异面直线所成的角的求法
异面直线所成角的判定方法
异面直线所成角的判定方法异面直线是三维空间中的两条直线，它们不在同一个平面内。
在数学中，我们经常需要判断两条异面直线之间的角度，下面将详细介绍异面直线所成角的判定方法。
我们需要了解两条异面直线的基本概念。
两条异面直线可以用它们的方向向量来表示。
在三维空间中，一条直线可以由一点和一个方向向量确定。
因此，如果我们知道了两条异面直线上的任意一点和它们的方向向量，就可以完全确定这两条直线。
接下来，我们来研究两条异面直线之间的角度。
首先，我们需要找到这两条直线的公垂线。
公垂线是垂直于两条直线的线段，它们的交点就是两条直线的最短距离。
我们可以通过向量积来求出两条直线的公垂线。
具体地，我们可以先求出两条直线的方向向量的向量积，然后再将得到的向量与其中一条直线的方向向量再次求向量积，即可得到公垂线的方向向量。
接下来，我们可以通过余弦定理来求出两条异面直线之间的夹角。
具体地，我们可以用两条直线的方向向量和公垂线的方向向量来求出两条直线之间的夹角的余弦值，然后再通过反余弦函数求出夹角的大小。
需要注意的是，由于反余弦函数的定义域是[0,π]，因此我们需要判断两条异面直线之间的夹角是否大于π/2，如果大于π/2，则需要用π减去这个夹角来得到最终的夹角大小。
除了上述方法外，我们还可以通过向量投影来求解两条异面直线之间的夹角。
向量投影是指将一个向量投影到另一个向量上得到的一个标量值。
具体地，我们可以求出两条直线的方向向量在对方上的投影，然后通过余弦定理求出它们之间的夹角。
需要注意的是，这种方法只适用于两条直线的方向向量都是单位向量的情况。
除了以上两种方法外，我们还可以通过点和直线之间的距离公式来求解两条异面直线之间的夹角。
具体地，我们可以先求出两条直线上的任意两个点，然后通过点和直线之间的距离公式求出它们到另一条直线的距离，最后通过余弦定理求出它们之间的夹角。
需要注意的是，这种方法的计算量较大，不太实用。
我们可以通过向量积、余弦定理、向量投影以及点和直线之间的距离公式来判断两条异面直线之间的夹角。
异面直线所成角的几种求法资料讲解
异面直线所成角的几种求法仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。
因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。
在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。
一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。
求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。
解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。
作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ， 连结GH ，有GH//A 1E 。
过F 作CD 的平行线RS ， 分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。
由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。
在△GHS 中，设正方体边长为a 。
GH=46a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ， B A CD FEB 1 A 1 D 1C 1G HSRPQ仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3连QH ，可知△GQH 为直角三角形），HS=26a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形）， GS=426a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。
∴Cos ∠GHS=61。
所以直线A 1E 与直线B 1F解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。
以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2。
异面直线所成的角求法课件
答案解析
答案一解析
首先，由于AB和CD为异面直线，且AB ⟂ CD，我们可以知道异面直线AB与CD所成的 角为∠BAC。因为∠BAC = 60°，所以异面直线AB与CD所成的角也为60°。
答案二解析
首先，找到与AB和AD₁都平行的平面或线段。在长方体中，这样的平面或线段是A₁D和 A₁B₁。然后，利用平移将异面直线AB和AD₁平移到同一个起点，例如点A。最后，利用 余弦公式计算异面直线AB与AD₁所成角的余弦值。具体计算过程涉及长方体的边长和
常见误区
列举了在求解过程中可能出现 的常见错误和误区，并给出了
正确的解释和纠正方法。
展望
01
02
03
04
进一步研究
鼓励学习者在掌握基本方法的 基础上，深入研究异面直线所 成的角的更多性质和应用。
与其他知识的结合
提倡将异面直线所成的角与其 他几何知识进行结合，形成更
完整的知识体系。
实际应用拓展
强调将所学知识应用于实际问 题解决中，培养解决实际问题
在空间向量中的应用
异面直线所成的角在空间向量中也有着重要的应用。向量 的数量积、向量的模长以及向量的夹角都可以通过异面直 线所成的角来表示。
在解决空间向量的加法、数乘以及向量的模长和夹角等问 题时，常常需要利用异面直线所成的角来建立向量关系， 从而得到向量的具体表示和运算结果。
在物理问题中的应用
