数学非线性方程求解
牛顿法与割线法求解非线性方程
牛顿法与割线法求解非线性方程在数学中，非线性方程是指方程中包含未知数的幂次大于等于2的项的方程。
求解非线性方程是数学中一个重要的问题，它在科学、工程和经济等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍两种常用的非线性方程求解方法：牛顿法和割线法。
一、牛顿法牛顿法是一种迭代方法，用于求解非线性方程的根。
它基于泰勒级数展开的思想，通过不断迭代逼近方程的根。
牛顿法的基本思想是：选择一个初始值x0，然后通过迭代公式xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)，不断逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择一个初始值x0；2. 计算函数f(x)在x0处的导数f'(x0)；3. 使用迭代公式xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)计算下一个近似解xn+1；4. 判断是否满足停止准则，如果满足，则输出近似解xn+1，算法结束；如果不满足，则将xn+1作为新的近似解，返回第2步继续迭代。
牛顿法的优点是收敛速度快，但缺点是对初始值的选择较为敏感，可能会陷入局部最优解。
二、割线法割线法也是一种迭代方法，用于求解非线性方程的根。
它与牛顿法类似，但是割线法不需要计算函数的导数。
割线法的基本思想是：选择两个初始值x0和x1，通过迭代公式xn+1 = xn - f(xn)(xn - xn-1)/(f(xn) - f(xn-1))，不断逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择两个初始值x0和x1；2. 使用迭代公式xn+1 = xn - f(xn)(xn - xn-1)/(f(xn) - f(xn-1))计算下一个近似解xn+1；3. 判断是否满足停止准则，如果满足，则输出近似解xn+1，算法结束；如果不满足，则将xn+1作为新的近似解，返回第2步继续迭代。
割线法的优点是不需要计算函数的导数，但缺点是收敛速度相对较慢。
三、牛顿法与割线法的比较牛顿法和割线法都是求解非线性方程的有效方法，它们各有优缺点。
牛顿法的收敛速度较快，但对初始值的选择较为敏感；割线法不需要计算函数的导数，但收敛速度相对较慢。
5-非线性方程组的数值解法及最优化方法
非线性方程组的数值解法
不动点迭代法：根据非线性方程求根的迭代法，将方程组改 写为如下等价方程组
xi i x1, x2,, xn , i 1,2,, n
构造迭代公式
xik 1 i x1k , x2k ,, xnk , i 1,2,, n
非线性方程组的数值解法
若对任意A Cmn 都有一个实数 A 与之对应，且满足：
（1）非负性：当 A O 时， A 0 ；当A O 时，A 0；
（2）齐次性：对任何 C ，A A ；
（3）三角不等式：对任意 A, B C nn ，都有A B A B ;
（4）相容性：对任意A, B C nn ，都有 AB A B ，
…
…
18
(0.2325670051,0.0564515197)
19
(0.2325670051,0.0564515197)
max
1 i 2
xik
xik
1
0.2250 0.0546679688 0.0138638640 0.0032704648 0.0008430541 0.0001985303 0.0000519694 0.0000122370 0.0000032485 0.0000007649
10-9
非线性方程组的数值解法
练习题：用牛顿迭代法求解方程组
取 X 0 1.6,1.2T
xx1122
x22 x22
4 1
结果：1.5811,1.2247
非线性方程组的数值解法
应用经过海底一次反射到达水听器阵的特征声线传播时间， 来反演海底参数。假设水中和沉积层声速都是恒定的，海底 沉积层上界面水平，下界面倾斜。特征声线由水中声源出发 折射进入沉积层，经过沉积层的下界面反射后，再折射进入 水中，由水中水听器阵接收。特征声线的传播时间为声线在 水中和沉积层中的传播时间之和。 三维坐标关系如图所示：
数学中的非线性方程求解算法研究
数学中的非线性方程求解算法研究一、引言非线性方程是数学中的重要问题，具有广泛的应用背景。
在现实生活中，很多问题都是由非线性方程建模的，需要通过求解非线性方程来得到问题的解。
因此，对于非线性方程求解算法的研究具有重要的理论和实际意义。
