2021年北京市西城区高三数学一模试卷与答案_20210409154420
条件①： f (x) 的最小值为－2；
条件②： f (x) 图象的一个对称中心为（ 5 ，0）； 12
条件③： f (x) 的图象经过点（ 5 ，－1）； 6
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
（18）（本小题 14 分）
天文学上用基等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮.视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度； 绝对星等是假定把恒星成放在距地球 32.6 光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领.
北京市西城区 2021 届高三一模数学试题
数学
2021.4
本试卷共 6 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 A＝{x | x≥1}，B＝{－1，0，1，2}，则 A∩B＝
9
（A）
4
（B）4
9
（C）
2
（D）6
（7）在△ABC 中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6 sin B，则 c＝
（A） 35
（B） 31
（C） 6
（D）5
（8）抛物线具有以下光学性质:从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应 用非常广泛.如图，从抛物线 y2＝4x 的焦点 F 发出的两条光线 a,b 分别经抛物线上的 A,B 两点反射，已知两条 入射光线与 x 轴所成锐角均为 60°，则两条反射光线 a'和 b'之间的距离为
（A）12
（B） 8 2
（C）16
（D） 8 4 2
（5）已知函数
f
(x)
2 x
log2
x
，则不等式
f
(x)
0 的解集是
（A）（0，1）
（B）（－∞，2）
（C）（2，＋∞）
（D）（0，2）
（6）在△ABC 中，C＝90º，AC＝4，BC＝3，点 P 是 4B 的中点，则 CB CP
1 / 14
满指数（蓄满指数＝ 水库实际蓄水量 100 ）来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下： 水库总蓄水量
（i）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0，100]；
（ii）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
（iii）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变.
记 x 为调度前某水库的蓄满指数，y 为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个 y 关于 x 的函数解析式：
（A）{2}
（B）{1，2}
（C）{0，1，2}
（D）{x | x≥－1}
（2）已知复数 z 满足 z z 2i ，则 z 的虚部是
（A）－1
（B）1
（C）－i
（D）i
（3）在
(x
1 x2
)6
的展开式中，常数项为
（A）15
（B）－15
（C）30
（D）－30
（4）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为
（A） 2 3 3
（B） 8 3
（C） 4 3 3
（D） 8 3 3
（9）在无穷等差数列{an}中，记 Tn ＝a1－a2＋a3－a4＋a5－…＋(－1)n+1，an（n＝1,2,…），则“存在 m∈N*，使得 Tm < Tm2 ”是“{an}为递增数列”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（10）若非空实数集 X 中存在最大元素 M 和最小元素 m，则记△（X）＝M－m.下列命题中正确的是
（A）已知 X＝{－1，1}，Y＝{0，b}，且△（X）＝△（Y），则 b＝2
（B）已知 X＝[a，a＋2]，Y＝{y|y＝x2，x∈X}，则存在实数 a，使得△（Y）<1
（11）函数 f (x) ln x 1 x 的定义域是____________.
2 / 14
（12）已知双曲线 C： x2 y2 1 ，则 C 的渐近线方程是______；过 C 的左焦点且与 x 轴垂直的直线交其渐近线 84
于 M，N 两点，O 为坐标原点，则△OMN 的面积是______. （13）在等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a2＋a4＝－5，则公比 q＝______；若 an>1，则 n 的最大值为______。 （14）已知函数 f（x）＝sin x，若对任意 x∈R 都有 f（x）＋f（x＋m）＝c（c 为常数），则常数 m 的一个取值为 ______. （15）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来 临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄
（C）已知 X＝（x f（x）≥g（x）x∈[－1，1]}，若△（X）＝2，则对任意 X∈[－1，1]，都有 f（x）≥g
（x） （D）已知 X=[a，a＋2]，Y＝[b,b＋3]，则对任意的实数 a，总存在实数 b，使得△（X∪Y）≤3
第二部分（非选择题共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
① y 1 x2 6x ； ②y＝10
x
x ； ③ y 1050 ； ④ y 100 sin
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
20
200
则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是________.
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题 13 分） 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为 DD1 的中点. （I）求证：BD//平面 ACE; （II）求直线 AD 与平面 ACE 所成角的正弦值.
3 / 14
（17）（本小题 13 分）
已知函数 f (x) Asin( x )(A 0, 0, ) ，且 f (x) 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，
2
2
再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组己知条件.
（I）确定 f (x) 的解析式:
（II）若 f (x) 图象的对称轴只有一条落在区间[0，a]上，求 a 的取值范围.
下表列出了（除太阳外）视星等数值最小的 10 颗最充恒星的相关数据，其中 a∈[0,1.3]
星
天
名 狼星
老 人星
南 门二
大角 星
织女 一
五 车二
参 宿七
南 河三
水 委一
参宿 四*
视
－
－
－
－
0.03
0.08
2024年北京市西城区高三一模数学答案
2024.4 第1页（共6页）西 城 区 高 三 统 一 测 试 试 卷数学答案及评分参考 2024.4一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）B （ 2 ）D （ 3 ）A （ 4 ）C （ 5 ）C（ 6 ）A（ 7 ）A（ 8 ）B（ 9 ）D（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11（12）π3 π3（答案不唯一） （13）y =（14）6−n 13−（15）① ③ ④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共14分） 解：（Ⅰ）连接1A B ，设11A BAB E =，连接DE ．………1分因为在三棱柱111ABC A B C −中，四边形11A ABB 是平行四边形， 所以E 为1A B 的中点．………2分因为D 为BC 的中点， 所以1//DE A C ．………3分又因为1A C ⊄平面1AB D ，⊂DE 平面1AB D ， 所以1//AC 平面1AB D ． ………5分（Ⅱ）因为1AB AC ⊥，AB AC ⊥，所以AB ⊥平面11A ACC ．………6分所以1AB AA ⊥．又1AA AC ⊥，所以1,,AB AC AA 两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系A x yz −．………7分 则(0,0,0)A ，1(2,0,2)B ，(1,1,0)D ，(0,2,0)C ． 所以1(,,)202AB =，(,,)110AD =．2024.4 第2页（共6页）设平面1AB D 的法向量为(,,)x y z =m ，则10,0,AB AD =⎧⎪⎨=⎪⎩⋅⋅m m 即220,0.x z x y +=⎧⎨+=⎩令1x =−，则1y =，1z =．于是(1,1,1)=−m ． ………10分因为AC ⊥平面11A ABB ，所以(0,2,0)AC =是平面11A ABB 的一个法向量． ………11分 所以3cos ,3||||AC AC AC 〈〉==⋅m m m ．………13分由题设，二面角11D ABA −−的平面角为钝角， 所以二面角11D AB A −−的余弦值为 ………14分（17）（共13分）解：（Ⅰ）由tan 2sin a B b A =，得sin 2sin cos a B b A B =．………1分 在ABC △中，由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A B A B B =．………3分因为sin 0,sin 0A B >>， 所以1cos 2B =． ………4分 又0πB <∠<， ………5分 所以π3B ∠=．………6分 （Ⅱ）选条件①：BC………7分设BC 边中点为M ，连接AM ，则AM =，4BM =．在ABM △中，由余弦定理得2222cos AM AB BM AB BM B =+−⋅⋅，………9分 即2π21168cos3AB AB =+−⋅． 整理得2450AB AB −−=． 解得5AB =或1AB =−（舍）．………11分 所以ABC △的面积为1sin 2ABC S AB BC B =⋅⋅=△．………13分2024.4 第3页（共6页）选条件③：7b =．………7分 在ABC △中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+−，………9分即222π7816cos3c c =+−⋅． 整理得28150c c −+=． 解得3c =或5c =．………11分当3c =时，ABC △的面积为1sin 2ABC S ac B ==△ 当5c =时，ABC △的面积为1sin 2ABC S ac B ==△．………13分（18）（共13分）解：（Ⅰ）甲进入决赛，理由如下：丙射击成绩的总环数为26471081892610542⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，甲射击成绩的总环数为16171082492410549⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 因为549542>，所以甲进入决赛．………3分（Ⅱ）根据题中数据，“甲命中9环”的概率可估计为242605=； “甲命中10环” 的概率可估计为242605=； “乙命中9环” 的概率可估计为301602=； “乙命中10环” 的概率可估计为151604=．………5分所以这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率可估计为：222212122212121113()()()()C ()C ()5452524100⨯+⨯+⨯⨯=． ………10分 （Ⅲ）7a =和8．（写出一个即可）………13分2024.4 第4页（共6页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，2222,1,2.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪−=⎩………3分解得224,3a b ==．所以椭圆G 的方程为22143x y +=． ………5分（Ⅱ）由题设，直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+．则(2,2)E k m +,直线OE 的方程为()2my k x =+． ………6分 由22,3412,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(43)84120k x kmx m +++−=．………7分由2248(43)0=−+>Δk m ，得2243<+m k ．设11(,)C x y ，22(,)D x y ，则122843kmx x k +=−+，212241243m x x k −=+． ………8分直线AC 的方程为11(2)2yy x x =++． ………9分联立直线AC 和OE 得11(2)()22y mx k x x +=++． 解得1111111244()44()(2)2M y y kx m x mmx k mx kk x y +===++++−．………11分同理可得224()4N kx m x mx k +=+．所以122112()(4)()(4)4(4)(4)M N kx m mx k kx m mx k x x mx k mx k ++++++=⨯++．………12分因为1221()(4)()(4)+++++kx m mx k kx m mx k22121222222222(4)()82(412)8(4)8(43)4343430kmx x k m x x kmkm m km k m km k k k k =++++−++=−++++=，所以0M N x x +=，即点M 和点N 关于原点O 对称． 所以||||=OM ON ．………15分2024.4 第5页（共6页）（20）（共15分）解：（Ⅰ）当1a =时，()ln e =++x f x x x x ，所以1()1(1)e '=+++x f x x x． ………2分所以(1)2e 2f '=+．所以曲线()y f x =在点(,())11f 处切线的斜率为2e 2+．………4分（Ⅱ）当1a =−时，()ln()e =+−−x f x x x x ，()f x 的定义域为(,0)−∞．11()1(1)e (1)(e )'=+−+=+−x x f x x x x x． ………6分因为1e 0xx−<， 所以(,1)x ∈−∞−时，()0f x '>；(1,0)x ∈−时，()0f x '<．所以()f x 的单调递增区间为(,1)−∞−；单调递减区间为(1,0)−． ………9分 （Ⅲ）1e ()(1)()'=++xf x x x a．当0a >时，()f x 的定义域为(0,)+∞． 所以()0'>f x ，()f x 在(0,)+∞上单调递增．因为1()0>f a ，所以0a >不合题意．………11分当0a <时，()f x 的定义域为(,0)−∞．因为(,1)x ∈−∞−时，()0f x '>；(1,0)x ∈−时，()0f x '<． 所以()f x 的单调递增区间为(,1)−∞−；单调递减区间为(1,0)−． 所以max 1()(1)1ln()e=−=−+−−f x f a a ． ………13分设1()1ln()e =−+−−g x x x ，则2211e 1()e e +'=+=x g x x x x ， 因为1(,)e ∈−∞−x 时，()0'<g x ；1(,0)e∈−x 时，()0'>g x ，所以()g x 的单调递减区间为1(,)e −∞−；单调递增区间为1(,0)e −．所以min 1()()1e=−=−g x g ．所以集合{|()1}−≥x f x 有且只有一个元素时1ea =−．………15分2024.4 第6页（共6页）（21）（共15分） 解：（Ⅰ）记1122i i i n in t a b a b a b =+++．因为1233,2,0t t t ===， ………3分 所以2=K ．………4分（Ⅱ）（ⅰ）B 不满足3m r =，理由如下：假设B 满足3m r =．因为B 的每行恰有三个1，故B 中满足1==i p i q b b 的(,,)i p q 的个数共有3m 个． 另一方面，从B 中任选两列共有2C n 种可能，且对任意两列，都恰有r 行使得 这两列的数均为1，故B 中满足1==i p i q b b 的(,,)i p q 的个数共有2C n r 个． 所以23C n m r =．当3m r =时，得2C 9n =，此方程无解． 所以B 不满足3m r =．………9分（ⅱ）由（ⅰ）可得23C nm r =，即2C 3nr m =．下面考虑满足1==i p i q b b ，但p q a a ≠的(,,)i p q 的个数：对B 中满足0≠i t 和3的−m K 行，每行恰有两组(,)p q 使1==i p i q b b 且p q a a ≠，所以满足1==i p i q b b ，但p q a a ≠的(,,)i p q 的个数为2C 2()2()3−=−n r m K K ．………11分设数列A 中有x 项为1，−n x 项为0．满足1==i p i q b b ，但p q a a ≠的(,)p q 的个数为()−x n x ． 所以满足1==i p i q b b ，但p q a a ≠的(,,)i p q 的个数为()−rx n x ．………13分所以2C ()2()3−=−n r rx n x K ．所以222C ()(33)326−=−=−+−nr rx n x r K x nx n n 22222331()()(4)6426424−+−=−−≥≥r n n r n n n n n n ． ………15分。
