关于正项级数敛散性的判别法

关于正项级数敛散性的判别法

作者: 学号： 单位： 指导老师

摘要：级数是数学分析中的主要内容之一，我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种，柯西（Cauchy ）判别法、达朗贝尔（D'Alembert ）判别法、高斯（Gause ）判别法、莱布尼兹（Leibniz ）判别法、阿贝尔（Abel ）判别法等，对数项级数敛散性判别法进行归纳，使之系统化.

关键词：正项级数；敛散性；判别法

1引言

设数项级数

121...++...

n

n n a

a a a ∞

+==+∑的n 项部分和为：

121

......n

n n i

i S a a a a ==++++=

∑.若n 项部分和数列为{n

S }收敛，即存在一个实数

S ，使lim n x S S →∞

=.则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情

况下，我们称S 为级数的和，可见无穷级数是否收敛，取决于lim n x S →∞

是否存在，

从而由数列的柯西（Cauchy ）收敛准则，可得到级数的柯西（Cauchy ）收敛准则[1]:

数项级数

1

n

n a

∞

=∑收敛⇔

0,,

,

N N n N p N ε+

+

∀>∃∈

∀>∀∈对，有

+1+2+

+...+

∑∞

=1

n n

u

收敛，则

u lim n n =∞

→.其

逆否命题为：若

lim n ≠∞

→，则级数∑∞

=1

n n

u

发散.

2 正项级数敛散性判别法

设数项级数

1

n

n a

∞

=∑为正项级数(

)

0n a ≥，则级数的n 项部分和数列{}n S

单调递

增，由数列的单调有界定理，有

定理2.1：正项级数n 1u n ∞

=∑收敛⇔它部分和数列{}n S 有上界.

证明：由于,...),

2,1(0u i

=>i 所以{n S }是递增数列.而单调数列收敛的充要条

件是该数列有界（单调有界定理），从而本定理得证 . 由定理2.1可推得 定理2.2（比较判别法）：

设两个正项级数n 1

u n ∞

=∑和n 1

n v ∞

=∑，且

,

n ,N N N ≥∀∈∃+

有n n cv u ≤，c 是正常数，

则

1）若级数n 1

n v ∞

=∑收敛，则级数n 1

u n ∞

=∑也收敛;

2）若级数n 1

u n ∞

=∑发散，则级数n 1

n v ∞

=∑也发散.

证明：由定理知，去掉，增添或改变级数n 1

u n ∞

=∑的有限项，，则不改变级数n

1

u n ∞

=∑的敛散性.因此，不妨设

,

+

∈∀N n 有

n

n cv u ≤，c 是正常.设级数n 1

n v ∞=∑与n 1

u n ∞

=∑的n

项部分和分部是n

B A 和n ，有上述不等式有，

n

n n n cB v v v c cv cv cv u A =+++=++≤+++=)...(......u u 212121n .

1)若级数n 1

n v ∞

=∑收敛，根据定理1，数列{n B }有上届，从而数列{n A }也有上届，

再根据定理1，级数n 1

u n ∞

=∑收敛;

2)若级数n 1

u n ∞

=∑发散，根据定理1，数列{n A }无上届，从而数列{n B }也无上届，

在根据定理1，级数n 1

u n ∞

=∑发散.

其极限形式：

定理2.2.1(比较判别法的极限形式)：

设n 1

u n ∞

=∑和n 1

n v ∞

=∑（n v 0≠）是两个正项级数且有lim =n x n

u

v λ→∞

，+∞≤≤λ0，

1）若级数n 1n v ∞

=∑

收敛，且+∞<≤λ0，则级数n

1u n ∞

=∑也收敛；

2）若级数n 1

n v ∞

=∑发散，且+∞≤<λ0，则级数n 1

u n ∞

=∑也发散.

证明:1）若级数

n

1

n v ∞

=∑收敛，且

+∞

<≤λ0，，由已知条件，

,

,,00N n N N ≥∀∈∃>∃+ε,有

u ελ<-n

n

v ，即

n

n v N )(u ,n 0ελ+<≥∀有，根据柯西

收敛准则推论的逆否命题，级数n 1

u n ∞

=∑收敛；

2)若级数n 1

n v ∞

=∑发散，且+∞≤<λ0，由已知条件，

,

u ,,,00n

n v N n N N <

-≥∀∈∃+∞<<∃+ελλε有：根据柯西收敛准则推论的逆否命题

知，则级数n 1

u n ∞=∑也发散.若级数n 1

n v ∞

=∑发散，且+∞=λ，有已知条件，

,

u ,,0M v N n N N M n

n >≥∀∈∃>∃+有

，即

,

u ,,0M v N n N N M n

n >≥∀∈∃>∃+有

，根

据’柯西收敛准则推论的逆否命题，则级数n 1

u n ∞

=∑也发散.

例1 判别级数∑

∞

=+1

)

1(1n n n 的敛散性.

分析: 考虑通项

)

1(1+n n ，分子n 的最高幂是0（只有常数1 ),分母n 的最高