难度较大.三、解答题16．已知实数x ，y 满足10220220x y x y x y --⎧⎪-+-⎨⎪+-⎩………，若目标函数()0z ax y a =+>最大值为5，取到最大值时的最优解是唯一的，则a 的取值是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】先由约束条件作出可行域，化目标函数z ax y =+为y ax z =-+，则y ax z =-+表示斜率为a -的直线，且0a -<，结合图像，以及题中条件，即可得出结果. 【详解】由不等式组10220220x y x y x y --⎧⎪-+-⎨⎪+-⎩………，即为10220220x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪+-⎩………，作可行域如图:目标函数z ax y =+可化为y ax z =-+，因为y ax z =-+表示斜率为a -的直线，且0a -<，由图象可知当y ax z =-+经过点C 时，z 取到最大值，这时满足C 坐标满足22010x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得43x y =⎧⎨=⎩，C 点坐标为()4,3，代人z ax y =+得到12a =. 故选:C 【点睛】本题主要考查由最优解求参数的问题，通常需作出可行域，根据目标函数的几何意义，结合图像求解，属于常考题型.17．已知命题:[2,1]p x ∀∈--，不等式2a x x<-恒成立；命题q :函数[1,)x ∀∈+∞，2141--x a x…； (1)若命题p 为真，求a 的取值范围；(2)若命题p q ∧是真命题，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)1a <-；（2）(),1-∞-.【解析】（1）根据p 为真，得到[2,1]x ∈--时，min2a x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭即可，根据函数单调性，求出2=-y x x的最小值，进而可求出结果； （2）若q 为真命题，根据题意得到2max141x a x ⎛⎫--⎪⎝⎭…，由函数单调性，求出1y xx =-在[1,)+∞上的最大值，进而可求出结果. 【详解】(1) 若p 为真，即[2,1]x ∀∈--，不等式2a x x<-恒成立; 只需[2,1]x ∈--时，min2a x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭即可， 易知：函数2=-y x x 在[2,1]--递减，所以2=-y x x的最小值为1-， 因此1a <-. (2)若q 为真命题，则2max141x a x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭…， 易知：1y x x=-在[1,)+∞上单调递减，所以min 0y =； 因此2410a -…，故12-a …或12a …， 因为命题p q ∧是真命题，所以p ，q 均为真命题，故a 满足112a a <-⎧⎪⎨-⎪⎩…或112a a <-⎧⎪⎨≥⎪⎩解得：1a <-，因此实数a 的取值范围是(),1-∞-. 【点睛】本题主要考查由命题的真假求参数，以及由复合命题真假求参数，根据转化与化归的思想即可求解 ，属于常考题型. 18．已知函数2()sin 2cos 1,264x x f x x π⎛⎫=--+∈⎪⎝⎭R(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值，并求出取得最值时x 的值. 【答案】(1)4π,5114,4()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；(2)最小值为， 3x π=. 【解析】（1）先将函数解析式化简整理，得到()23π⎛⎫=- ⎪⎝⎭x f x ，根据正弦函数的周期与单调区间求解，即可得出结果； （2）由2,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得,0236x ππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，根据正弦函数的性质，即可得出结果. 【详解】(1)因为2()sin 2cos 1sin cos cos sin cos 26426262x x x x x f x πππ⎛⎫=--+=--⎪⎝⎭3cos 22223x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期为2412T ππ==. 由322,2232x k k k πππππ+-+∈Z 剟，得51144,33ππππ++∈k x k k Z 剟 故函数()f x 的单调递减区间为5114,4()33ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦k k k Z . (2)因为2,,,033236x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以当236x ππ-=-即3x π=时，min ()362f x f ππ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为，此时3x π=. 【点睛】本题主要考查求正弦型函数的周期，单调区间，以及最值，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.19．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，,PD DC AD PC =⊥. (1)求证：AC AP =；(2)若平面APD ⊥平面ABCD ，120ADC ∠=，4AD DC ==，求点B 到平面PAC 的距离.【答案】(1)证明见解析；（2. 【解析】（1）取PC 中点M ，连接AM ，DM ，根据线面垂直的判定定理，得出PC ⊥平面ADM ，进而可得AC AP =；（2）过点P 作PH 垂直AD 延长线于点H ，连接CH ，根据线面垂直的判定定理，证明PH ⊥平面ABCD ，推出⊥PH CH ；设h 为点B 到平面PAC 的距离，根据P ABC B ACP V V --=，结合题中数据，即可求出结果.【详解】(1)取PC 中点M ，连接AM ，DM ， ∵PD DC =，且M 为PC 中点，DM PC ∴⊥∴AD PC ⊥，AD DM D =I ，PC ∴⊥平面ADM ， AM ⊂平面ADM ，PC AM ∴⊥，∵M 为PC 中点，AC PA ∴=；(2)过点P 作PH 垂直AD 延长线于点H ，连接CH ， ∵平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD平面ABCD AD =，PH ⊂平面APD ，PH AD ⊥，PH ∴⊥平面ABCD ，CH ⊂Q 平面ABCD ， PH CH ∴⊥，∵PD DC =，AD AD =，AC AP =， ∴∆≅∆ADP ADC ， ∴120∠=∠=ADC ADP ，∴4===PD AD DC ，==AC APPH CH PC ===设h 为点B 到平面PAC 的距离，由于P ABC B ACP V V --=，可得1133∆∆⋅=⋅ABC ACP S PH S h ，14422∆=⨯⨯⨯=ABC S12ACP S ∆=⨯==h即点B 到平面PAC . 【点睛】本题主要考查证明线段相等，以及求点到平面的距离，熟记线面垂直的判定定理，性质定理，以及等体积法求点到平面的距离即可，属于常考题型.20．已知数列的前n 项和n S 满足2,n n S a n n =-∈N . (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()2log 1n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】(1) 21nn a =-；（2）1n nT n =+. 【解析】（1）根据2n n S a n =-，求出11a =；再得到2n ≥时，112(1)n n S a n --=--，两式作差得到数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，进而可得出结果； （2）由（1）的结果，根据裂项相消的方法，即可求出数列的和. 【详解】(1)由题可知2n n S a n =-，① 当1n =时，1112a a +=，得11a =， 当2n ≥时，112(1)n n S a n --=--，②①-②，得121n n a a -=+，所以()1121n n a a -+=+ 所以数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，所以11222n nn a -+=⨯=，故21n n a =-.(2)由(1)知()22log 1log 2nn n b a n =+==，则11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 12233411111111111111223341n n n T b b b b b b b b n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1111n nT n n =-=++. 【点睛】本题主要考查由递推公式求通项公式，以及数列的求和，熟记等比数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和即可，属于常考题型. 21．已知函数()(2)e 2x f x ax x =+--，其中2a >-. (1)当0a =时，求函数()f x 在[]1,0-上的最大值和最小值； (2)若函数()f x 为R 上的单调函数，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)max ()0f x =，min ()ln 21f x =-；（2）21a -<≤-.【解析】（1）由0a =得()22=--x f x e x ，对其求导，得到()21'=-x f x e ，解对应不等式，求出单调区间，进而可求出最值； （2）先由2(1)10f e'-=-<得到函数()f x 不可能在R 上单调递增，由题意，得到()f x 在R 上单调递减，推出()0f x '≤恒成立；令()()(2)1x g x f x ax a e '==++-，用导数的方研究其单调性，进而可求出结果. 【详解】(1)当0a =时，()22=--x f x e x ，所以()21'=-x f x e . 由()0f x '>解得ln 2x >-，由()0f x '<解得ln 2x <-. 故函数()f x 在区间[]1,ln 2--上单减，在区间[]ln 2,0-上单增.min ()(ln 2)ln 21f x f ∴=-=-,2(1)10,(0)0-=-<=f f e，max ()(0)0∴==f x f ； (2) 因为2(1)10f e '-=-<，所以函数()f x 不可能在R 上单调递增.所以，若函数()f x 为R 上单调函数，则必是单调递减函数，即()0f x '≤恒成立. 由(0)10f a '=+…可得1a ≤-，故()0f x '≤恒成立的必要条件为21a -<≤-.令()()(2)1x g x f x ax a e '==++-，则()(22)xg x ax a e '=++.当21a -<≤-时，由()0g x '>，可得22x a ⎛⎫<-+⎪⎝⎭， 由()0g x '<可得22x a ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭，()g x ∴在2,2a ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭.上单调递增，在22,a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.故22max2()21a g x g ae a --⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭令22()1a h a ae --=--，下证:当21a -<≤-时，22()10a h a ae --=--…. 即证221aea---…，令22t a --=，其中(]1,0∈-t ，则112t a -=+，则原式等价于证明:当(]1,0∈-t 时，12te t+…. 由(1)的结论知，显然成立.综上，当21a -<≤-时，函数()f x 为R 上的单调函数，且单调递减. 【点睛】本题主要考查求函数最值，以及由函数单调性求参数的问题，灵活运用导数的方法求函数单调性，即可研究其最值等，属于常考题型.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为: 1(x y ααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为()4πθρ=∈R .(1)求1C 的极坐标方程；(2)若直线2C 与曲线1C 相交于M ，N 两点，求MN . 【答案】(1) 22cos 40ρρθ--=；(2)【解析】（1）根据曲线1C 的参数方程消去参数，得到普通方程，再转化为极坐标方程即可；（2）先将直线的极坐标方程化为参数方程，代入()2215x y -+=，根据参数方程下的弦长公式，即可求出结果. 【详解】(1)曲线1C 的参数方程为: 1(x y ααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数)， 转换为普通方程为: ()2215x y -+=， 转换为极坐标方程为: 22cos 40ρρθ--=.(2)直线2C 的极坐标方程为()4πθρ=∈R .转换为参数方程为: 2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).把直线的参数方程代入22(1)5x y -+=，得到: 240t -=，(1t 和2t 为M ，N 对应的参数)，故: 12t t +=124t t ⋅=-，所以12||MN t t =-==【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及求弦长的问题，熟记公式即可，属于常考题型. 23．已知()|1||1|f x x ax =+++.(1)当1a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；(2)若1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1) 33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）(,2][0,)-∞-⋃+∞. 【解析】（1）先由1a =-得|1||1|3++-≥x x ，分别讨论1x <-，11x -≤<，1x ≥三种情况，即可得出结果；（2）先由题意，得到当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立转化为2a x-…或0a ≥恒成立，进而可求出结果. 【详解】(1)当1a =-时，不等式()3f x ≥可化简为|1||1|3++-≥x x . 当1x <-时，113x x --+-≥，解得32x -…，所以32x -… 当11x -≤<时，113x x ++-≥，无解； 当1x ≥时，113x x ++-≥，解得32x ≥，所以32x ≥； 综上，不等式()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭； (2)当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+可化简为11ax +≥. 由不等式的性质得11ax +≤-或11ax +≥， 即2ax ≤-或0ax ≥.当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立转化为2a x-…或0a ≥恒成立; 则2a ≤-或0a ≥.综上，所求a 的取值范围为(,2][0,)-∞-⋃+∞. 【点睛】本题主要考查解含绝对值不等式，以及由不等式恒成立求参数的问题，灵活运用分类讨论法求解即可，属于常考题型.。
东北三省三校2020届高三数学第一次联合模拟考试试题理(含解析)