2021年北京市西城区高三数学一模试卷与答案_20210409154420
所以 2 k (k Z) ， 12
所以 k (k Z) . 6
因为 ，所以 ，此时 k 1.
2
6
所以
f
(x)
A sin(2 x
)
.
6
因为函数 f (x) 的图象过点 ( , 1) ， 6
所以
f
()
（A）12
（B） 8 2
（C）16
（D） 8 4 2
（5）已知函数
f
(x)
2 x
log2
x
，则不等式
f
(x)
0 的解集是
（A）（0，1）
（B）（－∞，2）
（C）（2，＋∞）
（D）（0，2）
（6）在△ABC 中，C＝90º，AC＝4，BC＝3，点 P 是 4B 的中点，则 CB CP
1 / 14
，
8 / 14
………………5 分
………………7 分 ………………8 分 ………………3 分
则
f
()
1 ，即
2 sin(
)
1
，
sin(
)
1
.
6
3
3
2
因为 ，所以 ，
2
6
36
所以 ， .
36
6
所以
f
(x)
2 sin(2 x
)
.
6
选条件②③：
因为函数 f (x) 的一个对称中心为 ( , 0 ) ，
（A）{2}
（B）{1，2}
（C）{0，1，2}
（D）{x | x≥－1}
（2）已知复数 z 满足 z z 2i ，则 z 的虚部是
（A）－1
（B）1
北京市西城区高考一模考试数学试题（文）含答案解析
西城区高三统一测试数学（文科） .4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}A =，{1,4}B =，那么UA B =（A ）{3,5} （B ）{2,4,6} （C ）{1,2,4,6} （D ）{1,2,3,5,6}2．在复平面内，复数1ii+的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3．双曲线2213x y -=的焦点坐标是（A ）2)，(0,2) （B ）2,0)，(2,0) （C ）(0,2)，(0,2)-（D ）(2,0)，(2,0)-4．函数21()()log 2x f x x =-的零点个数为 （A ）0（B ）1（C ）2 （D ）35．函数()f x 定义在(,)-∞+∞上．则“曲线()y f x =过原点”是“()f x 为奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在ABC △中，点D 满足3BC BD −−→−−→=，则 （A ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=+ （B ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=- （C ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=+（D ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=-7．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为 （A ）3（B ）6 （C ）42（D ）258．函数()f x 的图象上任意一点(,)A x y 的坐标满足条件||x 质P ．下列函数中，具有性质P 的是 （A ）2()f x x = （B ）21()1f x x =+ （C ）()sin f x x = （D ）()ln(1)f x x =+第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数()xf x 的定义域为____． 10．执行如图所示的程序框图. 当输入1ln 2x =时，输出的y 值为____．11．圆22:2210C x y x y +--+=的圆心坐标是____； 直线 :0l x y -=与圆C 相交于,A B 两点，则||AB =____． 12．函数sin 4()1cos4xf x x=+的最小正周期是____．13．实数,x y 满足1,2,220,x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≤≤≥则22x y +的最大值是____；最小值是____．14． 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动．平面区域W 由所有满足15A P P 组成，则W 的面积是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知{}n a 是等比数列，13a =，424a =．数列{}n b 满足11b =，48b =-，且{}n n a b +是等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和．16．（本小题满分13分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan 2sin a C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．17．（本小题满分13分）在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号 1 2 3 4 5 考前预估难度i P 0.90.80.70.60.4测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：学生编号 题号 1 234 5 1 × √ √ √ √2 √ √ √ √ ×3 √ √ √ √× 4 √ √√ ××5√ √ √ √ √ 6 √ × × √ × 7 × √ √√× 8 √ × × × × 9 √ √ ××× 10 √ √√√×（Ⅰ）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 实测难度（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率； （Ⅲ）定义统计量22211221[()()()]n n S P P P P P P n'''=-+-++-，其中i P '为第i 题的实测难度，i P 为第i 题的预估难度(1,2,,)i n =．规定：若0.05S <，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理.18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AC =．过点A 的平面与棱,,PB PC PD 分别交于点,,E F G （,,E F G 三点均不在棱的端点处）．（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PBC ； （Ⅱ）若PC ⊥平面AEFG ，求PFPC的值； （Ⅲ）直线AE 是否可能与平面PCD 平行？证明你的结论．19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -， ||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 作OE DF ⊥，交直线4x =于点E ．求证：//OE AP ．20．（本小题满分13分）已知函数21()e 2x f x x =-．设l 为曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线，其中0[1,1]x ∈-．（Ⅰ）求直线l 的方程（用0x 表示）； （Ⅱ）求直线l 在y 轴上的截距的取值范围；（Ⅲ）设直线y a =分别与曲线()y f x =和射线1([0,))y x x =-∈+∞交于,M N 两点，求||MN 的最小值及此时a 的值．西城区高三统一测试高三数学（文科）参考答案及评分标准.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．{|0x x ≥，且1}x ≠ 10．12 11．(1,1)；212．π2 13．5；4514．π44-注：第11，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得3418a q a ==， 解得 2q =． [ 2分] 所以 11132(1,2,)n n n a a q n --=⋅=⋅=． [ 4分]设等差数列{}n n a b +的公差为d ，由题意得4411()()1644413a b a b d +-+-===-． [ 6分]所以 11()(1)4n n a b a b n d n +=++-=． [ 8分] 从而 1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=．[ 9分]（Ⅱ）由（Ⅰ）知1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=．数列{4}n 的前n 项和为2(1)n n +；数列1{32}n -⋅的前n 项和为3(21)n ⋅-．[12分]所以，数列{}n b 的前n 项和为 222323n n n +-⋅+． [13分]16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ） 由 tan 2sin a C c A =，得sin 2sin cos a C A c C⋅=． [ 1分] 由正弦定理得 sin sin 2sin sin cos A CA C C⋅=． [ 3分] 所以 1cos 2C =． [ 4分] 因为 (0,π)C ∈， [ 5分] 所以 π3C =． [ 6分] （Ⅱ） sin sin A B +2πsin sin()3A A =+- [ 7分] 33sin 2A A = [ 9分] π3sin()6A +． [11分]因为 π3C =，所以 2π03A <<， [12分]所以 当π3A =时，sin sin AB +3 [13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 8 8 7 7 2 实测难度0.80.80.70.70.2[ 4分]所以，估计120人中有1200.224⨯=人答对第5题． [ 5分]（Ⅱ）记编号为i 的学生为(1,2,3,4,5)i A i =，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种．其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，25(,)A A ，35(,)A A ，45(,)A A ，共6种． [ 9分]所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题的概率为63105P ==． [10分]（Ⅲ）i P '为抽样的10名学生中第i 题的实测难度，用i P '作为这120名学生第i 题的实测难度．222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=． [12分]因为 0.0120.05S =<，所以，该次测试的难度预估是合理的． [13分]18．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥． [ 1分] 因为ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥， [ 2分] 所以BC ⊥平面PAB ． [ 3分] 所以平面PAB ⊥平面PBC ． [ 4分] （Ⅱ）连接AF ． [ 5分]因为 PC ⊥平面AEFG ，所以 PC AF ⊥． [ 7分]又因为 PA AC =，所以 F 是PC 的中点． [ 8分] 所以12PF PC =． [ 9分] （Ⅲ）AE 与平面PCD 不可能平行． [10分]证明如下：假设//AE 平面PCD ，因为 //AB CD ，AB ⊄平面PCD ．所以 //AB 平面PCD ． [12分] 而 AE AB ⊂，平面PAB ，所以 平面//PAB 平面PCD ，这显然矛盾！ [13分] 所以假设不成立，即AE 与平面PCD 不可能平行． [14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =，3a c +=． [ 2分] 解得 2a =，1c =． 所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=． [ 5分]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=， [ 7分] 所以 21216243k x k --+=+． [ 8分]所以 202843k x k -=+，0026(2)43k y k x k =+=+，即 22286(,)4343k kM k k -++． [ 9分]所以直线OM 的斜率是 22263438443k k k k k +=--+， [10分]所以直线OM 的方程是 34y x k =-．令4x =，得3(4,)D k-． [11分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 3141k k-=--， [12分]因为OE DF ⊥，所以直线OE 的斜率为k ， [13分] 所以直线//OE AP ． [14分]解法二：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=．