《指数函数》教案12苏教版
《指数函数》教案12（苏教版必修1）2.1.2 指数函数及其性质整体设计教学分析有了前面的知识储备,我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念,作指数函数的图象以及研究指数函数的性质.教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫. 本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,编写时充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情景,为学生的数学探究与数学思维提供支持.三维目标1.通过实际问题了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质,体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想.2.让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.3.通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美.重点难点教学重点：指数函数的概念和性质及其应用.教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用.课时安排3课时教学过程第1课时指数函数及其性质(1)导入新课思路1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的,写出存留污垢y与漂洗次数x的关系式,它是函数关系式吗？若是,请计算若要使存留的污垢不超过原有的,则至少要漂洗几次？教师引导学生分析,列出关系式y=()x,发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位置上,这样的函数叫指数函数,引出本节课题.思路2.教师复习提问指数幂的运算性质,并要求学生计算23,20,2-2,16,27,49.再提问怎样画函数的图象,学生思考,分组交流,写出自己的答案8,1, ,2,9,,先建立平面直角坐标系,再描点,最后连线.点出本节课题.思路3.在本章的开头,问题（2）中时间t和碳14含量P的对应关系P=［()］t,如果我们用x表示时间,y表示碳14的含量,则上述关系可表示为y=［()］x,这是我们习惯上的函数形式,像这种自变量在指数的位置上的函数,我们称为指数函数,下面我们给出指数函数的确切概念,从而引出课题.推进新课新知探究提出问题1.一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物质经过x年后的剩留量y与x的关系式是_________.(y=0.84x)2.某种细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成十六个,依次类推,一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞个数y与x的关系式是_________.(y=2x)提出问题(1)你能说出函数y=0.84x与函数y=2x的共同特征吗?(2)你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念?(3)为什么指数函数的概念中明确规定a0,a≠1?(4)为什么指数函数的定义域是实数集?(5)如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出它的步骤.活动：先让学生仔细观察,交流讨论,然后回答,教师提示点拨,及时鼓励表扬给出正确结论的学生,引导学生在不断探索中提高自己的应用知识的能力,教师巡视,个别辅导,针对学生共性的问题集中解决.问题(1)看这两个函数的共同特征,主要是看底数和自变量以及函数值.问题(2)一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量. 问题(3)为了使运算有意义,同时也为了问题研究的必要性. 问题(4)在(3)的规定下,我们可以把ax看成一个幂值,一个正数的任何次幂都有意义.问题(5)使学生回想指数函数的定义,根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数,紧扣指数函数的形式.讨论结果：(1)对于两个解析式我们看到每给自变量x一个值,y都有唯一确定的值和它对应,再就是它们的自变量x都在指数的位置上,它们的底数都大于0,但一个大于1,一个小于1.0.84与2虽然不同,但它们是两个函数关系中的常量,因为变量只有x和y.(2)对于两个解析式y=0.84x和y=2x,我们把两个函数关系中的常量用一个字母a来表示,这样我们得到指数函数的定义:一般地,函数y=ax(a0,a≠1)叫做指数函数,其中x叫自变量,函数的定义域是实数集R.(3)a=0时,x0时,ax总为0;x≤0时,ax没有意义.a0时,如a=-2,x=,ax=(-2)=显然是没有意义的.a=1时,ax恒等于1,没有研究的必要.因此规定a0,a≠1.此解释只要能说明即可,不要深化.(4)因为a0,x可以取任意的实数,所以指数函数的定义域是实数集R.(5)判断一个函数是否是一个指数函数,一是看底数是否是一个常数,再就是看自变量是否是一个x且在指数位置上,满足这两个条件的函数才是指数函数.提出问题(1)前面我们学习函数的时候,根据什么思路研究函数的性质,对指数函数呢?(2)前面我们学习函数的时候,如何作函数的图象?说明它的步骤.(3)利用上面的步骤,作函数y=2x的图象.(4)利用上面的步骤,作函数y=()x的图象.(5)观察上面两个函数的图象各有什么特点,再画几个类似的函数图象,看是否也有类似的特点?(6)根据上述几个函数图象的特点,你能归纳出指数函数的性质吗?(7)把y=2x和y=()x的图象,放在同一坐标系中,你能发现这两个图象的关系吗?(8)你能证明上述结论吗?(9)能否用y=2x的图象画y=()x的图象?请说明画法的理由. 活动：教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质,共同讨论研究指数函数的性质的方法,强调数形结合,强调函数图象在研究函数性质中的作用,注意从具体到一般的思想方法的运用,渗透概括能力的培养,进行课堂巡视,个别辅导,投影展示画得好的部分学生的图象,同时投影展示课本表21,22及图2.12,2.13及2.14,及时评价学生,补充学生回答中的不足.学生独立思考,提出研究指数函数性质的思路,独立画图,观察图象及表格,表述自己的发现,同学们相互交流,形成对指数函数性质的认识,推荐代表发表本组的集体的认识.讨论结果：(1)我们研究函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般,一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的性质.(2)一般是列表,描点,连线,借助多媒体手段画出图象,用计算机作函数的图象.(3)列表.x-3.00-2.50-2.00-1.50-1.000.000.501.001.502.00y=2 x124作图如图2-1-2-1图2-1-2-1(4)列表.x-2.50-2.00-1.50-1.000.001.001.502.002.50y=()x124 作图如图2-1-2-2图2-1-2-2(5)通过观察图2121,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是上升的,说明是增函数,图象位于x轴上方,说明值域大于0.图象经过点（0,1）,且y值分布有以下特点,x0时0y1,x0时y1.图象不关于x轴对称,也不关于y轴对称,说明函数既不是奇函数也不是偶函数.通过观察图2122,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是下降的,说明是减函数,图象位于x轴上方,说明值域大于0.图象经过点（0,1）,x0时y1,x0时0y1.图象不关于x轴对称,也不关于y轴对称,说明函数既不是奇函数也不是偶函数.可以再画下列函数的图象以作比较,y=3x,y=6x,y=()x,y=()x.重新观察函数图象的特点,推广到一般的情形.（6）一般地,指数函数y=ax在a1和0a1的情况下,它的图象特征和函数性质如下表所示.图象特征函数性质a＞10＜a＜1a＞10＜a＜1向x轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点（0,1）a0=1自左向右,图象逐渐上升自左向右,图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1x＞0,ax＞1x＞0,ax＜1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1x＜0,ax＜1x＜0,ax＞1一般地,指数函数y=ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：a＞10＜a＜1图象性质①定义域：R②值域：（0,+∞）③过点（0,1）,即x=0时y=1④在R上是增函数,当x＜0时,0＜y＜1;当x＞0时,y＞1④在R上是减函数,当x＜0时,y＞1;当x＞0时,0＜y＜1 （7）在同一坐标系中作出y=2x和y=()x两个函数的图象,如图2-1-2-3.经过仔细研究发现,它们的图象关于y轴对称.图2-1-2-3(8)证明:设点p(x1,y1)是y=2x上的任意一点,它关于y轴的对称点是p1(-x1,y1),它满足方程y=()x=2-x,即点p1(-x1,y1)在y=()x的图象上,反之亦然,所以y=2x和y=()x两个函数的图象关于y轴对称.(9)因为y=2x和y=()x两个函数的图象关于y轴对称,所以可以先画其中一个函数的图象,利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象,同学们一定要掌握这种作图的方法,对以后的学习非常有好处.应用示例思路1例1判断下列函数是否是一个指数函数？y=x2,y=8x,y=2·4x,y=(2a-1)x(a,a≠1),y=(-4)x,y=πx,y= 6x3+2.活动：学生观察,小组讨论,尝试解决以上题目,学生紧扣指数函数的定义解题,因为y=x2,y=2·4x,y=6x3+2都不符合y=ax的形式,教师强调y=ax的形式的重要性,即a前面的系数为1,a是一个正常数（也可是一个表示正常数的代数式）,指数必须是x的形式或通过转化后能化为x的形式.解：y=8x,y=(2a-1)x(a,a≠1),y=(-4)x,y=πx是指数函数;y=x2,y=2·4x,y=6x3+2不是指数函数.变式训练函数y=23x,y=ax+k,y=a-x,y=()-2x(a0,a≠1)中是指数函数的有哪些?答案：y=23x=(23)x,y=a-x=()x,y=()-2x=［()-2］x是指数函数.例2比较下列各题中的两个值的大小:（1）1.72.5与1.73;(2)0.8-0.1与0.8-0.2;(3)1.70.3与0.93.1.活动：学生自己思考或讨论,回忆比较数的大小的方法,结合题目实际,选择合理的,再写出（最好用实物投影仪展示写得正确的答案）,比较数的大小,一是作差,看两个数差的符号,若为正,则前面的数大;二是作商,但必须是同号数,看商与1的大小,再决定两个数的大小;三是计算出每个数的值,再比较大小;四是利用图象;五是利用函数的单调性.教师在学生中巡视其他学生的解答,发现问题及时纠正并及时评价.解法一：用数形结合的方法,如第（1）小题,用图形计算器或计算机画出y=1.7x的图象,如图2-1-2-4.图2-1-2-4在图象上找出横坐标分别为2.5、3的点,显然,图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方,所以1.72.51.73,同理0.8-0.10.8-0.2,1.70.30.93.1.解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91,所以1.72.51.73.同理0.8-0.10.8-0.2,1.70.30.93.1.解法三：利用函数单调性,①1.72.5与1.73的底数是1.7,它们可以看成函数y=1.7x,当x=2.5和3时的函数值；因为1.71,所以函数y=1.7x在R 上是增函数,而2.53,所以1.72.51.73；②0.8-0.1与0.8-0.2的底数是0.8,它们可以看成函数y=0.8x,当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为00.81,所以函数y=0.8x在R上是减函数,而-0.1-0.2,所以0.8-0.10.8-0.2；③因为1.70.31,0.93.11,所以1.70.30.93.1.点评：在第（3）小题中,可以用解法一、解法二解决,但解法三不适合.由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到1,把这两数值分别与1比较大小,进而比较1.70.3与0.93.1的大小,这里的1是中间值. 思考在上面的解法中你认为哪种方法更实用?活动：学生对上面的三种解法作比较,解题有法但无定法,我们要采取多种解法,在多种解法中选择最优解法,这要通过反复练习,强化来实现.变式训练1.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,按大小顺序排列a,b,c.答案：bac(a、b可利用指数函数的性质比较,而c是大于1的).2.比较a与a的大小（a＞0且a≠0）.答案：分a＞1和0a1两种情况讨论.当0a1时,aa;当a1时,aa. 例3求下列函数的定义域和值域:(1)y=2;(2)y=();(3)y=10.