导数经典题

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高中数学导数经典20题附解析

导数经典20题目录导数经典20题 (1)一、【不等式恒成立-单变量】5道 (3)二、【不等式恒成立-双变量】5道 (13)三、【不等式证明】5道 (23)四、【零点问题】5道 (32)一、【不等式恒成立-单变量】【第01题】（2017•广东模拟）已知()ln a f x x x=+．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若对任意0x >，均有()2ln ln x a x a −≤恒成立，求正数a 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为2ln ln 1a a ≤+，求出a 的范围即可．【解答】解：（1）（0x >）， ()221a x a f x x x x−′=−=（0x >），当0a ≤时，()0f x ′>，在()0,+∞上递增，无极值；当0a >时，0x a <<时，()0f x ′<，在()0,a 上递减，x a >时，()0f x ′>，()f x 在(),a +∞上递增，()()ln 1f x f a a ==+极小值，无极大值．（2）若对任意0x >，均有恒成立，即对任意0x >，均有2ln ln a a x x≤+恒成立，由（1）得：0a >时，()f x 的最小值是ln 1a +，故问题转化为：2ln ln 1a a ≤+，即ln 1a ≤，故0e a <≤．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查()ln a f x x x =+()f x ()f x ()2ln ln x a x a −≤转化思想，是一道中档题．一、【不等式恒成立-单变量】【第02题】（2019•西安一模）已知函数()()21e x f x x ax =−−（其中e 为自然对数的底数）．（1）判断函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（2）若对任意的0x >，()3e x f x x x +≥+，求a 的取值范围．【分析】（1）首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的极值点的个数即可；（2）将原问题转化为恒成立的问题，然后分类讨论确定实数a 的取值范围即可．【解答】解：（1）()()e 2e 2x xf x x ax x a ′=−=− ，当0a ≤时，()f x 在(),0−∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f x 有1个极值点；当102a <<时，()f x 在(),ln 2a −∞上单调递增，在()ln 2,0a 上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f a 有2个极值点；当12a =时，()f x 在R 上单调递增，此时函数没有极值点；当12a >时，()f x 在(),0−∞上单调递增，在()0,ln 2a 上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增，()f a 有2个极值点．综上，当12a =时，()f x 没有极值点；当0a ≤时，()f x 有1个极值点；当0a >且12a ≠时，()f x 有2个极值点．（2）由得32e 0x x x ax x −−−≥．当0x >时，2e 10x x ax −−−≥，即2e 1x x a x−−≤对0x ∀>恒成立．设()2e 1x x g x x−−=（0x >）， ()3e x f x x x +≥+则()()()21e 1x x x g x x −−−′=，设()e 1x h x x =−−，则()e 1x h x ′=−，由0x >可知()0h x ′>，()h x 在()0,+∞上单调递增，()()00h x h >=，即e 1x x >+，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()1e 2g x g ∴≥=−，e 2a ∴≤−，故a 的取值范围是(],e 2−∞−．【点评】本题主要考查导数研究函数的极值点，导数研究不等式恒成立的方法，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．【第03题】（2017春•太仆寺旗校级期末）已知函数()ln f x x a x =−，()1a g x x+=−（a ∈R ）．（1）若1a =，求函数()f x 的极小值；（2）设函数()()()h x f x g x =−，求函数()h x 的单调区间；（3）若在区间[]1,e 上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，求a 的取值范围．【分析】（1）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间进而求出函数()f x 的极值；（2）先求出函数()h x 的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间；（3）先把()()00f x g x <成立转化为()00h x <，即函数()1ln a h x x a x x +=+−在[]1,e 上的最小值小于零；再结合（2）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a 的取值范围．【解答】解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，当1a =时，()ln f x x x =−，()111x f x x x −′=−=， x ()0,11 ()1,+∞ ()'f x− 0 + ()f x减极小增所以()f x 在1x =处取得极小值1．（2）()1ln a h x x a x x +=+−， ()()()221111x x a a a h x x x x+−+ + ′=−−=， ①当10a +>时，即1a >−时，在()0,1a +上()0h x ′<，在()1,a ++∞上()0h x ′>，所以()h x 在()0,1a +上单调递减，在()1,a ++∞上单调递增；②当10a +≤，即1a ≤−时，在()0,+∞上()0h x ′>，所以，函数()h x 在()0,+∞上单调递增．（3）在区间[]1,e 上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，即在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00h x <，即函数在[]1,e 上的最小值小于零．由（2）可知，①当1e a +≥，即e 1a ≥−时，()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为()e h ，由()1e e 0ea h a +=+−<可得2e 1e 1a +>−，因为2e 1e 1+−e 1>−，所以2e 1e 1a +>−； ②当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在上单调递增，所以()h x 最小值为()1h ，由()1110h a =++<可得2a <−；③当11e a <+<，即0e 1a <<−时，可得()h x 最小值为()1h a +，因为()0ln 11a <+<，所以，()0ln 1a a a <+<，故()()12ln 12h a a a a +=+−+>，此时，()10h a +<不成立．综上可得，所求a 的范围是：或2a <−．【点评】本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．()1ln a h x x a x x+=+−[]1,e 2e 1e 1a +>−【第04题】（2019•蚌埠一模）已知函数()()2ln f x a x x x =−−．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≥恒成立，求a 的值．【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论x 的范围，问题转化为01x <<时，2ln x a x x ≤−，1x >时，2ln x a x x ≥−，令()g x =2ln x x x−，根据函数的最值求出a 的范围，取交集即可．【解答】解：（1）1a =时，()2ln f x x x x −−，（0x >）故()()()211121x x f x x x x+−′=−−=，令()0f x ′>，解得：1x >，令()0f x ′<，解得：01x <<，故()f x 在()0,1递减，在()1,+∞递增．（2）若()0f x ≥恒成立，即()2ln a x x x −≥，①()0,1x ∈时，20x x −<，问题转化为2ln x a x x ≤−（()0,1x ∈），1x >时，20x x −>，问题转化为2ln x a x x ≥−（1x >），令()g x =2ln x x x −，则()()()22121ln x x x g x x x −−−′=−，令()()121ln h x x x x =−−−，则()112ln h x x x ′=−+−，()2120x x xh ′=−−<′，故()h x ′在()0,1和()1,+∞内都递减，()0,1x ∈时，()()10h x h ′′>=，故()h x 在()0,1递增，()()10h x h <=，故()0,1x ∈时，()0g x ′<，()g x 在()0,1递减，而1x →时，()1g x →，故()0,1x ∈时，()1g x >，故1a ≤，()1,x ∈+∞时，()()10h x h ′′<=，故()h x 在()0,1递减，()()10h x h <=，故()1,x ∈+∞时，()0g x ′<，()g x 在()1,+∞递减，而1x →时，()1g x →，故()1,x ∈+∞时，()1g x >，故1a ≥，②1x =时，显然成立．综上：1a =．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．【第05题】（2019•南昌一模）已知函数()()e ln x f x x x a =−++（e 为自然对数的底数，a 为常数，且1a ≤）．（1）判断函数()f x 在区间()1,e 内是否存在极值点，并说明理由；（2）若当ln 2a =时，()f x k <（k ∈Z ）恒成立，求整数k 的最小值．【分析】（1）由题意结合导函数的符号考查函数是否存在极值点即可；（2）由题意结合导函数研究函数的单调性，据此讨论实数k 的最小值即可．【解答】解：（1）()1e ln 1x f x x x a x ′=−++−，令()1ln 1g x x x a x=−++−，()1,e x ∈，则()()'e x f x g x =， ()2210x x g x x −+′=−<恒成立，所以()g x 在()1,e 上单调递减，所以()()110g x g a <=−≤，所以()'0f x =在()1,e 内无解．所以函数()f x 在区间()1,e 内无极值点．（2）当ln 2a =时，()()e ln ln 2x f x x x =−++，定义域为()0,+∞，()1e ln ln 21x f x x x x ′=−++−，令()1ln ln 21h x x x x =−++−，由（1）知，()h x 在()0,+∞上单调递减，又11022h => ，()1ln 210h =−<，所以存在11,12x∈，使得()10h x =，且当()10,x x ∈时，()0h x >，即()'0f x >，当()1,x x ∈+∞时，()0h x <，即()'0f x <．所以()f x 在()10,x 上单调递增，在()1,x +∞上单调递减，所以()()()1111max e ln ln 2x f x f x x x ==−++．由()10h x =得1111ln ln 210x x x −++−=，即1111ln ln 21x x x −+=−，所以()1111e 1x f x x =−，11,12x∈ ，令()1e 1x r x x =− ，1,12x ∈ ，则()211e 10x r x x x′=−+> 恒成立，所以()r x 在1,12上单调递增，所以()()1102r r x r <<= ，所以()max 0f x <，又因为1211e ln 2ln 2122f=−−+=>−，所以()max 10f x −<<，所以若()f x k <（k ∈Z ）恒成立，则k 的最小值为0．【点评】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，导数的综合运用等知识，属于中等题．二、【不等式恒成立-双变量】【第06题】（2019•广元模拟）已知函数()()ln 11xf x a x x=−++（a ∈R ），()2e mx g x x =（m ∈R ）．（1）当1a =时，求函数()f x 的最大值；（2）若0a <，且对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()121f x g x +≥恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值即可；（2）令()()1x f x ϕ=+，根据函数的单调性分别求出()x ϕ的最小值和()g x 的最大值，得到关于m 的不等式，解出即可．【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为()1,−+∞，当1a =时，()()()2211111xf x xx x −′=−=+++，∴当()1,0x ∈−时，()'0f x >，函数()f x 在()1,0−上单调递增， ∴当()0,x ∈+∞时，()'0f x <，函数()f x 在()0,+∞上单调递减， ()()max 00f x f ∴==．（2）令()()1x f x ϕ=+，因为“对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()121f x g x +≥恒成立”，所以对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()min max x g x ϕ≥成立，由于()()211ax a x x ϕ−−+′=+，当0a <时，对[]0,2x ∀∈有()'0x ϕ>，从而函数()x ϕ在[]0,2上单调递增，所以()()min 01x ϕϕ==， ()()222e e 2e mx mx mx g x x x mmxx ′=+⋅=+，当0m =时，()2g x x =，x ∈[]0,2时，()()max 24g x g ==，显然不满足()max 1g x ≤，当0m ≠时，令()'0g x =得10x =，22x m=−， ①当22m−≥，即10m −≤≤时，在[]0,2上()0g x ′≥，所以()g x 在[]0,2上单调递增，所以()()2max 24e m g x g ==，只需24e 1m ≤，得ln 2m ≤−，所以1ln 2m −≤≤−． ②当202m <−<，即1m <−时，在20,m − 上()0g x ′≥，()g x 单调递增，在2,2m−−上()0g x ′<，()g x 单调递减，所以()22max 24eg x g m m== ，只需2241e m ≤，得2e m ≤−，所以1m <−． ③当20m−<，即0m >时，显然在[]0,2上()0g x ′≥，()g x 单调递增，所以()()2max 24e m g x g ==，24e 1m ≤不成立．综上所述，m 的取值范围是(],ln 2−∞−．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．