因为AP 的中点为M ，所以 112(,)22x y M -． [ 6分] 所以直线OM 的斜率是 112OM y k x =-， [ 7分] 所以直线OM 的方程是 112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 1143(2)DF y k x =-． [ 9分]因为直线AP 的斜率是 112AP y k x =+， [10分] 所以 2121413(4)DF APy k k x ⋅==--， [12分] 所以 AP DF ⊥． [13分] 因为 OE DF ⊥，所以 //OE AP ． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 对()f x 求导数，得()e x f x x '=-， [ 1分]所以切线l 的斜率为000()e x x f x '=-， [ 2分] 由此得切线l 的方程为：000002(1(e 2))e ()x x x x x y x ----=，即 000020(e )(1)1e 2x x x x y x x =+-+-. [ 3分]（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，直线l 在y 轴上的截距为0020(1)1e 2x x x +-． [ 4分]设 2()(1)1e 2x g x x x +=-，[1,1]x ∈-． 所以 ()(1e )x g x x '=-，令()0g x '=，得0x =． ()g x ，()g x '的变化情况如下表：x1-(1,0)- 0 (0,1) 1()g x '-0 -()g x21e 2+ ↘ 1↘12所以函数()g x 在[1,1]-上单调递减， [ 6分]所以max 21[()](1)e 2g x g =-=+，min 1[()](1)2g x g ==， 所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围是121[,]2e 2+． [ 8分]（Ⅲ）过M 作x 轴的垂线，与射线1y x =-交于点Q ，所以△MNQ 是等腰直角三角形． [ 9分]所以 21|||||()()||e 1|2x MN MQ f x g x x x ==-=--+． [10分] 设 21()e 12x h x x x =--+，[0,)x ∈+∞， 所以 ()e 1x h x x '=--．令 ()e 1x k x x =--，则()e 10(0)x k x x '=->>， 所以 ()()k x h x '=在[0,)+∞上单调递增， 所以 ()(0)0h x h ''=≥，从而 ()h x 在[0,)+∞上单调递增， [12分] 所以 min [()](0)2h x h ==，此时(0,1)M ，(2,1)N ．11 / 11 所以 ||MN 的最小值为2，此时1a ． [13分]。
北京市西城区2021届高三数学第一次模拟考试试题(含解析).doc
北京市西城区2021届高三数学第一次模拟考试试题（含解析）第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（ ） A. ()0-∞，B. ()23，C. ()()023-∞⋃，，D. ()3-∞，【答案】C 【解析】 【分析】直接求交集得到答案.【详解】集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则()()023A B ⋂=-∞⋃，，. 故选：C .【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题. 2.若复数()()31z i i =-+，则z =（ ）A. B.D. 20【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到()()3142z i i i =-+=+，再计算模长得到答案.【详解】()()3142z i i i =-+=+，故z ==故选：B .【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力. 3.下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A. 2y x =+ B. y sinx = C. 3y x x =-D. 2xy =【答案】C 【解析】 【分析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.【详解】A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除； B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除； C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足； D. 2xy =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除；故选：C .【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（ ） A. 10 B. 9C. 8D. 7【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，得到答案. 【详解】3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，故616159S a d =+=.故选：B .【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.5.设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A. 22(3)2x y -+= B. 22(3)8x y -+= C. 22(3)2x y ++= D. 22(3)8x y ++=【答案】A 【解析】 【分析】计算AB 的中点坐标为()3,0，圆半径为r =.【详解】AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为22ABr ===，圆方程为22(3)2x y -+=. 故选：A .【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力. 6.设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A. a b c +>B. 2ab c >C.a b2c +> D.112a b c+> 【答案】C 【解析】 【分析】取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C .【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用. 7.某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）A. 2223S S ，且B. 2223S S ，且C. 2223S S ，且D. 2223S S ，且 【答案】D 【解析】【分析】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件，故{}2,22,23S =，得到答案.【详解】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件. 故12AB BCCD AD CC =====，1122BC DC ==，123AC =.故{}2,22,23S =，故22S ∈，23S ∈.故选：D .【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 8.设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若a b a b +=+，则a 与b 共线，且方向相同，充分性； 当a 与b 共线，方向相反时，a b a b ≠++，故不必要. 故选：A .【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力. 9.已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A. ①③ B. ③④C. ②③D. ②④【答案】D 【解析】 【分析】计算得到()()2f x k f x π+=，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案. 【详解】()sin 12sin xf x x=+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++，k Z ∈，当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭，故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数关于2x π=对称，故④正确；根据图像知：①③不正确；故选：D .【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.10.设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ） A. (]0101， B. (]099， C. (]0100， D. ()0+∞，【答案】B 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像知：1210x x +=-，341x x =，31110x ≤<，计算得到答案. 【详解】()21010lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且31110x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-. 故选：B .【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.在61()x x+的展开式中，常数项为________.(用数字作答) 【答案】20 【解析】 【分析】61()x x+的展开式的通项为6216-+=r r r T C x ，取3r =计算得到答案.【详解】61()x x +的展开式的通项为：6621661rr r r rr T C x C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，取3r =得到常数项3620C =.故答案为：20.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.12.若向量()()221a x b x ==，，，满足3a b ⋅<，则实数x 的取值范围是____________. 【答案】()3,1- 【解析】 【分析】根据题意计算223a b x x ⋅=+<，解得答案.【详解】()()221a x b x ==，，，，故223a b x x ⋅=+<，解得31x -<<. 故答案为：()3,1-.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.13.设双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为____________.【解析】 【分析】根据渐近线得到b =c =.【详解】2221(0)4x y b b -=>，一条渐近线方程为：y x =，故b =c =6c e a.故答案为：2【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力. 14.函数()24f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为________;若函数()f x 在区间()0α，上单调递增，则α的最大值为________.【答案】 (1). π (2). 8π 【解析】 【分析】直接计算得到答案，根据题意得到2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，242ππα+≤，解得答案.【详解】()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故22T ππ==，当()0,x α∈时，2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， 故242ππα+≤，解得8πα≤.故答案为：π；8π. 【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________. 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确. 故答案为：②③.【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力. 三、解答题:本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，且1222.AB AD AA BD DC =====，(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ)66【解析】 【分析】(Ⅰ)证明1AA AB ⊥，根据222AB AD BD +=得到AB AD ⊥，得到证明.(Ⅱ) 如图所示，分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面11B CD 的法向量()1,1,2n =，()2,0,0AB =，计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ) 1AA ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，故1AA AB ⊥.2AB AD ==，22BD =，故222AB AD BD +=，故AB AD ⊥.1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .(Ⅱ)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D .设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =，则11100n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1x =得到()1,1,2n =，()2,0,0AB =，设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ故6sin cos ,626n AB n AB n ABθ⋅====⋅.【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 17.已知ABC 满足 ，且263b A π==，，求sinC 的值及ABC 的面积.（从①4B π=，②3a =32a sinB =这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）【答案】见解析 【解析】 【分析】 选择①时：4B π=,23A π=，计算62sin 4C =3a =，计算面积得到答案；选择②时，3a =6b ，故B A >，A 为钝角，故无解；选择③时，32a B =，根据正弦定理解得2sin B 62sin 4C =，根据正弦定理得到3a =，计算面积得到答案.详解】选择①时：4B π=,23A π=，故()62sin sin sin cos cos sin C A B A B A B -=+=+=根据正弦定理：sin sin a b A B =，故3a =，故1933sin 2S ab C -==. 选择②时，3a =，6b =，故B A >，A 为钝角，故无解.