(完整版)高中数学必修二立体几何知识点总结
第一章 立体几何初步
特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）
ch S =直棱柱侧面积
'21ch S =
正棱锥侧面积 ')(2
121h c c S +=正棱台侧面积 rh S π2=圆柱侧 ()l r r S +=π2圆柱表
rl S π=圆锥侧面积 ()l r r S +=π圆锥表 l
R r S π)(+=圆台侧面积 ()
22R Rl rl r S +++=π圆台表
柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱
13V Sh =锥
'1()3
V S S h =台 2V Sh r h π==圆柱
h r V 23
1π=圆锥 '2211()()33
V S S h r rR R h π=+=++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24R π
第二章 直线与平面的位置关系
2.1
1 2 三个公理：
（1符号表示为
A ∈L
B ∈L => l α⊂ A ∈α
B ∈α
（2符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理（3公理 L A · α C · B · A · α
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线
a ∥
b
c ∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
a α a ∩α=A a ∥α
共面直线 =>a ∥c
2
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示： a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
a ∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。
如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
2
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3
1
2。
高中数学 必修二-第一章 立体几何初步 知识点整理
底面为三角形、四边形、五边形„„的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥„„，
其中三棱锥又叫四面体。
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必修二
正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心， 这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质： ①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形； ②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，棱锥的高、侧棱和侧 棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 （4）棱台的结构特征 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱 锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的 下底面和上底面；其它各面叫做棱台的侧 面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； 底面与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点； 当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底 面交点间的线段叫做棱台的高。 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台的性质： ①各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形；②两底面以及平行于底面的截面是相似多边 形；③两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；④两底面中心连线、侧 棱和两底面外接圆相应半径组成一个直角梯形；⑤正棱台的上下底面中心的连线是棱台的 一条高；⑥正四棱台的对角面是等腰梯形。
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必修二
②在已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′ 轴的线段。
③在已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段， 长度变为原来的一半。
用斜二测法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放 置的平面图形的关键是确定多边形的顶点。因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这 些顶点就可画出多边形。
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。平行投影的投影线是平行的。在 平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。
高一数学必修2立体几何知识点详细总结
立体几何一、立体几何网络图：（1）线线平行的判断：⑴平行于同一直线的两直线平行。
