几种常用辅助线的做法

A

D B

C

E

图2-1

常见辅助线得作法有以下几种：

1) 遇到等腰三角形,可作底边上得高，利用“三线合一"得性质解题，思维模式就是全等变

换中得“对折”。

2) 遇到三角形得中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用得思

维模式就是全等变换中得“旋转”.

3) 遇到角平分线,可以自角平分线上得某一点向角得两边作垂线，利用得思维模式就是三

角形全等变换中得“对折”,所考知识点常常就是角平分线得性质定理或逆定理. 4) 过图形上某一点作特定得平分线,构造全等三角形,利用得思维模式就是全等变换中得

“平移”或“翻转折叠”

5) 截长法与补短法，具体做法就是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或就是将

某条线段延长,就是之与特定线段相等，再利用三角形全等得有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段得与、差、倍、分等类得题目.

特殊方法:在求有关三角形得定值一类得问题时,常把某点到原三角形各顶点得线段连接起来，利用三角形面积得知识解答。

一、 倍长中线法

有以线段中点为端点得线段、有三角形中线时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。 例1、 在△ABC 中，已知AD 为 △AB Ｃ得中线,求证：AB+A Ｃ>2AD

例2、 CB,C Ｄ分别就是钝角△A ＥC 与锐角△ABC 得中线,且AC=AB.求证:CE ＝２CD 。

例3、 已知:如图，△A ＢC （AB≠AC)中,D 、E 在ＢC 上,且DE=EC,过D 作ＤF ∥ＢA 交AE 于点F ，DF=ＡC 。求证:A Ｅ平分∠ＢAC.

例4、如图,△ABC 中，E 、Ｆ分别在A Ｂ、ＡC 上,DE ⊥D Ｆ,Ｄ就是中点，试比较BE+ＣF 与EF 得大小、

二、截长补短法

例1、如图，已知在ΔAB Ｃ中,∠Ｂ=2∠C ，ＡD 平分∠BA Ｃ,求证：A Ｃ=AB+BD

练习、如图，在中,,就是得平分线，且,求得度数、

例2、 如图2—１,ＡD ∥B Ｃ，点Ｅ在线段ＡB 上,∠AD Ｅ＝∠ＣD Ｅ，∠DCE ＝∠ECB 、求证:

ＣＤ=AD +BC 、 例3、点M ,Ｎ在等边三角形ＡBC 得AB 边上运动,B Ｄ＝DC ，

∠

BDC =１2０°，∠MDN =60°,求证MN =ＭB +ＮC 。

D C

B

A

C

B

N

M C

B

A

三、平行法

例１、如图所示。△ＡＢＣ就是等腰三角形,D ，Ｅ分别就是腰A Ｂ及AC 延长线上得一点，且BD=CE ,连接ＤE 交底BC 于Ｇ．求证:ＧD=ＧE

练习。已知，如图，在△中，,点D 在A Ｂ边上, 点E 在AC 边得延长线上，且,连接D Ｅ交BC 于Ｆ. 求证：．

例2、已知：如图，△AB Ｃ就是等边三角形，在ＢC 边上取点D,在边AC 得延长线上取点E 使DE=A Ｄ.

求证：BD=C Ｅ。

四、 借助角平分线造全等

有角平分线时,通常在角得两边截取相等得线段,构造全等三角形

例 1、如图，已知在△A ＢＣ中，∠B ＝６0°，△ABC 得角平分线ＡD ，CE 相交于点O,求证：O Ｅ=OD

练习、如图，△ABC 中,AD 平分∠BAC,DG ⊥BC 且平分ＢC ，ＤE ⊥DF ⊥AC 于F 、 （１）说明B Ｅ=ＣF 得理由;（2）如果ＡＢ＝，AC=,求AE 、BE 得长、 中考应用

如图①,OP 就是∠M ＯN 得平分线，请您利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴得全等三角形。请您参考这个作全等三角形得方法，解答下列问题： (１)如图②，在△A ＢC 中，∠ACB 就是直角，∠B ＝

60°,A Ｄ、ＣE 分别就是∠BAC 、∠B ＣA 得平分线，ＡD 、ＣＥ相交于点Ｆ.请您判断并写出FE 与FD 之间得数量关系；

(2）如图③，在△A ＢC 中，如果∠ＡCB 不就是直角，而（1）中得其它条件不变,请问,

您在（1）中所得结论就是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

五、巧证全等三角形

F E B

D C

A

O

P A

M

N

E

B C

D F

A

E

F

B

D

图①

图②

图③

有与角平分线垂直得线段时，通常把这条线段延长.

例1、如图，已知在△ABＣ中，∠BAC为直角，ＡB=ＡC,D为AC上一点,CE⊥BD于Ｅ,若BＤ平分∠ABC.

求证ＣE=BD;

练习、已知：如图,在Rt△ABＣ中,AB=AC，∠BAC=90°，过A得任一条直线AN,BD⊥AＮ于Ｄ，CＥ⊥AＮ于E，求证：DＥ=ＢD—ＣE

例2、如图，AD就是得角平分线,H,G分别在ＡC,AＢ上,且、

（1)求证：与互补;

(2）若,请探究线段AＧ与线段AＨ、HD之间满足得等量关系，并加以证明.

六、全等三角形综合练习

例1、如图，已知△AＢC中，AD平分∠BAC、Ｍ就是BC得中点，ME∥AD交AＢ于Ｆ,交CA延长线于E，AB>ＡC，求证：BF=ＣＥ、

例２、正方形ABCD中,E为BＣ上得一点,F为CD上得一点，BE+DＦ=EＦ，求∠EＡF得度数

例3、(1)如图,在正方形ABCD中,M就是ＢC边（不含端点B、Ｃ）上任意一点,P就是BC延长线上一点，N就是∠ＤCＰ得平分线上一点．若∠ＡMＮ=９0°，求证：AM=MN.

（2）若将（１）中得“正方形ＡBCD”改为“正三角形ABC”（如图),N就是∠ACP得平分线上一点,则∠AMN=60°时,结论AM＝ＭＮ就是否还成立？请说明理由．