选择③时，32sin a B =，根据正弦定理：sin sin a bA B=，故6sin 332sin B B =， 解得2sin B =，()62sin sin sin cos cos sin 4C A B A B A B -=+=+=. 根据正弦定理：sin sin a b A B =，故3a =，故1933sin 2S ab C -==. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.2021年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值.(结论不要求证明) 【答案】(Ⅰ)5万；(Ⅱ)分布列见解析，()34E X = ；(Ⅲ)4 【解析】【分析】(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，解得答案. 【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在80分以上的有2人，故人数为：250520⨯=万人. (Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有3人，X 的可能取值为：0,1,2.()25285014C p X C ===，()11532815128C C p X C ===，()23283328C p X C ===.故分布列为：()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=. (Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故4m ≥. 故m 的最小值为4.【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.设函数()()22f x alnx x a x =+-+，其中.a R ∈(Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4π，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2f x e >-. 【答案】(Ⅰ)2a =；(Ⅱ)证明见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)求导得到()()'22a f x x a x =+-+，()'ta 12n 4f π==，解得答案. (Ⅱ) ()()()12'0x x a f x x--==，故02a x=，()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，()20000min 2ln 2f x x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，证明函数单调递减，故()()2min g x g e e >=-，得到证明.【详解】(Ⅰ)()()2ln 2f x a x x a x =+-+，故()()'22af x x a x=+-+， ()()'42tan 1242a f a π=+-+==，故2a =. (Ⅱ) ()()()()12'220x x a af x x a x x--=+-+==，即()22,a x e =∈，存在唯一零点， 设零点为0x ，故()()000'220af x x a x =+-+=，即02a x =， ()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，故()()()()0220000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+==200002ln 2x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，则()'2ln 2g x x x =-，设()()'2ln 2h x g x x x ==-，则()2'20h x x=-<，()h x 单调递减， ()()1'12h g ==-，故()'2ln 20g x x x =-<恒成立，故()g x 单调递减. ()()2min g x g e e >=-，故当()1x e ∈，时，()2f x e >-.【点睛】本题考查了函数切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.20.设椭圆22:12x E y +=，直线1l 经过点()0M m ，，直线2l 经过点()0N n ，，直线1l 直线2l ，且直线12l l ，分别与椭圆E 相交于A B ，两点和C D ，两点.(Ⅰ)若M N ，分别为椭圆E 的左、右焦点，且直线1l x ⊥轴，求四边形ABCD 的面积; (Ⅱ)若直线1l 的斜率存在且不为0，四边形ABCD 为平行四边形，求证:0m n +=;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形ABCD 能否为矩形，说明理由. 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)计算得到故2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎝⎭，1,2C ⎛ ⎝⎭，1,2D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，计算得到面积. (Ⅱ) 设1l 为()y k x m =-，联立方程得到2122221224212221k mx x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，计算AB =，同理CD =AB CD =得到22m n =，得到证明.(Ⅲ) 设AB 中点为(),P a b ，根据点差法得到20a kb +=，同理20c kd +=，故112PQ k k k=-≠-，得到结论. 【详解】(Ⅰ)()1,0M -，()1,0N ，故A ⎛- ⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎝⎭，C ⎛ ⎝⎭，1,D ⎛ ⎝⎭. 故四边形ABCD的面积为S =(Ⅱ)设1l 为()y k x m =-，则()2212x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，故()22222214220k x k mx m k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，故2122221224212221k m x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12AB x =-==同理可得CD =，AB CD ==， 即22m n =，m n ≠，故0m n +=.(Ⅲ)设AB 中点为(),P a b ，则221112x y +=，222212x y +=，相减得到()()()()1212121202x x x x y y y y +-++-=，即20a kb +=，同理可得：CD 的中点(),Q c d ，满足20c kd +=， 故11222PQ d b d b k c a kd kb k k--===-≠---+，故四边形ABCD 不能为矩形. 【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 21.对于正整数n ，如果()*k k N∈个整数12ka a a ⋯，，，满足121k a a a n ≤≤≤⋯≤≤，且12k a a a n ++⋯+=，则称数组()12k a a a ⋯，，，为n 的一个“正整数分拆”.记12k a a a ⋯，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12n k f a a a ⋯，，，，均为奇数的“正整数分拆”的个数为n g .(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数()4n n ≥，设()12k a a a ⋯，，，是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n ，证明:n n f g ≤;并求出使得等号成立的n 的值.(注:对于n 的两个“正整数分拆”()12k a a a ⋯，，，与()12m b b b ⋯，，，，当且仅当k m =且1122k m a b a b a b ==⋯=，，，时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)【答案】(Ⅰ) ()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4；(Ⅱ) n 为偶数时，2nk =，n 为奇数时，12n k -=；(Ⅲ)证明见解析，2n =，4n = 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据题意直接写出答案.(Ⅱ)讨论当n 为偶数时，k 最大为2n k =，当n 为奇数时，k 最大为12n k -=，得到答案.(Ⅲ) 讨论当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <，当n 为偶数时， 根据对应关系得到n n f g ≤，再计算221f g ==，442f g ==，得到答案.【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4.(Ⅱ)当n 为偶数时，123...2k a a a a =====时，k 最大为2n k =； 当n 为奇数时，1231...2,3k k a a a a a -======时，k 最大为12n k -=；综上所述：n 为偶数，k 最大为2n k =，n 为奇数时，k 最大为12n k -=.(Ⅲ)当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <； 当n 为偶数时，设()12,,...,k a a a 是每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了()1,1,...,1和()121,1,...,1,1,...,1k a a a ---的均为奇数的“正整数分拆”， 故n n f g ≤. 综上所述：n n f g ≤.当2n =时，偶数“正整数分拆”为()2，奇数“正整数分拆”为()1,1，221f g ==； 当4n =时，偶数“正整数分拆”为()2,2，()4，奇数“正整数分拆”为()1,1,1,1，()1,3 故442f g ==；当6n ≥时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故n n f g <.综上所述：使n n f g =成立的n 为：2n =或4n =.【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。
高三数学理科试卷西城区一模试卷试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年西城区抽样测试高三数学理科试卷(西城区一模试卷)本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。
一共150分。
考试时间是是120分钟。
第一卷〔选择题一共40分〕一.选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合要求的。
1.设全集{}{}U Z A B ===，，，，，，，1232345，那么B A C U ∩()等于〔〕A.{}045，，B.{}01，C.{}45，D.{}23，2.()()a b ==-3486，，，，那么向量a 与b 〔〕A.互相平行B.互相垂直C.夹角为30°D.夹角为60°3.复数i i1+在复平面中所对应的点到原点的间隔为〔〕A.12B.22C.1D.24.函数yx x =+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪sin cos ππ66，那么其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为〔〕A.26ππ，x =B.212ππ，x=C.ππ，x=6D.ππ，x =125.设正三棱锥V —ABC 的底边长为23，高为2，那么侧棱与底面所成角的大小为〔〕A.π4B.arcsin23C.π6D.arctan 26.以下判断正确的选项是〔〕A.“B.“acbc 22>〞的充要条件是“a b >〞。
C.假设“p 或者qp ，qD.不等式111x ->的解集为{}x x |<2 7.A 〔7，1〕，B 〔1，4〕，直线y ax =12与线段AB 交于点C ，且AC CB →=→2，那么a 等于〔〕A.2B.53C.1D.458.以下关于函数()f x x x ex()=-22的判断正确的选项是〔〕〔1〕f x ()>0的解集是{}x x |02<<。
〔2〕f ()-2是极小值，f ()2是极大值。
〔3〕f x ()没有最小值，也没有最大值。
北京市西城区2021届高考数学统一测试试卷(一模)(含答案解析)
北京市西城区2021届高考数学统一测试试卷(一模)一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={y|y=x2}，B={x|y=lg(1−x)}，则A∩B=()A. [0,1]B. [0,1)C. (−∞,1)D. (−∞,1]2.已知i为虚数单位，若复数z满足z(1−i)=1+i，则z=()A. iB. −12i C. 1 D. 123.若(1+x)+(1+x)2+⋯+(1+x)5=a0+a1(1−x)+a2⋅(1−x)2+⋯+a5(1−x)5，则a1+a2+a3+a4+a5等于()A. 5B. 62C. −57D. −564.一个多面体的三视图如图所示，其正视图、侧视图都是全等的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则其表面积为()A. 8+4√2B. 12C. 16+8√2D. 12+2√25.不等式|5−2x|<9的解集是()A. (−∞,−2)∪(7,+∞)B. [−2,7]C. (−2,7)D. [−7,2]6.已知e⃗1，e⃗2是夹角为120°的两个单位向量．则a⃗=2e⃗1+e⃗2和b⃗ =e⃗2−2e⃗1的夹角的余弦值是()A. −√217B. √217C. √2114D. −357.在△ABC中，已知b=√2,c=1,B=45°，则a等于()A. √6−√22B. √6+√22C. √2+1D. 3−√28.设抛物线y2=4x的焦点弦的两个端点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2)，且AB⊥x轴，那么|AB|=()A. 7B. 4C. 6D. 59.给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则三点(10,S 1010)，(100,S 100100)，(110,S110110)共线；③“∀x ∈R ，x 2+1≥1”的否定是“∃x ∈R ，x 2+1<1”； ④在△ABC 中，“A >B ”是“sinA >sinB ”的充要条件． 其中正确的命题的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 110. 已知原命题“若a =1，则(a −1)(a −2)=0”，那么原命题与其逆命题的真假情况是( )A. 原命题为真，逆命题为假B. 原命题为假，逆命题为真C. 原命题与逆命题均为真命题D. 原命题与逆命题均为假命题二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 已知函数f(x)={x 13,(x >0)3x ,(x ≤0)，则f[f(−3)]= ______ ．12. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为 。