【第07题】（2019•濮阳一模）已知函数()ln b f x a x x =+（0a ≠）．（1）当2b =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a b +=，0b >时，对任意1x ，21,e e x ∈，都有()()12e 2f x f x −≤−成立，求实数b 的取值范围．【分析】（1）通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）原问题等价于()()max min e 2f x f x −≤−成立，可得()()min 11f x f ==，可得()()max e e b f x f b ==−+，即e e 10b b −−+≤，设()e e 1b b b ϕ=−−+（0b >），可得()b ϕ在()0,+∞单调递增，且()10ϕ=，即可得不等式e e 10b b −−+≤的解集．【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．当2b =时，()2ln f x a x x =+，所以()22x a f x x+′=． ①当0a >时，()0f x ′>，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增．②当0a <时，令()0f x ′=，解得：x =当0x <<()0f x ′<，所以函数()f x 在上单调递减；当x >()0f x ′>，所以函数()f x 在+∞上单调递增．综上所述，当2b =，0a >时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当2b =，0a <时，函数()f x 在上单调递减，在 +∞上单调递增．（2）对任意1x ，21,e e x∈，有()()12e 2f x f x −≤−成立，()()max min e 2f x f x ≤∴−−成立，0a b += ，0b >时，()ln b f x b x x =−+．()()11bb b x b f x bx x x−−′=−+=．当01x <<时，()0f x ′<，当1x >时，()0f x ′>，()f x ∴在1,1e单调递减，在[]1,e 单调递增，()()min 11f x f ==，1e e bf b − =+ ，()e e b f b =−+，设()()1e e e 2e b b g b f f b −=−=−−（0b >），()e e 20b b g b −′=+−>． ()g b ∴在()0,+∞递增，()()00g b g ∴>=，()1e e f f ∴>．可得()max f x =()e e b f b =−+，e 1e 2b b ∴−+−≤−，即e e 10b b −−+≤，设()e e 1b b b ϕ=−−+（0b >），()e 10b b ϕ′−>在()0,b ∈+∞恒成立．()b ϕ∴在()0,+∞单调递增，且()10ϕ=，∴不等式e e 10b b −−+≤的解集为(]0,1． ∴实数b 的取值范围为(]0,1．【点评】本题考查了导数的应用，考查了转化思想、运算能力，属于压轴题．【第08题】（2019•衡阳一模）已知()32342f x x ax x −=+（x ∈R ），且()f x 在区间[]1,1−上是增函数．（1）求实数a 的值组成的集合A ；（2）设函数()f x 的两个极值点为1x 、2x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式21213m tm x x ++≥−对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由()f x 在区间[]1,1−上是增函数．可得()24220f x ax x ′=+−≥在区间[]1,1−上恒成立．可得()10f ′−≥，()10f ′≥，即可得出．（2）函数()f x 的两个极值点为1x 、2x ，可得12x x a +=，122x x =−．()()1212121212322x x x x x x x x x x −−++≤−++==a A ∈，设()h a =[]1,1a ∈−，则()h a 是偶函数，且在[]0,1上单调递增，进而得出其最大值为7．()21213g t m tm x x ++≥−=对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立，可得()()1717g g −≥ ≥，解得m 范围即可得出．【解答】解：（1） ()f x 在区间[]1,1−上是增函数， ∴()24220f x ax x ′=+−≥在区间[]1,1−上恒成立．()14220f a ∴′−=−−≥，()14220f a ′=+−≥，解得11a −≤≤． []1,1A ∴=−．（2）函数()f x 的两个极值点为1x 、2x ， ∴12x x a +=，122x x =−．∴()()1212121212322x x x x x x x x x x −−++≤−++==a A ∈ ，设()h a =[]1,1a ∈−，则()h a 是偶函数，且在[]0,1上单调递增．123x x ∴−的最大值为()17h =．设()2211g t m tm mt m ++=++=，[]1,1t ∈−，()123g t x x ≥−对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立，则()()1717g g −≥≥ ，解得3m ≤−或3m ≥． ∴存在实数3m ≤−或3m ≥，使得不等式21213m tm x x ++≥−对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【第09题】（2018•呼和浩特一模）已知函数()ln f x x =，()212g x x bx =−（b 为常数）．（1）当4b =时，讨论函数()()()h x f x g x =+的单调性；（2）2b ≥时，如果对于1x ∀，(]21,2x ∈，且12x x ≠，都有()()()()1212f x f x g x g x −<−成立，求实数b 的取值范围．【分析】（1）先求导，再根据导数和函数的单调性关系即可求出，（2）令()()()x f x g x ϕ=+，则问题等价于函数()x ϕ在区间(]1,2（1，2]上单调递减，即等价于()10x x b xϕ′=+−≤在区间(]1,2上恒成立，所以得1b x x ≥+，求出即可．【解答】解：（1）()21ln 2h x x x bx =+−的定义域为()0,+∞，当4b =时，()21ln 42h x x x x =+−，()2141'4x x h x x x x−+=+−=，令()'0h x =，解得12x =−，22x =+(2x ∈时，()0h x ′<，当(0,2x ∈或()2+∞时，()0h x ′>，所以，()h x 在(0,2和()2+∞单调递增；在(2单调递减．（2）因为()ln f x x =在区间(]1,2上单调递增，当2b ≥时，()212g x x bx =−在区间(]1,2上单调递减，不妨设12x x >，则()()()()1212f x f x g x g x −<−等价于()()()()1122f x g x f x g x +<+，令()()()x f x g x ϕ=+，则问题等价于函数()x ϕ在区间(]1,2上单调递减，即等价于()10x x b xϕ′=+−≤在区间(]1,2上恒成立，所以得1b x x≥+在区间(]1,2上恒成立，因为1y x x=+在(]1,2上单调递增，所以max 15222y =+=，所以得5b≥．2【点评】本题考查了导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的最值，理解等价转化思想的运用，属于中档题．【第10题】（2018•邕宁区校级模拟）设函数()e xa f x x x=−，a ∈R 且0a ≠，e 为自然对数的底数．（1）求函数()f x y x=的单调区间；（2）若1ea =，当120x x <<时，不等式()()()211212m x x f x f x x x −−>恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）求出函数y 的导数y ′，利用导数判断函数y 的单调性与单调区间；（2）120x x <<时，()()()211212m x x f x f x x x −−>等价于()()1212m mf x f x x x −>−；构造函数()()mg x f x x=−，由()g x 在()0,+∞上为减函数，得出()0g x ′≤，再利用构造函数求最值法求出m 的取值范围．【解答】解：（1）函数()2e 1xf x a y x x==−， ()243e 2e 2e xx x a x a x x a y x x −⋅−⋅∴′==， ①当0a >时，由0y ′>得02x <<，由0y ′<得0x <或2x >； ②当0a <时，由0y ′>得0x <或2x >，由0y ′<得02x <<．综上：①当0a >时，函数()f x y x=的增区间为()0,2，减区间为(),0−∞，()2,+∞； ②当0a <时，函数()f x y x=的增区间为(),0−∞，()2,+∞，减区间为()0,2．（2）当120x x <<时，()()()211212m x x f x f x x x −−>等价于()()1212m mf x f x x x −>−，即函数())e (e x m mg x f x x x x x=−=−−在()0,+∞上为减函数，则()()()1212221e 1e 10x x x x x m m g x x x x−−−−−+′=−+=≤， ()121e x m x x −∴≤−−；令()()121e x h x x x −=−−，则()()11 e 2e 2x x h x x xx −−′=−=−，由()0h x ′=得ln 2e x =；当()0,ln 2e x ∈时，()0h x ′<，()h x 为减函数；当()ln 2e,+x ∈∞时，()0h x ′>，()h x 为增函数．()h x ∴的最小值为()()()()22ln 2e 12ln 2e ln 2e 1e ln 2e 2ln 2ln 21ln 21h −=−−=−+=−−； 2ln 21m ∴≤−−，m ∴的取值范围是(22,ln 1 −−∞− ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，也考查了不等式恒成立问题，是综合题．三、【不等式证明】【第11题】（2018新课标Ｉ）已知函数()e ln 1x f x a x =−−．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．【分析】（1）推导出0x >，()1e x f x a x ′=−，由2x =是()f x 的极值点，解得212ea =，从而()21e ln 12exf x x =−−，进而()211e 2e x f x x ′=−，由此能求出()f x 的单调区间．（2）当1e a ≥时，()e ln 1e xf x x ≥−−，设()e ln 1e xg x x =−−，则()e 1e x g x x ′=−，由此利用导数性质能证明当1ea ≥时，()0f x ≥．【解答】解：（1）∵函数()e ln 1x f x a x =−−． ∴0x >，()1e xf x a x′=−， ∵2x =是()f x 的极值点，∴()212e 02f a ′=−=，解得212ea =，∴()21e ln 12exf x x =−−，∴()211e 2e x f x x ′=−，当02x <<时，()0f x ′<，当2x >时，()0f x ′>， ∴()f x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增．（2）证明：当1e a ≥时，()e ln 1e xf x x ≥−−，设()e ln 1e x g x x =−−，则()e 1e x g x x ′=−，由()e 10e x g x x ′=−=，得1x =，当01x <<时，()0g x ′<，当1x >时，()0g x ′>， ∴1x =是()g x 的最小值点，故当0x >时，()()10g x g ≥=， ∴当1ea ≥时，()0f x ≥．【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．【第12题】（2018新课标Ⅲ）已知函数()21e xax x f x +−=．（1）求曲线()y f x =在点()0,1−处的切线方程；（2）证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥．【分析】（1）()()()()2221e 1e e x xx ax ax x f x +−+−′=由()02f ′=，可得切线斜率2k =，即可得到切线方程．（2）可得()()()()()()2221e 1e 12ee x xxx ax ax x ax x f x +−+−+−′==−．可得()f x 在1,a−∞−，()2,+∞递减，在1,2a−递增，注意到1a ≥时，函数()21g x ax x =+−在()2,+∞单调递增，且()2410g a =+>．只需()min e f x ≥−，即可．【解答】解：（1）()()()()()()2221e 1e 12e e x xxx ax ax x ax x f x +−+−+−′==−．∴()02f ′=，即曲线()y f x =在点()01−，处的切线斜率2k =， ∴曲线()y f x =在点()01−，处的切线方程方程为()12y x −−=．即210x y −−=为所求．（2）证明：函数()f x 的定义域为：R ，可得()()()()()()2221e 1e 12e e x xxx ax ax x ax x f x +−+−+−′==−．令()0f x ′=，可得12x =，210x a=−<，当1,x a∈−∞−时，()0f x ′<，当1,2x a ∈− 时，()0f x ′>，当()2,x ∈+∞时，()0f x ′<．∴()f x 在1,a−∞−，()2,+∞递减，在1,2a − 递增，注意到1a ≥时，函数()21g x ax x =+−在()2,+∞单调递增，且()2410g a =+>．函数()f x 的图象如下：∵1a ≥，∴(]10,1a∈，则11e e a f a−=−≥−， ∴()1min e e af x =−≥−， ∴当1a ≥时，()e 0f x +≥．【点评】本题考查了导数的几何意义，及利用导数求单调性、最值，考查了数形结合思想，属于中档题．【第13题】（2016新课标Ⅲ）设函数()ln 1f x x x =−+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明当()1,x ∈+∞时，11ln x x x−<<；（3）设1c >，证明当()0,1x ∈时，()11x c x c +−>．【分析】（1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；（2）由题意可得即证ln 1ln x x x x <−<．运用（1）的单调性可得ln 1x x <−，设()ln 1F x x x x =−+，1x >，求出单调性，即可得到1ln x x x −<成立；（3）设()()11x G x c x c =+−−，求()G x 的二次导数，判断()G x ′的单调性，进而证明原不等式．【解答】解：（1）函数()ln 1f x x x =−+的导数为()11f x x′=−，由()0f x ′>，可得01x <<；由()0f x ′<，可得1x >．即有()f x 的增区间为()0,1；减区间为()1,+∞；（2）证明：当()1,x ∈+∞时，11ln x x x−<<，即为ln 1ln x x x x <−<．