东北三省三校2020届高三数学第一次联合模拟考试试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}|22A x x =-<<，{|B x y ==，则AB =（ ）A. ()1,2-B. [1,2)-C. ()2,1--D. ()2,3【答案】B 【解析】 【分析】化简集合B ,即可求出AB .【详解】由题意得，()2,2A =-，∵B 中，()()130x x +-≥， ∴[]1,3B =-，∴[1,2)AB =-，故选B.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题. 2.设p ：30x x-<，q ：()()20x a x a --+≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,0- B. []2,3C. ()2,3D. []1,0-【答案】C 【解析】 【分析】解不等式，求出命题p ,q 成立的解集,把p 是q 的必要不充分条件转化为解集间的集合关系，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】由不等式30x x-<，解得03x <<， 由()()20x a x a --+≤得2a x a -≤≤，p 是q 的必要不充分条件，可知203a a ->⎧⎨<⎩,所以23a <<，故实数m 的取值范围是()2,3. 故选C.【点睛】本题考查命题的必要不充分条件,转化为集合间真子集关系,属于基础题3.已知向量()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-= ，若()()a b c a λ+⊥-，则实数λ=（ ） A.15B. 5C. 4D.14【答案】A 【解析】 【分析】先由题意，得到()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，再根据向量垂直，即可列出方程求解，得出结果.【详解】因为()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-=， 所以()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，又()()a b c a λ+⊥-，所以()()0λ+⋅-=a b c a ，即32210λλ-++=， 解得：15λ=. 故选：A【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型. 4.若θ是三角形的一个内角，且4tan 3θ=-，则3sin cos 22ππθθ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A.15B. 15-C. 75D. 75-【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件,求出sin ,cos θθ,再利用诱导公式化简所求式子,即可得出结果. 【详解】∵sin 4tan cos 3θθθ==-，()0,θπ∈，sin 0θ>， cos 0θ<，又∵22sin cos 1θθ+=，∴4sin 5θ=，3cos 5θ=-，37sin cos cos sin 225ππθθθθ⎛⎫⎛⎫-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选C.【点睛】本题考查同角间的三角函数关系,以及诱导公式,属于基础题.5.曲线()2ln f x x x x =+在点()()1,1f 处的切线与直线10x ay --=平行，则a =（ ）A.13B.12C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】求出()1f '，即为切线的斜率，可求出a . 【详解】因为()2ln f x x x x =+，所以()'2ln 1f x x x =++，因此， 曲线()2ln f x x x x =+在()()1,1f 处的切线斜率为()'1213k f ==+=， 又该切线与直线10x ay --=平行，所以13a=，∴13a =.故选A.【点睛】本题考查导数的几何意义,属于基础题.6.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若1232a a a ++=，639S S =，则9S =（ ） A. 50 B. 100C. 146D. 128【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，先求出6S ，再应用等比数列前n 项和为n S 的性质，即可求出结果. 【详解】由题意得∵31232S a a a =++=，63918S S ==，∴6318216S S -=-=，根据等比数列的性质可 知，3S ，63S S -，96S S -构成等比数列， 故()()263396S S S S S -=-，∴96128S S -=， 故96128146S S =+=. 故选C.【点睛】本题考查等比数列前n 项和的性质，对等比数列的性质的熟练掌握是解题的关键，属于基础题.7.已知函数())ln f x x =，设()3log 0.1a f =，()0.23b f -=，()1.13c f =，则（ ） A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D.c b a >>【答案】D 【解析】 【分析】先判断()f x 的奇偶性，再证明单调性，判断出,,a b c 对应自变量的大小关系，利用()f x 单调性比，即可得出答案. 【详解】∵())lnf x x =，∴())lnx f x =-，∴()()0f x f x +-=，∴()()f x f x -=-， ∴函数()f x 是奇函数，∴当0x ≥时，易得())lnf x x =为增函数，故()f x 在R 上单调递增，∵3log 0.10<，0.2031-<<， 1.133>， ∴()()()1.10.2333log0.1f f f ->>，∴c b a >>.故选D【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及单调性的应用，困难在于要想到证明函数奇偶性，属于中档题.8.关于函数()sin f x x x =+，下列说法错误的是（ ） A. ()f x 是奇函数 B. ()f x 是周期函数 C. ()f x 有零点 D. ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性定义可判断选项A 正确；依据周期性定义，选项B 错误；()00f =，选项C 正确；求()f x '，判断选项D 正确.【详解】()()sin f x x x f x -=--=-， 则()f x 为奇函数，故A 正确；根据周期的定义，可知它一定不是周期函数，故B 错误；因为()00sin00f =+=，()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有零点，故C 正确； 由于()'1cos 0f x x =+≥，故()f x 在(),-∞+∞上单调递增，故D 正确. 故选B. 【点睛】本题考查函数的性质，涉及到奇偶性、单调性、周期性、零点，属于基础题. 9.已知偶函数()f x 的图象经过点()1,3--，且当0a b ≤<时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，则使得(2)30f x -+<成立的x 的取值范围为（ ）A. ()3,+∞B. ()1,3C. ()(),13,-∞⋃+∞D. []1,3【答案】C 【解析】【分析】先由题意，得到点()1,3-也在函数图象上，函数()f x 在[)0,+∞上为减函数，将不等式化为(|2|)(1)-<f x f ，根据函数单调性，即可得出结果.【详解】根据题意，()f x 为偶函数， 且经过点()1,3--，则点()1,3-也在函数图象上， 又当0a b ≤<时，不等式()()f b f a b a-<-恒成立，则函数()f x 在[)0,+∞上为减函数，因为(2)30f x -+<，所以(2)3(|2|)(1)|2|1f x f x f x -<-⇒-<⇒-> 解得1x <或3x >. 故选：C【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性的概念即可，属于常考题型.10.已知实数x ，y 满足不等式组210x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，目标函数13y z x +=+的最大值是（ ）A.23B.49C.59D.13【答案】D 【解析】 【分析】作出可行域，利用目标函数的几何意义，即可求出目标函数最大值.【详解】不等式组210x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域如图所示：13y z x +=+表示过可行域内的点(),x y 与 点()3,1M --的直线的斜率的最大值，由2010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得31,22A ⎛⎫⎪⎝⎭，这时()()11123332MA k --==--， 故目标函数13y z x +=+的最大值是13.故选D.【点睛】本题考查非线性目标函数最优解，对目标函数的几何意义理解是解题的关键，属于基础题.11.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c，若b =ABC ∆的面积为)2224=-+-S a c b ，则a c +的最大值为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理，以及题中三角形的面积，得到1sin cos 2ac B B =，求出23B π=，再由(222222cos ()==+-=+-b a c ac B a c ac ，结合基本不等式，即可求出结果.【详解】由余弦定理可得：2222cos a c b ac B =+-，又)222=+-S a c b ，1sin cos 2∴=ac B B，因此tan B =23B π=.所以(22222222()32cos ()()()44+==+-=+-+-=+a c b a c ac B a c ac a c a c ，即223()(23)4a c +2()16a c ∴+，即4a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，故a c +的最大值为4.故选：D【点睛】本题主要考查解三角形，以及基本不等式求最值，熟记余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.12.已知函数()27ln ,02,0x x x x f x x x ⎧->⎪=⎨⎪-≤⎩，令函数()()32g x f x x a =--，若函数()g x 有两个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 9,16e ⎛⎫⎪⎝⎭B. (),0-∞C. ()9,0,16e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. ()9,0,16e ⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】构造新函数()()22ln ,0332,02x x x x F x f x x x x x ->⎧⎪=-=⎨--≤⎪⎩，问题转化为()y F x =与y a =有两个交点，作出()F x ，利用数学结合思想，即可求得结果.【详解】令()()22ln ,0332,02x x x x F x f x x x x x ->⎧⎪=-=⎨--≤⎪⎩，当0x >时，函数()()'2ln 11ln F x x x =-+=-， 由()'0F x >得1ln 0x ->得ln 1x <，得0x e <<， 由()F'0x <得1ln 0x -<得ln 1x >，得x e >， 当x 值趋向于正无穷大时，y 值也趋向于负无穷大， 即当x e =时，函数()F x 取得极大值，极大值为()2ln 2F e e e e e e e =-=-=，当0x ≤时，()223392416x x x x F ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭， 是二次函数，在轴处取得最大值916，作出函数 ()F x 的图象如图：要使()F x a =（a 为常数）有两个不相等的实根， 则0a <或916a e <<，即若函数()g x 有两个不同零点， 实数a 的取值范围是()9,0,16e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭． 故选C.【点睛】本题考查函数的零点，构造新函数，转化为两个函数的交点，考查数行结合思想，作出函数图像是解题的关键，属于较难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若()y f x =是偶函数，当0x >时，()31xf x =-，则31log 2f ⎛⎫⎪⎝⎭=.______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，以及题中条件，结合对数运算，可直接得出结果.【详解】因为0x >时，()31xf x =-，且函数()y f x =是偶函数，所以()()3log 23331log log 2log 23112⎛⎫=-==-= ⎪⎝⎭f f f . 故答案为：1【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记偶函数性质，以及对数运算法则即可，属于基础题型.14.若关于x 的不等式2250x x a a -++<的解集是()2,3，则a =_______. 【答案】3-或2 【解析】 【分析】先由题意得到关于x 的方程2250x x a a -++=的两根分别是2和3，进而可求出结果. 【详解】因为关于x 的不等式2250x x a a -++<的解集是()2,3， 所以关于x 的方程2250x x a a -++=的两根分别是2和3， 所以有2236a a +=⨯=，解得：3a =-或2a =. 故答案为：3-或2【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题型. 15.设D 为ABC ∆所在平面内一点，4BC CD =，若24AD AB AC λμ=+，则λμ+=__________.【答案】92【解析】 【分析】先由题意，作出图形，根据平面向量的基本定理，得到1544AD AB AC =-+，再由题意确定λμ，的值，即可得出结果.【详解】如图所示，由4BC CD =，可知，B 、C 、D 三点在同一 直线上，图形如右:根据题意及图形，可得:1115()4444=+=+=+-=-+AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC ，24AD AB AC λμ=+，124544λμ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，解得: 125λμ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，则19522λμ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭故答案为：92【点睛】本题主要考查由平面向量基本定理求参数，熟记平面向量的基本定理即可，属于常考题型. 16.下列命题中：①已知函数()21y f x =+的定义域为[]0,1，则函数()y f x =的定义域为[]1,3； ②若集合{}2|40A x x kx =++=中只有一个元素，则4k =±； ③函数112y x=-在(),0-∞上是增函数； ④方程()22log 21xx =++的实根的个数是1.所有正确命题的序号是______（请将所有正确命题的序号都填上）. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】对于①根据复合函数()21y f x =+与函数()y f x =自变量的关系，即可判断为正确； 对于②等价于方程有等根，故0∆=，求出k 的值为正确；对于对于③，可化为反比例函数，根据比例系数，可判断为正确；对于④，作出2xy =，()2log 21y x =++的图象，根据图像判断两函数有两个交点，故不正确.