活动：学生先思考,再回答,由于指数函数y=ax,(a＞0且a≠1)的定义域是R,所以这类类似指数函数的函数的定义域要借助指数函数的定义域来求,教师适时点拨和提示,求定义域,只需使指数有意义即可,转化为解不等式.解：(1)令x-4≠0,则x≠4,所以函数y=2的定义域是｛x∈R∣x≠4｝,又因为≠0,所以2≠1,即函数y=2的值域是｛y|y0且y≠1｝.(2)因为-|x|≥0,所以只有x=0.因此函数y=()的定义域是｛x∣x=0｝.而y=()=()0=1,即函数y=()的值域是｛y∣y=1｝.(3)令≥0,得≥0,即≥0,解得x-1或x≥1,因此函数y=10的定义域是｛x∣x-1或x≥1｝.由于-1≥0,且≠2,所以≥0且≠1.故函数y=10的值域是｛y∣y≥1,y≠10｝.点评：求与指数函数有关的定义域和值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性,特别是第(1)题千万不能漏掉y0.变式训练求下列函数的定义域和值域:(1)y=();(2)y=;(3)y=ax-1(a0,a≠1).答案：(1)函数y=()的定义域是R,值域是［,+∞）;(2)函数y=的定义域是［,+∞）,值域是［0,+∞）;(3)当a1时,定义域是{x|x≥0},当0a1时,定义域是{x|x≤0},值域是［0,+∞）.思路2例1一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物质的剩留量随时间（年）变化的函数关系式,作出它的图象,并从图象上求出经过多少年剩留量是原来的一半？（结果保留一个有效数字）活动：师生共同分析,先求出解析式,列出数值对应表,再描点,画出图象后,利用图象求解,由学生回答,学生有困难,教师可以提示,仔细审题,利用代数式分别表示出经过1年,2年,3年...,的剩留量,归纳出关系式,取几个关键点,作出函数图象,在纵轴上取表示0.5的点,作纵轴的垂线交图象于一点,过这一点作横轴的垂线,横轴与垂线交点的横坐标即为所求的年数.解：设最初的质量为1,时间用变量x表示,剩留量用y表示,则经过1年,y=1×84%=0.841；经过2年,y=1×0.84×0.84=0.842;......这样,可归纳出,经过x 年,y=0.84x,x∈N*.x0123456y10.840.710.590.500.420.35画出指数函数y=0.84x的图象,如图2-1-2-5.从图上可以看出y=0.5时,只需x=4.图2-1-2-5答：约经过4年,剩留量是原来的一半.点评：实际问题中要注意自变量的取值范围.例2比较下列两个数的大小:(1)30.8,30.7;(2)0.75-0.1,0.750.1;(3)1.80.6,0.81.6;(4 )(),2.活动：教师提示学生指数函数的性质,根据学生的解题情况及时评价学生.解法一：直接用科学计算器计算各数的值,再对两个数进行大小的比较:对(1)因为30.8=2.408225,30.7=2.157669,所以30.830.7; 对(2)因为0.75-0.1=1.029186,0.750.1=0.971642,所以0.75-0.10.750.1;对(3)因为1.80.6=1.422864,0.81.6=0.699752,所以1.80.60.81.6;对(4)因为()=2.080084,2=0.659754,所以()2.解法二：利用指数函数的性质对两个数进行大小的比较: 对(1)因为函数y=3x在R上是增函数,0.8＞0.7,所以30.830.7;对(2)因为函数y=0.75x在R上是减函数,0.1＞-0.1,所以0.75-0.10.750.1;对(3)由指数函数的性质知1.80.61.80=1=0.800.81.6,所以1.80.60.81.6;对(4)由指数函数的性质知()()0=1=202,所以()2.解法三:利用图象法来解,具体解法略.点评：在利用指数函数的性质对两个数进行大小比较时,首先把这两个数看作指数函数的两个函数值,利用指数函数的单调性比较.若两个数不是同一函数的两个函数值,则寻求一个中间量,两个数都与这个中间量进行比较,这是常用的比较数的大小的方法,然后得两个数的大小,数学上称这种方法为"中间量法".变式训练比较与(a0,a≠1,n∈N*,n2)的大小关系.解：因为=a,=a,而n∈N*，n2,所以=0,即.因此：当a1时aa，即；当0a1时aa,即.知能训练课本P58练习 1、2.【补充练习】1.下列关系中正确的是( )A.()()()B.()()()C.()()()D.()()()答案：D2.函数y=ax(a0,a≠1)对任意的实数x,y都有( )A.f(xy)=f(x)·f(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)C.f(x+y)=f(x)·f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)答案：C3.函数y=ax+5+1(a0,a≠1)恒过定点________.答案：（-5,2）拓展提升探究一：在同一坐标系中作出函数y=2x,y=3x,y=10x的图象,比较这三个函数增长的快慢.活动：学生深刻回顾作函数图象的方法,交流作图的体会.列表、描点、连线,作出函数y=2x,y=3x,y=10x的图象,如图2-1-2-6.x-2-1012310y=2x0.250.512481024y=3x0.110.3313 92759049y=10x0.010.111010010001010图2-1-2-6从表格或图象可以看出:(1)x0时,有2x3x10x;(2)x0时,有2x3x10x;(3)当x从0增长到10,函数y=2x的值从1增加到1 024,而函数y=3x的值从1增加到59 049.这说明x0时y=3x比y=2x 的函数值增长得快.同理y=10x比y=3x的函数值增长得快. 因此得：一般地,ab1时,(1)x0时,有axbx1;(2)x=0时,有ax=bx=1;(3)x0时,有axbx1;(4)指数函数的底数越大,x0时其函数值增长就越快.探究二：分别画出底数为0.2、0.3、0.5的指数函数的图象(图2-1-2-7),对照底数为2、3、5的指数函数的图象,研究指数函数y=ax(0a1)中a对函数的图象变化的影响.图2-1-2-7由此得：一般地,0ab1时,(1)x0时,有axbx1;(2)x=0时,有ax=bx=1;(3)x0时,有axbx1;(4)指数函数的底数越小,x0时,其函数值减少就越快.课堂小结1.指数函数的定义.2.指数函数的图象和性质.3.利用函数的图象说出函数的性质,即数形结合的思想(方法),它是一种非常重要的数学思想和研究方法.4.利用指数函数的单调性比较几个数的大小,特别是中间变量法.作业课本P59习题2.1A组 5、6、8、10.设计感想本节课是在前面研究了函数性质的基础上,研究具体的初等函数,它是重要的初等函数,它有着丰富的内涵,且和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础,在指数函数的概念讲解过程中,既要向学生说明定义域是什么,又要向学生交代，为什么规定底数a是大于0而不等于1的,本节内容课堂容量大,要提高课堂的效率和节奏,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务.高|考﹥试*题∵库。
苏教版数学高一《指数函数》 精品学案 苏教
教学目标：
1．掌握指数函数的概念（能理解对a的限定以及自变量的取值可推广至实数范围），会作指数函数的图像；
2．能归纳出指数函数的几个基本性质，并通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，培养学生探究、归纳分析问题的能力．
教学重点：
指数函数的定义、图象和性质．
教学难点：
指数函数性质的归纳．
教学过程：
一、创设情境
课本第45页的细胞分裂问题和第49页的古莲子中的14C的衰变问题．
二、学生活动
（1）阅读课本45页内容；
（2）动手画函数的图象．
三、数学建构
1．指数函数的概念：一般地，函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，它的定义域是R，值域为(0，＋)．
练习：
（1）观察并指出函数y＝x2与函数y＝2x有什么区别？
（1） （2） （3）
3．已知函数f(x)＝ ，g(x)＝ (a＞0且a≠1)，若f(x)＞g(x)，求x的取值范围．
（二）练习：
（1）判断下列函数是否是指数函数：①y＝2·3x；②y＝3x1；③y＝x3；
④y＝－3x；⑤y＝(－3)x；⑥y＝x；⑦y＝3x2；⑧y＝xx；⑨y＝(2a－1)x(a＞ ，且a≠1)．
图象
定义域
值域
性质
（2）借助于计算机技术，在同一坐标系画出y＝10x， ， ， 等函数的图象，进一步验证函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质，并探讨函数y＝ax与y＝ax(a＞0，且a≠1)之间的关系．
四、数学应用
（一）例题：
1．比较下列各组数的大小：
（1） （2） （3）
2．求下列函数的定义域和值域：
课本2x+3，y＝32x，y＝4x，y＝ax(a＞0，且a≠1)中哪些是指数函数，哪些不是，为什么？
苏教版数学高一苏教版必修1教案指数函数
2.2.2 指数函数整体设计教材分析本节主要学习指数函数的概念、图象、性质及性质的简单应用.学习过程中，可以让学生通过画出具体的指数函数的图象，观察其特征，将表达图象特征的通俗语言，归纳、转化为数学符号语言，从而得出指数函数的性质.在这一过程中，体现数形结合的数学思想，用到了分类讨论的数学方法及从特殊到一般的类比研究的方法.所以本节的教学重点是指数函数的图象与性质.根据前面的分析，对本节的学习提出如下的建议：指导学生在学习过程中注意对列表计算结果的分析；让学生自己动手，通过画指数函数的图象，来归纳指数函数的性质.可以根据学生探索新知的情况，在适当时机，利用现代化的教学设备演示，帮助学生理解指数函数的性质.让学生在自主学习、探究活动中，体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识，体会数学的美，同时激发学生对数学学习的兴趣.在应用性质的过程中，对学习有困难的学生，时时提醒他们注意底数a对指数函数的性质的影响.三维目标1.理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体的指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性的特殊点.2.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.3.利用计算工具，比较指数函数增长差异；体会指数等不同函数的类型增长的含义.4.通过指数函数的图象和性质的教学，培养学生观察、分析、归纳等思维能力和数形结合的数学思想方法.5.利用计算机技术及相关的教学软件探讨指数函数的图象和性质，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识，培养学生良好的心理素质，优化学生个性品质，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质.重点难点教学重点：1.指数函数的图象和性质.2.通过数形结合，利用图象来认识、掌握函数的性质，增强学生分析问题、解决问题的能力.教学难点：指数函数的定义理解，指数函数的图象特征及指数函数的性质.课时安排3课时教学过程第一课时指数函数(一)导入新课设计思路一(实际问题导入)从我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C.动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变.经过5 730年(14C的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半.经过科学测定，若14C的原始量为1，则经过x年后的残留量为y=a x这里a为常数，0＜a＜1.设计思路二(情境导入)相传达依尔是国际象棋的发明人，同时也是古印度的宰相，达依尔聪明能干，国王要奖赏他，问他需要什么，达依尔就对国王说：“国王，你只需在象棋的第一格放1粒麦子，在第二格放2粒麦子，在第三格放4粒麦子，以后按比例每一格是前一格的两倍，一直放到第64格，这就是我的要求，如能满足我的这个要求，我就感激不尽了，其他的我就什么都不要了.”国王心想，这有什么难的，不就是一点麦子吗，满足他就是了，于是下令，按照宰相的要求去做，谁知道，全国的粮食用完了还不够.国王很是奇怪，他怎么也想不明白，那么你能用数学知识帮助国王解决这个问题吗？另外按宰相达依尔的要求共需多少粒小麦？ 再看下面的一个例子： 背景(实际问题)：某细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第二次由2个分裂成4个，第三次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与分裂次数x 的函数关系式是什么？(答案：y=2x ) 推进新课 新知探究指数函数的概念根据上述例子，我们得到了形如y=a x 的函数，这些函数的自变量是指数，因此我们把这种函数称为指数函数.一般地，函数y=a x (a ＞0,a≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，x 的取值范围是R .为了对指数函数的形式有较为深刻的印象，不妨请同学思考下面的问题： ①函数y=x 2与函数y=2x 有什么区别？(答：函数y=x 2与函数y=2x 的区别是：函数y=2x 的指数为自变量，底数为常数，而函数y=x 2的底数为自变量，指数为常数)②为什么要规定底数a 是一个大于零且不等于1的常数？(答：如果a=0,⎪⎩⎪⎨⎧≤>;,0,0,0无意义时当恒等于时当xxa x a x如果a ＜0，例如y=(-2)x ，这时对于x=21,41,…,y=(-2)x 在实数范围内函数值不存在； 如果a=1，y=1x 是一个常数1，对于常数1没有研究的必要.