由（1）可得()ln 1f x x x =−+在()1,+∞递减，可得()()10f x f <=，即有ln 1x x <−；设()ln 1F x x x x =−+，1x >，()1ln 1ln F x x x ′=+−=，当1x >时，()0F x ′>，可得()F x 递增，即有()()10F x F >=，即有ln 1x x x >−，则原不等式成立；（3）证明：设()()11x G x c x c =+−−，则需要证明：当()0,1x ∈时，()0G x >（1c >）；()1ln x G x c c c ′=−−，()()2ln 0x G x c c ′′=−<，∴()G x ′在()0,1单调递减，而()01ln G c c ′=−−，()11ln G c c c ′=−−，由（1）中()f x 的单调性，可得()01ln 0G c c ′=−−>，由（2）可得()()11ln 1ln 10G c c c c c ′=−−=−−<，∴()0,1t ∃∈，使得0G t ′=（），即()0,x t ∈时，()0G x ′>，(),1x t ∈时，()0G x ′<；即()G x 在()0,t 递增，在(),1t 递减；又因为：()()010G G ==，∴()0,1x ∈时()0G x >成立，不等式得证；即1c >，当()0,1x ∈时，()11x c x c +−>．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．【第14题】（2015新课标Ｉ）设函数()2e ln x f x a x =−．（1）讨论()f x 的导函数()f x ′零点的个数；（2）证明：当0a >时，()22lnf x a a a≥+．【分析】（1）先求导，在分类讨论，当0a ≤时，当0a >时，根据零点存在定理，即可求出；（2）设导函数()f x ′在()0,+∞上的唯一零点为0x ，根据函数()f x 的单调性得到函数的最小值()0f x ，只要最小值大于22ln a a a+，问题得以证明．【解答】解：（1）()2e ln x f x a x =−的定义域为()0,+∞， ∴()22e x xx af =′−．当0a ≤时，()0f x ′>恒成立，故()f x ′没有零点，当0a >时，∵2e x y =为单调递增，ay x=−单调递增， ∴()f x ′在()0,+∞单调递增，又()0f a ′>，假设存在b 满足0ln2a b <<时，且14b <，()0f b ′<，故当0a >时，导函数()f x ′存在唯一的零点；（2）由（1）知，可设导函数()f x ′在()0,+∞上的唯一零点为0x ，当()00,x x ∈时，()0f x ′<，当()0,x x ∈+∞时，()0f x ′>，故f(x)在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增，所欲当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为()0f x ，由于0202e 0x ax −=，所以()002a f x x =+02ax +2ln a a ≥2a +2ln a a．故当0a >时，()22lnf x a a a≥+．【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系和最值的关系，以及函数的零点存在定理，属于中档题．【第15题】（2015安徽）设n ∗∈N ，n x 是曲线221n y x +=+在点()1,2处的切线与x 轴交点的横坐标．（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）记2221321n n T x x x −= ，证明：14n T n≥．【分析】（1）利用导数求切线方程求得切线直线并求得横坐标；（2）利用放缩法缩小式子的值从而达到所需要的式子成立．【解答】解：（1）2221'1'22n n y x n x ++=+=+（）（），曲线221n y x +=+在点()1,2处的切线斜率为22n +，从而切线方程为()()2221y n x −=+−．令0y =，解得切线与x 轴的交点的横坐标为1111n n x n n =−=++；（2）证明：由题设和（1）中的计算结果可知：22213222211321242n n n n T x x x−− = =，当1n =时，114T =，当2n ≥时，因为()()()()2222212221211212212222n n n n n n n n n n n x −−−−−−−=>=== ，所以2112112234n T n n n − >××××= ；综上所述，可得对任意的n ∗∈N ，均有14n T n≥．【点评】本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型．四、【零点问题】【第16题】（2018秋•龙岩期末）已知函数()()2ln 12f x x ax a x a =−−−+（a ∈R ）．（1）讨论()f x 的单调性；（2）令函数()()()()22e 1ln 1x g x f x x a x −=+−+−−，若函数()g x 有且只有一个零点0x ，试判断0x 与3的大小，并说明理由．【分析】（1）由()222211a x x a f x x a x x +− ′−−−−（1x >），分212a +≤和212a +>两类分析函数的单调性；（2）函数()()()()()222e 1ln 1e ln 12x x g x f x x a x ax x a −−=+−+−−=−−−+，求其导函数，可得()21e 1x g x a x −′=−−−，令()()h x g x ′=，对()h x 求导，分析可得()g x ′在()1,+∞上有唯一零点1x ，结合已知可得01x x =，则()()0000g x g x ′ = = ，由此可得()()0200013e ln 1101x x x x −−−−+−=−，令()()()213e ln 111x t x x x x −−−−+−−（1x >）．再利用导数判断其单调性，结合函数零点的判定可得03x <．【解答】解：（1）()222211a x x a f x x a x x +− ′−−−−（1x >），当212a +≤，即0a ≤时，()0f x ′>在()1,+∞上恒成立，()f x 在()1,+∞上单调递增；当212a +>，即0a >时，若21,2a x + ∈ ，则()0f x ′<，若2,2a x + ∈+∞，则()0f x ′>， ∴()f x 在21,2a + 上单调递减，在2,2a ++∞上单调递增；（2）函数()()()()()222e 1ln 1e ln 12x x g x f x x a x ax x a −−=+−+−−=−−−+．则()21e 1x g x a x −′=−−−，易知()g x ′在()1,+∞上单调递增，当1x >且1x →时，()g x ′→−∞，x →+∞，()g x ′→+∞， ∴()g x ′在()1,+∞上有唯一零点1x ，当()11,x x ∈时，()0g x ′<，当()1,x x ∈+∞时，()0g x ′>． ∴()()1min g x g x =，由已知函数()g x 有且只有一个零点0x ，则01x x =． ∴()()0000g x g x ′ = = ，即()0022001e 01e ln 120x x a x ax x a −− −−= − −−−+=，消a 得，()000222000011e ln 1e 2e 011x x x x x x x −−−−−−−+−= −−， ()()0200013e ln 1101x x x x −−−−+−=−，令()()()213e ln 111x t x x x x −−−−+−−（1x >）．则()()()2212e 1x t x x x −′=−+−． ∴()1,2x ∈时，()0t x ′>，()2,x ∈+∞时，()0t x ′<． ∴()t x 在()2,+∞上单调递减． ∵()210t =>，()13ln 202t =−+<， ∴()t x 在()2,3上有一个零点，在()3,+∞上无零点．若()t x 在()1,2上有一个零点，则该零点必小于3．综上，03x <．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【第17题】（2019•大庆二模）已知函数()22ln f x x a x =−（a ∈R ）．（1）当12a =时，点M 在函数()y f x =的图象上运动，直线2y x =−与函数()y f x =的图象不相交，求点M 到直线2y x =−距离的最小值；（2）讨论函数()f x 零点的个数，并说明理由．【分析】（1）首先写出函数的定义域，对函数求导，分析在什么情况下满足距离最小，构造等量关系式，求解，得到对应的点的坐标，之后应用点到直线的距离公式进行求解即可；（2）对函数求导，分情况讨论函数的单调性，依次得出函数零点的个数．【解答】解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞， 12a =时，()2ln f x x x =−，()12f x x x ′=−，令()1f x ′=，解得：1x =或12x =−，又()11f =，故图像上的点到直线20x y −−=的距离的最小值即为点()1,1M 到直线20x y −−=的距离，其距离d（2）由()0f x =，得22ln x a x =（0x >且1x ≠），设()2ln x g x x=（0x >且1x ≠），2y a =，问题转化为讨论()y g x =的图象和2y a =的图象的交点个数问题， ()()22ln 1ln x x g x x−′=，（0x >且1x ≠），令()0g x ′=，解得x ，当01x <<或1x <<时，()0g x ′<，当x 时，()0g x ′>，故()g x 在()0,1，(递减，在)+∞递增，故()2e g x g =极小值，又01x <<时，()0g x <，当1x >时，()0g x >，故当20a <或22e a =即0a <或e a =时，直线2y a =与函数()y g x =的图象有1个交点，当22e a >即e a >时，有2个交点，当0e a ≤<时没有交点，故函数()f x 当0a <或e a =时1个零点，当0a <或e a =时2个零点，0e a ≤<时没有零点．【点评】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有图象上的点到直线的距离的最小值的求解，导数的几何意义，应用导数研究函数的零点的问题，注意对分类讨论思想的应用，要做到不重不漏，属于较难题目．【第18题】（2018秋•周口期末）已知函数()22ln f x ax x =−（a ∈R ）．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当21e a =时，若函数()y f x =的两个零点分别为1x ，2x （12x x <），证明：()12ln ln 21x x +>+．【分析】（1）求函数的定义域和函数的导数，分0a ≤和0a >分类讨论函数的单调性即可；（2）欲证()12ln ln 21x x +>+，只需证122e x x +>，即证122e x x >−，只需证()()212e 0f x f x −>=，将()22e f x −表示出来化简整理并构造函数()()442ln 2ln 2e 1etg t t =−+−−，由函数()g t 的单调性即可证明．【解答】解：（1）易知()f x 的定义域是()0,+∞，()()22122ax f x ax x x−′=−=，当0a ≤时，()0f x ′<，()f x 在()0,+∞递减，当0a >时，令()0f x ′>，解得x >，故()f x 在递减，在 +∞递增；（2）证明：当21ea =时，()222ln e x f x x =−，由（1）知()()min e 1f x f ==−，且()10,e x ∈，()2e,x ∈+∞，又由()2e 22ln 20f =−>知22e x <，即()2e,2e x ∈，故()22e 0,e x −∈，由()222222ln 0e x f x x =−=，得22222e ln x x =，故()()()()222222222e 42e 2ln 2e 42ln 2ln 2e eex x f x x x x −−=−−=−+−−，()2e,2e x ∈，令()()442ln 2ln 2e etg t t t =−+−−，()e,2e t ∈，则()()()24e 0e 2e t g t t t −′=>−，故()g t 在()e,2e 递增，故()()e 0g t g >=，即()()212e 0f x f x −>=，又()f x 在()0,e 上单调递减，故212e x x −<，即()12ln ln 21x x +>+．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想考查不等式的证明，是一道综合题．（2018秋•咸阳期末）已知函数()221ln 2f x x a x =−（0a >）．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在[]1,e 上没有零点，求a 的取值范围．【分析】（1）求出()f x ′，解不等式()0f x ′>，()0f x ′<，即可求出()f x 的单调区间；（2）用导数求出函数()f x 在区间[]1,e 上没有零点，只需在[]1,e 上()min 0f x >或()max 0f x <，分类讨论，根据导数和函数的最值得关系即可求出．【解答】解：（1）()222a x a f x x x x −′=−=（0x >），令()0f x ′>，解得x a >；令()0f x ′<，解得0x a <<， ∴函数()f x 的单调增区间为(),a +∞，单调减区间为()0,a ．（2）要使()f x 在[]1,e 上没有零点，只需在[]1,e 上()min 0f x >或()max 0f x <，又()1102f =>，只需在区间[]1,e 上，()min 0f x >． ①当e a ≥时，()f x 在区间[]1,e 上单调递减，则()()22min 1e e 02f x f a ==−>，解得0a <<与e a ≥矛盾． ②当1e a <<时，()f x 在区间[)1,a 上单调递减，在区间(],e a 上单调递增， ()()()2min 112ln 02f x f a a a ==−>，解得0a <1a <③当01a <≤时，()f x 在区间[]1,e 上单调递增，()()min 10f x f =>，满足题意，综上所述，实数a 的取值范围是：0a <<【点评】本题是导数在函数中的综合运用，考查运用导数求单调区间，求极值，求最值，考查分类讨论的思想方法，同时应注意在闭区间内只有一个极值，则一定为最值的结论的运用．（2018秋•芜湖期末）已知函数()2ln 1f x x a x =−−（a ∈R ）．（1）求()f x 的极值点；（2）若函数()f x 在区间()0,1内无零点，求a 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而确定是否存在零点，进而判断a 的范围．【解答】解：（1）()222a x a f x x x x −′=−=（0x >），当0a ≤时，()0f x ′>，()f x 在()0,+∞递增，当0a >时，令()0f x ′>，解得x >，故()f x 在递减，在 +∞ 递增，故x =是极小值点，无极大值点；（2）()22x af x x −′=（01x <<）， ∵01x <<，∴2022x <<，当0a ≤时，()0f x ′>，()f x 在()0,1递增，故()()10f x f <=，函数无零点，符合题意；当2a ≥时，()0f x ′<，()f x 在()0,1递减，故()()10f x f >=，函数无零点，符合题意；当02a <<时，存在()00,1x =，使得()00f x ′=，故()f x 在递减，在递增，又10e1a−<<，1e 0a f −> ，()10f f <=，故()f x 在()0,1有零点，不合题意；综上，若函数()f x 在区间()0,1内无零点，则2a ≥或0a ≤．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。