2021.4.10西城一模数学试题及答案文科word
2021.4.10西城一模数学试题及答案文科word 西城区高三统一测试数学（文科）2022.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求其中最重要的1．已知全集u?{1,2,3,4,5,6}，集合a?{1,3,5}，b?{1,4}，那么a?eub?（a）{3,5}（b）{2,4,6}2．在复平面内，复数（c） {1,2,4,6}（d）{1,2,3,5,6}1?i的对应点位于i（c）第三象限（d）第四象限（a）第一象限（b）第二象限x2?1的焦点坐标是3．双曲线y?32（a）(0,2)，(0,?2)（c）(0,2)，(0,?2)4.函数f（x）？（）x？log2x的零数为（a）0（b）1（b）（2,0），（2,0）（d）（2,0），（2,0）12（c）2（d）35.函数f（x）定义在（？，）那么“曲线y？F（x）穿过原点”就是（a）充分和不必要条件（c）“F（x）是奇函数”的充分和必要条件6．在△abc中，点d满足bc?3bd，则2.1.（a）广告？ab？交流电332???1??（b）ad?ab?ac33 （b）必要和不充分条件（d）既不充分也不必要条件（c）ad1???2??ab?ac33（d）ad1???2??ab?ac337．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（a）43（b）6（c）42（d）258.如果函数f（x）图像上任意点a（x，y）的坐标满足条件|x≥ | y |，函数f（x）被称为具有性质P。
在下列函数中，具有性质P的是（a）f（x）？x2（b）f（x）？二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数f(x)?12x?1（c）f(x)?sinx（d）f(x)?ln(x?1)X的域是X？1110.输入x时执行如图所示的程序框图？LN，输出y值为_211．圆c:x2?y2?2x?2y?1?0的圆心坐标是____；直线l:x?y?0与圆c相交于a,b两点，则|ab|?____．12．函数f(x)?sin4x的最小正周期是____．1.cos4x？十、≤1.13.真实数字x，y满意吗？Y≤ 2，那么x2？Y2的最大值为2；最小值为_?2x?y?2≥0,?14．如图，正方体abcd?a1b1c1d1的棱长为2，点p在正方形abcd的边界及其内部运动．平面面积w由满足a1p的所有点P组成≥ 那么W的面积是__三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.（这个题目的满分是13分）众所周知，{an}是一个等比序列，A1？3，a4？24.{BN}序列满足B1？1，b4？？8，{an？BN}是一个等差序列。
北京市西城区高三数学第一次模拟试题 理 (西城一模)新人教B版
北京市西城区高三一模试卷 数 学（理科）.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知全集U =R ，集合1{|1}A x x=≥，则U A =（ ）（A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(,0](1,)-∞+∞（D ）(,0)[1,)-∞+∞【答案】C【解析】}10{}11{≤<=≥=x x xx A ，所以}10{>≤=x x x A C U 或，选C.2．执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为（ ）（A ）2（B ）5（C ）11（D ）23【答案】D【解析】输入2=x ，5=y .8352<=-，11,5==y x ，86115<=-，23,11==y x ，8122311>=-，满足条件，输出23=y ，选D.3．若实数x ，y 满足条件0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则2x y -的最大值为（ ）（A ）9（B ）3（C ）0（D ）3- 【答案】A【解析】令y x z -=2，即z x y -=2，做出可行域,由图象可知当直线过点A 时直线截距最大，z 最小，经过点B 时，截距最小，z 最大.由题意知A(0,3)，B )33(-，,所以最大值为9)3(-32=-⨯，选A.4．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为3123cm ．其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）（A ）243cm （B ）223cm （C ）28cm （D ）24cm【答案】A【解析】正六棱柱的左视图是一个以AB 长为宽，高为2的矩形，32=AB所以左视图的面积为34232=⨯，选A.5．已知函数44()sin cos f x x x ωω=-的最小正周期是π，那么正数ω=（ ）（A ）2（B ）1（C ）12（D ）14【答案】B【解析】x x x x x x f ϖϖϖϖϖ2cos cos sin cos sin )(2244-=-=-=，所以周期πϖπϖπ===22T ，所以1=ϖ，选B.6．若2log 3a =，3log 2b =，4log 6c =，则下列结论正确的是（ ） （A ）b a c <<（B ）a b c <<（C ）c b a <<（D ）b c a << 【答案】D【解析】12log 03<<，16log 9log 3log 442>>=所以a c b <<，选D.7．设等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为n S ．若对*n ∀∈N ，有n n S S 32<，则q 的取值范围是（ ）（A ）(0,1]（B ）(0,2)（C ）[1,2)（D ）(0,2) 【答案】A【解析】若1=q ，11233,2na S na S n n ==，所以恒有n n S S 32<，所以1=q ，成立.当1≠q ，由nn S S 32<得qq a q q a n n --<--1)1(31)1(121，若10<<q ，则有)1(312n n q q -<-，即023)(2>+-nn q q ，解得10<<nq ，或2>nq （舍去），此时10<<q .若1>q ，由qq a q q a n n --<--1)1(31)1(121，得)1(312n n q q ->-，即023)(2<+-n n q q ，解得21<<n q ，显然当2,2==n q 时，条件不成立，综上，满足条件的q 的取值范围是10≤<q ，答案选A.【北京西城区理科模拟】8．已知集合230123{|333}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1,2}(0,1,2,3)k a k ∈=，且30a ≠.则A 中所有元素之和等于（ ）（A ）3240（B ）3120（C ）2997（D ）2889 【答案】D【解析】因为03≠a ，所以最大的数为80323232232=⨯+⨯+⨯+，最小的数2733=，则27到80之间的所有整数都有集合中的数，所以所有元素之和为2889254)2780(=⨯+，选D.第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒 与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),，[1516),，[1617),，[1718],，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．【答案】54【解析】成绩在[16,18]的学生的人数比为2093673136=+++++，所以成绩在[16,18]的学生的人数为54209120=⨯.10．6(2)x -的展开式中，3x 的系数是_____．（用数字作答）【答案】160-【解析】二项式展开式k k k k x C T )2(661-=-+，令36=-k ，所以3=k ，所以333364160)2(x x C T -=-=，所以3x 的系数为160-.11. 如图，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M ．若3OC =，1OM =，则MN =_____．ABCOM N【答案】1【解析】因为13===OM OC OB ，,所以2=BM ,过O 做BM OD ⊥,则23213=⨯=⋅=BM OM OB OD ,23)23()3(22=-=BD ,所以32==BD BN ,123=-=MN .12. 在极坐标系中，极点到直线:l πsin()24ρθ+=的距离是_____．【答案】2【解析】把极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出极点到直线的距离，2cos 22sin 22=+θρθρ，即普通方程为2=+y x ，则极点到直线的距离为222==d . 13. 已知函数122,0,(),20,x x c f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 其中0c >．那么()f x 的零点是_____；若()f x 的值域是1[,2]4-，则c 的取值范围是_____． 【答案】1-和0，(0,4]【解析】当c x ≤≤0时，由021=x得，0=x .当02<≤-x 时，由02=+x x ，得1-=x ，所以函数零点为1-和0.当c x ≤≤0时，21)(x x f =，所以c x f ≤≤)(0，当02<≤-x ，41)21()(22-+=+=x x x x f ，所以此时2)(41≤≤-x f .若()f x 的值域是1[,2]4-，则有，2≤c ，即40≤<c ，即c 的取值范围是]4,0(.14. 在直角坐标系xOy 中，动点A ，B 分别在射线3(0)3y x x =≥和3(0)y x x =-≥上运动，且△OAB 的面积为1．则点A ，B 的横坐标之积为_____；△OAB 周长的最小值是_____．【答案】32，2(12)+【解析】设A,B 的坐标分别为)0,0(),3,(),33,(212211>>-x x x x B x x A ，则212,32x OB x OA ==，由题意知OB OA ⊥,所以三角形的面积为13223221212121==⨯⨯=⋅x x x x OB OA ，所以2321=x x .三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）在△ABC 中，已知sin()sin sin()A B B A B +=+-． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若||7BC =，20=⋅AC AB ，求||AB AC +．【答案】（Ⅰ）解：原式可化为 B A B A B A B sin cos 2)sin()sin(sin =--+=． …3分因为(0,π)B ∈， 所以 0sin >B ， 所以21cos =A ． …………5分因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． ……………6分 （Ⅱ）解：由余弦定理，得 222||||||2||||cos BC AB AC AB AC A =+-⋅．…………8分 因为 ||7BC =，||||cos 20AB AC AB AC A ⋅=⋅=，所以 22||||89AB AC +=． …………10分 因为 222||||||2129AB AC AB AC AB AC +=++⋅=， …………12分所以 ||129AB AC +=． …………13分 16.（本小题满分13分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.（Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率； （Ⅲ）求比赛局数的分布列.【答案】（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是21． ………………1分 记“甲以4比1获胜”为事件A ，则334341111()C ()()2228P A -==． ………………4分 （Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B .因为，乙以4比2获胜的概率为3353151115C ()()22232P -==， ………………6分 乙以4比3获胜的概率为3363261115C ()()22232P -==， ………………7分 所以 125()16P B P P =+=． ………………8分 （Ⅲ）解：设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4,5,6,7．44411(4)2C ()28P X ===， ………………9分 334341111(5)2C ()()2224P X -===， ………………10分 335251115(6)2C ()()22216P X -==⋅=， ………………11分 336361115(7)2C ()()22216P X -==⋅=． ………………12分 比赛局数的分布列为：X 45 6 7 P18 14 516 516………………13分17．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， ︒=∠=∠60DBF DAB ，且FA FC =．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ； （Ⅱ）求证：FC ∥平面EAD ； （Ⅲ）求二面角B FC A --的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明：设AC 与BD 相交于点O ，连结FO ．因为 四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，ECBADF且O 为AC 中点． ………………1分又 FC FA =，所以 AC FO ⊥． ………3分 因为 O BD FO = ，所以 ⊥AC 平面BDEF ． ………………4分 （Ⅱ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以AD //BC ，DE //BF ，所以 平面FBC //平面EAD ． …………7分 又⊂FC 平面FBC ，所以FC // 平面EAD ． ………8分 （Ⅲ）解：因为四边形BDEF 为菱形，且︒=∠60DBF ，所以△DBF 为等边三角形．因为O 为BD 中点，所以BD FO ⊥，故FO ⊥平面ABCD ．由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -． ………9分 设2=AB ．因为四边形ABCD 为菱形，︒=∠60DAB ，则2=BD ，所以1OB =，3OA OF ==所以 )3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O -． 所以 (3,0,3)CF =，(3,1,0)CB =．设平面BFC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.CF CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+=+．03,033y x z x 取1=x ，得)1,3,1(--=n ． …………12分易知平面AFC 的法向量为(0,1,0)=v ． ……………13分由二面角B FC A --是锐角，得 15cos ,5⋅〈〉==n v n v n v． 所以二面角B FC A --的余弦值为515． ………14分18.