成的角的余弦值等于 $frac{overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b}}{|overset{lon
grightarrow}{a}| cdot
利用向量的夹角公式求异面直线所成的角
要点一
异面直线所成的角求法课件
然后求出$\vec{a}$和$\vec{b}$的模， $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$， $|\vec{b}|=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt{5}$；
异面直线所成的角求法 课件
目录
• 引入 • 向量法求解异面直线所成角 • 几何法求解异面直线所成角 • 坐标法求解异面直线所成角 • 实际应用与拓展 • 总结与回顾
01
引入
异面直线的定义
定义 判定定理
异面直线所成角的概念
定义
范围
两条异面直线所成角的范围是(0°,90°]， 若两条异面直线互相垂直，则说它们 所成的角是90°；若两条异面直线所成 的角是锐角或直角，则就按照锐角或 直角来度量。
求解异面直线所成角的意义
实际应用
拓展思维
02
向量法求解异面直线所成角
向量点积与夹角关系
点积定义
夹角与点积关系
利用向量点积求解异面直线所成角步骤
01
02
03
04
典型例题解析
例1：已知两异面直线上的向量分别为$\vec{a}=(1,2,3)$和 $\vec{b}=(2,1,0)$，求异面直线所成的角。
05
实际应用与拓展
异面直线所成角在实际问题中的应用
建筑设计 机器人路径规划 航空航天
拓展：其他空间几何角的求解方法
向量法
三角函数法
06
异面直线成角求法
求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。
还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B ）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。
例：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。
解法1：平移法设A 1C 1与B 1D 1交于O ，取B 1B 中点E ，连接OE ，因为OE//D 1B ，所以∠C 1OE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角△C 1OE 中211E B C B E C 2312221BD 21OE 25C A 21OC 22212111221111=+=+==++⋅====()552325222325OEOC 2E C OE OC OE C cos 2221212211=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=∠所以55a r c c o sOE C 1=∠所以 所以异面直线111BD C A 与所成的角为55arccos图1解法2：补形法在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面BC 1上补上一个同样大小的长方体，将AC 平移到BE ，则∠D 1BE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角，在△BD 1E 中，BD 1=3，5BE =，5224E D 221=+=()()555325253BE BD 2E D BE BD BE D cos 2221212211-=⨯⨯-+=⋅-+=∠所以异面直线A 1C 1与BD 1所成的角为55arccos图2解法3：利用公式21cos cos cos θθθ⋅=设OA 是平面α的一条斜线，OB 是OA 在α内的射影，OC 是平面α内过O 的任意一条直线，设OA 与OC 、OA 与OB 、OB 与OC 所成的角分别是θ、θ1、θ2，则21cos cos cos θθθ⋅=（注：在上述题设条件中，把平面α内的OC 换成平面α内不经过O 点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D 1B 在平面ABCD 内射影是BD ，AC 看作是底面ABCD 内不经过B 点的一条直线，BD 与AC 所成的角为∠AOD ，D 1B 与BD 所成角为∠D 1BD ，设D 1B 与AC 所成角为θ，AOD cos BD D cos cos 1∠⋅∠=θ，55BD BD BD D cos 11==∠。
异面直线所成角的几种求法
D。求异面直线 AE 与 CD 所成的角的大小。
P
解：过 E 作的平行线 EF 交 AD 于 F，
E
由 PA⊥底面 ABCD 可知，直线 AE 在平面
ABCD 内的射影为 AD，
D
直线 AE 与平面 ABCD 所成的角为∠DAE，其大小为 60°，
A
F
射影 AD 与直线 CD 所成的角为∠CDA，其大小为 45°，
所以 cosθ= cosθ1·cosθ2。
A
b B
α O
这一问题中，直线 a 和 b 可以是相交直线，也可以是异面直线。我们不妨把 θ1 叫 做线面角，θ 叫做线线角，θ2 叫做线影角。很明显，线线角是这三个角中最大的一个 角。我们可以利用这个模型来求两条异面直线 a 和 b 所成的角，即引理中的角 θ。从引 理中可以看出，我们需要过 a 的一个平面 α，以及该平面的一条斜线 b 以及 b 在 α 内 的射影。
个向量两两之间的夹角是已知的），空间中任何一个向量都可以用这三个向量的线性组合
表示出来，因而也可以运用向量的数乘来求出空间中任意二个向量间的夹角。
例 2：已知空间四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N 分别为 BC