导数的计算练习题及答案

导数的计算练习题及答案1. 计算函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)。

解答：根据函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2，使用导数的定义来计算导数f'(x)。

f'(x) = lim(delta x -> 0) (f(x + delta x) - f(x)) / delta x代入函数f(x)的表达式：f'(x) = lim(delta x -> 0) [(3(x + delta x)^2 - 4(x + delta x) + 2) -(3x^2 - 4x + 2)] / delta x化简并展开：f'(x) = lim(delta x -> 0) [3(x^2 + 2x * delta x + (delta x)^2) - 4x - 4 * delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [3x^2 + 6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4x - 4* delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4 * delta x] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x + 3 * delta x - 4]由于求导数时delta x趋近于0，所以delta x也可以看作一个无穷小量，其平方项可以忽略不计，即delta x^2 = 0。

化简结果：f'(x) = 6x - 4所以函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)为6x - 4。

2. 计算函数g(x) = 2sin(x) + 3cos(x)的导数g'(x)。

导数复习题(含答案)

所以函数在上是增函数，
因为，所以，即，
所以化为，
当时，不等式等价于，即，解得；
当时，不等式等价于，即，解得；
综上，不等式的解集为 .
点睛：本题考查了与函数有关的不等式的求解问题，其中解答中涉及到利用条件构造新函数和利用导数研究函数的单调性，以及根据单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，解答中一定要注意函数值为零是自变量的取值，这是题目的一个易错点，试题综合性强，属于中档试题.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，令
，选A.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
故答案为B。
11．已知函数有两个零点，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数的定义域为，因为，当时，，则函数在上单调递增，不满足条件；当时，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以为极小值点，要使有两个零点，即要，即，则的取值范围是，故选D.
6．函数的图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数，则，所以函数为奇函数，
图象关于原点对称，
又时，，
所以当时，单调递增，当时，单调递减，
综上，函数的图象大致为选项A，故选A.
7．已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，设则不等式的解集为（）

导数练习题及答案

导数练习题及答案一、选择题1．函数在某一点的导数是( )A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案] C[解析] 由定义，f′(x0)是当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数，故应选C.2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( )A．6 B．18C．54 D．81[答案] B[解析] ∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－332＝18Δt＋3(Δt)2∴ΔsΔt＝18＋3Δt.当Δt→0时，ΔsΔt→18，故应选B.3．y＝x2在x＝1处的导数为( )A．2x B．2C．2＋Δx D．1[答案] B[解析] ∵f(x)＝x2，x＝1，∴Δy＝f(1＋Δx)2－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2∴ΔyΔx＝2＋Δx当Δx→0时，ΔyΔx→2∴f′(1)＝2，故应选B.4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t＝5时的瞬时速度为( ) A．37 B．38C．39 D．40[答案] D[解析] ∵ΔsΔt＝4(5＋Δt)2－3－4×52＋3Δt＝40＋4Δt，∴s′(5)＝limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 (40＋4Δt)＝40.故应选D.5．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是( )A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函数值的增量B.ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx叫做函数在x0到x0＋Δx之间的平均变化率C．f(x)在x0处的导数记为y′D．f(x)在x0处的导数记为f′(x0)[答案] C[解析] 由导数的定义可知C错误．故应选C.6．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为y′|x＝x0，即( ) A．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)B．f′(x0)＝limΔx→0[f(x0＋Δx)－f(x0)]C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)ΔxD．f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx[答案] D[解析] 由导数的定义知D正确．故应选D.7．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)在x＝2时的瞬时变化率等于( )A．4a B．2a＋bC．b D．4a＋b[答案] D[解析] ∵ΔyΔx＝a(2＋Δx)2＋b(2＋Δx)＋c－4a－2b－cΔx ＝4a＋b＋aΔx，∴y′|x＝2＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 (4a＋b＋aΔx)＝4a＋b.故应选D.8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )A．圆 B．抛物线C．椭圆 D．直线[答案] D[解析] 当f(x)＝b时，f′(x)＝0，所以f(x)的.图象为一条直线，故应选D.9．一物体作直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度为( )A．0 B．3C．－2 D．3－2t[答案] B[解析] ∵ΔsΔt＝3(0＋Δt)－(0＋Δt)2Δt＝3－Δt，∴s′(0)＝limΔt→0 ΔsΔt＝3.故应选B.10．设f(x)＝1x，则limx→a f(x)－f(a)x－a等于( )A．－1a B.2aC．－1a2 D.1a2[答案] C[解析] limx→a f(x)－f(a)x－a＝limx→a 1x－1ax－a＝limx→a a－x(x－a)xa＝－limx→a 1ax＝－1a2.二、填空题11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝________；limx→x0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝________.[答案] －11，－112[解析] limΔx→0 f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝－limΔx→0 f(x0－Δx)－f(x0)－Δx＝－f′(x0)＝－11；limx→x0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝－12limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝－12f′(x0)＝－112.12．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是________．[答案] 0[解析] ∵Δy＝1＋Δx＋11＋Δx－1＋11＝Δx－1＋1Δx＋1＝(Δx)2Δx＋1，∴ΔyΔx＝ΔxΔx＋1.∴y′|x＝1＝limΔx→0 ΔxΔx＋1＝0.13．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(2)＝2，则a等于______．[答案] 2[解析] ∵ΔyΔx＝a(2＋Δx)＋4－2a－4Δx＝a，∴f′(1)＝limΔx→0 ΔyΔx＝a.∴a＝2.14．已知f′(x0)＝limx→x0 f(x)－f(x0)x－x0，f(3)＝2，f′(3)＝－2，则limx→3 2x－3f(x)x－3的值是________．[答案] 8[解析] limx→3 2x－3f(x)x－3＝limx→3 2x－3f(x)＋3f(3)－3f(3)x－3＝limx→3 2x－3f(3)x－3＋limx→3 3(f(3)－f(x))x－3.由于f(3)＝2，上式可化为limx→3 2(x－3)x－3－3limx→3 f(x)－f(3)x－3＝2－3×(－2)＝8.三、解答题15．设f(x)＝x2，求f′(x0)，f′(－1)，f′(2)．[解析] 由导数定义有f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0 (x0＋Δx)2－x20Δx＝limΔx→0 Δx(2x0＋Δx)Δx＝2x0，16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．[解析] 位移公式为s＝12at2∵Δs＝12a(t0＋Δt)2－12at20＝at0Δt＋12a(Δt)2∴ΔsΔt＝at0＋12aΔt，∴limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 at0＋12aΔt＝at0，已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，∴at0＝800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.17．在曲线y＝f(x)＝x2＋3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求(1)ΔyΔx (2)f′(1)．[解析] (1)ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(1＋Δx)2＋3－12－3Δx＝2＋Δx.(2)f′(1)＝limΔx→0 f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0 (2＋Δx)＝2.18．函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由．[解析] f(x)＝x＋x2 (x≥0)－x－x2 (x<0)Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝f(Δx)＝Δx＋(Δx)2 (Δx>0)－Δx－(Δx)2 (Δx<0)∴limx→0＋ΔyΔx＝limΔx→0＋ (1＋Δx)＝1，limΔx→0－ΔyΔx＝limΔx→0－ (－1－Δx)＝－1，∵limΔx→0－ΔyΔx≠limΔx→0＋ΔyΔx，∴Δx→0时，ΔyΔx无极限．∴函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处没有导数，即不可导．(x →0＋表示x从大于0的一边无限趋近于0，即x＞0且x趋近于0)。

导数练习题含答案完整版

导数练习题含答案HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】导数练习题班级姓名一、选择题1．当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的变化量D．在区间[x0，x1]上的导数2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )A．0.40 B．0.41 C．0.43D．0.443．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率ΔyΔx等于( )A．4 B．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2D．4x4．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )A． 6 B．18C．54D．815．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝32处的瞬时变化率是( )A．3 B．－3C． 2D．－26．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直7．曲线y＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为( )A．y＝x－2 B．y＝xC．y＝x＋ 2D．y＝－x－28．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为( )A．4 B．16 C．8D．29．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A．(0,0) B．(2,4)C．(14，116)D．(12，14)10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝ 1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－ 1D．a＝－1，b＝－111．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝( )A．0 B．2xC． 6D．912．已知函数f(x)＝1x，则f′(－3)＝( )A． 4 B.19C ．－14D ．－1913．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x x ＋3?2B.x 2＋6x x ＋3C.－2xx ＋3?2D.3x 2＋6x x ＋3?2 14．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．215．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，17．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( )A ．a ≥13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤18．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，1)C ．(12，＋∞)D ．(1，19．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取极值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 20．设x 0为可导函数f (x )的极值点，则下列说法正确的是( )A ．必有f ′(x 0)＝B ．f ′(x 0)不存在C ．f ′(x 0)＝0或f ′(x 0)不存在D ．f ′(x 0)存在但可能不为022．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3C ．4D ．523．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个24．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( )A ．2B ．2，－ 1C ．－1D ．－325．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A ．f (2)，f (3) B ．f (3)，f (5)C ．f (2)，f (5)D ．f (5)，f (3)26．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．427．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )A ．－10B．－71C ．－15D ．－22 28．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y (单元：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件29．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒运动的距离为s ＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A ．1秒末B ．0秒C ．4秒末D ．0,1,4秒末二、填空题1．设函数y ＝f (x )＝ax 2＋2x ，若f ′(1)＝4，则a ＝________.2．若曲线y ＝2x 2－4x ＋a 与直线y ＝1相切，则a ＝________.3．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________.4．令f (x )＝x 2·e x ，则f ′(x )等于________．5．函数y ＝x 2＋4x 在x ＝x 0处的切线斜率为2，则x 0＝________. 6．若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________.7．一物体的运动方程是s (t )＝1t，当t ＝3时的瞬时速度为________．8．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12，则a ＝________，b ＝________.9．y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为________．10．函数y ＝x e x 的最小值为________．11．做一个容积为256 dm 3的方底无盖水箱，它的高为______dm 时最省料．12．有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2.三、解答题1．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋x cos x； (2)y＝x1＋x；(3)y＝lg x－e x.2．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x ＋10，求：(1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程．3．求下列函数的单调区间：(1)y＝x－ln x；(2)y＝12x .4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x＝－1时，取得极大值7；当x＝3时，取得极小值，求这个极小值及a、b、c的值．5．已知函数f(x)＝13x3－4x＋4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．导数练习题答案班级姓名一、选择题1．当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的变化量D．在区间[x0，x1]上的导数答案：A2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44解析：选 B.Δy＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.3．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率ΔyΔx等于( )A． 4B．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2D．4x解析：选B.因为Δy＝[2(1＋Δx)2－1]－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，所以ΔyΔx＝4＋2Δx，故选B.4．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )A． 6B．18C．54D．81解析：选B.ΔsΔt＝3?3＋Δt2－3×32Δt，s′＝li mΔt→0ΔsΔt＝li mΔt→0(18＋3Δt)＝18，故选B.5．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝32处的瞬时变化率是( )A． 3B．－3C． 2D．－2解析：选B.6．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直解析：选 B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．7．曲线y＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为( )A．y＝x－ 2B．y＝xC．y＝x＋ 2D．y＝－x－2解析：选 A.f′(1)＝li mΔx→0－11＋Δx＋11Δx＝li mΔx→011＋Δx＝1，则在(1，－1)处的切线方程为y＋1＝x－1，即y＝x－2.8．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A 处的切线斜率为( )A． 4B．16C．8D．2解析：选C.9．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A．(0,0)B．(2,4)C．(14，116)D．(12，14)故选D.10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝ 1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a＝1，b＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1 解析：选A.11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( )A ．0B ．2xC ．6D ．9解析：选 C.∵f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6.12．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－3)＝( )A ．4B.19C ．－14D ．－19解析：选 D.∵f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(－3)＝－19.13．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x x ＋3?2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x x ＋3?2D.3x 2＋6x x ＋3?2解析：选A14．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( ) A ．0B ．－1C ．1D ．2解析：选 B.∵f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3， ∴f ′(x )＝f ′(－1)x －2.∴f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2.∴f ′(－1)＝－1.15．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.16．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选 D.f ′(x )＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x，令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.17．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( )A ．a ≥13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤0解析：选D.因为y ′＝3ax 2－1，函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，所以y ′＝3ax 2－1≤0恒成立，即3ax 2≤1恒成立．当x ＝0时，3ax 2≤1恒成立，此时a ∈R ；当x ≠0时，若a ≤13x2恒成立，则a ≤0.综上可得a ≤0. 18．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，C ．(12，＋∞)D ．(1，＋解析：选 C.∵y′＝8x－1x2＝8x3－1 x2>0，∴x>12.即函数的单调递增区间为(12，＋∞)．19．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.20．设x0为可导函数f(x)的极值点，则下列说法正确的是( )A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0答案：A22．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选D.f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3处取得极值，∴f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5.23．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如题图所示，函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．24．函数f(x)＝－13x3＋12x2＋2x取极小值时，x的值是( )A．2 B．2，－1C．－1 D．－3解析：选 C.f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)．∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，如图所示：∴x＝－1时取极小值．25．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )A．f(2)，f(3)B．f(3)，f(5)C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)解析：选B.∵f′(x)＝－2x＋4，∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，故f(x)在[3,5]上单调递减，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．26．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A．－2 B．0C．2 D．4解析：选C.f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0可得x＝0或x＝2(舍去)，当－1≤x<0时，f′(x)>0，当0<x≤1时，f′(x)<0.所以当x＝0时，f(x)取得最大值为2. 27．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )A．－10 B．－71C．－15 D．－22解析：选B.f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x －3)(x＋1)．由f′(x)＝0得x＝3，－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.28．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A．13万件B ．11万件C．9万件D ．7万件解析：选C29．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝14t4－53t3＋2t2，那么速度为零的时刻是( )A．1秒末B ．0秒C．4秒末D ．0,1,4秒末解析：选D.∵s′＝t3－5t2＋4t，令s′＝0，得t1＝0，t2＝1，t3＝4，此时的函数值最大，故选D.二、填空题1．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________.答案：12．若曲线y＝2x2－4x＋a与直线y＝1相切，则a＝________.答案：33．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________.答案：24．令f(x)＝x2·e x，则f′(x)等于________．解析：f′(x)＝(x2)′·e x＋x2·(e x)′＝2x·e x＋x2·e x＝e x(2x＋x2)．答案：e x(2x＋x2)5．函数y＝x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝________.解析：2＝li mΔx→0x＋Δx2＋4?x0＋Δx－x20－4x0Δx＝2x0＋4，∴x0＝－1.答案：－16．若y＝10x，则y′|x＝1＝________.解析：∵y′＝10x ln10，∴y′|x＝1＝10ln10.答案：10ln107．一物体的运动方程是s(t)＝1t，当t＝3时的瞬时速度为________．解析：∵s′(t)＝－1t2，∴s′(3)＝－132＝－19.答案：－198．设f(x)＝ax2－b sin x，且f′(0)＝1，f′(π3)＝12，则a＝________，b＝________.解析：∵f′(x)＝2ax－b cos x，f′(0)＝－b＝1得b＝－1，f ′(π3)＝23πa ＋12＝12，得a ＝0.答案：0 －19．y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为________．解析：y ′＝3x 2－6＝0，得x ＝± 2.当x <－2或x >2时，y ′>0；当－2<x <2时，y ′<0.∴函数在x ＝－2时，取得极大值a ＋4 2.答案：a ＋4210．函数y ＝x e x 的最小值为________．解析：令y ′＝(x ＋1)e x ＝0，得x ＝－1.当x <－1时，y ′<0；当x >－1时，y ′>0.∴y min ＝f (－1)＝－1e.答案：－1e11．做一个容积为256 dm 3的方底无盖水箱，它的高为______dm 时最省料．解析：设底面边长为x ，则高为h ＝256x 2，其表面积为S ＝x 2＋4×256x2×x ＝x 2＋256×4x，S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0，则x ＝8，则高h ＝25664＝4 (dm)．答案：412．有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2.解析：设矩形的长为x m ，则宽为16－2x2＝(8－x ) m(0<x <8)， ∴S (x )＝x (8－x )＝－x 2＋8x∴S ′(x )＝－2x ＋8，令S ′(x )＝0，则x ＝4，又在(0,8)上只有一个极值点，且x∈(0,4)时，S(x)单调递增，x∈(4,8)时，S(x)单调递减，故S(x)max＝S(4)＝16.答案：16三、解答题1．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋x cos x；(2)y＝x1＋x；(3)y＝lg x－e x.解：(1)y′＝6x＋cos x－x sin x.(2)y′＝1＋x－x1＋x2＝11＋x2.(3)y′＝(lg x)′－(e x)′＝1x ln10－e x.2．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由⎩⎨⎧y＝x2＋4，y＝x＋10，得x2＋4＝10＋x，即x2－x－6＝0，∴x＝－2或x＝3.代入直线的方程得y＝8或13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y＝x2＋4，∴y′＝limΔx→0x＋Δx2＋4－x2＋4?Δx＝limΔx→0Δx2＋2x·ΔxΔx＝limΔx→0(Δx＋2x)＝2x.∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.3．求下列函数的单调区间：(1)y＝x－ln x；(2)y＝1 2x .解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．其导数为y′＝1－1 x .令1－1x>0，解得x>1；再令1－1x<0，解得0<x<1.因此，函数的单调增区间为(1，＋∞)，函数的单调减区间为(0,1)．4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x ＝－1时，取得极大值7；当x＝3时，取得极小值，求这个极小值及a、b、c的值．解：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意可知－1,3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，则有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－23a，－1×3＝b3，解得⎩⎨⎧a＝－3，b＝－9，∴f(x)＝x3－3x2－9x＋c.由f(－1)＝7，得－1－3＋9＋c＝7，∴c＝2.∴极小值为f(3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25.5．已知函数f(x)＝13x3－4x＋4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．解：(1)f′(x)＝x2－4，解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：从上表可看出，当x＝－2时，函数有极大值，且极大值为283；而当x＝2时，函数有极小值，且极小值为－4 3 .(2)f(－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，f(4)＝13×43－4×4＋4＝283，与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是283，最小值是－43.。