【详解】对于①，因为函数()21y f x =+的定义域 为[]0,1，即01,1213x x ≤≤∴≤+≤，故()y f x =的定义域应该是[]1,3，故①正确； 对于②，2160k ∆=-=，故4k =±，故②正确；对于③，1121122y x x -==--的图象由反比例函数 12y x-=向右平移12个单位，故其单调性与 函数12y x-=单调性相同，故可判定112y x=-在(),0-∞上是增函数，③正确； 对于④，在同一坐标系中作出2xy =，()2log 21y x =++的图象，由图可知有两个交点.故方程的实根的个数为2，故④错误. 故答案为①②③.【点睛】本题考查复合函数的定义域、函数的单调性、集合的元素、方程零点问题，要求全面掌握函数的性质，较为综合.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知命题:[2,1]p x ∀∈--，不等式2a x x<-恒成立；命题q :函数[1,)x ∀∈+∞，2141--x a x；(1)若命题p 为真，求a 的取值范围；(2)若命题p q ∧是真命题，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)1a <-；（2）(),1-∞-. 【解析】 【分析】（1）根据p 为真，得到[2,1]x ∈--时，min2a x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭即可，根据函数单调性，求出2=-y xx 的最小值，进而可求出结果；（2）若q 为真命题，根据题意得到2max141x a x⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由函数单调性，求出1y x x=-在[1,)+∞上的最大值，进而可求出结果.【详解】(1) 若p 为真，即[2,1]x ∀∈--，不等式2a x x<-恒成立; 只需[2,1]x ∈--时，min2a x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭即可，易知：函数2=-y x x 在[2,1]--递减，所以2=-y x x的最小值为1-， 因此1a <-.(2)若q 为真命题，则2max141x a x⎛⎫-- ⎪⎝⎭，易知：1y x x=-在[1,)+∞上单调递减，所以min 0y =； 因此2410a -，故12-a 或12a ，因为命题p q ∧是真命题，所以p ，q 均为真命题，故a 满足112a a <-⎧⎪⎨-⎪⎩或112a a <-⎧⎪⎨≥⎪⎩解得：1a <-，因此实数a 的取值范围是(),1-∞-.【点睛】本题主要考查由命题的真假求参数，以及由复合命题真假求参数，根据转化与化归的思想即可求解 ，属于常考题型.18.已知函数2()sin 2cos 1,264x x f x x π⎛⎫=--+∈⎪⎝⎭R(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值，并求出取得最值时x 的值. 【答案】(1)4π,5114,4()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；(2)最小值为， 3x π=. 【解析】 【分析】（1）先将函数解析式化简整理，得到()23π⎛⎫=- ⎪⎝⎭x f x ，根据正弦函数的周期与单调区间求解，即可得出结果； （2）由2,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得,0236x ππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，根据正弦函数的性质，即可得出结果. 【详解】(1)因为2()sin 2cos 1sin cos cos sin cos 26426262x x x x x f x πππ⎛⎫=--+=-- ⎪⎝⎭3cos 222223x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期为2412T ππ==. 由322,2232x k k k πππππ+-+∈Z ，得51144,33ππππ++∈k x k k Z 故函数()f x 的单调递减区间为5114,4()33ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦k k k Z .(2)因为2,,,033236x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以当236x ππ-=-即3x π=时，min ()36f x f ππ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为，此时3x π=.【点睛】本题主要考查求正弦型函数的周期，单调区间，以及最值，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.19.已知二次函数()f x 满足()()1f x f x =-，()20f =，且0为函数()()2g x f x =-的零点.（1）求()f x 的解析式；（2）当[]0,1x ∈时，不等式()f x x m <-+恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()22f x x x =-++ （2）3m >【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得()f x 的对称轴方程，结合()20f =，(0)2f =，即可求出()f x ;（2）从不等式中分离m ，不等式恒成立转为m 与函数的最值关系，即可求出结果. 【详解】（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，由题意可知，()()1f x f x =-， 得到122b a -=，即得到=-a b ， 又因为0是函数()()2g x f x =-的零点， 即0是方程220ax bx c ++-=的根，即满足20c -=，得2c =，又∵()20f =， ∴4204220a b c a b ++=⇒++=，∵4220a b a b =-⎧⎨++=⎩，∴11a b =-⎧⎨=⎩，∴()22f x x x =-++.（2）当[]0,1x ∈时，()f x x m <-+恒成立， 即222m x x >-++恒成立；令()()222213h x x x x =-++=--+，[]0,1x ∈，则()()max 13h x g ==， ∴3m >.【点睛】本题考查用待定系数法求解析式，考查不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题，属于中档题题.20.已知数列{}n a 是等差数列，23a =，56a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S -=. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）记21n n n n na c a ab ++=⋅⋅中，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）1n a n =+，2nn b = （2）()11222n n T n =-⋅+ 【解析】 【分析】对于{}n a 根据已知条件求出公差，即可求得通项；对于{}n b 利用已知前n 项和n S 与通项关系，可求得通项n b ；（2）根据{}n c 的通项公式，用裂项相消法，可求出{}n c 的前n 项和n T .【详解】（1）由已知得11346a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12a =，1d =，所以1n a n =+， 当1n =时，1122b b -=，∴12b =112,22,22n n n n n b S b S --≥-=-=当时，两式相减得12n n b b -=,112,0,2nn n b b b b -=∴≠∴= {}n b ∴以2为首项公比为2的等比数列，2n n b ∴=.（2）由（1）知，所以()()3212n n n c n n +=⋅+⋅+()()1112122n n n c n n -⇒=-⋅+⋅+()()0112231111111112223232424252122n n n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()11222n n T n =-⋅+. 【点睛】本题考查等差、等比数列的通项，考查已知前n 项和求通项，以及求数列的前n 项和，属于中档题. 21.已知函数()()()211ln 2ax a f x x x a R =-++-∈. （1）当0a =时，求函数()f x 的最小值； （2）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（3）当0a =时，设函数()()g x xf x =，若存在区间[]1,,2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使得函数()g x 在[],m n 上的值域为()()22,22k m k n +-+-⎡⎤⎣⎦，求实数k 的最大值.【答案】（1）()min 1f x = （2）答案不唯一，见解析 （3）9ln 410+ 【解析】 【分析】（1）求导，接着单调区间，即可得出最小值；（2）求导，对a 分类讨论，可求出函数()f x 的单调区间；（3）求出()'g x ，通过分析()''g x ，可得到()g x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭增函数，从而有()()()22,()22g m k m g n k n =+-=+-，转化为()()22g x k x =+-在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上至少有两个不同的正根1,2m n m n ⎛⎫>≥⎪⎝⎭，()22g x k x +=+，转化为()22g x y x +=+与y a =1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭至少有两个交点，即可求出实数k 的最大值.【详解】（1）当0a =时，()()ln 0f x x x x =->， 这时的导数()1'1f x x=-， 令()'0f x =，即110x-=，解得1x =， 令()'0f x >得到1x >， 令()'0f x <得到01x <<，故函数()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增； 故函数()f x 在1x =时取到最小值， 故()()min 11f x f ==； （2）当0a >时，函数()()211ln 2ax x f x x a -++-= 导数为()()()1111'x ax ax a x f x x--=-++-=-， 若1a =时，()'0f x ≤，()f x 单调递减， 若1a >时，11a<， 当1x >或10x a<<时，()'0f x <， 当11x a<<时，()'0f x >， 即函数()f x 在区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递减， 区间1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 若01a <<时，11a>， 当1x a>或01x <<时，()'0f x <，当11x a<<时，()'0f x >， 函数()f x 在区间()0,1，1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减， 在区间11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 综上，若1a =时，函数()f x 的减区间为()0,∞+，无增区间， 若1a >时，函数()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞，增区间为1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭， 若01a <<时，函数()f x 的减区间为()0,1，1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，增区间为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（3）当0a =时，设函数()()2ln g x xf x x x x ==-. 令()'2ln 1g x x x =--，()()121''20x g x x x x-=-=>， 当12x ≥时，()''0g x ≥，()'g x 为增函数， ()1''ln 202g x g ⎛⎫≥=> ⎪⎝⎭，()g x 为增函数，()g x 在区间[]1,,2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭上递增，∵()g x 在[],m n 上的值域是()()22,22k m k n +-+-⎡⎤⎣⎦， 所以()()22g x k x =+-在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上至少有两个不同的正根1,2m n m n ⎛⎫>≥⎪⎝⎭，()22g x k x +=+， 令()2ln 22x x x x F x =-++，求导得，()()2232ln 2'4x x x x F x +--=+， 令()2132ln 42G x x x x x ⎛⎫=+--≥⎪⎝⎭， 则()()()21'221232x x x x x x G x -+⎛⎫=+-=≥ ⎪⎝⎭，所以()G x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭递增，102G ⎛⎫<⎪⎝⎭，()10G =， 当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0G x <，∴()F'0x <， 当[)1,x ∈+∞，()0G x >，∴()'0F x >，所以()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在[)1,+∞上递增，∴()121F k F ⎛<≤⎫⎪⎝⎭，∴9ln 41,10k +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， ∴k 的最大值为9ln 410+. 【点睛】本题考查函数的极值最值、单调性、值域、零点问题，其实质就是应用求导方法研究函数性质，关键是能结合题意构造函数，是一道综合题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为: 1(x y ααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为()4πθρ=∈R .(1)求1C 的极坐标方程；(2)若直线2C 与曲线1C 相交于M ，N 两点，求MN . 【答案】(1) 22cos 40ρρθ--=；(2)【解析】 【分析】（1）根据曲线1C 的参数方程消去参数，得到普通方程，再转化为极坐标方程即可； （2）先将直线的极坐标方程化为参数方程，代入()2215x y -+=，根据参数方程下的弦长公式，即可求出结果.【详解】(1)曲线1C 的参数方程为: 1(x y ααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数)， 转换为普通方程为: ()2215x y -+=，转换为极坐标方程为: 22cos 40ρρθ--=. (2)直线2C 的极坐标方程为()4πθρ=∈R .转换为参数方程为: 22x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数). 把直线的参数方程代入22(1)5x y -+=，得到: 240t --=，(1t 和2t 为M ，N 对应的参数)，故: 12t t +124t t ⋅=-， 所以12||MN t t =-==【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及求弦长的问题，熟记公式即可，属于常考题型.23.已知()|1||1|f x x ax =+++.(1)当1a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；(2)若1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1) 33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）(,2][0,)-∞-⋃+∞. 【解析】【分析】（1）先由1a =-得|1||1|3++-≥x x ，分别讨论1x <-，11x -≤<，1x ≥三种情况，即可得出结果；（2）先由题意，得到当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立转化为2a x-或0a ≥恒成立，进而可求出结果.【详解】(1)当1a =-时，不等式()3f x ≥可化简为|1||1|3++-≥x x .当1x <-时，113x x --+-≥，解得32x -，所以32x - 当11x -≤<时，113x x ++-≥，无解；当1x ≥时，113x x ++-≥，解得32x ≥，所以32x ≥； 综上，不等式()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭； (2)当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+可化简为11ax +≥.由不等式的性质得11ax +≤-或11ax +≥，即2ax ≤-或0ax ≥. 当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立转化为2a x -或0a ≥恒成立; 则2a ≤-或0a ≥.综上，所求a 的取值范围为(,2][0,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题主要考查解含绝对值不等式，以及由不等式恒成立求参数的问题，灵活运用分类讨论法求解即可，属于常考题型.。