和 AD 的中点，设 AM 和 CN 所成的角为 α，求 cosα 的值。
异面直线所成角的几种求法
异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角） 来定义的。因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角， 然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。在这一方法中，平移 直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。
解：取 AC 上点 G，使 AG：GC=1：2。连结 EG、FG，
异面直线所成的角求法总结加分析
ABCDA 1B 1C 1D 1E F异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直接平移法1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。
在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。
2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN ∥SM ∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6， cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+。
SXB186高考数学必修_异面直线所成角的求法
异面直线所成角的求法两条异面直线所成的角是每年高考必考内容，要求牢固掌握两异面直线所成的角的定义、范围、作法及其求解，两异面直线所成的角是刻画两异面直线相对位置的量，定义是通过转化两相交直线所成的角来解决的，这也是立体几何的传统解法，我们学习了空间向量后，还可以用向量的方法解决。
一． 传统求法--------找、作、证、求解求两异面直线所成的角，关键是作出此角，传统上一般最常用的方法是平移法---------将其中一条平移到与另一条直线共面且相交，则此夹角就是两异面直线所成的角，用此该法一般可以从多方法，多角度思考，这样对我们解决异面直线所成的角大有裨益。
例1 设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB ＝122，CD ＝4 2，且四边形EFGH 的面积为12 3，求AB 和CD 所成的角.解 由三角形中位线的性质知，H G∥AB，HE∥CD，∴ ∠EHG就是异面直线AB 和CD 所成的角.∵ EFGH 是平行四边形，HG ＝21 AB ＝62， HE ＝21 ，CD ＝23， ∴ S EFGH ＝HG·HE·sin∠EHG＝126 sin∠EHG, ∴ 12 6sin∠EHG＝123.∴ s in∠E HG ＝22,故∠EHG＝45°. ∴ AB 和CD 所成的角为45°总结与提高：作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。
最后作答时，这个角的余弦值必须为正。
二． 利用两个向量的夹角公式（<,cos ），可以求空间两条直线所成的角。
1. 建基向量法在已知图形中选定一个基底, 把所求向量转化为基向量来表示并计算数量积与模。
例2． 如图，三棱柱AOB —A 1O 1B 1中，面OBB 1O 1⊥面AOB ，H G F E D C B A∠O 1OB = 600，∠AOB = 900且 OB = OO 1 = 2，OA = 3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的大小． 分析：由条件可得OA ⊥OB ， OA ⊥O 1O ，再结合 题干可知共点于O 的三条线段OA 、OB 、OO 1的长度已知， 且两两夹角已知，故可选择以{}1,,OO OB OA 为基底来解决 异面直线A 1B 与AO 1所成角的大小，关键是把所求异面直线上的两个方向向量B A 1，1AO 都表示成基向量的形式． 解： ∵ 面OBB 1O 1⊥面AOB ，OA ⊂面AOB ，面OBB 1O 1∩面AOB=OB ，且OA ⊥OB ， ∴ OA⊥面OBB 1O 1 ， ∴ OA ⊥OO 1 ，即∠AOB = 900，∠AOO 1= 900，因此，选择一组基向量{}1,,OO OB OA ，则 OA OO AO -=11， 11OO OA OB B A --=， ∴ 790cos 322342012211=⨯⨯-+=•-+=OA OO OA OO AO ，同理 72221121221=•+•-•-++=OO OA OA OB OB OO OO OA OB B A ，又 12211111OO OA OA OB OA OO OA OO OB OO B A AO •++•--•-•=• 190cos 23390cos 23490cos 3260cos 220000=⨯++⨯--⨯-⨯=设异面直线A 1B 与AO 1所成的角为θ，则71,cos cos 111111=••=><=B A AO BA AOB A AO θ， 所以 71arccos =θ 总结与提高：关键是要找到一组能确定基向量夹角和模的基底。
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①作（找） ② 证 ③ 点 ④ 算
例4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为4 (1) 求直线BA1和CC1所成的角的大小 (2) 若M，N分别为棱A1B1和B1B的中点， 求直线AM与CN所成的角的余弦值.