高中导数练习题

高中导数练习题1. 求函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 的导数。

2. 求函数 g(x) = e^x + ln(x) 的导数。

3. 求函数 h(x) = sin(x) + cos(x) 的导数。

4. 求函数 i(x) = (3x^2 + 2x + 1) / (x - 1) 的导数。

5. 求函数 j(x) = sqrt(x) / x 的导数。

解答：1. 对于函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5，使用幂函数的求导法则，可得到导数 f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。

2. 对于函数 g(x) = e^x + ln(x)，使用指数函数和对数函数的求导法则，可得到导数 g'(x) = e^x + 1/x。

3. 对于函数 h(x) = sin(x) + cos(x)，使用三角函数的求导法则，可得到导数 h'(x) = cos(x) - sin(x)。

4. 对于函数 i(x) = (3x^2 + 2x + 1) / (x - 1)，使用除法的求导法则，可得到导数 i'(x) = (8x - 1) / (x - 1)^2。

5. 对于函数 j(x) = sqrt(x) / x，使用根式函数和倒数的求导法则，可得到导数 j'(x) = (1 - sqrt(x)) / (2x^2 * sqrt(x))。

通过解答以上导数练习题，可以帮助我们熟悉和掌握导数的求法。

在高中数学中，导数是一个重要的概念，它代表了函数在某一点的瞬时变化率。

对于一个函数而言，如果我们知道了它的导数，就可以利用导数来研究函数的性质，如函数的增减性、极值点以及函数图像的形状等。

在求导的过程中，我们需要掌握一些基本的求导方法和公式。

常见的求导法则包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则、求导法则的运算性质等。

对于复杂的函数，我们可以利用这些基本的求导法则，通过逐步求导的方法来求得它们的导数。

函数求导练习题(含解析)

一．解答题（共15小题）1．请默写基础初等函数的导数公式：（1）（C）′＝，C为常数；（2）（xα）′＝，α为常数；（3）（a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（4）（log a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（5）（sin x）′＝；（6）（cos x）′＝．2．求下列函数的导数（1）y＝x2﹣7x+6；（2）y＝x+2sin x，x∈（0，2π）．3．求下列函数的导数：（1）f（x）＝3x4+sin x；（2）．4．求下列函数的导数：（1）y＝ln（2x+1）；（2）．5．求下列函数的导数：（1）；（2）g（x）＝（8﹣3x）7；（3）p（x）＝5cos（2x﹣3）；（4）w（x）＝ln（5x+6）2．6．求下列函数的导数．（Ⅰ）；（Ⅱ）．7．求下列函数的导数．（1）f（x）＝sin x cos x；（2）y＝．8．求下列函数的导数．（1）y＝；（2）y＝（2x2+3）（3x﹣2）．9．求下列函数的导数：（1）；（2）．10．求下列函数的导数：（1）S（t）＝；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2）．11．求下列函数的导数．（1）；（2）．12．求下列函数的导数：（1）y＝；（2）y＝．13．求下列函数的导数：（1）y＝sin x+lnx；（2）y＝cos x+x；（3）y＝x sin x；（4）；（5）y＝3x2+x cos x；（6）．14．求下列函数的导数．（1）y＝x3﹣2x+3；（2）y＝x sin（2x+5）．15．求下列函数的导数：（1）y＝（x2+3x+3）e x+1；（2）解析一．解答题（共15小题）1．请默写基础初等函数的导数公式：（1）（C）′＝0，C为常数；（2）（xα）′＝αxα﹣1，α为常数；（3）（a x）′＝a x lna，a为常数，a＞0且a≠1；（4）（log a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（5）（sin x）′＝cos x；（6）（cos x）′＝﹣sin x．分析：根据初等函数的导数公式，直接求解即可．解答：解：（1）（C）′＝0，（2）（xα）′＝αxα﹣1，（3）（a x）′＝a x lna，（4）（log a x）′＝，（5）（sin x）′＝cos x，（6）（cos x）′＝﹣sin x．故答案为：（1）0；（2）αxα﹣1；（3）a x lna；（4）；（5）cos x；（6）﹣sin x．点评：本题主要考查初等函数的导数公式，比较基础．2．求下列函数的导数（1）y＝x2﹣7x+6；（2）y＝x+2sin x，x∈（0，2π）．分析：利用导数的运算性质逐个化简即可求解．解答：解：（1）由已知可得y′＝2x﹣7；（2）由已知可得y′＝1+2cos x．点评：本题考查了导数的运算性质，属于基础题．3．求下列函数的导数：（1）f（x）＝3x4+sin x；（2）．分析：（1）（2）由基本初等函数的导数公式及导数加减、乘法法则求导函数即可．解答：解：（1）f（x）＝3x4+sin x则f′（x）＝12x3+cos x；（2），则f′（x）＝+﹣2e2x﹣1．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．4．求下列函数的导数：（1）y＝ln（2x+1）；（2）．分析：根据导数的公式即可得到结论．解答：解：（1）∵y＝ln（2x+1），∴y′＝×2＝，（2）∵，∴y′＝﹣sin（﹣2x）×（﹣2）＝2sin（﹣2x）＝﹣2sin（2x﹣）．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．5．求下列函数的导数：（1）；（2）g（x）＝（8﹣3x）7；（3）p（x）＝5cos（2x﹣3）；（4）w（x）＝ln（5x+6）2．分析：根据复合函数的求导法则、基本初等函数的求导公式求导计算即可．解答：解：（1）∵，∴．（2）∵g（x）＝（8﹣3x）7，∴g'（x）＝7（8﹣3x）6⋅（8﹣3x）'＝﹣21（8﹣3x）6．（3）∵p（x）＝5cos（2x﹣3），∴p'（x）＝﹣5sin（2x﹣3）⋅（2x﹣3）'＝﹣10sin（2x﹣3）．（4）∵w（x）＝ln（5x+6）2，∴点评：本题考查导数的计算，注意复合函数的导数计算，属于基础题．（Ⅰ）；（Ⅱ）．分析：根据导数的公式即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）＝．（Ⅱ）．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．7．求下列函数的导数．（1）f（x）＝sin x cos x；（2）y＝．分析：利用导数的运算性质化简即可求解．解答：解：（1）因为f（x）＝sin x cos x＝sin2x，所以f′（x）＝cos2x×＝cos2x，（2）∵y＝，∴y′＝＝．点评：本题考查了导数的运算性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．8．求下列函数的导数．（1）y＝；（2）y＝（2x2+3）（3x﹣2）．分析：根据导数的公式，即可依次求解．解答：解：（1）y'＝＝．（2）因为y＝（2x2+3）（3x﹣2）＝6x3﹣4x2+9x﹣6，所以y′＝18x2﹣8x+9．点评：本题主要考查导数的运算，属于基础题．（1）；（2）．分析：（1）先展开f（x），然后求导即可；（2）根据基本初等函数和商的导数的求导公式求导即可．解答：解：（1），；（2）．点评：本题考查了基本初等函数和商的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．10．求下列函数的导数：（1）S（t）＝；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2）．分析：结合基本初等函数的求导公式及求导法则求解即可．解答：解：（1）S（t）＝＝t+，所以S′（t）＝1﹣；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2），所以h′（x）＝4x（3x﹣2）+3（2x2+3）＝18x2﹣8x+9．点评：本题主要考查了基本初等函数的求导公式及求导法则，属于基础题．11．求下列函数的导数．（1）；（2）．分析：利用复合函数的导函数的求法，结合导数的运算求解即可．解答：解：（1），所以；（2）所以．点评：本题考查了导函数的求法，重点考查了导数的运算，属基础题．12．求下列函数的导数：（1）y＝；（2）y＝．分析：直接利用基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算求解即可．解答：解：（1）令t＝1﹣2x2，则，所以；（2）．点评：本题考查了导数的运算，解题的关键是掌握基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算，考查了运算能力，属于基础题．13．求下列函数的导数：（1）y＝sin x+lnx；（2）y＝cos x+x；（3）y＝x sin x；（4）；（5）y＝3x2+x cos x；（6）．分析：由已知结合函数的求导公式即可求解．解答：解：（1）y′＝cos x+；（2）y′＝﹣sin x+1；（3）y′＝sin x+x cos x；（4）y′＝＝；（5）y′＝6x+cos x﹣x sin x；（6）y′＝＝﹣．点评：本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．14．求下列函数的导数．（1）y＝x3﹣2x+3；（2）y＝x sin（2x+5）．分析：根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可．解答：解：（1）y′＝3x2﹣2；（2）y′＝sin（2x+5）+2x cos（2x+5）．点评：本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．15．求下列函数的导数：（1）y＝（x2+3x+3）e x+1；（2）．分析：利用导数的运算法则以及常见函数的导数进行求解即可．解答：解：（1）因为y＝（x2+3x+3）e x+1，所以y'＝[（x2+3x+3）e x+1]'＝（x2+3x+3+2x+3）e x+1＝（x2+5x+6）e x+1＝（x+2）（x+3）e x+1；（2）因为，所以．点评：本题考查了导数的运算，主要考查了导数的运算法则以及常见函数的导数公式，考查了化简运算能力，属于基础题．。