本文旨在对目前常用的非线性方程求解算法进行详细介绍，并对其优缺点进行评价和比较。
二、二分法二分法也称为割线法或区间收缩法，它是一种比较基础的求解非线性方程的方法。
具体来讲，二分法的思想是：首先给定一个初始区间，然后取区间中点作为近似值，通过与零点的比较来缩小区间，直到区间长度小于给定的精度要求为止。
二分法的基本流程可以简述如下：1. 给定初始区间[a,b]，满足f(a)f(b)＜0。
2. 求出中点c=(a+b)/2。
3. 计算f(c)并判断其与零点的位置关系。
4. 根据f(a)f(c)＜0或者f(c)f(b)＜0将区间缩小。
5. 重复步骤2~4，直到满足收敛条件。
二分法的优点在于其思路简单，易于实现和理解。
但是，其收敛速度比较慢，并且对函数的单调性和连续性要求比较高。
三、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种基于导数信息的非线性方程求解方法。
其基本思想是：选取一个初始点作为近似解，并通过不断迭代，逐渐逼近方程的零点。
牛顿迭代法的基本流程如下：1. 选取一个初始点x0。
2. 计算函数f(x)的一阶导数f'(x0)。
3. 计算当前点x0的函数值f(x0)。
4. 根据泰勒公式得到近似解x1=x0-f(x0)/f'(x0)。
5. 重复步骤2~4直到满足收敛条件。
牛顿迭代法具有收敛速度快的优点，尤其适用于连续可微的函数。
但是其缺点在于需要求取函数的一阶导数，如果函数难以求导或者计算导数比较费时，则会影响其求解效率和准确性。
四、弦截法弦截法是一种基于线性插值的非线性方程求解方法。
其基本思路是：从两点出发构造一条直线，通过直线与x轴的交点来逼近方程的零点。
根据插值定理，可以通过两个初始点上的函数值来构造一条直线，并根据截距与零点的位置关系来选择新的近似解。
非线性方程组的求解方法及其应用
非线性方程组的求解方法及其应用非线性方程组是数学中一类非常重要的问题，其中每个方程都不是线性的。
与线性方程组不同，非线性方程组的求解通常需要借助于数值方法。
本文将讨论一些常见的非线性方程组求解方法，并介绍它们在实际应用中的一些应用。
1. 牛顿法牛顿法是一种非常常见的非线性方程组求解方法。
该方法基于牛顿迭代法原理，将非线性方程组转化为一系列的线性问题。
牛顿法的基本思想是：通过不断地使用一阶导数和二阶导数的信息来逼近方程组的解。
具体地说，在每一轮迭代中，求解一个方程组：$$F(x^{k})+J(x^{k})\Delta x^{k} =0$$其中$F(x)$表示非线性方程组，$x^k$表示第$k$轮迭代的解，$J(x^k)$表示$F(x)$在$x^k$处的雅可比矩阵，$\Delta x^k$表示下降方向，满足$\|\Delta x^k\|\rightarrow 0$。
值得注意的是，牛顿法在每轮迭代中都需要求解一次雅可比矩阵，这需要大量的计算资源。
因此，在实际应用中，牛顿法通常只适用于相对较小的方程组。
2. 信赖域方法相比于牛顿法，信赖域方法更具有通用性。
信赖域方法的基本思想是：在每轮迭代中，通过构造二次模型来逼近目标函数，并在一个信赖域内搜索下降方向。
具体地说，我们在每轮迭代中将非线性方程组$F(x)$在$x^k$处转化为二次模型：$$m_k(\Delta x)=F(x^k)+\nabla F(x^k)^\top \Deltax+\frac{1}{2}\Delta x^\top B_k\Delta x$$其中，$\nabla F(x^k)$是$F(x)$在$x^k$处的梯度，$B_k$是二阶导数信息。
在这里我们假设$B_k$为正定矩阵。
显然，我们希望在$m_k(\Delta x)$的取值范围内找到一个适当的$\Delta x$，使得$m_k(\Delta x)$最小。
因此，我们需要设定一个信赖域半径$\Delta_k$，并在$B_k$所定义的椭圆范围内查找最优的$\Delta x$。
第十章非线性方程及非线性方程组解法
(
x
)
n
lim
n
x
n
若
{x
}
n
收敛，即
lim xn x*，则：
n
x* (x*) f (x*) 0
迭代过程的几何表示
x (x) :
y x 交点即真根。
y (x)
yx
y
Q1
Q2
P* P2
O x* x2
P1
x1
y (x)
P0
x0
x
例：求方程 f (x) x3 x 1 0 在x0 1.5附近的根x*. 解：（1） 将方程改写为 x 3 x 1
第十章 方程求根
求解非线性方程
f (x) 0 f 是非线性函数，
例：代数方程