2024年东北三省三校高三下学期第一次联合模拟考数学试题及答案
哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学2024年高三第一次联合模拟考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，定在．本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2M =，(){}2log 212x N x −≤=∈R ，则M N = （ ） A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．∅2．已知复数z 的共轭复数是z ，若i 1i z ⋅=−，则z =（ ） A ．1i −+B ．1i −−C ．1i −D ．1i +3．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2af x x x=+，若()38f =−，则a =（ ） A ．3−B ．3C ．13D ．13−4．已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点和上顶点分别为A ，B ，过左焦点F 且平行于直线AB 的直线交y 轴于点D ，若2OD DB =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B C ．13D ．235．()521x x y y −−的展开式中32x y 的系数为（ ） A ．55B ．70−C ．30D ．25−6．已知正四棱锥P ABCD −各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为643，则该球表面积为（ ） A ．9πB ．36πC ．4πD ．4π37．已知函数()22e e xx f x ax −=−−，若0x ≥时，恒有()0f x ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2−∞B ．(],4−∞C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞8．设1033e a =，11ln 10b =，ln 2.210c =，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a c b <<二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（ ） A ．若374a a +=，则918S =B ．若150S >，160S <，则2289a a > C ．若211a a +=，349a a +=，则7825a a += D ．若810a S =，则90S >，100S <10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，点Q 在抛物线C 的准线上，则以下命题正确的是（ ） A ．PQ PF +的最小值是2 B ．PQ PF ≥C ．当点P 的纵坐标为4时，存在点Q ，使得3QF FP =D ．若PQF △是等边三角形，则点P 的橫坐标是311．在一个只有一条环形道路的小镇上，有2家酒馆A ，一个酒鬼家住在D ，其相对位置关系如图所示．小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间．某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路。
高三数学2024年东北三省三校联考一模数学答案
2024年高三第一次联合模拟考试数学参考答案一.单项选择题1-4 CABD 5-8 CBBB 二.多项选择题9.ACD 10.ABD 11.ABD 三.填空题12. 3274四.解答题15.解：（1）()2cos 22sin f x x x '=− 2' (0)2,(0)2f f '== 4'∴()f x 在0x =处的切线方程为22(0)y x −=−，即22y x =+ 6'（2）22()2cos 22sin 2(1sin )2sin 2(2sin sin 1)f x x x x x x x '=−=−−=−+− 8'()0f x '<则22(2sin sin 1)0x x −+−< 10'即2(2sin 1)(sin 1)0x x −−+<即1sin 2x >解得5(2,2),66x k k k Z ππππ∈++∈ 12' 故()f x 的单调递减区间为5(2,2),66k k k Z ππππ++∈ 13' 16.解：（1）底面ABCD 为平行四边形，120ADC ∠=,60DAB ∴∠=. 4,8DA AB ==由余弦定理可得：2222cos 6048DB AB AD AB AD =+−⨯=DB ∴=则222DA DB AB +=，DA DB ∴⊥ 2' 侧棱1DD ABCD ⊥平面，DB ABCD ⊂平面1DD DB ∴⊥4'111111,,DA ADD A DD ADD A DA DD D ⊂⊂=又平面平面且11DB ADD A ∴⊥平面6' 111AA ADD A ⊂又平面1DB AA ∴⊥7'（2）四棱台中1111ABCD A B C D −的体积为2833111111111()3ABCD A B C D ABCD A B C D V S S S S ∴=++1111111112831()33DD AD DB A D D B AD DB A D D B ∴=++ 1283128333DD ∴=,解得：11DD = 9'如图，以点D 为原点，1,,DA DB DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图的空间直角坐标系，则1(4,0,0),(0,43,0),(4,43,0),(0,23,1)A B C B −1(4,0,0),(0,23,1)BC BB ∴=−=−11'设平面11BCC B 的法向量为(,,)n x y z =，则有140230n BC x n BB y z ⎧=−=⎪⎨=−+=⎪⎩所以(0,1,23)n =13'平面11ADD A 的法向量为(0,1,0)m =，设平面11ADD A 与平面11BCC B 所成锐二面角为θ 则113cos |cos ,|1313m n m n m nθ⋅=<>=== 15'17.解：（1）由图估计甲班平均分较高3'（2）由图可知，甲班中有12的学生分数低于128分； 乙班中有34的学生分数低于128分 设从两班中随机抽取一人， “该同学来自甲班为事件A ”，“该同学分数低于128分为事件B ”，则1113(),(),(),(),2224P A P A P B A P B A ==== 5' ()()()()()()()P B P AB P AB P B A P A P B A P A ∴=+=⋅+⋅1131522428=⨯+⨯=7'11()()()222()5()()58P A P B A P AB P A B P B P B ⨯==== 8'13()()()324()5()()58P A P B A P AB P A B P B P B ⨯====9'所以，该同学来自甲乙两班的概率分别为23,55(3)依题X 的所有可能取值为0,1,2,310'30643101(0)6C C P X C === 11'21643101(1)2C C P X C === 12'12643103(2)10C C P X C ===13'03643101(4)30C C P X C ===14'所以X 的分布列为:15'18.解：（1）设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122,6x x y y +=+=,M N 两点在双曲线C 上22112222222211x y a b x y a b ⎧−=⎪⎪∴⎨⎪−=⎪⎩①②，由−①②得22221212220x x y y a b −−−= 即2221222212y y b x x a −=−， ()()()()2121221212y y y y b x x x x a+−∴=+− 2'22OQ MNb k k a∴⋅=，即222213,3b b a a ∴⋅=∴=又21,3a b =∴=，∴双曲线C 的方程为：2213y x −=4'（2）由已知可得，直线MN 的方程为：31(1)y x −=⋅−，即2y x =+联立22222470,1656720330y x x x x y =+⎧⇒−−=∆=+=>⎨−−=⎩ 6' 则121272,2x x x x +==− 8'11221212(1,)(1,)(1)(1)EM EN x y x y x x y y ⋅=−⋅−=−−+12121212(1)(1)(2)(2)2()5x x x x x x x x =−−+++=+++72()2502=⨯−++=EM EN ∴⊥，EMN ∴∆为直角三角形 10'（3）由题意可知，若直线AB 有斜率则斜率不为0，故设直线AB 方程为：x my n =+ 设334455(,),(,),(,)P x y A x y B x y34345353,(,)(,)AP PB x x y y x x y y λλ=∴−−=−−45334533453453()1()1x x x x x x x y y y y y y y λλλλλλ+⎧=⎪−=−⎧⎪+∴⇒⎨⎨−=−+⎩⎪=⎪+⎩点P 在双曲线C 上， 22454511113x x y y λλλλ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴−= 22245453()()3(1)x x y y λλλ∴+−+=+22222244554545(3)(3)2(3)3(1)x y x y x x y y λλλ∴−+−+−=+③又2222445530,30x y x y −=−=，245452(3)3(1)x x y y λλ∴−=+，245453(1)32x x y y λλ+∴−=④ 联立2222230(31)630x y m y mny n x my n ⎧−=⇒−++=⎨=+⎩2222231033612(31)0m m m n n m ⎧−≠⇒≠±⎨∆=−−>⎩245452263,3131mn n y y y y m m −+==−−⑤⑥14',A B 分别在第一象限和第四象限，2450,310y y m ∴<∴−<由④式得：245453(1)3()()2my n my n y y λλ+++−=22245453(1)(31)3()32m y y mn y y n λλ+∴−+++=⑦将⑤⑥代入⑦得：222222363(1)(31)3331312n mn m mn n m m λλ−+∴−++=−− 22263(1)312n m λλ−+∴=−121sin 2AOB S OA OB AOB y y ∆∴=⋅⋅∠=221223(1)12312n y m λλλλ+⎫=====++⎪−⎭15'令11(),[,2]3h λλλλ=+∈ 221(1)(1)1()1,[,2]3h λλλλλλ+−'=−=∈ 1,1,()03h λλ⎡⎫'∴∈<⎪⎢⎣⎭，()h λ单调递减(]1,2,()0h λλ'∈>，()h λ单调递增10()[2,]3h λ∴∈， 16'3AOB S ∆∴∈⎦17'19.（1）证明：32310183222121k k k n a a a +++=⋅+⋅++⋅+⋅+01(83)11()2k S n a a a S n ∴+=+++++=+ 3'21210143222121k k k n a a a +++=⋅+⋅++⋅+⋅+01(43)11()2k S n a a a S n ∴+=+++++=+6' (83)(43)S n S n ∴+=+7'（2）（Ⅰ）解：260321684(111100)=+++=(60)2I ∴= 10'（Ⅱ）解： 21(1)=，2511(111111111)=，故从1n =到511n =中 I(n)=0有9个，I(n)=1有C 11+C 21+⋯C 81=C 92个， I(n)=2有C 22+C 32+⋯C 82=C 93个，……，I(n)=9有C 88=C 99=1个， ∑2I(n)511n=1=9×20+C 92×21+C 93×22+⋯C 99×2813'=C91×21+C92×22+C93×23+⋯C99×292=C90×20+C91×21+C92×22+C93×23+⋯C99×29−1216'=(1+2)9−12=984117'。
2020年三省三校(辽宁实验、东北师大附中、哈师大附中)一模考试文科数学试卷(含答案解析)
在 1, x0 内，关于 x 的方程 f (x) ln x e=g(x) a 有一个实数解 1.
又 x (x0, ) 时， F (x) 0 ， F (x) 单调递增，
且 F (a) ea ln a a 2 a e ea a 2 1 ，令 k(x) ex x2 1(x 1) ，
∵ PG ⊥平面 ABCD ， PG 平面 PBG ∴平面 PBG ⊥平面 ABCD ∵平面 PBG 平面 ABCD BG
在平面 ABCD 内，过 D 作 DK ⊥ BG ，交 BG 延长线于 K ，
则 DK ⊥平面 PBG
∴ DK 的长就是点 D 到平面 PBG 的距离
…………………4 分
2a PF1 PF2 2 2.
解得 a 2, c 1, b 1 ，所以椭圆 E 的标准方程为 x2 y2 1. 2
…………............4 分
（Ⅱ）由已知，可设直线 l 方程为 x ty 1， A(x1, y1), B(x2, y2 ).
x ty 1
联立
x
2
y2
3
得 (t2 1) y2 2ty 2 0,
解:（Ⅰ）（方法一）：由已知 VP BCG
1 3
SBCG
PG
1 1 BG GC PG 32
8 3
∴ PG 4
…………………2 分
∵ PG ⊥平面 ABCD ， BG 平面 ABCD ，∴ PG BG
∴ SPBG
1 2
BG PG
1 2
24
4
∵ AG 1 GD 3
∴ SBDG
3 4
SBCG
32 4
3 2
设点 D 到平面 PBG 的距离为 h ,
∵VDPBG VPBDG
2024届东北三省三校第一次联考数学试题+答案
2024届东北三省三校第一次联考数学试题
+答案
2024年2月东北三省三校高三一模数学试题
2024年2月东北三省三校高三一模数学试题及参考答案
东北三省三校联考的意义
东北地区最具影响力的高考联合模拟考试，一个是三省四市联合模拟考试，另一个是三省三校联合模拟考试，三省四市模考由东北F4市教研院组织，参加学校基本为四市市重点高中。
三省三校联考由东北排名第一的高中东北师大附中，哈尔滨市排名第二的高中哈师大附中以及辽宁省实验中学联合举办，参加学校多为省重点高中，两类考试在东北享有很高的声誉，为莘莘学子备考提供重要参考!