⑶如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
⑿垂直于同一平面的两直线平行。
（2）线线垂直的判断：⑺在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
⑻在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
⑽若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
（3）线面平行的判断：⑵如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
⑸两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（4）线面垂直的判断：⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
（5）面面平行的判断：⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。
（6）面面垂直的判断：⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
二、其他定理：（1）确定平面的条件：①不公线的三点；②直线和直线外一点；③相交直线；（2）直线与直线的位置关系：相交；平行；异面；直线与平面的位置关系：在平面内；平行；相交（垂直是它的特殊情况）；平面与平面的位置关系：相交；；平行；（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。
高中数学必修2知识点总结归纳 整理
高中数学必修2知识点总结归纳整理高中数学必修二空间几何体1.1 空间几何体的结构棱柱棱柱是由两个平行的底面和若干个四边形侧面组成的几何体。
底面多边形的边数不同，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
棱柱可以用各顶点的字母表示，例如五棱柱ABCDE或用对角线的端点字母表示，例如ABCDE。
棱柱的几何特征是：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面和对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
棱锥棱锥是由一个多边形底面和若干个三角形侧面组成的几何体。
底面多边形的边数不同，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
棱锥可以用各顶点的字母表示，例如五棱锥P-ABCDE。
棱锥的几何特征是：侧面和对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
棱台棱台是由一个平行于底面的平面截取棱锥而成的几何体。
底面多边形的边数不同，可以分为三棱台、四棱台、五棱台等。
棱台可以用各顶点的字母表示，例如四棱台ABCD-A'B'C'D'。
棱台的几何特征是：上下底面是相似的平行多边形；侧面是梯形；侧棱交于原棱锥的顶点。
圆柱圆柱是由一个矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。
圆柱的几何特征是：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。
圆锥圆锥是由直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体。
圆锥的几何特征是：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。
圆台圆台是由一个平行于圆锥底面的平面截取圆锥而成的几何体。
圆台的几何特征是：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。
球体球体是由半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体。
球体的几何特征是：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。
1.2 空间几何体的三视图和直观图1.中心投影与平行投影中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影。
高中数学必修二立体几何笔记整理
高中数学必修二立体几何笔记整理一、空间几何体。
1. 棱柱。
- 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
- 分类。
- 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
- 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。
- 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
- 性质。
- 侧棱都平行且相等。
- 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。
- 过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形。
2. 棱锥。
- 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
- 分类。
- 按底面多边形的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥等。
- 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥。
- 性质。
- 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）。
3. 棱台。