a x a x a x a f (x) n
n1 L
0, n 1。
n
n1
1
0
例: 超越方程
f (x) ex sin x 0
§1. 非线性方程实根的对分法(二分法)
设 f (x) 在[a,b] 上连续且 [a,b] 有且仅有一个根又
xn1 (xn ) (n 0,1,L )
均收敛于x*，并有
x* xn
Ln 1 L
x1 x0
收敛充分性定理(一、2)
证：由条件（2）知(x)在[a, b]上连续。 令 (x) x (x),则 (x)在[a,b]上连续，且
(a) a (a) 0, (b) b (b) 0 故存在 [a,b]，使得（） 0,即 （）, 所以方程x (x)在[a,b]内有根。
可先用二分法或经验确定迭代初值x0 0.5，再按牛
顿公式进行迭代。
Newton法具有收敛快，稳定性好，精度高等优点，是求 解非线性方程的有效方法之一。但它每次迭代均需计算函 数值与导数值，故计算量较大。而且当导数值提供有困难 时， Newton法无法进行。
数值分析中的非线性方程求解与优化
数值分析中的非线性方程求解与优化在数值分析领域中，非线性方程求解是一个重要的问题。
许多实际问题都可以被建模为非线性方程，而求解这些方程对于解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍非线性方程求解的基本概念、方法和优化技术。
一、非线性方程求解的概念非线性方程是指方程中包含非线性项的方程。
与线性方程不同，非线性方程的解不再是一条直线，而是一条曲线或曲面。
非线性方程的求解是寻找方程中满足特定条件的变量值或函数的过程。
二、非线性方程求解的方法1. 迭代法迭代法是解决非线性方程求解问题中常用的方法。
迭代法的基本思想是通过不断逼近方程的解，使得迭代序列逐步收敛于方程的解。
常见的迭代法包括牛顿迭代法、割线法和弦截法等。
以牛顿迭代法为例，假设要求解方程f(x) = 0，首先选择一个初始估计值x0，然后通过迭代公式进行迭代计算直到满足收敛条件。
迭代公式为：xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)，其中f'(xn)表示f(x)在xn处的导数。
2. 区间划分法区间划分法是通过将求解区间划分为若干个子区间，然后在每个子区间内搜索方程的解。
这种方法常用于求解具有多个解的非线性方程。
一般可以使用二分法、割线法和弦截法等算法进行区间划分和求解。
3. 优化技术优化技术常用于求解非线性方程的最优解。
在数值分析中，优化问题可以理解为寻找使得目标函数达到最大或最小值的变量值。
常用的优化算法包括梯度下降法、拟牛顿法和粒子群算法等。
这些算法通过迭代过程不断调整变量值，使得目标函数逐渐趋于最优解。
三、非线性方程求解与优化的应用非线性方程求解和优化技术在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些应用领域的例子：1. 工程领域：在工程设计中，需要求解非线性方程以确定优化的设计参数。
例如，在机械设计中，可以通过求解非线性方程来确定零件的几何尺寸和运动轨迹。
2. 金融领域：在金融衍生品定价和风险管理中，需要求解非线性方程来估计资产价格和风险敞口。
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法随着科技的发展，求解非线性方程逐渐成为了计算数学领域中的热门问题之一。
在日常生活中，我们可能经常会遇到许多非线性方程，例如：x^2 - 3x + 1 = 0、e^x - x - 1 = 0等。
那么，在解决这些方程时，我们通常会采用哪些迭代法呢？下面，我将介绍三种新的迭代法，它们分别是：Halley法、Chebyshev法和Brouncker法。
一、Halley法Halley法是一种高阶迭代法，它能够同时逼近函数的根和导数的值，因此在求解非线性方程时非常有效。
该方法的基本思想是利用牛顿法的基础上，通过引入更高阶的泰勒级数，以加快收敛的速度。
具体来说，假设我们要求解方程f(x) = 0的解，那么可以先利用泰勒级数表示出f(x)的近似：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0) + f''(x0)/2(x - x0)^2然后，在此式的基础上，我们可以用以下公式来计算出下一个近似解x1：在实际使用中，如果我们要求解的非线性方程只有单个根，那么该法一般很快就能收敛到准确解。