高三模拟考试和高考哪个更难
这个回答没有绝对的答案，因为每年的模拟卷内容不通、高考的考卷难度也不同。
而且因为考生的成绩不同，对于考卷的难易程度判断也不同。
所以这个问题没有确切的答案。
如果按照总体的水平来评估，高考试卷的难度不会高于模拟卷，高考中基础部分和中级难度的题目占比在80%左右，只有20%是拔高题。
所以如果基础知识打的好，那么对于考生来说，高考题目不难。
高考的题目的难度是在问法、提问方式上，而并不是运用了超纲的知识点，与大家传统意义上的难度不通。
相比高考的难度，模拟考要更难一点。
因为模拟考的目的是希望通过考试来判断学生对知识点的掌握情况，如果过于简单就起不到探底的目的。
2020年东北三省三校高三一模——文数试卷
文科数学试卷 第１页（共４页）辽宁哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学２０２０年高三第一次联合模拟考试文科数学注意事项：１．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共１５０分，考试时间１２０分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上．２．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．３．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共６０分）一、选择题：本题共１２小题，每小题５分，共６０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． １．已知集合犃＝狓狓２－２狓－３＜０｛｝，犅＝狓｜１狓＞１｛｝则瓓犚（犃∪犅）＝Ａ．（－∞，－１）∪（３，＋∞）Ｂ．（－∞，－１］∪［３，＋∞）Ｃ．［３，＋∞）Ｄ．（－∞，－１］∪［１，＋∞）２．已知复数狕＝犪＋犫犻（犪，犫∈犚），狕犻＋１是实数，那么复数狕的实部与虚部满足关系式Ａ．犪＋犫＝０Ｂ．犪－犫＝０Ｃ．犪－２犫＝０Ｄ．犪＋２犫＝０３．已知α，β是两个不同的平面，直线犿 α，下列命题中正确的是Ａ．若α⊥β，则犿∥βＢ．若α⊥β，则犿⊥βＣ．若犿∥β，则α∥βＤ．若犿⊥β，则α⊥β４．大约在２０世纪３０年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数狀，如果它是偶数，则除以２；如果它是奇数，则将它乘以３加１，这样反复运算，最后结果必然是１．这个题目在东方被称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对７００亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明．例如取狀＝１３，则要想算出结果１，共需要经过的运算步数是Ａ．９Ｂ．１０Ｃ．１１Ｄ．１２５．下列说法中正确的是Ａ．若“犪＞犫”是“犪＞犮”的充分条件，则“犫≥犮”Ｂ．若“犪＞犫”是“犪＞犮”的充分条件，则“犫≤犮”Ｃ．若“犪＞犫”是“犪＞犮”的充要条件，则“犫＞犮”Ｄ．若“犪＜犫”是“犪＞犮”的必要条件，则“犫＜犮”６．已知在边长为３的等边△犃犅犆中，犅犇→ ＝１２犇犆→ ，则犃犇→ ·犃犆→ ＝Ａ．６Ｂ．９Ｃ．１２Ｄ．－６文科数学试卷 第２页（共４页）７．已知椭圆狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞犫＞０）的左、右焦点分别为犉１、犉２，点犃是椭圆短轴的一个顶点，且ｃｏｓ∠犉１犃犉２＝７８，则椭圆的离心率犲＝Ａ．１２Ｂ．槡３２Ｃ．１４Ｄ．槡７４８．已知函数犳（狓）＝ｓｉｎ２狓槡＋３ｃｏｓ２狓的图象向右平移φ（０＜φ＜π２）个单位后，其图象关于狔轴对称，则φ＝Ａ．π１２Ｂ．π６Ｃ．π３Ｄ．５π１２９．如图，四边形犃犅犆犇是边长为２的正方形，犈犇⊥平面犃犅犆犇，犉犆⊥平面犃犅犆犇，犈犇＝２犉犆＝２，则异面直线犃犈与犅犉所成角的余弦值为Ａ．１３Ｂ．槡５５Ｃ．槡３１０１０Ｄ．２３１０．已知双曲线狓２－狔２３＝１的左、右焦点分别为犉１、犉２，点犘在双曲线上，且∠犉１犘犉２＝１２０°，△犉１犘犉２的面积为槡槡槡槡Ａ．２３Ｂ．３Ｃ．２５Ｄ．５１１．已知数列｛犪狀｝的通项公式为犪狀＝２狀＋２，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵．记犫狀为数阵从左至右的狀列，从上到下的狀行共狀２个数的和，则数列狀犫狀｛｝的前６项和为Ａ．５１２Ｂ．５６Ｃ．６７Ｄ．３７１２．已知犳（狓）满足犳（狓）＝－４狓２－８狓，狓≤０１２犳（狓－２），狓＞０烅烄烆，若在区间（－１，３）内，关于狓的方程犳（狓）＝犽狓＋犽（犽∈犚）有４个根，则实数犽的取值范围是Ａ．０＜犽≤１４或犽槡＝８－２１５Ｂ．０＜犽≤１４Ｃ．０＜犽≤槡８－２１５Ｄ．０＜犽＜１４文科数学试卷 第３页（共４页）第Ⅱ卷（非选择题 共９０分）二、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．把答案填写在答题纸相应位置上．１３．已知向量犿＝（ｃｏｓα２－ｓｉｎα２，１２），狀＝（ｃｏｓα２＋ｓｉｎα２，－１），其中α∈（０，π），若犿⊥狀，则α＝．１４．已知函数犳（狓）＝犲狓＋犪犲－狓在［０，１］上不单调，则实数犪的取值范围为．１５．数列｛犪狀｝满足犪１＝１，犪狀（２犛狀－１）＝２犛２狀（狀≥２，狀∈犖 ），则犪６＝．１６．已知函数犳（狓）＝犪狓＋狓ｌｎ狓，犵（狓）＝狓３－狓２－５，若对于任意的狓１，狓２∈１２，２［］，都有犳（狓１）－犵（狓２）≥２成立，则实数犪的取值范围是．三、解答题：共７０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共６０分．１７．（本小题满分１２分）在△犃犅犆中，内角犃，犅，犆的对边分别为犪，犫，犮，已知２犫ｃｏｓ犆＝２犪＋犮．（Ⅰ）求犅；（Ⅱ）若犪＝２，犇为犃犆的中点，且犅犇槡＝３，求犮．１８．（本小题满分１２分）如图，三棱柱犃１犅１犆１－犃犅犆中，犅犅１⊥平面犃犅犆，犃犅⊥犅犆，犃犅＝２，犅犆＝１，犅犅１＝３，犇是犆犆１的中点，犈是犃犅的中点．（Ⅰ）证明：犇犈／／平面犆１犅犃１；（Ⅱ）犉是线段犆犆１上一点，且犆犉＝２犉犆１，求犃１到平面犃犅犉的距离．１９．（本小题满分１２分）２０２０年２月１日０：００时，英国顺利“脱欧”．在此之前，英国“脱欧”这件国际大事被社会各界广泛关注，英国大选之后，曾预计将会在２０２０年１月３１日完成“脱欧”，但是因为之前“脱欧”一直被延时，所以很多人认为并不能如期完成，某媒体随机在人群中抽取了１００人做调查，其中４０岁以上的５５人中有１０人认为不能完成，４０岁以下的人中认为能完成的占２３．（Ⅰ）完成２×２列联表，并回答能否有９０％的把握认为“预测国际大事的准确率与年龄有关”？能完成不能完成合计４０岁以上４０岁以下合计（Ⅱ）从上述１００人中，采用按年龄分层抽样的方法，抽取２０人，从这２０人中再选取４０岁以下文科数学试卷 第４页（共４页）的２人做深度调查，则２人中恰有１人认为英国能够完成“脱欧”的概率为多少？附表：犘（犓２≥犽０）０．１５００．１０００．０５００．０２５０．０１０犽０２．０７２２．７０６３．８４１５．０２４６．６３５参考公式为：犓２＝狀（犪犱－犫犮）２（犪＋犫）（犮＋犱）（犪＋犮）（犫＋犱）２０．（本小题满分１２分）已知以动点犘为圆心的⊙犘与直线犾：狓＝－１２相切，与定圆⊙犉：（狓－１）２＋狔２＝１４相外切．（Ⅰ）求动圆圆心犘的轨迹方程犆；（Ⅱ）过曲线犆上位于狓轴两侧的点犕、犖（犕犖不与狓轴垂直）分别作直线犾的垂线，垂足记为犕１、犖１，直线犾交狓轴于点犃，记△犃犕犕１、△犃犕犖、△犃犖犖１的面积分别为犛１、犛２、犛３，且犛２２＝４犛１犛３，证明：直线犕犖过定点．２１．（本小题满分１２分）设函数犳（狓）＝狓－犪ｌｎ狓＋犪－２狓狓２（犪＞０）．（Ⅰ）求函数犳（狓）的单调区间；（Ⅱ）记函数犳（狓）的最小值为犵（犪），证明：犵（犪）＜１．（二）选考题：共１０分．请考生在第２２、２３题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，做答时用２犅铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．本题满分１０分．２２．［选修４－４：坐标系与参数方程］在直角坐标系狓犗狔中，参数方程为狓＝ｃｏｓθ狔＝ｓｉｎθ烅烄烆（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：狓′＝２狓，狔′＝狔烅烄烆得到曲线犆．以原点犗为极点，狓轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线犇的极坐标方程为ρｓｉｎθ＋π４（）＝槡３１０２．（Ⅰ）求曲线犆的普通方程及曲线犇的直角坐标方程；（Ⅱ）设犕、犖分别为曲线犆和曲线犇上的动点，求｜犕犖｜的最小值．２３．［选修４－５：不等式选讲］设函数犳（狓）＝狓＋２＋狓－３．（Ⅰ）求不等式犳（狓）＞９的解集；（Ⅱ）若关于狓的不等式犳（狓）≤３犿－２有解，求实数犿的取值范围．。
2020年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷(文科) (含答案解析)
2020年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U ={1,2，3，4，5，6，7，8}，集合A ={1,3，5，6}，B ={2,5，7}，∁U A ∩B =( )A. {2}B. {7}C. {2,7}D. {2,5，7}2. 若z (1−i )=2i ，则z =( )A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i3. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2=−2，a 8=6，则S 9=( )A. 9B. 18C. 27D. 364. 已知不等式m −1<x <m +1成立的充分条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−12)∪(43,+∞) B. (−∞,−12)∪[43,+∞) C. (−12,43)D. [−12,43]5. 用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为( )A. 9√3πB. 18πC. 6πD. 3√3π6. 2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶，若楼下分别放有“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”四个垃圾桶，则该居民会被罚款和行政处罚的概率为( )A. 13B. 23C. 14D. 347. 已知函数f(x)=x 3+2x 2f′(1)+2所表示的曲线在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为α，则sin 2α+cosα⋅sinα的值为( )A. 2017B. 917C. 316D. 21198. 已知函数f(x)=|x 2−4|−3x +m 恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A. (−6,6)∪(254,+∞) B. (254,+∞)C. (−∞,−254)∪(−6,6) D. (−254,+∞)9.等比数列{a n}的各项均为正数，且a5=a4+2a3，若存在两项a m，a n使得√a m a n=4a1，则1m +4n的最小值是()A. 32B. 83C. 52D. 910.已知四面体P−ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=√3AB，若四面体P−ABC的体积为32，求球的表面积()A. 8πB. 12πC. 8√3πD. 12√3π11.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2，ΔABO的面积为2√3，则抛物线的焦点为()A. (12,0) B. (√22,0) C. (1,0) D. (√2,0)12.已知函数f(x)=ax−2a+1x(a>0)，若f(m2+1)+f(−m2+m−3)>0，则实数m的取值范围是()A. (2,+∞)B. (−∞,2)C. (−2,+∞)D. (−∞,−2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知平面向量a⃗=(3,m)，b⃗ =(−1,2)，若a⃗//b⃗ ，则实数m=______．14.编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(Ⅰ)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；(Ⅱ)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，(i)用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；(ii)求这2人得分之和大于50的概率．15.已知函数f(x)=sin2xsinφ−cos2(x+π2)cosφ(0<φ<π)的图象过点(π3,12)，将其图象上各点向左平移π6个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则函数g(x)在[−π4,2π3]上的单调递增区间__________．16.F1,F2分别为椭圆x24+y2=1的左、右焦点，P为该椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，则ΔF1PF2的内切圆半径等于___________三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.为了弘扬传统文化，某市举办了“高中生诗词大赛”，现从全市参加比赛的学生中随机抽取1000人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中m的值；(2)在所抽取的1000名学生中，用分层抽样的方法在成绩为[80,100]的学生中抽取了一个容量为5的样本，再从该样本中任意抽取2人，求2人的成绩均在区间[90,100]内的概率；(3)若该市有10000名高中生参赛，根据此次统计结果，试估算成绩在区间[90,100]内的人数．18. 如图，在△ABC 中，BC 边上的中线AD 长为3，且cosB =√108，cos∠ADC =−14． (1)求sin∠BAD 的值； (2)求AC 边的长．19. 已知抛物线C ：y 2=2x.过点(2,0)且斜率存在的直线l 与抛物线C 交于不同两点A ，B ，且点B关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点M ． (Ⅰ)求点M 的坐标；(Ⅱ)求△OAM 与△OAB 面积之和的最小值．20.如图，在四棱锥A−BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=√2．(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求棱锥C−ABD的体积．21.已知函数f(x)=x2−2alnx，其中a∈R.(1)当a=1时，求函数f(x)在[1,e]上的最值；e(2)讨论函数f(x)的单调性．