卡尔曼滤波中文
非线性卡尔曼滤波器
UKF计算步骤：
PF
PF
● 粒子滤波(PF: Particle Filter)的思想基于蒙特卡洛方法(Monte Carlo methods)，它是 利用粒子集来表示概率，可以用在任何形式的状态空间模型上。其核心思想是通过从后 验概率中抽取的随机状态粒子来表达其分布，是一种顺序重要性采样法(Sequential Importance Sampling)。简单来说，粒子滤波法是指通过寻找一组在状态空间传播的随 机样本对概率密度函数进行近似，以样本均值代替积分运算，从而获得状态最小方差分 布的过程。这里的样本即指粒子,当样本数量N→∝时可以逼近任何形式的概率密度分布。
EKF
首先围绕滤波值 xˆk 将非线性函数 f , g 展开Taylor级数并
略去二阶及以上项，得到一个近似的线性化模型，然后应用 Kalman滤波完成对其目标的滤波估计等处理。
1.对状态模型的一阶Taylor展示：
xk f
xˆk 1
f xˆk 1
xk 1 xˆk 1 k
令
f
F
xˆk 1
f1 f1
xˆ1
xˆ2
f xˆk 1
F
f2 xˆ1
f2 xˆ2
fn fn
xˆ1 xˆ2
f1
xˆn
f2 xˆn
fn
xˆn
g1 g1
xˆ1
xˆ2
g xˆk
H
g2 xˆ1
g2 xˆ2
卡尔曼滤波通俗理解
卡尔曼滤波通俗理解
卡尔曼滤波通俗理解
卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种用来估计系统状态的算法。
它是一种有效的滤波算法，被用于许多模式拟合场合，如智能位置跟踪或自动控制系统。
卡尔曼滤波的核心思想是，通过先验概率分布来估计状态，而这种先验概率分布是基于观察到的测量值，以及我们对变化过程的知识，形成的。
也就是说，卡尔曼滤波给出了一种融合当前观测值和之前观测值的知识技术，用之来估计状态变量，而不仅仅是根据当前观测值来估计。
它的工作原理是，从先前状态估计，然后反馈新观测的量，根据测量值更新估计状态。
这样就可以得到一个更准确的估计。
简而言之，卡尔曼滤波使得我们可以使用当前测量值和先前观测值的组合，以估计一个可能的状态，而不仅仅是根据当前测量值来估计。
这就是卡尔曼滤波的优势所在。
卡尔曼滤波器分类及基本公式
式上，卡尔曼滤波器是5条公式。
对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至 是最有用的。他的广泛应用已经超过了30年，包括机器人 导航、控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统 以及导弹追踪等等。而近年来更被应用于计算机图像处理，
例如头脸识别、图像分割、图像边缘检测等等。
卡尔曼滤波的特点
卡尔曼滤波的特点
你从温度计那里得到了 k时刻的温度值，假设是25 度，同时该
值的偏差是 4 度。
卡尔曼滤波的基本方程
例子
现在，我们用于估算K时刻房间的实际温度有两个温度值：估计值
23度和测量值25度。究竟实际温度是多少呢？是相信自己还是相信 温度计？究竟相信谁多一点？我们需要用他们的均方误差来判断。
52 因为， 2 2 H 0.78（*公式三），所以我们可以估算出K时 H 5 4 刻的最优温度值为：23 0.78* (25 23) 24.56 度（*公式四）。
度。
卡尔曼滤波的基本方程
例子
假如我们要估算 k 时刻的实际温度值。首先你要根据 k-1 时刻
的温度值，来预测 k 时刻的温度（K时刻的经验温度）。因为 你相信温度是恒定的，所以你会得到 k 时刻的温度预测值是跟 k-1 时刻一样的，假设是 23 度（*公式一），同时该值（预测 值）的高斯噪声的偏差是 5 度（5 是这样得到的：如果 k-1 时 刻估算出的最优温度值的偏差是 3，你对自己预测的不确定度 是 4 度，他们平方相加再开方，就是 5（*公式二）） 。然后，
Qk
为过程噪声的协方差，其为非负定阵； 为测量噪声的协方差，其为正定阵。
Rk
1 基于离散系统模型的卡尔曼滤波的基本公式 1.3 离散型卡尔曼滤波方程的一般形式
卡尔曼滤波与均值滤波