二、Chebyshev法Chebyshev法（切比雪夫法）是一种基于最小化误差的迭代法，它不需要计算导数，且具有高阶迭代、迭代次数少的优点。
该方法的基本思想是：我们可以将待求解方程转化为一个无穷大的级数，然后利用级数的递推公式来迭代求解。
具体来说，假设我们要求解方程f(x) = 0的解，那么我们可以将其转化为如下形式：x = g(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ⋯其中，系数a0、a1、a2等可以通过传统的求根方法（如牛顿法、二分法等）来确定。
然后，我们可以利用以下递推公式来迭代求解：xn+1 = (g(xn)+xn)/2在实际使用中，如果我们要求解的非线性方程满足某些条件（如单峰性、单调性等），那么该法的效果将更加显著。
三、Brouncker法Brouncker法是一种较为简单的迭代法，它基于有理分式逼近的思想，能够高效地求解非线性方程的单根。
非线性方程求解算法的收敛性分析
非线性方程求解算法的收敛性分析在数学和工程领域中，非线性方程求解是一项重要的任务。
与线性方程相比，非线性方程由于其复杂性而具有更高的挑战性。
因此，开发一种有效且收敛性良好的求解算法显得尤为重要。
本文将对非线性方程求解算法的收敛性进行分析，并探讨影响收敛性的因素。
一、非线性方程求解算法综述非线性方程求解算法广泛用于科学计算和工程应用中，例如在数值模拟、优化问题以及信号处理等领域。
常见的求解算法包括二分法、牛顿迭代法、割线法、弦截法等。
尽管这些算法在不同问题上具有一定的适用性，但它们在求解非线性方程时都存在收敛性问题。
二、收敛性的定义和评价在讨论收敛性之前，我们首先需要明确收敛性的定义。
对于一个求解算法而言，收敛性表示算法能够找到非线性方程的根，并且随着迭代次数的增加，逼近于精确解。
评价一个算法的收敛性通常需要考虑三个方面：收敛速度、收敛域和全局收敛性。
1. 收敛速度收敛速度是指求解算法逼近根的速度。
通常情况下，我们希望算法具有快速收敛的性质，以提高求解效率。
常见的判断收敛速度的方法有用残差准则和定义迭代次数等。
2. 收敛域收敛域表示求解算法在何种范围内能够保证收敛性。
对于一些特定的求解算法，收敛域可能受到限制。
因此，在选择求解算法时，需要考虑非线性方程的特性，以确定算法的收敛域是否满足问题要求。
3. 全局收敛性全局收敛性意味着算法以任意的初值作为起点，都能够收敛到方程的根。
虽然一些算法可能在特定的条件下保证收敛性，但在全局范围内可能存在无法收敛的情况。
三、影响收敛性的因素收敛性的质量取决于多个因素。
下面我们将讨论几个主要的影响因素。
1. 初始值的选取初始值的选取在非线性方程求解中起着至关重要的作用。
不同的初始值可能导致算法的收敛性不同。
因此，合理选择初始值对于求解算法的收敛性至关重要。
2. 方程的特征方程的特征也会对求解算法的收敛性产生影响。
例如，方程的非线性程度、奇点的存在等都可能导致算法的收敛性发生变化。
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2.2.2 对分法求根算法
分情况处理
（1）|f(x)|<ε：停止计算 x*= x，转向步骤4 （2）f(a)f(x)<0：修正区间[a,x]→[a,b]，重复3 （3）f(x)f(b)<0：修正区间[x,b]→[a,b]，重复3
4、输出近似根 x*。 右图给出对分法的示意图。
x3 = (x0+ x2) / 2
则利用松弛迭代公式可得：
x( k 1)
0.5 x( k )
0.5 (1.74
2lg
0.1
18.7 5000
xk
,k
1,
2,L
L
L
2.1 化工实际问题的提出
经11次迭代可得摩擦系数为0.07593。
❖同样，在n个组分的等温闪蒸计算中，通过 物料和相平衡计算，我们可得到如下非线性 方程（2-3 ） ：
2.1 化工实际问题的提出
❖对于这个问题的求解，可利用我们下面介绍的 牛顿迭代法进行计算，也可利用其他迭代公式进 行计算，如采用牛顿迭代公式，则可以得到如下 的具体迭代公式：
m zi (1 ki )
an1 an
i 1 m
ki an zi (1 ki )
i1 (ki an )
（2-4）
2.1 化工实际问题的提出
GoTo 100 Else
Print "please repeat input x1 and x2"
GoTo 80 End If 100 x = (x1 + x2) / 2 y = f(x) If Abs(y) <= 0.001 Then
Print "the function root is "; x Print "y="; y