为了避免上述情况，所以规定a ＞0，a≠1)下面我们来研究指数函数的性质：(在初中学生已经学过描点法画函数的图象，因此先让学生按照描点法的一般步骤：列表—描点—连接来画函数的图象)在同一坐标系中画出下列函数的图象： (1)y=10x ; (2)y=2x ; (3)y=(21)x .我们通过观察函数图象的特征来研究函数的性质：图象特征 函数性质a ＞1 0＜a ＜1 A ＞1 0＜a ＜1 向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 函数图象都过定点(0，1) a 0=1自左向右看，图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降增函数 减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1x ＞0,a x ＞1 x ＞0,a x ＜1在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1x ＜0,a x ＜1 x ＜0,a x ＞1图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢利用函数的单调性，结合图象还可以看出：(1)在[a,b]上，f(x)=a x (a ＞0且a≠1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]； (2)若x≠0，则f(x)≠1；f(x)取遍所有正数当且仅当x ∈R ； (3)对于指数函数f(x)=a x (a ＞0且a≠1)，总有f(1)=a ； (4)当a ＞1时，若x 1＜x 2，则f(x 1)＜f(x 2). 应用示例思路1例1 指数函数f(x)=a x (a ＞0,且a≠1)的图象经过点(3,π)，求f(0)、f(1)、f(-3)的值.分析：要求f(0)、f(1)、f(-3)的值，我们需要先求出指数函数f(x)=a x (a ＞0,且a≠1)的解析式，也就是要先求a 的值.根据函数图象经过定点(3,π)这一个条件，可以求得底数a 的值. 解：设f(x)=a x (a ＞0,且a≠1)，因为f(x)=a x (a ＞0,且a≠1)的图象经过点(3,π)， 所以f(3)=π，即a 3=π，解得a=π31， 于是f(x)=π3x ，所以，f (0)=π0=1，f(1)=π31=3π，f(-3)=π-1=π1. 点评：从本题看出，要想确定一个指数函数，只需一个条件即可，因为表达式中只有1个参数a.例2 比较下列各组数中两个值的大小.(1)1.52.5,1.53.2; (2)0.5-1.2,0.5-1.5; (3)1.50.3,0.81.2分析：比较数的大小，可以利用函数的单调性，所给的几组数都是指数式，所以考虑利用指数函数的单调性来解.解：(1)考察指数函数y=1.5x ，因为1.5＞1，所以指数函数y=1.5x 在R 上是单调增函数.又因为2.5＜3.2，所以1.52.5＜1.53.2.(2)考察指数函数y=0.5x ，因为0＜0.5＜1，所以指数函数y=0.5x 在R 上是单调减函数.又因为-1.2＞-1.5，所以0.5-1.2＜0.5-1.5.(3)由指数函数的性质知1.50.3＞1.50=1，0.81.2＜0.80=1，所以1.50.3＞0.81.2.点评：比较两数的大小，一般方法是将其转化为同一函数的两个不同的函数值，利用函数的单调性进行比较，如果出现不能直接看成同一函数的两个值时，通常可在这两个数之间找一个中间值比如数1，然后将这两个数与1进行比较，从而比较出两个数的大小. 例3 (1)已知5x ≥50.5，求实数x 的取值范围； (2)已知0.25x ＜16，求实数x 的取值范围.分析：因为5x 、50.5的底数相同，而0.25x 、16可以将底数化为相同的底数0.25，所以可以考虑用指数函数的单调性来求解.解：(1)因为5＞1，所以指数函数f(x)=5x 在R 上是单调增函数.由5x ≥50.5，可得x≥0.5，即x 的取值范围为[0.5,+∞).(2)因为0＜0.25＜1，所以指数函数f(x)=0.25x 在R 上是单调减函数. 因为16=(41)-2=0.25-2，所以0.25x ＜0.25-2，由此可得x ＞-2，即x 的取值范围为(-2,+∞). 点评：在解指数不等式(方程)时，可以考虑运用指数函数的单调性来解.对于(2)我们还可以将底数化为4来解.可参照课本第51页例2. 例4 求下列函数的定义域和值域： (1)y=241-x ；(2)y=(32)-|x|；(3)y=4x +2x+1+1；④(4)=10112-+x x .分析：由于指数函数y=a x (a ＞0,且a≠1)的定义域为R ，所以函数y=a f(x)与函数f(x)的定义域相同，利用指数函数的单调性求值域.解：(1)令x-4≠0，得x≠4，∴定义域为{x|x ∈R ,且x≠4}.∵41-x ≠0,∴241-x ≠1,∴y=241-x 的值域为{y|y ＞0,且y≠1}.(2)定义域为R . ∵|x|≥0，∴y=(32)-|x|=(23)|x|≥(23)0=1，故y=(32)-|x|的值域为{y|y≥1}. (3)定义域为R .∵y=4x +2x+1+1=(2x )2+2·2x +1=(2x +1)2，且2x ＞0，∴y ＞1. 故y=4x +2x+1+1的值域为{y|y ＞1}. (4)令12+x x ≥0，得11+-x x ≥0，解得x ＜-1或x≥1，故y=10112-+x x 函数定义域为{x|x ＜-1或x≥1}，值域为{y|y≥1,且y≠10}.点评：求与指数函数有关的函数的值域时，要注意充分考虑并利用指数函数本身的要求和所具有的性质，例如指数函数的单调性等.例5 作出下列函数的图象，并说明它们之间的相互关系. (1)y=3x ；(2)y=3x-1；(3)y=3x+1.分析：画函数的图象常用的方法是描点法，描点法的一般步骤是：列表—描点—连线. 当我们熟悉了一些基本的初等函数的图象特征后，可以考虑运用图象的变换的方法来实现作函数的图象.解：运用描点法可以作出函数(1)y=3x ;(2)y=3x-1;(3)y=3x+1的图象，如右图所示.由图象可以得知：函数y=3x+1的图象是由函数y=3x 的图象向左平移一个单位得到的；函数y=3x-1的图象是由函数y=3x 的图象向右平移一个单位得到的.点评：本题主要考查函数的图象及其平移变换，其变换的一般规律是：设a ＞0. (1)将函数y=f(x)的图象向左平移a 个单位，就得到函数y=f(x+a)的图象； (2)将函数y=f(x)的图象向右平移a 个单位，就得到函数y=f(x-a)的图象； (3)将函数y=f(x)的图象向下平移a 个单位，就得到函数y=f(x)-a 的图象； (4)将函数y=f(x)的图象向上平移a 个单位，就得到函数y=f(x)+a 的图象. 简单地说就是“左加右减，上加下减”.拓展思维：函数图象的变换除了平移变换外还有其他的变换，例如对称变换等，对于对称变换：一般地，函数y=f(x)的图象与函数y=f(-x)的图象关于y 轴对称；函数y=f(x)的图象与函数y=-f(x)的图象关于x 轴对称，函数y=f(x)的图象与函数y=-f(-x)的图象关于原点对称.思路2例1 指数函数y=f(x)的图象经过点(π,e)，求f(0)、f(1)、f(-π)的值. 分析：要求函数值，只要求出函数的解析式就可以了.解：设y=f(x)=a x (a ＞0,且a≠1)，因为y=f(x)的图象经过点(π,e)，所以e=a π，得a=e π1，于是f(x)=(e π1)x .所以，f(0)=(e π1)0=1，f(1)=(e π1)1=e π1，f(-π)=(e π1)-π=e1. 例2 将下列各数由小到大排列起来：(-3)32,(32)21,(32)31,(-32)32-,(-3)31,(31-)3,(23)34,(21-)-2.分析：这些数按从小到大的顺序排列起来，最好的方法是先将这些数进行分类：首先可考虑是正数还是负数，如果是负数，则再进一步分成小于-1还是介于-1与0之间，是正数的再进一步分成0与1之间的及大于1的，然后再将以上各类数中的每一类数作进一步的比较，最后将它们由小到大排列起来.解：在所给的数中，负数有:(-3) 31,(31-)3，且(-3) 31＜-1，-1＜(31-)3＜0，所以(-3)31＜(31-)3＜0. 正数有:(-3)32,(32)21,(32)31,(-32)32-,(23)34,(21-)-2，且(-3)32=332,(32)21,(32)31,(-32)32-=(23),(23)34,(21-)-2=(-2)2=4，其中大于0而小于1的有:(32)21,(32)31=(23)32，且(32)21＜(32)31，大于1的有：(-3)32=332,(-32)32-=(23)32,(23)34,(21-)-2=4.综上所述，所给的数由小到大排列的顺序为：(-3)31＜(31-)3＜(32)21＜(32)31＜(-32)32-＜(23)34＜(-3)32＜(21-)-2.点评：多个幂值的比较大小，常常采取先分组再比较的方法，即先将所给的各个数值进行分类，在每类数值中比较大小，若底数相同可利用指数函数的单调性进行比较；若底数、指数都不相同时，可以利用中间量搭建“桥梁”进行比较.若数值中含有字母，应对所含字母的取值进行讨论.例3 求下列函数的定义域和值域：(1)y=xx 212+;(2)y=2713-x. 解：(1)函数y=x x212+的定义域为R .∵y=xx212+，∴(y-1)2x =-y ，即(1-y)2x =y ， 显然，y≠1，∴2x =y y-1＞0，∴函数y=xx 212+的值域为(0,1). (2)∵3x -271≥0，∴3x ≥3-3，∴x≥-3.∴函数y=2713-x的定义域为{x|x≥-3|，函数y=2713-x值域为[0,+∞).点评：一般来说，函数y=a f(x)的定义域就是f(x)的定义域，其值域不但要考虑f(x)的值域，还要考虑a ＞1还是0＜a ＜1，例如f(x)∈[-4,+∞)时，若a ＞1，则a f(x)∈[a -4,+∞)，若0＜a ＜1，则a f(x)∈(0,a -4]. 例4 利用函数f(x)=(21)x的图象，作出下列函数的图象： (1)f(x-1);(2)f(x+1);(3)f(x)-1. 分析：作图前先分别探究每一个函数的定义域和值域以及单调性，再研究探索各个函数的图象间是否有对称性及平移的相互关系，从而掌握图象的大致变化趋势，利用函数图象的相应变化，作出相应的函数图象. 解：各函数的图象如下图：点评：利用熟悉的函数图象作图，主要是利用图象的平移变换,平移需分清平移的方向以及平移的量，即平移多少个单位. 知能训练课本第52页练习1、2、3、4、5. 解答：1.C(提示：0＜a-1＜1).2.(1)3.10.5＜3.12.3；(2)(32)-0.3＞(32)-0.24； (3)2.3-2.5＜0.2-0.1(提示：2.3-2.5＜2.30=1,0.2-0.1＞0.20=1).3.(1){x|x≠0,x ∈R }；(2){x|x≥0,x ∈R }.4.(1)x ＞3；(2)x ＜-3；(3)x ＜21；(4)x ＜0. 5.A(提示：y=2-x ，即y=(21)x ). 点评：进一步熟练掌握指数函数的图象及其性质的应用. 课堂小结指数函数是中学阶段所学的重要的初等函数之一，因此在学习中要特别注意，尤其是指数函数是新接触的函数，所以要特别加以重视.本节课的重点内容是指数函数的定义、图象和性质，要求能熟记指数函数的图象特征以及指数函数的基本性质，这是学好指数函数的关键.除此之外，还要学会根据指数函数的图象特征来探究指数函数的性质，并能根据实际需要，对指数函数的底数a 分两种情况加以讨论，体会其中的数形结合的思想和分类讨论的思想，通过图象变换的讨论研究，懂得世界上的万事万物之间存在必然的、内在的联系，因此，在研究图象的平移和对称变换的时候，注意对变换的方法和规律的总结，并能正确地运用这些方法和规律解决有关函数图象的问题，加深对指数函数的图象和性质的认识和理解. 作业一、习题2.2(2)第1、2、4、5题. 二、阅读课本第49页至第53页内容.设计感想在设计本节课的教学过程时，围绕以下几点进行：一是以《新课程标准》的基本理念为指导，着眼于培养学生自主学习的能力，因此在设计教学过程时，注意让学生多动手实践，使学生从动手操作的过程中体会函数问题研究的方法和过程；二是从学生现有的认知基础出发，在课堂教学中以本节课的知识结构为主线，充分发挥学生学习的主观能动性，让学生自主探索并获取新的知识和应用新的知识解决实际问题；三是采用层层深入的方式，分散学生学习时可能遇到的难点；四是教学中注意讲练结合，借助多媒体手段进行多方位教学，从而实现教学方式多样化，从实例出发，引用典故，激发学生的学习兴趣，使教与学做到有机结合，使课堂教学达到最佳状态.(设计者：赵家法)第二课时 指数函数(二)导入新课设计思路一(复习导入)在上一节课中，我们学习了指数函数的概念、图象以及性质，下面我们一起来回顾一下相关的内容.(由学生回答，再由教师归纳总结) 设计思路二(习题导入) 请同学们完成下列习题：1.形如y=a x 的函数叫做______________函数，其中底数a 满足的条件是_____________；2.已知函数y=(m 2-3m-3)·3x 为指数函数，则m=_________；3.若-1＜x ＜0，则2x ，(21)x，0.2x 由小到大的排列顺序是__________. 答案：1.指数，a ＞0,且a≠1；2.m=-1或4；3.2x ＜(21)x＜0.2x . 思考如何判断函数y=1212-+x x 的奇偶性以及单调性？推进新课 新知探究复习指数函数的相关知识： 1.指数函数的定义. 2.指数函数的性质：指数函数y=a x 的图象和性质a ＞10＜a ＜1图象性质(1)定义域：R (2)值域：(0，+∞) (3)图象过定点(0，1)(4)在(-∞，+∞)上是单调增函数 在(-∞，+∞)上是单调减函数应用示例思路1例1 求函数y=(21)232+-x x 的定义域、值域及单调区间.