卡尔曼滤波与均值滤波卡尔曼滤波（Kalman Filter）和均值滤波（Mean Filter）是信号处理中常用的滤波算法，用于对信号进行平滑处理和噪声去除。
它们在不同的应用场景中具有各自的优势和适用性。
卡尔曼滤波是一种递归滤波算法，能够根据先验信息和测量值来估计系统的状态。
它基于贝叶斯滤波理论，通过将系统的状态建模为高斯分布，并利用系统的动力学模型和测量模型进行状态估计。
卡尔曼滤波的核心思想是通过融合先验信息和测量信息，来获得对系统状态的最优估计。
均值滤波是一种简单的滤波算法，通过计算信号的均值来平滑信号并去除噪声。
它的基本原理是将信号中的每个样本值替换为其周围一定窗口大小内所有样本值的平均值。
均值滤波的优点是计算简单，适用于对周期性噪声和高频噪声的去除。
然而，均值滤波无法处理非线性系统和非高斯噪声，对于信号中的尖峰噪声和突变等情况效果较差。
卡尔曼滤波和均值滤波在滤波效果和计算复杂度上存在明显的差异。
卡尔曼滤波通过融合多个测量值和先验信息，能够提供对系统状态的最优估计，并且在处理非线性系统和非高斯噪声时具有较好的性能。
然而，卡尔曼滤波需要对系统的动力学模型和测量模型进行建模，并且计算复杂度较高，对系统的要求也较高。
相比之下，均值滤波的计算简单，适用于对周期性噪声和高频噪声的去除。
它不需要对系统进行建模，只需要将信号进行平均处理即可。
均值滤波的缺点是无法处理非线性系统和非高斯噪声，对于信号中的尖峰噪声和突变等情况效果较差。
在实际应用中，我们需要根据具体的信号处理需求选择合适的滤波算法。
如果需要对系统状态进行估计，并且信号噪声较大或者非高斯分布，可以选择卡尔曼滤波算法。
如果只是对信号进行简单的平滑处理，并且噪声较小或者呈高斯分布，可以选择均值滤波算法。
除了卡尔曼滤波和均值滤波，还有很多其他的滤波算法可以用于信号处理。
例如，中值滤波可以有效地去除椒盐噪声；高斯滤波可以平滑信号并保持信号的细节信息；小波变换可以在时域和频域上进行信号分析和滤波。
【译】图解卡尔曼滤波（KalmanFilter）
【译】图解卡尔曼滤波（KalmanFilter）译者注：这恐怕是全网有关卡尔曼滤波最简单易懂的解释，如果你认真的读完本文，你将对卡尔曼滤波有一个更加清晰的认识，并且可以手推卡尔曼滤波。
原文作者使用了漂亮的图片和颜色来阐明它的原理（读起来并不会因公式多而感到枯燥），所以请勇敢地读下去！本人翻译水平有限，如有疑问，请阅读原文；如有错误，请在评论区指出。
推荐阅读原文，排版比较美:)背景关于滤波首先援引来自知乎大神的解释。
“一位专业课的教授给我们上课的时候，曾谈到：filtering is weighting（滤波即加权）。
滤波的作用就是给不同的信号分量不同的权重。
最简单的loss pass filter，就是直接把低频的信号给1权重，而给高频部分0权重。
对于更复杂的滤波，比如维纳滤波, 则要根据信号的统计知识来设计权重。
从统计信号处理的角度，降噪可以看成滤波的一种。
降噪的目的在于突出信号本身而抑制噪声影响。
从这个角度，降噪就是给信号一个高的权重而给噪声一个低的权重。
维纳滤波就是一个典型的降噪滤波器。
”关于卡尔曼滤波Kalman Filter 算法，是一种递推预测滤波算法，算法中涉及到滤波，也涉及到对下一时刻数据的预测。
Kalman Filter 由一系列递归数学公式描述。
它提供了一种高效可计算的方法来估计过程的状态，并使估计均方误差最小。
卡尔曼滤波器应用广泛且功能强大：它可以估计信号的过去和当前状态，甚至能估计将来的状态，即使并不知道模型的确切性质。
Kalman Filter 也可以被认为是一种数据融合算法（Data fusion algorithm），已有50多年的历史，是当今使用最重要和最常见的数据融合算法之一。
Kalman Filter 的巨大成功归功于其小的计算需求，优雅的递归属性以及作为具有高斯误差统计的一维线性系统的最优估计器的状态。
Kalman Filter 只能减小均值为0的测量噪声带来的影响。
卡尔曼滤波
卡尔曼滤波是一种高效率的递归滤波器(自回归滤波器), 它能够从一系列的不完全包含噪声的测量(英文:measurement)中，估计动态系统的状态。