解非线性方程或非线性方程组也是计算方法
中的一个主题。
一般地，我们用符号f(x)来表示方程左端的函
数，方程的一般形式表示为f(x来自= 0，方程的 解称为方程的根或函数的零点。
2.1 化工实际问题的提出
❖ 通常，非线性方程的根不止一个，而任 何一种方法只能算出一个根。
❖ 因此，在求解非线性方程时，要给定初 始值或求解范围。
p
A
B T
C
lnT
Dp T2
（2-5）
☺因为公式（2-5）两边都有未知变量，并且无法用解 析的方法求解，必须用数值计算的方法求解。
☺ 通过上面的一些例子，我们可以发现，如果没有适 当的手段和办法来求解非线性方程，那么化学化工中 的许多研究、设计等工作将无法展开，这势必影响化 学化工的发展，下面我们将介绍一些实用的非线性方 程求解方法，并提供计算机程序。
x0
x3
x2
x1
x2= (x0+ x1)/2
2.2.3 对分法VB程序清单
Private Sub Command1_Click() Dim x1, x2, x, y1, y2, y, eer 80 x1 = InputBox("x1") x2 = InputBox("x2") y1 = f(x1) y2 = f(x2) If y1 * y2 < 0 Then
2.2 实根的对分法
❖ 2.2.1 使用对分法的条件 ❖ 2.2.2 对分法求根算法 ❖ 2.2.3 对分法VB程序清单
2.2.1 使用对分法的条件
❖ 对分法或称二分法是求方程近似解的一种简单直观 的方法。
❖ 设函数 f(x) 在[a, b]上连续，且 f(a) f(b)<0，则f(x) 在[a, b]上至少有一零点，这是微积分中的介值定理， 也是使用对分法的前提条件。
❖当我们已知雷诺数Re，如何根据公式（2-1）求出摩擦 系数λ，这是我们在管路设计中必须首先解决的问题。
❖ 对于方程（2-1）而言，无法用解析的方法求出摩擦系 数，只能用数值求解的方法。如用在下面即将介绍的松 弛迭代法，假设：
x
1
0.5
,
2εi di
0.1, Re 3800,
x0 0, 0.5
第2章 非线性方程求解
2.1 化工实际问题的提出 2.2 实根的对分法 2.3 直接迭代法 2.4 松弛迭代法 2.5 韦格斯坦法 2.6 牛顿迭代法 2.7 割线法 2.8 非线性方程组的牛顿方法 2.9 化工生产中非线性方程组求解应用实例
2.1 化工实际问题的提出
☺求解非线性方程是化工设计及模拟计算中必
❖ 而对于具体的化工问题，初值和求解范 围常常可根据具体的化工知识来决定。
2.1 化工实际问题的提出
❖常见的雷诺数和摩擦系数关系方程在雷 诺数低于4000时有以下关系式：
1
0.5
1.74
2
lg
2
di
i
18.7
Re
0.5
2.1 化工实际问题的提出
这是一个典型的非线性方程。我们在管路设计中经 常碰到。
须解决的一个问题。
☺与线性方程相比，非线性方程问题无论是从
理论上还是从计算公式上，都要比线性方程复 杂的多
对于一般的非线性f(x)=0，计算方程的根既
无一定章程可循也无直接方法可言。
2.1 化工实际问题的提出
例如，求解高次方程组7x6-x3+x-1.5 = 0的根，
求解含有指数和正弦函数的超越方程ex-sin(x) = 0的零点。
❖ 计算中通过对分区间，逐步缩小区间范围的步骤 搜索零点的位置。
❖ 如果我们所要求解的方程从物理意义上来讲确实 存在实根，但又不满足f(a) f(b)<0，这时，我们必须
通过改变a和b的值来满足二分法的应用条件。
2.2.2 对分法求根算法
计算f (x) =0的一般计算步骤如下：
1、输入求根区间[a,b]和误差控制量ε，定义函 数f(x)。 2、判断: 如果f(a)f(b)<0则转下，否则，重新输 入a 和 b的值。 3、计算中点 x=(a+b)/2以及f(x)的值
❖ 饱和蒸气压是我们经常要用到的数据，虽然 我们可以通过实验测量来获取饱和蒸气压的数 据。
❖ 我们通常利用前人已经测量得到的数据或回 归的公式来获取，这可以减轻我们大量的基础 实验工作。
❖公式（2-5）是一种常用的饱和蒸气压计算公 式：
ln
p
A
B T
C
ln T
Dp T2
2.1 化工实际问题的提出
ln
n
i 1
zi (1 ki )
ki
0
2.1 化工实际问题的提出
n
i 1
zi (1 ki
ki
)
0
（2-3 ）
❖ 在方程（2-3）中只有α是未知数，ki为相平衡常 数，zi为进料组分的摩尔浓度，均为已知数。 ❖ 方程（2-3）也无法直接解析求解，必须利用数 值的方法。
❖ 借助于计算机方可精确的计算。