完整版)导数测试题(含答案)

完整版)导数测试题(含答案)1.已知函数y=f(x)=x^2+1，则在x=2，Δx=0.1时，Δy的值为0.41.2.函数f(x)=2x^2-1在区间(1,1+Δx)上的平均变化率为4+4Δx。

3.设f′(x)存在，则曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线与x 轴相交但不垂直。

4.曲线y=-1/x在点(1，-1)处的切线方程为y=x-2.5.在曲线y=x^2上，且在该点处的切线倾斜角为π/4的点为(2,4)。

6.已知函数f(x)=1/x，则f′(-3)=-1/9.7.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(2,∞)。

8.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取极值”的充要条件。

9.函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有2个。

10.函数f(x)=-x^2+4x+7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是f(3)和f(5)。

11.函数f(x)=x^3-3x^2-9x+k在区间[-4,4]上的最小值为-71.12.速度为零的时刻是0,1,4秒末。

13.已知函数 $y=f(x)=ax^2+2x$，且 $f'(1)=4$，则 $a=3$。

14.已知函数 $y=ax^2+b$ 在点 $(1,3)$ 处的切线斜率为 $2$，则 $b=a+1$。

15.函数 $y=x e^x$ 的最小值为 $-1/e$。

16.有一长为 $16$ m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 $64$ $m^2$。

17.(1) $y'=6x+\cos x$；(2) $y'=\dfrac{1}{(1+x)^2}$；(3)$y'=\dfrac{1}{x}-e^x$。

18.(1) 解方程 $x^2+4=x+10$ 得 $x=3$ 或 $x=-2$，故交点为 $(3,13)$ 或 $(-2,0)$；(2) 在交点 $(3,13)$ 处，抛物线的斜率为 $6$，故该点处的切线方程为 $y=6x-5$。