D1 M A1 B1 N D BQ=1 BN=2 QN= C1
5
QC=
17
NC= 2
正方体ABCD- A1B1C1D1中,P为 BB1的中点,
如图画出下面各题中指定的异面直线
D1 A1 B1
C1 A1
D1 B1
C1 A1
D1 B1
C1
P●
D A D
C
C
D A
C
B
A
B
B
异面直线所成的角是锐角或直角，当三角形内角是钝角时， 表示异面直线所成的角是它的补角.
以第三幅图为例，设正方体的棱长为1， 求异面直线的夹角
如图，补一个与原正方体全等的并与原正方体有公共面的正方体
D1 A1 B1 C1
解：根据图像知，A1C1E或它的补角是A1C1与BD1的夹角
F1 E1
A1C1 = 2,BD1 = 3,A1E= 5 A1C12 +BD12 =A1E 2 ,则A1C1E是直角三角形
F
D A
C
A1C1E 900
〖分析〗 1、做异面直线的平行线 2、说明哪个角就是所求角 3、把角放到平面图形中求解
A1
B
1
②∵在面A1B1CD中， ∵ A1B1 CD ∴ A1D//B1C ∴ AB1和B1C所成的锐角是异面直线AB1和A1D所成的角 ∵ 在△AB1C中，AB1和CC1所成的角是600 ∴异面直线AB1和A1D所成的角是600 。
异面直线A1C1与D1B的夹角是900
B
E
补形法
把空间图形补成熟悉的或完整的几何体， 如正方体、长方体等，其目的在于易于发 现两条异面直线的关系。
练习
在空间四边形S-ABC中，SA⊥BC且 SA=BC, E, F分别为 SC、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ B ）A)300 ( (B)450 (C)600 (D)900
2.1.2 空间中直线与直线 之间的位置关系 习题课
问题一：异面直线的判定
例1.已知m、n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β， α∩β＝l，则l( ) • A．与m、n都相交 • B．与m、n中至少一条相交 • C．与m、n都不相交 • D．与m、n中的一条直线相交
• 例2.已知点P、Q、R、S分别是正方体 的四条棱的中点，则直线PQ与RS是异 面直线的一个图是 ( )
• 思路4：选取平面BCD，该平面有如下特点： ①该平面包含直线DE，②该平面与CF相交 于点C，伸展平面BCD，在该平面内过点C 作CK∥DE与BD的延长线交于点K，且DK ＝BD，连结FK，则CF与CK所成的角，即 为异面直线CF与DE所成的角．如图4.
• 总结评述：(1)上面四个思路的共同点是： 由两条异面直线中的一条与另一条上一个 点确定一个平面，在该平面内过该点作该 直线的平行线，从而找出两条异面直线所 成的角，这是立体几何“化异为共”“降 维”的基本思想．
A
Q
F D
（2）求CF与DE所 成的角。
E
C
异面直线所成的角的求法: 典例剖析
D A
D1
C B D1 C1
D1
例1：如图正方体AC1， ①求异面直线AB1和CC1所成角的 大小 ②求异面直线AB1和A1D所成角的 大小
〖分析〗 1、做异面直线的平行线 2、说明哪个角就是所求角 3、把角放到平面图形中求解
大小.
60 ②异面直线 B’C与 EF所成角的大小；
G O
AC∥ A’C’∥ EF, 90 OG ∥B’D B’D 与EF所成的角 即为AC与OG所成的角, 即为∠AOG或其补角.