（本小题满分13分）已知函数()e (1)axaf x a x=⋅++，其中1-≥a .（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间.【答案】（Ⅰ）解：当1a =时，1()e (2)x f x x =⋅+，211()e (2)x f x x x'=⋅+-． ……2分 由于(1)3e f =，(1)2e f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是2e e 0x y -+=． ……4分（Ⅱ）解：2(1)[(1)1]()e axx a x f x a x++-'=，0x ≠． ………6分 ① 当1-=a 时，令()0f x '=，解得 1x =-．)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-；单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞……8分当1a ≠-时，令()0f x '=，解得 1x =-，或11x a =+． ② 当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+；单调递增区间为(1,0)-，1(0,)1a +． …………10分 ③ 当0=a 时，()f x 为常值函数，不存在单调区间． ……11分 ④ 当0a >时，)(x f 的单调递减区间为(1,0)-，1(0,)1a +；单调递增区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+． …………13分 19.（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为53，定点(2,0)M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且12MB MB ⊥.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）解：由 222222519a b b e a a -===-， 得 23b a =. ………2分 依题意△12MB B 是等腰直角三角形，从而2b =，故3a =. ………4分所以椭圆C 的方程是22194x y +=. ………5分（Ⅱ）解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为2x my =+.将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得 22(49)16200m y my ++-=. ………7分所以 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+. ………8分 若PF 平分APB ∠，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以0=+PB PA k k .……9分设(,0)P a ，则有12120y y x a x a+=--. 将 112x my =+，222x my =+代入上式， 整理得1212122(2)()0(2)(2)my y a y y my a my a +-+=+-+-，所以 12122(2)()0my y a y y +-+=. ……………12分 将 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+代入上式， 整理得 (29)0a m -+⋅=. …………13分 由于上式对任意实数m 都成立，所以 92a =. 综上，存在定点9(,0)2P ，使PM 平分APB ∠. ………14分 20.（本小题满分13分）对于数列12:,,,(,1,2,,)n n i A a a a a i n ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列n A 变换成数列12:,,,n n B b b b ，其中1||(1,2,,1)i i i b a a i n +=-=-，且1||n n b a a =-，这种“T 变换”记作()n n B T A =.继续对数列n B 进行“T 变换”，得到数列n C ，…，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）试问3:4,2,8A 和4:1,4,2,9A 经过不断的“T 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T 变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）求3123:,,A a a a 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件；（Ⅲ）证明：41234:,,,A a a a a 一定能经过有限次“T 变换”后结束．【答案】（Ⅰ）解：数列3:4,2,8A 不能结束，各数列依次为2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形． ………………2分数列4:1,4,2,9A 能结束，各数列依次为3,2,7,8；1,5,1,5；4,4,4,4；0,0,0,0． ………………3分 （Ⅱ）解：3A 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是123a a a ==．………………4分若123a a a ==，则经过一次“T 变换”就得到数列0,0,0，从而结束． ……………5分当数列3A 经过有限次“T 变换”后能够结束时，先证命题“若数列3()T A 为常数列，则3A 为常数列”． 当123a a a ≥≥时，数列3122313():,,T A a a a a a a ---．由数列3()T A 为常数列得122313a a a a a a -=-=-，解得123a a a ==，从而数列3A 也 为常数列．其它情形同理，得证．在数列3A 经过有限次“T 变换”后结束时，得到数列0,0,0(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列3A 也为常数列． ………………8分所以，数列3A 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是123a a a ==．（Ⅲ）证明：先证明引理：“数列()n T A 的最大项一定不大于数列n A 的最大项，其中3n ≥”．证明：记数列n A 中最大项为max()n A ，则0max()i n a A ≤≤． 令()n n B T A =，i p q b a a =-，其中p q a a ≥． 因为0q a ≥， 所以max()i p n b a A ≤≤，故max()max()n n B A ≤，证毕． ………………9分 现将数列4A 分为两类．第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，44max()max()1B A ≤-．第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时44max()max()B A =． 下面证明第二类数列4A 经过有限次“T 变换”，一定可以得到第一类数列． 不妨令数列4A 的第一项为0，第二项a 最大(0a >)．（其它情形同理） ① 当数列4A 中只有一项为0时，若4:0,,,A a b c (,,0a b a c bc >>≠)，则4():,,||,T A a a b b c c --，此数列各项均不为0 或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若4:0,,,(,0)A a a b a b b >≠，则4():,0,,T A a a b b -；4(()):,,|2|,T T A a a b a b a b --- 此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若4:0,,,A a b a (,0a b b >≠)，则4():,,,T A a a b a b b --，此数列各项均不为0，为第一 类数列；若4:0,,,A a a a ，则4():,0,0,T A a a ；4(()):,0,,0T T A a a ；4((())):,,,T T T A a a a a ， 此数列各项均不为0，为第一类数列．② 当数列4A 中有两项为0时，若4:0,,0,A a b (0a b ≥>)，则4():,,,T A a a b b ，此数列 各项均不为0，为第一类数列；若4:0,,,0A a b (0a b ≥>)，则():,,,0T A a a b b -，(()):,|2|,,T T A b a b b a -，此数列 各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．③ 当数列4A 中有三项为0时，只能是4:0,,0,0A a ，则():,,0,0T A a a ，(()):0,,0,T T A a a ，((())):,,,T T T A a a a a ，此数列各项均不为0，为第一类数列．总之，第二类数列4A 至多经过3次“T 变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历3次“T 变换”，数列的最大项又开始减少．又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T 变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从而结束． ……………13分北京市西城区高三一模试卷数学（理科）参考答案及评分标准.4 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C ；2. D ；3. A ；4.A ；5. B ；6. D ；7. A ；8. D .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.54； 10.160-； 11.1；2； 13.1-和0，(0,4]； 14.32，2(12)+. 注：13题、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：原式可化为 B A B A B A B sin cos 2)sin()sin(sin =--+=． ………………3分因为(0,π)B ∈， 所以 0sin >B ， 所以 21cos =A ． ………………5分因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． ………………6分 （Ⅱ）解：由余弦定理，得 222||||||2||||cos BC AB AC AB AC A =+-⋅．………………8分因为 ||7BC =，||||cos 20AB AC AB AC A ⋅=⋅=，所以 22||||89AB AC +=． ………………10分因为 222||||||2129AB AC AB AC AB AC +=++⋅=， ………………12分所以 ||129AB AC +=． ………………13分 16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是21． ………………1分 记“甲以4比1获胜”为事件A ，则334341111()C ()()2228P A -==． ………………4分 （Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B .因为，乙以4比2获胜的概率为3353151115C ()()22232P -==， ………………6分 乙以4比3获胜的概率为3363261115C ()()22232P -==， ………………7分 所以 125()16P B P P =+=． ………………8分 （Ⅲ）解：设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4,5,6,7．44411(4)2C ()28P X ===， ………………9分 334341111(5)2C ()()2224P X -===， ………………10分335251115(6)2C ()()22216P X -==⋅=， ………………11分336361115(7)2C ()()22216P X -==⋅=． ………………12分比赛局数的分布列为：X 4 5 6 7 P18 14 516 516………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：设AC 与BD 相交于点O ，连结FO ．因为 四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥， 且O 为AC 中点． ………………1分又 FC FA =，所以 AC FO ⊥． ………3分 因为 O BD FO = ，所以 ⊥AC 平面BDEF ． ………………4分 （Ⅱ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以AD //BC ，DE //BF ，所以 平面FBC //平面EAD ． ………………7分 又⊂FC 平面FBC ，所以FC // 平面EAD ． ………………8分（Ⅲ）解：因为四边形BDEF 为菱形，且︒=∠60DBF ，所以△DBF 为等边三角形．因为O 为BD 中点，所以BD FO ⊥，故FO ⊥平面ABCD ．由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -． ………………9分 设2=AB ．因为四边形ABCD 为菱形，︒=∠60DAB ，则2=BD ，所以1OB =，3OA OF ==．所以 )3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O -． 所以 (3,0,3)CF =，(3,1,0)CB =．设平面BFC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.CF CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+=+．03,033y x z x 取1=x ，得)1,3,1(--=n ． ………………12分易知平面AFC 的法向量为(0,1,0)=v ． ………………13分由二面角B FC A --是锐角，得 15cos ,5⋅〈〉==n v n v n v． 所以二面角B FC A --的余弦值为515． ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1a =时，1()e (2)x f x x =⋅+，211()e (2)xf x x x '=⋅+-． ………………2分 由于(1)3e f =，(1)2e f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是2e e 0x y -+=． ………………4分（Ⅱ）解：2(1)[(1)1]()eaxx a x f x a x ++-'=，0x ≠． ………………6分① 当1-=a 时，令()0f x '=，解得 1x =-．)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-；单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞．……………8分当1a ≠-时，令()0f x '=，解得 1x =-，或11x a =+． ② 当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+；单调递增区间为(1,0)-，1(0,)1a +． ………………10分 ③ 当0=a 时，()f x 为常值函数，不存在单调区间． ………………11分 ④ 当0a >时，)(x f 的单调递减区间为(1,0)-，1(0,)1a +；单调递增区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+． ………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由 222222519a b b e a a -===-， 得 23b a =. ………………2分 依题意△12MB B 是等腰直角三角形，从而2b =，故3a =. ………………4分 所以椭圆C 的方程是22194x y+=. ………………5分 （Ⅱ）解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为2x my =+.将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得 22(49)16200m y my ++-=. ………………7分所以 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+. ………………8分 若PF 平分APB ∠，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以0=+PB PA k k .………………9分设(,0)P a ，则有12120y y x a x a+=--. 将 112x my =+，222x my =+代入上式， 整理得1212122(2)()0(2)(2)my y a y y my a my a +-+=+-+-，所以 12122(2)()0my y a y y +-+=. ………………12分 将 1221649my y m -+=+，1222049y y m -=+代入上式， 整理得 (29)0a m -+⋅=. ………………13分 由于上式对任意实数m 都成立，所以 92a =. 综上，存在定点9(,0)2P ，使PM 平分APB ∠. ………………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：数列3:4,2,8A 不能结束，各数列依次为2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形． ………………2分数列4:1,4,2,9A 能结束，各数列依次为3,2,7,8；1,5,1,5；4,4,4,4；0,0,0,0． ………………3分 （Ⅱ）解：3A 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是123a a a ==．………………4分若123a a a ==，则经过一次“T 变换”就得到数列0,0,0，从而结束． ……………5分当数列3A 经过有限次“T 变换”后能够结束时，先证命题“若数列3()T A 为常数列，则3A 为常数列”． 当123a a a ≥≥时，数列3122313():,,T A a a a a a a ---．由数列3()T A 为常数列得122313a a a a a a -=-=-，解得123a a a ==，从而数列3A 也 为常数列．其它情形同理，得证．在数列3A 经过有限次“T 变换”后结束时，得到数列0,0,0(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列3A 也为常数列． ………………8分所以，数列3A 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是123a a a ==．（Ⅲ）证明：先证明引理：“数列()n T A 的最大项一定不大于数列n A 的最大项，其中3n ≥”．证明：记数列n A 中最大项为max()n A ，则0max()i n a A ≤≤． 令()n n B T A =，i p q b a a =-，其中p q a a ≥．因为0q a ≥， 所以max()i p n b a A ≤≤，故max()max()n n B A ≤，证毕． ………………9分 现将数列4A 分为两类．第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，44max()max()1B A ≤-．第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时44max()max()B A =． 下面证明第二类数列4A 经过有限次“T 变换”，一定可以得到第一类数列． 不妨令数列4A 的第一项为0，第二项a 最大(0a >)．（其它情形同理） ① 当数列4A 中只有一项为0时，若4:0,,,A a b c (,,0a b a c bc >>≠)，则4():,,||,T A a a b b c c --，此数列各项均不为0 或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若4:0,,,(,0)A a a b a b b >≠，则4():,0,,T A a a b b -；4(()):,,|2|,T T A a a b a b a b --- 此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若4:0,,,A a b a (,0a b b >≠)，则4():,,,T A a a b a b b --，此数列各项均不为0，为第一 类数列；若4:0,,,A a a a ，则4():,0,0,T A a a ；4(()):,0,,0T T A a a ；4((())):,,,T T T A a a a a ， 此数列各项均不为0，为第一类数列．② 当数列4A 中有两项为0时，若4:0,,0,A a b (0a b ≥>)，则4():,,,T A a a b b ，此数列 各项均不为0，为第一类数列；若4:0,,,0A a b (0a b ≥>)，则():,,,0T A a a b b -，(()):,|2|,,T T A b a b b a -，此数列 各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．③ 当数列4A 中有三项为0时，只能是4:0,,0,0A a ，则():,,0,0T A a a ，(()):0,,0,T T A a a ，((())):,,,T T T A a a a a ，此数列各项均不为0，为第一类数列．总之，第二类数列4A 至多经过3次“T 变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历3次“T 变换”，数列的最大项又开始减少．又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T 变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从而结束． ………………13分。
2021年北京西城区高三一模数学试卷-学生用卷
2021年北京西城区高三一模数学试卷-学生用卷一、单选题1、【来源】 2021年北京西城区高三一模第1题已知集合A={x|x>1}，B={−1,0,1,2}，则A∩B=（）A. {2}B. {1,2}C. {0,1,2}D. {x|x>−1}2、【来源】 2020~2021学年北京海淀区中国农业大学附属中学高一下学期期末第3题已知复数 z满足z−z=2i，则 z的虚部是（）A. −1B. 1C. −iD. i3、【来源】 2020~2021学年江苏苏州姑苏区苏州市第一中学高二下学期期中第2题2022~2023学年10月北京西城区北京市第八中学高三月考第3题在(x−1x2)6的展开式中，常数项为（）A. 15B. −15C. 30D. −304、【来源】 2021年北京西城区高三一模第4题某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）A. 12B. 8+√2C. 16D. 8+4√25、【来源】 2021年北京西城区高三一模第5题已知函数f(x)=2x−log2x，则不等式f(x)>0的解集是（）A. (0,1)B. (−∞,2)C. (2,+∞)D. (0,2)6、【来源】 2021~2022学年12月北京西城区北京市第十三中学高三上学期月考第5题在△ABC中，C=90°,AC=4,BC=3，点 P是AB的中点，则CB→⋅CP→=（）A. 94B. 4 C. 92D. 67、【来源】 2021~2022学年12月北京西城区北京市第十三中学高三上学期月考第7题2021~2022学年广东广州荔湾区广州培英中学高一下学期期中第4题在△ABC中，C=60°,a+2b=8,sinA=6sinB，则c=（）A. √35B. √31C. 6D. 58、【来源】 2021年北京西城区高三一模第8题抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图，从抛物线y2=4x的焦点 F发出的两条光线 a， b分别经抛物线上的 A， B两点反射，已知两条入射光线与 x轴所成锐角均为60°，则两条反射光线a′和b′之间的距离为（）A. 2√33B. 83C. 4√33D. 8√339、【来源】 2021年北京西城区高三一模第9题在无穷等差数列{a n}中，记T n=a1−a2+a3−a4+a5−⋅⋅⋅+(−1)n+1a n(n=1,2,⋅⋅⋅)，则“存在m∈N∗，使得T m<T m+2”是“{a n}为递增数列”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10、【来源】 2021~2022学年10月北京海淀区北京市第五十七中学高三月考第10题若非空实数集 X中存在最大元素 M和最小元素 m，则记Δ(X)=M−m．下列命题中正确的是（）A. 已知X={−1,1}，Y={0,b}，且Δ(X)=Δ(Y)，则b=2B. 已知X=[a,a+2]，Y={y|y=x2,x∈X}，则存在实数 a，使得Δ(Y)<1C. 已知X={x|f(x)>g(x),x∈[−1,1]}，若Δ(X)=2，则对任意x∈[−1,1]，都有f(x)≥g(x)D. 已知X=[a,a+2]，Y=[b,b+3]，则对任意的实数 a，总存在实数 b，使得Δ(X⋃Y)≤3二、填空题11、【来源】 2020年江苏苏州吴江区高三三模（5月份统考）第3题函数f(x)=lnx+√1−x的定义域为.12、【来源】 2022~2023学年10月北京东城区北京市广渠门中学高三上学期月考第12题2021~2022学年北京海淀区北京一零一中学高三下学期开学考试第14题已知函数f(x)=sinx，若对任意x∈R都有f(x)+f(x+m)=c（ c为常数），则常数 m的一个取值为．13、【来源】 2020~2021学年北京石景山区景山学校远洋分校高一下学期期中第13题长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=（水库实际蓄水量）÷（水库总蓄水量）×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0,100]；（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．记 x为调度前某水库的蓄满指数， y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个 y关于 x的函数解析式：①y=−120x2+6x；②y=10√x；③y=10x50；④y=100sinπ200x．则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是．三、双空题14、【来源】 2021年北京西城区高三一模第14题已知双曲线C:x 28−y24=1，则 C的渐近线方程是；过 C的左焦点且与x轴垂直的直线交其渐近线于 M， N两点， O为坐标原点，则△OMN的面积是．15、【来源】 2022年北京通州区潞河中学高三三模第13题在等比数列{a n}中，a1+a3=10,a2+a4=−5，则公比q=；若a n>1，则 n的最大值为．四、解答题16、【来源】 2021~2022学年北京西城区北京市第三中学高三上学期期中第19题如图.在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中， E 为DD 1的中点．(1)求证：BD 1//平面 ACE ；(2)求直线 AD 与平面 ACE 所成角的正弦值．17、【来源】 2021~2022学年北京西城区西城外国语学校高一下学期期中第26题已知函数f (x )=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)，且f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．（1）确定f (x )的解析式；（2）若f (x )图象的对称轴只有一条落在区间[0,a ]上，求 a 的取值范围．条件①：f (x )的最小值为−2；条件②：f (x )图象的一个对称中心为(5π12,0)；条件③；f (x )的图象经过点(5π6,−1)．18、【来源】 2022年陕西西安未央区西安中学高三二模理科第4~4题天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．下表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最亮恒星的相关数据，其中a ∈[0,1.3]．（1）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；（2）已知北京的纬度是北纬40°，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于−50°时，能在北京的夜空中看到它．现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为X 颗，求X 的分布列和数学期望；（3）记a =0时10颗恒星的视星等的方差为s 12，记a =1.3时10颗恒星的视星等的方差为s 22，判断s 12与s 22之间的大小关系．（结论不需要证明）19、【来源】 2021~2022学年10月北京东城区北京市第二十二中学高三月考第23题已知函数f(x)=e x(lnx−a)．（1）若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（2）若a>1，求证：函数f(x)存在极小值；（3）若对任意的实数x∈[1,+∞)，f(x)≥−1恒成立，求实数 a的取值范围．20、【来源】 2021年北京西城区高三一模第20题已知椭圆C:x 2a2+y23=1(a>0)的焦点在 x轴上，且经过点E(1,32)，左顶点为 D，右焦点为F．（1）求椭圆 C的离心率和△DEF的面积；（2）已知直线y=kx+1与椭圆 C交于 A， B两点，过点 B作直线y=t(t>√3)的垂线，垂足为 G，判断是否存在常数 t，使得直线AG经过 y轴上的定点？若存在，求 t的值；若不存在，请说明理由．21、【来源】 2022年北京海淀区中国人民大学附属中学高三三模第21题已知数列A：a1,a2,⋅⋅⋅,a N(N≥3)的各项均为正整数，设集合T={x|x=a j−a i,1≤i<j≤N}，记 T的元素个数为P(T)．（1）若数列 A：1，2，4，3，求集合 T，并写出P(T)的值；（2）若 A是递增数列，求证：“P(T)=N−1”的充要条件是“ A为等差数列”；（3）若N=2n+1，数列 A由1,2,3,⋅⋅⋅,n,2n这n+1个数组成，且这n+1个数在数列 A中每个至少出现一次，求P(T)的取值个数．1 、【答案】 A;2 、【答案】 A;3 、【答案】 A;4 、【答案】 D;5 、【答案】 D;6 、【答案】 C;7 、【答案】 B;8 、【答案】 C;9 、【答案】 B;10 、【答案】 D;11 、【答案】(0,1];12 、【答案】π（答案不唯一，只要是(2k+1)π即可）;13 、【答案】②④;14 、【答案】y=±√22x;6√2;15 、【答案】−12;3;16 、【答案】 (1)证明见详解(2)√66;17 、【答案】选择见解析：（1）f(x)=2sin(2x+π6)；（2）[π6,2π3)．;18 、【答案】（1）12；（2）分布列见解析；数学期望为145；（3）s12<s22．;19 、【答案】（1）y=−e；（2）证明见解析；（3）(−∞,1e]．;20 、【答案】（1）12，△DEF的面积94；（2）存在；t=3．;21 、【答案】（1）T={1,2,3,−1},P(T)=4；（2）证明见解析；（3）2n．;。