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1．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如:若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线px y 22=p (＞)0，弦AB 过焦点，△ABQ 为其阿基米德三角形，则△ABQ 的面积的最小值为A ．22p B ．2p C ．22p D ．24p【答案】B2．已知x x x f -=3)(，如果过点),2(m 可作曲线)(x f y =的三条切线，则m 的取值范围是 A. 6<m B. 62<<-m C. 0≥m D. 60<≤m【答案】B3．函数sin cos [0,]2y x y x π==与在内的交点为P ，它们在点P 处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积为（）A ．2B C ．D ．【答案】A解：联立方程 y=sinx y=cosx 解得y=sinx 与y=cosx 在[0，π/ 2 ]内的交点为P 坐标是（π/ 4 ，2），则易得两条切线方程分别是y-2= 2 （x-π/ 4 ）和y- 2=- 2（x-π/ 4 ）， y=0时，x=π /4 -1，x=π/ 4 +1，于是三角形三顶点坐标分别为（π /4 ， 2）；（π /4 -1，0）；（ π /4 +1，0），s=1 /2 ³2³ ，即它们与x 轴所围成的三角形的面积是2． 4．若曲线2()(0)f x x x =>在点(,())a f a 处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为54，则a =( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．18 【答案】B试题分析：因为，2()(0)f x x x =>，所以，'()2(0)f x x x =>曲线2()(0)f x x x =>在点(,())a f a 处的切线斜率为2a (0)a >，2()f a a =，所以，切线方程为220ax y a --=，其纵、横截距分别为2,2aa -，从而215422aa ⨯⨯=，a =6，选B.考点：导数的几何意义，直线方程，三角形面积公式.5．已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若()f x 满足：(1)[()()]0'-->x f x f x ，22(2)()--=x f x f x e ，则下列判断一定正确的是（）A ．(1)(0)<f fB ．(2)(0)>f efC ．3(3)(0)>f e fD ．4(4)(0)<f e f【答案】C试题分析：当1>x 时，()()()[]()()()()0001>-'⇒>-'⇒>-'---x f e x f e x f x f x f x f x xx ，令()()()()()0>-'='⇒=---x f e x f e x F x f e x F x x x ，所以()x F 在区间[)+∞∈,1x 上单调递增，所以()()23F F >，即()()2323f e f e -->；又22(2)()--=x f x f x e ，则()()220-=e f f ，于是()()033f f e >-，即3(3)(0)>f e f .考点：1.导数的公式与法则；2.函数的单调性6．已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（）A.9万件B.11万件C.12万件D.13万件【答案】A试题分析：由31812343y x x =-+-，281(9)(9)y x x x '=-+=-+-.本题中，0x ≥.因为[0,9)x ∈时，0y '>；[9,)x ∈+∞时，0y '≤.所以31812343y x x =-+-，在[0,9)在[9,)+∞上单调递减.所以当9x =时，y 有最大值.9万件.考点：利用导数求函数单调性、利用单调性求最大值7．已知定义域为R 的函数()f x 满足(4)3f =-，且对任意x R ∈总有()3f x '<，则不等式()315f x x <-的解集为 ( )A.(),4-∞B.(),4-∞-C.()(),44,-∞-+∞D.()4,+∞ 【答案】D ．试题分析：设()()()()315315F x f x x f x x =--=-+，则()()3F x f x ''=-．对任意x 总有()3f x '<，()()30F x f x ''∴=-<，()()315F x f x x ∴=-+在R 上是减函数．(4)3f =- ，(4)(4)34150F f ∴=-⨯+=．()315,()()3150,4f x x F x f x x x <-∴=-+<∴< ，故选考点：利用导数研究函数的单调性的应用．8．已知329()6,,()()()02f x x x x abc a b c f a f b f c =-+-===＜＜且，现给出如下结论： ①(0)(1)0f f ＞；②(0)(1)0f f ＜；③(0)(2)0f f ＞；④(0)(2)0f f ＜.其中正确结论的序号为（）A.①③B.①④C.②④D.②③【答案】D试题分析：由题意得，2f x 3x 9x 63x 1x 2'=-+=--（）（）（）， ∴当x 1＜或x 2＞时，fx 0'（）＞，当1x 2＜＜时，f x 0'（）＜， ∴函数f x （）的增区间是12-∞+∞（，），（，），减区间是12（，）， ∴函数的极大值是5f 12abc =-（），函数的极小值是f 22abc =-（），∵a b c ＜＜，且f a f b f c 0===（）（）（）， ∴a 1b 2c f 10＜＜＜＜，（）＞且f 20（）＜，解得2abc ＜＜∴f 0abc 0=-（）＜，则f 0f 10f 0f 20（）（）＜,（）（）＞，故选D ．考点：应用导数研究函数的单调性，函数的零点.9．已知函数32()f x ax bx cx d =+++在O ，A 点处取到极值，其中O 是坐标原点，A 在曲线22sin cos ,,33y x x x x x ππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦上，则曲线()y f x =的切线的斜率的最大值是（）A ．34π B ．32 C34+ D34- 【答案】A ．试题分析：根据题意由函数32()f x ax bx cx d =+++，(0)00f d =⇒=，则32()f x ax bx cx =++，设2(,),[,]33A p q p ππ∈，由232()32,(0)()00,()f x ax bx c f f p c f x ax bx '''=++==⇒=∴=+，又有220,2333b bp p b ap a a+=-=-=-即，2()33f x ax apx '∴=-，又2sin cos )q p p p p p α=+>+ ，其中133tan [,(0,1)(0,24p πααππ=∈∈∴∈，，则有711(,)0,0,()(0)1212p p q f p f ππαα+∈+>>>即，所以()f x 分别在0,x x p ==处取得极小值和极大值，则0,0a b <>，3222()sin cos cos 3bpq f p ap bp p p p p ap bp psinp p ==+=+∴+==+ ，，3(sin cos )bp p p p ∴=+，232()33()(sin cos ),[,]22233p bp f x ax apx f p p p p ππ''=-≤==+∈，令()sin cos ,()cos g x p p p g x p p '=+=，由()0g x '=得2p π=，(),()[,]32g x f x ππ'∴在上单调递增，在2[,]23ππ上单调递减，所以(),()2g x f x x π'=在处取得唯一极大值，即最大值，所以33333()()(sin cos )()()(sin cos )2222222224p f x f p p p g x g πππππ''≤=+=≤=+=.考点：函数与导函数的综合应用.10．已知函数()f x 的导函数图象如图所示，若ABC ∆为锐角三角形，则一定成立的是（）A ．B ．(sin )(cos )f A f B < C.(sin )(sin )f A f B > D ．(cos )(cos )f A f B < 【答案】A试题分析：由导函数图像可知，当(0,1)x ∈时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；∵ABC ∆是锐角三角形，∴02A π<<，02B π<<，2A B π+>，则2A B π>-，所以sin sin()cos 2A B B π>-=，且0sin 1A <<，0cos 1B <<，所以(sin )(cos )f A f B >．考点：1、导数在单调性上的应用；2、正弦函数的单调性；3、诱导公式.11．定义域为R 的连续函数)(x f ，对任意x 都有)2()2(x f x f -=+，且其导函数)(x f '满足分图像为（）考点：函数的图像、利用导数求函数单调性、利用单调性求最值14．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[-C ．),3()3,(+∞--∞D ．)3,3(- 【答案】B试题分析：函数()f x 在),(+∞-∞上单调，说明其导函数'()0f x =无实根或只有两相等，即'()0f x ≥（或'()0f x ≥）恒成立. 2'()3210f x x ax =-+-=无实根，则24120a ∆=-≤a ⇒≤考点：导数与函数单调性的关系.15．已知定义在R 上的函数()x f ，其导函数()x f '的图像如图所示，则下列叙述正确的是（）A.()()()f b f c f d >>B.()()()f b f a f e >>C.()()()f c f b f a >>D.()()()f c f e f d >> 【答案】C试题分析：由图像可知，在（,]c -∞上导函数()x f '>0，所以函数()x f 在（,]c -∞上是增函数，又因为c>b>a,所以()()()f c f b f a >>，故选C. 考点：1.导函数的性质；2.函数的增减性.16．若函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ,且11()f x x =,则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】A ．试题分析：根据题意2()32f x x ax b '=++，且2()32=0f x x ax b '=++的两个根为12,x x ，则有关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=，12()()f x x f x x ==或，又11()f x x =，当12x x <时，1()f x x=由2个实根，2()f x x=由1个实根；当12x x>时，1()f x x=由2个实根，1个实根，所以方程23(())2()0f x af x b++=的不同实根个数为3个.考点：利用导数求函数的极值及判断单调性．17．已知R上可导函数)(xf的图象如图所示，则不等式0)()32(2>'--xfxxA．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1,2)C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)【答案】D试题分析：由图可知，()()()()()0,1,,10,1,1f x xf x x'>∈+∞-∞⎧⎪⎨'<∈-⎪⎩，不等式)()32(2'--xfxx 2()0230f xx x'>⎧⎨-->⎩或2()0230f xx x'<⎧⎪⎨--<⎪⎩，解得()(),13,x∈-∞-+∞或()1,1x∈-. 考点：1.函数的单调性与导数的关系；2.解不等式18．若幂函数f（x，12），则函数g（x）＝x e f（xA．（－∞，0） B．（－∞，－2） C．（－2，－1） D．（－2，0）【答案】D试题分析：设幂函数()f x xα=，12），所以1,22αα==⎝⎭()2f x x=，故()2xg x e x=，令()()22'220x x xg x e x e x e x x=+=+<得，2x-<<减区间为(2,0)-，选D.考点：幂函数、利用导数研究函数单调性.19．设函数f(x)＝x3－4x＋a，0＜a＜2．若f(x)的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3 A．x1＞－1 B．x2＜0 C．x2＞0 D．x3＞2【答案】C试题分析：∵函数2'()34f x x=-，令'()0f x=得1122x x==-，则()f x在(上单增，在[22-上单减，在()2+∞上单增；所以(2f-是极大值，极小值，又()f x的三个零点123,,x x x，且123x x x<<，故12x<-22x-<< 3x>，而(0)0f a=>，0f a=<，所以20x<<，故选考点：1.函数的零点；2.利用导数求单调性与极值.20．已知函数2()12=+-x f x x 34993499+-++ x x x ，2()12=-+x g x x 34993499-+--x x x .若函数()f x 的零点为1x ，函数()g x 的零点为2x ，则有（）A ．12(0,1),(1,2)x x ∈∈ B ．12(1,0),(1,2)x x ∈-∈ C ．12(0,1),(0,1)x x ∈∈ D ．12(1,0),(0,1)x x ∈-∈ 【答案】B ．试题分析：由已知得2398()1f x x x x x '=-+-++ ，当(1,1)x ∈-时，991()01x f x x+'=>+，则()f x 在区间(1,1)-上单调递增，又有1111(0)1,(1)023499f f =-=-----< ，所以函数()f x 的零点1(1,0)x ∈-；2398()1g x x x x x '=-+-+-- ，当(0,)x ∈+∞时，991()01x g x x+'=-<+，则()g x 在区间(0,)+∞上单调递减，又有111111(1)((()023459899g =-+-++-> ，23459899222222(2)(12)(()(023459899g =-+-+-++-< ，所以函数()g x 的零点2(1,2)x ∈.考点：利用导数判断函数单调性及零点问题. 21．如果函数321()3f x x a x =-满足：对于任意的[]12,0,1x x ∈，都有12()()1f x f x -≤恒成立，则a 的取值范围是（）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎛ ⎝⎭C ．0,33⎡⎫⎛-⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦ D ．(0,33⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭ 【答案】A试题分析：当0a =时，31()3f x x =，函数()f x 为增函数，∴()f x 在[0,1]上max 1()3f x =，min ()0f x =，∴|10|1-≤恒成立，符合题意，当a =314()33f x x x =-，'24()3f x x =-，函数()f x 在[0,1]上'()0f x <，∴函数()f x 在[0,1]上为减函数，∴min (1)1f =-，max (0)0f =，∴|10|1--≤恒成立，符合题意，所以综合上述情况，选A.考点：1.特殊值法；2.利用导数判断函数的单调区间；3.利用导数求函数最值.22．已知不等式02≥++c bx ax 的解集[]3,1-，则函数m cx ax bx x f +++-=2361)(单调递增区间为( ) A. (-），（∞+∞3),1-, B. (-1,3) C.( -3,1) D.(），（∞+-∞-1),3, 【答案】C试题分析：不等式02≥++c bx ax 的解集[]3,1-，故0a <，且13,13b ca a-+=--⨯=2,3b a c a =-=-，故323232111()33633m f x bx ax cx m ax ax ax m a x x x a ⎛⎫=-+++=+-+=+-+ ⎪⎝⎭，()'2()23f x a x x =+-，令'()0f x >，解得()3,1x ∈-，所以函数ax bx x f ++-=2361)(单调递增区间为()3,1-.考点：利用导数判断单调性，一元二次不等式的解.23．若关于x 的不等式02<-+c ax x 的解集为{|21}x x -<<，且函数23x mx ax y +++=区间)1,21(上不是单调函数，则实数m 的取值范围为（）A.)3,3(--B.]3,3[--C.),3()2,(+∞--∞D.),3(]2,(+∞---∞ 【答案】A试题分析：由不等式02<-+c ax x 的解集为{|21}x x -<<可得02=-+c ax x 的两根为-故可求得2,1==c a ，所以由函数123+++=x mx x y 在)1,21(上不是单调函数，可知0123'2=++=mx x y 在)1,21(有解，当在)1,21(有一解时有0)123)(143(<++++m m 472-<<-m ，当在)1,21(有两解时有⎪⎩⎪⎨⎧>-=∆<-<012413212m m 解得33-<<-m ，综上可得)3,3(--∈m ，故选A考点：1.函数的单调性；2.函数的零点；3.一元二次不等式的解集24．已知定义在实数集R 上的函数)(x f 满足1)1(=f ，且)(x f 的导数)(/x f 在R 上恒有)(21)(/R x x f ∈<，则不等式212)(22+<x x f 的解集是（）A ．),1(+∞B ．)1,(--∞ C.)1,1(- D.),1()1,(+∞⋃--∞【答案】D试题分析：因为)(21)(/R x x f ∈<，所以()1'02f x -<，即()1[]'02f x x -<，故()()12F x f x x =-为R 上的减函数，而()()111122F f =-=，所以原不等式化为22()2x f x -即()()21F x F <，利用单调性有21,11x x x >><-或，故原不等式的解集为,1()1,(⋃--∞选D.考点：利用导数研究函数单调性、抽象函数、一元二次不等式的解法.25．设23(()log x f x x =+，则对任意实数a,b,a+b ≥0是()()0f a f b +≥的（） A ．充要条件 B ．充要不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A试题分析：由23(()log x f x x =+)()1)(lg()(23x f x x x x f -=+-+-+-=-∴)(x f ∴是奇函数.∴f （x ）为增函数.∵a+b ≥0，⇒a ≥-b ，∴f （a ）≥f （-b ），∴f （a ）≥-f （b ）， ∴f （a ）+f （b ）≥0，反之也成立，∴“a+b ≥0”是“f （a ）+f （b ）≥0”的充要条件，选A.考点：1.利用函数的导数判断函数的单调性；2.充要条件26．函数()f x 的图象如图，()f x '是()f x 的导函数，则下列数值排列正确的是（）A ．()()()()01221f f f f ''<<<-B ．()()()()02211f f f f ''<<-<C ．()()()()02121f f f f ''<<<-D ．()()()()02112f f f f ''<-<<【答案】B ．试题分析：由已知函数的图象可知函数()f x 是增函数，但增加的速度越来越慢，结合导数的几何意义可知()()()()211221f f f f -''>>-，故选B ．考点：1．导数与函数的单调性；2．导数的几何意义．27．设()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足()()f x f x '<-，对于任意的正数a ，下面不等式恒成立的是（）A.()()0af a e f < B.()()0af a e f > C.()()0a f f a e <D.()()0af f a e > 【答案】C试题分析：构造函数()()x g x e f x =，则''()()()x x g x e f x e f x =+0<，∴()g x 在R 内单调递减，所以(a)g(0)g <，即：()(0)a e f a f <，∴()()0af f a e<. 