分析：这是一个求复合函数的单调性的问题，对于这类问题必须弄清楚函数是由哪几个函数复合而成，这些函数的单调性如何，这样才能正确求解.解：函数y=(21)232+-x x 的定义域为R . 设u=x 2-3x+2=(x-23)2-41，所以u=x 2-3x+2的值域为[-41,+∞)，减区间为(-∞,23]，增区间为[23,+∞).又因为函数y=(21)u 是减函数，所以函数y=(21)232+-x x 的值域为(0,42]，单调减区间为[23,+∞)，单调增区间为(-∞,23].点评：对于形如y=a g(x)(a ＞0,a≠1)的函数，根据例题可以得出以下结论：①函数y=a g(x)的定义域与g(x)的定义域相同；②应先求函数的g(x)值域，再根据指数函数的单调性及其值域来求y=a g(x)(a ＞0,a≠1)的值域；③对于函数y=a g(x)(a ＞0,a≠1)的单调性有：当a ＞1时，函数y=a g(x)(a ＞0,a≠1)的单调性与函数g(x)的单调性相同；当0＜a ＜1时，函数y=a g(x)(a ＞0,a≠1)的单调性与函数g(x)的单调性相反. 例2 设a 是实数，f(x)=a-122+x(x ∈R )，(1)试证明：对于任意实数a ，函数f(x)为增函数；(2)试确定a 值，使f(x)为奇函数. 分析：题中函数f(x)=a-122+x (x ∈R )的形式较为复杂，而题目要求证明函数的单调性和奇偶性，因此，只要严格按照函数的单调性、奇偶性的定义进行证明就能证得结论. (1)证明：设x 1,x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f(x 1)-f(x 2)=(a-1221+x )-(a-1222+x )=1222+x -1221+x =)12)(12()22(22121++-x x x x ，由于指数函数y=2x 在R 上是增函数,且x 1＜x 2,所以12x＜22x，即12x-22x＜0， 又由2x ＞0得12x+1＞0，22x+1＞0，所以f(x 1)-f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2). 因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，f(x)为增函数.(2)解：若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)即a-122+-x =-(a-122+x )，变形得：2a=xx x2)12(22+•-+122+x =12)12(2++x x ， 解得：a=1.所以当a=1时,f(x)为奇函数.点评：(1)在题(1)的证明过程中，在对作差的结果进行正、负号判断时，利用了指数函数的值域及单调性.这也提醒我们在解这类题目时，注意运用已经掌握的函数的奇偶性及单调性来解题.(2)解题时应要求学生注意不同题型采用不同的解题方法.如题(2)，此题并非直接确定a 值，而是由已知条件逐步推导得a 值. 例3 设函数f(x)=1+11-x ，g(x)=f(2|x|).(1)求函数f(x)和g(x)的定义域；(2)判断函数f(x)和g(x)的奇偶性；(3)求函数g(x)的单调递增区间.分析：对于函数g(x)，它是一个由f(x)与x=2|x|复合而成的函数，因此，可以通过这种复合关系得到函数g(x)的解析式，从而可以解决相应的问题；函数的单调区间也可以考虑用定义解决.解：(1)由x-1≠0得x≠1，所以函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞). 因为f(x)=1+11-x ，所以g(x)=f(2|x|)=1+121||-x ， 由于2|x|-1≠0，所以x≠0，所以函数g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).(2)因为函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)，它不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数，即f(x)是非奇非偶函数.因为函数g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，它关于原点对称，且 g(-x)=1+121||--x =1+121||-x =g(x)，所以g(x)是偶函数. (3)设x 1、x 2∈(0,+∞)，且x 1＜x 2，则 g(x 1)-g(x 2)=(1+121||1-x )-(1+121||2-x )=121||1-x -121||2-x ==---12112121x x)12)(12(222112---x x x x . 因为0＜x 1＜x 2，所以22x-12x＞0，12x-1＞0，22x-1＞0，所以g(x 1)-g(x 2)＞0，所以g(x)在(0,+∞)上是减函数，又因为g(x)是偶函数，所以g(x)在(-∞,0)上是增函数.所以g(x)的单调增区间是(-∞,0).点评：(1)研究函数的单调性和奇偶性，不能忽视函数的定义域，特别是在研究函数的奇偶性时，如果函数的定义域不关于原点对称，则这个函数必定是非奇非偶函数；(2)本题(3)的解答过程中，在研究函数的单调性时，巧妙运用了函数的奇偶性，起到了事半功倍的效果；(3)本题是一个比较综合的问题，我们在解决这类问题时，要紧紧抓住题目条件，联系相关定义、概念以及公式等，环环相扣，步步为营，最终自然而然地解决问题. 例4 已知函数f(x)=x(131-x+21). (1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)证明：函数f(x)在定义域上恒大于0.分析：本题中求函数的定义域从分母不为0入手；对于函数奇偶性的讨论可以直接由函数奇偶性的定义来判断.解：(1)定义域为{x|x≠0}.(2)因为f(x)=x(131-x +21)，所以f(x)=x(131-x +21)=13132-+•x x x .因为f(-x)=131323131213132-+•=-+•-=-+•---x x x x x x x x x =f(x)， 所以函数f(x)为偶函数.(3)当x ＞0时，3x ＞1，所以3x -1＞0.所以131-x ＞0，从而有131-x+21＞21.所以x(131-x +21)＞2x ＞0，即当x ＞0时，f(x)＞0； 当x ＜0时，1＞3x ＞0，所以0＞3x -1＞-1.所以131-x ＜-1，从而有131-x +21＜21-. 所以x(131-x +21)＞-2x ＞0，即当x ＜0时，f(x)＞0. 综上所述，函数f(x)在定义域上恒大于0.点评：(1)判断函数的奇偶性可以直接运用定义来判断，也可以运用函数奇偶性定义的等价形式：若函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0，则函数f(x)为奇函数；函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0，则函数f(x)为偶函数.因此对于本题中的(2)还有以下解法：因为f(x)-f(-x)=x(131-x +131--x +1)=x(1331--x x +1)=0. 所以得f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数.(2)证明函数在定义域上恒大于0的问题，可以运用分类讨论来逐步求解，也可以转化为先证明函数f(x)在(0,+∞)上值域为(0,+∞)，再根据函数是偶函数得到函数f(x)在(-∞,0)上值域为(0,+∞)，从而证得结论.思路2例1 对于函数f(x)=(31)122--x x ，(1)求函数f(x)的定义域、值域； (2)确定函数f(x)的单调区间.分析：这是一个复合函数的问题，因此，可以将函数分解成为我们熟悉的函数如二次函数、指数函数、对数函数等，利用这些熟悉的函数相应的性质来解决问题.解：函数f(x)=(31)122--x x 可以看成是由函数u ＝x 2－2x －1与函数y ＝(31)u 复合而成. (1)由u ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x ∈R 时，u≥－2，此时函数y ＝(31)u 总有意义，所以函数f(x)定义域为R ；又由u≥－2，所以0＜(31)u ≤9，所以原函数的值域为(0，9]. (2)因为函数u ＝x 2－2x －1在[1，＋∞)上递增， 所以对于任意的1≤x 1＜x 2都有u 1＜u 2，所以有(31)1u ＞(31)1u ，即y 1＞y 2. 所以函数f(x)=(31)122--x x 在[1，＋∞)上递减. 同理可得函数f(x)=(31)122--x x 在(－∞，1]上递增. 点评：形如y ＝a f(x)(a ＞0，a≠1)的函数有如下性质：(1)定义域与函数f(x)定义域相同；(2)先确定函数u ＝f(x)的值域，然后以u 的值域作为函数y ＝a u (a ＞0，a≠1)的定义域求得函数y ＝a f(x)(a ＞0，a≠1)的值域；(3)函数y ＝a f(x)(a ＞0，a≠1)的单调性，可以由函数u ＝f(x)与y ＝a u (a ＞0，a≠1)按照“同增异减”即“单调性相同为增函数，单调性相异为减函数”的原则来确定.(4)从本题中的解答过程，可以体会到换元法在解决复合函数问题时的作用.例2 若函数f(x)=1212---•x x a a 为奇函数， (1)确定a 的值；(2)求函数f(x)的定义域；(3)求函数f(x)的值域；(4)讨论函数f(x)的单调性.分析：这是一个研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性的问题，可以由函数的单调性、奇偶性的定义来解决相应的问题.解：先将函数f(x)=1212---•x x a a 化简为f(x)= a-121-x . (1)由奇函数的定义，可得f(－x)＋f(x)＝0，即a-121--x ＋a-121-x ＝0，因为2a ＋x x 2121--＝0，所以a ＝－21. (2)因为f(x)＝－21－121-x ，所以2x －1≠0，即x≠0. 所以函数f(x)＝－21－121-x 的定义域为{x|x≠0}. (3)方法一：(逐步求解法)因为x≠0，所以2x －1＞－1.因为2x -1≠0，所以0＞2x －1＞－1或2x －1＞0.所以－21－121-x ＞21，－21－121-x ＜－21， 即函数的值域为(-∞,21-)∪(21,+∞). 方法二：(利用函数的有界性)由y=f(x)＝－21－121-x ≠－21，可得2x ＝2121+-y y . 因为2x ＞0，所以2121+-y y ＞0，可得y ＞21或y ＜-21,即f(x)＞21或f(x)＜－21， 所以函数的值域为(-∞,21-)∪(21,+∞). (4)当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，则f(x 1)-f(x 2)=a-1211-x -(a-1212-x )=1212-x -1211-x =)12)(12(221221---x x x x . ∵0＜x 1＜x 2，∴1＜12x ＜22x.∴12x －22x ＜0，12x －1＜0，22x －1＜0.∴f(x 1)-f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)，因此f(x)＝－21－121-x 在(0，＋∞)上递增. 同样可以得出f(x)＝－21－121-x 在(－∞，0)上递减. 点评：本题是一道函数综合题，需利用函数的有关性质，如求函数的定义域、值域，判断函数的奇偶性、单调性等知识.在判断函数的单调性时，我们也可以采用复合函数单调性的判断方法.例3 若不等式3x +6x +9x ·a ＞-1对(-∞,1]上任意的x 恒成立，求实数a 的取值范围.分析：本题可以将不等式变形为a ＞f(x)或a ＜f(x)的形式，因为所给不等式恒成立，因此，实数a 的取值范围为a ＞[f(x)]max 或a ＜[f(x)]min ，这样就将问题转化为求f(x)的最大值或最小值.解：将不等式3x +6x +9x ·a ＞-1化为a ＞-[(31)x +(32)x +(91)x ]， 因为函数y=(31)x ,y=(32)x ,y=(91)x 在(-∞,1]上都是减函数，所以函数y=-[(31)x +(32)x +(91)x ]在(-∞,1]上是增函数.所以当x=1时，函数y=-[(31)x +(32)x +(91)x ]有最大值910-，所以，所求实数a 的取值范围为a ＞910-. 点评：(1)在解决有关恒成立问题时的常用方法之一是“变量分离法”，即将变量x 与参数a 分离后分别放在不等式或等式的两边，然后，再来求相关函数的最值.(2)在求函数的最值时，运用函数的单调性来求解是常用的方法之一.例4 已知函数f(x)=a x +12+-x x (a ＞1).(1)证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数；(2)证明：方程f(x)=0没有负数根.分析：要证明函数在某一个区间上的单调性，常用的方法是应用函数单调性的定义来证明.要证明方程没有负数根，可以先假设方程存在负数根，然后根据题目条件推出矛盾，从而证得结论.证明：(1)设x 1、x 2∈(-1,+∞)，且x 1＜x 2，f(x 2)-f(x 1)=)1)(1()(31212121211221112++-+-=+---+-+x x x x a a x x a x x a x x x x ， 因为x 1＜x 2，a ＞1，所以12x x a a >，又因为x 1、x 2∈(-1,+∞)，所以x 2+1＞0，x 1+1＞0.从而有f(x 2)-f(x 1)＞0，所以函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.(2)设x 0(x 0＜0)是方程f(x)=0的根，则0x a +1200+-x x =0， 即0x a =1200+-x x .