补形法
平移法
例6 空间四边形SABC中，SA=SB=SC=AB=BC=CA， E、F分别是SA、BC中点，则异面直线EF与SC所 成的角 900
A1
B
1
解: ①∵ CC1//BB1 ∴ AB1和BB1所成的锐角是异面直线AB1和CC1所成的角 ∵ 在△ABB1中，AB1和BB1所成的角是450 ∴ 异面直线AB1和CC1所成的角是450 。
异面直线所成的角的求法: 典例剖析
D A
D1
C B D1 C1
D1
例1：如图正方体AC1， ①求异面直线AB1和CC1所成角的 大小 ②求异面直线AB1和A1D所成角的 大小
G
D
F C
1 1 3 3 1 3 AB a. EG AF a. FG DF 2 2 2 4 2 4
CG FG 2 FC 2 ( 3 1 7 AB) 2 ( AB) 2 a. 4 2 4 2 在EGC中用余弦定理得cos GEC . 3 2
∴异面直线AF、CE所成角的余弦值是
C
F
B
例14、如图，在三棱锥D－ABC中， DA⊥平面ABC，∠ACB = 90°， ∠ABD = 30°，AC = BC，求异 面直线AB 与CD所成的角的余弦值。
D
A
B
思考题 四面体A—BCD的棱 长均为a, E，F分别 为棱BC，AD的中点， P （1）求异面直线CF 和BD所成的角的余 B 弦值。
例3．如图，已知α∩β＝a，b⊂α，c⊂β， b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直 线．
异面直线的证明:
(1)反证法，假设两直线共面，随后导出矛 盾，故两直线异面．
(2)过平面外一点与平面内一点的直线和平 面内不过该点的直线是异面直线(异面直线 判定定理)．
问题二：求异面直线所成的角
预备知识
• 例、10 由四个全等的等边三角形围成的 封闭几何体称为正四面体．如图，正四面 体ABCD中，E、F分别是棱BC、AD的中 点，CF与DE是一对异面直线，在图形中 适当的选取一点作出异面直线CF、DE的 平行 线 ， 找 出异面 直线 C F 与 D E 所 成的 角．
[解析] 思路1：选取平面ACD，该平面有以 下两个特点：①该平面包含直线CF，②该 平面与DE相交于点D，伸展平面ACD，在 该平面中，过点D作DM∥CF交AC的延长线 于M，连结EM.可以看出：DE与DM所成的 角，即为异面直线DE与CF所成的角．如图 1.
7 PF FC PC 2 FC PC cos120 a. 2 3 AP 2 EC 3a. AF a, 2 2 PAF中应用余弦定理, 得 cos PAF . 3
2 2
E
D C
F
P
2 ∴异面直线AF、CE所成角的余弦值是 3
练习1：如图，P为Δ ABC所在平面外一点， PC⊥AB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中 P 点。 （1）求证：EF与PC为异面直线； E （2）求EF与PC所成的角； C A （3）求线段EF的长。
例7.
S是正△ABC所在平面外一点，SA=SB=SC且 ∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°，M，N分别是AB 和SC的中点，求异面直线SM与BN所成的角。
C S a
2 a 2
N
a a P
N
2 a 4
6 a 2
C P
A
2a M
B A M
6 a 4
2 a 2
14 a 4
B
2 a 4
14 a 4
5 a 2
3
11．A为正三角形BCD所在平面外一点，且 AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中 点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、 CE所成角的余弦值。 A
另解:延长DC至P,使DC=CP，E为AD中点， 故∠PAF(或其补角)为异面直 ∴AP//EC。 线AF、CE所成的角。 B
10．A为正三角形BCD所在平面外一点，且 AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中 点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、 A CE所成角的余弦值。
解：连结DF，取DF的中点G，连结EG， CG，又E是AD的中点，故EG//AF， 所以∠GEC（或其补角）是异面直线 B AF、CE所成的角。 E
a=2RsinA
角的知识
b c C a B A
正弦定理a=2RsinA A
S
1 ABC= bc sinA 2
余弦定理
b c a cosA= 2bc
2 2 2
c
b
B
a
C
二、数学思想、方法、步骤：
1.数学思想： 解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化 归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而 转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。 2.方法： 求异面直线所成的角： 3.步骤： 平移 构造可解三角形
A
E B
P
M C N
变题:已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a.
O为底面中心，F为DD1中点E在A1B1上,求AF与OE 所成的角
D1
E A1 F B1 C1
D C N A O
B
2、若M为A1B1的中点，N为BB1的中点， 求异面直线AM与CN所成的角；
D1
M A1 B1 C1
N
D A E
假设EF与PC不是异面直线, 则EF与PC共面由题意可知 其平面为PBC
F B
P 平面PBC PE 平面PBC即PA 平面PBC P, A, B, C共面 E 平面PBC
这与已知P为ΔABC所在平面外一点矛盾
12、空间四边形PABC中，M，N分别 是PB，AC的中点， PA=BC=4，MN=3， 求PA与BC所成的 角？
• (2)求两条异面直线所成角的关键是作出这 两条异面直线所成的角，作两条异面直线 所成的角的方法是：将其中一条平移到某 个位置使其与另一条相交或是将两条异面 直线同时平移到某个位置使它们相交，然 后在同一平面内求相交直线所成的角．值 得注意的是：平移后相交所得的角必须容 易算出，因此平移时要求选择恰当位 置．一般提倡像思路2、思路3那样作角， 因为此角在几何体内部，易求．