应用实例卡尔曼滤波的一个典型实例是从一组有限的，对物体位置的，包含噪声的观察序列预测出物体的坐标位置及速度. 在很多工程应用(雷达, 计算机视觉)中都可以找到它的身影. 同时，卡尔曼滤波也是控制理论以及控制系统工程中的一个重要话题.比如,在雷达中,人们感兴趣的是跟踪目标,但目标的位置,速度,加速度的测量值往往在任何时候都有噪声.卡尔曼滤波利用目标的动态信息,设法去掉噪声的影响,得到一个关于目标位置的好的估计。
这个估计可以是对当前目标位置的估计(滤波),也可以是对于将来位置的估计(预测)，也可以是对过去位置的估计(插值或平滑).命名这种滤波方法以它的发明者鲁道夫.E.卡尔曼（Rudolf E. Kalman）命名. 虽然Peter Swerling实际上更早提出了一种类似的算法.斯坦利.施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器.卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时,发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用,后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波器. 关于这种滤波器的论文由Swerling (1958), Kalman (1960)与 Kalman and Bucy (1961)发表.目前,卡尔曼滤波已经有很多不同的实现.卡尔曼最初提出的形式现在一般称为简单卡尔曼滤波器.除此以外,还有施密特扩展滤波器,信息滤波器以及很多Bierman, Thornton 开发的平方根滤波器的变种.也行最常见的卡尔曼滤波器是锁相环，它在收音机,计算机和几乎任何视频或通讯设备中广泛存在.卡尔曼滤波器– Kalman Filter1．什么是卡尔曼滤波器（What is the Kalman Filter ）在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。
(中文)第二章 卡尔曼滤波器
两个步骤递归计算就构成了最优的贝叶斯估计。遗憾的是，式和在很多场合
下没有可分解的计算方法，所以它们只是一个理论上的解。基于特定分布的
假设，如高斯分布可以获得最优估计的解析的计算方法 。
卡尔曼滤波
卡尔曼滤波器认为后验概率在任何时刻都是高斯分布的，这样由均
值和方差就可以完全确定其概率分布。可以证明，如果 p xk1 | z1:k1 是高 斯的，那么要使 p xk | z1:k 也是高斯的话，隐含了下面的假设：
结构框图
计算步骤
Pn a2 n 1 Q
Gn
R
cPn c2Pn
n 1 cGn Pn
sˆn n a sˆn 1n 1Gnxn acsˆn 1n 1
Initiation sˆ00,0 P1 G1 1, sˆ11
信号矢量：例1
（同时估计若干个信号）
si n aisi n 1 wi n , i 1, 2, , q
2.2 维纳滤波器的迭代实现
信号模型和测量模型： sn asn 1 wn xn csn vn
因果IIR维纳滤波器 （前面推导结果）：
sˆ n n , sˆ n n 1 , xˆ n n 1
分别代表用n时刻以及n-1时刻及以 前所有数据对s(n)和x(n)的估计值
迭
代
差分方程
形
sˆn n f sˆn 1n 1Gnxn
使用观察值更新预测（求后 验分布均值）
mk|k mk|k1 Kk zk Hk mk|k 1
求估计误差功率（求后验分 布方差）
Pk|k Pk|k 1 Kk Hk Pk|k 1
初始估计：m0|0 P0|0
2.4 卡尔曼滤波器扩展（非线性）
1。Extended Kalman Filter(EKF)
卡尔曼滤波
1．2卡尔曼滤波在谱图分析中的应用卡尔曼(Kalman fliter)滤波理论是维纳(Wiener)滤波理论的发展，它最早用于随机过程的参数估计，后来很快在各种最优滤波理论和最优控制中得到了及其广泛的应用。
Kalman滤波器具有以下特点：(1)其数学公式用状态空间概念描述；(2)它的解是递推计算的，即Kalman滤波器是一种自适应滤波器。