因为x 0＜0，所以0x a ∈(0,1). 又因为1200+-x x =130+x -1，若x 0＜-1，则130+x ＜0，所以130+x -1＜-1，即1200+-x x ＜-1； 若-1＜x 0＜0，则0＜x 0+1＜1，所以130+x ＞3，即1200+-x x ＞2. 所以1200+-x x ∈(-∞,-1)∪(2,+∞). 综上所述，满足0x a =1200+-x x 的x 0不存在，即方程f(x)=0没有负数根. 所以，方程f(x)=0没有负数根.点评：(1)对于函数单调性的证明或判断，利用函数单调性的定义是常用的证明或判断方法，另外，还有其他的方法，例如可以通过复合函数来判断或证明.(2)对于方程是否在某一个区间的根的存在性的判断，除了用本题的方法之外，还可以运用函数的单调性求出区间上的最值的方法来解决.知能训练1.已知函数f(x)是偶函数，且当x ＞0时，f(x)=10x ，则当x ＜0时，f(x)等于( )A.10xB.10-xC.-10xD.-10-x解答：B2.已知函数f(x)=a x 在[-1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于( )A.251+B.251+-C.251±D.215+ 解答：D3.函数y=2x 与y=x 2的图象的交点个数为( )A.0B.1C.2D.3解答：D4.函数y=π-|x|是( )A.奇函数，且在(-∞,0]上是增函数B.偶函数，且在(-∞,0]上是减函数C.奇函数，且在[0,+∞)上是增函数D.偶函数，且在[0,+∞)上是减函数解答：D5.函数f(x)=(31)22++-x x 的单调增区间为____________. 解答：[21,2] 6.函数y=(41)2122+-x x 的值域为____________. 解答：(0,2]7.已知函数y=a+141+x 为奇函数，则a=____________.解答：21- 点评：进一步掌握指数函数的图象与性质.课堂小结1.指数函数y=a x (a ＞0,a≠1)是在定义域上的单调函数，复合函数y=a u [其中u 是关于x 的函数u(x)]的单调性，由函数y=a u 和u=u(x)的单调性综合确定.2.通过观察指数函数y=a x (a ＞0,a≠1)，不难发现：当⎩⎨⎧<<<<⎩⎨⎧>>10,101,1y a y a 或时，均有x ＞0；当⎩⎨⎧<<>⎩⎨⎧><<10,101,10y y a 或时，均有x ＜0.这一性质可以归结为“底幂同，大于零；底幂异，小于零”.熟悉这一性质，对于解决有关指数函数的问题非常有用.作业课本第55页习题2.2(2)第6、7、8题.设计感想本节课的内容主要是结合指数函数的性质来研究一些复合函数的性质，譬如研究复合函数的单调性和奇偶性，研究复合函数的单调区间以及函数的最值等等.其中复合函数的性质对于学生来说是难点，因此，在研究复合函数的性质时，注意归纳总结.一般地，函数y=f(u)和u=g(x)，设函数y=f[g(x)]的定义域为A ，如果在A 或A 的某个子区间上函数y=f(u)(称为外函数)与u=g(x)(称为内函数)的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在该区间上为递增函数，如果单调性相反，则复合函数y=f[g(x)]在该区间上为递减函数.这一个结论可以简记为“同增异减”.另外，在研究复合函数的性质时必须在函数y=f[g(x)]的定义域内研究.(设计者：王银娣)第三课时 指数函数(三)导入新课设计思路一(实际问题导入)当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5 730年衰减为原来的一半.根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系P=(21)5730t，考古学家根据上面的这个式子依据生物体内的碳14含量P 的值，可以知道生物死亡的年数t.式子P=(21)5730t 是一个生物体内碳14含量P 关于生物死亡年数t 的函数，而且是一个指数函数形式的函数.这一节课我们来研究与指数函数相关的实际问题，也就是指数函数的实际应用问题.设计思路二(情境导入)请看下面的问题：某厂引进一个产品的生产线，第一个月这种产品的产量是100件，由于技术的不断熟练和更新，第二个月这种产品的产量是150件，第三个月这种产品的产量是225件，按照这样的生产速度，问第十个月这种产品的产量是多少件？问题的解决：因为第一个月这种产品的产量是100件，第二个月这种产品的产量是150件，第三个月这种产品的产量是225件，所以，可以得出这样的结论：后一个月的产量是前。
苏教版数学高一《指数函数》精品教学设计 苏教
惯和品质；培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神。
教学重点：指数函数的概念和性质。
教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系。
教学方法：引导发现法；直观演示法；设疑诱导法；多媒体辅助教学所需设备：电脑多媒体辅助设备教师活动学生活动设计意图新课引入：设计一个游戏情境，学生分组，通过动手折纸，观察对折的次数与所得的层数之间的关系。
授课过程：一、1、创设情境，形成概念问题：庄子曰：一尺之棰，日取其半，万世不竭。
其含义是什么呢？能否给出表达式？学生分组，动手折纸，观察对折的次数与所得的层数之间的关系为学生分组讨论，先分析其含义，再转化为现代语言，建立数学模型，给出结论。
充分发挥学生的主体作用，发展学生的个性，培养学生自主学习的能力。
在学生动手操作的过程中激发学生学习热情和探索新知的欲望。
让学生动手操作，动脑思考，培养学生勇于探索的精神。
第一次第二次第三次第四次问题：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个， 2个分裂成4个，4个分裂成8个，……如果分裂一次需要10min ，那么，一个细胞1h 后分裂成多少个细胞？教师给出指数函数的定义，即形如 (a>0且a≠1) 的函数称为指数函数，定义域为R 。
如：函数 y=2x y=(1/2)x y=10x 都是指数函数，它们的定义域都是实数集R ，提醒学生指数函数的定义是形式定义,如y=3×2x y=10x+5不是指数函数学生思考后回答并说明。
函数解析式是什么？)(2y N x x ∈=学生理解概念，并展开讨论，什么定义中规定a>0且a≠1呢？ (1）若a<0, a x不一定有意义.如a=-2,当x=1/2,（2）若a=0,则当x>0时，a x=0; x ≤0时，a x 无意义. (3)若a=1,则对于任意x ∈R,a x=1为常量。
进一步探索问题，发现规律。
对a 的范围的具体分析，有利于学生对指数函数一般形式的掌握，同时为后面研究函数的图象和性质埋下了伏笔。
高中数学新苏教版精品学案《指数函数 》
指数函数【学习目标】1．理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质；2．能运用指数函数的性质比较两个指数值的大小；3．培养学生发现问题和提出问题的能力。
善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。
【学习重难点】正确作出指数函数的图象，掌握指数函数的性质【课前导学】引例1 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，1个这样的细胞分裂次后，得到的细胞个数与的函数关系是什么？分裂次数：1，2，3，4，…，细胞个数：2，4，8，16，…，由上面的对应关系可知，函数关系是＝2。
引例2 某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，年后的价格为，则与的函数关系式为＝。
在＝2，＝中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量。
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数，引入课题。
【课堂活动】一、建构数学：1．指数函数的定义函数＝a（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是R。
探究1：为什么要规定a＞0，且a≠1呢？①若a＝0，则当＞0时，a＝0；当≤0时，a无意义。
②若a＜0，则对于的某些数值，可使a无意义。
如＝（-2），这时对于＝错误!，＝错误!，…等等，在实数范围内函数值不存在。
③若a＝1，则对于任何∈R，a＝1，是一个常量，没有研究的必要性。
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．在规定以后，对于任何∈R，a都有意义，且a ＞0 因此指数函数的定义域是R，值域是（0，∞）。
探究2：函数＝2·3是指数函数吗？答案：不是，指数函数的解析式 ＝a 中，a 的系数是1．有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如 ＝a （a ＞0且a ≠1，∈Z ）；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如=a -（a ＞0，且a ≠1），因为它可以化为 ＝（a -1），其中a -1＞0，且a -1≠1．思考 下列函数是为指数函数有 ② ③ ⑤ 。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.1.2 指数函数》0
课题：指数函数教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书必修1一、教学目标：知识目标：①知道指数函数的定义；②知道指数函数的图象和性质；感悟研究函数的规律和方法能力目标：①培养观察、联想、类比、猜测、归纳等思维能力；②体会数形结合思想、分类讨论思想，增强识图用图的能力情感目标：①通过自主探究，体验从特殊→一般→特殊的认知过程，了解指数函数的实际背景；②通过亲手实践，互动交流，激发学习兴趣，增强创新意识二、教学重点、难点：重点：指数函数的定义，图象和性质；难点：由指数函数图象探索并理解指数函数的性质三、教学工具：PPT、Ece、几何画板、实物投影仪教学方法：探究式教学法四、教学过程：亲爱的同学们，我们在前面的几节课中，系统的学习了函数的概念，研究了函数的图象与性质，今天我们将在前面学习的根底上继续学习并研究一类重要的函数，请同学们先看两个实际问题：一、情境导入情境一：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……一个这样的细胞分裂次后，得到细胞分裂的个数为，请写出与之间的关系式与之间的关系式，可以表示为〔〕情境二：某放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的50%，现有该物质质量为1，经过年的剩留量为，请写出与之间的关系式与之间的关系式，可以表示为〔〕二、新知探究〔一〕指数函数的定义问题组一：〔1〕请问函数和函数具有哪些相同的特征？〔2〕你能否写出类似结构的函数表达式？尝试一下〔3〕能否将上述几个具体的函数表达式统一写成一般的函数表达式呢？引导学生归纳：用字母代替其中的底数，将上述式子表示成的形式师：这里的是否有所限制呢？由上一节课?分数指数幂?所学知识可知，规定底数，指数的取值集合可以为全体实数但是假设底数，那么函数为，无论取何值，恒成立，归为常数函数故引出指数函数的定义：思考：函数是否为指数函数呢？同学们，我们了解了指数函数的定义以后，需要对指数函数的性质进行研究，以便帮助我们解决具体问题〔二〕指数函数的图象与性质问题组二：（1）我们在前面函数章节中研究了函数的哪些性质？（2）我们在前面函数章节中通过怎样的方法研究函数的性质？师：我们下面分三步走来实现通过函数图象研究函数性质的目的第一步：用列表描点的方法作出指数函数的图象利用实物投影来展示学生所作图象，结合实际情况对学生所作图象作出评价评价的主要方面有：曲线的延展性，平滑度，凹凸性，与轴的渐进关系等假设学生作图存在问题，可以结合指数函数的定义式想象图象的特征，运用数形结合的思想方法，由数想形，有形想数，来完善指数函数图象师：刚刚我们通过列表描出个别整数点的方式大致作出了指数函数的图象，那么对于指数函数更精确的图象究竟是什么样子的呢？下面我们以指数函数为例，利用计算机软件来作出它的精确图象第二步：用计算机软件Ece作出指数函数的图象引导学生结合图象指出指数函数的性质，完成指数函数的性质表格将探究得到的性质填入表格中：师：刚刚我们一起研究了具体的指数函数的图象与性质，但是指数函数作为一类函数，其性质是否可以按底数分成两大类呢？下面我们利用计算机软件——几何画板，通过改变底数的取值，来验证我们的猜测第三步：用计算机软件几何画板，演示底数取不同值时指数函数的图象的变化验证步骤二中总结出指数函数的性质，实现从特殊到一般地转化，总结出一类函数的性质，进一步完善表格师：经历了刚刚的“三部曲〞，我们终于探究得到了指数函数的性质，为了便于大家记忆图象与性质，老师送给大家一个“顺口溜〞，请看：性质概括：大1增，小1减，图象恒过〔0，1〕点；左右无限上冲天，永与横轴不沾边经过刚刚的一番探索，我们得到了指数函数的性质，运用指数函数的性质可以帮助我们解决那些数学问题呢？三、数学运用例1、比拟以下各组数中两个值的大小〔1〕，〔2〕，〔3〕，〔4〕，解：〔1〕可直接计算；〔2〕引起认知冲突，实现构造函数思想的自然引入；〔3〕略〔4〕构造两个指数函数和，由单调性易知：，利用“〞架设“桥梁〞解题反思：构造函数的思想，再运用指数函数的单调性解决问题练习：比拟以下各组数中两个值的大小：〔1〕；〔2〕例2、〔1〕，求实数的取值范围；〔2〕，求实数的取值范围解题反思：指数函数单调性的逆用练习：求满足以下条件的实数的取值范围：〔1〕；〔2〕四、归纳总结1、知识点上：掌握了研究具体函数的方法；掌握了指数函数的图象与性质2、思想方法上：〔1〕特殊→一般→特殊；〔2〕分类讨论；〔3〕构造函数；〔4〕数形结合五、课后稳固P54，习题2、3、4附：教学设计说明*教材的地位和作用：本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的根底上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图象与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的根底因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用此外，?指数函数?的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其表达在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这局部知识还有着广泛的现实意义*学生的学情分析：本课时是学生在学习了分数指数幂的前提下，再进一步升华为指数函数的第一节课，它承上启下，对学生来说至关重要学生在前面已经学过了一般函数的性质和数形结合的思想，本节课就要学以致用高中数学应该表达以学生为主，让学生自主探索，领略数学的乐趣，教师应该在课堂上创立适当的情景让学生能在其中由浅入深的掌握知识点，教师是课堂的引领者而不是主宰者*教师的教法分析：本节课采用探究、比拟的教学方法通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来到达对知识的发现和接受*板书设计：。