考点：导数在单调性上的应用. 28．如果函数321()3f x x a x =-满足：对于任意的[]12,0,1x x ∈，都有12()()1f x f x -≤恒成立，则a 的取值范围是（）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎛ ⎝⎭C ．⎡⎫⎛⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦D ．(⎛⋃ ⎝⎭【答案】A试题分析：当0a =时，31()3f x x =，函数()f x 为增函数，∴()f x 在[0,1]上max 1()3f x =，min ()0fx=，∴|10|1-≤恒成立，符合题意，当23a =时，314()33f x x x =-，'24()3f x x =-，函数()f x 在[0,1]上'()0f x <，∴函数()f x 在[0,1]上为减函数，∴min (1)1f =-，max (0)0f =，∴|10|1--≤恒成立，符合题意，所以综合上述情况，选A.考点：1.特殊值法；2.利用导数判断函数的单调区间；3.利用导数求函数最值.29．已知函数'()y xf x =的图象如图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)下面四个图象中，y =()f x 的图象大致是 ( )【答案】C试题分析：由函数'()y xf x =的图象可知，当1x <-时，()()()0,0,xf x f x f x ''<∴>∴在(),1-∞-上是增函数，同理可得()f x 在()1,1-上是减函数，在()1,+∞上是减函数，故选C ．考点：导数与函数的单调性．30．若函数()sin f x x kx =-存在极值，则实数k 的取值范围是( ) A. (1,1)- B. [0,1) C.(1,)+∞ D. (,1)-∞- 【答案】A试题分析：∵函数()s i n f x x kx =-存在极值点，∴'()cos 0f x x k =-=有解，∴cos k x =∴1k 1-≤≤∵k 1=±时，'()0f x ≤，∴1k 1-＜＜，故选A ．考点：应用导数研究函数的单调性、极值.31．定义在R 上的函数)(x f 满足(4)1f =．)(x f '为)(x f 的导函数，已知函数)(x f y '=的图象如图所示．若两正数b a ,满足1)2(<+b a f ，则22b a ++的取值范围是（） A ．(,)32 B ．()1(,3,2-∞+∞C ．1(,3)2D ．(,3)-∞- 【答案】CxyO试题分析：由图像可知()f x 在()0,+∞单调递增，()()2142 4.f a b f a b ∴+<=⇔+<画出不等式组24a b a b >⎧⎪>⎨⎪+<⎩表示的平面区域（如图阴影部分，不包括O AB ∆边界）．而()()2222b b a a --+=+--表示可行域内的点与()2,2--连线的斜率．如图， ()()()122,2,2,0,0,4.,3,22PA PB b P A B k k a +--==∴+ 的取值范围是1,3.⎛⎫ ⎪ ．a 的取值范围是（）A ．0a ≥B ．0a >C ．0a ≤D ．0a <【答案】A试题分析：由题x ax x f 1)(-=，当0≥a 时，xax x f 1)(-=在),0(+∞∈x 递增；当0<a 时，2,1)(x a x f +=，因为）x f (在),0(+∞∈x 递增，所以0)(,≥x f 恒成立，得21xa -≥，∴0≥a （舍去），综上所述：0≥a .考点：导数在函数单调性方面的应用.33．设函数()f x 满足2()2()x e x f x xf x x'+=，2(2)8e f =，则当0x >时，()f x （）A 、有极大值，无极小值B 、有极小值，无极大值C 、既无极大值，也无极小值D 、既有极大值，又有极小值【答案】C试题分析：由x 2f ′(x)＋2xf(x)＝e x x ，得f ′(x)＝e x －2x 2f x x3，令g(x)＝e x －2x 2f(x)，x ＞0，则g ′(x)＝e x －2x 2f ′(x)－4xf(x)＝e x－2²e x x ＝x －2e x x.令g ′(x)＝0，得x ＝2.当x ＞2时，g ′(x)＞0；0＜x ＜2时，g ′(x)＜0，∴g(x)在x ＝2时有最小值g(2)＝e 2－8f(2)＝0，从而当x ＞0时，f ′(x)≥0，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)无极大值，也无极小值．选C. 考点：用导数处理函数的单调性与极值34．已知函数f （x ）的定义域为R ，对任意x R ∈，有()3f x '>，且()13f -=，则f （x ）＜3x ＋6的解集为( )A.（－1, 1）B.（－1，+∞）C.（－∞，－1）D.（－∞，＋∞）【答案】C试题分析：构造函数()()36g x f x x =--，则()()30g x f x ''=->，所以函数()g x 又()()1130g f -=--=，所以()0g x <的解集是(),1-∞-，即()36f x x <+的解集是(),1-∞-.考点：利用导函数判断函数的单调性.35．已知()f x 为定义在(,)-∞+∞上的可导函数，()()f x f x '>对于x R ∈恒成立，且e 数的底数，则（）A ．20132014(2014)(2013)e f e f ⋅<⋅B ．20132014(2014)(2013)e f e f ⋅=⋅C ．20132014(2014)(2013)e f e f ⋅>⋅D ．2013(2014)e f ⋅与2014(2013)e f ⋅的大小不能确定【答案】A试题分析：函数()f x 为定义在(,)-∞+∞上的可导函数，满足()()f x f x '>可设函数()()x f x g x e =，则导函数'''22()()(()())()x x x xxf x e f x e f x f x eg x e e --==，因为()()f x f x '>，所以'()0g x <，()g x 在(,)-∞+∞上为减函数，(2013)(2014)g g >，即20132014(2013)(2014)f f e e>，从而得20132014(2014)(2013)e f e f ⋅<⋅．考点：函数与导数运算法则、利用导数研究函数的单调性.36．已知函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++ 且函数()f x 的零点均在区间[],a b (,,)a b a b Z <∈内，圆22x y b a +=-的面积的最小值是（） A.π B.2π C.3π D.4π【答案】A试题分析：∵2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++ ， ∴当1x <-或1x >-时，2013'2320121()101x f x x x x x x+=-+-++=>+ ．而当1x =-时，'()20130f x =>∴'()0f x >对任意x R ∈恒成立，得函数()f x 是(,)-∞+∞上的增函数∵1111(1)(11)()(023********f -=-+--++--< ，(0)10f => ∴函数()f x 在R 上有唯一零点0(1,0)x ∈- ∴b a -的最小值为0(1)1--=.∵圆22x y b a +=-的圆心为原点，半径r =∴圆22x y b a +=-的面积为2()r b a πππ=-≤，可得面积的最小值为π.故选A. 考点：1.函数的零点问题；2.函数的单调性；3.圆的面积.37．已知函数()f x 满足()()f x f x π=-，且当(,)22x ππ∈-时，()sin x f x e x =+，则A ．(1)(2)(3)f f f <<B ．(2)(3)(1)f f f <<C ．(3)(2)(1)f f f <<D ．(3)(1)(2)f f f << 【答案】D试题分析：由()()f x f x π=-，得函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，又当(,22x ππ∈-时，'()cos 0x f x e x =+>恒成立，所以()f x 在(,22ππ-上为增函数，(2)(2)f f π=-，(3)(3)f f π=-，且03122πππ<-<<-<，所以(3)(1)(2)f f f ππ-<<-，即(3)(1)(2)f f f <<．考点：1.函数的对称轴；2.利用导数判断函数的单调性.38．设函数2()34,f x x x '=+-则(1)y f x =-的单调减区间（）A.（-4,1) B.(3,2)- C. 3(,)2-+∞ D.),21(+∞- 【答案】B试题分析：由()140432<<-⇒<-+='x x x x f ，所以函数()x f 的单调递减区间为()1,4-，而函数)1(-=x f y 是把函数()x f 的图像向右平移一个单位，所以)1(-=x f y 的单调减区间为()2,3-.考点：导数判断函数的单调性、函数图像的平移.39．已知定义在R 上的函数)(x f 满足1)2()4(=-=f f ，)(x f '为)(x f 的导函数，且导函数)(x f y '=的图象如右图所示．则不等式1)(<x f 的解集是（）A ．)0,2(-B ．)4,2(-C ．)4,0(D ．),4()2,(+∞--∞ 【答案】B试题分析：由图可知在0x <时，()0f x '<，()f x 在0x <上单调递减，在0x >时，()0f x '>，()f x 在0x >上又因为单调递增，函数)(x f 满足1)2()4(=-=f f ，故不等式1)(<x f 的解集为(2,4)-．考点：函数与导数，及函数的单调性问题，考查学生基本运算能力．40．已知定义在R 上的函数)(x f 满足1)1(=f ，且)(x f 的导函数)(x f '在R 上恒有21)(<'x f ，则不等式212)(+<x x f 的解集为（ ) A. ),1(+∞ B. )1,(-∞ C. )1,1(- D. )1,(-∞),1(+∞【答案】A试题分析：212)(+<x x f 可化为0212)(<--x x f ，令212)()(--=x x f x g ，则)()('='x f x g 因为21)(<'x f ，所以0)(<'x g 0，所以)(x g 在R 上单调递减，当1>x 时，02121)1()1()(=--=<f g x g ，即212)(+<x x f ．所以不等式212)(+<x x f 的解集为),1(+∞．故选A ．考点：不等式的解法，函数的单调性.41．已知函数()y f x =是定义在数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时，()()xf x f x '<-若)3(3f a =,)3(lg )3(lg f b =,41(log )41(log 22f c =,则,,a b c 的大小关系是（） A. c a b >> B. c b a >> C. a b c >> D. a c b >>【答案】12试题分析：因为(,0)x ∈-∞时，()()xf x f x '<-，所以当(,0)x ∈-∞时，()()0xf x f x '--<因为函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以当(,0)x ∈-∞时，()()0xf x f x '+<()()g x xf x =，则()()()0,(,0)g x xf x f x x''=+<∈-∞，所以()g x 在(,0)-∞()()g x g x -=，所以()g x 是R 上的偶函数，所以()g x 在(0,)+∞上是增函数，因2lg3>所以(2)(lg3)g g g >>，而21(2)(2)(log 4g g g =->，所以有c a b >>，选A.考点：函数的单调性、导数的应用.42．已知函数)(x f y =的定义域为R ，满足,0)()2(>'-x f x 且函数)2(+=x f y )2(),3(log ),2(52f c f b f a ===，则实数c b a ,,的大小关系是（） A.c b a >> B.a b c >> C.a c b >> D.b a c >>【答案】B试题分析：因为，函数)(x f y =的定义域为R ，满足,0)()2(>'-x f x 所以，20x ->即(2,)x ∈+∞时，'()0f x >，函数)(x f y=是增函数；又函数)2(+=x f y 为偶函数，所以，其图象关于直线2x =对称，即在区间(,2)-∞数.由于(4f f =-，24log 32-<<，所以，2(4(log 3)(2)f f f ->>，即a b c >>，选B .考点：应用导数研究函数的单调性，函数的奇偶性.43．设函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x R ∈都有'()()f x f x >成立，则（） A ．3(ln 2)2(ln 3)f f > B. 3(ln 2)2(ln 3)f f =C. 3(ln 2)2(ln 3)f f <D. 3(ln 2)f 与2(ln 3)f 的大小不确定【答案】C试题分析：令()()x f x g x e =，则'''2()()()()()x x x xf x e f x e f x f xg x e e --==，因为对任意x R ∈'()()0f x f x ->，所以'()0g x >，即()g x 在R 上单调递增，又ln 2ln 3<，所以(ln 2)g g <即ln 2ln 3(ln 2)(ln 3)f f e e <，所以(ln 2)(ln 3)23f f <，即3(ln 2)2(ln 3)f f <，故选C ．考点：求导判断函数的单调性.44．已知()(),f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()''f xg x fx g x >，()()()0,1xf x ag x a a =⋅>≠，()()()()115112f f g g -+=-，在有穷数列()()()1,210f n n g n ⎧⎫⎪⎪=⋯⎨⎬⎪⎪⎩⎭中，任意取正整数()110k k ≤≤，则前k 项和大于1516的概率是 ( ) A ．15 B.25 C.35 D.45【答案】C试题分析：由已知得'''2()()()()()(0()()f x f xg x f x g x g x g x -=<，所以()()()f x h x g x =单调递减，又因为()()x f x a g x =⋅，所以()()xf x ag x =，所以()()()()1115112f f a a g g --+=+=-，所以2a =（舍）或12a =，所以()()2n f n g n =（舍）或1(2n ，当()()1(2n f n g n =时，数列1{()}2n 中，1231111,,,,(2482k k a a a a ==== ，所以12q =，11[1()]115221()121612k k k S -==->-，所以4k >，又因为110k ≤≤即63105P ==. 考点：1.用导数判断函数的单调性；2.等比数列的求和公式；3.几何概型.45．若)(x f 的定义域为R ，2)(>'x f 恒成立，2)1(=-f ，则42)(+>x x f 解集为（） A ．(1,1)- B ．(1)-+∞， C ．(,1)-∞- D ．(,)-∞+∞ 【答案】B试题分析：构造函数()()2F x f x x =-，则'()'()20F x f x =->，所以函数()F x 在定义域上单调递增，又(1)(1)24F f -=-+=，所以42)(+>x x f 解集为(1)-+∞，. 考点：利用导数判函数的单调性.46．设函数(),y f x x R =∈，的导函数为'()f x ，且()()f x f x =-，()()f x f x '<，则下列不等式成立的是（注：e 为自然对数的底数）（） A.12(0)(1)(2)f e f e f -<< B.12(1)(0)(2)e f f e f -<< C.21(2)(1)(0)e f e f f -<< D.21(2)(0)(1)e f f e f -<< 【答案】B试题分析：设g(x)=ex-f （x ）∴ g'(x)=- ex-f （x ）+ ex-f '（x ）= ex-（f '（x ）－f(x)）<0所以g(x)为减函数.∵g(0)=e 0f(0)= f(0) ,g(-1)=11(1)(1)e f e f ---=, 2(2)(2)g e f =, 且g(2)>g(0)>g(－1),∴1(1)e f - < f(0)< 2(2)e f ，故选B. 考点：1.求导数；2.函数的单调性.47．定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，)(x f '为)(x f 的导函数，已知)(x f y '=所示，若两个正数a 、b 满足1)2(<+b a f ，则21++a b 的取值范围是 ( )A ．),2(+∞B ．),25()41,(+∞-∞C ．41,0(D ．)25,41(【答案】D试题分析:根据导函数图象可知，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，(2)1(4)f a b f +<=题意可得到240a b a +<⎧⎪>⎨，画出,a b 的可行域，则所求12b a ++可看做点(),a b 与()2,1--)0<，则在区间[1,2]上必有（A. (1)()(2)f f x f ≤≤ B. ()(1)f x f ≤ C. ()(2)f x f ≥D. ()(1)f x f ≤或()(2)f x f ≥ 【答案】A试题分析：212320,x x x ≤≤∴-+≤ ， 2(32)()0()0x x f x f x ''-+<∴> ，故函数()f x 在区间[1,2]上单调递增，故答案为A ．考点：导数的应用，函数的单调性．49．函数()f x 具有下列特征：2()(0)1,(0)0,0,()0f x f f x f x x''''==>⋅>，则()f x 下图中的（）【答案】B试题分析：依题意2()0f x x '>，知()f x 为增函数，排除选项C 、D ，对于选项A ，当0x >时，函数()f x '为减函数，即()0f x ''<，所以()0x f x ''< ，与题意()0x f x ''⋅>矛盾，排除A ，则B 正确.考点：利用导数判断函数的单调性.50．函数()||()xxaf x e a R e =+∈在区间[]1,0上单调递增，则a 的取值范围是（） A ．[]1,1-∈a B ． ]0,1[-∈a C ．[0,1]a ∈ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈e e a ,1【答案】A试题分析：设(),xx a g x e e =+则()2x xx xa e a g x e e e -'=-= ①当0a < 时:()0g x '> 函数()g x为R 上增函数,所以只要()g x 的零点0≤,即可满足函数()||()xx a f x e a R e=+∈在区间[]1,0上单调递增.而()g x 的零点为1ln()2x a =-,所以 1ln()012x a a =-≤⇒≥-, 即 10a -≤<②0a = 时: ()x g x e =,()x xf x e e == 符合条件.③当0a >时: ()210ln 2x xx xa e a g x e x a e e -'=-==⇒=,()g x 在1,ln 2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭为减函数,在1ln ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数同时()min 1ln 02g x g a ⎛⎫==> ⎪⎝⎭,因此只有当1ln 02a ≤时,即01a <≤.综上所述11a -≤≤ .考点：导数运算及运用导数研究函数的性质,绝对值函数的单调性的分析.51．已知函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++ 则下列结论正确的（） A ．()f x 在(0,1)上恰有一个零点B. ()f x 在(0,1)上恰有两个零点 C ．()f x 在(1,0)-上恰有一个零点 D ．()f x 在(1,0)-上恰有两个零点【答案】C试题分析：根据函数零点存在定理，(0)10,(1)0f f =>>，所以，A,B 错误。