Kalman滤波能有效去除噪声的干扰，获得真实信号及参数的估计值，具有适应性广、计算速度快、所需内存少、适于计算机自动分析等特点。
因此在多组分共存体系测定中，利用Kalman滤波算法可将多组分体系中各组分的信号分离出来，从而实现多组分同时测定。
Sarah C．Rutan将Kalman滤波用于色谱分析。
他们发现用Kalman滤波不仅可以定性地分析二元异构体，还可以定量地给出组分的浓度，最大误差小于7％，并且用Kalman滤波还可以较好地分离重叠峰。
H．N．A．Hassan等人用Kalman滤波分析毒品的三种成分，取得了较好的分析结果。
刘思东等人用Kalman滤波处理伏安法重叠峰，讨论了1mol／LKCL支持电介质中Pb(I)和Td(II)线性扫描伏安法和示差脉冲伏安法重叠峰的分离情况，获得满意结果。
结合Kalman滤波与其它化学计量学方法来处理信号，在谱图分析中也得到了较广的应用。
Chunsheng Yi等人在分析多组分的紫外光谱时，先用Kalman滤波器滤波，后用线性神经网络分析数据，发现只需要迭代15次，组分就可以完全分离。
David D．Gexow等人将因子分析和Kalman滤波结合用于分析色谱，得到比较满意的结果。
1标量卡尔曼滤波器传输或测量信号s(n)时，由于存在噪声，接收或者测量得到的数据石(n)和s(n)不同．为了从菇(n)中提取或者恢复原始信号s(n)，需要设计一种滤波器，对石(n)进行滤波，使它的输出)，(n)尽可能逼进s(n)，成为s(n)的最佳估计[2]，即：Y(，1)=；(n) ．(1)设s(n)含有加性噪声口(n)，对应的信号模型和测量模型分别为：s(n)=as(n一1)+删(，1) ，(2)省(n)=cs(，1)+tI(n) ，(3)彬(斥)是信号模型中的白噪声激励，秽(疗)是信号传输或测量中引入的加性白噪声，口和c都是不大于1的常数．。
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处理线性滤波以及预测问题的一种新途径R.E.Kalman1引言通讯与控制中的理论与实际问题中有很重要的一类具有统计性质。
这样的问题有：（1）、随机信号的预测；（2）、从随机噪声中分离随机信号；（3）、在有噪声的情况下探测已知形式的信号（脉冲、正弦波）。
在Wiener开拓性的工作中，他证明[1]从问题（1）和问题（2）可导出所谓Wiener-Hopf积分方程；他同样给出了解决具有实际重要意义的特殊情况——定态统计和有理数频谱——之积分方程的方法（频谱因式分解）。
在Wiener的基础性工作之后出现了许多延伸和推广。
Zadeh与Ragazzini给出了有限存储器情况的解[2]。
Bode和Shannon[3]同时独立的给出上述情况的解，并且给出了简化的求解方法。
Booton讨论了非定态统计Wiener-Hopf方程[4]。
这些结果现在都写入了标准教科书中[5,6]。
最近Darlington[7]沿着这些主线给出了一种稍微有些不同的方法。
对抽样信号的延伸，参见Franklin[8]和Lees[9]的工作。
基于Wiener-Hopf方程（同样应用于非定态问题，尽管前述方法一般并非如此）特征函数的方法由Davis[10]开创并被许多其他人应用，例如Shinbrot[11],Blum[12],Pugachev[13],Solodovnikov[14].在所有这些工作中，目标都是获取一个线性动力系统的明确说明（Wiener滤波器），由此可以完成预测、分离或者探测随机信号。
现有求解Wiener问题的方法受制于若干限制，这样就使得它们的实际用处收到削弱：1.最佳的滤波器由其脉冲响应具体指定。
由这些数据合成滤波器并非易事。
2.数值确定最佳的脉冲响应往往十分复杂并且不很适合机器计算。
这种情况随着问题复杂度的增加而迅速变得更为糟糕。
11引言23.重要的推广（如增长存储器滤波器、非定态预测）需要新的推导过程，经常给非专业人士带来相当大的困难。
4.这些推导过程的数学部分并不透明。
基本假设及其后果趋于模糊。
本文回避上述困难，提出看待这些问题的整个集合的新方式。
以下是本文的亮点：5.最佳估计和正交投影。