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ>0,θ∈[0,2π)，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|⋅|OB|=8，点B的轨迹为C2．(1)求C1，C2的极坐标方程．)，求△ABC面积的最小值．(2)设点C的极坐标为(2,π223.已知函数f(x)=|x|+|x+1|．(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a，b，c∈R+，函数f(x)的最小值为m，若a+b+c=m，求证：ab+bc+ac≤1．3【答案与解析】1.答案：C解析：解：∁U A={2,4，7，8}，则∁U A∩B={2,7}，故选：C．求出集合的补集，结合交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，根据补集和交集的定义是解决本题的关键．比较基础．2.答案：B解析：本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．利用复数的运算法则求解即可．解：由z(1−i)=2i，得z=2i1−i =2i(1+i)1−i1+i=i(1+i)=i−1．故选B．3.答案：B解析：解：由等差数列的性质可得：a1+a9=a2+a8=−2+6=4，∴S9=9(a1+a9)2=18，故选：B．等差数列的性质可得：a1+a9=a2+a8，再利用前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式的性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：D解析：由题意可知m −1≤13且12≤m +1，解得m ∈[−12,43].5.答案：A解析：本题考查了圆锥的体积，设圆锥底面的半径为r ，圆锥的高为h ，由题意得2πr =6π，解得r =3，进而可得ℎ=√62−32=3√3，从而得出结果． 解：设圆锥底面的半径为r ，圆锥的高为h ， 由题意得2πr =6π，解得r =3， ∴ℎ=√62−32=3√3，∴V 圆锥=13Sℎ=13×π×32×3√3=9√3π． 故选A ．6.答案：D解析：本题考查古典概型，属于基础题，利用古典概型概率计算公式直接求解即可． 解：厨房里产生的“湿垃圾”只能丢到放“湿垃圾”的垃圾桶，该上海居民向四种垃圾桶内随意的丢垃圾，有4种可能，投放错误有3种结果， 故会被罚款和行政处罚的概率为34． 故选D ．7.答案：A解析：本题考查导数的几何意义，同角三角函数的基本关系，考查计算能力，属于基础题．求出函数的导数，利用导函数，求出f′(1)的值，可得f′(x)=3x 2−4x ，求出tanα=4，然后利用同角三角函数的基本关系求解即可． 解：函数f(x)=x 3+2x 2f′(1)+2，可得f′(x)=3x 2+4xf′(1)，f′(1)=3+4f′(1)，可得f′(1)=−1， 则f′(x)=3x 2−4x ，则f′(2)=4.则tanα=4， sin 2α+cosα⋅sinα=sin 2α+cosα⋅sinαsin 2α+cos 2α=tan 2α+tanαtan 2α+1=2017．故选：A ．8.答案：C解析：本题主要考查根的存在性的应用，利用一元二次函数的图象和性质，以及数形结合是解决本题的关键．由f(x)=0，得m =3x −|x 2−4|，作出函数y =g(x)=3x −|x 2−4|图象，利用数形结合即可得到结论．解：由f(x)=0，得m =3x −|x 2−4|， 设g(x)=3x −|x 2−4|，当x ≥2或x ≤−2时，g(x)=3x −|x 2−4|， g(x)=3x −x 2+4=−(x −32)2+254，当−2<x <2时，g(x)=3x −|x 2−4|， g(x)=3x +x 2−4=(x +32)2−254，作出y =g(x)=3x −|x 2−4|图象如图：要使函数f(x)=|x2−4|−3x+m恰有两个不同的零点，则m<−254或−6<m<6，即m∈(−∞,−254)∪(−6,6)，故选：C9.答案：A解析：解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足a5=a4+2a3，可得a3q2=a3q+2a3，∴q2−q−2=0，∴q=2．∵√a m a n=4a1，∴a m⋅a n=16a12∴a m⋅a n=a12⋅2m+n−2=16a12，∴2m+n−2=16，∴m+n=6，即16(m+n)=1，(m∈N∗,n∈N∗)，∴1m +4n=(1m+4n)×16(m+n)=16(1+4+nm+4mn)≥16(5+2√nm×4mn)=16×9=32(当且仅当nm=4mn，即n=2m时取等号，即m=2，n=4时取等号)故选：A由a5=a4+2a3求得q=2，代入√a m a n=4a1得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，根据等比数列的通项公式求出公比是解决本题的关键．属于中档题．10.答案：B解析：本题考查了球与几何体的组合体，球的表面积，解题关键是利用转化思想求出半径，属于中档题．由△ABC所在的圆是大圆，OA=OB=OC=OP=R，得四面体P−ABC的体积，求得R，即可求球的表面积．解：如下图所示，∵四面体P−ABC的外接球的球心O在AB上，PO⊥平面ABC，∴△ABC所在的圆是大圆，OA=OB=OC=OP=R(R为球半径)．∵四面体P−ABC的体积为V=13S△ABC×PO=32，又∵2AC=√3AB，∴AC=√3R，BC=R，∴R=√3，∴球的表面积s=4πR2=12π，故选B．11.答案：D解析：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．求出双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程与抛物线y2=2px(p>0)的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为√3，列出方程，由此方程求出p的值．解：∵双曲线双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，∴双曲线的渐近线方程是y=±bax又抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x=−p2，故A，B两点的纵坐标分别是y=±bp2a，又由双曲线的离心率为2，所以ca =2，则ba=√3，A，B两点的纵坐标分别是y=±√3p2，又△AOB的面积为2√3，x轴是角AOB的角平分线，∴12×√3p×p2=2√3，得p=2√2．抛物线的焦点坐标为：(√2,0)故选D．12.答案：A解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题．根据题意求导分析出函数f(x)在定义域上单调递增，又函数为奇函数，进而将不等式转化为f(m2+ 1)>f(m2−m+3)，再由单调性得m2+1>m2−m+3，可得答案．解：∵f(−x)=−ax−2a+1−x=−f(x)，(x≠0)∴函数为奇函数，∴f(m2+1)+f(−m2+m−3)>0转化为f(m2+1)>f(m2−m+3)，∵a>0，∴f′(x)=a+2a+1x2>0在上恒成立，∴函数f(x)在定义域上单调递增．∵m2+1>0，且m2−m+3>0，∴m2+1>m2−m+3，解得m>2．故选A.13.答案：−6解析：解：∵平面向量a⃗=(3,m)，b⃗ =(−1,2)，a⃗//b⃗ ，∴−13=2m，解得实数m=−6．故答案为：−6．利用向量平行的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量平行等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：解：(I)由已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表易得：得分在区间[10,20)上的共4人，在区间[20,30)上的共6人，在区间[30,40]上的共6人，故答案为4，6，6；(II)(i)得分在区间[20,30)上的共6人，编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，计为(X,Y)，则所有可能的抽取结果有：(A3,A4)，(A3,A5)，(A3,A10)，(A3,A11)，(A3,A13)，(A4,A5)，(A4,A10)，(A4,A11)，(A4,A13)，(A5,A10)，(A5,A11)，(A5,A13)，(A10,A11)，(A10,A13)，(A11,A13)共15种．(ii)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人的得分之和大于50分的基本事件有：(A4,A5)，(A4,A10)，(A4,A11)，(A5,A10)，(A10,A11)共5种故这2人得分之和大于50分的概率P=515=13．解析：(I)根据已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表，我们易得出得分在对应区间内的人数．(II)(i)根据(I)的结论，我们易列出在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，所有可能的抽取结果；(ii)列出这2人得分之和大于50分的基本事件的个数，代入古典概型公式即可得到这2人得分之和大于50分的概率本题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．15.答案：[−π4,0]和[π2,2π3]解析：因为f(x)=sin2xsinφ−cos2(x+π2)cosφ=sin2xsinφ+cos2xcosφ=cos(2x−φ)，又函数图象过点(π3,12)，所以cos(2π3−φ)=12,又0<φ<π，所以φ=π3.将函数y=f(x)图象上各点向左平移π6个单位长度后，得到函数y=g(x)的图象，可知g(x)=cos2x.因为x∈[−π4,2π3]，所以2x∈[−π2,4π3]，由−π2≤2x≤0和π≤2x≤4π3，知函数g(x)在[−π4,2π3]上的单调递增区间为[−π4,0]和[π2,2π3]．16.答案：2√3−33解析：解：由题意，F1，F2是椭圆x24+y2=1的两个焦点，|F1P|+|PF2|=4，|F1F2|=2√3；则由余弦定理得，|F1F2|2=|F1P|2+|PF2|2−2|F1P||PF2|cos60°；故12=(|F1P|+|PF2|)2−2|F1P||PF2|cos60°−2|F1P||PF2|；故12=16−3|F1P||PF2|；故|F1P||PF2|=43；故△PF1F2的面积S=12|F1P||PF2|⋅sin60°=√33；△F1PF2的内切圆半径设为r，可得S=12r(|F1P|+|PF2|+|F1F2|)=12(4+2√3)r=√33，解得r=2√3−33，故答案为：2√3−33．运用椭圆的定义和三角形的余弦定理和面积公式，结合等积法，计算可得所求值．本题考查了椭圆的定义以及椭圆的简单性质的应用，余弦定理的应用，三角形的面积的求法，属于中档题．17.答案：(本小题满分12分)解：(1)依题意可知组距为10，由(0.025+0.05+m+0.01)×10=1，解得m=0.015.…………………………(3分)(2)抽取了一个容量为5的样本，成绩在区间[80,90)的人数为：5×0.150.15+0.1=3人，记3人为a，b，c．成绩在区间[90,100]的人数为：5×0.10.15+0.1=2人，记2人为d、e.……(5分)任取2人的基本事件为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共计10个．其中2人的成绩均在区间[90,100]内的基本事件为：de，共计1个…………………………(7分)所以2人的成绩均在区间[90,100]内的概率为：p=110.……………………………(9分)(3)由频率分布直方图得成绩在[90,100]的频率为0.01×10=0.1，即估计成绩在区间[90,100]的人数为10000×0.1=1000人．…………………………(12分)解析：(1)利用频率分布直方图的性质能求出m的值．(2)抽取一个容量为5的样本，成绩在区间[80,90)的人数为3人，记3人为a，b，c.成绩在区间[90,100]的人数为2人，记2人为d、e，任取2人，利用列举法能求出2人的成绩均在区间[90,100]内的概率．(3)由频率分布直方图得成绩在[90,100]的频率为0.1，由此能估计成绩在区间[90,100]的人数．本题考查实数值的求法，考查概率、频数的求法，考查频率分布直方图的性质，列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：(1)因为cosB=√108，且B∈(0,π)，所以sinB=√1−cos2B=3√68，又cos∠ADC=−14，且∠ADC∈(0,π)，所以sin∠ADC=√154，所以sin∠BAD=sin(∠ADC−∠B)=sin∠ADCcosB−cos∠ADCsinB=√154×√108−(−14)×3√68=√64．(2)在△ABD中，由ADsinB =BDsin∠BAD得3√68=√64，解得BD=2．故DC=2，从而在△ADC中，由AC2=AD2+DC2−2AD·DC·cos∠ADC=32+22−2×3×2×(−14)=16，得AC=4．解析：本题考查差角的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题．(1)由同角的三角函数的关系和两角差的正弦公式即可求出；(2)由正弦定理和余弦定理即可求出．19.答案：解：(Ⅰ)设过点(2,0)的直线l：x=my+2，代入抛物线方程，整理得y2−2my−4=0，设l与C的交点A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x2,−y2)，且令y1>0，则y1+y2=2m，y1y2=−4，△=4m2+16>0，∴直线AD的方程为y−y1=y1+y2x1−x2(x−x1)，即y−y1=y1+y2m(y1−y2)(x−x1)，∴y−y1=2y1−y2(x−12y12)，令y=0，得(y1−y2)⋅(−y1)=2x−y12，∴2x=(y1−y2)⋅(−y1)+y12=y1y2=−4，则x=−2，∴M(−2,0)，(Ⅱ)S△OAM=12×2×y1，S△OAB=12×2×y1+12×2×|y2|，则S△OAM+S△OAB=y1+y1+|y2|=2y1+|y2|=2y1+|−4y1|=2y1+4y1≥2√2y1⋅4y1=4√2，当且仅当2y1=4y1，即y1=√2时等号成立，故△OAM与△OAB面积之和的最小值4√2．解析：本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了韦达定理，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．(Ⅰ)设设l与C的交点A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x2,−y2)，且令y1>0，过点(2,0)的直线l：x=my+2，联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理可得y1+y2=2m，y1y2=−4，即可求出直线AD的方程，令y=0，求出x的值，即可得到M的坐标；(Ⅱ)把S△OAM+S△OAB化简整理为2y1+4y1，利用基本不等式求最值．