北京市西城区2021届高三数学一模试卷 文 (1)
北京市西城区2021年高三一模试卷数 学（文科）2021.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设全集{|02}U x x =<<，集合1{|0}A x x =<≤，则集合UA =（ ）（A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)2．已知平面向量(2,1)=-a ，(1,3)=b ，那么|a +b |等于（ ） （A ）5（B（C（D ）133．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为（ ） （A（B ）2（C（D4．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为（ ） （A ）2（B ）43（C ）4 （D ）56． 设0a >，且1a ≠，则“函数log a y x =在(0,)+∞上是减函数”是“函数3(2)y a x =-在R 上是增函数”的（ ）5．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()x f x -=的函数是（ ）（A ）()sin =f x x（B ）()sin 2=f x x （C ）()cos =f x x （D ）()cos 2=f x x正(主)视图俯视图 侧(左)视图（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *∈N 年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ）（A ）4（B ）5 （C ）6 （D ）78. 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）（A ） 4个（B ）6个（C ）10个（D ）14个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．9．设复数1ii2i x y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______．10．假设抛物线2:2C y px=的核心在直线20x y +-=上，那么p =_____；C 的准线方程为_____．11．已知函数3, 0,()1, 0,1≤+⎧⎪=⎨>⎪+⎩x x f x x x 若0()2=f x ，那么实数0=x ______；函数()f x 的最大值为_____．12．执行如下图的程序框图，若是输入2,2a b ==，那么输出的a 值为______．13．假设不等式组1,0,26,ax y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤表示的平面区域是一个四边形，那么实数a 的取值范围是__________.BADC. P14．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，2BC =，P 为线段AD （含端点）上一个动点. 设AP xAD =，PB PC y ⋅=，记()=y f x ，那么(1)=f ____； 函数()f x 的值域为_________. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解许诺写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤．15．（本小题总分值13分）222b c a bc +=+.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边别离为a ，b ，c. 已知（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若是cos =B ，2b =，求a 的值.16．（本小题总分值13分）某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率散布表如下. 依照寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个品级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.（Ⅰ）依照频率散布表中的数据，写出a ，b ，c 的值；（Ⅱ）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不是次品的概率；（Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了()*∈n n N 个，若是这n 个灯泡的品级情形恰好与按三个品级分层抽样所得的结果相同，求n 的最小值. 17．（本小题总分值14分）A BD P如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是矩形，2AD AB =，SA SD =，SA AB ⊥， N 是棱AD 的中点. （Ⅰ）求证：//AB 平面SCD ； （Ⅱ）求证：SN ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）在棱SC 上是不是存在一点P ，使得平面⊥PBD 平面ABCD ?假设存在，求出SPPC 的值；假设不存在，说明理由.18．（本小题总分值13分）已知函数()ln af x x x =-，其中a ∈R ．（Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若是关于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+，求a 的取值范围． 19．（本小题总分值14分）已知椭圆22221(0)x y W a b a b +=>>：的焦距为2，过右核心和短轴一个端点的直线的斜率为1-，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆W 的方程.（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 与W 相交于,A B 两点，记AOB ∆面积的最大值为kS ，证明：12S S =.20．（本小题总分值13分）在数列{}n a 中，1()n a n n *=∈N . 从数列{}n a 当选出(3)k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列1111,,,2358为{}n a 的一个4项子列.（Ⅰ）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等比数列；（Ⅱ）若是{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 知足104d -<<；（Ⅲ）若是{}n c 为数列{}n a 的一个6项子列，且{}n c 为等比数列，证明：1234566332c c c c c c +++++≤.北京市西城区2021年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科） 2021.4 一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.1．C 2．B 3．D 4．C 5．D 6．A 7．B 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．25-10．4 2=-x11．1- 3 12．25613． (3,5) 14．1 4[,4]5注：第10、1一、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答进程，请参照评分标准给分. 15．（本小题总分值13分） （Ⅰ）解：因为 222b c a bc +=+，因此2221cos 22b c a A bc +-==， ……………… 4分 又因为 (0,π)∈A ，因此π3A =. ……………… 6分（Ⅱ）解：因为cos =B ，(0,π)∈B ，因此sin B ==， ………………8分由正弦定理 sin sin =a bA B ， ………………11分得sin 3sin ==b Aa B . ………………13分16．（本小题总分值13分）（Ⅰ）解：0.15a =，30b =，0.3=c . ……………… 3分 （Ⅱ）解：设“这人购买的灯泡恰好不是次品”为事件A . ……………… 4分 由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个，因此这人购买的灯泡恰好不是次品的概率为100604()2005+==P A . …………… 8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为60:100:403:5:2=. ……………… 10分因此按分层抽样法，购买灯泡数35210()*=++=∈n k k k k k N ， 因此n 的最小值为10． ……………… 13分 17．（本小题总分值14分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是矩形，因此 //AB CD ， ……………… 1分 又因为 AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，因此 //AB 平面SCD . ……………… 3分 （Ⅱ）证明：因为 , , AB SA AB AD SA AD A ⊥⊥=，因此⊥AB 平面SAD ， ……………… 5分又因为 SN ⊂平面SAD ，因此 AB SN ⊥. ……………… 6分 因为 SA SD =，且N 为AD 中点， 因此 SN AD ⊥. 又因为 ABAD A =，因此 SN ⊥平面ABCD . ……………… 8分（Ⅲ）解：如图，连接BD 交NC 于点F ，在平面SNC 中过F 作//FP SN 交SC 于点P ，连接PB ，PD. 因为 SN ⊥平面ABCD ，SP因此 FP ⊥平面ABCD . …………… 11分 又因为FP ⊂平面PBD ，因此平面PBD ⊥平面ABCD . …………… 12分 在矩形ABCD 中，因为//ND BC ，因此 12NF ND FCBC ==. 在SNC ∆中，因为//FP SN ，因此12NF SP FC PC ==. 那么在棱SC 上存在点P ，使得平面⊥PBD 平面ABCD ，现在12SP PC =. ……… 14分18.（本小题总分值13分）（Ⅰ）解：由2()ln f x x x =-，得212()f x x x '=+， ……………… 2分 因此 (1)3f '=，又因为 (1)2f =-，因此函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为350x y --=. ……………… 4分（Ⅱ）解：由 ()2f x x >-+，得ln 2ax x x ->-+，即 2ln 2a x x x x <+-. ……………… 6分设函数2()ln 2g x x x x x =+-，那么()ln 21g x x x '=+-， ……………… 8分因为(1,)x ∈+∞，因此ln 0x >，210x ->，因此当(1,)x ∈+∞时，()ln 210g x x x '=+->， ……………… 10分故函数()g x 在(1,)x ∈+∞上单调递增，因此当(1,)x ∈+∞时，()(1)1g x g >=-. ……………… 11分 因为关于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+成立， 因此关于任意(1,)x ∈+∞，都有()a g x <成立.因此1a -≤. ……………… 13分 19．（本小题总分值14分）（Ⅰ）解：由题意，得椭圆W 的半焦距1c =，右核心(1,0)F ，上极点(0,)M b ，…… 1分因此直线MF 的斜率为101-==--MF b k ，解得 1b =， ……………… 3分 由 222a b c =+，得22a =，因此椭圆W 的方程为2212x y +=. ……………… 5分 （Ⅱ）证明：设直线l 的方程为y kx m =+，其中1k =或2，11(,)A x y ，22(,)B x y .… 6分由方程组2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=， ……………… 7分 因此 2216880k m ∆=-+>， （*）由韦达定理，得122412kmx x k -+=+, 21222212m x x k -=+. ……………… 8分 因此||AB ==…… 9分因为原点O 到直线y kx m =+的距离d =……………… 10分因此1||2AOB S AB d ∆=⋅= ……………… 11分 当1k =时，因为AOB S ∆=因此当232m =时，AOB S ∆的最大值12S =，验证知（*）成立； ……………… 12分当2k =时，因为AOB S ∆=因此当292m =时，AOB S ∆的最大值22S =； 验证知（*）成立. 因此12S S =. ……………… 14分注：此题中关于任意给定的k ，AOB ∆的面积的最大值都是.20．（本小题总分值13分）（Ⅰ）解：答案不唯一. 如3项子列：12，14，18. ……………… 2分（Ⅱ）证明：由题意，知1234510b b b b b >>>>>≥，因此 210d b b =-<. ……………… 4分因为514b b d=+，151,0b b >≤， 因此514011d b b =->-=-，解得14d >-.因此14d -<<. ……………… 7分（Ⅲ）证明：由题意，设{}n c 的公比为q ，那么 23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++.因为{}n c 为{}n a 的一个6项子列，因此 q 为正有理数，且1q <，111()c a a *=∈N ≤. ……………… 8分设(,Kq K L L *=∈N ，且,K L 互质，2L ≥）.当1K =时，因为112q L =≤，因此23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++2345111111()()()()22222+++++≤，因此1234566332c c c c c c +++++≤. ……………… 10分当1K ≠时，因为556151==⨯K c c q a L 是{}n a 中的项，且,K L 互质，因此5*()a K M M =⨯∈N ， 因此23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++543223*********()M K K L K L K L KL L =+++++.因为 2L ≥，*,K M ∈N ，因此234512345611111631()()()()2222232c c c c c c ++++++++++=≤. 综上，1234566332c c c c c c +++++≤. ……………… 13分。