苏教版数学高一苏教版必修1教案 指数函数
2.2 指数函数2.2.1 分数指数幂整体设计教材分析“分数指数幂”这一节的主要内容是根式和分数指数幂的概念以及有理数指数幂的运算性质.分数指数是指数概念的又一次推广，教学中应通过多举一些实际例子让学生反复理解分数指数幂的意义，让学生明白分数指数幂不是表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法.或者通过根式和分数指数幂的相互转化来巩固和加深对分数指数幂这一概念的理解. 由于学生已经学习了负整数指数幂，正分数指数幂的概念引入后学生也就不难理解负分数指数幂的意义，在教学过程中，可以引导学生得出 m na=nma1(a ＞0，m 、n 均为正整数，且n ＞1)这一结论. 三维目标1.理解根式的概念，掌握n 次方根的性质.2.理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义.3.掌握有理数指数幂的运算性质，灵活地运用公式进行有理数幂的运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化.4.通过研究指数由“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂→实数指数幂”这一不断扩充和不断完善的过程，使学生深深体会认识客观世界的一般规律是呈不断上升的趋势，认同科学是在不断地观察、实验、探索和完善中前进的. 重点难点教学重点：正确理解根式以及分数指数幂的概念，根式与分数指数幂的互化，运用分数指数幂进行简单的运算. 教学难点：根式的概念以及分数指数幂的意义. 课时安排 2课时教学过程第一课时 分数指数幂(一)导入新课设计思路一(复习导入)在初中我们已经学过平方根和立方根的概念，我们复习一下平方根和立方根的概念. 平方根的概念：如果x 2=a ，那么我们称x 为a 的平方根；如果x 3=a ，那么我们称x 为a 的立方根.相仿地，我们就有n 次实数方根的概念. 设计思路二(问题导入)在日常生活中，衣服用去污剂洗过以后，要用清水漂洗.假如每次清水漂洗能漂去残留去污剂量的43，写出残留去污剂量y 与漂洗次数x 的函数关系式.若要使残留去污剂量不超过漂洗前的1％，则至少要漂洗多少次？ (答案：函数关系式是：y=(1-43)x =(41)x，使残留去污剂量不超过漂洗前的1％，至少漂洗4次)推进新课 新知探究根据引入，可以得到如下n 次实数方根的概念： 一般地，如果一个实数x 满足x n =a(n ＞1,n ∈N *)，那么我们称x 为a 的n 次实数方根(nth root).当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个正数，负数的n 次实数方根是一个负数.这时，a的n次实数方根只有一个，记为x=na ，例如，23=8⇒2=38;(-3)3=-27⇒-3=327-;b 5=7⇒b=57.当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有两个，它们互为相反数.这时，正数a 的正的n 次实数方根用符号n a 表示，负的n 次实数方根用符号-n a 表示.正数a 的n 次实数方根我们可以把它们合并而写成±n a (a ＞0)的形式，例如， x 4=4⇒x=±44;y 2=3⇒y=±3.特别需要注意的是，当a 等于0时，0的n 次实数方根等于0.我们把式子n a 叫做根式(radical)，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.对于根式，我们要注意以下几点：(1)关于n 次实数方根的定义：n 次实数方根的定义及性质是平方根、立方根的定义及性质的推广，根式记号是平方根、立方根记号的推广，将n 次实数方根的概念与平方根、立方根的概念进行对比，不难发现：①在实数范围内，正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数，零的奇数次方根是零，设a ∈R ，n 是大于1的奇数，则a 的n 次方根是n a .②在实数范围内，正数的偶数次方根是两个绝对值相等符号相反的数，零的奇数次方根是零，负数的偶数次方根没有意义.设a≥0，n 是大于1的偶数，则a 的n 次方根是±n a . (2)开方与乘方：求a 的n 次方根的运算叫做开方，开方运算与乘方运算是互为逆运算，不能把开方运算与乘方运算混为一谈.例如:求2的四次方，其运算结果是24=16，而求2的四次方根，其运算结果是±42. 应用示例思路1例1 求下列各式的值： (1)33)6(-；(2)2)7(-；(3)44)3(π-；(4)2)(b a -(b ＞a).分析：根式的求值，通常从根式的性质入手. 解：(1)33)6(-=-6;(2)2)7(-=|-7|=7;(3)44)3(π-=|3-π|=π-3;(4)2)(b a -=|a-b|=b-a(b ＞a).点评：根式的求值与化简，通常都是运用根式的运算性质：当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 一般来说，根指数n 为奇数时比较简单，而根指数n为偶数时很容易出现错误，为了避免错误的产生，可以先写成n n a =|a|，然后再根据绝对值的意义，去掉绝对值符号. 例2 化简222y xy x ++.分析：通过观察根式中的被开方式x 2+2xy+y 2是一个完全平方式，因此可以先将x 2+2xy+y 2转化为完全平方，再来根据根式的意义求解. 解：222y xy x ++=2)(y x +=|x+y|=⎩⎨⎧<+--≥++).0(,),0(,y x y x y x y x点评：因为(x+y)2是开平方，所以根据根式的意义，注意讨论x ＋y 的正负.例3 化简下列各式：(1)442+-x x +|1-x|，其中1＜x ＜2； (2)2)(a b b a b a ---•--|b-a|.解：(1)由根式的性质当n 为偶数时，nna =|a|=⎩⎨⎧<-≥0,,0,a a a a 可知，442+-x x +|1-x|=2)2(-x +|1-x|=|x-2|+|1-x|.因为x-2＜0,1-x ＜0，所以原式=2-x+x-1=1.(2)要使b a -有意义，必须a-b≥0，所以2)(a b -=a-b,|b-a|=a-b ，所以b a -·b a --2)(a b --|b-a|=(b a -)2-(a-b)-(a-b)=a-b-a+b-a+b=b-a.点评：若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简. 例4 计算： (1)2115141032++++;(2)63121823346+++++.分析：两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁.我们可以先将分母因式分解后，再化简.解：(1)2115141032++++=)75)(32(32)75(3)75(232+++=++++2575757751-=--=+ (2)63121823346+++++=)36)(23()3221(6)23(3)23(623346++++=+++++.26)1223(2)121231(2)12)(23(3)3221(6-=-+-=+++=+++++点评：对于分子和分母都带有根号的式子，在化简或计算时一定要注意分子和分母的化简，还要注意将分母有理化.思路2例1 化简下列各式： (1)yxx y •; (2)2)2(+a ;(3)246347625---+-.分析：注意观察所给题目的特征，运用根式的性质来解题.另外化简的方向是脱去根号，方法是配方，而且配方的方法也是脱去根号的常用的技巧与手段. 解：(1)yx x y y x xy •=•=1. (2)2)2(+a =|a+2|=⎩⎨⎧-<---≥+).2(,2),2(,2a a a a(3)246347625---+- =222)22()32()23(---+- =|22||32||23|---+-=)22()32()23(---+- =0.点评：(1)在解有关根式的问题时，注意体会根式的运算性质：当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥,0,,0,a a a a 同时与(n a )n =a 进行比较，并且加以区别，不能将二者混为一谈.(2)解题中运用的配方的技巧适用的范围十分广泛，掌握并能熟练地运用这一技巧，从而提高运算能力.例2 已知4x 2－4x －15≤0，化简：25204912422+-+++x x x x .分析：通过已知条件4x 2－4x －15≤0，求出x 的范围，再运用配方的方法以及完全平方公式等来求解.解：∵4x 2－4x －15≤0,∴－23≤x≤25,∴2x ＋3≥0,2x －5≤0, ∴2222)52()32(252049124-++=+-+++x x x x x x ＝|2x ＋3|＋|2x －5|＝2x ＋3＋5－2x ＝8.点评：本例属于有限制条件的根式化简问题，这种题型的一般解题方法是：先求出已知条件对字母的限制范围，在此字母的限制范围内，再依据根式的意义、性质进行化简，如果没有限制条件，则应当对字母进行分类讨论.例3 化简：a aa a a a a -+--⨯+-+-123962322. 分析：对于根式的化简，经常采用配方的方法，运用根式的运算性质来解答.解：a a a a a a a -+--⨯+-+-123962322=a aa a a a -+--⨯---123|3|)2)(1(,因为1-a≥0，2-a ＞0,所以a≤1，所以a-1≤0,a -2＜0,a-3＜0. 原式=a a a aa a a a -+--=-+--⨯--•-11123321=0.点评：在根式化简时，一要注意根指数是奇数还是偶数，二要注意被开方数的符号也就是被开方数是正数还是负数，特别是被开方数含有字母，必要时要对字母的取值进行讨论或由题目条件得到字母的取值范围，再进一步对题目所给根式化简. 知能训练一、课本第47页练习1. 解答：1.(1)5a ;(2)43a ;(3)57a ;(4)31a.二、补充练习：1.已知a 、b ∈R ,则等式(a-b)·2)(b a -＝－(b －a)2成立的条件是( ) A.a ＞b B.a ＜b C.a ＝b D.a≤b 解答：D2.下列运算正确的是( )A.(－a 2)3＝(－a 3)2B.(－a 2)3＝－a 5C.(－a 2)3＝a 5D.(－a 2)3＝－a 6 解答：D 3.设n ∈N *,则81[1－(－1)n ](n 2－1)的值( ) A.一定是零 B.一定是偶数 C.是整数但不一定是偶数 D.不一定是整数 解答：B4.若102x ＝25，则10-x 等于( ) A.-51 B.6251 C.501 D.51 解答：D5.625625++-=________________. 解答：32提示：原式＝322323)32()32(22=++-=++-.6.已知实数a 、b 在数轴上所对应的点分别为A(在原点的左边)、B(在原点的右边)，则222)(b a b a -+-＝___________.解答：－2a7.已知3a ＝2，3b ＝5，则32a －b ＝______________. 解答：54 课堂小结1.本节课的主要内容是根式及根式的运算性质.要求掌握的知识内容比较简单，只要能准确理解根式的概念和掌握根式的运算性质，抓住取值的正负情况，有关根式的问题就能很便捷地解决.2.根式的运算性质中，当n 为偶数时，常常将n n a 先写成|a|的形式，然后再根据a 的正负来确定运算结果，如果a 的正负情况不确定，就必须根据a 的正负情况进行分类讨论.3.配方、分母有理化是解决根式的求值和化简等问题时常用的方法和技巧，而分类讨论则是不可忽视的数学思想方法. 作业课本第48页习题2.2(1) 1.设计感想根式的概念及其性质是中学阶段重要的知识点之一.通过课堂教学和学生的习题训练，发现学生在运用这一知识时很容易产生错误，特别是n n a 的解答，学生在解题时常常会忘记对于n 取奇数和偶数时的不同，当n 取偶数时还把它当作奇数时来求解.因此，在教学的过程中，一是要注重知识结构的科学传输即根式的由来；二是要强调严密完整的解题步骤，突出当n 为偶数时，必须将n n a 先写成|a|的形式；三是通过不同形式的例题和习题的讲解和训练，强化这一知识点.(设计者：王国冲)第二课时 分数指数幂(二)导入新课设计思路一(复习导入)在上节课中，主要学习了根式的概念及根式的性质，请同学们回忆所学内容.