20.答案：解：(1)在直角梯形BCDE中，∵DE=BE=1，CD=2，∴BC=√(2−1)2+12=√2，又AB=2，AC=√2，∴AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，AC⊂平面ABC，∴AC ⊥平面BCDE ，又DE ⊂平面BCDE ， ∴AC ⊥DE ，又DE ⊥DC ，AC ∩CD =C ， ∴DE ⊥平面ACD ．(2)V C−ABD =V A−BCD =13S △BCD ⋅AC =13×12×2×1×√2=√23．解析：(1)利用梯形的性质求出BC ，利用勾股定理得出AC ⊥BC ，于是AC ⊥平面BCDE ，得出AC ⊥DE ，又DE ⊥CD 得出DE ⊥平面BCDE ； (2)V C−ABD =V A−BCD =13S △BCD ⋅AC ．本题考查了线面垂直的判定定理，棱锥的体积计算，属于中档题．21.答案：解：(1)当a =1时，f(x)=x 2−2lnx ，x ∈[1e ,e]，f′(x)=2x −2x=2x 2−2x=2(x 2−1)x，当x ∈[1e ,1]时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈[1,e]时，f′(x)>0，f(x)单调递增， ∴f(x)的最小值f(1)=1． f(e)=e 2−2>f(1e )=1e 2+2，∴f(x)的最大值为f(e)=e 2−2． (2)f′(x)=2x −2a x=2(x 2−a)x(x >0)，当a ≤0时，f′(x)≥0恒成立， ∴f(x)在(0,+∞)单调递增， 当a >0时，令f′(x)=0得x =√a ， 故x ∈(0,√a)时f′(x)<0， f(x)在(0,√a)单调递减， x ∈(√a,+∞)时，f′(x)>0， f(x)在(√a,+∞)单调递增．解析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． (1)当a =1时，求出f(x)的单调性，进而得到最值；(2)求导，对a 分类讨论，根据导数的正负，确定函数的单调性．22.答案：解：(1)∵曲线C 1的参数方程为为参数)，∴曲线C 1的普通方程为x 2+y 2−2x =0， ∴曲线C 1的极坐标方程为ρ=2cosθ，设点B 的极坐标为(ρ,θ)，点A 的极坐标为(ρ0,θ0)， 则|OB|=ρ，|OA|=ρ0，ρ0=2cosθ0，θ=θ0， ∵|OA|⋅|OB|=8，∴ρ⋅ρ0=8， ∴8ρ=2cosθ，ρcosθ=4，∴C 2的极坐标方程为ρcosθ=4． (2)由题设知|OC|=2，S △ABC =S △OBC −S △OAC =12|OC|⋅|ρB cosθ−ρA cosθ|=|4−2cos 2θ|，当θ=0时，S △ABC 取得最小值为2．解析：(1)由曲线C 1的参数方程能求出曲线C 1的普通方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程；设点B 的极坐标为(ρ,θ)，点A 的极坐标为(ρ0,θ0)，则|OB|=ρ，|OA|=ρ0，ρ0=2cosθ0，θ=θ0，从而ρ⋅ρ0=8，由此能求出C 2的极坐标方程．(2)由|OC|=2，S △ABC =S △OBC −S △OAC =12|OC|⋅|ρB cosθ−ρA cosθ|=|4−2cos 2θ|，由此能求出S △ABC 的最小值．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最小值的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.答案：解：(Ⅰ)f(x)≥2即|x|+|x +1|≥2，可得{x ≥0x +x +1≥2或{−1<x <0−x +x +1≥2或{x <−1−x −x −1≥2，解得x ≥12或x ∈⌀或x ≤−32，则原不等式的解集为{x|x ≥12或x ≤−32}；(Ⅱ)证明：f(x)=|x|+|x +1|≥|x −x −1|=1， 当且仅当x(x +1)≤0，即−1≤x ≤0时，上式取得等号， 可得函数f(x)的最小值为1，则a+b+c=1，且a，b，c∈R+，由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca)，取得等号，可得3(ab+bc+ca)≤1，当且仅当a=b=c=13．即ab+bc+ac≤13解析：(Ⅰ)由绝对值的意义去绝对值，解不等式，求并集可得所求解集；(Ⅱ)运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值m，再由三个数的完全平方公式和基本不等式，结合不等式的性质即可得证．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，考查不等式的证明，注意运用均值不等式和不等式的性质，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．。
东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中)2020年高三第一次联合模拟考试文科数学试题(详细答案)
2020年高三第一次联合模拟考试文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0322<--=x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=11x xB 则=)(B AC R （ ） A.),3()1,(+∞--∞ B.),3[]1,(+∞--∞ C.),3[+∞ D.),1[]1,(+∞--∞ 2.已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1+i z是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为（ ）A.0=+b aB.0=-b aC.02=-b aD.02=+b a 3.已知βα,是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是（ ） A.若βα⊥，则β∥m B.若βα⊥，则β⊥m C.若β∥m ，则βα∥ D.若β⊥m ，则βα⊥4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（ ）A.9B.10C.11D.12 5.下列说法中正确的是（ ）A.若“b a >”是“c a >”的充分条件，则“c b ≥”B.若“b a >”是“c a >”的充分条件，则“c b ≤”C.若“b a >”是“c a >”的充要条件，则“c b >”D.若“b a <”是“c a >”的充要条件，则“c b <”6.已知在边长为3的等边ABC ∆的中，DC BD 21=，则AC AD ⋅=（ ） A.6 B.9 C.12 D.6-7.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且87cos 21=∠AF F ，则椭圆的离心率e =（ ） A.21 B.23 C.41D.478.已知函数x x x f 2cos 32sin )(+=的图像向右平移)20(πϕϕ<<个单位后，其图像关于y 轴对称，则=ϕ（ ）A.12π B.6π C.3π D.125π9.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，22==FC ED ，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（ ）A.31 B.55 C.10103 D.3210.已知双曲线1322=-y x 的左、右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且 12021=∠PF F ，21PF F ∆的面积为（ ）A.32B.3C.52D.5 11.已知数{}n a 列的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前6项和为（ ）A.125 B.65 C.76 D.73 12.已知)(x f 满足⎪⎩⎪⎨⎧<-≤--=0),2(210,84)(2x x f x x x x f ，若在区间)3,1(-内，关于x 的方程)()(R k k kx x f ∈+=有4个根，则实数k 的取值范围是（ ）A.410≤<k 或1528-=k B.410≤<k C.15280-≤<k D.410<<k第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.已知向量)1,2sin 2(cos ),2,2sin2(cos -+=-=αααααn m，其中),0(πα∈，若n m⊥，则=α .14.已知函数xx ae e x f -+=)(在]1,0[上不单调，则实数a 的取值范围为 .15.数列{}n a 满足11=a ，),2(2)12(*2N n n S S a n n n ∈≥=-，则n a = .16.已知函数5)(,ln )(23--=+=x x x g x x x a x f ，若对于任意的]2,21[,21∈x x ，都有2)()(21≥-x g x f 成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c a C b +=2cos 2（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=a ，D 为AC 的中点，且3=BD ，求c .18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC C B A -111中，⊥1BB 平面ABC ，BC AB ⊥，2=AB ，1=BC ，31=BB ，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点.（Ⅰ）证明：DE ∥平面11BA C ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且12FC CF =，求1A 到平面ABF 的距离.19.（本小题满分12分）2020年2月1日0：00时，英国顺利“脱欧”.在此之前，英国“脱欧”这件国际大事被社会各界广泛关注，英国大选之后，曾预计将会在2020年1月31日完成“脱欧”，但是因为之前“脱欧”一直被延时，所以很多人认为并不能如期完成，某媒体随机在人群中抽取了100人做调查，其中40岁以上的55人中有10人认为不能完成，40岁以下的人中认为能完成的占32. （Ⅰ）完成22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“预测国际大事的准确率与年龄有关”？能完成 不能完成合计 40岁以上 40岁以下 合计（Ⅱ）从上述100人中，采用按年龄分层抽样的方法，抽取20人，从这20人中再选取40岁以下的2人做深度调查，则2人中恰有1人认为英国能够完成“脱欧”的概率为多少？附表：参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=20.（本小题满分12分）已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线21:-=x l 相切，与定圆⊙：F 41)1(22=+-y x 相外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M 、（MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为11N M 、，直线l 交x 轴于点A ，记11ANN AMN AMM ∆∆∆、、的面积分别为321S S S 、、，且31224S S S =，证明：直线MN 过定点.21.（本小题满分12分） 已知函数)0(2ln )(2>-+-=a xxa x a x x f . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）记函数)(x f 的最小值为)(a g .证明：1)(<a g .（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos y x （其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2：ϕ得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2103)4sin(=+πθρ. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设N M 、分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求MN 的最小值.23.[选修4-5：不等式选将] 设函数32)(-++=x x x f （Ⅰ）求不等式9)(>x f 的解集；（Ⅱ）过关于x 的不等式23)(-≤m x f 有解，求实数m 的取值范围.一模文数参考答案一、选择题二、填空题13.3π 14.),1(2e 15.992- 16.),1[+∞三、解答题17.（本小题满分12分）（I ）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =++，又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，得2cos sin sin 0B C C +=，……3分因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =-．因为0B π<<，所以23B π=．……6分（II ）因为D 为AC 的中点，所以2BA BC BD +=， 所以22()(2)BA BC BD +=，又23B π=，所以1222=-+ac c a 因为2a =，解方程0822=--c c ，得4c =． ……………………12分18. （本小题满分12分）（1）设B A 1中点为M ，连M C EM 1,1BAA ∆中M 是B A 1中点，E 是AB 的中点，则1//AA EM 且121AA EM =， 棱柱中侧棱11//AA CC ，且D 是1CC 的中点，则11//AA DC 且1121AA DC =，所以1//DC EM ，1DC EM =，所以M C DE 1//，又⊄ED 平面11BA C 且⊂1MC 平面11BA C ，所以//DE 平面11BA C …… …… ……4分（2）F 在线段1CC 上，且12FC CF =，棱柱中311==BB CC ，所以2=CF侧面11A ABB 中AB B A //11，且⊂AB 平面ABF ，⊄11B A 平面ABF ，所以//11B A 平面ABF ，11,B A 到平面ABF的距离相等. …… …… …… …… …… ………… …… ……6分在平面11B BCC 中作⊥H B 1直线BF 于H ①⊥1BB 平面ABC 得⊥1BB AB ，又BC AB ⊥，所以⊥AB 平面11B BCC ，因为⊂H B 1平面11B BCC ，所以⊥AB H B 1②，又①②及B BF AB = ，得⊥H B 1平面ABF ， 故线段HB 1长为点11,B A 到平面ABF的距离. …… …… …… …… …… ………… …… …10分BCF Rt ∆中2,1==CF BC ，2π=∠C ，得5=BFH B BF BC BB S FBB 1121211⋅=⋅=∆，得5531=H B …… …… …… …… …… ………… …12分 19. （本小题满分12分） （1）由题意可得列联表：……2分22100(45151030)100 3.0305545752533K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯由附表知：100.0)706.2(2=>K P ，且706.2030.3>，所以有90%的把握认为“预测国际大事的准确率与年龄有关” ………… …… …… …… …… …………6分（II ）40岁以上人数为55，,40岁以下为45，比例为11:9，抽取的20人中，40岁以下为9人，其中有6人是认为可以完成的，记为a,b,c,d,e,f ，3人认为不能完成,记为A,B,C ， 从这9人中抽取2人共有：（a,b ），（a,c ），（a,d ），（a,e ），（a,f ），（a,A ），（a,B ），（a,C ），（b,c ），（b,d ），（b,e ），（b,f ），（b,A ），（b,B ），（b,C ）， （c,d ），（c,e ），（c,f ），（c,A ），（c,B ），（c,C ）， （d,e ），（d,f ），（d,A ），（d,B ），（d,C ） （e,f ），（e,A ），（e,B ），（e,C ） （f,A ），（f,B ），（f,C ） （A,B ），（A,C ）（B,C ）36个基本事件 …… ………… 8分设事件M ：从20人中抽取2位40 岁以下的,2人中恰有1人认为应该能够完成“脱欧”. 