- 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。
- 分类：由三棱锥、四棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台等。
- 性质。
- 棱台的各侧棱延长后交于一点。
- 棱台的上下底面是相似多边形，且对应边互相平行。
4. 圆柱。
- 定义：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。
- 性质。
- 圆柱的轴截面是全等的矩形。
- 圆柱的侧面展开图是矩形。
5. 圆锥。
- 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
- 性质。
- 圆锥的轴截面是等腰三角形。
- 圆锥的侧面展开图是扇形。
6. 圆台。
- 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
- 性质。
- 圆台的轴截面是等腰梯形。
- 圆台的侧面展开图是扇环。
7. 球。
- 定义：以半圆的直径所在直线为轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。
- 性质。
高中数学立体几何知识点总结(全)
高中数学立体几何知识点总结(全)垂直直线：两条直线的夹角为90度。
XXX.三．点与平面的位置关系点在平面上：点在平面内部；点在平面外：点在平面的一侧；点在平面上方或下方：需要指定一个方向向量，点在平面的哪一侧就取决于该方向向量与平面法向量的夹角。
四．直线与平面的位置关系直线在平面上：直线的每一点都在平面上；直线在平面内部：直线与平面没有交点；直线与平面相交：直线与平面有且只有一个交点；直线平行于平面：直线与平面没有交点，且方向向量与平面法向量垂直。
改写后：一、空间几何体的三视图空间几何体的三视图包括正视图、侧视图和俯视图。
其中，正视图是指从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，反映了物体的高度和长度；侧视图是指从几何体的左面向右面正投影得到的投影图，反映了物体的高度和宽度；俯视图是指从几何体的上面向下面正投影得到的投影图，反映了物体的长度和宽度。
在三视图中，长对正，高平齐，宽相等是反映长、宽、高特点的简洁表述。
二、空间几何体的直观图斜二测画法是一种用于绘制空间几何体直观图的方法。
基本步骤包括建立适当的直角坐标系xOy，建立斜坐标系x'O'y'，并画出对应图形。
在直观图中，已知图形平行于X轴的线段画成平行于X'轴，长度不变；已知图形平行于Y轴的线段画成平行于Y'轴，长度变为原来的一半。
直观图与原图形的面积关系是直观图面积为原图形面积的四分之一。
三、空间几何体的表面积与体积圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别为2πrl、πrl和πr(l+R)，其中r表示底面半径，l表示母线长度，R表示上底面半径。
圆柱、圆锥、圆台的体积分别为Sh、S/3h和S(h/3)，其中S为底面积，h为高度。
球的表面积和体积分别为4πR²和(4/3)πR³。
四、点、直线、平面之间的位置关系平面的基本性质包括三条公理，分别是公理1、公理2和公理3.直线与直线的位置关系有相交、平行和垂直；点与平面的位置关系有在平面上、在平面内部、在平面外部、在平面上方或下方；直线与平面的位置关系有在平面上、在平面内部、相交和平行。
(完整版)高中数学必修二立体几何知识点梳理
立体几何初步1、柱、锥、台、球的构造特点（ 1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各极点字母，如五棱柱ABCDE A' B' C ' D ' E '或用对角线的端点字母，如五棱柱AD '几何特点：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（ 2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共极点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各极点字母，如五棱锥P A' B' C ' D ' E '几何特点：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于极点到截面距离与高的比的平方。
（ 3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各极点字母，如五棱台P A' B' C ' D ' E '几何特点：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的极点（ 4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转, 其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特点：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面张开图是一个矩形。
（ 5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴, 旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特点：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的极点；③侧面张开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特点：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的极点；③侧面张开图是一个弓形。
高中数学必修二第八章立体几何初步知识点总结全面整理(带答案)