(将相关内容归纳板书)1.n 次实数方根;2.根式的概念;3.根式的性质.设计思路二(习题导入) 完成下列习题：1.若x 3=27，则称x 为27的_________次方根，此时x=_________；若a 4=256，则称a 为256的_________次方根，此时a=_________；(3,3;4,4).2.当n 为奇数时，实数a 的n 次实数方根有_________个，记作_________；当n 为偶数时，正实数a 的n 次实数方根有_________个，记作_________.(1,n a ;2,±n a ). 通过上述习题，复习有关根式的概念及性质，由学生归纳总结，然后板书. 推进新课 新知探究 根式的概念看下列变化过程：因为(24)2=28，所以82=24，又因为4=28，所以82=228.类似地有：5103=3510,4165=5416.由上可知：当m 能n 被整除时，就有n m a =a nm . 一般地，我们规定：a nm=n m a (a ＞0，m ，n 均为正整数). 这就是正数a 的正分数指数幂的意义. 类似负整数指数幂的意义，我们规定：m na=nm a1(a ＞0，m ，n 均为正整数)，且0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义. 根据规定，分数指数幂实际上是根式的另一种表示形式，与以前所学的整数指数幂相比，分数指数幂a nm不是nm个a 相乘，而是根式的一种表示方式，因而通过分数指数幂的学习，将指数概念作了推广，即将整数指数推广到了有理数指数. 以前所学的整数指数幂的运算性质仍然保持不变，也就是说原来的整数指数幂的运算性质也推广到了有理数指数的范围，即对于有理数指数幂的运算有如下性质： ①a s ·a t =a s+t ，②(a s )t =a st ，③(ab)s =a s ·b s其中s 、t ∈Q,a ＞0,b ＞0. 应用示例思路1例1 求下列各式的值： (1)10021;(2)832;(3)923-;(4)(811)43-.分析：本题可以先将底数化成幂的形式，如100=102，然后再根据指数运算性质进行运算.解：(1)10021=(102)21=10212⨯=10.(2)832=(23)32=322⨯=22=4.(3)923-=(32)23-=3-3=271. (4)(811)43-=(3-4)43-=33=27.点评：熟练掌握分数指数幂的运算从最基础的入手，能将简单的数字的幂的形式转化为指数形式进行运算.例2 用分数指数幂的形式表示下列各式(a ＞0)： (1)a 2a ;(2)a a .分析：弄清根式与分数指数幂的关系，从而实现根式与分数指数幂的互化. 解：(1)a 2a=a 2a 21=a212+=a 25.(2)a a =(a a )21=(aa 21)21=(a 23)21=a 43.点评：在实际问题中常常将根式化为分数指数幂进行运算，在转化过程中弄清分数指数幂与根式之间的关系，特别是根指数与分数指数之间的关系尤为重要. 例3 求下列各式的值： (1)65312121132)(ba bab a ••••---;(2)1075325555••;(3)111)(---+ab b a ;(4)2)(b a -(a ＞b). 分析：对于既含有根式又含有分数指数幂的式子，把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算.如果根式中的根指数不同，也化成分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质进行计算.解：(1)65312121132)(b a bab a ••••---=653121612131-+---•ba=a -1=a1. (2)1075325555••=107215325555••=5107215322555=--+.(3)abab b a ab b a ab b a 1111)(111+=+=+---=a+b. (4)2)(b a -=|a-b|=a-b(a ＞b).点评：根式运算或根式与指数的混合运算时通常将根式化为分数指数幂的形式，这样计算较为方便.另外对于(3)还可以有如下解法：11111111111)()()(---------+=+=+ab ab b ab a ab b a =a+b. 例4 已知x 21+x21-=3，求32232322-+-+--xx x x 的值.分析：注意已知条件和所求结论之间的关系，通过将条件作适当的变形、转化，使所给条件和所求结论统一起来，并注意整体代入方法的恰当应用. 解：由x 21+x 21-=3，得x 23+x23-=(x 21+x 21-)(x+x -1-1)=(x 21+x21-)[(x 21+x21-)2-3]=3×(32-3)=18，x 2+x -2=(x+x -1)2-2=[(x 21+x 21-)2-2]2-2=47，所以，原式＝318247--=3.点评：这道题可以通过已知x 21+x 21-=3解得x 的值，然后将x 代入计算，但这种解法太繁琐，而用整体思想来考虑，则比较简单.整体代换的思想是常见的数学思想.思路2例1 求下列各式的值： (1)432416⨯;(2)63125.132⨯⨯;(3)433)279(÷-;(4)322aa a •(a ＞0).分析：有关根式的运算可以将根式化为分数指数幂的形式，运用分数指数幂的运算性质进行相关运算.解：(1)432416⨯=[24×(234)21]41=(2324+)41=241314•=267=622.(2)63125.132⨯⨯=2×321×(23)31×(3×22)61=231311+-×3613121++=2×3=6.(3)433)279(÷-=(332-323)÷341=332÷341-332÷341=34132--34132-=3125-345=4512533-.(4)322a a a •=a 2·a21-·a32-=32212--a=6565a a=(a ＞0).点评：(1)解既含有分数指数幂又含有根式的问题，一般情况下，都统一将根式化为分数指数幂的形式，从而方便计算;(2)在求值运算时，如果只含有根式，但根指数不同，常常将根式化为分数指数幂的形式，运用分数指数幂的运算性质进行相关的运算. 例2 化简下列各式： (1)ab abab ••-312;(2)4332yxx y y x ••.分析：对于有关根式的运算，只要把根式化成分数指数幂的形式，再运用有理数指数的运算性质进行计算. 解：(1)ab abab ••-312=a 31·b 32·(a 21)31·(b 21-)31·a 21·b 21=a216132216131+-++•b=ab;(2)4332yxx y y x ••=81411813413212)()()(+-=••x y x x y y x ·y 834321-+-=x 87·y 81-=y y x 877. 点评：(1)分数指数幂是指数概念的扩充，分数指数幂的意义并不表示相同因式的乘积，而是根式的又一种表示方法；(2)根式与分数指数幂可以相互转化，根式转化为分数指数幂的形式之后，可以运用有理数指数幂的运算性质进行运算；(3)分数指数幂与根式的运算结果不要求形式的统一，但结果要求不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数. 例3 已知3x +3-x =5，求下列各式的值：(1)9x +9-x ;(2)27x +27-x ;(3)3x -3-x .分析：根据已知条件，寻找结论与条件之间的关系，发现可以通过整体变换来解. 解：(1)9x +9-x =(3x )2+(3-x )2=(3x +3-x )2-2·3x ·3-x =52-2=23; (2)27x +27-x =(3x )3+(3-x )3=(3x +3-x )[(3x )2-3x ·3-x +(3-x )2]=(3x +3-x )(9x +9-x -1)=5(23-1)=110; (3)3x -3-x =±=-+±=+••-±=-----299)3(332)3()33(222x x x xxx x x21±.点评：整体思想是常见的数学思想之一，通过整体代入、整体运算、整体消元、整体合并等方法，可以将运算过程简化，提高解题效率.另外，对于本题，也可以将3x 看成整体作为一个未知数，先求出3x 的值，然后再代入求解，但这种解法较繁琐，是一种不经济的解法.例4 已知x=278-，y=7117，求333131343233232793yx xyx x y xy x -÷-++的值. 分析：本题可以先将x 、y 代入求值，也可以先将所要求值的式子化简再代入计算. 解：因为x≠0， 所以，原式=313131313131323)27(3xy x y x x yx x -⨯-+.又因为x-27y≠0，所以，原式=49)23()32()278()27()3()(22323223331331=-=-=-==-----xy x x y x .点评：在求解本题时，容易出现直接将x 、y 的值代入，进行计算，但这样做不仅运算量大，过程繁杂，而且容易产生错误，不易得到正确的结果.如果先化简，再代入求值，这样解不仅运算方便，而且过程简捷. 知能训练课本第48页练习2、3、4. 答案：2.(1)x 32;(2)x 2y 23;(3)m 23.3.(1)125;(2)1258;(3)6. 4.(1)a 83;(2)x 3y -2;(3)x 2y 34.课堂小结本节课的重点是分数指数幂的概念及分数指数幂的运算性质，难点是根式与分数指数幂的互化，对于分数指数幂其实质是根式的另一种表示形式，所以根式的运算常常利用分数指数幂与根式之间的关系转化为分数指数幂的运算来进行.我们在解题时要注意解题的策略，一般是先化简再求值，同时还要注意一些公式特别是乘法公式的灵活运用，从而使运算过程简化，达到事半功倍的效果. 作业课本第48页习题2.2(1)5，6.设计感想由于学生刚刚接触分数指数以及分数指数幂的运算，特别是一下子还不能马上接受分数指数幂是根式的另一种表示形式，因此造成在计算时经常产生错误的结果，所以在教学时要适当地在分数指数幂与根式的关系上多花一些时间，讲清楚分数指数幂实际上是根式的另一种表示形式；另外，由于将整数指数幂推广到了有理数指数幂，因此，在这方面尤其是计算方面要有比较多的变化形式呈现出来，注意与乘法公式的结合，运用整体思想来解决相关问题.习题详解课本第48页习题2.2(1)1.(1)100;(2)-0.1;(3)x-y;(4)-(2x+y).2.(1)原式=a 31+a41=a127；(2)原式=a814121++=a87；(3)原式=a2332+=a613；(4)原式=2132+a·b 23=a 67b 23.3.(1)1.709 976；(2)46.881 700；(3)11.447 609；(4)58 241.224 3.4.(1)原式=a 654332-+=a127；(2)原式=a 4·a 9=a 13；(3)原式=-6a3231+·b3131+-=-6a ；(4)原式=(2a 21)2-(3b 41-)2=4a-9b 21-；(5)原式=(a-a -1)2÷(a-a -1)(a+a -1)=112211+-=+---a a a a a a . 5.因为(a 21-a 21-)2=a-2+a -1=1,所以a 21-a21-=±1.6.(1)x=29. (2)x=24.。
3.1.指数函数-苏教版必修1教案
3.1 指数函数-苏教版必修1教案1. 知识点概述指数函数是高中数学中的一重要内容，也是学生在以后学习数理化、工科和金融等领域所必须掌握的基础数学概念。
本教案以苏教版必修1中的指数函数为主要教学内容，为学生系统地讲解指数函数的定义、性质和一些相关的运算及特殊函数。
2. 教学目标1.理解指数运算的定义和性质；2.掌握指数运算的基本法则，包括指数幂、指数根以及指数函数的性质；3.能够解决与指数函数相关的各种应用问题。
3. 教学重点与难点3.1 教学重点1.指数运算的定义和性质；2.指数函数的定义、性质及一些特殊函数；3.应用指数函数解决实际问题。
3.2 教学难点1.合理引导学生理解指数幂、指数根、指数函数等基本概念；2.运用所学知识解决不同类型的实际问题。
4. 教学内容与方法4.1 教学内容4.1.1 指数的定义和性质1.了解指数的定义及相关术语；2.掌握指数运算中的乘方法则、除方法则、幂方法则；3.理解指数函数的定义、性质及指数函数的三要素；4.掌握指数运算中的指数根法则、指数函数的特殊函数。
4.1.2 指数函数1.理解指数函数及其基本性质；2.掌握指数函数的图像及其性质；3.理解指数函数的单调性，麦克劳林级数及指数函数的导数；4.掌握指数函数的极限性质。
4.1.3 指数函数的应用1.熟悉指数函数的实际应用领域；2.掌握指数函数的应用于增长和衰减的计算方法；3.掌握指数函数的应用于复利计算、指数增长及累计函数的方法。
4.2 教学方法1.课堂讲解结合生动的实例，揭示指数函数的本质；2.引导学生实际观察、总结规律、展开讨论；3.利用多媒体教具，结合视频、图表等多种展现形式，直观地呈现知识点。
5. 教学评估1.课堂随堂测试：每节课之后，设置三到五道题目，检验学生对当节内容的掌握情况；2.作业评估：每节课设置适量的作业量，检验学生对知识点的熟练掌握程度；3.期中考试和期末考试：检验学生对整个指数函数的掌握程度。
23.苏教版·高中数学必修Ⅰ教案_§2.2.2 指数函数(图象及性质)(1)
2.2.2 指数函数教学目标：1.使学生掌握指数函数的概念,图象和性质.(1)能根据定义判断形如什么样的函数是指数函数,了解对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域.(2)能在基本性质的指导下,用列表描点法画出指数函数的图象,能从数形两方面认识指数函数的性质.2. 通过对指数函数的概念图象性质的学习,培养学生观察,分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.教学重点：指数函数的图象、性质。