Wiener问题是以条件分布与期望的观点处理的。
这样，Wiener理论的基本事实可以迅速获取；结果的范围以及基本假设可以清楚的显现出来。
可以看到所有的统计计算以及结果都基于一阶和二阶平均；不需要其他的统计数据。
这样一来困难（4）便被排除。
这种方法在概率论中为人们所熟知（见Doob[15]第148至155页以及Lo`eve[16]第455至464页），但在工程上还没有大量的应用。
6.随机过程模型。
继前人之后，尤其是Bode与Shannon[3],任意随机信号可以被表示（直到二阶平均统计性质）为线性动力系统受独立或不相关随机信号（“白噪声”）激励后的输出。
这是工程上应用Wiener理论的标准手法[2,3,4,5,6,7]。
这里用到的方法与传统方法相比只在线性动力系统的描述方法上不同。
我们将强调状态以及状态过渡；换言之，线性系统将以一阶差分（或微分）方程组来刻画。
为了利用（5）中提到的简化，这种观点是自然的，也是必要的。
7.求解Wiener问题。
使用状态——过渡方法，单独一次推导即覆盖多种问题：增长与有限存储器滤波器、定态与非定态统计等等；（3）中的困难消失了。
正确猜测出估计问题的“状态”后，接下来就是最佳估计误差协方差矩阵的非线性差分（或微分）方程。
这个方程与Wiener-Hopf方程有些相似。
对方称的求解开始于观测开始的t0时刻；随后每个时刻t方程的解都代表给定区间(t0,t)上观测的最佳预测误差协方差。
从t时刻的协方差矩阵我们立刻可以获得刻画最佳线性滤波器的系数，而无需进一步的计算。
8.对偶问题。
对Wiener问题的新的公式化使其接触到基于“状态”观点的成长中的控制系统新理论[17,18,19,20,21,22,23,24]。
令人惊讶的是，Wiener问题是无噪声最佳调整器问题的对偶，而此问题已经被本文的作者利用状态——过渡方法解决[18,23,24]。
两个问题的2符号约定3 数学背景完全一致——这一点一直以来都被人们所怀疑，但直到现在两者的类比才被明确指出。
9.应用。
新方法的威力在理论调研与复杂实际问题的数值解答中大多显而易见。
在后面的案例中，最好借助机器计算。
这种类型的例子将在后面讨论。
为了给应用提供一些感觉，包含了两个非定态预测的标准例子；在这些例子中，（7）中提到的非线性差分方程甚至可以得到近似形式的解。
为了参考方便，主要结果都用定理的形式显示。
只有定理3和定理4是原创的。
下一个章节以及附录主要服务于用适用于当前目的的形式来回顾人们熟知的资料。
2符号约定贯穿本文，我们主要与离散（或者抽样）动力系统打交道；换句话说，信号将在等间距的时刻（抽样瞬间）被观测到。
选择合适的时间尺度，相邻两次抽样瞬间的时间间隔常数（抽样周期）可以被选择为单位时间。
如此一来，表示时间的变量如t,t0,τ,T等将一直是整数。
对离散动力系统施加这样的约束条件并不是必需的（至少从工程的角度来看是这样）；使用这样的离散性，我们可以保有严密的、基础的数学。
矢量将用小写粗体字母如a,b,...,x,y,...表示。
矢量，或者更精确的说，n维矢量是n个数x1,...,xn的集合；xi是矢量x的坐标或分量。
矩阵将使用大写粗体字母A,B,Q,Φ,Ψ,...表示；它们是元素aij,bij,qij,...的m×n维数列。
矩阵的转置（交换行与列）用一撇来表示。
使用公式时，为求方便，视矩阵为只有一列元素的矩阵。
使用传统的矩阵乘法定义，我们将两个n维矢量x,y的标量积写成x′y=n∑i=1xiyi=y′x标量积显然是标量，也就是说并非矢量。
类似的，关于n×n维矩阵Q的二次型是，x′Qy=n∑i,j=1xiqijxj2符号约定4我们定义表达式xy′（式中x′是m维矢量，y是n维矢量）为m×n维矩阵，矩阵元为xiyj.我们将随机矢量x的期望值记为E(x)=Ex（见附录）。
为方便起见，通常省略E后面的括号。
因为常数与E算符对易，故这种省略在简单情况中并不会引起混淆。
从而，Exy′是矩阵元为E(xiyj)的矩阵；ExEy是以E(xi)E(yj)为矩阵元的矩阵。
为方便参考，下面给出基本符号表：最佳估计t时间，当前时间。
t0观测开始时刻。
x1(t),x2(t)基本随机变量。
y(t)观测到的随机变量。