高中数学必修二第八章立体几何初步知识点总结全面整理单选题1、设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βB．若m//n，m⊥α，n//β，则α⊥βC．若m⊥n，m//α，n//β，则α//βD．若m//n，m⊥α，n⊥β，则α//β答案：C分析：利用线面垂直的判定性质、面面垂直的判定推理判断A，B；举例说明判断C；利用线面垂直的判定性质判断D作答.对于A，因m⊥n，m⊥α，当n⊂α时，而n⊥β，则α⊥β，当n⊄α时，在直线m上取点P，过P作直线n′//n，则m⊥n′，过直线m,n′的平面γ∩α=l，如图，由m⊥α得m⊥l，于是得l//n′//n，而n⊥β，则l⊥β，而l⊂α，所以α⊥β，A正确；对于B，若m//n，m⊥α，则n⊥α，又n//β，则存在过直线n的平面δ，使得δ∩β=c，则有直线c//n，即有c⊥α，所以α⊥β，B正确；对于C，如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，平面ABCD为平面α，直线A1B1为直线m，平面ADD1A1为平面β，直线B1C1为直线n，满足m⊥n，m//α，n//β，而α∩β=AD，C不正确；对于D，若m//n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，于是得α//β，D正确.故选：C2、已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A．2πR2B．94πR2C．83πR2D．πR2答案：B分析：根据圆柱的表面积公式以及二次函数的性质即可解出．设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为ℎ，所以在轴截面三角形中，如图所示：由相似可得，rR =3R−ℎ3R，所以，ℎ=3R−3r，即圆柱的全面积为S=2πr2+2πrℎ=2πr2+2πr(3R−3r)=2π(−2r2+3rR)=2π[−2(r−34R)2+98R2]≤9π4R2，当且仅当r=34R时取等号．故选：B．3、如图所示的是平行四边形ABCD所在的平面，有下列表示方法：①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④平面ABC；⑤AC；⑥平面α.其中不正确的是（）A．④⑤B．③④⑤C．②③④⑤D．③⑤答案：D解析：根据平面的表示方法判断．③中AD不为对角线，故错误；⑤中漏掉“平面”两字，故错误.故选：D.4、如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，则图中与平面PCD 垂直的平面是（ ）A ．平面ABCDB ．平面PBCC ．平面PAD D ．平面PCD答案：C分析：由线面垂直得到线线垂直，进而证明出线面垂直，面面垂直.因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，由四边形ABCD 为矩形得CD ⊥AD ，因为PA ∩AD =A ，所以CD ⊥平面PAD ．又CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ．故选：C5、在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6 答案：D分析：平移直线AD 1至BC 1，将直线PB 与AD 1所成的角转化为PB 与BC 1所成的角，解三角形即可.如图，连接BC1,PC1,PB，因为AD1∥BC1，所以∠PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥PC1，又PC1⊥B1D1，BB1∩B1D1=B1，所以PC1⊥平面PBB1，所以PC1⊥PB，设正方体棱长为2，则BC1=2√2,PC1=12D1B1=√2，sin∠PBC1=PC1BC1=12，所以∠PBC1=π6.故选：D6、圆台的上、下底面的面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是（）A．2√33πB．2√3πC．7√36πD．7√33π答案：D分析：求出圆台的高，再利用圆台的体积公式进行计算.设圆台的上、下底面的半径分别为r，R，母线长为l，高为h.,由圆台的上、下底面的面积分别是π，4π，得{πr2=π,πR2=4π,所以r=1，R=2，由圆台侧面积公式可得π×(2+1)l=6π，所以l=2，所以ℎ=√22−(2−1)2=√3，所以该圆台的体积V=13πℎ(R2+r2+Rr)=13π×√3×(4+1+2)=7√33π.故选：D.7、下面四个选项中一定能得出平面α/⁄平面β的是（）A．存在一条直线a，a//α，a//βB．存在一条直线a，a⊂α，a//βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a//β，b//αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a//β，b//α答案：D分析：对于A，B，C，举出符合条件的特例即可判断；对于D，过直线a作平面γ∩β=c，再证c//α即可. 如图，ABCD−A1B1C1D1是长方体，平面ABCD为平面α，平面ABB1A1为平面β，对于A，直线C1D1为直线a，显然a//α，a//β，而α与β相交，A不正确；对于B，直线CD为直线a，显然a⊂α，a//β，而α与β相交，B不正确；对于C，直线CD为直线a，直线A1B1为直线b，显然a⊂α，b⊂β，a//β，b//α，而α与β相交，C不正确；对于D，因a，b是异面直线，且a⊂α，b⊂β，过直线a作平面γ∩β=c，如图，则c//a，并且直线c与b必相交，而c⊄α，于是得c//α，又b//α，即β内有两条相交直线都平行于平面α，⁄平面β.因此，平面α/故选：D8、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容积约为（）A．100cm3B．200cm3C．