指数函数的图象性质与底数a 的关系 教学过程：一、课前练习:1.下列各式中正确的是（ ） (6班做) A ．n n a ＝a （n ∈N*） B ．（n a ）n ＝a （n ∈N*）C ．npm p a ＝n m a （n ，m ，p ∈N*） D ．nm a －＝mna1（m ，n ∈N*，a ＞0）分析：我们知道，如果x n ＝a ，则称x 是a 的n 次方根．若a ＝0时，则x ＝0，即n 0＝0，若a ≠0时，当n 为正奇数时，x ＝n a ，其符号与x 的符号一致；当n 为正偶数时，则a 一定大于零，x ＝士n a ，即正数的偶次方根有两个，它们互为相反数．解析：A 、C 中的根指数与被开方式的指数能否约分，取决于实数a 的符号． 如：44)2(－≠－2和4543)2(⨯⨯－≠53)2(－，应该先将被开放式底数－2化成2，然后再进行化简．故A ，C 不一定成立． 对于分数指数幂nm a 不能理解为有nm个a 相乘，我们规定nma ＝n m a （a ＞0，m ，n ∈N*）．应该注意，nm a－的分数指数mn-的分子和分母与根式的根指数n 和被开方式的指数m 之间的对应关系，不可颠倒．故D 不成立．因此选B ．1. (1)432981⨯= ;(2) 有意义, 则 （ ）A ．x ≠－2B ． x ≥2或x ＜－2C ．x ≥2D ．x ＜－2分析：既含有分数指数幂，又有根式，应该把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算．如果根式中根指数不同，也应该化成分数指数幂的形式．解析: (1) 解：432981⨯＝［34×（66741314413244121343333)3(])3====⋅+.(2) 若使等式成立，则等式中三个偶次根式必须都有意义，故选C ．反思·领悟: 一般地，根式有如下性质：2.已知15a a -+=, 试求22a a -+ , 1122a a-+ ,1122a a-- .解析: 22122()25223a aa a --+=+-=-=.∵112122()2527a a a a --+=++=+= ,∴1122a a-+=(∵11220a a -+>, ∴1122a a-+=,舍去)∴1122a a-+=∵112122()2523a a a a ---=-+=-= , ∴1122a a --=练习: 已知15a a -+=, 试求 3322a a--.解析: 331112222()(1)4a a a a a a ----=-++=± .3.(课本P48第6题)(1)32x =; (提示:21422214x x +=⇒+=);(2)79x =;(提示:32142568x x +-=⨯,即641134922x x a +--=, 64113x x +=-);(3)16x =; (提示:3134422x x =⇒=);(4)3x =; (提示:2126280x x +--⨯-= ,即423280x x ⨯-⨯-=,得322x =).二、问题引入：1.一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是（ ）A ．5B ．9C ．6D ．8分析: 这是一个借助于指数方程计算问题, 具体也可以列式计算.解析：每一天的细胞数都是前一天的两倍，当第10天时充满整个容器,则第9天,其细胞分裂数为其一半, 所以细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是第9天, 故可选B ．反思·领悟: 指数递增是不可忽视的, 本题巧妙在于条件给出10天充满了整个容器,那么一半问题恰好应为第9天,解题时要能抓住题目的关键语言,提取重要信息, 灵活求解.2.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是y=2x引出指数函数的概念：一般地，函数y=a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R.（2）指数函数的图像和性质：①通过描点画函数图像：首先我们来画y=2x的图象。
高中数学《指数函数》教案苏教版必修
第十八课时 指数函数（3）2．能运用指数函数的图象和性质解决一些实际问题，体会指数函数是一类重要的函数模型；3．培养学生从特殊到一般的抽象、归纳的能力以及分析问题、解决问题的能力． 自学评价1．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，可以用公式y = ()1xN p + 表示. 【精典范例】例1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩留的质量是原来的84%．写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式． 【解】设该物质的质量是1,经过x 年后剩留量是y . 经过1年,剩留量10.840.84y =⨯= 经过2年,剩留量20.840.840.84y =⨯= ………………………… 经过x 年,剩留量0.84(0)x y x =>点评:先考虑特殊情况，然后抽象到一般结论．例2：某种储蓄按复利计算利息，若本金为a 元，每期利率为r ，设存期是x ，本利和（本金加上利息）为y 元．（1）写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式；（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．分析：复利要把本利和作为本金来计算下一年的利息．【解】(1)已知本金为a 元,利率为r 则:1期后的本利和为(1)y a a r a r =+⨯=+2期后的本利和为2(1)(1)(1)y a r a r r a r =+++=+……………………………x 期后的本利和为(1),x y a r x N *=+∈(2)将1000, 2.25%,5a r x ===代入上式得1117.68y ≈(元).答:5期后的本利和为1117.68元点评:审清题意是求函数关系式的关键；同时要能从具体的、特殊的结论出发，归纳、总结出一般结论．例3：20002002年，我国国内生产总值年平均增长7.8%左右．按照这个增长速度，画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，并通过图象观察到2010年我国国内生产总值约为2000年的多少倍（结果取整数）．【解】设2000年我国的年生产总值为a ,则年生产总值y 随时间x (年)的函数关系可表示为(10.078) 1.078,x x y a a x N *=⋅+=⋅∈图象为由图象可见经过10年国内生产总值约2倍.或当10x =时101.0782y a a =⨯≈，答:2010年我国国内生产总值约为2000年的2倍.点评:建立函数关系是解决实际问题的重要方法，同时利用函数图象求方程的近似解是常用方法．追踪训练一1.（1） 一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件a 个,计划从今年开始的m 年内,每年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长%p ,则此种规格电子元件的年产量y 随年数x 变化的函数关系式为*(1%)(,)x y a p x m x N =+≤∈ .（2）一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件的成本是a 元/个, 计划从今年开始的m 年内, 每年生产此种规格电子元件的单件成本比上一年下降%p ,则此种规格电子元件的单件成本y 随年数x 变化的函数关系式是*(1%)(,)x y a p x m x N =-≤∈．2. 2000年10月18日,美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息:”市政委员会今天宣布:本市垃圾的体积达到350000m ”,副标题是:”垃圾的体积每三年增加一倍”.如果把三年作为垃圾体积加倍的周期,请你完成下面关于垃圾体积3()V m 与垃圾体积的加倍的周期(3年)数n 的关系的表格,并回答下列问题: 周期数n 体积()3V m 00500002⨯ 11500002⨯ 22500002⨯ …… n 500002n ⨯(1) 设想城市垃圾的体积每三年继续加倍,问年后该市垃圾的体积是多少?(2) 根据报纸所述的信息,你估计3年前垃圾的体积是多少?(3) 如果2n =-,这时的,n V 表示什么信息?(4) 写出n 与V 的函数关系式,并画出函数图象(横轴取n 轴);(5) 曲线可能与横轴相交吗?为什么?解:(1)由于垃圾的体积每3年增加1倍,24年后即8个周期后, 该城市垃圾的体积是8350000212800000()m ⨯=.(2) 根据报纸所述的信息,估计3年前垃圾的体积是1350000225000()m -⨯=.(3)如果2n =-,这时的n 表示6年前,V 表示6年前的垃圾.（4）n 与V 的函数关系式是500002n V =⨯，图象如图（5）对任意整数n ，有20n >，所以5000020n V =⨯>，曲线不可能与横轴相交. 【选修延伸】一、指数函数与二次函数的选择例4: 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据．用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或x y a b c =⋅+（其中,,a b c 为常数）．已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用哪个函数作为模拟函数较好并说明理由．【解】(1)若选用二次函数,则可设为2(0)y ax bx c a =++≠由条件可得:142 1.293 1.3a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得:0.050.350.7a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩20.050.350.7y x x ∴=-++当4x =时, 1.3y =(万件)(2)若选用x y a b c =⋅+2311.21.3a b c a b c a b c ⋅+=⎧⎪⋅+=⎨⎪⋅+=⎩解得0.80.51.4a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 10.8() 1.42x y ∴=-⨯+当4x =时, 1.35y =(万件)由(1)(2)可得选用x y a b c =⋅+较好. 追踪训练二1．某人承包了一片荒山，承包期限为10年，准备栽种5年可成材的树木。
苏教版高中数学必修一第二章学生教案第课时指数函数
第十六课时 指数函数（1）1．理解指数函数的概念；掌握指数函数的图象、性质；2．初步了解函数图象之间最基本的初等变换。
3．能运用指数函数的性质比较两个指数值的大小．4．提高观察、运用能力．自学评价1．形如 ________________的函数叫做指数函数，其中自变量是 ，函数定义域是 ，值域是 ．2. 下列函数是为指数函数有______________________ ．①2y x = ②8xy =③(21)xy a =-（12a >且1a ≠）④(4)x y =-⑤xy π=⑥1225+=xy ⑦x y x=⑧10xy =-．3.指数函数(0,0)xy a a a =>≠恒经过点 ． 4.当1a >时，函数xy a =单调性 为 ； 当01a <<时，函数x y a = 单调性是在 ．【精典范例】例1：比较大小：（1） 2.5 3.21.5,1.5；（2） 1.2 1.50.5,0.5--；（3）0.3 1.21.5,0.8．点评:当底数相同的两个幂比较大小时，要考虑指数函数；当底数不相同的两个幂比较大小时，要寻找第三个值来与之比较． 例2： （1）已知0.533x ≥，求实数x 的取值范围；（2）已知0.225x <，求实数x 的取值范围.分析：利用指数函数的单调性.点评:通过函数值的大小关系来寻找出自变量的大小是单调性运用的又一常用方法.例3：设a 是实数，2()()21x f x a x R =-∈+， （1）求a 的值，使函数()f x 为奇函数 （2）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数；分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。
点评:求与指数函数有关的复合函数的奇偶性、单调性时要注意运用指数函数的有关性质来解决问题.1.若函数(1)y a =-在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是 （ ） （A ）(1,)+∞ （B ）(0,1) （C ）(,1)-∞（D ）(1,1)-2.已知函数xy a =(0,1)a a >≠在区间[1,1]-上的最大值与最小值的差是1，求实数a 的值；3.解不等式：(1)293x x ->(2)34260xx⨯-⨯> 析：本题的本质是利用函数的单调性求参数的范围．【选修延伸】一、与指数函数有关的复合函数 例4: 求函数26171()2x x y -+=的定义域、值域、单调区间．分析：原函数由函数2617u x x =-+与1()2u y =复合而成，求解时要统筹考虑．点评:形如()(0,1)f x y aa a =>≠的定义域与()y f x =的定义域相同；求值域时要先确定()f x 的值域，再根据指数函数的性质确定()(0,1)f x y aa a =>≠的值域；当1a >时，()f x y a =与()y f x =的单调性相同，当01a <<时，()f x y a =与()y f x =的单调性相反．思维点拔：（1）比较两个指数式的大小或解指数不等式往往要利用指数函数的性质；（2）与指数函数有关的复合函数的性质既要考虑到指数函数的性质，又要考虑到与之复合的函数性质．追踪训练二1．求下列函数的定义域、值域： (1)1218x y -=(2)y =。