x?1(t1|t)给定y(t0),...,y(t)之后对x1(t1)的最佳估计。
L损耗函数（是其自变量的非随机函数）。
?估计误差（随机变量）。
正交投影Y(t)随机变量y(t0),...,y(t)生成的线性流形。
ˉx(t1|t)x(t1)在Y(t)上的正交投影。
?x(t1|t)x(t1)正交于Y(t)的分量。
随机过程模型Φ(t+1;t)过渡矩阵。
Q(t)随机激励的协方差。
求解Wiener问题x(t)基本随机变量。
y(t)观测到的随机变量。
Y(t)由y(t0),...,y(t)生成的线性流形。
Z(t)由?y(t|t?1)生成的线性流形。
x?(t1|t)给定Y(t)之后对x(t1)的最佳估计。
?x(t1|t)给定Y(t)之后对x(t1)最佳估计的误差。
3最佳估计53最佳估计为具体描述将要研究问题的类型，需考虑以下情况。
已知信号x1(t)和噪声x2(t).只能观察到和y(t)=x1(t)+x2(t).假定我们已经观测并确切的知道y(t0),...,y(t)的值，关于t=t1（t1可能小于、等于或者大于t）处的值（非观测量）我们可以从已知信息中推断出什么？如果t1<t,这是数据平滑（插值）问题。
如果t1=t,这称为滤波。
如果t1>t，称为预测问题。
既然我们有足够一般性的方法来处理以上以及类似的问题，以下我们将使用共同的术语估计。
正如Wiener指出[1]的那样，估计问题的天然背景属于概率论和统计学的范畴。
因此信号、噪声以及它们的和都是随机变量，进而它们可被视为随机过程。
从随机过程的概率论描述中我们可以确定特定信号或者噪声抽样发生的概率。
对于随机变量y(t)的任意给定的测量值η(t0),...,η(t)原则上也可以确定随机变量x1(t1)于同一时刻取不同值ξ1(t)的概率。
这就是条件概率分布函数Pr[x1(t1)≤ξ1|y(t0)=η(t0),...,y(t)=η(t)]=F(ξ1)(1)显然，F(ξ1)代表了随机变量y(t0),...,y(t)测量结果传递的关于随机变量x1(t1)所有信息。
随机变量x1(t1)的任何统计估计都是上述分布的某种函数，因而是随机变量y(t0),...,y(t)的（非随机）函数。
该统计估计记为X1(t1|t),如果观测到的随机变量集合或者待估计时间在上下文中是明确的，也可记为X1(t1)或者X1.假定X1以随机变量y(t0),...,y(t)的固定函数的形式给出。
那么X1本身就是一个随机变量，只要y(t0),...,y(t)的实际值已知，即可知X1的实际值。
一般来说，X1(t1)的实际值与x1(t1)的（未知）实际值是不同的。
为了取得确定X1的合理方法，自然要为不正确的估计指定罚函数或损耗函数。
确切的说，损耗函数应当（1）非负，（2）是估计误差?=x1(t1)?X1(t1)的单调不递减函数。
故此，定义损耗函数L(0)=0L(?2)≤L(?1)≤0when?2≤?1≤0(2)L(?)=L(??)常见的损耗函数有：L(?)=a?2,a?4,a|?|,a[1?exp(??2)]等等，其中a是大于零的常数。
3最佳估计6一种（但并非唯一的）自然而然的选择随机变量X1的方法是令选取的值最小化损耗或风险的平均值E{L[x1(t1)?X1(t1)]}=E[E{L[x(t1)?X1(t1)]|y(t0),...,y(t)}](3)既然式3右边第一个期望值不依赖于X1的选择，而是由y(t0),...,y(t)唯一决定，所以最小化refeq3等价于最小化E{L[x1(t1)?X1(t1)]|y(t0),...,y(t)}(4)在少量附加的假设之下，最佳估计就可以用简单的方法刻画出来。
定理1.假定L如式2且由式1定义的条件分布函数F(ξ)：A关于均值ˉξ对称：F(ξ?ˉξ)=1?F(ˉξ?xi)B对ξ≤ˉξ是凸的：F(λξ1+(1?λ)ξ2)≤λF(ξ1)+(1?λ)F(ξ2)forallξ1,ξ2≤ˉξand0≤λ≤1则最小化损耗（式3）的随机变量x?1(t1|t)是条件期望x?1(t1|t)=E[x1(t1)|y(t0),...,y(t)](5)证明：正如Sherman最近所指出[25]的，该定理是概率论中一个著名引理的直接结论。