300cm3D．400cm3答案：B分析：根据题意可知圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为ℎ，所以ℎ−4ℎ=610，求出ℎ的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.解：根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为ℎ，所以ℎ−4ℎ=610，解得：ℎ=10，则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6，所以该壶的容积V=13×π×52×10−13×π×32×6=1963π≈200cm3.故选：B.多选题9、如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（）A．圆柱的体积为4πR3B．圆锥的侧面积为√5πR2C．圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等D．圆柱､圆锥､球的体积之比为3：1：2答案：BD分析：依次判断每个选项：圆柱的体积为2πR3，A错误；圆锥的侧面积为√5πR2，B正确；圆柱的侧面积为4πR2，C错误；计算体积之比为3：1：2，D正确，得到答案.依题意圆柱的底面半径为R，则圆柱的高为2R，圆柱的体积为πR2×2R=2πR3，∴A错误；圆锥的母线长为√5R，圆锥的侧面积为πR×√5R=√5πR2，∴B正确；∵圆柱的侧面积为4πR2，圆锥表面积为√5πR2+πR2，∴C错误；∵V圆柱=πR2⋅2R=2πR3，V圆锥=13πR2⋅2R=23πR3，V球=43πR3∴V圆柱:V圆锥:V球=2πR3:23πR3:43πR3=3:1:2，∴D正确.故选：BD.10、在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别为AB,A1D1的中点，则（）A．BD⊥B1CB．EF//平面DB1BC．AC1⊥平面B1D1CD．过直线EF且与直线BD1平行的平面截该正方体所得截面面积为√2答案：BC解析：（1）求出BD,B1C所成的角，不为90∘（2）通过证明面面平行，再到线面平行.即先证面FGE//面DBB1D1，再可以说明EF//平面DB1B（3）先证B1C⊥面ABC1，则可说明B1C⊥AC1，同理可得B1D1⊥AC1，则证明了AC1垂直于平面内两条相交直线，故AC1⊥平面B1D1C（4）找到过直线EF且与直线BD1平行的平面即平面FGEQ，求出面积即可A. 由图易知BD//B1D1，又有B1D1=D1C=B1C=2√2，故△B1D1C为等边三角形，故B1D1与B1C所成的角为60∘BD,B1C所成的角为60∘，故A错.B. 记AD中点为G，易知FG//D1D，GE//DB，则可知FG//面DBB1D1，GE//面DBB1D1故面FGE//面DBB1D1FE⊂面FGE，故EF//平面DB1B.C. 四边形BCB1C1为正方形，B1C⊥BC1，又AB⊥面B1BCC1，故AB⊥B1C则B1C⊥面ABC1故B1C⊥AC1同理B1D1⊥AC1故AC1⊥平面B1D1C.D.记A1B1中点为Q，由B项可知，面FGEQ//面DBB1D1，故BD1//面FGEQ，又EF⊂面FGEQ，故过EF且与直线BD1平行的平面为如图所示的平面FGEQ，面积为S=FQ⋅FG=2⋅√2=2√2.故选：BC小提示：本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.11、如图直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，BC=CD=12AB=2，E为AB中点.以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=2√3则（）A．平面PED⊥平面PCD B．PC⊥BDC．二面角P−DC−B的大小为π4D．PC与平面PED所成角的正切值为√2答案：ABC解析：先证明PE⊥平面DEBC，得PE⊥DC，再结合DC⊥DE，即证DC⊥平面PED，所以平面PED⊥平面PCD，判断A正确；利用投影判断PC⊥BD，判断B正确；先判断∠PDE即为二面角P−DC−B的平面角，再等腰直角三角形判断∠PDE=π4，即C正确；先判断∠CPD为PC与平面PED所成的角，再求正切tan∠CPD=CDPD，即知D错误.由题易知EC=2√2，又PE=2，PC=2√3，所以PE2+EC2=PC2，所以PE⊥EC，又PE⊥ED，ED∩EC=E，所以PE⊥平面DEBC，所以PE⊥DC，又DC⊥DE，PE∩DE=E，所以DC⊥平面PED，又DC⊂平面PCD，所以平面PED⊥平面PCD，故A正确；PC在平面EBCD内的射影为EC，又EBCD为正方形，所以BD⊥EC，PC⊥BD，故B正确；易知∠PDE即为二面角P−DC−B的平面角，又PE⊥ED，PE=ED，所以∠PDE=π4，故C正确；易知∠CPD为PC与平面PED所成的角，又PD=2√2，CD=2，CD⊥PD，所以tan∠CPD=CDPD =2√2=√22，故D错误.小提示：求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.本题使用了定义法.填空题12、我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱ABC−A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1=AB=1，当“阳马”即四棱锥B−A1ACC1，体积最大时，“堑堵”即三棱柱ABC−A1B1C1的表面积为_______.答案：3+2√22分析：依据均值定理去求四棱锥B−A1ACC1取体积最大值时AB的长度，再去求三棱柱ABC−A1B1C1的表面积即可.四棱锥B−A1ACC1的体积是三棱柱体积的23，V ABC−A1B1C1=12AC⋅BC⋅AA1=12AC⋅BC≤14(AC2+BC2)=14AB2=14，当且仅当AB=BC=√22时，取等号.