导数经典专题最新整理版

导数在研究函数中的应用

知识点一、导数的几何意义

函数()y f x =在0x x =处导数()0f x '是曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的 ，即_______________;相应地，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线方程是

例1.(1)曲线x e x y +=sin 在点)1,0(处的切线方程为（ ）

A.033=+-y x

B.022=+-y x

C.012=+-y x

D.013=+-y x

（2）若曲线x x y ln =上点P 处的切线平行于直线012=+-y x ，则点P 的坐标是（ ）

A.),(e e

B.)2ln 2,2(

C.)0,1(

D.),0(e

【变式】

（1）曲线在点)1,0(处的切线方程为（ ）

A.13+=x y

B.12+=x y

C.13-=x y

D.12-=x y

（2）若曲线x ax y ln 2-=在点),1(a 处的切线平行于x 轴，则a 的值为（ ）

A.1

B.2

C.21

D.2

1- 知识点二、导数与函数的单调性

（1）如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内为 且该区间为函数)(x f 的单调_______区间；

(2)如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内为 ，且该区间为函数)(x f 的单调_______区间. 例1.（1）函数x e x x f )3()(2-=的单调递增区间为（ ）

A.)0,(-∞

B.),0(+∞

C.)1,3(-

D.),1()3,(+∞--∞和

（2）函数x x y ln 2

12-=的单调递减区间为（ ） A.(]1,1- B.(]1,0 C.[)+∞,1 D.),0(+∞ 例2.求下列函数的单调区间，并画出函数)(x f y =的大致图像.

（1）3)(x x f = （2）x x x f 3)(3+=

21x y xe x =++

(3)1331)(23+--=x x x x f （4）x x x x f 33

1)(23++-=

知识点三、导数与函数的极值

函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内,若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数)(x f '异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 ，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是 （熟练掌握求函数极值的步骤以及一些注意点）

例1.（1）求函数133

1)(23+--=x x x x f 的极值 （2）求函数x x x f ln 2)(2-=的极值

例2.（1）已知函数x x x f ln )(=，则下列关于)(x f 说法正确的是（ ）

A.有极大值，无极小值

B.有极小值，无极大值

C.既有极大值，又有极小值

D.既无极大值，有无极小值

（2）已知函数bx ax x f +=3)(在1=x 处有极值2-，则b a ,的值分别为（ ）

A.1,3-

B.1,3

C.1-,3

D.1-,3-

（3）函数2)()(m x x x f -=在1=x 处取得极小值，则m 的值为（ ）

A.1

B.3

C.31或

D.0

知识点四、导数与函数的最值

例1.（1）求函数133

1)(23+--=x x x x f 在]4,2[-的最大值和最小值 （2）求32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值和最小值

（3）求函数x x x f ln 2)(2-=的最小值

【思考】

（1）三次函数d cx bx ax x f +++=23)(的图像的特征有哪些？

（2）三次函数d cx bx ax x f +++=23)(在定义域R 是严格单调还是不单调由什么决定？

（3）三次函数d cx bx ax x f +++=23)(的图像与x 轴的交点个数（或函数的零点个数）由什么决定？

（4）函数有没有极值对其单调性有怎样的影响？

（5）函数的极值点个数与函数的最值有怎样的关系？

【注意】

（1）在区间),(b a 内)0)((0)(<'>'x f x f 是函数)(x f 在此区间上为增函数（减函数）的充分不必要条件.

（2）函数在),(b a 上是增函数的充要条件是对任意的),(b a x ∈，0)(≥'x f 恒成立

（3）函数在),(b a 上是减函数的充要条件是对任意的),(b a x ∈，0)(≤'x f 恒成立

（4）0)(0='x f 是可导函数()y f x =在点0x x =处有极值的必要不充分条件（即导数值为0的点0x 不一定是极值点，但极值点处的导函数值一定等于0） 知识点五、有关参数的取值范围问题

例1.（1）已知函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ） A.1(,)3+∞ B. 1(,)3-∞ C. 1[,)3

+∞ D. 1(,]3-∞ （2）若()()3261f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为（ ）

A.()1,2-

B.()3,2-

C.()(),12,-∞-+∞

D.()(),36,-∞-+∞

(3)若函数32()4f x x ax =-+在)2,0(内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）

A.(]3,0

B.(]1,0

C.[)+∞,3

D.),0(+∞

(4)若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）

A.(],2-∞-

B.(],1-∞-

C.[)2,+∞

D.[)1,+∞

例2.（1）函数13)(23+-=x ax x f ，若)(x f 存在唯一的零点0x ，且00>x ，则a 的范围是（ ）

A ．()+∞,2

B ．()+∞,1

C ．()2,-∞-

D ．()1,-∞-

（2）函数ax x y +=ln 有两个零点，则a 的取值范围（ ）

A ．()e ,1

B ．()+∞-,1

C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,1e

D ．⎪⎭

⎫ ⎝⎛e 1,0

【经典训练题】

1、设曲线2ax y =在点（1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ( )

A ．1

B ．12

C ．12

- D ．1-