事件M 共包括：（a,A ），（a,B ），（a,C ），（b,A ），（b,B ），（b,C ），（c,A ），（c,B ），（c,C ），（d,A ），（d,B ），（d,C ）（e,A ），（e,B ），（e,C ），（f,A ），（f,B ），（f,C ）18个基本事件， …… ………… 10分213618)(==M P 所以从20人中抽取2位40 岁以下的作深度调查,2人中恰有1人认为应该能够完成“脱欧”的概率为21. …… ………… 12分20. （本小题满分12分） （1）设(),P x y ，P 半径为R ，则11,22R x PF R =+=+，所以点P 到直线1x =-的距离与到()1,0F 的距离相等，即1)1(22+=+-x y x 故点P 的轨迹方程C 为24y x = …… … …… …… ……… ……4分 （2）设直线t x my MN -=:t y y m y y t m t mt y xy tx my 4,4),(1604442121222-==++=∆⇒=--⇒⎩⎨⎧=-= ……… ……6分22212221212121212131223111)41816()412()21)(21(4)21(21)21(21y y y y y y y x x x x y y x x S S yx S y x S +++=+++=++=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=[]2222318)12()418816(44m t t t m t t S S ++=+++=⇒ ……… ……8分)()12()(16)21(41)21(41)21(212222221222212t m t t m t y y t S y y t S ++=++=-+=⇒-+=……… …10分由31224S S S =得[]22228)12()()12(m t t t m t ++=++，化简为t t 8)12(2=+所以0)12(2=-t 即21=t 所以直线MN 经过⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21 ……… …………… …………… …………… ……12分 21. （本小题满分12分） （1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()224322221x a x x x a x a f x x x x -+---'=-+=……2分 令()0f x '=，得x a =；当()0,x a ∈时，()0f x '<；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>； 所以，()f x 的单调减区间为()0,a ，单调增区间为(),a +∞．……4分（2）由（1）可知，函数()f x 的最小值()()1ln g a f a a a a a==--； 012)(,ln 1)(32<--=''-='aa a g a a a g ，故)(a g '在),0(+∞单调递减，…………6分 又02ln 41)2(,01)1(<-='>='g g ，故存在)2,1(0∈a ，0ln 1)(0200=-='a a a g ，2001ln a a =0)(),,(;0)(),,0(00<'+∞∈>'∈∴a g a a a g a a ，故)(a g 在),0(0a 单调递增，在),(0+∞a 单调递减……………………………………………………8分000200000000max 2111ln )()(a a a a a a a a a a a g a g -=-⋅-=--== 000002000)2)(1(212a a a a a a a a -+=--=--， ……………………10分)2,1(0∈a ，所以0)2)(1(000<-+a a a ，所以1200<-a a ，即1)(max <a g ，所以1)(<a g ……12分22. （本小题满分10分）（1）曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数）， 因此，曲线C 的普通方程为2214x y +=； …………………………2分曲线D sin cos )ρθρθ+，因此，曲线D 的直角坐标方程为0x y +-=． (5)分（2）设(2cos ,sin )M θθ，则||MN 的最小值为M 到直线0x y +-=的距离d 的最小值，d ==当sin()1θϕ+=时，||MN ………………………10分23. （本小题满分10分）（1）()21,25,2321,3x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩，当2x <-时，219x -+>，解得4x <-，所以4x <-； 当23x -≤<时，59>，解得x ∈∅；当3x ≥时，219x ->，解得5x >，所以5x >， 综上所述，不等式()9f x >的解集为{|5x x >或4}x <-． ………………5分（2）2x ++()()230x x +-≤即23x -≤≤时取等） 3251m m ∴-≥⇒≤-或73m ≥……………………………10分。
2020年东北三省三校一模 文科数学 试题卷+参考答案
一模文数参考答案一、选择题 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D A A A C D C B D A二、填空题13.3π 14.),1(2e 15.992− 16.),1[+∞三、解答题17.（本小题满分12分）（I ）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =++，又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，得2cos sin sin 0B C C +=，……3分 因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =−．因为0B π<<，所以23B π=． ……6分 （II ）因为D 为AC 的中点，所以2BA BC BD +=uuu r uuu r uuu r ，所以22()(2)BA BC BD +=uuu r uuu r uuu r ，又23B π=，所以1222=−+ac c a 因为2a =，解方程0822=−−c c ，得4c =． ……………………12分18. （本小题满分12分）（1）设B A 1中点为M ，连M C EM 1,1BAA ∆中M 是B A 1中点，E 是AB 的中点，则1//AA EM 且121AA EM =， 棱柱中侧棱11//AA CC ，且D 是1CC 的中点，则11//AA DC 且1121AA DC =， 所以1//DC EM ，1DC EM =，所以M C DE 1//，又⊄ED 平面11BA C 且⊂1MC 平面11BA C ，所以//DE 平面11BA C …… …… ……4分（2）F 在线段1CC 上，且12FC CF =，棱柱中311==BB CC ，所以2=CF侧面11A ABB 中AB B A //11，且⊂AB 平面ABF ，⊄11B A 平面ABF ，所以//11B A 平面ABF ，11,B A 到平面ABF 的距离相等. …… …… …… …… …… ………… …… ……6分 在平面11B BCC 中作⊥H B 1直线BF 于H ①⊥1BB 平面ABC 得⊥1BB AB ，又BC AB ⊥，所以⊥AB 平面11B BCC ，因为⊂H B 1平面11B BCC ， 所以⊥AB H B 1②，又①②及B BF AB =I ，得⊥H B 1平面ABF ，故线段H B 1长为点11,B A 到平面ABF 的距离. …… …… …… …… …… ………… …… …10分BCF Rt ∆中2,1==CF BC ，2π=∠C ，得5=BF H B BF BC BB S FBB 1121211⋅=⋅=∆，得5531=H B …… …… …… …… …… ………… …12分 19. （本小题满分12分）（1）由题意可得列联表：能完成 不能完成 合计 40岁以上45 10 55 40岁以下30 15 45 合计 75 25 100……2分22100(45151030)100 3.0305545752533K ××−×==≈××× 由附表知：100.0)706.2(2=>K P ，且706.2030.3>，所以有90%的把握认为“预测国际大事的准确率与年龄有关” ………… …… …… …… …… ………… 6分（II ）40岁以上人数为55，,40岁以下为45，比例为11:9，抽取的20人中，40岁以下为9人， 其中有6人是认为可以完成的，记为a,b,c,d,e,f ，3人认为不能完成,记为A,B,C ，从这9人中抽取2人共有：（a,b ），（a,c ），（a,d ），（a,e ），（a,f ），（a,A ），（a,B ），（a,C ），（b,c ），（b,d ），（b,e ），（b,f ），（b,A ），（b,B ），（b,C ），（c,d ），（c,e ），（c,f ），（c,A ），（c,B ），（c,C ），（d,e ），（d,f ），（d,A ），（d,B ），（d,C ）（e,f ），（e,A ），（e,B ），（e,C ）（f,A ），（f,B ），（f,C ）（A,B ），（A,C ）（B,C ）36个基本事件 …… ………… 8分设事件M ：从20人中抽取2位40 岁以下的,2人中恰有1人认为应该能够完成“脱欧”.事件M 共包括：（a,A ），（a,B ），（a,C ），（b,A ），（b,B ），（b,C ），（c,A ），（c,B ），（c,C ），（d,A ），（d,B ），（d,C ）（e,A ），（e,B ），（e,C ），（f,A ），（f,B ），（f,C ）18个基本事件， …… ………… 10分213618)(==M P 所以从20人中抽取2位40 岁以下的作深度调查,2人中恰有1人认为应该能够完成“脱欧”的概率为21. …… ………… 12分。
【附加15套高考模拟试卷】黑龙江哈三中2020届高三第一次测试数学【文】试题含答案
黑龙江哈三中2020届高三第一次测试数学【文】试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足201620170,0S S ><,对任意正整数n ，都有n ka a ≥，则k 的值为（ ）A ．1006B ．1007C ．1008D ．10092．中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图所示是源于其思想的一个程序框图，若输入的x ＝5，y ＝2，输出的n 为4，则程序框图中的中应填（ ）A ．y ＜xB ．y≤xC ．x≤yD ．x ＝y3．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1C ，在矩形OABC内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影部分的概率为2P ，则（ ）A ．12P P < B ．12P P > C ．12P P = D ．大小关系不能确定4．在锐角三角形ABC 中，1cos ,7,2367A AB AC π⎛⎫+=-== ⎪⎝⎭，则AB BC ⋅u u u r u u u r （ ） A ．40- B ．40 C ．34- D ．34 5．函数()x xf x e=-(1)a b <<,则 ( ) A ．()()f a f b = B ．()()f a f b < C ．()()f a f b > D ．(),()f a f b 大小关系不能确定 6．在平面直角坐标系中，(4,0), (1,0)A B --，点(,)(0)P a b ab ≠满足||2||AP BP =，则2241a b +的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．32 D ．947．已知下面四个命题：①“若20x x -=，则0x =或1x =”的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠，则20x x -≠” ②“1x ＜”是“2320x x -+＞”的充分不必要条件③命题:p 存在0x R ∈，使得20010x x ++＜，则p ⌝：任意x R ∈，都有210x x ++≥④若p 且q 为假命题，则,p q 均为假命题，其中真命题个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．若函数()sin()6f x x πω=+(0)>ω在区间(,2)ππ内没有最值,则ω的取值范围是（ ）A ．112(0,][,]1243⋃ B ．112(0,][,]633⋃C ．12[,]43D ．12[,]339．函数sin 23cos 2y x x =+的图象可由2cos 2y x =的图象如何变换得到( )A ．向左平移12π个单位B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位10．已知()f x 是定义在R 上的周期为4的奇函数，当(0,2)x ∈时，2()ln f x x x =+，则(2019)f =（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．211．函数()()2xf x x tx e =+（实数t 为常数，且0t <）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．请观察这些数的排列规律，数字1位置在第一行第一列表示为（1,1），数字14位置在第四行第三列表示为（4,3），根据特点推算出数字2019的位置A ．（45,44）B ．（45,43）C ．（45,42）D ．该数不会出现二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。