所以三棱柱ABC−A1B1C1的表面积为S=2×12×√22×√22+(√22+√22+1)×1=3+2√22.所以答案是：3+2√2213、如图，平面OAB⊥平面α，OA⊂α，OA=AB，∠OAB=120°．平面α内一点P满足PA⊥PB，记直线OP 与平面OAB所成角为θ，则tanθ的最大值是_________．答案：√612分析：作出图形，找出直线OP与平面OAB所成的角θ，证出PA⊥平面PBH，得出PA⊥PH，得出点P的轨迹就是平面α内以线段AH为直径的圆(A点除外)，转化成与圆有关的最值问题，即可求出结果.如图，过点B作BH⊥OA，交OA的延长线于点H，连接PH，OP，取AH的中点为E，连接PE，过点P作PF⊥OA，垂足为F，∵平面OAB⊥平面α，且平面OAB∩平面α=OA，BH⊂平面OAB，PF⊂α，∴BH⊥α，PF⊥平面OAB，∴OP在平面OAB上的射影就是直线OA，故∠AOP就是直线OP与平面OAB所成的角θ，即∠AOP=θ，∵AP⊂α，∴AP⊥BH，又∵PA⊥PB，PB∩BH=B，PB，BH⊂平面PBH，∴PA⊥平面PBH，∵PH⊂平面PBH，∴PA⊥PH，故点P的轨迹就是平面α内以线段AH为直径的圆(A点除外)，∵OA=AB，且∠OAB=120∘，∴∠BAH=60∘，设OA=a(a>0)，则AB=a，从而AH=AB⋅cos60∘=a2，∴PE=12AH=a4，如图，当且仅当PE⊥OP，即OP是圆E的切线时，角θ有最大值，tanθ有最大值，tanθ取得最大值为：PEOP =√OE2−PE2=a4√(a+4)2−(4)2=√612．所以答案是：√612.14、如果一个水平放置的图形用斜二测画法画出的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是______.答案：2+√2##√2+2分析：求出直观图中梯形的下底长，作出原图形，结合梯形的面积公式可求得结果.直观图中，梯形的下底长为1+2×1×cos45∘=1+√2，作出原图形如下图所示：由图可知，原图形为直角梯形ABCD，且该梯形的上底长为CD=1，下底长为AB=1+√2，高为AD=2，=2+√2.因此，原图形的面积为S=(AB+CD)⋅AD2所以答案是：2+√2.解答题15、如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1C1与B1D1交于点O1，求证：(1)直线A1B∥平面ACD1；(2)直线BO1∥平面ACD1．答案：(1)证明见解析(2)证明见解析分析：(1)根据题意，先证得四边形A1D1CB是平行四边形，从而证得A1B∥D1C，即可证得线面垂直；(2)连接BD，交AC于O，连接D1O，只需证明O1B∥D1O，即可证得线面垂直；（1）证明：直线A1B在平面ACD1外，因为A1D1∥BC，A1D1=BC，所以四边形A1D1CB是平行四边形，所以A1B∥D1C，而D1C是平面ACD1内的直线，根据判定定理可知，直线A1B∥平面ACD1．（2）证明：如图，连接BD，交AC于O，连接D1O，易知D1O1∥OB，D1O1=OB，则四边形D1O1BO是平行四边形，所以O1B∥D1O，所以D1O在平面ACD1上，根据判定定理可知，O1B∥平面ACD1．。
必修二立体几何知识点
必修二立体几何知识点一、引言本文档旨在概述高中必修二课程中立体几何的核心知识点，为教师和学生提供一个清晰的学习指南。
二、立体图形的基础1. 点、线、面的关系- 点的位置关系：共面、异面- 线的位置关系：平行、相交、异面- 面的位置关系：平行、相交2. 立体图形的分类- 多面体：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球体- 旋转体：球面、圆锥面、圆柱面三、多面体1. 棱柱- 棱柱的结构特征- 棱柱的体积和表面积计算2. 棱锥- 棱锥的结构特征- 棱锥的体积和表面积计算3. 棱台- 棱台的结构特征- 棱台的体积计算四、旋转体1. 圆柱和圆锥- 结构特征- 体积和表面积计算- 旋转体的方程表示2. 球体- 结构特征- 体积和表面积计算五、立体图形的截面1. 截面的概念- 截面的定义- 截面的形状分类2. 截面的性质- 截面与原图形的关系- 截面的计算方法六、空间向量1. 空间向量的定义- 空间向量的基本概念- 空间向量的加法、减法和数乘2. 空间向量的应用- 点到直线的距离- 直线到平面的距离- 立体图形的体积计算七、立体角1. 立体角的定义- 立体角的概念- 立体角的度量2. 立体角的性质- 立体角与平面角的关系- 立体角的计算方法八、结语本文档提供的知识点是理解和掌握立体几何的基础。
教师应根据学生的实际情况，适当调整教学进度和深度。
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高一必修2数学立体几何知识点总结
立体几何一、平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行二、空间线面的位置关系共面平行—没有公共点(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点异面 (既不平行，又不相交)直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点(3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点)平行—没有公共点三、线面平行与垂直的判定(1)两直线平行的判定①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
③垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b（线面垂直的性质定理）④两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b（面面平行的性质公理）⑤中位线定理、平行四边形、比例线段……，α∩β=b,则a∥b.（线面平行的判定定理）⑥平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.（公理4）(2)两直线垂直的判定①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b⊂α，a⊥b.④利用勾股定理，等腰三角形三线合一。
(3)直线与平面平行的判定①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a⊄α,b⊂α，a∥b,则a ∥α.（线面平行的判定定理）③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,l⊂α，则l∥β.(4)直线与平面垂直的判定①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m⊂α，n⊂α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.（线面垂直判定定理）③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l⊂β，l⊥a,则l⊥α.(面面垂直的性质定理)(5)两平面平行的判定①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点⇔α∥β.②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b ⊂α，a ∩b=P,a ∥β,b ∥β,则α∥β.（面面平行判定定理）(6)两平面垂直的判定①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a －β=90°⇔α⊥β.②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l ⊥β,l ⊂α，则α⊥β. （面面垂直判定定理） 四、空间中的各种角定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 1、异面直线所成的角(1)定义：a 、b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ′∥a,b ′∥b,则a ′和b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 和b 所成的角.(2)取值范围： 0°＜θ≤90°. (3)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ； ②解含有θ的三角形，求出角θ的大小. 3、二面角及二面角的平面角(1)半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角 一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°(3)二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.②找(或作)二面角的平面角的主要方法. (i)定义法 (ii)三垂线法先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值. 五 表面积公式和体积公式=2 S =S rl rlππ圆柱侧圆锥侧12)=S r r lπ+圆台侧（''()1=2S c c h +正棱台侧'1=ch S =2S ch直棱柱侧正棱锥侧1= V =3V Sh Sh柱体锥体1=+3V S S h下台体上（234=4 V =3S R R ππ球面球。
数学必修二知识点归纳
数学必修二知识点归纳一、空间几何体（一）棱柱棱柱是由两个平行的平面（底面）和多个侧面组成的几何体。
侧面是矩形，且侧棱相互平行且相等。
棱柱根据底面多边形的边数可以分为三棱柱、四棱柱等。
（二）棱锥棱锥是由一个底面和多个侧面组成的几何体，侧面是三角形，且交于一点（顶点）。
常见的棱锥有三棱锥、四棱锥等。
（三）棱台棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。
（四）圆柱以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的面所围成的几何体叫做圆柱。
（五）圆锥以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
（六）圆台用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台。
（七）球以半圆的直径所在直线为轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。
二、空间几何体的表面积和体积（一）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积之和。
（二）圆柱的表面积S ＝2πr² ＋2πrl（其中 r 为底面半径，l 为母线长）（三）圆锥的表面积S ＝πr² ＋πrl（四）圆台的表面积S ＝π(r'² ＋ r²＋ r'l ＋ rl) （r'、r 分别为上、下底面半径，l 为母线长）（五）球的表面积S ＝4πR² （R 为球的半径）（六）柱体的体积V ＝ Sh （S 为底面积，h 为高）（七）锥体的体积V ＝ 1/3 Sh（八）台体的体积V ＝ 1/3 h(S ＋√（SS'）＋ S'）（S、S'分别为上、下底面积，h 为高）（九）球的体积V ＝4/3 πR³三、空间点、直线、平面之间的位置关系（一）平面的基本性质1、公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
2、公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
3、公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。